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CLASE 01: Modelo de crecimiento exponencial Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Faculad de Ciencias, UNAM Facultad de Ciencias, UNAM El Problema de Valores Iniciales El modelo de crecimiento exponencial está planteado con el PVI siguiente: p (t )= kp (t ), t > t 0 , p (t 0 )= p 0 El fenómeno Supongamos que queremos estudiar cómo una población crece o decrece a través del tiempo. El supuesto fundamental: En condiciones ideales (abundancia de recursos y espacio suficiente) es razonable suponer que las tasas de nacimiento y muerte son uniformes en el tiempo (i.e. son las mismas en cualquier momento) e independientes del tamaño de la población. Bacterias e. coli El modelo Supongamos que p 0 > 0 es el tamaño de la población al tiempo inicial t 0 0. Sea p (t ) el tamaño de la población al tiempo t , para cualquier t > t 0 . Queremos encontrar el mejor modelo para p (t ). Sean k birth := tasa de nacimiento x u. de tiempo k death := tasa de muerte x u. de tiempo En un lapso de tiempo arbitrariamente pequeño (t , t + h ), el número de nacimientos y de muertes son aproximadamente iguales a k birth p (t t y k death p (t t , respectivamente, donde Δt := h . Por lo tanto, la variación poblacional (crecimiento o decre- mento) durante el pequeño intervalo de tiempo (t , t + h ) es aproximadamente Δp k birth p (t t - k death p (t t , donde Δp = p (t + h ) - p (t ). Equivalentemente Δp Δt kp (t ), donde k = k birth - k death , es la razón neta de variación de población. En consecuencia p (t ) = lim Δt 0 Δp Δt = kp (t ) En otras palabras, la tasa de variación poblacional (que puede ser creciente o decreciente) al tiempo t es propor- cional a la población presente al tiempo t . Solución Si suponemos que p (t ) > 0 para cada t t 0 , entonces podemos reescribir 1 p (t ) p (t )= k . De donde, para cada t > t 0 , Z t t 0 1 p (s ) p (s )ds = Z t t 0 kds En cuanto a la integral de la izquierda, con el cambio u = p , tenemos Z t t 0 1 p (s ) p (s )ds = Z p (t ) p 0 1 u du = log p (t ) p 0 . En consecuencia, log p (t ) p 0 = k (t - t 0 ). Equivalentemente p (t )= p 0 e k (t -t 0 ) , t > t 0 . t p p (t )= p 0 e k (t -t 0 ) , t t 0 población creciente, k > 0 t 0 p 0 t p p (t )= p 0 e k (t -t 0 ) , t t 0 población decreciente, k < 0 t 0 p 0

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Page 1: CLASE 01: Modelo de crecimiento exponencial · CLASE 01: Modelo de crecimiento exponencial. IntroducciónalasEcuacionesDiferenciales. FaculaddeCiencias,UNAM FacultaddeCiencias,UNAM

CLASE 01: Modelo de crecimiento exponencialIntroducción a las Ecuaciones Diferenciales

Faculad de Ciencias, UNAM Facultad de Ciencias, UNAM

El Problema de Valores InicialesEl modelo de crecimiento exponencial estáplanteado con el PVI siguiente:

p′(t) = kp(t), t > t0,

p(t0) = p0

El fenómeno

Supongamos que queremos estudiar cómo unapoblación crece o decrece a través del tiempo.El supuesto fundamental:En condiciones ideales (abundancia de recursosy espacio suficiente) es razonable suponer quelas tasas de nacimiento y muerte son uniformesen el tiempo (i.e. son las mismas en cualquiermomento) e independientes del tamaño de lapoblación.

Bacterias e. coli

El modelo

Supongamos que p0 > 0 es el tamaño de la población altiempo inicial t0 ≥ 0. Sea p(t) el tamaño de la poblaciónal tiempo t, para cualquier t > t0. Queremos encontrar elmejor modelo para p(t). Sean

kbirth := tasa de nacimiento x u. de tiempokdeath := tasa de muerte x u. de tiempo

En un lapso de tiempo arbitrariamente pequeño (t, t+h), elnúmero de nacimientos y de muertes son aproximadamenteiguales a

kbirth p(t)∆t y kdeath p(t)∆t,

respectivamente, donde ∆t := h.

Por lo tanto, la variación poblacional (crecimiento o decre-mento) durante el pequeño intervalo de tiempo (t, t + h) esaproximadamente

∆p ≈ kbirth p(t)∆t − kdeath p(t)∆t,

donde ∆p = p(t + h)− p(t). Equivalentemente∆p

∆t≈ kp(t),

donde

k = kbirth − kdeath,

es la razón neta de variación de población.En consecuencia

p′(t) = lim∆t→0

∆p

∆t= kp(t)

En otras palabras, la tasa de variación poblacional (quepuede ser creciente o decreciente) al tiempo t es propor-cional a la población presente al tiempo t.

Solución

Si suponemos que p(t) > 0 para cada t ≥ t0, entoncespodemos reescribir

1

p(t)p′(t) = k .

De donde, para cada t > t0,∫ t

t0

1

p(s)p′(s)ds =

∫ t

t0

kds

En cuanto a la integral de la izquierda, con el cambio u = p,tenemos ∫ t

t0

1

p(s)p′(s)ds =

∫ p(t)

p0

1

udu = log

p(t)

p0.

En consecuencia,

logp(t)

p0= k(t − t0).

Equivalentemente

p(t) = p0ek(t−t0), t > t0.

t

p

p(t) = p0ek(t−t0), t ≥ t0

población creciente, k > 0

t0

p0

t

p

p(t) = p0ek(t−t0), t ≥ t0

población decreciente, k < 0

t0

p0

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CLASE 01: Modelo de crecimiento exponencialIntroducción a las Ecuaciones Diferenciales

Faculad de Ciencias, UNAM Facultad de Ciencias, UNAM

Teorema (Solución General)

Dada una constante fija k ∈ R, la solución general de laecuación diferencial

p′(t) = kp(t), t ∈ R, (1)

es de la forma

p(t) = Cekt, t ∈ R, (2)

donde C es una constante arbitraria.

Demostración

Primero vamos a comprobar que una función de la forma(2) es solución de (1). Sea p una función de la forma (2).Entonces para cada t,

p′(t) = Ckekt = kCekt = kp(t).

Lo que muestra efectivamente que toda función de la forma(2) es solución de (1).En segundo lugar debemos mostrar que cualquier otra solu-ción de (1) tiene la forma (2). Para ello, supongamos quep es cualquier solución de (1), y sea

u(t) = p(t)e−kt para cada t ∈ R.Entonces, para cada t ∈ R,

u′(t) = −kp(t)e−kt + kp(t)e−kt = 0.

Se sigue que u es una función constante. Esto es, paraalguna constante C ,

u(t) = C para cada t ∈ R.Por lo tanto

p(t) = Cekt, t ∈ R.

Curvas Integrales

Las siguientes gráficas muestran las curvas solución de laecuación diferencial (1) para distintos valores de C .

t

p(t) = Cekt

k > 0

t

p(t) = Cekt

k < 0

En el caso del PVI(t0, p0), observe que C = p0e−kt0.

El Teorema de Cambio de Variables(Sustitución)

Si g es una función de clase C1 sobre un intervalo [a, b]

y f es una función continua, entonces f (g(x))g ′(x) esuna función intregrable sobre [a, b] y∫ b

a

f (g(x))g ′(x) dx =

∫ g(b)

g(a)

f (u)du.

Demostración

Si F es una primitiva de f , esto es, F ′ = f , entonces∫ g(b)

g(a)

f (u)du = F (g(b))− F (g(a)).

Y por otra parte, usando la regla de la cadena,

(F ◦ g)′ = (F ′ ◦ g)g ′ = (f ◦ g)g ′.

Por lo que F ◦ g es una primitiva de (f ◦ g)g ′. Luego∫ b

a

f (g(x))g ′(x) dx = F (g(b))− F (g(a)).

De donde se sigue la igualdad del teorema.

Lecturas recomendadas

1 Sección 1.3. “Ecuaciones diferenciales como modelosmatemáticos”. Del libro Ecuaciones diferenciales deDennis G. Zill y Michael R. Cullen.

2 Sección 1.1. “Modelación por medio de ecuacionesdiferenciales”. Del libro Ecuaciones diferenciales dePaul Blanchard, Robert L. Devaney, Glen R. Hall.