Rotacin de un cuerpo rgidoFsica I

ContenidoVelocidad angular y aceleracin angularCinemtica rotacionalRelaciones angulares y linealesEnerga rotacionalClculo de los momentos de inerciaTeorema de los ejes paralelosEjemplos de momento de inerciaMomento de torsinMomento de torsin y aceleracin angularTrabajo, potencia y energa

Velocidad angular y aceleracin angularRotacin de un cuerpo rgido alrededor de un eje que pasa por O.El punto P se mueve a lo largo de un crculo de radio r. El arco que describe esta dado por:Donde q est medido en radianes.La velocidad angular promedio se define como:

La velocidad angular instantnea es:La aceleracin angular promedio se define como:La aceleracin angular instantnea es:Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partcula sobre un cuerpo rgido tiene la misma velocidad angular y la misma aceleracin angular.

Cinemtica rotacionalLas ecuaciones de cinemtica se cumplen para movimiento rotacional sustituyendo x por q, v por w, a por a. De esta forma si w = w0 y q = q0 en t0 = 0 se tiene:

Relaciones angulares y linealesLa velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular de la siguiente manera:Similarmente para la aceleracin:

La velocidad v siempre es tangente a la trayectoriaLa aceleracin lineal en un punto es a = at +ar

Energa rotacionalUn objeto rgido gira alrededor del eje z con velocidad angular w. La energa cintica de la partcula es:La energa total del objeto es:La energa total de rotacin es la suma de todos los Ki:Donde I es el momento de inercia definido como:

Clculo de los momentos de inerciaEl clculo de momentos de inercia puede hacerse mediante la integral:Para un objeto tridimensional es conveniente utilizar la densidad de volumen:Entonces:

Teorema de los ejes paralelosEl teorema de los ejes paralelos establece que el momento de inercia alrededor de cualquier eje que es paralelo y que se encuantra a una distancia D del eje que pasa por el centro de masa esI = ICM + MD2

Ejemplos de momento de inerciaAro o cascarn cilndricoCilindro huecoCilindro slido o discoBarra delgada larga con eje de rotacin que pasa por el extremo.Barra delgada larga con eje de rotacin que pasa por el centro.Placa rectangularEsfera huecaEsfera slida

Momento de torsinCuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rgido que gira alrededor de un eje, el objeto tiende a girar en torno a ese eje. La tendencia de la fuerza a hacer girar se le llamam momento de torsin t. El momento de torsin asociado con la fuerza F es:t rFsen f = FdDonde d es el brazo de momento (o brazo de palanca) de F.La fuerza F1 tiende a hacer girar contra las manecillas del reloj y F2 a favor de las manecillas del reloj. El momento de torsin es:tneto = t1 + t2 = F1d1 - F2d2

Momento de torsin y aceleracin angularUna partcula de masa m gira alrededor de un crculo de radio r, el momento de torsin alrededor del centro del crculo es:t = Ftr = (mat)rO bien:t = IaEl momento de torsin que acta sobre la partcula es proporcional a su acleracin angular.

Para un cuerpo rgido, el elemento dm tendr una aceleracin angular at. EntoncesdFt = (dm)atEl momento de torsin ser:dt = rdFt = (r dm)at = (r2 dm)aEl momento de torsin total es la integral de este diferencial:

Trabajo, potencia y energaEl trabajo hecho por la fuerza F al girar el cuerpo rgido es:dW = F ds = (F sen f) r dq = t dqLa tasa a la cual se hace trabajo es:Es fcil mostrar que: