TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN:

Notación: △ABC, TABC, etc.

CLASIFICACION:

Por la longitud de sus lados T. Escaleno T. Isósceles T. Equilátero

Por la medida de sus ángulos Triángulos oblicuángulos

T. Acutángulo T. Obtusángulo

; 90y 90

Triángulos rectángulos

90

Cateto Hipotenusa

Propiedades Básicas

1. 2. 3. 4.

Casos particulares :Si c b a

2 2b c a b c

2 2b c a b c

Líneas Notables en el Triángulo

1. Mediana

2. Bisectriz

B

F

E A C H

Elementos

1. Vértice: A, B, C

2. Lados: ABതതതത, BCതതതത y ACതതതത

3. Ángulos Interiores: ∢A, ∢B, ∢C

Exteriores: ∢EAB, ∢FBC, ∢BCH

Observaciones:

* Se denomina región triangular a la

reunión de los puntos interiores con

el conjunto de puntos de su lados.

Aº

Bº

Cº

Aᵒ + Bᵒ + Cᵒ = 180ᵒ

eᵒ1

eᵒ2

eᵒ3

eᵒ1 + eᵒ2 + eᵒ3 = 360ᵒ

xᵒ = βᵒ + θᵒyᵒ = αᵒ + θᵒzᵒ = αᵒ + βᵒ

xᵒ

yᵒ

zᵒ α

β

θ

c b

a

b − c < a < b + c

B

A M C b b

BMതതതത: Mediana

A

B

C I

αᵒ αᵒ BIഥ : Bisectriz interior

3. Altura

4. Mediatriz

5. Ceviana

Relaciones Angulares

1. 2.

3. 4. PROPIEDADES x x y a b

180x a b x y a b

x y a b 180a b c d e

A

B

C

L θ

θ Lത: Bisectriz exterior

A

B

C H

BHതതതത: Altura

A

B C F

AFതതതത: Altura

A

B

C

L

L: Mediatriz de ACതതതത

b b

A

B

C F

BFതതതത: Ceviana interior

A

B

E C

BEതതതത: es ceviana exterior

α α

θ θ

xᵒ

Bᵒ

xᵒ = 90ᵒ +Bᵒ

2

xᵒ

θ θ

α α

Bᵒ xᵒ = 90ᵒ −

Bᵒ

2

α α

θ θ

Bᵒ xᵒ xᵒ =

Bᵒ

2

αᵒ θᵒ

xᵒ

BHതതതത: Altura

BIഥ : Bisectriz

A

B

C H I

xᵒ =αᵒ − θᵒ

2

2

a bx

490x

A

3 2

a b c a b cc

2 p a b c

2p x y z p

PRACTICA DE CLASE

01. En la siguiente figura determinar el valor de “x”

A) 8° B) 10° C) 15° D) 16° E) 18°

02. Del gráfico. Calcular “x” A) 150 B) 144 C) 120 D) 135 E) 165

03. Hallar : a + b + c A) 200° B) 250° C) 265° D) 270° E) 280°

04. De la figura, calcula “x”: A) 110º B) 90º C) 115º D) 120º E) 130º

05. Según el gráfico, calcular el valor de , si los ángulos ACE y BFD son suplementarios. A) 10° B) 5° C) 15° D) 18° E) 20°

06. Calcular “x” A) 15° B) 30° C) 45° D) 60° E) NA

07. En la figura, el triángulo ABC es isósceles (AB = BC) y el triángulo MNC es equilátero. Entonces se cumple: A) 2b – a = 180° B) b – a = 90° C) b – 2a = 90° D) b – a = 0° E) 2b – a = 0° A

B

C

M

N

a

b

40°

3 2

3 2

x

A

B

C D

B E

3

3

2

3

120°

2 2

x

B

P

A C

5

xº

5

2

b

a c 2

2

5

x

08. Calcule x. A) 45° B) 60° C) 40° D) 35° E) 30°

09. Según el gráfico, calcular el valor de x + y. Si:

+ + = 60°. A) 20° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°

10. Calcule x, si + = 130°. A) 50° B) 40° C) 45° D) 60° E) 55°

11. Según la figura, calcule x: A) 93º B) 87º C) 90º D) 97º E) 100º

12. Del gráfico, calcule “x”. A) 110° B) 85° C) 95° D) 80° E) 75°

13. En el gráfico, m + n = 150°. Calcule “x”. A) 20º B) 30º C) 35º D) 25º E) 40º

14. Indique la alternativa correcta en el gráfico.

A) m =p−q

2 B) m =

p+q

2 C) m =

p+q

3

D) m = p + q E) m =p+q

4

15. Del gráfico, calcule x + y + z. A) 90° B) 180° C) 270° D) 120° E) 135°

16. En el gráfico, AB = BC y α + β = 40°. Calcule “x”. A) 40° B) 80° C) 70° D) 45° E) 50°

50°

β

β

x

70°

150° x

n

m

2x

m

q

α α

p

α α

x

z β β

θ

θ y

x

α

β

A

B

C

x

x

y

x

x

24º 24º

x 18º

18º

17. En el triángulo ABC, se ubica D en ACതതതത, tal que:

m∢ABC = 80° + m∢BAC y DC = BC. Calcule

m∢ABD. A) 40° B) 50° C) 65° D) 80° E) 60°

18. Del gráfico, calcule x+y

z.

A) 1 B) 1

2 C) 2

D) 3 E) 1

3

19. Calcule el mayor valor entero de la longitud de

un lado, si el perímetro de su región es 40. A) 20 B) 21 C) 22 D) 19 E) 18

20. En el gráfico, AB = AC y DM = DC. Calcule x + y A) 200º B) 240º C) 300º D) 280º E) 260º

21. En la región interior de un triángulo equilátero se ubica un punto, tal que la suma de distancias de dicho punto a los vértices es 9 m. Calcule la longitud del lado del triángulo equilátero, sabiendo que es entera. A) 5 m B) 4 m C) 3 m D) 1 m E) 2 m

22. Del gráfico, calcule z + x.

A) 220° B) 210° C) 300° D) 260° E) 280°

23. En el triángulo ABC, las bisectrices trazadas de

A y C se cortan en P. Si AP = 6 y PC = 8. Calcule el número de valores enteros de AC. A) 0 B) 1 C) 3 D) 2 E) 4

24. Del gráfico, calcule “x”. A) 100° B) 80° C) 110° D) 85° E) 120°

25. En la figura mostrada, se cumple m∢ACE +m∢BFD = ω, entonces la m∢BPD es:

A) 2 ω B) 3

2ω C) ω

D) 5

3ω E)

2

3ω

26. En un triángulo ABC, se ubica P exterior a dicho

ángulo, tal que: APതതതത interseca a BCതതതത. Si BP = 10u,

BC = 13u y AP = 11u, luego el máximo valor entero (en u) del lado AC, es: A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

27. En un triángulo ABC, se cumple m∢BCA = 18° y AB > BC. Entonces, el mínimo valor entero para la medida del ángulo ABC, es: A) 145° B) 144° C) 147° D) 150° E) 153°

x θ

2θ α

2α

y z

A

C B

M

D

x

y

20°

40° z

x

β

β

θ θ

50° 60°

θ

θ x

α 2n n

m φ 2φ

A

B

C

D

E

P

F

28. En el siguiente gráfico, calcule: α + φ + β + θ; si

a + b + c + d = 518° A) 154° B) 156° C) 157° D) 158° E) 159°

29. En un triángulo equilátero ABC se ubica el

punto D exterior al triangulo, tal que BDതതതത corta a

ACതതതത, si el ángulo ADC es obtuso, AD = 8 y CD =15, calcule el perímetro del triángulo ABC, si el menor valor entero. A) 48 B) 50 C) 52 D) 46 E) 49

30. En un triángulo escaleno se cumple que las medidas de los tres ángulos internos son números enteros menores que 74°. Se traza la

ceviana interior BR, tal que: 3(m∢ABR) =m∢ABC y 8(m∢ARB) = 7(m∢CRB). Calcule la medida del menor ángulo interior del triángulo ABC. A) 35° B) 39° C) 38° D) 24° E) 42°

31. Las raíces de la ecuación:

x3 − 7x2 + 12x − nx2 + 7nx − 12n = 0 Son las medidas de los lados de un triángulo. Halle la suma de todos los valores enteros posibles de “n”. A) 18 B) 20 C) 15 D) 22 E) 23

32. En el gráfico, α + θ = 25°. Calcule “x”. A) 165° B) 175° C) 145° D) 155° E) 140°

33. En el gráfico, calcule x + y + z. A) 300° B) 240° C) 270° D) 320° D) 450°

34. Del gráfico, calcule “x” A) 90° B) 120° C) 135° D) 100° E) 108°

35. En el gráfico, el triángulo ABC es acutángulo y

CQ = 7. Calcule PQ, cuando PC toma su mayor valor entero.

A) √85 B) √75 C) 10 D) 8 E) 9

36. En el gráfico, calcule “x”. A) 45° B) 60° C) 80° D) 70° E) 50°

β

θ α

φ a

b

c

d

A

B

C

Q

P α

α δ δ γ

γ

x

α 2α

2φ φ

θ 2θ

2δ

δ

α α α

y

z

x

γ γ

γ θ θ

θ

x

x

γ

γ θ

θ

β β

2α

α

β β

θ θ

δ δ

φ φ

x

30°

37. Del gráfico, calcule “x” A) 70° B) 35° C) 40° D) 55° E) 65°

38. Del gráfico, calcule “x” A) 160° B) 140º C) 130° D) 155º E) 150°

39. ¿Cuántos triángulos de longitudes enteras cuyo perímetro es 40u existen? A) 30 B) 32 C) 33 D) 34 E) 35

40. En el gráfico, MB = NC = 12, AC = 15, BN = 9,

α < 90° y θ > 90°. Si AB y BC toman su menor y mayor valor entero respectivamente. Calcule

el mayor valor entero de PA + PB + PC. A) 39º B) 40º C) 41º D) 27º E) 38º

41. Del gráfico, calcule “x” A) 10º B) 24º C) 18º D) 36º E) 12º

42. En el gráfico, m + n = 6x. Calcule “x”. A) 30° B) 36° C) 45° D) 50° E) 60°

43. En el gráfico, 𝜑 + 𝜃 = 180°, calcule “𝑥”. A) 18° B) 40° C) 10° D) 20° E) 15°

44. Si 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 + 𝛾 = 140°, calcule “𝑥”. A) 140° B) 100° C) 80° D) 70° E) 60°

45. En el gráfico, a + b = 300°. Calcule “𝑥” A) 100° B) 120° C) 150° D) 130° E) 110°

θ

θ

β

2β

70°

x

20°

δ δ φ φ x

A

B

C

P

M

N

θ

α

α α θ

θ

x ω

ω 24°

x

θ θ

β

β

m

n

𝑥 20°

𝛼 𝛼

𝛽 𝛽

𝜃 𝜑

𝜔 𝜔

𝛽

𝛼

𝜃

𝛾 𝑚

𝑚 𝑛 𝑛 𝑥

𝑥

a

b

𝜃

𝜃

𝛽 𝛽

46. Del gráfico, calcule “𝑥” A) 36° B) 30° C) 45° D) 60° E) 54°

47. Según la figura, el triángulo ABC es equilátero. Si PC = 2, calcule el máximo valor entero de PQ. A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 8

48. En la figura, AB = 9 y 2 - = 180º. Calcule el máximo valor entero de PQ. A) 9 B) 7 C) 8 D) 10 E) 6

49. En la figura a + b = 40º. Calcule x - y A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º

50. En la figura, + + + = 540º. Calcule x A) 75º B) 76º C) 80º D) 85º E) 90º

51. Del gráfico obtener “x” si KH toma su mínimo valor entero.

A) 65 B) 66 C) 67 D) 68 E) N.A.

52. En el gráfico, PC = CQ. Calcule 𝑥 + 𝑦. A) 104° B) 108° C) 148° D) 138° E) 152°

53. Del gráfico, calcule “x” en función de 𝛽.

A) 320°−5𝛽

3 B) 110° − 3𝛽 C)

320°−4𝛽

3

D) 320°−7𝛽

3 E)

5𝛽−220°

3

24° 24°

𝑦

𝑥

2θ

P

Q C

40°

𝛽 𝛽

𝜑 𝜑

2θ θ

2α α

x

P

B

Q

A C

A m

O

n B

P Q n m

b b

y

a a

x

/2

/2

x

8

30º

x 30º

K

H

𝛾 𝛾

2𝑥 𝑥

𝜃 2𝜃

𝛽 𝛽

54. En el gráfico, calcule “x”. A) 40º B) 50º C) 30º D) 25º E) 20º

55. Del gráfico, calcule 𝑥 + 𝑦.

A) 240º B) 215º C) 190º D) 210º E) 220º

56. En el gráfico, α + θ < 170°. Calcule el menor valor entero de “x”. A) 90º B) 94º C) 98º D) 96º E) 97º

57. En el gráfico, m∢ABC − 2(m∢PBQ) = 20°. Calcule x + y. A) 100º B) 105º C) 120º D) 110º E) 115º

58. En el gráfico, calcule 𝑥

𝑦

A) 1 B) 2 C) 3

D) 1

2 E)

1

3

59. En el gráfico, ED = DF, calcule el mayor valor entero de α. A) 44º B) 18º C) 31º D) 17º E) 29º

60. En el gráfico, el triángulo ABC es isósceles, calcule “x”. A) 50º B) 40º C) 65º D) 45º E) 80º

61. En el gráfico, m − n = 60°, calcule x + y. A) 80º B) 140º C) 120º D) 100º E) 130º

α

x

a a

α β

β

40°

θ

α φ

φ

θ ω

ω

x

ω ω θ

θ α

α

x

φ φ

γ

γ

β

y

A

B

C

Q P β

β x y

φ φ

γ γ

y x m

m

δ δ

2β

D E

F

α 2α

β

β

φ

φ

A B

C

φ 100°

φ

x

β

β φ

φ

γ γ

n

m

x

y

θ θ