circuitos ii (1)
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es una iniciación a los circuitos acTRANSCRIPT
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IE-311
Circuitos Elctricos II
LA FUNCIN DE
TRANSFERENCIA Ya se estableci una relacin entre las transformadas de Laplace de una Salida sobre una entrada, identificndola
como Funcin de Transferencia.
Particularmente se identificaron las funciones de Impedancia y Admitancia, cuando tanto la entrada y la
salida es tomada en el mismo punto, es decir el mismo par
de terminales o puerto.
N +
V
-
I En este caso la
Entrada puede ser
voltaje o corriente.
As mismo la Salida
puede ser voltaje o
corriente
LA FUNCIN DE
TRANSFERENCIA De acuerdo a lo anterior podemos definir, en el Dominio S (Transformada):
Y con las consideraciones anteriores:
Debido a que tanto la entrada como la salida se toman en el mismo puerto y es el lugar por donde el circuito se excita
o se alimenta, estas funciones se conocen como Funciones
de Punto Impulsor.
Impedancia
de Punto
Impulsor
Admitancia
de Punto
Impulsor
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LA FUNCIN DE
TRANSFERENCIA Pero cuando consideramos dos puntos distintos de la red, las posibilidades de combinaciones aumentan:
De tal forma que podemos combinar, entradas y salidas en distintos puntos:
I1
N +
V1 -
+
V2 -
I2
Impedancia
de
Transferencia
Ganancia
de
Voltaje
Admitancia
de
Transferencia
Ganancia
de
Corriente
LA FUNCIN DE
TRANSFERENCIA La estrategia para calcular estas funciones de transferencia es igual que las usadas para encontrar una relacin V-I,
cualquiera.
Implcitamente se supone una fuente del tipo adecuado en la entrada y se encuentra la salida deseada.
Impedancia de
Punto Impulsor
N I1 V1
I2
+
V2 -
+
V1 -
Impedancia de
Transferencia
Ganancia de
Corriente I1
Admitancia de
Punto Impulsor Ganancia de
Voltaje
Admitancia de
Transferencia
LA FUNCIN DE
TRANSFERENCIA Los Parmetros de Dos Puertos, son tipos especiales de Funciones de Transferencia.
Como se puede concluir, estos parmetros son un conjunto de funciones de transferencia que generalmente mantienen
una relacin o funcionalidad comn (Exceptuando quizs los
Hbridos).
Dichas funciones se calculan en condiciones especiales de los puertos de salida (Circuito Abierto o Corto Circuito)
N
I2
+
V2 -
+
V1 -
I1
-
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LA FUNCIN DE
TRANSFERENCIA
FRECUENCIA COMPLEJA. Hasta ahora, se ha visto que la transformacin al Dominio S y la funcin de transferencia son tcnicas que
simplifican el anlisis de redes elctricas.
Que significado tiene esta transformacin? El Dominio S al igual que el Dominio tiempo (t) permite estudiar el comportamiento (respuestas) de circuitos a
objeto de entender las diversas aplicaciones de stos.
Hay que tener claro lo que significa esta variable S. En las aplicaciones de ingeniera la variable S se define como la frecuencia compleja.
FRECUENCIA COMPLEJA.
Cualquier Funcin en el Dominio t puede escribirse de la forma:
Donde X y s son constantes complejas, independientes del tiempo.
En este caso se dice que x (t) est caracterizada por la
frecuencia compleja s. Como S es un nmero complejo se acostumbra identificarla como:
Al tener una expresin en el dominio S, podemos estudiarla conforme a la variacin de este parmetro.
Siendo S un nmero complejo, se recordar que estas cantidades se ubican en el plano complejo.
A
x
y
Re
Im
FRECUENCIA COMPLEJA.
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Cada una de las componentes de la expresin tiene un significado fsico:
representa una velocidad angular (radianes/segundo) a la que el nmero complejo puede girar, de esta forma el
nmero complejo vara, ya que cambian su parte real e
imaginaria. es conocida como Frecuencia Real (No Confundir).
Re
Im
FRECUENCIA COMPLEJA.
Al valor de se le suma la parte real .
se le conoce como frecuencia de amortiguamiento y se mide en Neper/segundo. Tambin se conoce como
frecuencia neper.
Como el nombre lo sugiere y remontndonos a la expresin de x(t) antes establecida, forma parte de la parte denominada envolvente y que de cierta manera amortigua la oscilacin de la seal con frecuencia angular . La presencia de hace entonces que la magnitud de la rotacin vare.
FRECUENCIA COMPLEJA.
S entonces puede considerarse una cantidad compleja con el siguiente comportamiento:
De forma general en el dominio t sera una funcin oscilatoria exponencial creciente o decreciente.
Re
Im
FRECUENCIA COMPLEJA.
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x(t) =Kest
v(t) = V0
v(t) = Vmest
v(t) = Vmcos (wt + )
s = 0
= frecuencia neper
= frecuencia real
v(t) = Vmest cos (wt + )
s 0
FRECUENCIA COMPLEJA.
s = + j
RESPUESTA EN t SEGN
UBICACIN DE S
t
t
t t
t
t
t
t
t
s
jw
s=0
w=0
s0
LA FUNCIN DE
TRANSFERENCIA Conociendo el significado de S, se retoma la Funcin de Transferencia.
La Funcin de Transferencia tendr la forma general:
Es decir una funcin racional en S, constituida por el cociente de dos polinomios, o sea:
Que puede expresarse como:
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LA FUNCIN DE
TRANSFERENCIA
Donde K es una constante real, algunas veces conocida como Factor de Escala.
Se observa que cuando S toma el valor de cualquier zi la funcin de transferencia se hace cero.
Los zi son conocidos como los Ceros de la Funcin de Transferencia.
Por otra parte, cuando S toma el valor de cualquier pi la funcin de transferencia tiende a infinito.
Los pi son conocidos como los Polos de la Funcin de Transferencia.
FUNCIN DE TRANSFERENCIA POLOS Y CEROS
Los polos y ceros de una funcin de transferencia son muy importantes, y proporcionan valiosa informacin sobre dicha
funcin.
En ambos valores, la funcin de transferencia toma valores crticos, mientras que en otros valores de S el valor de H(s)
es un valor finito.
Una funcin de transferencia queda completamente especificada mediante sus polos, sus ceros y el factor de
escala.
En algunas ocasiones algunos valores zi o pi son iguales. En este caso se dice que el Cero o el Polo tiene Multiplicidad r, donde r es el nmero de veces que se repite
el polo o cero.
A los polos ceros para S= se les asigna tambin un grado. Si n>m entonces el polo en infinito tendr un grado o multiplicidad n-m. Si n
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Los polos y ceros suelen representarse en un Diagrama de Polos y Ceros.
Este es una herramienta muy importante usada en muchas aplicaciones de la ingeniera.
s
jw
X
X
X
O O O
FUNCIN DE TRANSFERENCIA POLOS Y CEROS
Como se mencion los polos y ceros de una funcin de transferencia dan informacin importante sobre la red.
Por ejemplo, en el caso de funciones de punto impulsor:
Los Polos de una Impedancia implican una corriente cero para un voltaje finito, lo que significa un circuito
abierto.
Un cero de Z(s) significa voltaje nulo con una corriente finita, es decir, un corto circuito.
Por tanto, una red de un par de terminales es un circuito abierto para las frecuencias de polo y un corto
circuito para las frecuencias de cero.
FUNCIN DE TRANSFERENCIA POLOS Y CEROS
Lo anterior se puede ver con facilidad en redes de un solo elemento.
Para un capacitor, la impedancia de punto impulsor es Z(s) = 1/sC.
Se observa que tiene un polo en s = 0 y un cero en s =, por lo tanto, se comporta como un circuito abierto para la
frecuencia del polo (s = 0) y como un corto circuito para
frecuencia infinita.
Para un inductor, la impedancia e Z (s) = sL (cero en s=0, polo en s = ) y este elemento se comporta como un corto circuito para frecuencia cero y como un circuito abierto a
una frecuencia infinita.
FUNCIN DE TRANSFERENCIA POLOS Y CEROS
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Otra cuestin importante de la funcin de transferencia se puede deducir de su definicin preliminar, que la define
como la transformada de una salida sobre la transformada de una excitacin.
Cuando deseamos determinar la respuesta, sta se expresa como:
Y al proceder a determinar la transformada inversa, se tienen expresiones como:
FUNCIN DE TRANSFERENCIA POLOS Y CEROS
Donde se ha separado por conveniencia en los dos trminos identificados:
Uno relacionado con la fuente o excitacin (X) Otro principalmente con la red misma (H)
Por tanto, las frecuencias sj son las frecuencias complejas naturales correspondientes a oscilaciones
libres.
Las frecuencias sk son las frecuencias complejas de fuerza impulsora o de excitacin que corresponden a
oscilaciones forzadas.
FUNCIN DE TRANSFERENCIA POLOS Y CEROS
Los polos determinan la forma de onda en funcin del tiempo de la respuesta.
Los ceros determinan la magnitud de cada parte de la respuesta, ya que controlan la magnitud de Kj y Kk .
Es importante recordar, del mtodo de Laplace, que los Kj y Kk resultan de sustituir cada una de las si en la
Funcin de Transferencia principalmente.
Eliminando previamente el factor correspondiente al si en la expresin transformada.
De tal forma que para cada constante Ki asociada con una raz pi (polo) puede establecerse una relacin unvoca
entre dicha constante y el valor de la respuesta
transformada o la funcin de transferencia evaluada en pi
FUNCIN DE TRANSFERENCIA POLOS Y CEROS
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FUNCIONES DE PUNTO IMPULSOR
POLOS Y CEROS CARACTERSTICAS.
En los polinomios N(S) y D(S) los coeficientes ai y bi respectivamente son constantes reales positivas.
Conforme a lo anterior, si cualquiera de los polinomios tiene una raz compleja, su conjugado tambin debe ser
raz del polinomio:
Si no fuese as:
Se obtendran coeficientes complejos
Por lo tanto si una de las races de N(s) o D(s) es un nmero complejo su conjugado tambin es raz.
Por otra parte si consideramos redes compuestas slo de elementos pasivos, la excitacin debida a una condicin
inicial en el elemento da como resultado una salida
limitada, lo cual significa una salida que nunca se hace
infinita sea cual fuere la duracin que se considere.
En este sentido respuestas crecientes indefinidamente no pueden existir.
Por lo que las ubicaciones de polos y ceros en el plano s,
deben estar en la mitad izquierda del plano s. Es decir:
s
-
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Cuando se forma el producto de los factores antes descritos no existe forma para que se introduzca un signo
negativo, lo cual significa que todos los coeficientes de
N(s) y D(s) son reales y positivos, como se requiere.
Es posible aplicar el mismo razonamiento para demostrar que ningn coeficiente puede ser cero (ningn trmino
del polinomio puede faltar);a menos que falten todos los
trminos pares o todos los impares
Esto se debe a que no hay forma de introducir signos negativos, y sin trminos negativos que cancelen a los
positivos no es posible que un coeficiente sea cero.
POLOS Y CEROS CARACTERSTICAS.
FUNCIONES DE PUNTO IMPULSOR
Si un polinomio p(s) se compone exclusivamente de factores del tipo de S2+d, entonces p(s) es un polinomio par
y los coeficientes de todos los trminos impares son cero.
Si p(s) tiene un cero simple en el origen, los trminos S2+d se multiplican por s y se obtiene como resultado un
polinomio impar, lo que significa que los coeficientes de
todos los trminos pares son cero.
De acuerdo a lo antes establecido, la impedancia y admitancia de un inductor y un capacitor varan con la
frecuencia compleja (s).
Esto lleva a otra propiedad de estas funciones.
POLOS Y CEROS CARACTERSTICAS.
FUNCIONES DE PUNTO IMPULSOR
A frecuencias muy elevadas, estos dos elementos, ZL= sL y ZC=1/ sC, o sus correspondientes admitancias dominarn la
funcin e la red en el sentido de que ya sea ZL o YC sern
muy grandes en comparacin con cualquier otra impedancia
o admitancia de elemento.
Por lo tanto:
Y fsicamente esta expresin debe corresponder a un elemento L o C.
Por lo tanto, los grados de los polinomios del numerador y del denominador para las funciones de
punto impulsor deben diferir cuando mucho en uno.
POLOS Y CEROS CARACTERSTICAS.
FUNCIONES DE PUNTO IMPULSOR
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Esto es:
Con el mismo anlisis, a frecuencias bajas tambin debe dominar un elemento, por lo tanto:
Por lo tanto, los trminos del grado ms bajo del numerador y el denominador de deben diferir de grado
cuando mucho en uno.
Estas propiedades de las funciones de Punto Impulsor se pueden resumir en la siguiente Tabla.
POLOS Y CEROS CARACTERSTICAS.
FUNCIONES DE PUNTO IMPULSOR
POLOS Y CEROS CARACTERSTICAS.
FUNCIONES DE PUNTO IMPULSOR
1. Los coeficientes de los polinomios N(s) y D(s) de H = D / N deben ser
reales y positivos.
2. Los polos y los ceros deben ser conjugados si son imaginarios o
complejos.
3.
(a) La parte real de todos los polos y ceros debe ser negativo o cero;
adems:
(b) Si la parte real es cero, entonces el polo o el cero debe ser simple.
4.
Los polinomios N(s) y D(s) no deben tener trminos faltantes entre los
de orden ms alto y ms bajo, a menos que falten todos los trminos
pares o todos los impares.
5. El grado N(s) y D(s) puede diferir ya sea en cero o slo en uno.
6. Los trminos de grado ms bajo de N(s) y D(s) pueden diferir en grado
cuando mucho en uno.
Un estudio similar se puede realizar para estudiar los polos y ceros de las otras funciones de transferencia.
Sin embargo, hay que mantener presente que en este caso no existe una relacin de correspondencia entre funciones,
pro ejemplo:
Por lo que muchas restricciones que aplican a polos y ceros de funciones de punto impulsor, solo aplican a los
polos de las funciones de transferencia.
Un resumen de estas propiedades se muestran en la siguiente Tabla.
POLOS Y CEROS CARACTERSTICAS.
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
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POLOS Y CEROS CARACTERSTICAS.
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
1. Los coeficientes de los polinomios N(s) y D(s) deben ser reales y los de
D(s) deben ser Reales y positivos.
2. Los polos y los ceros deben ser conjugados si son imaginarios o
complejos.
3. (a) La parte real los polos debe ser negativo o cero; adems:
(b) Si la parte real es cero, entonces el polo debe ser simple.
4. El polinomio D(s) no deben tener trminos faltantes entre los de orden
ms alto y ms bajo, a menos que falten todos los trminos pares o
todos los impares.
5. N(s) puede tener trminos faltantes entre los de orden ms alto y ms
bajo y algunos coeficientes pueden ser negativos.
6. El grado N(s) puede ser tan pequeo que llegue a cero.
7. (a) Para Av(s) y Ai(s) el grado mximo de N(s) es el grado de D(s) .
(b) Para Z12(s) y Y12(s) el grado mximo de N(s) es el grado de D(s)
ms 1 .
POLOS Y CEROS. APLICACIONES RESPUESTA EN EL TIEMPO
Como se mencion a partir de los polos y ceros podemos determinar la respuesta en el tiempo de la funcin de
transferencia o de una respuesta transformada.
En asignaturas precedentes (Circuitos I) se estudi la respuesta natural de una red, conforme la variacin de dos
parmetros principalmente identificados por y n. Igual anlisis se ha realizado para la ubicacin de s en el Plano Complejo.
Ahora se estudiar con mas detalle lo antes expuesto. En primer lugar, recordar que la funcin de transferencia, por definicin, es independiente de la excitacin.
Esto lleva a concluir que los polos de la funcin de transferencia son las frecuencias naturales del circuito.
POLOS Y CEROS. APLICACIONES RESPUESTA EN EL TIEMPO
En el caso de una respuesta transformada entonces aparecern tanto las frecuencia naturales como frecuencias
particulares, debido a la excitacin de la red.
Sin embargo, el anlisis se puede realizar indistintamente de esta situacin, ya que las frecuencias particulares, son
fcilmente reconocibles porque estn presentes en la
excitacin o fuente del circuito.
Entonces, se recordar que la funcin de transferencia puede expresarse como:
Que tambin puede ser una respuesta transformada.
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POLOS Y CEROS. APLICACIONES RESPUESTA EN EL TIEMPO
Para determinar la respuesta en tiempo por Laplace, debe expandirse esta expresin en Fracciones Parciales.
Es decir:
Cualquiera de las constantes se determina as:
De donde cada constante, ser:
POLOS Y CEROS. APLICACIONES RESPUESTA EN EL TIEMPO
Puesto que cada si en la expresin anterior es un nmero complejo, el resultado ser otro nmero complejo.
El resultado es el producto de las restas de los nmeros complejos resultantes de cada trmino
Como se record, un nmero complejo puede representarse en el Plano como un vector (forma polar), con
una magnitud y un ngulo.
De tal forma que cada constante ser:
Que ser el resultado de todas las magnitudes de cada resta multiplicadas entre s y la suma de los ngulos.
POLOS Y CEROS. APLICACIONES RESPUESTA EN EL TIEMPO
s
jw
X
X
X
O
O
O
Cada lnea o vector es
una diferencia de
nmeros complejos y
por lo tanto tienen
magnitud y ngulo
M1
M2
M3
M4
M5 1
2 3
4
5
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POLOS Y CEROS. APLICACIONES EJEMPLOS