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Pricing di derivati con Monte Carlo Simulazione di processi stocastici Pricing di derivati Modelli di Heston e Jump-Diffusion Ciclo di seminari: Metodi Computazionali per la Finanza C.d.L.M. Finanza e Assicurazioni – a.a. 2018/2019 Lezione 4: Simulazione Moti Browniani e Pricing di derivati con Monte Carlo I. Oliva MATLAB e finanza

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  • Pricing di derivati con Monte CarloSimulazione di processi stocastici

    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Ciclo di seminari: Metodi Computazionaliper la Finanza

    C.d.L.M. Finanza e Assicurazioni – a.a. 2018/2019

    Lezione 4: Simulazione Moti Browniani e Pricing di derivati conMonte Carlo

    I. Oliva MATLAB e finanza

  • Pricing di derivati con Monte CarloSimulazione di processi stocastici

    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Cos’è il Metodo Monte Carlo?

    Dinamica di Black-Scholes{dBt = rBtdtdSt = µStdt + σStdWt

    Goal: determinare il prezzo di un derivato al tempo t, t ∈ [0,T ],sotto la misura risk-neutral Q

    Dt = EQ[ H(ST )

    er(T−t)∣∣∣Ft] , ∀ t ∈ [0,T ]

    I. Oliva MATLAB e finanza

  • Pricing di derivati con Monte CarloSimulazione di processi stocastici

    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Cos’è il Metodo Monte Carlo?

    Domanda 1 Come determiniamo il prezzo (a scadenza) delsottostante?

    Simulazione di M traiettorie del sottostante

    Domanda 2 Qual è il payoff del derivato?

    Calcolo del payoff per ogni simulazione

    Domanda 3 Come calcoliamo il prezzo Dt del derivato al tempot?

    Metodo Monte Carlo: Dt ≈ 1M∑M

    j=1 H(S(j)T )

    I. Oliva MATLAB e finanza

  • Pricing di derivati con Monte CarloSimulazione di processi stocastici

    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Cos’è il Metodo Monte Carlo?

    Metodo Monte Carlo

    Metodo stocastico per il calcolo numerico di quantitàdeterministiche.

    Il metodo viene utilizzato per la prima volta all’inizio della IIGuerra Mondiale da Von Neumann ed Ulam, mentre lavoravano alProgetto Manhattan (realizzazione della bomba atomica, LosAlamos, NM, 1943 – 1945)

    Idea: quante volte una freccetta colpisce il bersaglio?

    I. Oliva MATLAB e finanza

  • Pricing di derivati con Monte CarloSimulazione di processi stocastici

    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Cos’è il Metodo Monte Carlo?

    I. Oliva MATLAB e finanza

  • Pricing di derivati con Monte CarloSimulazione di processi stocastici

    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Cos’è il Metodo Monte Carlo?

    Idea: se il numero (N) di lanci è grande, allora numero difreccette nel bersaglio (v) ≈ area del cerchio∑

    vN ≈

    AcAq

    D’altra parte,{Ac = π · r2

    Aq = 4r2⇒ π = 4 · AcAq

    ≈ 4 ·∑

    vN

    I. Oliva MATLAB e finanza

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione Moto Browniano Standard

    {Wt}t≥0 processo di Wiener: W0 = 0, Wt −Ws ∼ N (0, t − s)

    Scadenzario in [0,T ] : 0 = t0 < t1 < . . . < tN−1 < tN = T (Nfissato a priori, e.g. numero giorni lavorativi in un anno)

    Una simulazione: X (1)i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N

    W (1)0 = 0

    W (1)t1 = W(1)0 +

    √t1 − t0X (1)1

    W (1)t2 = W(1)t1 +

    √t2 − t1X (1)2

    . . .

    W (1)T = W(1)tN−1 +

    √tN − tN−1X (1)N

    I. Oliva MATLAB e finanza

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione Moto Browniano Standard

    {Wt}t≥0 processo di Wiener: W0 = 0, Wt −Ws ∼ N (0, t − s)

    Scadenzario in [0,T ] : 0 = t0 < t1 < . . . < tN−1 < tN = T (Nfissato a priori, e.g. numero giorni lavorativi in un anno)

    Due simulazioni: X (1)i ∼ N (0, 1), X(2)i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N

    W (1)0 = 0

    W (1)t1 = W(1)0 +

    √t1 − t0X (1)1

    W (1)t2 = W(1)t1 +

    √t2 − t1X (1)2

    . . .

    W (1)T = W(1)tN−1 +

    √tN − tN−1X (1)N

    W (2)0 = 0

    W (2)t1 = W(2)0 +

    √t1 − t0X (2)1

    W (2)t2 = W(2)t1 +

    √t2 − t1X (2)2

    . . .

    W (2)T = W(2)tN−1 +

    √tN − tN−1X (2)N

    I. Oliva MATLAB e finanza

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    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione Moto Browniano Standard

    {Wt}t≥0 processo di Wiener: W0 = 0, Wt −Ws ∼ N (0, t − s)

    Scadenzario in [0,T ] : 0 = t0 < t1 < . . . < tN−1 < tN = T (Nfissato a priori, e.g. numero giorni lavorativi in un anno)

    M simulazioni: X (j)i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N, j = 1, . . . ,M

    W (j)0 = 0

    W (j)t1 = W(j)0 +

    √t1 − t0X (j)1

    W (j)t2 = W(j)t1 +

    √t2 − t1X (j)2

    . . .

    W (j)T = W(j)tN−1 +

    √tN − tN−1X (j)N

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione Moto Browniano Standard

    W =

    W (1)0 W(1)t1 W

    (1)t2 . . . W

    (1)TN−1 W

    (1)T

    W (2)0 W(2)t1 W

    (2)t2 . . . W

    (2)TN−1 W

    (2)T

    W (3)0 W(3)t1 W

    (3)t2 . . . W

    (3)TN−1 W

    (3)T

    . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    W (M−1)0 W(M−1)t1 W

    (M−1)t2 . . . W

    (M−1)TN−1 W

    (M−1)T

    W (M)0 W(M)t1 W

    (M)t2 . . . W

    (M)TN−1 W

    (M)T

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    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione di processi di Wiener

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    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione Moto Browniano Generalizzato

    {Yt}t≥0 Moto Browniano generalizzato:Y0 = y0, dYt = adt + σdWt

    Scadenzario in [0,T ] : 0 = t0 < t1 < . . . < tN−1 < tN = T (Nfissato a priori, e.g. numero giorni lavorativi in un anno)

    Una simulazione: X (1)i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N

    Y (1)0 = y0Y (1)t1 = Y

    (1)0 + a(t1 − t0) + σ

    √t1 − t0X (1)1

    Y (1)t2 = Y(1)1 + a(t2 − t1) + σ

    √t2 − t2X (1)2

    . . .

    Y (1)tN = Y(1)N−1 + a(tN − tN−1) + σ

    √tN − tN−1X (1)N

    I. Oliva MATLAB e finanza

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    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione Moto Browniano Generalizzato

    {Yt}t≥0 Moto Browniano generalizzato:Y0 = y0, dYt = adt + σdWt

    Scadenzario in [0,T ] : 0 = t0 < t1 < . . . < tN−1 < tN = T (Nfissato a priori, e.g. numero giorni lavorativi in un anno)

    Due simulazioni: X (1)i ∼ N (0, 1), ,X(2)i ∼ N (0, 1) i = 1, . . . ,N

    Y (1)0 = y0

    Y (1)t1 = Y(1)0 + a(t1 − t0) + σ

    √t1 − t0X (1)1

    Y (1)t2 = Y(1)1 + a(t2 − t1) + σ

    √t2 − t2X (1)2

    . . .

    Y (1)tN = Y(1)N−1 + a(tN − tN−1) + σ

    √tN − tN−1X

    (1)N

    Y (2)0 = y0

    Y (2)t1 = Y(2)0 + a(t1 − t0) + σ

    √t1 − t0X (2)1

    Y (2)t2 = Y(2)1 + a(t2 − t1) + σ

    √t2 − t2X (2)2

    . . .

    Y (2)tN = Y(2)N−1 + a(tN − tN−1) + σ

    √tN − tN−1X

    (2)N

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    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione Moto Browniano Generalizzato

    {Yt}t≥0 Moto Browniano generalizzato:Y0 = y0, dYt = adt + σdWt

    Scadenzario in [0,T ] : 0 = t0 < t1 < . . . < tN−1 < tN = T (Nfissato a priori, e.g. numero giorni lavorativi in un anno)

    M simulazioni: X (j)i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N, j = 1, . . . ,M

    Y (j)0 = y0Y (j)t1 = Y

    (j)0 + a(t1 − t0) + σ

    √t1 − t0X (j)1

    Y (j)t2 = Y(j)1 + a(t2 − t1) + σ

    √t2 − t2X (j)2

    . . .

    Y (j)tN = Y(j)N−1 + a(tN − tN−1) + σ

    √tN − tN−1X (j)N

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    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione Moto Browniano Standard

    Y =

    Y (1)0 Y(1)t1 Y

    (1)t2 . . . Y

    (1)TN−1 Y

    (1)T

    Y (2)0 Y(2)t1 Y

    (2)t2 . . . Y

    (2)TN−1 Y

    (2)T

    Y (3)0 Y(3)t1 Y

    (3)t2 . . . Y

    (3)TN−1 Y

    (3)T

    . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Y (M−1)0 Y(M−1)t1 Y

    (M−1)t2 . . . Y

    (M−1)TN−1 Y

    (M−1)T

    Y (M)0 Y(M)t1 Y

    (M)t2 . . . Y

    (M)TN−1 Y

    (M)T

    I. Oliva MATLAB e finanza

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    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione di Moti Browniani generalizzati

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    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione Moto Browniano Geometrico

    {St}t≥0 Moto Browniano geometrico: S0 = s0,

    dSt = µStdt + σStdWt , St = s0 exp{(

    µ− σ2

    2

    )t + σ (Wt −W0)

    }Una simulazione: X (1)i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N

    S(1)t0 = s0

    S(1)t1 = s0 exp{(

    µ− σ2

    2

    )(t1 − t0) + σ

    √t1 − t0X (1)1

    }S(1)t2 = s0 exp

    {(µ− σ

    2

    2

    )(t2 − t1) + σ

    √t2 − t1X (1)2

    }. . .

    S(1)tN = s0 exp{(

    µ− σ2

    2

    )(tN − tN−1) + σ

    √tN − tN−1X (1)N

    }I. Oliva MATLAB e finanza

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    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione Moto Browniano Geometrico

    {St}t≥0 Moto Browniano geometrico: S0 = s0,

    dSt = µStdt + σStdWt , St = s0 exp{(

    µ− σ2

    2

    )t + σ (Wt −W0)

    }M simulazioni: X (j)i ∼ N (0, 1), i = 1, . . . ,N, j = 1, . . . ,M

    S(j)t0 = s0

    S(j)t1 = s0 exp{(

    µ− σ2

    2

    )(t1 − t0) + σ

    √t1 − t0X (j)1

    }S(j)t2 = s0 exp

    {(µ− σ

    2

    2

    )(t2 − t1) + σ

    √t2 − t1X (j)2

    }. . .

    S(j)tN = s0 exp{(

    µ− σ2

    2

    )(tN − tN−1) + σ

    √tN − tN−1X (j)N

    }I. Oliva MATLAB e finanza

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    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione Moto Browniano Standard

    S =

    S(1) S(1)t1 S(1)t2 . . . S

    (1)TN−1 S

    (1)T

    S(2)0 S(2)t1 S

    (2)t2 . . . S

    (2)TN−1 S

    (2)T

    S(3)0 S(3)t1 S

    (3)t2 . . . S

    (3)TN−1 S

    (3)T

    . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    S(M−1)0 S(M−1)t1 S

    (M−1)t2 . . . S

    (M−1)TN−1 S

    (M−1)T

    S(M)0 S(M)t1 S

    (M)t2 . . . S

    (M)TN−1 S

    (M)T

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione di Moti Browniani geometrici

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Due Moti Browniani correlati

    dBt = rBtdtdS(1)t = µ1S

    (1)t dt + σ1S

    (1)t dW

    (1)t

    dS(2)t = µ2S(2)t dt + σ2S

    (2)t dW

    (2)t

    Corr(dW (1)t , dW

    (2)t)

    = ρ, ⇒ C =(

    1 ρρ 1

    )

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Dal punto di vista algoritmico /1:

    1. scelta dei parametri del modello (ρ = 0.4) efattorizzazione di Cholesky C = A · A′ , (Atriangolare inferiore)

    2. scelta dello scadenzario t = [0, t1, t2, . . . , tN−1,T ]

    3. costruzione delle differenze dei tempi delloscadenzario dti = ti − ti−1, i = 1, . . . ,N (vettore dt)

    4. estrazione di M vettori casuali di lunghezza N dadistribuzione normale standard per ciascun motobrowniano (matrici X1 e X2)

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    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Dal punto di vista algoritmico /2:

    5. per ogni istante di osservazione i = 1, . . . ,N :memorizzazione delle estrazioni di tutte lesimulazioni al tempo i-esimo (matrice M × 2)costruzione della matrice Z , di dimensioneM × 2 in accordo con l’espressione del MotoBrowniano (standard, generalizzato, geometrico)Attenzione alle dimensioni degli addendi!!

    6. costruzione di due matrici W1 e W2 (M × (N + 1))delle traiettorie dei Moti Browniani

    7. rappresentazione grafica delle traiettorie simulate

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione di MB standard correlati

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione di MB generalizzati correlati

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    Simulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

    Simulazione di MB geometrici correlati

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Esercizio

    Con il metodo Monte Carlo, considerando il modello di Black eScholes per la dinamica del prezzo di un’azione con parametriS0 = 90, r = 0.06, σ = 0.2, valutare in t = 0 i seguenti titoli:

    1 una call europea ed una put europea con scadenza T = 1.2anni e strike price K = 95

    2 un titolo derivato avente, alla scadenza T = 1.2 anni, ilseguente payoff

    HT = max{K − S, 0} ,

    dove K = 95 e, indicato con 0 = t0 < t1 < . . . < tp = T unoscadenzario prefissato (osservazioni giornaliere),S = 1p

    ∑pi=1 Sti .

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Esercizio

    Con il metodo Monte Carlo, considerando il modello di Black eScholes bivariato, sotto la misura risk-neutral Q, di parametrir = 0.06, σ = [0.2, 0.4], S0 = [90, 100] con correlazione ρ = 0.4per la dinamica dei prezzi S j , j = 1, 2 di due azioni, si calcoli int = 0 il valore V0 di un derivato avente, alla scadenza T = 1 anno,il payoff sotto indicato:

    HT = max{K − S, 0},

    dove K = 102 e S = 3√∏2

    j=1 SjT .

    I. Oliva MATLAB e finanza

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Esercizio

    Con il metodo Monte Carlo, considerando il modello di Black eScholes bivariato, sotto la misura risk-neutral Q, di parametrir = 0.06, σ = [0.2, 0.4], S0 = [90, 100] con correlazione ρ = 0.4per la dinamica dei prezzi S i , i = 1, 2 di due azioni, si calcoli int = 0 il valore V0 di un derivato, avente alla scadenza T = 1 anno,il payoff sotto riportato

    HT = max{S − K , 0},

    dove K = 102 e S = max{

    12(S

    1t1 + S

    2t1), . . . ,

    12(S

    1tp + S

    2tp )},

    essendo 0 = t0 < t1 < . . . < tp = T uno scadenzario prefissato(osservazioni giornaliere).

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Modello di HestonModello di Black-Scholes con salti

    Ipotesi del modello di Black e Scholes:

    No arbitraggio, costi di transazione, dividendi

    titoli negoziati continuamente e scambiati anchein valori frazionari

    log-rendimenti indipendenti e normalmentedistribuiti

    volatilità costante

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Modello di HestonModello di Black-Scholes con salti

    Modello di Heston

    dBt = rBtdtdSt = µStdt +

    √vtStdW (1)tdvt = k(θ − vt)dt + η

    √vtdW (2)t

    con µ ∈ R, k, θ, η > 0 e d〈W (1)t ,W

    (2)t〉

    = ρdt

    θ media di lungo periodok velocità di ritornoη vol-of-vol

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  • Pricing di derivati con Monte CarloSimulazione di processi stocastici

    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Modello di HestonModello di Black-Scholes con salti

    schema di EuleroDiscretizzazione temporale:

    0 := t0 < t1 < t2 < . . . , tN−1 < tN =: T , con ti =iTN

    Discretizzazione processo del prezzo:

    Sti = Sti−1+µSti−1∆t+√vti Sti−1∆W

    (1)ti , ∆W

    (1)ti := W

    (1)ti −W

    (1)ti−1

    Discretizzazione processo square-root della varianza:

    vti = vti−1+k(θ−vti−1)∆t+√vtiη∆W

    (2)ti , ∆W

    (2)ti := W

    (2)ti −W

    (2)ti−1

    Attenzione! Il processo {vt}t≥0 deve essere sempre positivo(metodo della specularità)

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    Modello di HestonModello di Black-Scholes con salti

    Processi Jump Diffusion

    dSt = µStdt +√

    vtStdWt + StdJt

    dove Jt =∑Nt

    j=1 Yj , con Nt processo di Poisson e Yj v.a.i.i.d(processo di Poisson composto)

    {N(λ)t}t≥0 t.c. N(λ)t ∼ Po(λt), (P(N(λ)t = k) = e−λt (λt)k

    k! )

    Yj ∼ N (µJ , σJ)

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Modello di HestonModello di Black-Scholes con salti

    Discretizzazione

    Discretizzazione temporale:

    0 := t0 < t1 < t2 < . . . , tN−1 < tN =: T , con ti =iTN

    Simulazione traiettorie (come MB geometrico univariato +termine di salto )

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Modello di HestonModello di Black-Scholes con salti

    Esercizio

    Con il metodo di Eulero simulare M = 10, 50, 100, traiettorie delprezzo di un’azione, considerando per esso una dinamica data daun processo Jump Diffusion con i seguenti parametri:

    S0 = 90, σ = 0.2, µ = 0.7, µJ = −0.02, σJ = 0.22, λ = 30 .

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    Pricing di derivatiModelli di Heston e Jump-Diffusion

    Modello di HestonModello di Black-Scholes con salti

    Esercizio

    Con il metodo Monte Carlo, determinare al tempo t = 0 il prezzo D0 di untitolo derivato avente il seguente payoff

    HT = max{K − S, 0} ,

    dove K = 95, T = 1 anno e S = 1p∑p

    i=1 Sti , essendo0 = t0 < t1 < . . . < tp = T uno scadenzario prefissato, costituito daosservazioni giornaliere, e sapendo che {St}t≥0 è il processo stocastico chegoverna l’andamento del sottostante, nei seguenti casi:

    modello di Black e Scholes, con parametri assegnatir = 1%, σ = 25%, S0 = 100;

    modello Jump-Diffusion, con parametri assegnatir = 1%, σ = 25%, S0 = 100, λ = 30 ed ampiezza di salto distribuitasecondo una v.a. normale di media µJ = 0.02 e varianza σ2J = 22%;

    modello di Heston, con parametri assegnati r = 1%, σ = 25%, S0 =100, V0 = 0.3, k = 4, θ = 0.04, η = 0.45, ρ = −0.3.

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    Pricing di derivati con Monte CarloCos'è il Metodo Monte Carlo?

    Simulazione di processi stocasticiSimulazione di processi di WienerSimulazione di Moti Browniani generalizzatiSimulazione di Moti Browniani geometriciSimulazione di processi stocastici multivariati

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