cinemática del sólido rígido

10/5/2015 Cinemtica del slido rgido - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Cinemtica del slido rgido

(1)

Figura 1. Concepto de slido rgido.

La cinemtica del slido rgido es una aplicacin de la cinemtica al movimiento de un objeto

tridimensional rgido en el espacio. El movimiento ms general del slido rgido puede considerarse

como la superposicin de dos tipos de movimiento bsicos: detraslacin y de rotacin.

ndice [ocultar]

1 Concepto de slido rgido

2 Condicin cinemtica de rigidez

3 Movimiento de traslacin

4 Movimiento de rotacin

5 Vector velocidad angular

6 Principio de superposicin de movimientos

7 Composicin de rotaciones

7.1 Rotaciones cuyos ejes concurren en un punto

7.2 Par de rotaciones

8 Movimiento rototraslatorio

9 Eje instantneo de rotacin y deslizamiento

10 Teorema de Chasles

11 Axoides. Representacin de Poncelet

12 Aceleracin

13 Vector aceleracin angular

14 Movimiento plano

15 Vase tambin

16 Referencias

16.1 Bibliografa

16.2 Enlaces externos

Concepto de slido rgido [editar]

Entendemos por slido rgido un sistema fsico en el que la

distancia entre dos puntos materiales cualesquiera de ellas

permanece invariable en el transcurso del tiempo. Los

cuerpos slidos que manejamos se deforman siempre, en

mayor o menor grado, cuando estn sometidos a las

acciones de lasfuerzas; sin embargo, si stas son

suficientemente pequeas, las deformaciones producidas

son despreciables y, entonces, hablaremos de cuerpos

rgidos o indeformables. La definicin de slido rgido es

slo conceptual, por cuanto que el slido rgido, en todo

rigor, no existe. En este sentido, el slido rgido es slo una

idealizacin y extrapolacin del slido real, al igual que lo es

la partcula o punto material.

Consideremos un slido rgido y un sistema de coordenadas, xyz, como se muestra en la Figura 1.

Indicaremos por ri y rj los vectores de posicin de dos puntos, Pi y Pj, del slido; la condicin geomtrica

de rigidez se expresa por

que es equivalente a , ya que la raz cuadrada de una constante es otra constante.

La posicin del slido con respecto al sistema de ejes coordenados queda perfectamente determinada si

conocemos la posicin de tres cualesquiera de sus puntos, no alineados, como los puntos 1, 2 y 3 que

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(2)

(1)

(2)

Figura 2. Condicin geomtrica

de rigidez. La distancia entre dos

puntos cualesquiera permanece

constante durante el movimiento.

Figura 3. Condicin cinemtica

de rigidez. Las velocidades de los

puntos alineados pertenecientes a

un slido rgido dan idntica

proyeccin sobre la recta que

definen.

se indican en la Figura 1. Para especificar la posicin de cada uno de ellos se necesitan tres parmetros

o coordenadas; de modo que en total necesitamos, aparentemente, nueve parmetros o coordenadas

para especificar la posicin del slido en el espacio. Los tres puntos que hemos tomado como referencia

estn ligados por las condiciones de rigidez expresadas por [1]; esto es, tres ecuaciones

que nos permiten despejar tres incgnitas en funcin de las dems, de modo que el nmero mnimo de

parmetros o coordenadas necesarias para especificar la posicin del slido es solamente seis.

Decimos que el slido rgido posee seis grados de libertad.

Geomtricamente esto puede interpretarse de la siguiente forma: tres grados de libertad son utilizados

para dar las coordenadas de un punto Pi en el espacio. Una vez fijo dicho punto, cualquier otro punto

Pj del cuerpo rgido tiene su posicin limitada por la condicin de rigidez:

con lo cual el punto Pj solo puede ubicarse en la superficie de la esfera de radio y centro en Pi. Para

dar esta ubicacin solo son necesarios dos grados de libertad. Una vez fijados los puntos Pi y Pj, el

cuerpo rgido puede rotar alrededor del eje que pasa por ambos puntos, con lo cual cualquier otro punto

Pk solo puede describir una circunsferencia alrededor del eje de rotacin. Para determinar en que lugar

de la circunsferencia se encuentra el punto Pkse utiliza el ltimo grado de libertad.

Condicin cinemtica de rigidez [editar]

Para describir el movimiento de un slido rgido deberamos

describir el movimiento de cada uno de los puntos o partculas

materiales que lo constituyen. La situacin puede parecernos

demasiado complicada pero, afortunadamente, la propia condicin

de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de los distintos

puntos materiales del slido, de modo que la situacin se simplifica

enormemente.

Para cada pareja de puntos pertenecientes al slido rgido, la (Pi,Pj)

por ejemplo, podemos escribir la condicin geomtrica de rigidez,

esto es, la ec. [1.1], que derivada con respecto al tiempo nos

conduce a

que tambin podemos escribir en la forma

donde rij y v ij representan, respectivamente, el vector de posicin y

la velocidad de la partcula Pi con respecto a la Pj. La ec. [2]

expresa un resultado importante: al no ser nulos ninguno de los

vectores que intervienen en el producto escalar, han de ser

perpendiculares entre s. Dicho de otro modo: todo vector con sus extremos fijos en el slido rgido (ya

que el rij es vlido para cualquier par de puntos constituyentes del slido) es perpendicular a su

derivada con respecto al tiempo (i.e., a v ij).



(3)

(4)

Figura 4. Movimiento de traslacin.

Figura 5. En el movimiento de

traslacin todos los puntos del slido

tienen la misma velocidad.

La ec. [2] puede escribirse en la forma

o tambin

ecuacin que expresa la igualdad entre las proyecciones de las velocidades de los puntos Pi y Pjsobre

la recta que los une. Este resultado constituye la condicin cinemtica de rigidez que se enuncia as:

Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes al slido rgido dan la misma proyeccin

sobre la recta que los une.

Manifiestamente, la condicin cinemtica de rigidezexpresa la imposibilidad de que se modifique la

distancia entre dos puntos cualesquiera del slido en el transcurso del movimiento de ste, ya que al ser

siempre sus velocidades iguales en la recta que los une, es imposible que alguno se acerque al otro.

El movimiento ms general del slido rgido puede considerarse como la superposicin de dos tipos de

movimiento bsicos: de traslacin y de rotacin.

Movimiento de traslacin [editar]

Elmovimiento de traslacin es el ms sencillo que puede

realizar el slido rgido. Desde un punto de vista geomtrico,

lo podemos definir del modo siguiente:

Se dice que un slido rgido se encuentra animado

de un movimiento de traslacincuando todo

segmento rectilneo definido por dos puntos de aqul

permanece paralelo a si mismo en el transcurso del

movimiento.

Consideremos un slido rgido animado de unmovimiento de

traslacin, como se muestra en la Figura 4. En virtud de

la condicin geomtrica de rigidez, el vector rij = ri-rj debe

mantener constante su mdulo en el transcurso de cualquier

movimiento y, adems, en virtud de la definicin geomtrica

delmovimiento de traslacin, tambin ha de mantener

constante su direccin; entonces, siendo c un vector

constante, se puede escribir:

y derivando con respecto al tiempo

constituyendo esta igualdad la condicin cinemtica

del movimiento de traslacin, esto es:

Todos los puntos de un slido rgido animado de un movimiento de traslacin tienen, en cada

instante, la misma velocidad.

Esa velocidad, comn a todos los puntos del slido, recibe el nombre de velocidad de traslacin del

slido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones pueden aplicarse a

laaceleracin. En consecuencia, una vez definido el movimiento de un punto cualquiera del slido rgido

que se traslada, tenemos definido el movimiento del slido.



(3)

(1)

Figura 6. Movimiento de traslacin de

las barquillas de la noria.

(1)(2)

Figura 7. Movimiento de rotacin. El

vector velocidad angular es nico

(invariante), pero cada punto del slido tiene

una velocidad diferente de la de los otros.

Otra caracterstica importante del movimiento de

traslacin del slido rgido es que las trayectorias recorridas

por sus diversos puntos son congruentes, es decir, una se

puede obtener mediante una translacin de la otra. En efecto,

consideremos de nuevo dos puntos cualesquiera, Pi y Pj,

pertenecientes al slido, y sean ri y rj sus vectores de posicin

con respecto a un cierto origen arbitrario O. Imaginemos un

desplazamiento experimentado en una traslacin del slido, de

modo que los vectores de posicin de esos puntos, con

respecto al mismo origen O, sean ahora ri y rj,

respectivamente. La condicin geomtrica de rigidez junto con

la condicin geomtrica que define al movimiento de traslacin,

se expresa en la forma

de modo que el desplazamiento experimentado por cada uno de los puntos del slido durante un

intervalo de tiempo t es nico. De este resultado, junto con la nocin de la lnea curva como lmite de

una poligonal y de la continuidad del movimiento, se sigue lacongruencia de las trayectorias recorridas

por los distintos puntos del slido rgido.

Es conveniente que insistamos en que el movimiento de traslacin no prejuzga forma alguna para las

trayectorias de los distintos puntos que constituyen el slido. Evidentemente, si la velocidad de

traslacin es constante (v=cte), cada uno de los puntos del slido recorrer una trayectoria

rectilnea con celeridad constante y todas esas trayectorias sern paralelas entre s (movimiento de

traslacin uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslacin no tiene por que ser constante y la

trayectoria puede ser curvilnea. As, por ejemplo, las trayectorias recorridas por los distintos puntos del

cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro.

Esta situacin se presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la Figura; la

armadura de la noria gira en torno al eje (rotacin), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura,

prescindiendo de pequeas oscilaciones pendulares, experimentan una traslacin con trayectoria

circular.

Movimiento de rotacin [editar]

Artculo principal: Movimiento de rotacin

Se dice que unslido rgidoest animado de un movimiento

de rotacin alrededor de un eje fijocuando todos sus

puntos describen trayectorias circulares centradas sobre

dicho eje y contenidas en planos normales a ste.

El eje de rotacin puede atravesar el cuerpo o ser exterior

al mismo; en el primer caso, los puntos del slido que estn

sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los dems

puntos describen circunferencias en torno al eje; en el

segundo caso, todos los puntos del slido estn en

movimiento circular alrededor del eje exterior al slido. En

cualquier caso, la velocidad v de un punto P del slido ser

tangente a la circunferencia descrita y, en un instante dado,

tendr un mdulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia

del punto al eje de rotacin. Dicha velocidad viene dada por



(2)

(3)

(4)

(1)

(2)

(3)

(5)

Figura 8. Movimiento de

rotacin. Trayectoria circular de un

punto del slido alrededor del eje

de rotacin.

siendo un vector unitario (de mdulo igual a la unidad) tangente a la trayectoria y v el mdulo de la

velocidad. Tngase en cuenta que necesariamente cambiar a lo largo del movimiento, ya que ir

continuamente modificando su direccin hasta llegar de nuevo a la orientacin original, tras completar

un giro de radianes.

El mdulo de la velocidad, denominado celeridad, se corresponde con

considerando s la distancia que el slido va recorriendo a lo largo de la circunferencia. Dada la

definicin matemtica de ngulo , se verifica que ds = rd, para lo cul habr que expresar el

ngulo en radianes (rad). De aqu se deduce que

El cociente d/dt recibe el nombre de celeridad angular y se designa por :

y podemos expresar la celeridad v de cualquier punto del slido como el producto de la celeridad

angularpor la distancia r del punto al eje de rotacin

La introduccin del concepto de celeridad angular es de gran importancia por la simplificacin que

supone en la descripcin del movimiento de rotacin del slido, ya que, en un instante dado, todos los

puntos del slido poseen la misma celeridad angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponde

una celeridad que es funcin de su distancia al eje de rotacin. As pues, la celeridad angular

caracteriza al movimiento de rotacin del slido rgido en torno a un eje fijo. La celeridad angular se

mide en radianes por segundo (rad/s).

Vector velocidad angular [editar]

Se define el vector velocidad angular , como un vector situado

sobre el eje de rotacin, cuyo mdulo es la rapidez angular

anteriormente definida, o sea

y cuya direccin est dada por la regla de la mano derecha. Si

designamos por e al versor paralelo al eje, y cuya direccin sea la

definido por la regla anterior, se tiene:

Llamando e t y en a los versores tangencial y normal,

respectivamente, a la trayectoria del punto genrico P, la velocidad

de ese punto puede expresarse en la forma



(4)

(1)

(2)

Figura 9. Principio de superposicin de

movimientos.

Figura 10. Podemos imaginar las dos

rotaciones simultneas del modo que se

de modo que podemos afirmar:

La velocidad v de un punto genrico P del slido rgido en rotacin es igual al momento del vector

velocidad angular con respecto a dicho punto P.

As pues, conocida la velocidad angular queda determinada la distribucin de velocidades en todos

los puntos del slido rgido en rotacin. La expresin [3] puede escribirse en la forma

donde es el vector de posicin del punto genrico P con respecto a un punto cualquiera del

eje de rotacin.

Las definiciones anteriores exigen que el vectorvelocidad angular tenga carcter deslizante sobre

el eje de rotacin.

Principio de superposicin de movimientos [editar]

El principio de superposicin de movimientos en un

slido rgido establece que:

Si un slido rgido est animado de varios

movimientos simultneos que originan

velocidades v, v, ... en un punto genrico P

del slido, la velocidad resultante v de ese

punto genrico es la suma vectorial de las

velocidades que le corresponde en cada uno

de los movimientos componentes por

separado.

Otra forma de enunciar el principio de superposicin

es la siguiente:

Si un slido rgido est animado de varios movimientos simultneos, para cada uno de los cuales

se cumple la condicin cinemtica de rigidez, el movimiento resultante tambin cumple esa

condicin.

Composicin de rotaciones [editar]

A partir de la definicin del vector velocidad angular, y al quedar completamente representado por dicho

vector el movimiento de rotacin del slido, es fcil comprender que componer dos o ms rotaciones se

reducir a sumar los vectores de velocidad angular que las representan. Consideraremos dos casos

sencillos.

Rotaciones cuyos ejes concurren en un punto [editar]

Consideremos un slido rgido animado de dos rotaciones

simultneas, 1 y 2, cuyos ejes concurren en el punto O

(Figura 10). La velocidad de un punto genrico P del slido

ser la suma de las velocidades, v1 y v2, que le

corresponderan a ese punto en cada rotacin por

separado; i.e.,

de modo que



(3)

(4)

ilustra en esta figura. Esto es, el slido est

en rotacin con una velocidad

angular 2alrededor de un cierto eje; a su

vez, este eje est rotando con una velocidad

angular 1alrededor de un eje fijo en el

espacio. La rotacin 2 suele

denominarse rotacin intrnseca; la

rotacin 1 recibe el nombre de precesin.

Figura 11. Un par de rotaciones equivale

a una traslacin.

Figura 13. Movimiento general el slido

rgido.

o sea que

El resultado de la superposicin de dos o ms

rotaciones simultneas cuyos ejes concurren en un

punto es igual a otra rotacin cuyo eje pasa por

dicho punto y cuya velocidad angular es la suma

(vectorial) de las velocidades angulares

correspondientes a las rotaciones componentes.

Par de rotaciones [editar]

Consideremos un slido rgido que est animado

simultneamente de dos movimientos de rotacin, en torno

a ejes paralelos entre s y de modo que las velocidades

angulares correspondientes, localizadas sobre dichos ejes,

tengan el mismo mdulo y direcciones contrarias (Figura

11); esto es, 1= y2=-. Los vectores y -

constituyen un par de rotaciones (cita requerida de

bibliografa donde se defina el trmino). La velocidad de un

punto genrico P del slido ser

o sea

resultando ser independientes del punto P. Esto es, todos los puntos del slido tienen la misma

velocidad. En consecuencia, tenemos un movimiento en el que todos los puntos del slido poseen, en

un instante dado, la misma velocidad. Se define el momento de un vector respecto de un punto como el

vector que va desde dicho punto al origen del vector del que calculamos su momento multiplicado

vectorialmentepor este ltimo vector. Por lo tanto, podemos enunciar:

Un par de rotaciones equivale a una traslacin cuya velocidad es la expresada por [4], o sea,

el momento del par de rotaciones.

Y recprocamente:

Una traslacin equivale a un par de rotacionescuyo momento sea la velocidad de traslacin.

Movimiento rototraslatorio [editar]

El movimiento ms general del slido rgido es el movimiento

rototraslatorio; esto es, el originado por la superposicin de

los dos movimientos bsicos: el movimiento de traslacin y

el movimiento de rotacin.

Consideremos un slido rgido que est animado

simultneamente de un cierto nmero de movimientos de

traslacin y de rotacin. Cada uno de los movimientos de

traslacin quedar completamente definido por la velocidad

de traslacin correspondiente; esto es, v1, v2, ... vm .

Anlogamente, cada una de las rotaciones quedar

completamente definida por el vector velocidad angular

correspondiente; esto es 1, 2, ... n. Teniendo en cuenta que un movimiento de traslacin es

equivalente a un par de rotaciones cuyo momento es igual a la velocidad de traslacin, el estado de



(1)

(2)

(1)

Figura 16. Eje instantneo de rotacin y

deslizamiento.

movimiento del slido rgido estar definido por un conjunto de rotaciones simultneas, 1, 2,

... n,n+1, ... n+2m , cuyos ejes de rotacin pasan por los puntos O1, O2, ... On+2m (Figura 13).

La velocidad de un punto genrico del slido, P, viene dada por el momento resultante del sistema de

vectores deslizantes i (i=1, 2, ...) en el punto P; i.e.,

Por otra parte, el momento del sistema de vectores deslizantes en otro punto, P, del slido (i.e., la

velocidad del punto P) est relacionado con el anterior mediante la expresin

siendo = i la resultante general del sistema de vectores deslizantes (i.e., la velocidad angular

resultante) que es un invariante del sistema (primer invariante o invariante vectorial).

La expresin [33] nos permite decir que la velocidad que le corresponde a un punto P de un slido

rgido es igual a la que le corresponde a otro punto arbitrario del mismo, P, ms la velocidad que le

correspondera al punto P en una rotacin instantnea, , alrededor de un eje que pasase por el punto

P. En definitiva, podemos enunciar:

El movimiento general de un slido rgido (movimiento rototraslatorio) puede reducirse a una

rotacin de velocidad angular = ialrededor de un eje paralelo a y que pasa por un punto

arbitrario del slido, ms una traslacin cuya velocidad es el momento resultante del sistema de

vectores i (i=1, 2,...) con respecto a dicho punto arbitrario.

El enunciado anterior nos indica que cualquier movimiento del slido rgido, por complejo que nos

parezca, puede reducirse siempre a la superposicin de dos movimientos bsicos: uno de traslacin y

otro de rotacin. Obsrvese que la velocidad de cualquier punto del slido queda perfectamente

determinada con el conocimiento de la velocidad angular del slido y la velocidad vP de un punto

cualquiera del mismo; i.e., por los vectores y vP, a los que denominaremos, conjuntamente, grupo

cinemtico en P.

Eje instantneo de rotacin y deslizamiento [editar]

Artculo principal: Eje instantneo de rotacin

En los apartados anteriores hemos visto cmo

podemos reducir el estudio del movimiento general

del slido rgido al del sistema de vectores

deslizantes, i (i=1, 2, ...), que lo representa. As, la

velocidad de un punto del slido rgido puede

considerarse como el momento de dicho sistema de

vectores con respecto al punto considerado [8.1], y

la velocidad de un segundo punto del slido est

relacionada con la del anterior por la expresin

[8.2]. A cada punto del slido le corresponde una

velocidad distinta (en general); pero, en un instante

dado, todas esas velocidades dan la misma

proyeccin en la direccin de la velocidad angular

resultante . En efecto, multiplicando escalarmente

por ambos miembros de la exp. [8.2], tenemos



(2)

(3)

(4)

(1)

Figura 17.

o sea

que es la expresin del segundo invariante o invariante escalar del sistema de vectores

deslizantes i (i=1, 2, ...). Por tanto, podemos enunciar que en un instante dado,

El producto escalar de los dos vectores del grupo cinemtico tiene el mismo valor en todos los

puntos del slido; i.e., es invariante.

El mdulo de la velocidad v de un punto del slido rgido tendr un valor mnimo si dicha velocidad es

paralela a la velocidad angular resultante . Pero el lugar geomtrico de los puntos cuya velocidad

(momento) es paralela a (resultante) sabemos que es una recta definida por la ecuacin

que es la ecuacin del eje central del sistema de vectores deslizantes i (i=1, 2, ...), en un referencial de

origen en el punto O. Obviamente, vO representa la velocidad que le correspondera al punto O, en el

caso de que perteneciera al slido. Cuando el sistema de vectores deslizantes est constituido por

vectores de velocidad angular i, el eje central del sistema de vectores recibe el nombre de eje

instantneo de rotacin y deslizamiento (EIRD). As pues, el EIRD queda definido como el lugar

geomtrico de los puntos del slido de velocidad mnima o bien el lugar geomtrico de los puntos del

slido cuya velocidad es paralela a la direccin de la velocidad angular del mismo.

Obviamente, el mdulo de la velocidad mnima puede determinarse proyectando la velocidad v de un

punto cualquiera del slido sobre la velocidad angular del mismo; esto es,

y su direccin es la del vector (i.e., la del EIRD).

Teorema de Chasles [editar]

Cuando el invariante escalar del sistema de

rotaciones es distinto de cero (i.e., v0) es

posible reducir cannicamente el movimiento

rototraslatorio a los dos movimientos bsicos:

rotacin y traslacin. Tomando un punto E del eje

central como centro de reduccin, el sistema de

rotaciones resulta ser equivalente a una rotacin

nica, = i, localizada sobre el eje central del

sistema de rotaciones, ms una traslacin o

deslizamiento a lo largo de dicho eje, con una

velocidad vd, llamada velocidad mnima ode

deslizamiento, dada por

que constituye la expresin del Teorema de Chasles:

El movimiento general de un slido rgido resulta equivalente a una rotacin pura alrededor del

eje central del sistema de

rotaciones i (i=1, 2, ...) ms una traslacin a lo largo de dicho eje.



Figura 18.

Figura 19.

Por esa razn el eje central de un sistema de rotaciones recibe el nombre de eje instantneo de rotacin

y deslizamiento y el movimiento resultante se denomina movimiento helicoidal tangente.

Cuando el invariante escalar es nulo, o sea v = 0, siendo v la velocidad de un punto genrico del

slido, se nos pueden presentar los siguientes casos:

(1) Que sea = 0 y v = 0. Esta condicin prevalecer para cualquier punto del slido. En ese instante,

el slido se encuentra en reposo.

(2) Que sea = 0 y v 0. Todos los puntos del slido tienen la misma velocidad. En ese instante, el

movimiento del slido es una traslacin pura.

(3) Que sea 0 y v = 0. El sistema de rotaciones est definido por un sistema de vectores deslizantes

concurrentes o paralelos. Se trata de una rotacin pura alrededor de un eje que pasa por el punto de

concurrencia (propio o impropio). En los dems puntos del slido, fuera de la recta de accin de ,

aparecer una velocidad que ser siempre perpendicular a , por ser v = 0.

(4) Que sea 0 y v 0. En este caso deber serv, de modo que cada punto del slido se mover

en un plano perpendicular al eje instantneo de rotacin (o sea, al vector ). Como para los puntos de

dicho eje deber ser, adems, v ||, la velocidad de dichos puntos ser nula. Por consiguiente, el slido

pasar en cada instante por un estado de rotacin pura, con velocidad angular , alrededor del eje

instantneo de rotacin, pero sin que exista deslizamiento alguno a lo largo de dicho eje. Este

movimiento recibe el nombre de movimiento de rodadura y en l los puntos del eje instantneo de

rotacin se encuentran instantneamente en reposo.

Axoides. Representacin de Poncelet [editar]

Todo nuestro anlisis anterior se refiere a un

instante determinado y, as, la ecuacin que define

al eje instantneo de rotacin y deslizamiento,

depende de los valores instantneos de y de vO,

de modo que representa una recta mvil en el

espacio. En efecto, los vectores y vO pueden

variar de un instante a otro de modo que el eje

instantneo, en general, cambiar constantemente

de posicin, en el transcurso del tiempo, tanto con

respecto a un sistema de ejes fijos en el espacio,

como con respecto a otro sistema de ejes ligados al

slido rgido y que se muevan solidariamente con l.

El eje instantneo slo estar indefinido en aquellos

instantes en los que el movimiento del slido sea

una traslacin pura.

En el transcurso del movimiento del slido, el eje

instantneo modifica su posicin con respecto a un

referencial de ejes fijos en el espacio (xyz),

generando una superficie reglada que recibe el

nombre de axoide fijo. Por otra parte, el eje

instantneo, en su movimiento con respecto al

referencial de ejes ligados al slido (xyz), genera

otra superficie reglada que recibe el nombre

deaxoide mvil. Se comprende que, en cada

instante, ambos axoides deben tener una recta

comn, que es el eje instantneo correspondiente a

dicho instante, de modo que ambos axoides son

tangentes a lo largo de la recta mencionada. Adems, en cada instante, el slido rgido realiza una



(1)

(2)

(3)

traslacin o deslizamiento a lo largo de dicho eje o recta comn a ambos axoides, con una

velocidad vd que es la velocidad de traslacin del movimiento helicoidal tangente, y que es simplemente

la proyeccin del vector velocidad vde cualquier punto del slido sobre el eje instantneo de rotacin y

deslizamiento.

En definitiva, el movimiento general del slido rgido (rototraslatorio) se puede representar de forma

continua suponiendo que el slido est ligado y se mueve solidariamente con una superficie mvil

(axoide mvil) que rueda sobre una superficie fija (axoide fijo) al mismo tiempo que experimenta un

deslizamiento a lo largo de la generatriz comn instantnea. Tal representacin del movimiento del

slido se debe al matemtico y general francs Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

En el caso de que uno de los puntos del slido permanezca fijo durante el movimiento,

ambosaxoides degeneran en conos tangentes entre s a lo largo de una generatriz y el movimiento

continuo de Poncelet se reduce a una rodadura del cono mvil sobre el cono fijo, ya que no habr

deslizamiento por ser nula la velocidad de uno de los puntos del slido. En la Figura 19 ilustramos este

tipo de movimiento.

El slido rgido (y el cono mvil al cual es solidario) gira con velocidad angular 1 al mismo tiempo que

el eje de 1 gira con una velocidad angular 2alrededor de un eje fijo en el espacio. El resultado de

estos dos movimientos combinados es una rodadura del cono mvil sobre el cono fijo, siendo el eje

instantneo de rotacin (puntos de velocidad instantnea nula con respecto al sistema de ejes fijos) la

generatriz comn instantneamente a ambos conos. Obviamente, ser = 1 + 2, como se ilustra en

la Figura 19, siendo la velocidad angular instantnea del slido.

Aceleracin [editar]

Consideremos un punto genrico P de un slido rgido en movimiento y sea vP su velocidad. Si

consideramos un segundo punto, O, perteneciente al slido, cuya velocidad sea vO, la relacin existente

entre ambas velocidades es de la forma

donde es la velocidad angular resultante, que la podemos considerar localizada sobre un eje que

pase por el punto O. Derivando la expresin anterior con respecto al tiempo, obtenemos la

aceleracin aP del punto P; esto es,

o sea

donde

es la aceleracin del punto O;

es la aceleracin tangencial del punto P en su rotacin alrededor de un eje en la

direccin de y que pasa por el punto O;

es la aceleracin normal del punto P respecto al eje anteriormente citado.

Obviamente, la suma de las aceleraciones tangencial y normal del punto P en su rotacin en torno al eje

definido por y que pasa por el punto O es igual a , o sea la aceleracin relativa del punto P

respecto al punto O.



(1)

(2)

(3)

(4)

Aceleracin angular. En el caso general,

cuando el eje de rotacin no manteniene

una direccin constante en el espaci, la

aceleracin angular no tiene la direccin del

eje de rotacin.

Vector aceleracin angular [editar]

Definimos laaceleracin angular como el cambio que

experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se

denota por la letra griega y, al igual que la velocidad

angular, tiene carcter vectorial. Por definicin,

siendo el vector velocidad angular del slido rgido

alrededor del eje de rotacin. La aceleracin angular se

expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que

el radin es adimensional.

Si denominamos por el versor asociado al eje de rotacin,

de modo que sea , podemos escribir

resultando que, en general, el vector no est localizado sobre el eje de rotacin.

En el caso particular de que el eje de rotacin mantenga una orientacin fija en el espacio (movimiento

plano), entonces ser y el vector aceleracin angular estar localizado sobre el eje de

rotacin. Esto es,

de modo que el mdulo de la aceleracin angular, , es la derivada de la rapidez angular con

respecto al tiempo (o la derivada segunda del ngulo de rotacin con respecto al tiempo), su direccin

es la de cuando la rapidez angular aumenta con el tiempo, pero es de direccin opuesta si disminuye.

En el caso general, cuando el eje de rotacin no mantiene una direccin fija en el espacio, ser

, aunque , ya que el versor del eje cambia de direccin en el transcurso del

movimiento. Puesto que es un versor, su derivada ser un vector perpendicular a , esto es, al eje

instantneo de rotacin.

As pues, en el caso ms general, la aceleracin angular se expresar en la forma

siendo la velocidad angular asociada a la rotacin del eje o precesin del eje de rotacin (definido

por ) en el espacio.

En la expresin anterior observaremos que el vector aceleracin angular tiene dos componentes:

unacomponente longitudinal (i.e., en la direccin del eje de rotacin) cuyo mdulo es y

unacomponente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotacin) cuyo mdulo es .

As pues, en general,

el vector no tendr la misma direccin que el vector .

el vector aceleracin angular no tendr la direccin del eje de rotacin.

La direccin de la aceleracin angular slo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el

eje de rotacin, en el caso de que dicho eje mantenga su orientacin fija en el espacio, esto es, en

elmovimiento plano.



Esta pgina fue modificada por ltima vez el 23 oct 2014 a las 22:26.

(1)

(2)

Movimiento plano [editar]

Artculo principal: Movimiento plano del slido rgido

En el movimiento plano del slido rgido, la aceleracin angular, al igual que la velocidad angular, tiene

la direccin del eje de rotacin y viene dada por:

donde representa el ngulo girado en funcin de y la velocidad angular.

En el movimiento plano tanto la velocidad angularcomo la aceleracin angular son vectores

perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento.

Vase tambin [editar]

Cinemtica

Choque inelstico

Referencias [editar]

Bibliografa [editar]

Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Fsica (4 volmenes). Monytex . ISBN 84-404-4290-

4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.

Marion, Jerry B. (1996). Dinmica clsica de las partculas y sistemas. Barcelona: Ed. Revert.ISBN

84-291-4094-8.

Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001).Physics (en ingls). New York: John Wiley & Sons.ISBN 0-

471-32057-9.

Curso Interactivo de Fsica en Internet. ngel Franco Garca.

Enlaces externos [editar]

Script de Fsica de Ingeniera Mecnica, desde la pgina 72, 6 Tema Cinemtica del slido rgido.

Categoras: Cinemtica Mecnica clsica

cinemática del sólido rígido

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