chuyen de phan nguyen phan le cua vu phong.doc
TRANSCRIPT
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
1
Chuyªn ®Ò 1 : Ph¬ng tr×nh cã chøa phÇn nguyªn
Vò Hång Phong GV THPT Tiªn Du 1, B¾c Ninh
Khi gÆp mét ph¬ng tr×nh cã chøa phÇn nguyªn chóng ta kh«ng chØ thÊy c¸i hay trong thuËt to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh mµ cßn thÊy ë ®ã nh÷ng tÝnh chÊt thó vÞ cña phÇn nguyªn ®îc sö dông. Hi väng bµi viÕt nµy sÏ ®em l¹i nh÷ng ®iÒu míi l¹ vµ bæ Ých cho c¸c b¹n Tríc tiªn xin nh¾c l¹i mét vµi tÝnh chÊt cña phÇn nguyªn: Víi x,y, lµ c¸c sè thùc, m,n lµ sè nguyªn, Z lµ tËp hîp sè nguyªn ta kÝ hiÖu [x] là sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x ,®äc lµ phÇn nguyªn cña x, phÇn lÎ cña x lµ ][}{ xxx . Khi ®ã ta cã: TÝnh chÊt 1: xxx ][1
HÖ qu¶: 1}{0 x
Chøng minh: + do [x] là sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x nªn xx ][ + ta chøng minh ][1 xx b»ng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng nh sau Gi¶ sö ][1 xx suy ra ][1][ xxx nh vËy 1][ x lµ sè nguyªn kh«ng vît qu¸ x, m©u thuÉn
víi ®Þnh nghÜa [x] là sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x + do xxx ][1 nªn 1][0 xx suy ra 1}{0 x TÝnh chÊt 2: 1][ nxnnx
Chøng minh:
+ nÕu nx ][ th× theo tÝnh chÊt 1 cã xxnx ][1 suy ra 1 nxn + nÕu 1 nxn th× sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x lµ n suy ra nx ][ TÝnh chÊt 3: nxnx ][][
Chøng minh: Gi¶ sö mx ][ th× theo tÝnh chÊt 2 cã 1 mxm 1 nmnxnm
nxnmnx ][][ TÝnh chÊt 4: víi Zx th× ][][ xx
víi Zx th× 1][][ xx Chøng minh: + víi Zx th× Zx nªn x lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x vµ x lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x nªn xx ][ ; xx ][ suy ra ][][ xxx +víi Zx th× theo tÝnh chÊt 1 cã xxx ][1 1][][ xxx ][1][ xxx suy ra 1][][ xx
TÝnh chÊt 5: víi 1n cã ][]1
[...]1
[][ nxn
nx
nxx
Chøng minh: Víi Rx tån t¹i Za sao cho )1;[ aax Chia nöa kho¶ng )1;[ aa thµnh n nöa kho¶ng nh sau:
)1
;[n
aa ; )2
;1
[n
an
a ;....; );1
[n
ka
n
ka
;...; )1;
1[
an
na
Khi ®ã x sÏ thuéc mét trong n nöa kho¶ng trªn
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
2
Gi¶ sö );1
[n
ka
n
kax
Víi kniZi 0; cã )1;1
[
an
ka
n
ix suy ra a
n
ix ][
Suy ra aknn
knx
nxx )1(][...]
1[][
(1) (v× vÕ tr¸i cã n k+1 sè h¹ng)
Víi 11; niknZi cã )2;1[ aan
ix suy ra 1][ a
n
ix
Suy ra )1)(1(]1
[...]1
[
akn
nx
n
knx (2) (v× vÕ tr¸i cã k-1 sè h¹ng)
Do );1
[n
ka
n
kax
nªn );1[ knaknanx suy ra 1][ knanx (3)
Tõ (1),(2),(3) suy ra ][1)1)(1()1(]1
[...]1
[][ nxknaakaknn
nx
nxx
TÝnh chÊt 6:Víi yx th× ][][ yx Chøng minh: Theo tÝnh chÊt 1 cã 1][ xx vµ yy ][
Ta chøng minh b»ng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng nh sau: Gi¶ sö ][][ yx suy ra ][1][ yx yyxx ][1][ yx m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt yx
TÝnh chÊt 7:víi 1n th× 1}]{[0 nxn
Chøng minh: do 1}{0 x nªn nxn }{0 1}]{[0 nxn TÝnh chÊt 8: Víi 1n cã: 1][][][ nxnnxxn
+ n
xnxxn1
}{0][][
+ 1}{1
1][][
xn
nnxnnx
Chøng minh: do Zxn ][ nªn theo tÝnh chÊt 3 cã }]{[][})]{]([[][ xnxnxxnnx
Mµ theo tÝnh chÊt 7 cã 1}]{[0 nxn suy ra 1][][][ nxnnxxn
nxnxnxnxxn
1}{0100][][][
1}{1
11][1][][
xn
nnnxnnnxnxnnx
TÝnh chÊt 9:Víi 1, nm cã: + 1][][][][][ nmynxmnymxynxm
+ 1][][][][][ mynxmnymxnynxm Chøng minh: cã }]{}{[][][}]{][}{][[][ ynxmynxmynynxmxmnymx }]{}{[][][}]{][}{][[][ ynxmynxmynynxmxmnymx
Do 1}{};{0 yx nªn nmynxm }{}{0 ; mynxmn }{}{ Suy ra 1}]{}{[0 nmynxm ; 1}]{}{[ mynxmn Do vËy 1][][][][][ nmynxmnymxynxm 1][][][][][ mynxmnymxnynxm
TÝnh chÊt 10 víi Rxi cã : 1][...][][]..[][..][][ 212121 nxxxxxxxxx nnn
®¼ng thøc x¶y ra ë tõng chç lÇn lît lµ 0}]{..}{}[{ 21 nxxx ; 1}]{..}{}[{ 21 nxxx n
Chøng minh: cã }]{][...}{][}{][[]..[ 221121 nnn xxxxxxxxx
}]{..}{}[{][..][][ 2121 nn xxxxxx (1)
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
3
Do 1}{0 ix nªn nxxx n }{..}{}{0 21 suy ra 1}]{..}{}[{0 21 nxxx n (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Tæng qu¸t tÝnh chÊt 8,9,10 nh sau: BiÓu thøc ][...][][][..][][]....[ 21212121 nmnm yyyxxxyyyxxxP nhËn c¸c gi¸
trÞ nguyªn 1;...;1; mnn Chøng minh: BiÕn ®æi t¬ng tù tÝnh chÊt 8,9,10 ®îc: ZyyyxxxP nm }]{..}{}{}{..}{}[{ 2121 (1)
Cã myyyxxxn nm }{..}{}{}{..}{}{ 2121 nªn
1}]{..}{}{}{..}{}[{ 2121 myyyxxxn nm (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra P nhËn c¸c gi¸ trÞ nguyªn 1;...;1; mnn TÝnh chÊt 11: a) nÕu 0, yx th× ]][[][ yxxy
b) nÕu 0, yx th× ]][[][ yxxy c) nÕu yx 0 th× ][]][[][ xyxxy Chøng minh: do Zyx ]][[ nªn }]}{{}]{[}]{[[]][[})]{]})([{][([][ yxxyyxyxyyxxxy ]}{}]{[[]][[})]{]}([{}]{[[]][[ yxyxyxyyxyxyx
a) Víi 0, yx th× 0][ x mµ 0}{};{ yx nªn 0}]{[ yx ; 0}{ yx suy ra 0}{}]{[ yxyx 0]}{}]{[[ yxyx do vËy ]][[][ yxxy
b) Víi 0, yx th× 0][ x mµ 0}{};{ yx nªn 0}]{[ yx ; 0}{ yx suy ra 0}{}]{[ yxyx 0]}{}]{[[ yxyx do vËy ]][[][ yxxy
c) Víi yx 0 th× yx 0][ mµ 1}{};{0 yx suy ra ][}]{[ xyx vµ 0}{ yx suy ra ][}{}]{[ xyxyx ][]][[]}{}]{[[ xxyxyx (theo tÝnh chÊt 6) do vËy ][]][[][ xyxxy
TÝnh chÊt 12: + nÕu 0 vµ ][][ yx th× yx1 + nÕu 0 vµ ][][ yx th× 01 yx
Tæng qu¸t: víi Rji ;; ; 0; ji
nÕu ][..][][][..][][ 22112211 nnmm yyyxxx
th× mnnnmm yyyxxx ..;...... 212122112211
Chøng minh: Víi ][][ yx th× }{}{}){]([}){]([ yxyyxxyx
+ khi 0 cã }{}{1 yx yx1 + khi 0 cã 0}{}{1 yx 01 yx + Cã nnmm yyyxxx .... 22112211
][..][][][..][][ 22112211 nnmm yyyxxx
}{..}{}{}{..}{}{ 22112211 nnmm yyyxxx
}{..}{}{}{..}{}{ 22112211 nnmm yyyxxx (1)
Do 1;0 ji yx nªn }{..}{}{}{..}{}{ 22112211 nnmm yyyxxx thuéc
kho¶ng mn ..;.. 2121 (2)
tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm Sau ®©y lµ c¸c vÝ dô VÝ dô 1: gi¶i ph¬ng tr×nh
}{3
22]
16
15[...]
16
3[]
16
1[ x
xxx
(1)
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
4
Lêi gi¶i Theo tÝnh chÊt 5 cã:
]2
1[]
16
1.8[]
8
7
16
1[...]
8
1
16
1[]
16
1[)1(
xxxxxVT
Do 1}{0 x nªn 3
25}{
3
22)1(
3
22 xVP
L¹i cã ZVT )1( nªn 8)1()1( VPVT
8]2
1[8)1(
xVT 17159
2
18
xx
15][ x hoÆc 16][ x
3
2}{8)1( xVP
Mµ }{][ xxx nªn PT(1) cã 2 nghiÖm 3
47x vµ
3
50x
VÝ dô 2 gi¶i ph¬ng tr×nh
3
25
9
17113
xx (*)
Lêi gi¶i Theo tÝnh chÊt 12 tõ PT(*) suy ra
33
25
9
1711.31
xx42 x
Suy ra 63
25
3
8
x
5(*)3
252
VP
x
Mµ VT(*) lµ sè nguyªn chia hÕt cho 3 nªn 3(*)(*) VPVT suy ra
33
25
19
1711
(*)x
x
PT
43
253
29
17111
x
x
5
14
5
11
11
35
11
26
x
x
5
14
11
26 x
VËy tËp nghiÖm cña PT(*) lµ
5
14;
11
26T
VÝ dô 3 gi¶i ph¬ng tr×nh
25
8165}{]][[
22422
x
xxxx (1)
Lêi gi¶i Theo tÝnh chÊt 1 cã 1][ 22 xx nªn 242222 )1(][ xxxxxx
Theo tÝnh chÊt 6 suy ra ][]][[ 2422 xxxx .
Ta cã 242424 }{][)1( xxxxxxVT (2)
Mµ 25
81650)
5
9(
22422
xxxx (3)
Tõ (2) vµ (3) suy ra )1()1( VPVT )1()1( VPVT dÊu “=” x¶y ra t¹i (2) vµ (3)
V× thÕ )1(PT
0)5
9(
][]][[
22
2422
x
xxxx
5
9 x
VËy PT(1) cã 2 nghiÖm 5
9x
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
5
VÝ dô 4 gi¶i ph¬ng tr×nh
6
22913025
6
310
6
15
3
154
2
xxxx
x (1)
Lêi gi¶i ¸p dông tÝnh chÊt 9 cã
6
33105
6
3105
6
310
6
310
6
3105)
6
1.(5
3
15.4)1(
xxxxxx
xVT (2)
Mµ 6
22913025
6
33100)145(
22
xxx
x (3)
Tõ (2) vµ (3) suy ra )1()1( VPVT )1()1( VPVT dÊu “=” x¶y ra t¹i (2) vµ (3)
Do ®ã
0)145(
5]6
310[]
6
1[5]
3
15[4
)1(2x
xx
x
PT 8,25
14 x
VËy PT(1) cã nghiÖm 8,2x
VÝ dô 5: gi¶i ph¬ng tr×nh
60
163][6
5
]5[
4
]4[
3
]3[
2
]2[ 22222
xxxxx
(*)
Lêi gi¶i Theo tÝnh chÊt 8 ta cã
2
1][2
2
]2[ 22
xx (1) ;
3
2][3
3
]3[ 22
xx (2)
4
3][4
4
]4[ 22
xx (3) ;
5
4][5
5
]5[ 22
xx (4)
Céng vÕ víi vÕ (1),(2),(3) vµ (4) ta ®îc 60
163][4(*) 2 xVT (5)
Mµ 02 x nªn 0][ 2 x suy ra 60
163][6
60
163][4 22 xx (6)
Tõ (5) vµ (6) suy ra (*)(*) VPVT (*)(*) VPVT dÊu “=” x¶y ra t¹i (1),(2),(3),(4),(6)
Do ®ã
0][
1}{5
4
1}{4
3
1}{3
2
1}{2
1
(*)
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
PT 1}{5
4 22 xx
5
21
15
2
x
x
VËy tËp nghiÖm cña PT(*) lµ )1;5
2[]
5
2;1(
T
VÝ dô 6 gi¶i ph¬ng tr×nh
7
6
2]4[]2[][
]7[ 2
222
2
xxxx
x(1)
Lêi gi¶i
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
6
DÔ thÊy Rxxxx ;02]4[]2[][ 222
TH1: víi 7
10 2 x th× 170 2 x vµ 1
7
60 2 x suy ra 0]
7
6[]7[ 22 xx
Khi nµy 0)1()1( VPVT suy ra 7
10 2 x tho¶ m·n (1)
VËy
7
1;
7
1x lµ nghiÖm cña (1)
TH2: víi 7
12 x cã 17
62 x suy ra 1]7
6[)1( 2 xVP (2)
®¼ng thøc x¶y ra 1]7
6[ 2 x 2
7
61 2 x
7
8
7
1 2 x
Theo tÝnh chÊt 10 cã 2]4[]2[][]42[]7[ 2222222 xxxxxxx suy ra 1)1( VT (3)
®¼ng thøc x¶y ra 2}]4{}2{}[{ 222 xxx 3}4{}2{}{2 222 xxx
Tõ (2) vµ (3) suy ra )1()1( VPVT
(*)3}4{}2{}{2
7
8
7
1
222
2
xxx
x(I)
3}4{}2{}{2 222 xxx (*) Theo tÝnh chÊt 4 chuyªn ®Ò 2 cã }]{[}{}}{{ xnxnxn
Suy ra 3}}{4{}}{2{}{2(*) 222 xxxBPT
3}]4[{}{4}]{2[}{2}{2 22222 xxxxx (1)
Do 1}{0 2 x nªn
TH1: 4
1}{0 2 x th×
2
1}{20 2 x ; 1}{40 2 x suy ra
0}]{2[ 2 x ; 0}]{4[ 2 x
3}{72)1( 2 x7
3}{
7
2 2 x (lo¹i v× 4
1}{0 2 x )
TH2: 2
1}{
4
1 2 x th× 1}{22
1 2 x ; 2}{41 2 x suy ra
0}]{2[ 2 x ; 1}]{4[ 2 x
31}{72)1( 2 x7
4}{
7
3 2 x
Suy ra 2
1}{
7
3 2 x
TH3: 4
3}{
2
1 2 x th× 2
3}{21 2 x ; 3}{42 2 x suy ra
1}]{2[ 2 x ; 2}]{4[ 2 x
33}{72)1( 2 x7
6}{
7
5 2 x
Suy ra 4
3}{
7
5 2 x
TH4: 1}{4
3 2 x th× 2}{22
3 2 x ; 4}{43 2 x suy ra
1}]{2[ 2 x ; 3}]{4[ 2 x
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
7
34}{72)1( 2 x 1}{7
6 2 x
Suy ra 1}{7
6 2 x
Tõ 4 trêng hîp suy ra
1;
7
6
4
3;
7
5
2
1;
7
32x
HÖ (I)
1;7
6
4
3;
7
5
2
1;
7
3}{
7
8
7
1
2
2
x
x
1;
7
6
4
3;
7
5
2
1;
7
32x
1;
7
6
4
3;
7
5
2
1;
7
3
7
3;
2
1
7
5;
4
3
7
6;1x
VËy tËp nghiÖm PT ®· cho lµ
1;
7
6
4
3;
7
5
2
1;
7
3
7
1;
7
1
7
3;
2
1
7
5;
4
3
7
6;1T
Bµi tËp: gi¶i ph¬ng tr×nh
1) 33
12]][[
x
xx
2) 04}{5]][[ 2 xxx
3) ]3
12[]
3
1
32[ 2
xx
x
4) 0]6
15[]
12
2311[2
xx
5) 10
121
]10[
1
][
1]10[][
xxxx
6) 1][
]2][[47
1]3[][
]6[]3[22
x
xx
xx
xx
7) 9]2
1
2[...]
2
1
2[]
2
1
2[
82
xxx
8) 1
8,112,03315
8,038,032
2
xxx
xx
9) 2
2
2
2][1]3[
12][12}]{3[2
x
x
xx
10) 1}75,023{]5,03][5,0[
25,2571342422
246
xxxx
xxx
Vò Hång Phong GV THPT Tiªn Du 1, B¾c Ninh
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
8
Chuyªn ®Ò2:Ph¬ng tr×nh, HÖ Ph¬ng tr×nh cã chøa phÇn lÎ
Vò Hång Phong GV THPT Tiªn Du 1, B¾c Ninh §Ó gi¶i ®îc c¸c PT,hÖ PT cã chøa phÇn nguyªn, phÇn lÎ ®ßi hái chóng ta ph¶i n¾m v÷ng c¸c tÝnh chÊt cña phÇn nguyªn còng nh phÇn lÎ. Sau ®©y,chóng t«i xin giíi thiÖu tíi c¸c b¹n mét sè tÝnh chÊt cña phÇn lÎ cïng c¸c vÝ dô cã vËn dông c¸c tÝnh chÊt nµy. Víi x,y lµ sè thùc, m;n lµ c¸c sè nguyªn,kÝ hiÖu phÇn nguyªn cña x lµ [x], phÇn lÎ cña x lµ ][}{ xxx , Z
lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn
tÝnh chÊt 1: 1}{0 x ( ®· chøng minh ë chuyªn ®Ò 1) tÝnh chÊt 2: 1}]{[0 nxn chøng minh: do 1}{0 x nªn nxn }{0 1}]{[0 nxn tÝnh chÊt 3: }{}{ xxn
Chøng minh: Ta cã }{][][][}{ xxxxnxnxnxnxn tÝnh chÊt 4: }}{{}{ xnnx Chøng minh: do Zxn ][ nªn theo tÝnh chÊt 3 cã }}{{}}{][{}{ xnxnxnnx tÝnh chÊt 5:Víi Zx th× 0}{}{ xx Víi Zx th× 1}{}{ xx Chøng minh: Víi Zx th× xx ][ ; xx ][ nªn 0][}{ xxx ; 0][}{ xxx Víi Zx th× 1][][ xx nªn 1}{1])[(1][][}{ xxxxxxxx Suy ra 1}{}{ xx tÝnh chÊt 6 : Zyxyx }{}{ Chøng minh: +Gi¶ sö }{}{ yx ta cã Zyxyyxxyx ][][}{][}{][ + gi¶ sö Zyx th× Zyxyxyyxxyx ][][][][}{}{ (1) Do 1}{};{0 yx nªn 1}{}{1 yx (2) Tõ (1);(2) suy ra 0}{}{ yx }{}{ yx
më réng: víi 1; nm a) +víi 11; mknZk vµ kynxm }{}{ th× Znymx
+ nÕu Znymx th× 1;...;2;1}{}{ mnnynxm b) +víi 10; nmkZk vµ kynxm }{}{ th× Znymx
+ nÕu Znymx th× 1;...;1;0}{}{ nmynxm c) +víi 11; mknZk vµ kyyyxxx nm ..... 2121
th× Zyyyxxx nm .... 2121
+ nÕu Zyyyxxx nm .... 2121 th×
1;...;2;1..... 2121 mnnyyyxxx nm
Chøng minh: +víi 11; mknZk vµ kynxm }{}{ th×
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
9
Zkynxmynxmynxmnymx ][][}{}{][][ + nÕu Znymx th× Zynxmnymxynxm ][][}{}{ (1) Do 1}{};{0 yx nªn mynxmn }{}{ (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra 1;...;2;1}{}{ mnnynxm a) +víi 10; nmkZk vµ kynxm }{}{ th× Zkynxmynxmynxmnymx ][][}{}{][][
+ nÕu Znymx th× Zynxmnymxynxm ][][}{}{ (1) Do 1}{};{0 yx nªn nmynxm }{}{0 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra 1;...;1;0}{}{ nmynxm
c) chøng minh t¬ng tù b vµ c tÝnh chÊt 7: a) nnn xxxxxxnxxx ......1.. 212121
®¼ng thøc x¶y ra ë tõng chç lÇn lît lµ 1}]{...}{}[{ 21 nxxx n ; 0}]{...}{}[{ 21 nxxx
b) 1 yxyxyx
®¼ng thøc x¶y ra ë tõng chç lÇn lît lµ 0][ yx ; 1][ yx chøng minh: a)ta cã ]..[..... 212121 nnn xxxxxxxxx
}]{][..}{][}{][[}{][..}{][}{][ 22112211 nnnn xxxxxxxxxxxx
}]{..}{}[{][..][][}{][..}{][}{][ 21212211 nnnn xxxxxxxxxxxx
}]{..}{}[{}{...}{}{ 2121 nn xxxxxx (1)
Do 10 ix nªn nxxx n }{...}{}{0 21 1}]{...}{}[{0 21 nxxx n (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra nnn xxxxxxnxxx ......1.. 212121
NhËn xÐt: tÝnh chÊt 7a cã thÓ ph¸t biÓu nh sau: BiÓu thøc nn xxxxxx ...... 2121 nhËn c¸c gi¸ trÞ 0;...;2;1 nn
Gi¶i thÝch thªm Theo (1) biÓu thøc b»ng Zxxx n }]{..}{}[{ 21
Do cã (2): 1}]{...}{}[{0 21 nxxx n nªn tõ ®ã suy ra nhËn xÐt
b) cã }]{][}{][[}{][}{][][ yyxxyyxxyxyxyx }]{}[{}{}{}]{}[{][][}{][}{][ yxyxyxyxyyxx (3) Cã 11 yx suy ra 0][1 yx (4) Tõ (3),(4) suy ra 1 yxyxyx
Tæng qu¸t: biÓu thøc nnnm yyyxxxyyyxxx ........... 21212121
nhËn c¸c gi¸ trÞ nmm ;...;2;1
tÝnh chÊt 8 : }{2
1}
1{...}
1{}{ nx
n
n
nx
nxx
víi 1n
chøng minh: cã )1
(...)1
(n
nx
nxx
2
1
2
)1(1...21
nnx
n
nnnx
n
nnx (*)
Mµ ][]1
[...]1
[][ nxn
nx
nxx
nªn
)1
(...)1
(n
nx
nxx
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
10
]1
[...]1
[][n
nx
nxx
}
1{...}
1{}{
n
nx
nxx
}1
{...}1
{}{][n
nx
nxxnx
Thay vµo (*) ®îc
2
1][
2
1}
1{...}
1{}{][
nnxnx
nnx
n
nx
nxxnx
Suy ra }{2
1}
1{...}
1{}{ nx
n
n
nx
nxx
sau ®©y lµ c¸c vÝ dô
VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2,6]2[])[13
2
3
1
3(
xxxxx
Lêi gi¶i theo tÝnh chÊt 8 cã xxxxx
3.3
2
13
3
2
33
1
33
PT 2,6]2[]}[{ xxx 2,6})]{]([2[]}[{ xxxx 2,6}]{2][2[]}[{ xxxx 2,6}]{2[][2]}[{ xxxx (1)
TH1: 2
1}{0 x (2) th× 1}{20 x 0}]{2[ x
PT(1) 2,6][2]}[{ xxx][
][22,6}{
x
xx
(3)
Do (2) nªn 2
1
][
][22,60
x
x 0
][
][22,6
x
x vµ 0
][
][54,12
x
x
48,2][
0][
1,3][0
x
x
x
3][1,3][48,2 xx
thay [x] = 3 vµo (3) ®îc }{x = 3
2,0 .Suy ra x = 15
46
3
2,03}{][ xx
TH2: 1}{2
1 x (4) th× 2}{21 x 1}]{2[ x
PT(1) 2,61][2]}[{ xxx][
][22,5}{
x
xx
Do (4) nªn 1][
][22,5
2
1
x
x(5)
Gi¶i t¬ng tù TH1 tõ (5) ta ®îc [x] = 2 khi ®ã }{x = 0,6 Suy ra x = 2,6
VËy PT ®· cho cã 2 nghiÖm x = 15
46 ; x = 2,6
VÝ dô 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh }35,0{}1{ xx (1)
Lêi gi¶i + theo tÝnh chÊt 6 th× ZxxAPT 5,031)1(
+ ta cã )3)(1(24)31( 2 xxxx
Theo B§T C«Si th× 431)3)(1(20 xxxx
Suy ra 8)31(4 2 xx 22312 xx
3,25,0225,1 A víi ]3;1[x
Do vËy 25,031 xxA
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
11
2
531 xx
4
25)3)(1(231 xxxx
9238 2 xx 011112864 2 xx8
1751 x
VËy PT(1) cã 2 nghiÖm 8
1751x
VÝ dô 3 Gi¶i ph¬ng tr×nh
2][
3][2][
264
42
2
x
xx
xx
xx (1)
Lêi gi¶i dÔ thÊy 0264 xx Theo tÝnh chÊt 4 cã }]{4[}{4}}{4{}4{ xxxx ( ][}{ aaa ) ¸p dông tÝnh chÊt 8 cã 2446 xxxxxxx xxxx 42264
Suy ra
2
1
264
4)1(
xx
xxVT (2)
®¼ng thøc x¶y ra 2]4[ xxx 3422 xx 3}{422 xx 3]4[422 xxx 3]4[62 xx (*)
TH1: 4
1}{0 x th× 1}{40 x 0}]{4[ x
362(*) xBPT 2
1
3
1 x (lo¹i do
4
1}{0 x )
TH2: 2
1}{
4
1 x th× 2}{41 x 1}]{4[ x
3162(*) xBPT 3
2
2
1 x (lo¹i do
2
1}{
4
1 x )
TH3: 4
3}{
2
1 x th× 3}{42 x 2}]{4[ x
3262(*) xBPT 6
5
3
2 x suy ra
4
3
3
2 x
TH4: 1}{4
3 x th× 4}{43 x 3}]{4[ x
3362(*) xBPT 16
5 x suy ra 1
6
5 x
VËy
1;
6
5
4
3;
3
2(*) xBPT
Ta cã 02][2x suy ra 2][3][2][2 22 xxx
Do ®ã 2
1
2][
3][2][)1(
2
2
x
xxVP (3)
®¼ng thøc x¶y ra 2][ x
Tõ (2);(3) suy ra 2
1)1()1( VPVT
2][
1;6
5
4
3;
3
2
x
x
3;
6
17
4
11;
3
8x
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
12
TËp nghiÖm cña PT(1) lµ
3;
6
17
4
11;
3
8T
VÝ dô 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
(**)221
7
(*)1222
22
xyxyxyxy
y
x
y
x
Lêi gi¶i cã Zxyxyxy 0
®iÒu kiÖn 22 y
x; Zxy
§Æt ay
x víi 22 a
PT(*) trë thµnh 1222 aa (1) theo tÝnh chÊt 6 më réng b th× tõ PT(1) cã ZaaL 222
Cã 444)2(3444310 222 aaaaL
Theo B§T C«Si cã 20248310)2)(48(23102 aaaaaaL
VËy 204 2 L mµ ZLL ;0 suy ra 4;3;2L
+Víi 42 2 LL 2444)2(34 2 aaa Thay 2a vµo (1) thÊy kh«ng tho¶ m·n
+Víi 93 2 LL 944310 2 aa
1344 2 aa
1691664
3
1
22 aaa
a
063625
3
1
2 aa
a
25
11123
3
1
a
a
25
11123 a
Thay 25
11123a vµo vÕ tr¸i (1) ®îc
5
1162
5
1123
25
1112472
25
111253
25
116.2
5
2112
5
11621
5
1123
Suy ra 25
11123a kh«ng lµ nghiÖm cña (1)
+Víi 164 2 LL 1644310 2 aa
6344 2 aa
363691664
222 aaa
a
0283625
22 aa
a
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
13
2 a hoÆc 25
14a
Thay 2a vµ 25
14a vµo PT(1) ta thÊy chØ
25
14a lµ nghiÖm
Do Zxy nªn 1][][ xyxy ; 1}{}{ xyxy ; 0}}{{ xyxy
V× 0)( 2 nm nªn cã 222 )(2
1nmnm vµ 2)(
4
1nmmn
®¼ng thøc x¶y ra ë 2 bÊt ®¼ng thøc trªn ®Òu lµ m = n ¸p dông ta cã:
(**)224
7][][2
1(**)
2
2VP
xyxyxyxyVT
Suy ra 22(**)(**) VPVT
1
1][][
7][][
xyxy
xyxy
xyxy
xyxy
2
1
3][
xy
xy
2
7 xy
Nh vËy ta cã
2
7
25
14
xy
y
x
2
5;
5
7;
2
5;
5
7);( yx
VËy hÖ PT ®· cho cã nghiÖm
2
5;
5
7;
2
5;
5
7);( yx
Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 1) 22 }{61 xxx 2) 24,2][}}{{ xxx
3) 3
40}2{2]
3
1][[ xxx
4)
]
10
7[1
3
2][
xx
x
xxxx
5) }4{48}2{2]2
1[][ xxxx
6) ]256
255[][}
2
1
2{...}
2
1
2{}
2
1
2{
82
xx
xxx
7) ][3
88}
45
43{...}
45
7{}
45
4{}
45
1{ x
xxxx
Bµi tËp 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
1)
5,0}{
}{}{
22 yxyxx
yxyx
2)
}2{}{
1}3{]2[][1
][}{][}{
yy
yyyxx
xyyx
3)
6][}]{3[}{3
6][}]{3[}{3
xxy
yyx
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
Vò Hång Phong làng Bất lự-Hoàn Sơn-Tiên Du -B¾c Ninh
14