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Pricing di derivati con Monte CarloSimulazione di processi stocastici

Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

Ciclo di seminari: Metodi Computazionaliper la Finanza

C.d.L.M. Finanza e Assicurazioni – a.a. 2018/2019

Lezione 4: Simulazione Moti Browniani e Pricing di derivati conMonte Carlo

I. Oliva MATLAB e finanza



Cos’e il Metodo Monte Carlo?

Dinamica di Black-Scholes{dBt = rBtdtdSt = µStdt + σStdWt

Goal: determinare il prezzo di un derivato al tempo t, t ∈ [0,T ],sotto la misura risk-neutral Q

Dt = EQ[ H(ST )

er(T−t)

∣∣∣Ft

], ∀ t ∈ [0,T ]





Domanda 1 Come determiniamo il prezzo (a scadenza) delsottostante?

Simulazione di M traiettorie del sottostante

Domanda 2 Qual e il payoff del derivato?

Calcolo del payoff per ogni simulazione

Domanda 3 Come calcoliamo il prezzo Dt del derivato al tempot?

Metodo Monte Carlo: Dt ≈ 1M∑M

j=1 H(S(j)T )





Metodo Monte Carlo

Metodo stocastico per il calcolo numerico di quantitadeterministiche.

Il metodo viene utilizzato per la prima volta all’inizio della IIGuerra Mondiale da Von Neumann ed Ulam, mentre lavoravano alProgetto Manhattan (realizzazione della bomba atomica, LosAlamos, NM, 1943 – 1945)

Idea: quante volte una freccetta colpisce il bersaglio?





Idea: se il numero (N) di lanci e grande, allora numero difreccette nel bersaglio (v) ≈ area del cerchio∑

vN ≈ Ac

Aq

D’altra parte,{Ac = π · r2

Aq = 4r2 ⇒ π = 4 · AcAq≈ 4 ·

∑v

N




Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

Simulazione Moto Browniano Standard

{Wt}t≥0 processo di Wiener: W0 = 0, Wt −Ws ∼ N (0, t − s)

Scadenzario in [0,T ] : 0 = t0 < t1 < . . . < tN−1 < tN = T (Nfissato a priori, e.g. numero giorni lavorativi in un anno)

Una simulazione: X (1)i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N

W (1)0 = 0

W (1)t1 = W (1)

0 +√

t1 − t0X (1)1

W (1)t2 = W (1)

t1 +√

t2 − t1X (1)2

. . .

W (1)T = W (1)

tN−1 +√

tN − tN−1X (1)N








Due simulazioni: X (1)i ∼ N (0, 1), X (2)

i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N

W (1)0 = 0

W (1)t1 = W (1)

0 +√

t1 − t0X (1)1

W (1)t2 = W (1)

t1 +√

t2 − t1X (1)2

. . .

W (1)T = W (1)

tN−1 +√

tN − tN−1X (1)N

W (2)0 = 0

W (2)t1 = W (2)

0 +√

t1 − t0X (2)1

W (2)t2 = W (2)

t1 +√

t2 − t1X (2)2

. . .

W (2)T = W (2)

tN−1 +√

tN − tN−1X (2)N








M simulazioni: X (j)i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N, j = 1, . . . ,M

W (j)0 = 0

W (j)t1 = W (j)

0 +√

t1 − t0X (j)1

W (j)t2 = W (j)

t1 +√

t2 − t1X (j)2

. . .

W (j)T = W (j)

tN−1 +√

tN − tN−1X (j)N






W =

W (1)0 W (1)

t1 W (1)t2 . . . W (1)

TN−1W (1)

T

W (2)0 W (2)

t1 W (2)t2 . . . W (2)

TN−1W (2)

T

W (3)0 W (3)

t1 W (3)t2 . . . W (3)

TN−1W (3)

T. . . . . . . . . . . . . . . . . .

W (M−1)0 W (M−1)

t1 W (M−1)t2 . . . W (M−1)

TN−1W (M−1)

T

W (M)0 W (M)

t1 W (M)t2 . . . W (M)

TN−1W (M)

T





Simulazione di processi di Wiener





Simulazione Moto Browniano Generalizzato

{Yt}t≥0 Moto Browniano generalizzato:Y0 = y0, dYt = adt + σdWt


Una simulazione: X (1)i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N

Y (1)0 = y0

Y (1)t1 = Y (1)

0 + a(t1 − t0) + σ√

t1 − t0X (1)1

Y (1)t2 = Y (1)

1 + a(t2 − t1) + σ√

t2 − t2X (1)2

. . .

Y (1)tN = Y (1)

N−1 + a(tN − tN−1) + σ√

tN − tN−1X (1)N








Due simulazioni: X (1)i ∼ N (0, 1), ,X (2)

i ∼ N (0, 1) i = 1, . . . ,N

Y (1)0 = y0

Y (1)t1 = Y (1)

0 + a(t1 − t0) + σ√

t1 − t0X (1)1

Y (1)t2 = Y (1)

1 + a(t2 − t1) + σ√

t2 − t2X (1)2

. . .

Y (1)tN

= Y (1)N−1 + a(tN − tN−1) + σ

√tN − tN−1X (1)

N

Y (2)0 = y0

Y (2)t1 = Y (2)

0 + a(t1 − t0) + σ√

t1 − t0X (2)1

Y (2)t2 = Y (2)

1 + a(t2 − t1) + σ√

t2 − t2X (2)2

. . .

Y (2)tN

= Y (2)N−1 + a(tN − tN−1) + σ

√tN − tN−1X (2)

NI. Oliva MATLAB e finanza







M simulazioni: X (j)i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N, j = 1, . . . ,M

Y (j)0 = y0

Y (j)t1 = Y (j)

0 + a(t1 − t0) + σ√

t1 − t0X (j)1

Y (j)t2 = Y (j)

1 + a(t2 − t1) + σ√

t2 − t2X (j)2

. . .

Y (j)tN = Y (j)

N−1 + a(tN − tN−1) + σ√

tN − tN−1X (j)N






Y =

Y (1)0 Y (1)

t1 Y (1)t2 . . . Y (1)

TN−1Y (1)

T

Y (2)0 Y (2)

t1 Y (2)t2 . . . Y (2)

TN−1Y (2)

T

Y (3)0 Y (3)

t1 Y (3)t2 . . . Y (3)

TN−1Y (3)

T. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y (M−1)0 Y (M−1)

t1 Y (M−1)t2 . . . Y (M−1)

TN−1Y (M−1)

T

Y (M)0 Y (M)

t1 Y (M)t2 . . . Y (M)

TN−1Y (M)

T





Simulazione di Moti Browniani generalizzati





Simulazione Moto Browniano Geometrico

{St}t≥0 Moto Browniano geometrico: S0 = s0,

dSt = µStdt + σStdWt , St = s0 exp{(

µ− σ2

2

)t + σ (Wt −W0)

}Una simulazione: X (1)

i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N

S(1)t0 = s0

S(1)t1 = s0 exp

{(µ− σ2

2

)(t1 − t0) + σ

√t1 − t0X (1)

1

}S(1)

t2 = s0 exp{(

µ− σ2

2

)(t2 − t1) + σ

√t2 − t1X (1)

2

}. . .

S(1)tN = s0 exp

{(µ− σ2

2

)(tN − tN−1) + σ

√tN − tN−1X (1)

N

}I. Oliva MATLAB e finanza




Simulazione Moto Browniano Geometrico

{St}t≥0 Moto Browniano geometrico: S0 = s0,

dSt = µStdt + σStdWt , St = s0 exp{(

µ− σ2

2

)t + σ (Wt −W0)

}M simulazioni: X (j)

i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N, j = 1, . . . ,M

S(j)t0 = s0

S(j)t1 = s0 exp

{(µ− σ2

2

)(t1 − t0) + σ

√t1 − t0X (j)

1

}S(j)

t2 = s0 exp{(

µ− σ2

2

)(t2 − t1) + σ

√t2 − t1X (j)

2

}. . .

S(j)tN = s0 exp

{(µ− σ2

2

)(tN − tN−1) + σ

√tN − tN−1X (j)

N

}I. Oliva MATLAB e finanza





S =

S(1) S(1)t1 S(1)

t2 . . . S(1)TN−1

S(1)T

S(2)0 S(2)

t1 S(2)t2 . . . S(2)

TN−1S(2)

T

S(3)0 S(3)

t1 S(3)t2 . . . S(3)

TN−1S(3)

T. . . . . . . . . . . . . . . . . .

S(M−1)0 S(M−1)

t1 S(M−1)t2 . . . S(M−1)

TN−1S(M−1)

T

S(M)0 S(M)

t1 S(M)t2 . . . S(M)

TN−1S(M)

T





Simulazione di Moti Browniani geometrici





Due Moti Browniani correlati

dBt = rBtdtdS(1)

t = µ1S(1)t dt + σ1S(1)

t dW (1)t

dS(2)t = µ2S(2)

t dt + σ2S(2)t dW (2)

t

Corr(dW (1)

t , dW (2)t)

= ρ, ⇒ C =(

1 ρρ 1

)





Dal punto di vista algoritmico /1:

1. scelta dei parametri del modello (ρ = 0.4) efattorizzazione di Cholesky C = A · A′ , (Atriangolare inferiore)

2. scelta dello scadenzario t = [0, t1, t2, . . . , tN−1,T ]

3. costruzione delle differenze dei tempi delloscadenzario dti = ti − ti−1, i = 1, . . . ,N (vettore dt)

4. estrazione di M vettori casuali di lunghezza N dadistribuzione normale standard per ciascun motobrowniano (matrici X1 e X2)





Dal punto di vista algoritmico /2:

5. per ogni istante di osservazione i = 1, . . . ,N :memorizzazione delle estrazioni di tutte lesimulazioni al tempo i-esimo (matrice M × 2)costruzione della matrice Z , di dimensioneM × 2 in accordo con l’espressione del MotoBrowniano (standard, generalizzato, geometrico)Attenzione alle dimensioni degli addendi!!

6. costruzione di due matrici W1 e W2 (M × (N + 1))delle traiettorie dei Moti Browniani

7. rappresentazione grafica delle traiettorie simulate





Simulazione di MB standard correlati





Simulazione di MB generalizzati correlati





Simulazione di MB geometrici correlati




Esercizio

Con il metodo Monte Carlo, considerando il modello di Black eScholes per la dinamica del prezzo di un’azione con parametriS0 = 90, r = 0.06, σ = 0.2, valutare in t = 0 i seguenti titoli:

1 una call europea ed una put europea con scadenza T = 1.2anni e strike price K = 95

2 un titolo derivato avente, alla scadenza T = 1.2 anni, ilseguente payoff

HT = max{K − S, 0} ,

dove K = 95 e, indicato con 0 = t0 < t1 < . . . < tp = T unoscadenzario prefissato (osservazioni giornaliere),S = 1

p∑p

i=1 Sti .




Esercizio

Con il metodo Monte Carlo, considerando il modello di Black eScholes bivariato, sotto la misura risk-neutral Q, di parametrir = 0.06, σ = [0.2, 0.4], S0 = [90, 100] con correlazione ρ = 0.4per la dinamica dei prezzi S j , j = 1, 2 di due azioni, si calcoli int = 0 il valore V0 di un derivato avente, alla scadenza T = 1 anno,il payoff sotto indicato:

HT = max{K − S, 0},

dove K = 102 e S = 3√∏2

j=1 S jT .




Esercizio

Con il metodo Monte Carlo, considerando il modello di Black eScholes bivariato, sotto la misura risk-neutral Q, di parametrir = 0.06, σ = [0.2, 0.4], S0 = [90, 100] con correlazione ρ = 0.4per la dinamica dei prezzi S i , i = 1, 2 di due azioni, si calcoli int = 0 il valore V0 di un derivato, avente alla scadenza T = 1 anno,il payoff sotto riportato

HT = max{S − K , 0},

dove K = 102 e S = max{

12(S1

t1 + S2t1), . . . , 1

2(S1tp + S2

tp )},

essendo 0 = t0 < t1 < . . . < tp = T uno scadenzario prefissato(osservazioni giornaliere).




Modello di HestonModello di Black-Scholes con salti

Ipotesi del modello di Black e Scholes:

No arbitraggio, costi di transazione, dividendi

titoli negoziati continuamente e scambiati anchein valori frazionari

log-rendimenti indipendenti e normalmentedistribuiti

volatilita costante





Modello di Heston

dBt = rBtdtdSt = µStdt +√vtStdW (1)

t

dvt = k(θ − vt)dt + η√vtdW (2)

t

con µ ∈ R, k, θ, η > 0 e d⟨W (1)

t ,W (2)t⟩

= ρdt

θ media di lungo periodok velocita di ritornoη vol-of-vol





schema di EuleroDiscretizzazione temporale:

0 := t0 < t1 < t2 < . . . , tN−1 < tN =: T , con ti = iTN

Discretizzazione processo del prezzo:

Sti = Sti−1+µSti−1∆t+√vti Sti−1∆W (1)ti , ∆W (1)

ti := W (1)ti −W (1)

ti−1

Discretizzazione processo square-root della varianza:

vti = vti−1+k(θ−vti−1)∆t+√vtiη∆W (2)ti , ∆W (2)

ti := W (2)ti −W (2)

ti−1

Attenzione! Il processo {vt}t≥0 deve essere sempre positivo(metodo della specularita)





Processi Jump Diffusion

dSt = µStdt +√

vtStdWt + StdJt

dove Jt =∑Nt

j=1 Yj , con Nt processo di Poisson e Yj v.a.i.i.d(processo di Poisson composto)

{N(λ)t}t≥0 t.c. N(λ)t ∼ Po(λt), (P(N(λ)t = k) = e−λt (λt)k

k! )

Yj ∼ N (µJ , σJ)





Discretizzazione

Discretizzazione temporale:

0 := t0 < t1 < t2 < . . . , tN−1 < tN =: T , con ti = iTN

Simulazione traiettorie (come MB geometrico univariato +termine di salto )





Esercizio

Con il metodo di Eulero simulare M = 10, 50, 100, traiettorie delprezzo di un’azione, considerando per esso una dinamica data daun processo Jump Diffusion con i seguenti parametri:

S0 = 90, σ = 0.2, µ = 0.7, µJ = −0.02, σJ = 0.22, λ = 30 .





Esercizio

Con il metodo Monte Carlo, determinare al tempo t = 0 il prezzo D0 di untitolo derivato avente il seguente payoff

HT = max{K − S, 0} ,

dove K = 95, T = 1 anno e S = 1p∑p

i=1 Sti , essendo0 = t0 < t1 < . . . < tp = T uno scadenzario prefissato, costituito daosservazioni giornaliere, e sapendo che {St}t≥0 e il processo stocastico chegoverna l’andamento del sottostante, nei seguenti casi:

modello di Black e Scholes, con parametri assegnatir = 1%, σ = 25%, S0 = 100;

modello Jump-Diffusion, con parametri assegnatir = 1%, σ = 25%, S0 = 100, λ = 30 ed ampiezza di salto distribuitasecondo una v.a. normale di media µJ = 0.02 e varianza σ2

J = 22%;

modello di Heston, con parametri assegnati r = 1%, σ = 25%, S0 =100, V0 = 0.3, k = 4, θ = 0.04, η = 0.45, ρ = −0.3.


ciclo di seminari: metodi computazionali per la finanza...pricing di derivati con monte carlo...

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