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Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira

Circuitos Lógicos Álgebra Booleana

Simplificação de circuitos lógicos

Prof.: Daniel D. Silveira

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Álgebra de Boole

• Variáveis booleanas são representadas através de letras e podem assumir dois apenas dois valores 0 e 1

• Expressão booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são booleanas

• Através de postulados, propriedades, teoremas fundamentais e identidades da álgebra de Boole é possível a simplificação das expressões que representam os circuitos lógicos

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• Postulado da complementação

Seja o complemento de A:

Através do postulado, estabelecemos a seguinte identidade:

3

Postulados

A

0A 1ASe , logo

1A 0ASe , logo

0A 1ASe , logo

1A 0ASe , logo

, e se 1A , logo 0A

, e se , logo 1A0A

Assim sendo, podemos escrever: AA


Postulados • Postulado da adição: As regras da adição na álgebra de Boole são:

Através do postulado podemos definir as seguintes identidades:

A+0=A, se A=0=>0+0=0 ; se A=1=>1+0=1

A+1=1, se A=0=>0+1=1 ; se A=1=>1+1=1

A+A=A, se A=0=>0+0=0 ; se A=1=>1+1=1

, se A=0=>0+1=1 ; se A=1=>1+0=1

4

1 AA

1o) 0+0=0

2o) 0+1=1

3o) 1+0=1

4o) 1+1=1


Postulados

• Postulado da Multiplicação: As regras da multiplicação booleana são

Através do postulado, podemos estabelecer as identidades:

A.0=0, se A=0=>0.0=0; se A=1=> 0.1=0

A.1=A, se A=0=>0.1=0; se A=1=> 1.1=1

A.A=A, se A=0=>0.0=0; se A=1=> 1.1=1

=0, se A=0=>0.1=0; se A=1=> 1.0=0

5

AA.

1o) 0.0=0

2o) 0.1=0

3o) 1.0=0

4o) 1.1=1


Propriedades • Propriedade comutativa na adição:

A+B=B+A

• Propriedade comutativa na multiplicação:

A.B=B.A

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Propriedades

• Propriedade associativa na adição:

A + (B + C)=(A + B) + C=A + B + C

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Propriedades

• Propriedade associativa na multiplicação:

A . (B . C)=(A . B) . C= A . B . C

8


Propriedades

• Propriedade distributiva:

A. (B + C)= A . B + A . C

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Teoremas de De Morgan

• O complemento do produto é igual a soma dos complementos

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BABA .

)...(..... NCBANCBA


Teoremas de De Morgan • O complemento do a soma é igual ao produto dos complementos (extensão do primeiro teorema)

Seja o 1o. Teorema:

Reescrevendo assim:

E chamando de X e de Y

Tem-se o 2o teorema:

11

BABA .

)(. BABA

A B

YXYX .

NCBANCBA .....)...(


Identidades auxiliares

• A + AB=A => A(1+B)=A

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BAABAA

BABAA

..

.

Identidade: AA

BABAA

BA

BA

BAAA

BAA

BAABAA

.

.

)..(

).(

)..(. 2o Teorema de De Morgan

1o Teorema de De Morgan

Propriedade distributiva e identidade

1o Teorema de De Morgan

0. AA


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Identidades auxiliares

BCACABA

BCA

BCCBA

CBCBAA

CBCABAA

CBCABAAA

BACBAACABA

CBACABA

)).((

.1.

.)1.(

.).(

...

....

)()()).((

.)).(( Propriedades utilizadas:

Distributiva

Distributiva

A.A=A

1+A=1 e A.1=A


Quadro Resumo

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Identidades

Complementação Adição Multiplicação

A+0=A A.0=0

A+1=1 A.1=A

A+A=A A.A=A

Postulados

Complementação Adição Multiplicação

0+0=0 0.0=0

0+1=1 0.1=0

1+0=1 1.0=0

1+1=1 1.1=1


Simplificação de Expressões Booleanas

• Simplificações de expressões implicam em simplificações de circuitos

• São possíveis dois métodos para se realizar simplificações de expressões:

Álgebra de Boole

Mapas de Veitch-Karnaugh

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Simplificação de expressões booleanas

• Exemplo

Seja simplificar a expressão:

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BACAABCS

)( BCBCAS

)]([ BCBCAS

)]([ BCBCAS

)]([ BCBCAS

AYYAS ][

Evidenciando o termo A

De Morgan e, chamando BC de Y

Associativa

AA


Simplificação de expressões booleanas

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Exercícios propostos

Simplifique as expressões abaixo:

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CBACBAS .1

ACDCDBACS 2

BCDCBAS .3

CBACBAS .4

CABABCCBABCACBAS ..5

BADCBAS .}].)([{6

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