FFUUNNDDAAMMEENNTTOOSS

CCaappttuulloo UUmm::

TTeennsseess ee DDeeffoorrmmaaeess

11.. CCoonncceeiittoo ddee ccoonnffoorrmmaaoo ppllssttiiccaa

22.. CCoonncceeiittoo ddee tteennssoo

33.. RReepprreesseennttaaoo mmaatteemmttiiccaa:: tteennssoorreess ddee tteennssoo

44.. RReepprreesseennttaaoo ggrrffiiccaa:: oo ccrrccuulloo ddee MMoohhrr

55.. CCoonncceeiittoo ddee ddeeffoorrmmaaoo

66.. RReellaaoo eennttrree tteennssoo ee ddeeffoorrmmaaoo nnoo rreeggiimmee eellssttiiccoo

77.. EEnnssaaiioo ddee ttrraaoo

88.. CCrriittrriiooss ddee eessccooaammeennttoo

99.. RReellaaeess eennttrree tteennssoo ee ddeeffoorrmmaaoo:: rreeggiimmee ppllssttiiccoo

1100.. LLiimmiittee mmxxiimmoo ddee ddeeffoorrmmaaoo

1111.. BBiibblliiooggrraaffiiaa

1122.. LLiissttaa ddee eexxeerrcccciiooss

CCaappttuulloo UUmm:: TTeennsseess ee ddeeffoorrmmaaeess

NNeessttee ccaappttuulloo iinniicciiaall,, pprreetteennddee--ssee rreeppaassssaarr aallgguunnss ccoonncceeiittooss ffuunnddaammeennttaaiiss qquuee sseerroo nneecceessssrriiooss ppaarraa aa ccoommpprreeeennssoo ddaass mmeettooddoollooggiiaass ddee ccllccuulloo ee aass ssuuaass rreessppeeccttiivvaass aapplliiccaaeess.. TTrraattaa--ssee ddee iinnffoorrmmaaeess jj vviissttaass ppeelloo aalluunnoo,, eemm oouuttrraass ddiisscciipplliinnaass,, eessppeecciiaallmmeennttee rreessiissttnncciiaa ddooss mmaatteerriiaaiiss.. AAnntteess ddiissssoo,, ppoorrmm,, sseerr rreeppaassssaaddoo oo ccoonncceeiittoo ddee ccoonnffoorrmmaaoo mmeeccnniiccaa..

11..11 CCoonnffoorrmmaaoo ppllssttiiccaa

CCoommoo oo aassssuunnttoo mmuuiittoo aabbrraannggeennttee,, aallmm ddee nnoo sseerr oo ffooccoo ddeessttaa ddiisscciipplliinnaa aabboorrddaarr aass ddiivveerrssaass ffoorrmmaass ddee ccoonncceeiittuuaaoo,, sseerroo cciittaaddooss ddooiiss ccoonncceeiittooss ddee ccoonnffoorrmmaaoo ppllssttiiccaa,, ttaammbbmm ccoonnhheecciiddaa ccoommoo ccoonnffoorrmmaaoo mmeeccnniiccaa::

OOppeerraaoo oonnddee ssee aapplliiccaamm ssoolliicciittaaeess mmeeccnniiccaass eemm mmeettaaiiss,, qquuee rreessppoonnddeemm ccoomm uummaa mmuuddaannaa ppeerrmmaanneennttee ddee ddiimmeennsseess ((HHeellmmaann ee CCeettlliinn,, 1199____))..

PPrroocceessssoo ddee aalltteerraaoo ddee ggeeoommeettrriiaa ddee uummaa mmaatteerriiaall ((ccoonnffoorrmmaaoo)) mmeeddiiaannttee aapplliiccaaoo ddee eessffoorrooss mmeeccnniiccooss..

OO pprroocceessssoo ppooddee ooccoorrrreerr ccoomm oo mmaatteerriiaall tteemmppeerraattuurraa aammbbiieennttee oouu pprrxxiimmaa ddaa aammbbiieennttee ((ccoonnffoorrmmaaoo aa ffrriioo)) oouu ccoomm oo mmaatteerriiaall eemm tteemmppeerraattuurraass ssuuffiicciieenntteemmeennttee eelleevvaaddaass ppaarraa ffaacciilliittaarr aa ooppeerraaoo ee ooffeerreecceerr cceerrttaass ccaarraacctteerrssttiiccaass aaoo pprroodduuttoo ffiinnaall ((ccoonnffoorrmmaaoo aa qquueennttee))..

EEmm aammbbooss ooss ccaassooss,, eexxiisstteemm ddiivveerrssaass ccaarraacctteerrssttiiccaass ddoo pprroocceessssoo ((tteemmppeerraattuurraa,, ffoorraa aapplliiccaaddaa,, nnmmeerroo ddee ooppeerraaeess ddee ccoonnffoorrmmaaoo,, eettcc..)) qquuee ssoo ddeetteerrmmiinnaanntteess ppaarraa aass ccaarraacctteerrssttiiccaass ffiinnaaiiss ddoo pprroodduuttoo ffiinnaall ((WWiillllyy AAnnkk aa AAggnncciiaa EEssttaaddoo))..

OO oobbjjeettiivvoo pprriimmoorrddiiaall ddeessttaa ddiisscciipplliinnaa aa oobbtteennoo ddaa ccaarrggaa ddee ccoonnffoorrmmaaoo ppaarraa uummaa ddeetteerrmmiinnaaddaa ppeeaa ee//oouu aass ccoonnddiieess ddee aapplliiccaaoo ddeessttaa ccaarrggaa..

SSeegguunnddoo ooss ccoonncceeiittooss ddeessccrriittooss aacciimmaa,, oo aalluunnoo ppooddee iimmaaggiinnaarr qquuee ppaarraa cchheeggaarr aa eessttee oobbjjeettiivvoo,, aa rreellaaoo eennttrree aa ggeeoommeettrriiaa ffiinnaall ((ee aass iinntteerrmmeeddiirriiaass)) ddaa ppeeaa ee aa((ss)) ffoorraa((ss)) aapplliiccaaddaa((ss)) ddeevvee((mm)) sseerr ccoonnhheecciiddaa((ss)) oouu,, aaoo mmeennooss,, eessttiimmaaddaa((ss)) aaddeeqquuaaddaammeennttee..

EEsstteess pprriimmeeiirrooss ccaappttuullooss ee aauullaass ddeeddiiccaamm aa aapprreesseennttaarr aaoo aalluunnoo aa ffoorrmmaa ddee ccaarraacctteerriizzaaoo ddoo ccaarrrreeggaammeennttoo mmeeccnniiccoo ddee uumm mmaatteerriiaall mmeettlliiccoo ee aa ssuuaa ccoorrrreellaaoo ccoomm aa ddeeffoorrmmaaoo ddeessttee mmaatteerriiaall..

11..22 CCoonncceeiittoo ddee tteennssoo

CCoonnssiiddeerree uumm ccoorrppoo eemm eeqquuiillbbrriioo ssoobbrree aa aaoo ddee ffoorraass eexxtteerrnnaass:: PP11,, PP22,, PP33,, PP44,, ..........,, PPnn,, ccoonnffoorrmmee mmoossttrraaddoo nnaa ffiigguurraa 11..11.. PPooddee--ssee ddeeffiinniirr uummaa qquuaannttiiddaaddee ((

r)) qquuee rreepprreesseennttaa

aa iinntteennssiiddaaddee ddaa ffoorraa aapplliiccaaddaa nnaass vviizziinnhhaannaass ddeessttee ppoonnttoo,, ccoonnssiiddeerraannddoo--ssee oo lliimmiittee ddaa rreellaaoo eennttrree aa ffoorraa rreessuullttaannttee aapplliiccaaddaa ssoobbrree eessttee ppoonnttoo ee oo iinnffiinniittssiinnoo ddaa ssuuaa rreeaa ddee aattuuaaoo ((eeqquuaaoo 11))

OO ccoonncceeiittoo ddee tteennssoo mmuuiittoo ttiill ppaarraa ddeeffiinniirr ggrraannddeezzaass qquuee nnoo ddeeppeennddeemm ddoo ttaammaannhhoo rreellaattiivvoo ddooss mmaatteerriiaaiiss eennvvoollvviiddooss,, ccoommoo ppoorr eexxeemmpplloo nnaa ccaarraacctteerriizzaaoo ddee uumm mmaatteerriiaall aattrraavvss ddee uumm eennssaaiioo ddee ttrraaoo..

FFiigguurraa 11..11 DDiissttrriibbuuiioo ddee eessffoorrooss nnaass vviizziinnhhaannaass ddee uumm ppoonnttoo OO..

A

PA

=

rr0

lim ((11..11))

AA tteennssoo ppooddee sseerr ddeevviiddaa aa uumm ccoommppoonneennttee ddee ffoorraa nnoorrmmaall ((ppeerrppeennddiiccuullaarr))

ssuuppeerrffcciiee ((rreeaa AA)) oouu ttaannggeennttee aa eessttaa.. QQuuaannddoo aa ffoorraa nnoorrmmaall,, ddeennoommiinnaa--ssee aa tteennssoo nnoorrmmaall ee qquuaannddoo aa ffoorraa ttaannggeennttee,, ddeennoommiinnaa--ssee tteennssoo cciissaallhhaannttee.. AA ffiigguurraa 11..22,, aabbaaiixxoo,, iilluussttrraa eessttee ccllccuulloo ee aass eeqquuaaeess 11..22 aa 11..44 ccoommoo ffaazz--lloo..

FFiigguurraa 11..22 DDeeccoommppoossiioo ddoo vveettoorr

rreessuullttaannttee ssoobbrree aa rreeaa AA,, llooccaalliizzaaddaa nnaass vviizziinnhhaannaass ddoo ppoonnttoo OO.. OO ccoommppoonneennttee ppaarraalleelloo ddiirreeoo ZZ aa ffoorraa nnoorrmmaall ee ooss ccoommppoonneenntteess ppaarraalleellooss ss ddiirreeeess XX ee YY ssoo ooss ccoommppoonneenntteess ddee cciissaallhhaammeennttoo..

cos

=

A

PZ ((11..22))

cossen

=

A

PZY ((11..33))

sensen

=

A

PZX ((11..44))

PPoorrmm eessttaa ssiimmpplleess ddeeffiinniioo nnoo ssuuffiicciieennttee ppaarraa rreepprreesseennttaarr aaddeeqquuaaddaammeennttee aa rreeaall ddiissttrriibbuuiioo ddee tteennsseess aaoo rreeddoorr ddee uumm ddeetteerrmmiinnaaddoo ppoonnttoo,, ppooiiss eessttaa ddeeffiinniioo vviinnccuullaa aa rreepprreesseennttaaoo aa uumm ddeetteerrmmiinnaaddoo ppllaannoo ddee ccoorrttee [[mmmm]] ccoonnffoorrmmee ddeemmoonnssttrraaddoo ppeellaa ffiigguurraa 11..33..

FFiigguurraa 11..33 VVaarriiaaoo ddoo vveettoorr ddee tteennssoo ccoomm oo ttiippoo ddee sseeoo rreettaa ttoommaaddaa ccoommoo rreeffeerrnncciiaa ppaarraa sseeuu ccllccuulloo..

PPaarraa aa ccoommpplleettaa rreepprreesseennttaaoo ddaa ddiissttrriibbuuiioo ddee tteennsseess aaoo rreeddoorr ddee uumm ddeetteerrmmiinnaaddoo ppoonnttoo,, oouu sseeuu eessttaaddoo ddee tteennsseess nneecceessssrriioo ccoonnssiiddeerraarr oo mmeessmmoo rraacciiooccnniioo aapplliiccaaddoo aa uumm ccuubboo iinnffiinniitteessiinnaall eemm ccuujjoo cceennttrroo eennccoonnttrraa--ssee oo ppoonnttoo eemm ccoonnssiiddeerraaoo ee ccuujjaass ffaacceess eessttoo oorriieennttaaddaass sseegguunnddoo uumm ssiisstteemmaa ddee eeiixxooss ddee rreeffeerrnncciiaa XXYYZZ,, ccoonnffoorrmmee mmoossttrraa aa ffiigguurraa 11..44.. OO aalluunnoo ddeevvee--sseerr rreeppaarraarr qquuee eexxiissttee uummaa tteennssoo nnoorrmmaa ee dduuaass ddee cciissaallhhaammeennttoo,, ccoonnffoorrmmee jj pprreevviissttoo nnaa ffiigguurraa 11..22 ppaarraa ccaaddaa uumm ddooss ttrrss ppllaannooss ddee rreeffeerrnncciiaa ((XXYY,, XXZZ ee YYZZ))..

FFiigguurraa 11..44 RReepprreesseennttaaoo ccoommpplleettaa ddee ttooddaass aass tteennsseess nnoorrmmaaiiss ee cciissaallhhaanntteess aaoo rreeddoorr ddee uumm ppoonnttoo mmaatteerriiaall..

AAppeessaarr ddee qquuee aa ffiigguurraa 11..44 mmoossttrraa ttrrss ccoommppoonneenntteess ddee tteennssoo ((xxxx,, yyyy ee zzzz)) nnoorrmmaall ee

sseeiiss ccoommppoonneenntteess ddee tteennssoo ddee cciissaallhhaammeennttoo ((xxyy,, yyxx,, xxzz,, zzxx,, yyzz ee zzyy)),, ppoorr ccoonnssiiddeerraaeess ddee eeqquuiillbbrriioo ppooddee--ssee aaffiirrmmaarr qquuee ssoommeennttee ttrrss ccoommppoonneenntteess ddee cciissaallhhaammeennttoo ssoo iinnddeeppeennddeenntteess,,

sseennddoo aass ssiimmttrriiccaass iigguuaaiiss ((oouu eennttoo hhaavveerriiaa rroottaaoo ddoo ccoorrppoo)):: xxyy==yyxx,, xxzz==zzxx,, yyzz==zzyy..

IInntteerreessssaannttee qquuee oo aalluunnoo ppeerrcceebbaa qquuee aa ddeeffiinniioo ddee tteennssoo aaqquuii aapprreesseennttaaddaa ppeerrmmiittee qquuee eemm ccaaddaa ppoonnttoo eexxiissttaa uumm ddeetteerrmmiinnaaddoo eessttaaddoo ddee tteennsseess.. RReeaallmmeennttee,, nnaa pprrttiiccaa,, aass tteennsseess nnoo ssoo hhoommooggeenneeaammeennttee ddiissttrriibbuuddaass,, ppeellaass sseegguuiinntteess rraazzeess pprriinncciippaaiiss::

oo ppoonnttoo ddee aapplliiccaaoo//ttrraannssffeerrnncciiaa ddee ccaarrggaa nnoo hhoommooggnneeoo;;

aa ggeeoommeettrriiaa ddoo mmaatteerriiaall nnoo hhoommooggnneeaa;;

oo mmaatteerriiaall aapprreesseennttaa ddeessccoonnttiinnuuiiddaaddeess iinntteerrnnaass;;

aass pprroopprriieeddaaddeess mmeeccnniiccaass ee//oouu ccoonnddiieess ddee ccoonnttoorrnnoo vvaarriiaamm,, eennttrree oouuttrrooss..

AA ffiigguurraa 11..55 aapprreesseennttaa uummaa ssrriiee ddee eexxeemmppllooss oonnddee aa ddiissttrriibbuuiioo ddee tteennsseess nnoo hhoommooggnneeaa..

DDiissttrriibbuuiioo ddee tteennsseess nnaa eessttaammppaaggeemm pprrooffuunnddaa..

FFiigguurraa 11..55 EExxeemmppllooss ddee ddiissttrriibbuuiioo hheetteerrooggnneeaa ddee tteennsseess eemm aallgguunnss mmaatteerriiaaiiss ((ddee cciimmaa ppaarraa bbaaiixxoo)):: ppeeaa ddee eessttaammppaaggeemm pprrooffuunnddaa,, eelloo ddee ccoorrrreennttee ddee mmoottoocciicclleettaa,, aanneell ssoobb ccoommpprreessssoo..

11..33 RReepprreesseennttaaoo mmaatteemmttiiccaa:: tteennssoorreess ddee tteennssoo

EExxiisstteemm ttrrss ppllaannooss iinnddeeppeennddeenntteess nnoo eessppaaoo ((XXYY,, XXZZ ee YYZZ)) aaoo rreeddoorr ddee uumm ppoonnttoo.. CCoommoo eexxiisstteemm 33 ccoommppoonneenntteess eemm ccaaddaa ppllaannoo,, eennttoo eexxiissttiirroo 3333==99 ccoommppoonneenntteess ddee tteennssoo.. PPoorr ccoonnddiieess ddee eeqquuiillbbrriioo,, ooss 66 ((sseeiiss)) ccoommppoonneenntteess ddee tteennssoo ddee cciissaallhhaammeennttoo ddeevveemm sseerr iigguuaaiiss ddooiiss--aa--ddooiiss ppaarraa qquuee oo ccoorrppoo ppeerrmmaanneeaa eemm rreeppoouussoo ((sseemm mmoovviimmeennttooss ddee rroottaaoo,, ddeevviiddoo aaoo ttoorrqquuee qquuee sseerriiaa ggeerraaddoo ppoorr ccoommppoonneenntteess cciissaallhhaanntteess aassssiimmttrriiccooss))..

AA rreepprreesseennttaaoo ccoommpplleettaa ddee uumm eessttaaddoo ddee tteennsseess nnoo eessppaaoo eesstt vviinnccuullaaddaa aa iinnffoorrmmaaoo ddee ttooddooss ooss vvaalloorreess ddeesstteess ccoommppoonneenntteess ddee tteennssoo.. AA ffiigguurraa 11..66 iilluussttrraa ttooddooss ooss vveettoorreess eennvvoollvviiddooss nnaa rreepprreesseennttaaoo ddoo eessttaaddoo ddee tteennsseess ddee uumm nniiccoo ppoonnttoo.. AAoo llaaddoo eessttoo ddiissppoossttaass aallgguummaass ddaass nnoottaaeess mmaaiiss uussuuaaiiss qquuee ssoo eennccoonnttrraaddaass nnaa bbiibblliiooggrraaffiiaa.. NNeessttee ccuurrssoo,, sseerr aaddoottaaddaa aa pprriimmeeiirraa nnoottaaoo ddaa eessqquueerrddaa ppaarraa aa ddiirreeiittaa ((xxxx,, yyyy,, zzzz,, xxyy,, yyzz ee xxzz))..

FFiigguurraa 11..66 RReepprreesseennttaaoo vveettoorriiaall ddoo eessttaaddoo ddee tteennsseess nnaa vviizziinnhhaannaa ddee uumm ppoonnttoo..

AA mmaanneeiirraa mmaaiiss pprrttiiccaa ddee ffaazzeerr eessttaa rreepprreesseennttaaoo nnaa ffoorrmmaa ddee uumm tteennssoorr ddee tteennsseess,, qquuee uummaa mmaattrriizz ddee nnmmeerrooss ccoonnffoorrmmee mmoossttrraaddaa aabbaaiixxoo::

EEssttaa nnoottaaoo mmuuiittoo ttiill ppoorrqquuee ppeerrmmiittee aa oobbsseerrvvaaoo mmaaiiss ggeerraall ddoo eessttaaddoo ddee tteennsseess ddoo mmaatteerriiaall eemm uummaa nniiccaa rreepprreesseennttaaoo mmaatteemmttiiccaa..

EEssttaa mmaattrriizz eesstt vviinnccuullaaddaa aa uumm ccoonnjjuunnttoo ddee ppllaannooss ddeeffiinniiddooss sseegguunnddoo uumm ssiisstteemmaa ddee eeiixxooss XXYYZZ,, qquuee ppooddee tteerr qquuaallqquueerr oorriieennttaaoo,, aa pprriinnccppiioo.. EExxiisstteemm ttrraannssffoorrmmaaeess mmaatteemmttiiccaass qquuee ppeerrmmiitteemm aa ttrraannssffoorrmmaaoo ddee uumm tteennssoorr ddee tteennsseess oobbttiiddoo ppoorr mmeeiioo ddee uumm ssiisstteemmaa ddee rreeffeerrnncciiaa XX11YY11ZZ11 ppaarraa uumm ssiisstteemmaa ddee rreeffeerrnncciiaa XX22YY22ZZ22..

PPooddee--ssee pprroovvaarr mmaatteemmaattiiccaammeennttee qquuee eexxiissttee uummaa nniiccaa oorriieennttaaoo ddeesstteess eeiixxooss qquuee ooffeerreecceerr uummaa mmaattrriizz ddee tteennsseess,, nnaa qquuaall aass tteennsseess ddee cciissaallhhaammeennttoo ssoo nnuullaass.. NNeessttee ccaassoo,, aass tteennsseess nnoorrmmaaiiss ssoo ccoonnhheecciiddaass ccoommoo tteennsseess pprriinncciippaaiiss ddoo eessttaaddoo ddee tteennsseess.. AA ffiigguurraa 11..77

mmoossttrraa ccoommoo ppooddee sseerr ffeeiittoo oo ccllccuulloo ddaass tteennsseess pprriinncciippaaiiss:: nnoo ccaassoo ggeerraall,, ddeevvee--ssee rreessoollvveerr uumm ssiisstteemmaa ddoo tteerrcceeiirroo ggrraauu..

NNaa pprrttiiccaa,, ppaarraa ffaacciilliittaarr oo eessttuuddoo ddaass tteennsseess eennvvoollvviiddaass nnooss pprroocceessssooss ddee ffaabbrriiccaaoo,, ooss tteennssoorreess ddee tteennssoo ssoo rreedduuzziiddooss aa tteennssoorreess mmaaiiss ssiimmpplleess,, sseejjaa ppeellaa ccoonnvveenniieennttee eessccoollhhaa ddaa ddiirreeoo ddoo ssiisstteemmaa ddee ccoooorrddeennaaddaass oouu sseejjaa ppeellaa ssiimmpplliiffiiccaaoo ((ddeesspprreezzoo)) ddooss vvaalloorreess ddooss ccoommppoonneenntteess ddee tteennssoo eemm uummaa ddeetteerrmmiinnaaddaa ddiirreeoo,, nnoorrmmaallmmeennttee aa eessppeessssuurraa ppaarraa mmaatteerriiaaiiss ffiinnooss..

FFiigguurraa 11..77 MMeettooddoollooggiiaa ddee ccllccuulloo ddaass tteennsseess pprriinncciippaaiiss.. OOss vvaalloorreess ddee II11,, II22 ee II33 ttaammbbmm ssoo ccoonnhheecciiddooss ccoommoo iinnvvaarriiaanntteess ddee tteennssoo ppoorr nnoo tteerreemm ooss sseeuuss vvaalloorreess aalltteerraaddooss ccoomm aa mmuuddaannaa ddaa ddiirreeoo ddee ccllccuulloo ddoo eessttaaddoo ddee tteennsseess ssoobbrree oo mmeessmmoo ppoonnttoo mmaatteerriiaall..

ccoommuumm aa oorrddeennaaoo ddaass tteennsseess pprriinncciippaaiiss ddaa ffoorrmmaa mmoossttrraaddaa ppeellaa eeqquuaaoo 11..55 ppaarraa aa eexxeeccuuoo ddee ccllccuullooss mmaatteemmttiiccooss.. AAssssiimm,, rreeccoommeennddaa--ssee qquuee aa ppoossiioo rreellaattiivvaa ddeessttaass tteennsseess pprriinncciippaaiiss nnaa rreepprreesseennttaaoo tteennssoorriiaall ccoonnffoorrmmee mmoossttrraaddoo aabbaaiixxoo..

11 22 33 ((11..55))

3

2

1

00

00

00

PPoorr oouuttrroo llaaddoo,, aa mmaattrriizz ddee tteennsseess ppooddee sseerr ddeeccoommppoossttaa eemm dduuaass ccoommppoonneenntteess,, uummaa

cchhaammaaddaa hhiiddrroossttttiiccaa ee oouuttrraa cchhaammaaddaa ddeessvviiaattrriiaa,, sseegguunnddoo mmoossttrraaddoo ppeellaa eeqquuaaoo 11..66,, oouu ggrraaffiiccaammeennttee ppeellaa ffiigguurraa 11..88..

+

=

mzzyzxz

zymyyxy

zxyxmxx

m

m

m

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

00

00

00

((11..66))

oonnddee mm aa tteennssoo nnoorrmmaall mmddiiaa,, ddeeffiinniiddaa ppeellaa eeqquuaaoo 11..77::

33321

++=

++=

zzyyxx

m ((11..77))

FFiigguurraa 11..88 DDeeccoommppoossiioo ddoo eessttaaddoo ddee tteennsseess eemm ccoommppoonneennttee hhiiddrroossttttiiccoo ee ddeessvviiaattrriioo aa ppaarrttiirr ddoo tteennssoorr ddee tteennsseess pprriinncciippaaiiss....

EEsstteess ccoommppoonneenntteess rreepprreesseennttaamm,, ccoommoo sseerr vviissttoo mmaaiiss ttaarrddee,, aa ccaappaacciiddaaddee ddoo eessttaaddoo ddee

tteennsseess eemm pprroovvooccaarr mmuuddaannaa ddee vvoolluummee ((ccoommppoonneennttee hhiiddrroossttttiiccaa)) oouu vvaarriiaaoo ddee ffoorrmmaa oouu ddeeffoorrmmaaoo ppllssttiiccaa ((ccoommppoonneennttee ddeessvviiaattrriiaa))..

11..44 CCrrccuulloo ddee MMoohhrr

UUmmaa ffoorrmmaa bbaassttaannttee ssiimmpplleess ddee rreepprreesseennttaarr oo eessttaaddoo ddee tteennsseess ddee uumm ppoonnttoo mmaatteerriiaall aattrraavvss ddee uumm ccrrccuulloo ddee MMoohhrr.. EEssttaa ccoonnssttrruuoo ggeeoommttrriiccaa eesstt aassssoocciiaaddaa sseemmpprree aa uumm nniiccoo eessttaaddoo ddee tteennsseess,, nnoo eexxiissttiinnddoo uumm ccrrccuulloo ddee MMoohhrr ppaarraa ddooiiss eessttaaddooss ddee tteennssoo oouu uumm eessttaaddoo ddee tteennsseess qquuee ppoossssuuaa ddooiiss ccrrccuullooss ddee MMoohhrr..

AA vvaannttaaggeemm ddoo ccrrccuulloo ddee MMoohhrr eesstt eemm ppeerrmmiittiirr aa vviissuuaalliizzaaoo rrppiiddaa ddee aallgguummaass ccaarraacctteerrssttiiccaass ddoo eessttaaddoo ddee tteennsseess,, iinncclluussiivvee aa ssuuaa ffaacciilliiddaaddee rreellaattiivvaa eemm pprroodduuzziirr ddeeffoorrmmaaoo ppllssttiiccaa oouu aa ddeetteerrmmiinnaaoo ddaass tteennsseess pprriinncciippaaiiss,, ppaarraa oo ccaassoo ppllaannoo ddee tteennsseess..

PPaarraa oo ccaassoo ppllaannoo ddee tteennsseess,, ssiittuuaaoo nnoorrmmaallmmeennttee eennccoonnttrraaddaa ppaarraa oo ccaassoo ddee mmaatteerriiaaiiss ffiinnooss ((cchhaappaass mmeettlliiccaass)),, qquuaannddoo eessttoo ddiissppoonnvveeiiss aass tteennsseess xx,, yy ee xxyy ((ppooddee--ssee oorriieennttaarr oo ppllaannoo XXYY nnaa ddiirreeoo ddoo ppllaannoo oonnddee aattuuaamm aass tteennsseess)) oo ccrrccuulloo ddee MMoohhrr ppooddee sseerr ccaallccuullaaddoo ccoonnffoorrmmee mmoossttrraaddoo nnaa ffiigguurraa 11..99.. AA ffoorrmmaa mmaaiiss ssiimmpplleess ddee ttrraaaa--lloo mmaarrccaannddoo ssoobbrree uumm ssiisstteemmaa ddee ccoooorrddeennaaddaass ooss ppoonnttooss ccoorrrreessppoonnddeenntteess aa xxxxyy ee yyxxyy,, uunniirr ooss ppoonnttooss ee ppaassssaarr uumm ccrrccuulloo cceennttrraaddoo nnaa rreettaa qquuee uunnee eesstteess ppoonnttooss..

AA iinntteerrcceessssoo ddoo ccrrccuulloo ccoomm oo eeiixxoo hhoorriizzoonnttaall ((ddee tteennsseess nnoorrmmaaiiss)) ooffeerreeccee aass dduuaass tteennsseess pprriinncciippaaiiss ee aa aallttuurraa ooffeerreeccee aa mmxxiimmaa tteennssoo ddee cciissaallhhaammeennttoo ddoo eessttaaddoo ddee tteennsseess.. EEssttaa llttiimmaa iinnffoorrmmaaoo iimmppoorrttaannttee ppoorrqquuee rreepprreesseennttaa aa ccaappaacciiddaaddee qquuee oo eessttaaddoo ddee tteennsseess tteemm ddee iinndduuzziirr ddeeffoorrmmaaoo ppllssttiiccaa..

FFiigguurraa 11..99 CCrrccuulloo ddee MMoohhrr ppaarraa oo ccaassoo ppllaannoo ddee

tteennsseess..

PPaarraa oo ccaassoo ggeerraall ((ttrriiddiimmeennssiioonnaall)) ddee tteennsseess,, aa rreepprreesseennttaaoo ddoo ccrrccuulloo ddee MMoohhrr ddeevvee sseerr ffeeiittaa ccoomm bbaassee ssoommeennttee nnaass tteennsseess pprriinncciippaaiiss.. PPoorrttaannttoo uumm tteennssoorr ddee tteennsseess ssoommeennttee ppooddee sseerr rreepprreesseennttaaddoo ppoorr uumm ccrrccuulloo ddee MMoohhrr ccaallccuullaannddoo--ssee aass ssuuaass ccoommppoonneenntteess pprriinncciippaaiiss ddee tteennssoo,, ccoonnffoorrmmee ddeessccrriittoo nnaa ffiigguurraa 11..77..

AA ffiigguurraa 11..1100 iilluussttrraa ccoommoo ttrraaaarr oo ccrrccuulloo ddee MMoohhrr ppaarraa oo ccaassoo ggeerraall ddee tteennsseess,, eemmpprreeggaannddoo--ssee aass tteennsseess pprriinncciippaaiiss aassssiimm ccoommoo vvrriiooss eexxeemmppllooss.. NNaa ffiigguurraa aabbaaiixxoo aass

tteennsseess mmxxiimmaa ddee cciissaallhhaammeennttoo ssoo:: 11==((22--33))//22 ;; 22==((11--33))//22 ;; 33==((11--22))//22.. NNoottaa--ssee qquuee aa mmxxiimmaa tteennssoo ddee cciissaallhhaammeennttoo,, nneessttee ccaassoo,, sseerriiaa 22..

FFiigguurraa 11..1100 CCllccuulloo ddee uumm ccrrccuulloo ddee MMoohhrr ppaarraa eessttaaddooss ddee tteennsseess ttrriiddiimmeennssiioonnaaiiss..

11..55 CCoonncceeiittoo ddee ddeeffoorrmmaaoo

AA mmaanneeiirraa mmaaiiss ffcciill ddee ddeeffiinniirr ddeeffoorrmmaaoo ppeellaa rraazzoo eennttrree aa ddiiffeerreennaa ddaass ddiimmeennsseess ffiinnaaiiss ee iinniicciiaaiiss ddee uumm mmaatteerriiaall ddiivviiddiiddoo ((nnoorrmmaalliizzaaddoo)) ppeelloo vvaalloorr iinniicciiaall ddeessttaa ddiimmeennssoo.. AA ffiigguurraa 11..1111 mmoossttrraa uumm eessqquueemmaa ssiimmpplleess uuttiilliizzaaddoo nnaa ddeeffiinniioo ddee ddeeffoorrmmaaoo lliinneeaarr oouu nnoorrmmaall ee aa eeqquuaaoo 11..88 iilluussttrraa aa ddeeffiinniioo ddee ddeeffoorrmmaaoo iinnffiinniitteessiimmaall,, ssiimmiillaarrmmeennttee ddeeffiinniioo ddee tteennssoo aattuuaannttee eemm uumm ppoonnttoo,, ccoonnffoorrmmee ddeeffiinniiddoo nnaa eeqquuaaoo ((11..11))..

((11..88))

FFiigguurraa 11..1111 DDeeffiinniioo iinnffiinniitteessiimmaall ddee ddeeffoorrmmaaoo nnoorrmmaall..

DDaa mmeessmmaa mmaanneeiirraa ppooddee--ssee ddeeffiinniirr ddeeffoorrmmaaoo cciissaallhhaannttee ccoommoo sseennddoo aa rreellaaoo eennttrree oo ddeessllooccaammeennttoo ((aa)) ddee uumm mmaatteerriiaall aaoo lloonnggoo ddee uumm ddeetteerrmmiinnaaddoo ccoommpprriimmeennttoo ((hh)),, ccoonnffoorrmmee ddeeffiinniiddoo nnaa ffiigguurraa 11..1122,, ppoorr mmeeiioo ddee uummaa tteennssoo ddee cciissaallhhaammeennttoo.. DDee mmaanneeiirraa ggeerraall,, aass ddeeffoorrmmaaeess ppooddeemm sseerr ddeeffiinniiddaass,, iinnffiinniitteessiimmaallmmeennttee,, ccoonnffoorrmmee mmoossttrraaddoo nnaa ffiigguurraa 11..1122..

FFiigguurraa 11..1111 DDeeffiinniioo mmaaccrroossccppiiccaa ddee ddeeffoorrmmaaoo cciissaallhhaannttee..

FFiigguurraa 11..1122 DDeeffiinniioo iinnffiinniitteessiinnaall ddee uumm tteennssoorr ddee ddeeffoorrmmaaeess..

DDee uumm mmooddoo ggeerraall,, ttooddaass ooss ddeesseennvvoollvviimmeennttooss ddee rreepprreesseennttaaoo ppoorr tteennssoorreess,, ccllccuullooss

ddooss ccoommppoonneenntteess pprriinncciippaaiiss ((oouu ddeeffoorrmmaaeess pprriinncciippaaiiss:: 11,, 22 ee 33)),, aassssiimm ccoomm oo ccrrccuulloo ddee MMoohhrr ppooddeemm sseerr eemmpprreeggaaddaass ppaarraa aass ddeeffoorrmmaaeess.. EEssttee ttiippoo ddee aassssuunnttoo nnoo sseerr ttrraattaaddoo nneessttee ccuurrssoo,, ssee oo aalluunnoo ttiivveerr iinntteerreessssee ppooddeerr ccoonnssuullttaarr rreeffeerrnncciiaass ttaaiiss ccoommoo DDiieetteerr ((11998866))..

NNaa ddeeffiinniioo ddaa ffiigguurraa 11..1122 ssoo aass ddeeffoorrmmaaeess ssoo ccoonnssiiddeerraaddaass iinnffiinniitteessiimmaaiiss.. NNoo

ccaassoo ddee cciissaallhhaammeennttoo mmaaccrroossccppiiccoo (()) ddeevvee--ssee ttoommaarr ccuuiiddaaddoo ddee ccoonnssiiddeerraarr aass rreellaaeess ddaass eeqquuaaeess 11..99 aa 11..1111,, ppooiiss aa rriiggiiddeezz ddoo mmaatteerriiaall ((GG)) mmeeddiiddaa ssoobb eessttaass cciirrccuunnssttnncciiaass..

yxxyxy eex

v

y

u+=

+

= ((11..99))

zxxzxz eez

u

x

w+=

+

= ((11..1100))

zyyzyz eez

v

y

w+=

+

= ((11..1111))

PPoorr oouuttrroo llaaddoo,, aa ddeeffiinniioo ccoonnvveenncciioonnaall ((oouu ddee EEnnggeennhhaarriiaa)) ddaa ddeeffoorrmmaaoo nnaa ffoorrmmaa

ddaa ccllssssiiccaa rreellaaoo LL//LL00 nnoo rreepprreesseennttaa oo rreeaall eessttaaddoo ddee ddeeffoorrmmaaeess ddee uumm ccoorrppoo.. NNeessttee ccaassoo,, aa ssoommaa ddaass ddeeffoorrmmaaeess ccaallccuullaaddaass eemm eettaappaass iinntteerrmmeeddiirriiaass ddee uumm pprroocceessssoo ddee ddeeffoorrmmaaoo ccoonnttnnuuoo nnoo ooffeerreeccee oo vvaalloorr ffiinnaall ddee ddeeffoorrmmaaoo rreeaall,, ccoonnffoorrmmee sseerriiaa eessppeerraaddoo..

SSuuppoonnddoo uumm pprroocceessssoo ccoonnttnnuuoo ddee ccoommpprreessssoo ddee uumm ttaarruuggoo ddee mmaatteerriiaall mmeettlliiccoo ccoomm 1100ccmm ddee aallttuurraa iinniicciiaall ((00)) aatt aa aallttuurraa ddee 11ccmm ffiinnaall ((FF)).. EEmm uumm ddaaddoo mmoommeennttoo iinntteerrmmeeddiirriioo ((II)) oo mmaatteerriiaall aapprreesseennttaarr uummaa aallttuurraa ddee 55ccmm.. AA ttaabbeellaa II..11 aapprreesseennttaa aass ddeeffoorrmmaaeess nnoorrmmaaiiss eexxppeerriimmeennttaaddaass ppoorr eessttee ttaarruuggoo nnaa ddiirreeoo ddee ssuuaa aallttuurraa..

TTaabbeellaa II..11 DDeeffoorrmmaaeess aapprreesseennttaaddaass ppoorr uumm ttaarruuggoo sseennddoo ccoommpprriimmiiddoo..

EEttaappaa 00 -- IInniicciiaall II -- MMeeddiiaannaa FF FFiinnaall

AAllttuurraa ((ccmm)) 1100 55 11

DDeeffoorrmmaaoo

((ee==LL//LL00)) 00 ((LLMM LLII))//LLII ==55//1100 == 5500%% ((LLFF LLMM))//LLMM ==44//55 == 8800%%

DDeeffoorrmmaaoo aaccuummuullaaddaa

00++5500 == 5500%% 00++ 5500++8800==113300%%

DDeeffoorrmmaaoo ttoottaall

((LLFF LLII))//LLII ==99//1100 == 9900%%

NNoottaa--ssee qquuee aa ssoommaa ddaass ddeeffoorrmmaaeess ddooss pprroocceessssooss iinntteerrmmeeddiirriiooss ((00MM)) ee ((MMFF)),, qquuee rreessuullttoouu eemm 113300%%,, nnoo ooffeerreecceeuu oo mmeessmmoo rreessuullttaaddoo ddaa ddeeffoorrmmaaoo ccaallccuullaaddaa ddiirreettaammeennttee

ddoo ppaassssoo iinniicciiaall ppaarraa oo ppaassssoo ffiinnaall ((00FF)),, qquuee rreessuullttoouu eemm 9900%%.. NNeessttee ccaassoo,, uuttiilliizzaa--ssee oo ccoonncceeiittoo ddee tteennssoo rreeaall nnaa ddeeffiinniioo ddee vvaalloorreess ddee ddeeffoorrmmaaoo

oobbttiiddooss nnooss pprroocceessssooss ddee ccoonnffoorrmmaaoo mmeeccnniiccaa,, pprriinncciippaallmmeennttee ppaarraa mmaaiioorreess ddeeffoorrmmaaeess.. CCoonnssiiddeerraannddoo--ssee oo ccaassoo aanntteerriioorr,, ppoorrmm ccoomm ddeeccrrsscciimmooss iinnffiinniitteessiimmaaiiss ddee ddeeffoorrmmaaoo ddll ((ddll

TTaabbeellaa II..22 DDeeffoorrmmaaeess aapprreesseennttaaddaass ppoorr uumm ttaarruuggoo sseennddoo ccoommpprriimmiiddoo iinnffiinniitteessiinnaallmmeennttee..

EEttaappaa 00 --

IInniicciiaall 11 22 ...... ii ...... NN

AAllttuurraa ((ccmm)) 1100 oouu LL00 1100++ddll oouu

LL00++ddll LL00++22ddll ...... LL00++iiddll ...... LL00++nnddll

DDeeffoorrmmaaoo

((ee==LL//LL00)) 00 ddll//LL00 ddll//((LL00++ddll)) ......

ddll//[[LL00++

((ii--11))**ddll]] ......

ddll//[[LL00++

((nn--11))**ddll]]

DDeeffoorrmmaaoo aaccuummuullaaddaa

00++ ddll// LL00 00++ ddll// LL00++ ddll//((LL00++ddll))

...... [[LL00++

((ii--11))**ddll]] ......

EEqquuaaoo 11..1122

==+ =

fF

L

L

l

Ldl

n

i l

dl

l

dliml

dliL

dl

000

0 0

oouu

0

lnL

LF=

((11..1122))

AA ddeeffiinniioo ddee ddeeffoorrmmaaoo rreeaall,, nnaa ffoorrmmaa llooggaarrttmmiiccaa bbaasseeiiaa--ssee nnoo ssoommaattrriioo ddee ttooddooss ooss pprroocceessssooss iinnffiinniitteessiimmaaiiss ddee ddeeffoorrmmaaoo.. AAssssiimm oo ssoommaattrriioo ddee ddeeffoorrmmaaeess eemm eettaappaass iinntteerrmmeeddiirriiaass ddaa ccoonnffoorrmmaaoo ppllssttiiccaa ssee mmaanntteerr.. PPooddee--ssee aapplliiccaarr aa eeqquuaaoo 11..1122 nnoo eexxeemmpplloo ddaa ttaabbeellaa II..11 ee vveerriiffiiccaarr eessttaa rreeaalliiddaaddee..

AAssssiimm sseennddoo,, ddaa mmeessmmaa mmaanneeiirraa ccoommoo ssee ppooddee ddeeffiinniirr uumm eessttaaddoo ddee tteennsseess ppoorr mmeeiioo ddee uumm tteennssoorr ddee tteennsseess,, ttaammbbmm ppooddee sseerr ddeeffiinniiddoo uumm eessttaaddoo ddee ddeeffoorrmmaaeess ppoorr mmeeiioo ddee uumm tteennssoorr ddee ddeeffoorrmmaaeess ddoo ttiippoo::

ZZYZX

YZYYX

XZXYX

DDeevviiddoo ffoorrmmuullaaoo mmaatteemmttiiccaa ddee aammbbaass aass ffoorrmmaass ddee mmeeddiioo ddee ddeeffoorrmmaaoo,, aa ddiiffeerreennaa eennttrree eessttaass sseerr ttaannttoo mmaaiioorr qquuaannttoo mmaaiioorr ffoorr aa ddiiffeerreennaa eennttrree aass ddiimmeennsseess iinniicciiaaiiss ee ffiinnaaiiss ddoo mmaatteerriiaall ddeeffoorrmmaaddoo.. PPaarraa ppeeqquueennaass ddeeffoorrmmaaeess aass dduuaass ffoorrmmaass ddee ddeeffoorrmmaaoo ssoo pprraattiiccaammeennttee iigguuaaiiss.. NNoo rreeggiimmee ddee ddeeffoorrmmaaoo eellssttiiccaa,, ccoommoo aass ddeeffoorrmmaaeess eennvvoollvviiddaass

ssoo mmuuiittoo ppeeqquueennaass,, ppooddee--ssee aaddoottaarr eessttaa aapprrooxxiimmaaoo ((ee == ))..

11..66 RReellaaeess eennttrree tteennssoo ee ddeeffoorrmmaaoo nnoo rreeggiimmee eellssttiiccoo

AA rreellaaoo eennttrree tteennssoo ee ddeeffoorrmmaaoo mmaaiiss ccoonnhheecciiddaa aa lleeii ddee HHooookkee,, sseegguunnddoo mmoossttrraaddaa ppeellaa eeqquuaaoo 11..1133,, aabbaaiixxoo::

== EE ((11..1133))

oonnddee EE oo mmdduulloo ddee eellaassttiicciiddaaddee ddoo mmaatteerriiaall..

EEssttaa rreellaaoo vvlliiddaa ssoobb cceerrttaass cciirrccuunnssttnncciiaass ssiimmpplliiffiiccaaddoorraass ((ppoorr eexxeemmpplloo:: mmaatteerriiaall iissoottrrppiiccoo11 ee hhoommooggnneeoo)).. AA lleeii ddee HHooookkee mmaaiiss ggeerraall mmuuiittoo sseemmeellhhaannttee aa eeqquuaaoo 11..1144,,

ppoorrmm rreellaacciioonnaannddoo oo tteennssoorr ddee tteennsseess ((iijj)),, mmoossttrraaddoo nnoo iitteemm 11..33,, ccoomm oo tteennssoorr ddee ddeeffoorrmmaaeess,, mmoossttrraaddoo nnaa ppggiinnaa aanntteerriioorr.. AA eexxpprreessssoo ggeerraall ddaa lleeii ddee HHooookkee ::

iijj == CCiijjkkllkkll ((ii,, jj,, kk,, ll == 11,,22 ee 33)) ((11..1144))

OOss vvaalloorreess ddaass ccoonnssttaanntteess ddee rriiggiiddeezz ((CCiijjkkll)) ppooddeemm sseerr bbaassttaannttee ccoommpplleexxooss qquuaannddoo ssee ttrraattaa ddee mmaatteerriiaaiiss nnoo iissoottrrppiiccooss.. EEmm ggeerraall,, ooss mmeettaaiiss ppooddeemm sseerr ccoonnssiiddeerraaddooss ssuuffiicciieenntteemmeennttee iissoottrrppiiccooss ppaarraa vvaalleerr aass ssiimmpplliiffiiccaaeess ddeessttaa lleeii,, sseegguunnddoo mmoossttrraaddoo nnaass ttaabbeellaass II..22 ee II..33,, aa sseegguuiirr..

TTaabbeellaa II..22 RReellaaeess eennttrree tteennssoo ee ddeeffoorrmmaaoo nnoo rreeggiimmee eellssttiiccoo..

DDEEFFOORRMMAAOO EEMM FFUUNNOO DDAA TTEENNSSOO TTEENNSSOO EEMM FFUUNNOO DDAA DDEEFFOORRMMAAOO

TTaabbeellaa II..33 RReessuummoo ddaass rreellaaeess eennttrree tteennsseess ee ddeeffoorrmmaaeess nnoo rreeggiimmee eellssttiiccoo..

TTeennssoo DDeeffoorrmmaaoo nnaa ddiirreeoo XX

DDeeffoorrmmaaoo nnaa ddiirreeoo YY

DDeeffoorrmmaaoo nnaa ddiirreeoo ZZ

OOss vvaalloorreess ddooss ppaarrmmeettrrooss EE,, GG ee ssoo ddeetteerrmmiinnaaddooss eemm ccoonnvveenniieenntteess eennssaaiiooss mmeeccnniiccooss.. AA ttaabbeellaa II..44 ooffeerreeccee aallgguunnss vvaalloorreess ddeessttaass vvaarriivveeiiss,, sseegguunnddoo cciittaaddoo ppoorr MMoouurraa BBrraannccoo ((11999944))..

11 QQuuaannddoo aass pprroopprriieeddaaddeess qquuee oo mmaatteerriiaall aapprreesseennttaa iinnddeeppeennddeemm ddaa ddiirreeoo eemm qquuee aass mmeessmmaass ssoo ccoonnssiiddeerraaddaass..