chuleta calculo infinitesimal

Mathematica - Calculo Infinitesimal

‡ Operaciones Basicas

N@Pi, 50D3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

Sqrt@45D

3è!!!5

N@%D6.7082

Sqrt@%2D1.77245385090551602729816748334114518279754945612239

La funcion N[] nos da el valor aproximado de la expresion,ta mbien lo podemos conseguir introduciendo un puntodecimal en la entrada de la operacion.Sqrt es la funcion que calcula la raiz, el signo % hace referencia al ultimo output del kernel y el %n hace referencia aloutput n del kernel.

Abs@-2D2

[email protected]

IntegerPart@45ê 89D0

Sign@-8D-1

Estas son las funciones para calcular el valor absoluto (Abs), la parte entera de un numero (IntegerPart) y el signo de unnumero (Sign).

‡ Trabajo con numeros complejos

Introducir y asignar complejos en mathematica

z1 = 2 + 3 Iz2 = 4 + 5 I

2 + 3 Â

4 + 5 Â

Chuleta Calculo Infinitesimal.nb 1

Operaciones con complejos y calculo del conjugado :

z1 + z2

6 + 8 Â

z1* z2

-7 + 22 Â

z1ê z223ÅÅÅÅÅÅÅ41 +

2 ÂÅÅÅÅÅÅÅÅ41

Conjugate@z1D2 - 3 Â

‡ Funciones elementales

Exp@3D‰3

ArcTan@1DpÅÅÅÅ4

Sin@Piê 4D1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!2

Log@Exp@3DD3

‡ Utilidades de calculo simbolico

Hx^2 - 1Lê Hx - 1L-1 + x2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ-1 + x

Simplify@%D1 + x

Esta funcion nos simplifica la expresion que nosotros introduzcamos. Tambien se puede usar con VARIAS VARI-ABLES o expresiones polinomicas.

HHx + 1L Hx + 2L - Hx + 2L^2L^3

HH1 + xL H2 + xL - H2 + xL2L3


Expand@%D-8 - 12 x - 6 x2 - x3

La orden Expand nos desarrolla la expresion que nosotros introducimos en el caso de este producto nos desarrolla laoperacion.

Factor@x^4 - 1DH-1 + xL H1 + xL H1 + x2L

Esta funcion nos calcula las raices de los polinomios siempre y cuando estas sean enteras.

ApartA 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH3 + xL H1 + xL3

E

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 H1 + xL3 -

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 H1 + xL2 +

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ8 H1 + xL -

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ8 H3 + xL

La funcion Apart nos calcula las fracciones simples de un cociente.

‡ Trabajo con variables

x = 5;Set@y, 7D;Hx + yLê 26

Para asignar variables lo podemos hacer directamente como en el primer caso o bien asignarlas mediante la orden Set.Si ponemos ; al final de la orden Mathematica no la muestra por pantalla.

Clear@xD;y =.;x + y

x + y

Para borrar los valores asignados a las variables usamos los comandos Clear[] o x=. de esta forma se borran los valoresasignados a las variables.En mathematica no es necesario declarar el tipo de variable que introducimos. Conviene resetear las variables al final decada ejercicio para asi no usarlas en otro con el que no se corresponden.

‡ Resolucion de ecuaciones

Solve@x^3 - 2 x + 1 ã 0, xD

98x Ø 1<, 9x Ø1ÅÅÅÅ2 H-1 - è!!!5 L=, 9x Ø

1ÅÅÅÅ2 H-1 + è!!!5 L==

La orden solve nos sirve para resolver ecuaciones en funcion de la variable indicada.

Solve@82* a* x - y ã 1, 3 * a *y + x ã 1<, 8x, y<D

99x Ø --1 - 3 aÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 + 6 a2 , y Ø -

1 - 2 aÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 + 6 a2 ==


Tambien nos permite resolver un sistema de ecuaciones.

SolveAè!!!!!!!!!!!x + 1 - 2 *

è!!!!!!!!!!!x - 1 ã 1, xE

99x Ø4ÅÅÅÅ9 H5 -

è!!!7 L==

SolveAè!!!!!!!!!!!x + 1 - 2 *

è!!!!!!!!!!!x - 1 ã 1, x, VerifySolutions Ø FalseE

99x Ø4ÅÅÅÅ9 H5 - è!!!7 L=, 9x Ø

4ÅÅÅÅ9 H5 + è!!!7 L==

Vemos que Solve anula las soluciones que son erroneas, si le indicamos que no las compruebe nos las muestra tambienaunque no son solucion de la ecuacion.

Solve@x^8 - 256 ã 0, xD88x Ø -2<, 8x Ø -2 Â<, 8x Ø 2 Â<, 8x Ø 2<,8x Ø -2 H-1L1ê4<, 8x Ø 2 H-1L1ê4<, 8x Ø -2 H-1L3ê4<, 8x Ø 2 H-1L3ê4<<

Solve@x^8 - 256 ã 0, xD ê. Ha_ -> b_L :> Ha -> ComplexExpand@bDL

88x Ø -2<, 8x Ø -2 Â<, 8x Ø 2 Â<, 8x Ø 2<, 8x Ø H-1 - ÂL è!!!2 <,8x Ø H1 + ÂL è!!!2 <, 8x Ø H1 - ÂL è!!!2 <, 8x Ø H-1 + ÂL è!!!2 <<

Vemos que tambien podemos mostrar soluciones complejas.

Solve@2 *x ã Sin@xD, xDSolve::tdep : The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non-algebraic way.

Solve@2 x == Sin@xD, xD

Cuando tenemos ecuaciones como estas que solve no es capaz de resolverlas podemos usar:

NSolve@2* x ã Sin@xD, xDSolve::tdep : The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non-algebraic way.

NSolve@2 x == Sin@xD, xD

FindRoot@2 x ã Sin@xD, 8x, 0.1<D8x Ø 1.2126µ 10-11<

El NSolve en este caso tampoco funciona pero Findroot nos da una solucion.

In[13]:= Solve@x^4 + 5 x^3 + 12* x^2 + 40* x + 3 ã 0, xD

99x Ø - 5ÅÅÅ4 + 1ÅÅÅ2 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%- 7ÅÅÅ4 - 140 J 2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 I8163+

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!99562569 M N1ê3 +I 1ÅÅÅÅ2 I8163+

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!99562569 MM1ê3ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ32ê3 .... etc

NSolve@x^4 + 5 x^3 + 12 *x^2 + 40* x + 3 ã 0, xD88x Ø -4.32632<, 8x Ø -0.298485 - 2.99175 Â<, 8x Ø -0.298485 + 2.99175 Â<, 8x Ø -0.0767098<<

En este caso vemos la diferencia entre Solve y NSolve el ultimo nos proporciona un resultado mas tratable que Solve.


‡ Uso de inecuaciones

Para usar inecuaciones debemos de introducir un paquete de ordenes como se muestra a continuacion:

<< Algebra`InequalitySolve`

InequalitySolve@x Hx^2 - 2L Hx^2 - 3L > 0, xD

-è!!!3 < x < -

è!!!2 »» 0 < x <è!!!2 »» x >

è!!!3

InequalitySolve@xê Abs@x - 1D ¥ 0 && 1 êx < x + 1, xD

-1ÅÅÅÅ2 +

è!!!5ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 < x < 1 »» x > 1

Para que este comando funcione debemos de usar inecuaciones sencillas.

‡ Ordenes utiles para sucesiones en Mathematica.

b@n_D := SinA 1ÅÅÅÅ8

n * PiE;

Table@b@nD, 8n, 12, 19<D

9-1, SinA 13 pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ8 E, -

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!2 , SinA 15 p

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ8 E, 0, SinA 17 pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ8 E, 1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!2 , SinA 19 pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ8 E=

La funcion table nos muestra los valores de una expresion comprendidos entre aquellos que nosotros hemos indicado.

Clear@mD; m = Table@b@nD, 8n, 50<D;

ListPlot@mD

10 20 30 40 50

-1

-0.5

0.5

1

Ü Graphics Ü

Podemos asignarle a una variable una lista y despues dibujarla en una grafica mediante el comando ListPlot.

Limit@H-3 + 2 * nL^4 ê H-7 + 3* nL^4, n Ø InfinityD16ÅÅÅÅÅÅÅ81


gg1 = ListPlotATableA H-3 + 2 nL4ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH-7 + 3 nL4

, 8n, 100<E,

PlotStyle Ø 8RGBColor@1, 0, 0D<, PlotRange Ø 80, 1<Egg2 = ListPlotATableA 16

ÅÅÅÅÅÅÅ81

, 8n, 100<E,PlotStyle Ø 8RGBColor@0, 0, 1D<, PlotRange Ø 80, 1<E

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ü Graphics Ü

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ü Graphics Ü

Show@gg1, gg2D

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ü Graphics Ü


e@n_D :=E^nÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn!

;

Limit@e@nD, n Ø ¶DSeries::esss : Essential singularity encountered in GammaA 1

ÅÅÅÅn

+ 1 + O@nD3E.

Series::esss : Essential singularity encountered in GammaA 1ÅÅÅÅn

+ 1 + O@nD3E.

Series::esss : Essential singularity encountered in GammaA 1ÅÅÅÅn

+ 1 + O@nD3E.

General::stop : Further output of Series::esss will be suppressed during this calculation .

LimitA ‰nÅÅÅÅÅÅÅÅn!

, n Ø ¶E

<< Calculus`Limit`

Limit@e@nD, n Ø ¶D0

Aqui tenemos que para calcular algunos limites en concreto tenemos que cargar funciones adicionales de limit.

LimitASinAè!!!!!!!!!!!n + 1 E - SinAè!!!!

n E, n Ø InfinityEIndeterminate

Cuando aun asi no podemos calcular el limite o nos sale indeterminado tenemos otra funcion NLimit mas potente que secarga mediante:

<< NumericalMath`NLimit`

NLimitASinAè!!!!!!!!!!!n + 1 E - SinAè!!!!

n E, n Ø InfinityE0.00108187

Clear@a, nD; ForAa = 1, a < 2, a++, PrintALimitA Ha + 1L H⁄k=1n k^aL - na+1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHa + 1L na, n Ø ¶EEE

1ÅÅÅÅ2

Tambien tenemos la funcion for que es similar a la funcion table.

‡ Convergencia de series

Pasos para estudiar la convergencia de muchas sucesiones definidas recurrentemente:1) Buscar la función f asociada a la recurrencia;2) Calcular los puntos fijos de f;3) Estudiar la monótonía de f;4) Estudiar la monotonía de la sucesión;5) Estudiar la acotación de la sucesión;6) Probar la convergencia de la sucesión y hallar el límite.

(1) Como la sucesión responde a la regla u(n)=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2 + u Hn - 1L , con u(1)=è!!!!

2 , definimos la función f(x)=è!!!!!!!!!!!2 + x .

Entonces la regla es u(n)=f(u(n-1)).


f@x_D =è!!!!!!!!!!!2 + x ;

(2) Si la sucesión fuera convergente (no sabemos si lo es o no), tomando límite en la regla u(n)=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2 + u Hn - 1L

resultaría:

limnØ¶ u HnL= è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2 + limnØ¶ u Hn - 1L .

Resolvamos entonces la ecuación L= è!!!!!!!!!!!2 + L . Mediante Mathematica podemos calcular la solución de ecuaciones algebraicas

usando la orden Solve.

Solve@L - f@LD ã 0, LD88L Ø 2<<

Esto significa que si la sucesión converge, converge a 2. Veamos si esto es así. Definimos la sucesión:

(3) Estudiemos la monotonía de f:

Plot@f@xD, 8x, -2, 50<D

10 20 30 40 50

1

2

3

4

5

6

7

Ü Graphics Ü

En prácticas posteriores podremos estudiar la monotonía haciendo que Mathematica calcule la derivada.

(4) Conocer la monotonía de f nos ayuda a estudiar la monotonía de la sucesión y su acotación.Al ser f monótona creciente en todo su dominio, la relación de desigualdad que haya entre u[1] y u[2] será la misma quetendremos entre u[n] y u[n+1] para todo n. Para comparar:

Simplify@u@1D < u@2DDTrue

Entonces u(1)<u(2). Como f es monótona creciente: f(u(1))<f(u(2)). Es decir u(2)<u(3). Así, sucesivamente, (en real-idad, se debe probar por inducción) tenemos u(n-1)<u(n) para todo n. Por tanto la sucesión es monótona creciente.

(5) Ahora veamos la acotación. Al ser f monótona creciente en todo su dominio, la relación de desigualdad que hayaentre u[1] y 2 (punto fijo de f) será la misma que tendremos entre u[n] y 2 para todo n. Para comparar:

Simplify@u@1D < 2DTrue

Por tanto u(n)<2 para todo n.


(6) Hemos probado que la sucesión es creciente y está acotada superiormente, así que tiene límite real. Y, como había-mos visto al principio, en ese caso el límite es 2.

ü Criterio del cociente o criterio de D'Alambert

⁄n=1• aHnL es convergente si limnÆ• | aHn+1LÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

aHnL |<1

⁄n=1• aHnL es divergente si limnÆ• | aHn+1LÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

aHnL |>1

En caso de que el límite sea 1, no se puede asegurar nada acerca de la convergencia de la serie.

ü Criterio de la raíz o criterio de Cauchy

⁄n=1¶ a HnL es convergente si limnØ¶ H » a HnL »L1ên <1

⁄n=1¶ a HnL es divergente si limnØ¶ H » a HnL »L1ên >1

En caso de que el límite sea 1, no se puede asegurar nada acerca de la convergencia de la serie.

ü Criterio de comparación en el límite

Sean a(n) y b(n) dos sucesiones de términos positivos tales que limnØ¶a HnLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅb HnL = L , entonces:

(i) Si 0<L<¶, entonces las series ⁄n=1¶ a HnLy ⁄n=1

¶ b HnL convergen o divergen simultáneamente.

(ii) Si L=0, entonces, ⁄n=1¶ b HnL converge ï ⁄n=1

¶ a HnL converge. ⁄n=1

¶ a HnL diverge ï ⁄n=1¶ b HnL diverge.

(iii) Si L=¶, entonces, ⁄n=1

¶ a HnL converge ï ⁄n=1¶ b HnL converge.

⁄n=1¶ b HnL diverge ï ⁄n=1

¶ a HnL diverge.

ü La serie armónica:

La serie ‚n=1

¶ 1ÅÅÅÅÅnp

converge si y sólo si p>1.

‡ Funciones

Definicion y representacion de funciones


f@x_D :=x^2 + 2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx - 3

Plot@f@xD, 8x, -50, 50<, PlotStyle Ø RGBColor@0, 0, 1DD

-10 -5 5 10 15

-60

-40

-20

20

40

60

Ü Graphics Ü

Estudios de dominio y asintotas

Limit@f@xD, x Ø 3, Direction Ø 1D-¶

Limit@f@xD, x Ø 3, Direction Ø -1 D¶

Limit@f@xD, x Ø InfinityD¶

Limit@f@xDê x, x Ø InfinityD1

Limit@f@xD - x, x Ø InfinityD3

g@x_D = x + 3Plot@8f@xD, g@xD<, 8x, -50, 50<, PlotStyle Ø 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 1, 0D<D3 + x

-30 -20 -10 10 20 30

-75

-50

-25

25

50

75

Ü Graphics Ü


Ahora veremos el estudio de la funcion mediante el uso de derivadas

D@f@xD, xD2 x

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ-3 + x -

2 + x2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH-3 + xL2

Simplify@%D-2 - 6 x + x2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH-3 + xL2

<< Algebra`InequalitySolve`

InequalitySolve@%16 > 0, xDx < 3 - è!!!!!!11 »» x > 3 + è!!!!!!11

f''A3 -è!!!!!!11 E

-2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!11-

4ÅÅÅÅÅÅÅ11 H3 -

è!!!!!!11 L -2 I2 + H3 -

è!!!!!!11 L2MÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

11è!!!!!!11

Sign@%D-1

Por tanto es un maximo relativo

f''A3 +è!!!!!!11 E

2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!11

-4

ÅÅÅÅÅÅÅ11 H3 +è!!!!!!11 L +

2 I2 + H3 +è!!!!!!11 L2M

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ11 è!!!!!!11

Sign@%D1

Por tanto minimo

Simplify@f''@xDD22

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH-3 + xL3

InequalitySolve@% > 0, xDx > 3

Es concava hacia arriba en el intervalo (-¶,3) y concava hacia abajo en (3,¶)

Solve@f''@xD ã 0, xD8<

No hay puntos de inflexion.


PlotA8f@xD, x + 3<, 8x, -15, 20<, PlotRange Ø 8-10, 30<,PlotStyle Ø 88RGBColor@1, 0, 0D<, 8RGBColor@0, 0, 1D<<,Epilog Ø [email protected], Hue@1D, PointA93 -

è!!!!!!11 , fA3 -

è!!!!!!11 E=E=, [email protected],

RGBColor@1, 0, 1D, PointA93 +è!!!!!!11 , fA3 +

è!!!!!!11 E=E==, AxesLabel Ø 8x, f@xD<E

-15 -10 -5 5 10 15 20x

-10

-5

5

10

15

20

25

30

2 + x2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ-3 + x

Ü Graphics Ü

‡ Series y polinimios de Taylor

Series@x4 + x3 - 3 x2 + 4 x - 2, 8x, 1, 4<D1 + 5 Hx - 1L + 6 Hx - 1L2 + 5 Hx - 1L3 + Hx - 1L4 + O@x - 1D5

s = Series@Tan@xD, 8x, 0, 20<D

x +x3ÅÅÅÅÅÅÅ3 +

2 x5ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ15 +

17 x7ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ315 +

62 x9ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2835 +

1382 x11ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ155925 +

21844 x13ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ6081075 +

929569 x15ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ638512875 +

6404582 x17ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ10854718875 +

443861162 x19ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1856156927625 + O@xD21

SeriesCoefficient@s, 19D443861162

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1856156927625

SeriesCoefficient@s, 20D0

3) Hallar un polinomio que aproxime la función ‰x en el intervalo [-1,1] con un error menor que 10-2 .

Clear@fDf@x_D := E^x

pol = Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 4<DD

1 + x +x2ÅÅÅÅÅÅÅ2

+x3ÅÅÅÅÅÅÅ6

+x4ÅÅÅÅÅÅÅ24


Plot@8f@xD, pol<, 8x, -1, 1<, PlotStyle Ø 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D

-1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

2.5

Ü Graphics Ü

Plot@8Abs@f@xD - polD, 10-2<, 8x, -1, 1<,PlotStyle Ø 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D

-1 -0.5 0.5 1

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Ü Graphics Ü

‡ Integrales

Para el calculo de primitivas tenemos:

In[4]:= Integrate@1 ê HE^x + 1L, xD‡ 1 ê HE^x + 1L „x

Out[4]= x - Log@1 + ‰xD

Out[5]= x - Log@1 + ‰xD

In[6]:= ‡ ‰-x2 ê2 „x

Out[6]= $%%%%%%pÅÅÅÅ2 ErfA x

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!2 E

Las funciones como Erf o elliptic son funciones no elementales con las que mathematica puede trabajar

Para integrales definidas podemos usar:


In[4]:= ‡1

5

Hx^2 - 2 x - 3L „x

Out[4]=16ÅÅÅÅÅÅÅ3

In[5]:= Integrate@x^2 - 2 x - 3, 8x, 1, 5<D

Out[5]=16ÅÅÅÅÅÅÅ3

Para integrales mas complicadas debemos recurrir a la orden NIntegrate

In[6]:= ‡2

3 1 + Cos@xDÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅLog@xD +

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + Sin@xD

„x

Out[6]= $Aborted

In[7]:= NIntegrateA 1 + Cos@xDÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅLog@xD +

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + Sin@xD

, 8x, 2, 3<E

Out[7]= 0.108361

ü Uso de areas con integrales

In[8]:= g@x_D := x^2 + 2f@x_D := 2 x + 5

Vamos a usar la orden FilledPlot para la que es necesario cargar un paquete adicional a mathematica.

In[10]:= << Graphics`FilledPlot`

In[11]:= FilledPlot@8f@xD, g@xD<, 8x, 0, 6<, PlotStyle Ø 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D

1 2 3 4 5 6

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6

5

10

15

20

25

30

35

Out[11]= Ü Graphics Ü

In[12]:= ‡0

6

Abs@f@xD - g@xDD „x

Out[12]= 36

A veces mathematica NO sabe calcular la integral de valores absolutos por lo que debemos de buscar el punto de corte ...

In[14]:= Clear@fD

f@x_D := d $%%%%%%%%%%%%%%%1 -x2ÅÅÅÅÅÅÅc2


In[16]:= Integrate@2 f@xD, 8x, -c, c<, Assumptions Ø c > 0DOut[16]= c d p

La orden de integrate AssumptionsØc>0 nos dice que asumimos c mayor que 0

ü Volumenes y superficies de revolucion

In[17]:= f@x_D := Sec@xDg@x_D := 1 ê 2

In[32]:= Plot@8f@xD, g@xD<, 8x, -1, 1<, PlotRange Ø 8-0.1, 2<,PlotStyle Ø 8RGBColor@0, 0, 1D, RGBColor@0, 1, 0D<,Epilog Ø 88RGBColor@1, 0, 0D, Line@88-1, 1 ê 2<, 8-1, f@-1D<<D<,

8RGBColor@1, 0, 0D , Line@881, 1 ê 2<, 81, f@1D<<D<<D

-1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2


Podemos ver a parte las funciones adicionales de epilog.

Para ver la superficie generada usaremos:

In[33]:= << Graphics`SurfaceOfRevolution`

In[34]:= t1 = SurfaceOfRevolution@f@xD, 8x, -1, 1<, RevolutionAxis Ø 81, 0, 0<D; t2 =SurfaceOfRevolution@g@xD, 8x, -1, 1<, RevolutionAxis Ø 81, 0, 0<D;


In[35]:= Show@t1, t2D

-1-0.5

00.5

1

-1

0

1

-1

0

1

-1-0.5

00.5

1

-1

0

1

Out[35]= Ü Graphics3D Ü

In[36]:= ‡-1

1

Hf@xD2 - g@xD2L „x

Out[36]=1ÅÅÅÅ2 H-1 + 4 Tan@1DL

In[14]:= a = 3; b = 3; c = 2;

In[2]:= << Graphics`InequalityGraphics`

In[21]:= InequalityPlot3DA x2ÅÅÅÅÅÅÅa2

+y2ÅÅÅÅÅÅÅb2

+z2ÅÅÅÅÅÅÅc2

§ 1, 8x, -a, a<, 8y, -b, b<, 8z, -c, c<, PlotPoints Ø 60E

-2

0

2

-2

0

2

-2

-1

0

1

2

-2

0

2

-2

0

2

Out[21]= Ü Graphics3D Ü


‡ Integrales Impropias

In[23]:= Clear@a, bD

In[24]:= ‡a

¶ 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx^2

„x

Out[24]=1ÅÅÅÅa

In[25]:= LimitA‡a

b 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx^2

„x, b Ø InfinityE

Out[25]=1ÅÅÅÅa

In[26]:= ‡0

¶ x^H3ê 2LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 + x^2

„x

Integrate::idiv : Integral ofx3ê2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 + x2

does not converge on 80, ¶<.

Out[26]= ‡0

¶ x3ê2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 + x2 „x

In[27]:= LimitA‡0

b x^H3ê 2LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 + x^2

„x, b Ø ¶E

Out[27]= ¶

In[29]:= PlotA1 ëè!!!!x , 8x, 0, 10<E

2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

7


In[28]:= ‡0

b 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!x

„x

Out[28]= IfAb > 0, 2è!!!b , ‡0

b 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!x „xE

In[30]:= LimitA‡e

b 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!x

„x, e Ø 0E

Out[30]= 2 è!!!b


In[33]:= Plot@Gamma@xD, 8x, 0, 5<D

1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

30


In[34]:= Beta@1, PiD

Out[34]=1ÅÅÅÅp


chuleta calculo infinitesimal

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