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�φ(En) = σ(n))
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n > 0�φ(En − En)
t�b�|�g;~�~u\,e�g;V¢®3)�«w.n v ©}«w/j/�g;Vae ��\
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V]k;X[\�X[ZagiXσ(n) ��F\ |�gi~u~φg ©}¯�,;ªS,D©O¬ «Oª±§u¨O¬C§G© ';,w) hskp`nX[Za\
n6W|,\z~u~
σ(n) ��´²Za\zV Φt�b�X[Z]\�bc\OXTk;h
|}Zag;`[g;|OX[\z`ctub�X[t�|�q�g;m]b�hskp`�X[Za\K|z\,~u~�b²k;h(X,Φ)
���«w';,;ª �0�¸�¾Z]\,VT��\KX}g;~��ykih³©}«w/j/ �]XcZatub³g;~���g��Db�qy\,g;Vab7®3)�«w.F©}«w/j/ �´²Za\µw]VatukpV ⋃
{ψ(Ek − Ek)|ψ ∈ ΦZ�g;b�eakpqyg;tuV
Ek, k ≤ (n − 1)} = Xn−1 ���Z]tu|}Zg;mam8\�g;`db�tuV�|,kpVae]t�X[t�kpV � �¸tub�|,g;~u~�\,e�XcZa\(n− 1) v ¨ ��«w/u«O¬ ®(.k;hMX[Za\�|z\,~�~�bdXc`cwa| 6Xcwa`c\i�¸´²ZDw]b
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(X,Φ′)gi`c\7¨O¬CªO§G©O¬s/ °«���*D§jy(,0/u«w.�¬
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Φ′ bcwa|}Z XcZ�giX�gy|}Z�g;`R6gi|zX[\z`ct�bdX[t�|fhswaV]|zX[t�kpV���t�X[Z�eak;q�g;t�VEn|,k;`c`c\zbcm8kpVaeabBX[kTg�|}Z�gi`[g;|OX[\,`dtub�X[tu|{hswaVa|OX[tuk;V
��t�X[Zµeak;q�g;t�VEn�>g;Vae_|zkp`c`d\,bcm8kpVae]tuVaoQhswaV]|zX[t�kpVabAeat���\z` kpVa~��7���(gK`d\,m�gi`[g;qn\zXc`ctu�,g(6
XctukpV kihlXcZa\,t�`Qeakpqyg;t�V��K´²Z�giX�t�b,��t�hφg;Vae
φ′ g;`d\(|,k;`c`c\zbcm8kpVaeat�Vao hswaVa|OX[tuk;VabQk;h ΦgiVaeΦ′ �:`c\,bdm�\z|zXct��p\z~��;� X[Za\zV φ′ = φ ◦ h
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tubfgZ]kpqy\zkpqnkp`cmaZ]tubcq�k;h�mag;tu`db,� ' Va\³|�giV�|}Za\z|}�_XcZ�giXlt�Xlt�b�giVy\z½Dw]t��ig;~u\zVa|,\�`d\,~�g�X[tuk;Vnk;VXcZa\K|,kp~�~u\z|zX[t�kpV#k;h*|,\z~u~�b�X[`cw]|zX[w]`c\,b³kpVTX[Za\Kbd\zX
X�
U h(X,Φ)
tubTg"|,\z~u~Qb�X[`dwa|zXcwa`c\i��~u\zXSΦ
|,kpV]bctub�X[bTk;h(g;~u~Bm�g;tu`db(σ(n), [φ])
�³��Za\,`d\σ(n) = φ(En − En)
giVae[φ]tub�gµbdXc`ctu|OX³\,½>wat��ig;~�\,Va|z\�|,~ug;bcb�k;h
φ ∈ Φ�
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«O¬T ⊂ S
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|z\,~�~ub²k;h*gµbcwa�8|,kpqnma~�\O���� kl� l ��hmikhml+f nqp�n ���M«O¬
(A, T ) ⊂ (X,S),0.8¦
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S� 1�¯�«w.
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©}«w/j/=®�{T§ {G,0.8¦T®(.z/ °y§ {
σ ∩ A 6= ∅�
� klql �*U hσ ∈ T
X[Z]\,Vσ ⊂ A
giVae$bdkσ ∩ A 6= ∅
�¶�k;V>�;\,`dbc\,~��p�abdwamam8kpbc\
σ∩A 6= ∅�¸¶�ZakDkpbd\�|}Z�g;`cg;|zXc\,`dtubdXctu|³q�gimab
Φhsk;`
(X,S)g;Vae
Ψhskp`
(A, T )bcwa|}Z_X[ZagiX
Ψ ⊂ Φ�*U h
y ∈ σ∩A�>XcZa\,V
y ∈ φσ(Eσ−Eσ)hskp`
φσ ∈ Φ�
vDtuVa|z\BX[Z]\Qkpm8\,V#|z\,~u~�b�mag;`dXct�X[t�kpVXg;Vae bdk
A�Dt�V#kp`ce]\,`�XcZ�giX
y ∈ A��\�q(wabdX�Z�g��p\
φσ ∈ Ψ�¸´²Z>wab
σ ∈ T�
�
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En�Vt ©}«w/j/�©}®('�)+/u«Sx(§u¨K©w/u®�¨w*Dª[«�� .�§j¬ «B§ {Q«5,D©}¯
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∀σ ∈ S�
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t�bB|zkpV�X[t�VDw]kpwabBhsk;`B\,g;|}Z|z\,~�~
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(f |σ)−1(C)tub²|z~ukpbd\,e$tuV
σhskp`�\,g;|}Z
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(X,S)�C|zkpVabct�ea\,`�XcZa\µ`c\zopwa~�gi`Q|,\z~u~uw]~�g;`
e]\,|,k;qym8kpbct�X[t�kpVQk;hDX[Za\Aw]Vat�XM��gi~u~;t�VR3 tuV �|z\,~u~�b!� � k;hxeat�qy\zVabct�kpV % � � k;hDeatuqn\,VabdtukpV � � kih*eat�qy\zVabct�kpV � g;VaekpVa\Kk;h:eatuqn\,V]bctuk;V � �a|zh:^�opwa`d\ % � � �  �±�
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(X,S)|�g;V_�8\�\,½>watum]m�\zen��t�X[Zyg�Xckpm8kp~ukpoi�f��Za\z`c\²X[Z]\³|z~ukpbd\,e
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(X,S)§u¨ , ©}«w/j/¸©}®('�)+/u«Sx � A ⊂ X � ,0.8¦ C(A)
¬s¯�«y©5,;ª±ªO§G«Oªn®�{A � ¬j¯�«w.� �C(∅) = ∅ �
� �∀A ⊂ X,A ⊂ C(A) �
� �∀A ⊂ X,C(C(A)) = C(A);
� �∀A ⊂ X
«O¬B ⊂ X,C(A ∪B) = C(A) ∪ C(B) �
� �∀A ⊂ X
«O¬B ⊂ X � ¨O§ A ⊂ B � ,0/u®�ª[¨ C(A) ⊂ C(B)
�� klql � vxtuVa|z\QX[Za\K|,g;`c`dtu\,`�Xckpm8kp~ukpoi�yt�b�g(X[kpm8kp~uk;o;�p�D��\{Z�g��p\�X[Z]\K^a`cbdX�hskpw]`²ma`ckpm�6\,`dXctu\zb,�A´²Za\K^ahjX[Z hskp~�~uk���b�hs`ck;q X[Z]\K^a`cbdX�hskpw]`,�
�
�!c���� nqp� �(X,S)
§u¨�,©}«w/j/:©}®('�)+/u«Sx],0.8¦A ⊂ X
¬j¯�«w.
C(A) =⋃
{C(σ)|σ ∈ S and σ ∩ A 6= ∅}.
� klql � vxtuVa|z\�X[Za\Kbc\OX[bσm�g;`dXct�XctukpV
X�a��\Kbc\z\
A ⊂ {σ|σ ∈ S and σ ∩ A 6= ∅}.
��� ~u\zqyqyg % � � � ��\{o;\zX
C(A) ⊂⋃
{C(σ)|σ ∈ S and σ ∩ A 6= ∅}.
' V£X[Za\$k;X[Z]\,`�Zag;Vae���t�hσ ∈ S
tubnbcwa|}Z¢XcZ�giXσ ∩ A 6= ∅
��X[Z]\,Vσqy\z\zX[b�g;V��
bcwa�8|,kpqnma~�\O�£k;h(X,S)
��Zat�|}Z¢|,kpV�X[g;tuVabA� ���£ma`dkpm8kpbct�X[tuk;V % � � �]�
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|,kpV�X}gituVa\ze tuV bcw]|}Z¡g#|zkpqym]~u\O����bdk X[Z�giXσ ⊂ C(A)
�f´²Z>wabC(σ) ⊂ C(C(A)) =
C(A)��g;VaeT��\Kkp�xX}g;t�V
⋃{C(σ)|σ ∈ S and σ ∩ A 6= ∅} ⊂ C(A).
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(X,S)§u¨L,©}«w/j/:©}®('�)+/u«Sx�,0.8¦
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C(σ) = C(σ) ∪ σ.
� klql �B�F\ Z�g��p\C(σ) ⊂ C(σ)
���¡~u\,qnqyg % � � � �AgiVae"bctuV]|,\σ ⊂ σ
� ��\TZ�g��p\σ ∪ C(σ) ⊂ C(σ)
�¶�k;V>�;\,`dbc\,~��p�
σ = σ ∪ σ ⊂ σ ∪ C(σ)�3g;Vae
σ ∪ C(σ)tub³gµbcwa�8|,kpqnma~�\O�Tk;h
(X,S)�
´²Z>wab�hs`ck;q X[Z]\{e]\z^�Vat�X[t�kpV ��\KZ�g��p\C(σ) ⊂ C(σ) ∪ σ
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qyg;~.�� c���� nqp� ��t & - ©}®('�)+/u«Sx
X§u¨%.�®�ª ';,0/=§ {�,0.8¦�®(.z/ ° § {!{�®�ªn«5,D©}¯¼©}«w/j/
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σtub�g_bcw]��|zkpqym]~u\O���a��Zat�|}Z
t�b²\,½>wat��;gi~u\,V�X²Xckσ = C(σ) = σ ∪ C(σ)
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Xt�b�Vakp`dq�g;~.�xXcZa\,V
σ(n) giVae Xn−1 g;`d\�bcwa�8|,kpqnma~�\O�x\,b�k;h X �abdkµX[Z�giXσ(n) = σ(n) ∩Xn−1 tub�gµbdwa��|zkpqnma~u\±�Tk;h X �' VÀXcZa\#k;XcZa\,`(Zag;Vae��¸t�h�hskp`(\�gi|}Z!|,\,~�~
σk;hX�σtubµg�bdwa�8|,kpqnma~u\±�Àkih
X� X[Za\zV
σ = σ ∪ σ = σ ∪C(σ) = C(σ)�xg;Vae
σt�b�g7bdwa��|zkpqnma~u\±���*´²ZDw]b
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n6 |,\z~u~
σ(n) k;h X � σ t�bg³bdwa��|zkpqnma~u\±���=´²Za\zV7��\lq(wab�X*m]`ck��p\¸X[Z�g�X:t�hτ (q) t�b=g³|z\,~u~>k;h X giVae τ (q)∩σ(n) 6= ∅X[Za\zV
τ (q) ⊂ σ(n) �"vxtuV]|,\ σ(n) ⊂ Xn−1 �¸��\�>Vak�� X[Z�giX τ (q) ∩ σ(n) 6= ∅�lXcZa\,V
q ≤ n− 1�A�F\Kma`ck��p\�XcZa\Kma`ckpm8kpbdt�X[t�kpV ��� ea\zbc|,\zVaeat�Vao�t�Vaeawa|OX[tuk;V kpV
q�
�M\OXτ�8\�g;V
(n − 1)6 |,\,~�~�k;h
Xbcwa|}ZÁXcZ�giX
τ ∩ σ(n) 6= ∅��´²Za\,V
τ ∩ σ(n) t�b|,~uk;bc\,etuVτ��vDtuVa|z\
Xt�b�g_`d\,opw]~�g;`³¶�� |,kpqnma~u\±�x\;�
σ(n) t�b�Zakpqn\,kpqnkp`cm]Zatu|³X[kyg;V(n − 1)
6 bcmaZ]\,`c\S
n−1 � � ~�bck τ tub³Zakpqn\,kpqnkp`dmaZatu|�Xck ¹Awa|,~�tuea\,g;V�bdm�g;|,\ Rn−1 � ���tuV��ig;`ctug;Va|,\Bk;h=eakpqyg;tuVnX[Za\�k;m�\zV bcwa�abd\zXτ ∩ σ(n) k;h σ(n) t�b�Zak;qy\zkpqyk;`cmaZat�|BXck_g;Vkpm�\zVÀbcw]�abc\OXµk;h
τ��´²Z>wab
τ ∩ σ(n) t�b7�8k;X[ZFkpm8\,V!g;V]eÀ|,~�kpbc\zeÀtuV¼X[Za\y|,kpVaV]\,|zXc\,ebcm�g;|z\τ�8g;Vae�bdtuVa|z\
τ ∩ σ(n) 6= ∅��\{q(wab�X�Zag��;\
τ ⊂ σ(n) ��¥:tuV�g;~�~��;�]bct�Va|,\ σ(n) t�b|,~uk;bc\,eTt�VX�a��\KZ�g��p\
τ ⊂ σ(n) �$Bk��r~u\zX
C =⋃{τ |τ
t�b#g;V(n − 1)
6 |,\,~�~BkihXg;Vae
τ ⊂ σ(n)} ⊂ σ(n) ���F\Z�g��p\�bdZak���V¢X[Z�g�Xσ(n) ⊂ C ∪ Xn−2 � vxwamam8kpbd\$X[ZagiX σ(n) ⊂ C ∪ Xq
����Za\z`c\q ≤ (n − 2)
�lg;Vae£bcwamam8kpbd\XcZ�giXτ (q) ⊂ Xq − C
�£vxt�Va|,\τ (q) t�bµkpm8\,V£tuV Xq
�τ (q) tub_kpm8\,V£tuV Xq − C
����Zat�|}Z�tub_kpm8\,V tuVXq ∪ C
��bdk¼XcZ�giXτ (q) t�b_kpm�\zV t�V
Xq ∪C�����µZ��Dm�kiX[Za\zbctubz�
σ(n) ⊂ C ∪Xq�>bckKX[ZagiX
τ (q)∩ σ(n) tubAk;m�\zVyt�V σ(n) � ��w]Xq ≤ (n− 2)
�τ (q) tub�Zakpqn\,kpqnkp`cm]Zatu|³X[k Rd
��g;Vaeσ(n) t�b�Zakpqn\,k;qykp`dmaZat�|BX[k
Sn−1 �
���#X[Z]\f|zkp`ckp~�~�g;`�� % � � % Xcknt�V��;gi`ct�giVa|,\�k;h*eakpqyg;tuV��x��\fq(w]bdX³Z�g��p\τ (q) ∩ σ(n) = ∅
�´²ZDw]b
σ(n) ⊂ C ∪ Xq−1 giVae�� ���¼tuVae]wa|zXctukpV�� σ(n) ⊂ C ∪ X−1 = C�s��t�X[ZFXcZa\
|,kpV��p\zV�X[tuk;VX−1 = ∅
�QbckTX[Z�giX���\nZ�g��p\σ(n) = C
� � ~�bcka��t�hτtub{g
q6W|z\,~u~*k;h
Xbcwa|}Z#XcZ�giXτ ∩ σ(n) 6= ∅
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O�P�OVP�� T !8URZ�Z;a8^!W _�W ^ ��_ ��_@a���Z !8a \(� ! !�_�� ��U !8UR^(��a2PRPSP¥3`dkpq V]k0��kpV�����Za\zVF��\_X[g;~u�$k;hK©}«w/j/���\ygi`c\_qy\,g;Vat�Vao¡®3)�«w. ©}«w/j/ ¨O�µ~u\OX
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M�>��t�X[Z
Kp
X[Za\�|z\,~u~�bAk;heatuqn\,VabdtukpV
p�²´²Za\7VakiX}giXctukpV
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�Ck;`σ < τ
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g;V]eσ ⊂ τ
����Za\,`d\τt�b�X[Z]\µ|,~uk;bcwa`d\µk;h
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σ ⊂ τ��\ op\zX
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k;qykp`dmaZat�bcq hskp`µXcZa\�t�Vaeawa|z\Xckpm�k;~ukpo;�;� �F\�g;~�bck¼b[g�� X[ZagiXσ ⊂ τ
g;Vaehtubng
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'−→ σ
'−→ B
p.¥:tuV�g;~�~��
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τ�
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g;VaeCp+1(M,Z)
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��Z]\,`c\< ∂τ, σ >
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σ�shsk;`KXcZa\n~utuV]���8\zXW��\,\,V
XcZa\7t�Va|,t�ea\,V]|,\7V>waq7��\z`Qg;Vae�|,\,~�~uwa~ug;`²Zakpqnkp~�kpo;� bd\,\ � � ��|}Z�g;m�� ��� ��hskp`�X[Za\{hskp`cq7wa~�gbd\,\�¶�kp`ck;~u~�gi`d���(� � � �Ye]\/�� � �O�!´²Z>wab_��\TZ�g��;\XcZa\ hskp~u~�k0��t�Vao�m]`ckpm8\,`�XW�Àhskp`n¶��|zkpqnma~u\±� �� �c l�kc�� nqp �� *k)e)�®�¨�«
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�
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σ�
∂σ = ±ν +∑
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ceν ν.
´²Z]\,`c\Ohskp`c\i�
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τ>eσ 6=σ
cσ∂σ = ∓ν +∑
τ>eσ 6=σ
ceσ∂σ ±∑
eν 6=ν, ν<σ
ceν ν.
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∂σ = cν +�Cbdwaq ea\
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ν�
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σ > ν\zX³g;t�Vabctτ > σ > ν
g;b²e]\,bct�`c\ze����F\KVak��5opt��p\{g;VT\,bdbc\zV>Xct�g;~Mea\O^�Vat�X[tuk;V��
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Bp�lvxk]�
h−1(σ)tubngF|z~ukpbd\,e�|zkpVaVa\z|zXc\,eÁbcw]�abc\OX k;h∂Bp+1 �awxX�Vak;Va\,½>w�g;~�X[k ∂Bp+1 �sX[Z]\$|z\,~u~�t�b`c\,o;wa~�g;`�bck!X[Za\Y|}Z�gi`[g;|OX[\,`dtub�X[tu| qyg;mÁt�b �at »d\z|zX[t��p\ kpV¾X[Z]\ |,~uk;bcwa`d\¼kih{XcZatub k;Va\ �±�
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p+1 ��\_|�g;V¼bc\OXKX[Zat�b�bcwa�abd\zXKX[kT�8\Ip×{0}
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Ip+1 ��t�X[ZakpwxXKg;VYkpm8\,V hCg;|,\µt�b�g#bdXc`ckpV]oe]\zhskp`dq�giXctukpV�`c\zXc`[g;|OXKk;h
Ip+1 �
���x ,0'�)+/u«��¸ºB\z`c\{g;`d\KXW��kntu~u~�wabdXc`[giXctukpV]b�k;h:|,k;~u~�gimabct�Vaopb#�j^�opwa`d\,b % � � � � g;V]e % � � � � �O��³«w';,;ª �0��´²Za\fma`ckDk;h:k;h*XcZa\,k;`c\,q % � �  bcZ]k0��XcZ�giX³t�h
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Mt�b�g_`d\,opw]~�g;`³¶�� |,kpqnma~u\±�#XcZa\,VTX[Za\
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τ − τ��tG� \;�
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σ(p)<τ
σ = τ − τ
� �c�l�kc�� n@p ��� * )e)�®�¨�«M§u¨�,Fª[«�40*�/7,;ª�& - ©}®('�)+/u«Sx � ,0.8¦;{±ª�¨�®('�« p ,0.8¦
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,0.8¦τ > σ > ν, τ > σ > ν.
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¥:tuopwa`d\ � � � � � �l¶�kp~u~ug;mabct�Vaoµg26 bct�qyma~�\O��kpV�X[kngµ�p\,`�X[\±�
¥:tuopwa`d\ � � � � � �*¶�kp~u~ug;mabct�Vao�X[Za\²�8kpwaVaeag;`d�fk;h3X[Za\�|,wa�8\²�aw]XAk;Va\�hCg;|,\i�pkpV�X[kKg��;\,`�X[\O�
� klql �]´²Z]\�ma`ckDk;h]tubM���ft�Vaeawa|OX[t�kpVfk;Vr�Avxwam]m�kpbd\
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τ − τg;`c\�ea\,Vabd\�tuV
τ − τ�s`c\zq�g;`d� % � � � � �±�xt.� \i�
⋃
σ(p)<τ
σ = τ − τ.
´²Z>wab{X[Za\z`c\n\O�xtub�X[bfgp6W|z\,~u~
σ(p) ��t�XcZ τ > σbdwa|}Z¡X[ZagiX
σ > ν��´²Z]\,kp`d\,q % � � �
o;w�g;`[giV>Xc\,\zb�XcZa\K\O�xtub�X[\zVa|,\{k;hσ(p) 6= σ
bdwa|}Z$XcZ�giXτ > σ > ν
�¥�kp`�op\,Va\z`[g;~
r����\ng;o�g;t�V Z�g��p\µX[Za\
(p + r − 1)6W|z\,~�~ub�e]\,Vabd\yt�V
τ − τ�(´²Z>wabK��\
|,g;V$^aVae�g(p + r − 1)
6 |,\z~u~σ��t�X[Z
τ > σ > ν�²¶�kpV�X[tuV>wat�VaontuVTX[Zat�b�hCgibcZat�kpV��a��\
|,g;VY^�VaeÀg(p + r − 2)
6W|z\,~�~νbdwa|}Z¡XcZ�giX
σ > ν > ν� � mama~��xt�VaoTX[Za\zkp`c\zq % � � �
Xck�X[Z]\fX[`dtuma~�\τ > σ > ν
��\(~�\�g;`dV�X[Za\z`c\ftubQg(p + r − 1)
6 |,\z~u~σ 6= σ
bdwa|}Z�X[Z�g�Xτ > σ > ν
�¸´²Za\,V��3XcZa\K|,\z~u~ubσg;V]e
σb[g�X[tub�hj�#X[Z]\{e]\,bct�`c\ze$ma`dkpm8\,`dXctu\zb,�
�
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O�P���PSQ �uU�a�[ � _ !8_��I^ � a�_ � � ��[!�U�^(�
UWVÀX[Zat�b(bc\z|zX[t�kpV�� ��\ tuV�X[`dkxe]wa|,\�XcZa\#qyg;tuVFea\z^aVat�XctukpVabz�!�M\OXM�8\Tg$^�Vat�X[\T¶��
|,kpqnma~u\±�x\;�bCcedgf�hjikhml+fonqp ��t�eatubd|,`c\OX[\(�$kp`cbd\7hswaVa|OX[t�kpV�®(.
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M� -n«�¨�,;°
σ ∈ Kp
§u¨,T|z`ct�Xctu|,g;~�m8kptuV�X�k;h:tuV]ea\O�#mÀ§ {| §�}
#{τ (p+1) > σ|f(τ) ≤ f(σ)} = 0.
| §j§�}#{ν(p−1) < σ|f(ν) ≥ f(σ)} = 0.
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¥*tuopw]`c\ � � � �  �A´M��kyeatubd|,`c\OX[\�hswaVa|OX[t�kpVab²kpV$gn¶�� |,k;qyma~�\O�
�8����� ��� �q�������u� ������ ���������$  ' V�kpVa\fZ�g;Vae�����\(bc\z\7X[Z�g�XBXcZa\7hswaVa|OX[t�kpV�t�V$^�opw]`c\ % � � �  �stj�²tub³Vak;XQgyeat�bc|,`d\zXc\
�kp`cbd\³hswaV]|zX[t�kpV�� �$kp`c\�ma`d\,|ztubc\z~��(XcZa\³\,eaop\f−1(0)
�Dtuk;~�giXc\,b `dwa~u\G�Ct�tj�:kih�ea\O^�Vat�X[tuk;V% � � D�3g;Vae$XcZa\K�p\,`�X[\±�
f−1(3)�Dt�kp~�giXc\,b�`cw]~u\��Ct ��k;h ea\O^�Vat�X[tuk;V % � � x� ' V$XcZa\fkiX[Za\z`
Zag;Vae�� X[Za\�hswaV]|zX[t�kpVTk;h=^�opwa`d\ % � � �  �Ct�tj��t�b�g_e]tubc|z`c\OX[\f�$kp`dbc\KhswaVa|zXctukpV���gx ,0'�)+/u«��:e]\z^�Vat�X[t�kpVab % � � ³giVae % � � � tuqnma~��BXcZ�giX=t�h
Mtub=g�`c\zopwa~�gi`=¶�� |,kpqnma~�\O�x\;�
XcZa\,VnX[Za\�qntuVat�q(waq�k;hfq(w]bdXlkD|,|,w]`lVyg��p\,`�X[\±���D��Zatu|}Znq(wab�Xl��\³gK|,`ct�X[t�|�g;~am8kpt�V>X
kih*t�Vaea\O�0�
UWV]ea\,\ze���t�hp ≥ 1
�xX[Za\zV\,g;|}Zp6W|z\,~u~8Z�g;b�g�X�~u\�gibdX �
(p− 1)6GhCg;|,\zbL�C|zkpVabc\z½>wa\,Va|z\fkih
XcZa\,k;`c\,q % � � �e�O�U X³hskp~u~�k���b�hs`ckpq e]\z^�Vat�X[t�kpV % � � � XcZ�giXBg
p6W|z\,~�~
σt�b³V]k;X³|,`ct�X[t�|�g;~�t�h giVae$k;Va~�� t�h
\zt�XcZa\,`²k;h=X[Z]\Khsk;~u~uk���t�Vao(|,k;Vaeat�XctukpV]b²Zakp~ue]b�Ct �
∃τ (p+1) > σbcwa|}ZX[Z�giX
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�stut �∃ν(p−1) < σ
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p ≥ 1��Z]tu|}ZT��\{Vak���g;bdbcwaqn\;�
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´²Z]\,`c\Ohskp`c\f(σ) < f(σ)$³k��5bcw]mam�k;bc\{|,kpVae]t�X[t�kpV��Ct�tj�¸tub�X[`dwa\;�¸´²Za\zV
νq(w]bdXBg;~ubdkµ��\{gµ`c\zopwa~ug;`�hCg;|z\{kih
σ�
�l�#X[Za\zkp`c\zq % � � � �]XcZa\,`d\f\±�xtubdXcb³gp6W|z\,~u~
σ 6= σbdwa|}Z$XcZ�giX
τ > σ > ν�
¥�`dkpq |,kpV]eat�XctukpV��Ct�tj�(k;h�e����[^�Vat�X[t�kpV % � � D�f(ν)
|,g;VaVakiX��8\≥��kiX[Z
f(σ)g;Vae
f(σ)�A´²Z>wab
f(ν) < f(σ)�l¶�kpq7�atuVat�Vao(X[Z]tub���t�XcZ � % � � �  �l��\{kp�]X[g;tuV
f(σ) ≤ f(ν) < f(σ) < f(τ) ≤ f(σ)��Z]tu|}Ztub�gµ|,kpV�Xc`[g;eat�|zXctukpV��
�
OVP���P-O �I^ � a�_ !���_@^ ��_�W a �3^ � � _ � ��ZR\ � ��� [2^!WYXZ�_2`�_@aUWV¢XcZatub�bc\,|OX[t�kpV��²��\���t�~u~�ea\zqykpV]bdX[`cgiX[\ �$kp`cbd\�X[Za\zkp`c\zqyb�tuV�XcZa\�|�gibc\ k;h�^�V]t�X[\`d\,opw]~�g;`�¶�� |zkpqym]~u\O�x\zb,� � ~�~3g;~uk;Vao�X[Zat�blbd\,|OX[tuk;V��
M��tu~�~���\BgK^aVat�Xc\B`d\,opwa~ug;`l¶��
|zkpqnma~u\±�Tg;Vaefgµeatubd|,`c\OX[\f�$kp`dbc\KhswaVa|OX[t�kpVTkpV
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M(c) =⋃
σ∈K
f(σ)≤c
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τ≤σ
τ.
 � ��������� ������������������������������ ���������!�#"%$
´²Z�g�X�tubM(c)
tublX[Za\�bd\zX�k;h=g;~�~�|z\,~�~ub�k;V#��Zatu|}Zft�b≤ c��g;b���\,~�~�g;b�gi~u~8k;h�X[Za\ztu`
hCg;|,\zb,�¸UWV$mag;`dXctu|,w]~�g;`Mtub�gµbdwa��|zkpqnma~u\±�Tk;h
M�
ºB\,`d\ft�b�gn~u\zqyqyg(��Zatu|}Z$opt��;\,b�w]b�gn|,`ct�X[\z`ct�g(Xck�bc\z\7t�hσbdwa|}Z�X[ZagiX
f(σ) > c~utu\zb
tuVM(c)
�A´=kµbc\,\�XcZ�giX��xt�X�bcw��n|,\zb²X[k7^�V]eτ��t�XcZ
σ < τg;Vae
f(τ) ≤ cg;Vae qnkp`d\
ma`c\z|,tubd\,~���X[Z]\{~�\,qnq�g7Xc\,~�~ub�wab²Xckn|zkpVabdtuea\z`³k;Va~��τ��t�X[Z
dim τ = dim σ + 1�
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p v ©}«w/j/*®�{ M ,0.8¦y¨w* )e)�®�¨�«τ > σ
�C1�¯�«w. ¬s¯�«Oª[«_«Sxp§u¨O¬s¨,
(p+ 1) v ©}«w/j/ τ �A§j¬s¯σ < τ ≤ τ
,0.8¦f(τ) ≤ f(τ)
�� klql �=�¡\Kma`dk0�;\{XcZatub²��� t�Vaeawa|OX[t�kpVTkpV X[Za\Keat�qy\zVabct�kpV k;h
τ�
vxtuVa|z\τ > σ
�=��\�Z�g��;\dim τ > dim σ
�#U hdim τ = p + 1
�M��\�|�giV¡|,k;Vabct�ea\,`τ = τ
�vxwamam8kpbc\
dim τ = p + r, r > 1�>�_XcZa\,kp`d\,q % � � �]��X[Z]\,`c\B\O�xtub�X[b(p+ r− 1)
6W|,\z~u~�bν1
giVaeν2
b[giXctub�hj�xt�Vaoτ > ν1 > σg;Vae
τ > ν2 > σ�¸¶�kpV]eat�XctukpV �Ct�tj� k;h�ea\O^�Vat�X[tuk;V % � � Kopt��;\,b�\zt�XcZa\,`
f(ν1) < f(τ)kp`
f(ν2) < f(τ)� ���TtuV]eawa|zXctukpVTkpVkpVa\{k;h=X[Zat�b²XW��ky|,\,~�~ub²hskp`���Zat�|}Z$XcZa\ft�Va\,½>w�gi~ut�XW�
tub�X[`dwa\���\Kkp�xX}g;t�VTXcZa\K`c\zbcwa~�X���º³\,`d\{|zkpqn\,b²X[Za\�XcZa\,kp`d\,qnb�k;h*e]tubc|z`c\OX[\f�$kp`dbc\�X[Za\zkp`d�;�
� �c�l�kc�� n@p�� n��M«O¬M�O« ,]� .�§j¬ «$ª[«�40*�/7,;ª & - ©}®('�)+/u«Sxx«�,0.8¦
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[a, b]©}®(.�¬-,;§j.]¨ .�®
©OªO§j¬C§G©5,0/qy(,0/ *�«}¨(®�{f � ¬s¯�«w. M(b) ↘M(a)
�� klql ��¥:tu`cb�Xµk;h�g;~u~.� ��\ ��t�~u~�e]\,qnkpVabdXc`[giXc\#X[Z�g�Xµ��\|�g;V"m8\,`�X[wa`d�
fXck¼k;�]X}g;t�V
g1 − 1
hswaV]|zX[t�kpV¼kpVK�#U h
τ (p+1) > σ(p) b[g�X[tub�^�\,b f(τ) ≤ f(σ)XcZa\,V¼��\ym�\z`R6
X[wa`d�f���Y`c\zma~�g;|ztuVao
f(τ)�>�
f(τ) − ε�Mkp`
f(σ)���
f(σ) + εhsk;`
ε ≥ 0bdq�gi~u~
\,Vakpw]opZ�� ��t�XcZakpw]Xf|}Z�g;V]optuVao$��Zatu|}Z!|z\,~u~�b(g;`d\�|z`ct�Xctu|,g;~G�UWV¡X[Z]\#b[g;qn\y��g��Àt�hσ(p)b[giXctubd^a\,b
f(τ (p+1)) 6= f(σ) 6= f(ν(p−1))hskp`K\,g;|}Z
τ (p+1) > σ > ν(p−1) �:X[Z]\,VF��\q�g��#m8\,`�X[wa`d�f���T|}Z�g;Vao;tuVao
f(σ)���
f(σ) ± ε�]hskp`
ε ≤ 0bdq�g;~�~�\zVakpwaopZ��a��t�X[Z�6
kpw]X�|}Z�g;Vaopt�VaoK��Zatu|}Z#|z\,~�~ublg;`c\³|,`dt�Xctu|�gi~G���:\,`�X[wa`d�atuV]ofX[Zat�bl��g��p�>��\Qe]kpV � X�|}Z�giVaop\
Va\,t�X[Za\z`M(a)
�8V]kp`M(b)
�l´²ZDw]bf : K → R
tub1 − 1
�U hf−1([a, b]) = ∅
´²Za\,VM(a) = M(b)
g;Vae�XcZa\,`d\7tub³Vak;XcZatuV]oyX[kyma`ck��;\;� ' XcZa\,`�6��tubc\i�]���#mag;`dXct�X[t�kpVat�Vao
[a, b]tuV�X[k(bdq�gi~u~u\z`�t�V�X[\,`��ig;~ublt�hMVa\z|,\zbcb[gi`d�p�a��\�qyg��yg;bdbcwaqn\
X[Za\z`c\Ktub�gµbct�Vaop~�\�VakpVa|z`ct�Xctu|,g;~�|z\,~u~σ��t�X[Z
f(σ) ∈ [a, b].
��� ~u\zqyqyg % � � # �]\O�]g;|zXc~�� k;Va\Kk;h:XcZa\�hskp~u~�k���tuVao(Z]kp~ueab �
�8����� ��� �q�������u� ������ ���������$ Â$#�Ct �
∃τ (p+1) > σ��t�X[Z
f(τ) ≤ f(σ)�
�stut �∃ν(p−1) < σ
��t�X[Zf(ν) ≥ f(σ)
�UWV£|�gibc\ �Ct �O� ��\$q(w]bdX_Z�g��p\
f(τ) < a�jhskp`
τg;Vae
σg;`d\TXW��k¼VakpVa|z`ct�Xctu|,g;~�|z\,~u~�b
t�V[a, b]�±��´²Z>wab
τ ⊆ M(a)�Yvxt�Va|,\
σtubfg$hCg;|z\#k;h
τ��\#Zag��;\
σ ⊆ M(a)g;V]e
|zkpVabd\,½>wa\,V�Xc~��M(a) = M(b).� o�g;t�V��]X[Z]\,`c\Kt�b²Vak;X[Z]tuVao(Xckyma`dk��p\;�
vxwamam8kpbd\E�Ctut ��t�b�X[`dwa\;� ��\,qnq�g % � � # X[\,~�~ubBwabQX[Z�g�X∀τ (p+1) > σ
�f(τ) > f(σ)
�UWVTm�gi`dX[t�|,wa~ug;`,�
f(τ) > b�Ck;XcZa\,`���tubd\
σgiVae
τg;`c\�t�V
[a, b]��Z]tu|}ZT|,kpV�Xc`[g;eat�|zXcb�X[Za\
Z��Dm8k;X[Za\zbct�b3�O� ���T~�\,qnq�g % � �D �]��\{Zag��;\∀τ > σ
�f(τ) > b
�¸´²Z>wabσ ∩M(a) = ∅.vDtuVa|z\;�Ctut �lt�b�X[`dwa\;�aXcZa\,`d\�\O�xtub�X[bν(p−1) < σ
��t�XcZf(ν) > f(σ)
��giVaeTtuV m�g;`�X[t�|,wa~ug;`f(ν) > b
�TU hν(p−1) 6= ν
t�bfgiVak;X[Z]\,`(p − 1)
6 hCgi|,\nk;hσ�=X[Za\zV
f(ν) < f(σ)�s|zh
e]\z^�Vat�X[t�kpV % � � C�Ctut �5�±� ´²Za\,`d\zhskp`d\f(ν) < a.´²Z>wab
νg;Vae$g;~u~�t�Xcb�hCg;|,\zbBgi`c\K|,kpV�X[g;tuVa\ze$t�V
M(a)�
��\zXσ(p) 6= σ
�8\²g;VakiX[Za\z`p6 hCg;|z\�k;h
M��t�XcZ
σ > ν�A¶�kpV]eat�XctukpVE�stj�=kih�e]\z^�Vat�X[t�kpV
% � � (t�qyma~�tu\zbf(σ) > f(ν) > b.
�l� ~u\zqyqyg % � �x �at�hσt�b�g;V��T|,\,~�~�bcw]|}Z$X[ZagiX
σ > ν��X[Z>wab
f(σ) > b��vxk
ν ∩M(a) = ∅.U X�hskp~�~uk���b�XcZ�giXM(b)
|,g;V$�8\�\O�xma`d\,bdbc\,eYgib�gneat�bs»dkpt�V�X²waVat�kpVM(b) = M(a) ∪ σ ∪ ν,��Z]\,`c\
νtub�g(hs`c\z\KhCgi|,\Kk;h
σ�¸¥*t�V�g;~u~��
M(b) ↘M(a)�
�
� �c l�kc�� nqp�� ��M«O¬M�O« ,�� .�§j¬W«ª[«�40*8/7,;ª & - ©}®('�)+/u«Sxx« ,0.8¦
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σ(p) §u¨L,©OªO§j¬C§G©5,0/:©}«w/j/*®�{�§j.8¦D«Sx p �A§j¬j¯f(σ) ∈ [a, b]
,0.8¦f−1([a, b])
©}®(.�¬-,;§j.]¨�.�®¼®�¬s¯�«Oª©OªO§j¬C§G©5,0/@)�®�§j.�¬s¨�� 1�¯�«w.M(b)
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M(a)⋃
ep
ep,
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p v ¦;§j'�«w.]¨O§G®(.+,0/M©}«w/j/ �A§j¬j¯��O®(*�.8¦e,;ªO° ep�
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� klql � � b²t�V ma`ckDk;hMk;hMX[Z]\,kp`d\,q % � � � ��\Kq�g���g;bcbdwaqn\ftub
1− 1�A´²Z>wab²��\�|�g;V
^�Vaea′g;V]e
b′��t�XcZ
a ≤ a′ < b′ ≤ b��t�X[Z
σ = f−1([a′, b′]).
���$XcZa\,k;`c\,q % � � �M(b) ↘ M(b′)
g;V]eM(a′) ↘ M(a)
��bck t�XQbcw �y|z\,b�X[k�ma`ck��p\X[Z�giX
M(b′)Zakpqnk;X[k;m>��\,½>wat��;gi~u\,V�X²Xck
M(a′)⋃
ep
ep.
vxtuVa|z\σtubfg$|z`ct�Xctu|,g;~ |,\z~u~.�:t�h
τ (p+1) > σXcZa\,V
f(τ) > f(σ)g;Vae¡bck
f(τ) > b′�
�M\zqyqyg % � �x Xc\,~�~ub²wab�X[Z�g�X�t�hτtub³gy|z\,~�~�k;h
Mbcwa|}Z�XcZ�giX
τ > σX[Z]\,V
f(τ) > b′�
´²Za\,`d\zhskp`d\σ ∩M(a′) = ∅.
vxtuVa|z\σtub=g�|,`dt�X[t�|�g;~;|,\,~�~�k;h
M�iX[Z]\,Vfhsk;`:giV>�K|z\,~�~
ν(p−1) < σ��\�Z�g��;\
f(ν) < f(σ)g;VaeTbckf(ν) < a′.
¶�kpVabc\z½>wa\,V�X[~��ν ⊆M(a′)
g;Vaeσ ⊆M(a′)
�A´²Z]\,`c\Ohskp`c\
M(b′) = M(a′)⋃
σ
σ.
vxtuVa|z\σt�b²Zakpqn\,kpqnkp`dmaZatu|BX[k
ep�]X[Z]\{m]`ckDk;h*t�b²|,kpqnma~�\zX[\i�
���\OXmp(f)
�skp`7bdtuqnma~��mp
t�h�t�X7��t�~u~¸Vak;X7|�g;w]bc\#|zkpV]hswabdtukpV �K��\nX[Za\�VDw]q(��\z`k;h�|z`ct�X[tu|,g;~ |z\,~u~�b�k;h�t�Vaea\±�
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S�O« ,�{ *�.�©O¬.§G®(. {±ª[®(' ©}«Oª±¬-,;§j.]¨�)�,;§jª[¨ ®�{ ¨�)�,D©}«}¨¬W®¡¬j¯�«
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∀ X ⊃ Y ⊃ Z��«f¯�,0y;«
S(X,Z) ≤ S(X, Y ) + S(Y, Z)| ª}«}¨�)�«}©O¬C§jy;«w/ °
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�8����� ��� �q�������u� ������ ���������$ �Dº³\,`c\fg;`d\QXW��kntuqnm�k;`dX}giV>X�\O�]g;qnma~u\zb �
�gx ,0'�)+/u« � �bλ(X, Y ) � λ
XcZ��Q«O¬.¬C§ .z*�';�O«Oª7k;h(X, Y ) �
`[g;V]��k��p\z`Bg7^a\,~ueFk;h
Hλ(X, Y )�ahskp`�giV>�#m�g;tu`
(X, Y )bcwa|}ZX[Z�g�X³XcZatub²`cg;Va�#t�b�^�Vat�X[\;�
bλt�bKbcwa��gieaeat�Xct��;\n���¼\O�]g;qntuV]tuVao#XcZa\nhsk;~u~uk���t�Vao m�k;`dX[t�kpV k;h�X[Za\n\O�]g;|OX7bd\,½>wa\,V]|,\
hsk;`�X[Za\�X[`dtuma~�\X ⊃ Y ⊃ Z
. . .→ Hλ(Y, Z) → Hλ(X,Z) → Hλ(X, Y ) → . . .�jhskp`�gµma`ckDk;h:bc\z\{XcZa\,kp`d\,q Â$% � � m�� �&� ea\ � ��� �±��gx ,0'�)+/u« � �BU hAXcZa\7t�V>Xc\,op\z`cb
(bλ(X, Y ))g;`d\7g;~�~M�,\,`dk#�aw]XQgn^�V]t�X[\fV>waq(�8\,`,�3X[Z]\,V
��\{ea\z^�V]\KXcZa\ � *8/u«Oª(©}¯�,;ªS,D©O¬ «Oª±§u¨O¬C§G©����
χ(X, Y ) =
+∞∑
λ=0
(−1)λbλ(X, Y ).
´²Z]\�¹Awa~�\,`K|}Z�g;`cg;|zXc\,`ct�bdXctu|_tub{g;eae]t�X[t��p\i� � bfgTqygiXcXc\,`Kk;hlhCg;|zX,�:t�h�XW��k�giX{~�\�g;b�XKk;hhsk;~u~uk���t�Vaoµ¹Awa~u\z`²|}Z�g;`cg;|zXc\,`ct�bdXctu|Kg;`d\{e]\z^�Va\ze���X[Za\zVXcZa\�X[Zat�`ceTtubz��g;Vae
χ(X) = χ(Y ) + χ(X, Y ).´²Z]tubl|,kpqn\,blhs`ckpq�XcZa\�\±�agi|zX[V]\,bcb�g��xtukpq �s|zh � �]t�kpq � m�� Âp � � � �lg;VaeyXcZa\BhCgi|zXlX[Z�giXXcZa\K\O�]g;|OXBbd\,½>wa\zVa|,\(t�b�^�Vat�X[\;�� c���� nqp�� ���M«O¬
S�O«Q¨w* �3,�¦�¦;§j¬C§jy;«G,0.8¦
X0 ⊂ X1 ⊂ . . . ⊂ Xn
��1�¯�«w.
S(Xn, X0) ≤n∑
i=1
S(Xi, Xi−1).
j{S§u¨�,�¦�¦;§j¬.§jy;«�¬s¯�«w.�¬j¯�«µ«���*�,0/ §j¬.°µ¯�®(/�¦�¨��
� klql ���F\_ma`ck��p\_X[Z]tub����YtuVae]wa|zXctukpV kpVn�n¥�kp`
n = 1����\nZag��;\nXcZa\_\,½>w�g;~�t�XW�
giVae$t�hn = 2
�at�X � b²kpVa~��yX[Za\Kea\O^�Vat�X[tuk;V k;h*bdwa��g;e]eat�Xct��Dt�XW�;�U hMXcZa\Q`c\zbcwa~�X�t�b�X[`dwa\�hskp`
n− 1�xXcZa\,V
S(Xn−1, X0) ≤∑n−1
i=1 S(Xi, Xi−1)�A´²Za\z`c\ 6
hsk;`c\;�
S(Xn, X0) ≤ S(Xn−1, X0) + S(Xn, Xn−1) ≤n∑
i=1
S(Xi, Xi−1)
giVaeXcZa\K`c\zbcwa~�X�tub�X[`dwa\�hskp`n�
�F\Kma`ck��;\{XcZa\K`c\,bdwa~�X²XcZa\Kb[g;qn\Q��g�� hsk;`Sg;eaeat�X[t��p\;�
���\zXS(X, ∅) = S(X)
�A´:g;�>tuV]oX0 = ∅
t�VT~u\,qnqyg % � � �(��\Kop\OX
S(Xn) ≤n∑
i=1
S(Xi, Xi−1)� � � � � � �
��t�X[ZT\,½>w�gi~ut�XW��t�hSt�b�g;eaeat�X[t��;\;�
� � ��������� ������������������������������ ���������!�#"%$
��\zXM�8\�gK^�Vat�Xc\B`d\,opw]~�g;`�¶�� |,k;qyma~�\O�yg;V]e
fgfeat�bc|,`d\zXc\��$kp`dbc\³hswaVa|zXctukpVykpV
K��t�XcZt�bckp~ugiX[\ze#|,`dt�Xctu|�gi~�m8kptuV�X[bz� ��\zX
a1 < . . . < ak
�8\�bcw]|}ZXcZ�giXMai
|,k;V>X[g;tuV]b\O�]g;|zXc~��
i|z`ct�X[tu|,g;~�|z\,~u~�b,�]g;Vae
Mak = M� ���#X[Z]\,kp`d\,q % � � � ��\fZ�g��;\
H∗(Mai ,Mai−1) = H∗(M
ai−1 ∪ eλi,Mai−1)= H∗(e
λi , eλi)
=
{ |,kD\ �n|ztu\,V�X³op`dkpwamTtuVTeat�qy\zVabct�kpVλi
t.� \i�F
% k;X[Z]\,`d��t�bc\��Za\,`d\
λi
tub¸X[Z]\�tuV]ea\O�yk;h�XcZa\�|z`ct�X[tu|,g;~�|,\z~u~g�shskp`lg7m]`ckDk;h�bd\,\�XcZa\,kp`d\,q  �]� � m�� � � � � �g;VaeT\O�x|,t�bct�kpV�g0�]t�kpq hskp`�gnZ]kpqyk;~ukpo;���±�
� mama~��Dt�Vao�� % � � � � ��X[k∅ = Ma0 ⊂ . . .Mak = M
��t�X[ZS = bλ
��\{Z�g��p\
bλ(M) ≤k∑
i=1
bλ(Mai ,Mai−1) = mλ;
��Za\,`d\mλ
tub�X[Za\l�$k;`cbc\¸V>waq(�8\,`�kihxt�Vaea\±�λ�Cg;b�g²q�g�XcX[\z`�k;h>hCg;|OX
dimFHλi(eλi , eλi) =
1�O�� mama~��DtuVao(XcZatub�hskp`dq(wa~ug7X[kµX[Za\K|,g;bc\
S = χ��\fkp�xX}g;t�V
χ(M) =
k∑
i=1
χ(Mai ,Mai−1) = m0 −m1 +m2 − . . .±mdim M
´²ZDw]b³��\KZ�g��p\{ma`ck��p\zV �� �c�l�kc�� n@p�� � ���Yc) ����l� �=c ��f�c��,�� � hjikhmc���� �=«O¬
M�O« ,�� .�§j¬W«¸ª[«�40*8/7,;ª�& -
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bλ(M) ≤ mλ
� � � � � � �+∞∑
λ=0
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λ=0
(−1)λmλ
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vD~utuo;Z>Xc~��ybcZ�gi`cm8\,`�tuVa\z½>w�g;~ut�X[t�\,b�|,g;V��\Kma`dk0�;\,V$�>��X[Za\�hskp~�~uk���tuVao(g;`copw]qy\zV>X,��!c���� nqp�� " 1�¯�« { *8.�©O¬C§G®(.
Sλ
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Sλ(X, Y ) = bλ(X, Y ) − bλ−1(X, Y ) + bλ−2(X, Y ) − . . .± b0(X, Y )
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� klql ����t��;\,V$g;VT\O�]g;|OXBbd\,½>wa\zVa|,\(kih:�;\,|zXckp`�bcm�gi|,\h
−→ Ai
−→ Bj
−→ Ck
−→ . . . −→ D −→ 0´²Z]\,V$XcZa\K`[g;V]��k;hhma~�wab²X[Za\K`[giVa��k;h
itub²\z½Dwag;~�X[kµX[Za\K`cg;Va�#k;h
A�A´²Za\,`d\zhskp`d\;�
rank(h) = rank(A) − rank(i)= rank(A) − rank(B) + rank(j)= rank(A) − rank(B) + rank(C) − rank(k)
. . .= rank(A) − rank(B) + rank(C) − . . .± rank(D).º³\,Va|z\BXcZa\�~ug;bdXl\O�xma`d\,bdbctuk;V#tub
≥ 0� $Bk��¾|,kpV]bctue]\,`¸X[Za\³Zakpqnkp~uk;o;�(\±�agi|zX�bd\,½>wa\zVa|,\
kih g(X[`dtuma~�\X ⊃ Y ⊃ Z
�¸´²Za\,VT��t�XcZHλ+1(X, Y )
∂−→ Hλ(Y, Z)��\{kp�]X}gituV
rank(∂) = bλ(Y, Z) − bλ(X,Z) + bλ(X, Y ) − bλ−1(Y, Z) + . . . ≥ 0.¶�k;~u~u\z|zXctuVaonX[\,`dqybz�Sλ(Y, Z) − Sλ(X,Z) + Sλ(X, Y ) ≥ 0
����Zatu|}Z |zkpqnma~u\OX[\fXcZa\m]`ckDk;h �
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λ¬s¯ ��«O¬.¬C§ .z*8';�O«Oª � ¬j¯�«w.
∀ λ ≥ 0, bλ(M) − bλ−1(M) + . . .± b0(M) ≤ mλ −mλ−1 + . . .±m0.� � � � � � ���«w';,;ª �0�l´²Z]\,bc\{tuV]\,½>w�g;~�t�X[t�\,b�g;`c\KbcZag;`cm8\,`²X[Zag;VXcZa\�ma`d\z�Dtukpw]b³k;Va\,bz�UWVThCg;|OX���g;e]eatuVao�� % � � � � ��hsk;`
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λ− 1��Z]\,`c\
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MZ�g;b�gµeat�bc|z`c\zXc\f�$kp`cbd\�hswaVa|zXctukpV��¸¥3k;`²\O�]g;qnma~u\i�aea\z^aVa\{g
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f(σ) = dim(σ).�F\µbc\z\nXcZ�giX�\O�p\z`d�Y|,\z~u~ t�b�|,`dt�X[t�|�g;~.�f¶�kp`ckp~�~�g;`�� % � � � t�V�X[Za\_|,g;bc\_k;hl`c\zopwa~ug;`K¶��|zkpqnma~u\±�]\zbQX[\z~u~ub�wab�X[Z�giX�g$¶�� |,kpqnma~�\O�$��t�X[Z
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N ⊆M�O«�,Q¨w* �O©}®('�)+/u«Sx �
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M¨w*�©}¯¬j¯�,;¬
∀σ ⊆ N, g(σ) = f(σ).
� klql � �M\OXc = maxσ⊆Nf(σ)
� (�\O^�Va\gkpV
M���Tbc\zXdX[t�Vaoa�
g(σ) =
{f(σ) si σ ⊆ Nc + dim(σ) si σ * N
' V]\B\,g;bct�~��µ|}Za\z|}�yXcZ�giXgtub�g{e]tubc|z`c\OX[\��kp`cbd\BhswaVa|OX[t�kpVyk;V
MXcZ�giX�\O�DX[\zVaeab
f��´²Z]\n�$kp`cbd\7hswaVa|OX[t�kpV�|,k;VabdXc`cwa|OX[\,eYt�V�X[Za\(g;��k��;\µma`ckDk;hAqyg����8\7�p\z`d��tuVabdw���6
|,tu\zV�X��KUWVYm�g;`dXctu|zwa~�g;`z��\O�p\z`d�Y|,\z~u~:k;hM − N
tub�g#|z`ct�Xctu|,g;~M|,\,~�~G�K´²Za\z`c\µqyg��$\O�xt�bdX\O�DX[\zVabct�kpVab�Xck
M��t�XcZ�q�giV>�hs\z��\,`�|,`ct�X[t�|�g;~M|,\z~u~�b,��UWV�XcZa\7hskp~�~uk���tuV]oy~�\,qnq�g]����\
��tu~u~�bc\z\ft�X²tub²m8kpbcbdtu�a~�\Q��Za\,VM|zkp~u~ug;mabd\,b²kpV�X[k
N�
�!c���� nqp�� n��=«O¬M�O« , | � .�§j¬W«�}�& -�©}®('�)+/u«Sx�,0.8¦
N ⊆M�O«,f¨w* �O©}®('�)+/u«Sx
¨w*3©}¯¾¬j¯�,;¬M ↘ N
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c =maxσ⊆Nf(σ)
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M�A§j¬j¯
N = M(c)
,0.8¦_¨w*3©}¯¬j¯�«Oª[«G,;ª[«L.�®#©Oª±§j¬.§G©5,0/*©}«w/j/ ¨�§j.M −N
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M|,kp~�~�g;m]bc\,b³kpV�X[k
N����gybdtuVaop~�\f\z~u\zqy\zV>X[g;`d�
|,kp~�~�g;mabd\;�Bvxwam]m�kpbd\,bτtubBg�|,\z~u~Mk;h
M��t�X[Z�gyhs`c\z\fhCg;|z\
σ < τbdwa|}Z X[Z�g�X
Mt�b�g
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(B\z^�Va\fgn�$kp`dbc\KhswaVa|zXctukpVgkpV
M���
g(ν) = f(ν), ν 6= σ, τg(τ) = c+ 1g(σ) = c+ 2
´²Z]\,Vgb[g�X[tub�^�\,b�X[Z]\{`d\,½>wat�`c\,ema`dkpm�\z`dXctu\,bz�
�
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(n−1)6
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∆n�∆n − σ
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�F\7��t�~u~Mea\z^aVa\µtuV�g�V�giXcwa`[g;~=��g��X[Za\7Vak;X[t�kpV�kih¸eatubd|,`c\OX[\(o;`[g;eat�\,V�X��;\,|OX[kp`Q^�\z~ueabXcZ�g;Va�>b³X[kyXcZa\{eatubd|,`c\OX[\(�$kp`cbd\{hsw]Va|zXctukpV���´:kyeakyXcZatubz�3��\f��t�~u~�ea`cg��·kpVa\ � b³tuVabdmat76`cgiX[t�kpV#hs`ck;q X[Z]\{e]\z^�Vat�X[t�kpVTk;h*o;`[g;eat�\,V�X²�p\z|zXckp`³^a\,~ueTkpVTbdqykDk;X[ZTqyg;Vat�hskp~ue����\zX
M�8\lg²op\,Va\z`[g;~D¶�� |,kpqnma~�\O�;�sVak;X=Va\z|,\,bdb[g;`��{`c\,o;wa~�g;` ��g;Vae
f�8\�g²eat�bc|z`c\zXc\
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�¡\X[`��£Xck¡ea\O^�Va\ giV¢kp�D»d\z|zXVf : K → K
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X[Za\�op`cg;eat�\,V�X��;\,|zXckp`�^�\z~ue���giVaeTg;~ubdkΦf
XcZa\�g;bdbckD|,tugiX[\ze��k��K��¥�kp`�Vak��K�]��\gibcbcw]qy\
fgeat�bc|z`c\zXc\y�$kp`cbd\nhjwaVa|zXctukpV¼Z�g;bK�8\,\zVF^]�x\,e��*g;V]e¼��\n��`dt�Xc\
Vg;V]e
Φ�j��\Khskp`dop\zX²XcZa\Kbcw��µ�f�±�
´:k$opt��;\�gV�giXcwa`[g;~Ae]\z^�Vat�X[t�kpVFkih�X[Za\yeatubd|,`d\zX[\_�p\z|zXckp`f^�\z~ue��=��\n^�`cb�X(|zkpVabct�ea\,`XcZa\K�p\,`�X[t�|,\,bBk;h
M� �M\OX
v ∈ K0
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�z\,`dk�g;b�t�V bcqnkxk;XcZ$�$kp`cbd\�X[Za\zkp`d�;��vDkn��\Kbc\zXV (v) = 0.
U hvt�b�VakiXKg#|,`dt�X[t�|�g;~=|,\z~u~.��X[Z]\,V X[Za\z`c\µt�b�g#waVat�½Dw]\µ\,eaop\
e > v��t�X[Z
f(e) ≤f(v)
�³´²Za\f\,eaop\ebcm8\,|zt�^�\zb�X[Za\fwaVat�½Dw]\7eat�`c\,|OX[t�kpV�t�V$��Zat�|}Z
ftub³Vak;X�tuVa|z`c\,g;bct�Vao
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¥*tuopw]`c\ � � � � � � (�t�`c\,|OX[t�kpVTk;h:XcZa\Kop`[gieatu\zV>X²�;\,|OX[kp`�^�\,~�e
�C|zhB¥*t�oa� % � � � � �O�¼v '−∇f(v)
bcZ]kpwa~ue!�8\e� �¡\�q(wabdX_V]k0��ma`d\,|ztubc\#XcZatubz� �¡\
��tubcZ�Xck#X[Zat�Va�k;hV (v)
g;bKg�eat�bc|z`c\zXc\(X}g;V]op\,V�XQ�;\,|zXckp`Q^�\z~ue m8kptuV�X[t�Vao#g���g���hs`ckpqv�A´²ZagiX³tub
V (v)tube��t�XcZ$g_|}Zakpbd\,V$kp`ct�\,V�X}giXctukpV��
´²Z>wab{��\ntuV�X[`dkxe]wa|,\_X[Za\_|}Z�gituV¡|zkpqnma~u\±� k;hM� ¥*t �Yg;V¼kp`ct�\,V�X}g�X[tuk;VYhsk;`{\,g;|}Z
|,\,~�~σ ∈ K
����\zXCi(M,Z)
�8\�X[Za\�hs`d\,\�g;�8\,~�t�g;V7op`ckpw]mµop\,Va\z`[giXc\,enk��p\,`Z�>�fX[Za\zbc\
kp`ct�\,V�X[\ze¡|,\z~u~�bfk;h�eatuqn\,V]bctuk;Vik;hM�T�F\yt�ea\,V�X[t�hj�
−σ��t�XcZ
σo;t��p\zVF��t�X[ZFXcZa\
kpmam8kpbct�X[\�kp`dtu\,V�X[giX[t�kpV�����\OX∂ea\,V]k;X[\KX[Za\Kwabdw�g;~��8kpwaVaeag;`d� k;m�\z`[giXckp`,�
∂ : Cp(m,Z) → Cp−1(M,Z).
´²Za\,V∂σ =
∑
ν(p−1)<σ
ε(σ, ν)ν,
��Za\,`d\KXcZa\ε� b�g;`d\�tuV�X[\zop\,`db�|�g;~�~u\,e XcZa\KtuVa|ztuea\zVa|,\�V>waq(�8\,`db,�
U XKtubQ|zkpV��p\,V]tu\,V�XKX[kTt�V>Xc`ckDeawa|z\_g;V tuVaV]\,`�ma`dkxeaw]|zX<,>
kpVC∗
��� e]\,|,~ug;`ct�Vao�XcZa\|,\,~�~ub²k;h
MX[k_��\{g;VTkp`�X[Zak;Vakp`cqyg;~���g;bct�b,�¸´²Z>wab���\Kkp�]X[g;tuV
∂σ =∑
ν(p−1)<σ
< ∂σ, ν > ν.
´²Z�g;Va�>b_X[k�X[Z]tub,�¸��\|zkpqnma~u\OX[\ kpwa`µe]\z^�Vat�X[t�kpV!k;h³X[Za\Teat�bc|,`d\zXc\o;`[g;eat�\,V�Xµ�p\z|zXckp`^�\,~�e£k;V"XcZa\ �p\z`dX[t�|,\zb,�"U h
v ∈ K0
t�bµVak;Xng |,`dt�Xctu|�gi~�|,\z~u~.�¸g;Vaee ∈ K1
�p\z`ct�^a\,be > v
�f(e) ≤ f(v)
�]��\{bc\OXV (v) = ±e
����Za\z`c\�X[Z]\{bdtuopVTt�b²ea\zXc\,`cqntuV]\,ebckµX[Z�g�X< ∂(V (v)), v >= −1.
Vak�� ��\ea\O^�Va\TX[Za\ �Ceat�bc|z`c\zXc\Xctuqn\ � ak0�Φg;~ubdkYtuV gYVagiX[wa`cg;~���g��;�¢U h
vtubng
|,`ct�X[t�|�g;~�|,\,~�~G�DX[Za\zVV (v) = 0
g;Vaebckvtub�^]�x\,ewaVae]\,`�X[Za\Kop`cg;eatu\zV�X �k��K��tG� \;�
Φ(v) = v.
�8����� ��� �q�������u� ������ ���������$ �
U hvt�b³V]k;X�|,`dt�X[t�|�g;~.�ag;V]e
V (v) = ±e��X[Za\zV
vbcZakpw]~ue �k��5X[kµXcZa\ � k;X[Z]\,`�\,Vae � k;h
e�¸´²Z�g�X�tub,�
Φ(v) = v + ∂(V (v)).$³k;X[\�X[Z�giX*X[Zat�b*hskp`cq7wa~�g³Zakp~ue]b*hskp` gi~u~>�p\,`�X[t�|,\,bz����\OX[Za\z`l|z`ct�X[tu|,g;~>kp` VakiX��A�kp`c\zk0�;\,`z�t�hMX[Za\K|,\z~u~�t�b²Vak;X�|,`dt�Xctu|�gi~G�>X[Za\zV�t�X�Z�g;b³g;|zXcw�g;~�~��yqyk��p\ze$bdtuVa|z\
< Φ(v), v >= 0�
�¡\�\±�DX[\,V]eVg;Vae
Φ~�tuVa\,g;`c~��yXcknqyg;mab²k;V|}Zag;tuVab
V : C0(M,Z) −→ C1(M,Z)
Φ : C0(M,Z) −→ C0(M,Z).�F\KVak��5\±�xXc\,Vae
VX[k_Zatuo;Za\,`²eat�qy\zVabct�kpV |,\z~u~�b,�
b�cedgf�hjikhml f nqp� �M«O¬σ�O«%,
p v ©}«w/j/=¦D« M | �A§j¬s¯ ,���xx«c¦®�ª±§G«w.�¬-,;¬C§G®(.0}0� j{{¬s¯�«Oª[«§u¨τ (p+1) > σ
�A§j¬j¯f(τ) ≤ f(σ) � ��«Q¨�«O¬
V (σ) = − < ∂τ, σ > τ.
| .�®�¬W«7¬s¯�,;¬σ'�*>¨O¬��O« ,Tª}«�40*�/7,;ª {=,D©}«n®�{
τ| {�®�ª
fª}«}¨�)�«}©O¬j¨f¬s¯�«�)�,;ª±¬.§s,0/A®�ªd¦D«Oªn®(.
§jª±ª[«�40*�/7,;ª {=,D©}«}¨7®�{τ}],0.8¦n¨�®
< ∂τ, σ >= ±1}0�
j{�¬j¯�«Oª}«{§u¨L.�®7¨w*3©}¯τ � ¬s¯�«w.���«Q¨�«O¬
V (σ) = 0.
�=®�ª7«5,D©}¯p � ��«(«Sxp¬ «w.8¦ V / §j.�«5,;ª / °n¬W®],]';,w)
V : Cp(M,Z) −→ Cp+1(M,Z).
��«w';,;ª �0� $³k;X[\QXcZ�giXV (σ) = 0
��t�X[Zak;w]Xσ^x�]\ze�waV]ea\,`²X[Z]\ ak0�K�
UWV�^aopwa`c\ % � � � � ��\(Zag��;\V (e1) = 0
� $B\z�;\,`�X[Za\z~u\,bdbe1
q7wabdX�Vak;XQ�8\7^]�x\ze waVaea\z`XcZa\ �k��
Φ�#´²Za\n��k;waVae�g;`��Yk;h
e1�Ct.� \i��t�Xcb�XW��k�p\,`�X[t�|,\,b � � qnk��p\neak���V���g;`deab � �
´²Z]tubTtu~�~uwab�X[`[g�X[\,bnX[Z�g�X X[Za\z`c\¼g;`c\¼gÀX}giVaop\,V�X$g;Vae gÀX[`cg;Vab��p\,`db[g;~K|zkpqym8kpVa\zV�XTk;hXcZa\(op`cg;eat�\,V�X
−∇f(v)�V (σ)
tub³X[Za\7Xc`[g;V]bd�p\z`cbcg;~A|,kpqnm8kpVa\,V�XQg;VaeV (∂σ)
tub³X[Za\X[g;Vaop\zV�XBk;Va\��CZa\z`c\���\{|�g�X[|}ZTX[Za\Kqnk0�;\,qn\,V�X³k;h=X[Za\��p\z`dXctu|,\zb3�±�b�cedgf�hjikhml f nqp� ���=®�ªG,0.�°®�ª±§G«w.�¬ «c¦�{=,D©}«
σ��«(¦D«m� .�«{¬s¯�« | ¦;§u¨�©Oª[«O¬W«{¬.§j'�«�}%4;ªS, v¦;§G«w.�¬���® �
Φ�,°
Φ(σ) = σ + ∂V (σ) + V (∂σ)®�ª � '�®�ª[«Q¨w*�©}©O§j.�©O¬ / ° �
Φ = 1 + ∂V + V ∂.
��� ��������� ������������������������������ ���������!�#"%$
¥*tuopw]`c\ � � � � � �µ¶�\,~�~Ahskp`���Zatu|}Z¡XcZa\nop`[g;e]tu\,V�Xftub{V>wa~u~A��t�XcZakpw]X{�8\,t�Vao$^]�x\zeÀwaVaea\z`X[Za\ �k��
¥*tuo;wa`c\ � � � � � � ��`[g;e]tu\,V�X²�;\,|zXckp`²^�\,~�e$kih:XcZa\Kwamam8\,`�\,eao;\
¥:tuopwa`d\ � � � � � �¸¹ �xma`d\,bdbctuk;V$k;h=X[Z]\ ak0�Φ(e)
��x ,0'�)+/u«�¥*t�opwa`d\,b % � � � � g;Vae % � � � � tu~�~uwab�X[`cgiX[\{X[Za\µop`cg;eat�\,V�X��p\z|zX[k;`{^�\z~ue¼g;Vae XcZa\�k���hskp`�gµ|,\z~u~
ekp`ct�\,V�X[\zehs`dkpq XcZa\K~u\OhjX²X[kµX[Za\K`dtuopZ�X��
´²Z]\Qq�gituV_ma`ck;m�\z`dX[t�\,b�k;hVgiVae
Φg;`d\B|zkpV�X}g;t�Va\,e#t�VnXcZa\³hskp~u~�k0��t�Vao�X[Za\zkp`c\zqybz�
� �c�l�kc�� n@p�� � | � }V ◦ V = 0
�
�8����� ��� �q�������u� ������ ���������$ � #
| � } m{σ§u¨�,0.¼®�ªO§G«w.�¬W«c¦
p v ©}«w/j/:®�{ M � ¬s¯�«w.#{ν(p−1)|V (ν) = ±σ} ≤ 1.
| � } m{σ§u¨�,0.¼®�ªO§G«w.�¬W«c¦
p v ©}«w/j/:®�{ M � ¬s¯�«w.σ§u¨(©Oª±§j¬C§G©5,0/
⇔ [σ /∈ Im(V ),0.8¦
V (σ) = 0].� klql �G�  ��U h
V (ν(p−1)) = ±σ(p) X[Za\zV ν < σgiVae
f(ν) ≥ f(σ)� ���¼~u\zqyqyg
% � � # �]X[Za\z`c\Ktub²V]kτ > σ
��t�X[Zf(τ) ≤ f(σ)
�A´²Z>wabV (σ) = 0
�� � ��U h
V (ν(p−1)) = ±σ(p) XcZa\,V ν < σg;Vae
f(ν) ≥ f(σ)� ����|zkpVaeat�X[tuk;V �Ct�tj�³kih
e]\z^�Vat�X[t�kpV % � � x�νtub�waVat�½>wa\;�
� � ��¥�`ckpq ea\z^aVat�XctukpV % � � � �σt�b²|,`ct�X[t�|�g;~�t�h*g;VaeTkpVa~��#t�h
�Ct �@ ν(p−1) < σ
�f(ν) ≥ f(σ)
giVae�stut �
@ τ (p+1) > σ�f(τ) ≤ f(σ)
�´²Z]\,bc\{|,k;Vaeat�XctukpV]b�g;`c\�\z½Dw]t��ig;~u\zV�X³Xck�Ct �
@ ν(p−1) � V (ν) = ±σg;Vae
�stut �@ τ (p+1) � V (σ) = ±τ
�t.� \i��Ct �
σ /∈ Im(V )g;V]e
�stut �V (σ) = 0
��
� �c l�kc�� nqp�� � | � }Φ∂ = ∂Φ
��M«O¬
σ1, . . . , σr
¦D«w.�®�¬W«K¬j¯�«p v ©}«w/j/ ¨(®�{ M �A§j¬s¯ ,T©}¯�®�¨�«w.¼®�ªO§G«w.�¬�,;¬C§G®(.+� -7ª±§j¬ «
Φ(σi) =∑
j
aijσj.
| � }∀ i � aii = 0
®�ª1 � ,0.8¦ aii = 1
§ {G,0.8¦T®(.z/ °n§ {σi
§u¨G,©Oª±§j¬C§G©5,0/:©}«w/j/7�| � } m{
i 6= j � ¬j¯�«w. aij ∈ Z� m{
i 6= j,0.8¦
aij 6= 0¬j¯�«w.
f(σj) < f(σi)�
� klql ���  �²vxt�Va|,\Φ = 1 + ∂V + V ∂
�a��\{Z�g��p\Φ∂ = (1 + ∂V + V ∂)∂ = ∂ + ∂V ∂ + V ∂2 = ∂ + ∂V ∂
∂Φ = ∂(1 + V ∂ + ∂V ) = ∂ + ∂V ∂ + ∂2V = ∂ + ∂V ∂.�F\{ma`ck��p\�� � �²g;V]e � � �²bdtuq(w]~�X}giVa\,kpw]bc~��;��^�`dbdX,�8bdtuVa|z\∂giVae
V��kiX[Zq�g;mtuV�Xc\,op\z`
|}Zag;tuVab²Xcknt�V�X[\,o;\,`²|}Z�g;t�Vab,��\,g;|}Zaij ∈ Z
��l�7X[Z]\,kp`d\,q % � �&�]�;\�g;|}Z_|,\z~u~
σpbcgiX[t�bd^�\zb¸\O�]g;|zXc~��7kpVa\²k;h3X[Z]\�hskp~u~�k0��t�Vao�m]`ckpm8\,`�X[tu\zb �
�&% ��������� ������������������������������ ���������!�#"%$
�stj�σtub�gµ|,`dt�X[t�|�g;~�|,\,~�~
�Ctut �±σ ∈ Im(V )
�Ct�tut �V (σ) 6= 0
��¡\K\O�]g;qntuV]\�\�g;|}Z|�g;bd\KtuVaea\zm�\zVaea\zV>Xc~�� Xcknm]`ck��p\KX[Za\�XcZa\,kp`d\,q��Ctj�lU h
σtub²|z`ct�Xctu|,g;~�XcZa\,V
V (σ) = 0��bdk
Φ(σ) = σ + V (∂σ) = σ +∑
ν(p−1)<σ
< ∂σ, ν > V (ν).
vxtuVa|z\σt�b |,`dt�X[t�|�g;~.�
∀ ν(p−1) < σ�f(ν) < f(σ)
� ¥�kp` \�gi|}Z bdwa|}Zν��\,t�XcZa\,`
V (ν) = 0kp`V (ν) = σ(p) ��t�X[Z
f(σ) ≤ f(ν) < f(σ).
´²ZDw]bΦ(σ) = σ +
∑aeσσ
��Za\,`d\aeσ 6= 0 ⇒ f(σ) < f(σ)
��Ctut ��vxw]mam�k;bc\
±σ ∈ Im(V ) ⊆ Ker(V )�Cg;Vaebck
V (σ) = 0�O�¸´²Za\,V
Φ(σ) = σ + V (∂σ) = σ +∑
ν(p−1)<σ
< ∂σ, ν > V (ν).
���yXcZa\,k;`c\,q % � �&��� � �O�xXcZa\,`d\�tub�\O�]g;|zXc~��ykpVa\(p− 1)
6W|z\,~u~ν < σ
��t�X[ZV (ν) = ±σ�shskp`
σ ∈ Im(V )�Qg;Vae
< ∂σ, ν > V (ν) = −σ�C|zhlea\O^�Vat�X[tuk;V % � � � �O�7�$kp`d\,k��p\z`,�
t�hν 6= ν < σ
X[Za\zVY\,t�XcZa\,`V (ν) = 0
kp`V (ν) = σ
��t�XcZf(σ) ≤ f(ν) < f(σ)
�´²ZDw]b
Φ(σ) =∑
eσ(p)
aeσσ,
k ���aeσ 6= 0 ⇒ f(σ) < f(σ)
��Ctut�tj�lvxwamam8kpbd\
V (σ) = − < ∂τ, σ > τ 6= 0�A´²Za\zV
Φ(σ) = σ + ∂(V (σ)) + V (∂σ).
vxtuVa|z\V (σ) 6= 0
�±σ /∈ Im(V )
� ´²Z>wab∀ ν(p−1) < σ
�²\,t�X[Za\z`V (ν) = 0
kp`V (ν) = ±σ
g��p\z|f(σ) ≤ f(ν) < f(σ)
�l�$k;`c\,k��;\,`
∂(V (σ)) = − < ∂τ, σ > ∂τ = − < ∂τ, σ >2 σ +∑
beσσ = −σ +∑
beσσ
k ���beσ 6= 0 ⇒ f(σ) < f(τ) ≤ f(σ)
�´²Zatub²|zkpqym]~u\zXc\QX[Za\Kma`dkxkih �
�' Va\{|�giV�b[g�� �C��� XcZa\,kp`d\,q % � � ��X[ZagiXΦea\,|z`c\,g;bc\zb
f�8g;Vae
σ ⊆ Φ(σ)t�h*g;Vae
kpVa~���t�hσtub²|,`dt�Xctu|�gi~G� ¥�kp`�\O�]g;qnma~u\�|zkpVabct�ea\,`³¥*t�oa� % � � � � X[Za\zV
Φ(e1) ⊇ e1
�8����� ��� �q�������u� ������ ���������$ �xÂ
Φ(e2) ⊆ e2
Φ(e3) ⊆ e3�kp`c\Kma`d\,|,t�bc\z~��p�Φ(e1) = e1 + e2 + e3
Φ(e2) = Φ(e3) = 0.
�e� ��������� ������������������������������ ���������!�#"%$
9;:�� � � � H IL?*S � D�IGF KCJ ��� PfRCA LzRµN�P ?*LzPfRµJ D �TPKL,RTS�M\OX
M�8\TgY^aVat�Xc\¶�� |,k;qyma~�\O��� ��\zX
CΦp (M,Z)
e]\,Vak;Xc\ X[Za\Φ6 tuV��ig;`ctug;V�X
p6
|}Z�g;tuV]b³kihM�aXcZ�giX�t�b
CΦp (M,Z) = {c ∈ Cp(M,Z)|Φ(c) = c}.
¥3`dkpq�X[Za\zkp`c\zq % � � D�*X[Za\���kpw]Vae�g;`��¡kpm8\,`cgiX[k;`∂q�gimab
CΦp
X[kCΦ
p−1
��´²Z>wab(��\Z�g��p\fg_e]t���\,`c\zV�X[t�gi~�|,k;qyma~�\O�
CΦ : 0 −→ CΦn (M,Z)
∂−→ CΦ
n−1(M,Z)∂
−→ . . .∂
−→ CΦ0 (M,Z) −→ 0.
� � � � �  �´²Za\K|,kpqnma~u\±�
CΦ tub²|,g;~u~�\,e#XcZa\(F®�ª[¨�«µ©}®('�)+/u«Sxp�´²Za\fo;k�g;~�k;h:X[Zat�b³bd\,|OX[tuk;V�tub²Xckyma`dk��p\fXcZ�giX�X[Z]\fZak;qykp~�kpo;�yk;hCΦ tub�ma`d\,|ztubc\z~�� XcZa\|,\,~�~�Zak;qykp~�kpo;�Yk;h
M�¼´²Za\#^�`dbdXµb�X[\zm£t�b7X[k t�V��p\,b�X[t�o�giX[\yX[Za\ b�X}g;�at�~ut���giXctukpVYqyg;m
Φ∞ : C∗ −→ C∗
opt��;\,V���Φ∞ = lim
N→∞ΦN
�$kp`c\�ma`c\z|,tubd\,~��p� ��\#��tu~u~lma`dk0�;\#X[Z�g�X(X[Za\z`c\#t�bN ∈ N
~�gi`cop\y\,Vakpw]opZ!bcwa|}Z"X[ZagiXΦ∞ = ΦN
�
�!c���� nqp�� "��=«O¬c ∈ CΦ
p (M,Z),0.8¦ �Aª±§j¬W«
c =∑
σ∈Kpaσσ� �M«O¬
σ∗ =,0.�° ';, xp§j'µ§���«Oª7®�{
{f(σ)|aσ 6= 0}.
1�¯�«w.σ∗ §u¨�,T©Oª±§j¬C§G©5,0/*©}«w/j/:®�{ f �
� klql � vxtuVa|z\ctub
Φ6 tuV��ig;`ctug;V�X��
c = Φ(c) =∑
σ∈KpaσΦ(σ)
�¸´²Za\z`c\Ohskp`c\i�
aσ∗ =< c, σ∗ >=∑
σ∈Kp
aσ < Φ(σ), σ∗ > .
hs`ckpq�X[Za\zkp`c\zq % � � C� � �±�at�hσ 6= σ∗ \zX f(σ) ≤ f(σ∗)
XcZa\,V
< Φ(σ), σ∗ >= 0.
´²ZDw]b0 6= aσ∗ = aσ∗ < Φ(σ∗), σ∗ >
�²vxk< Φ(σ∗), σ∗ >6= 0
��´²Z]\,kp`d\,q % � � �� � �tuqnma~ut�\,b�XcZ�giX
σ∗ tub�gµ|z`ct�Xctu|,g;~�|z\,~u~.��
� �c�l�kc�� n@p�� %∃N ∈ N
/7,;ª 4D«(«w.�®(* 4�¯ΦN = ΦN+1 = . . . = Φ∞ �
�8���������� � ��� �������� � ����Y��� � ��������������� ��������� � � �
� klql �*´²Z]\fma`dkxkih:t�b²���TtuVaeaw]|zX[t�kpV kpVr = #{σ ∈ K|f(σ) < f(σ)}
�vDwamam8kpbc\
r = 0�pX[Za\zV����µX[Za\zkp`c\zq % � � x��\,t�X[Za\z`
Φ(σ) = σk;`
Φ(σ) = 0� UWVn\,t�XcZa\,`
|,g;bc\Φ(σ) = Φ∞(σ)
�vDwamam8kpbc\KX[Za\Kma`dkpm8\,`dXW�#Zakp~ue]b�hskp`
r − 1�l´²Z]\,VThskp`
r��\fZag��;\{XW��kn|�g;bd\,b �
�stj�σtub²V]k;X�|,`dt�X[t�|�g;~.�*´²Za\zV���� X[Z]\,kp`d\,q % � �
Φ(σ) =∑
f(eσ)<f(σ)
aeσσ.
�l�¡t�Vaeawa|OX[tuk;V��∃Neσ ∈ N
bdwa|}Z!X[Z�giXΦNeσ(σ)
t�bΦ6 tuV��ig;`ctug;V�Xf��Za\zVa\z�;\,`
f(σ) <f(σ)
�A´²Za\,`d\zhskp`d\ΦMax{Neσ}
tubΦ6 tuV��ig;`ctug;V�XL�
Max{Neσ}\O�xtub�X[b²hskp`
Mtub�^�Vat�X[\ �O�
�stut �σtub²|,`dt�Xctu|�gi~G����\OX
c = V (∂σ)�¸´²Za\zV
Φm(σ) = σ + c + Φ(c) + . . .+ Φm−1(c).U X{hskp~�~uk���bQX[Z�g�X
Φm(σ)t�b
Φ6WtuV��ig;`dt�g;V�XKt�h�g;VaeFkpVa~�� t�h
∃N ∈ N�ΦN (c) = 0
� �bd\,\zVyt�Vµma`ckDk;h8k;h3X[Za\zkp`c\zq % � � x�
ctub*XcZa\²bcwaq�k;h
p6W|z\,~�~ub
σbcw]|}ZnXcZ�giX
f(σ) < f(σ)�
�l� tuVae]wa|zXctukpV��∃N ∈ N
�Φ
eN(c)tub
Φ6 tuV��ig;`ctug;V�X��
�F\KVak��5kp�]bc\,`��p\KX[Z�g�Xc ∈ Im(V )
giVaeIm(V )
t�bΦ6WtuV��ig;`dt�g;V�X��]bctuV]|,\
ΦV = (1 + ∂V + V ∂)V = V (1 + ∂V )
�s|zh¸X[Z]\,kp`d\,q % � �&���  �5�±�K´²ZDw]bΦ
eN ∈ Im(V )� ����XcZa\,k;`c\,q % � �&� � � �O��XcZa\µtuqyg;op\
kihVtub�kp`�X[Zak;opkpV�g;~:X[k X[Za\n|,`dt�Xctu|�gi~:hCg;|z\,b{g;VaeYX[Za\z`c\Ohskp`c\
ΦeN(c)
t�bKgp6W|}Z�g;t�V
Φ6
t�V��;gi`ct�giV>XM��Zat�|}Z7t�b:kp`�X[Zak;opkpV�g;~pXckBXcZa\�|z`ct�Xctu|,g;~;hCg;|z\,b,� ���K~u\zqyqyg % � � � �Φ
eN (c) = 0�
��gx ,0'�)+/u«��B´²Z]\f^�opw]`c\ % � � �  t�~u~�wabdXc`[giXc\,b²X[Z�g�XNtub�^�Vat�Xc\{hsk;`�~�gi`cop\K\,V]kpwaopZ �sZa\,`d\
N �� hsk;`�X[Za\K|,\z~u~
e�±�
¥:tuopwa`d\ � � � �  �A¥�kp`�X[Za\K|z\,~u~e�N = 2
����X[Za\zkp`c\zq % � � # �]X[Z]\,`c\Kt�b�g;VN ∈ N
~�g;`dop\�\,V]kpwaopZTbck_X[ZagiX³\z�p\z`d�T|}Z�gituVc�
ΦN(c) = ΦN+1(c) = ΦN+2(c) = . . . .
� � ��������� ������������������������������ ���������!�#"%$
�M\OXΦ∞(c)
ea\zVak;X[\²XcZatubΦ6 tuV��ig;`ctug;V�X |}Z�g;t�V�� ´²Za\zVnhsk;` \�g;|}Z
p ∈ N�p��\�Z�g��p\³qyg;mab
Φ∞ : Cp(M,Z) −→ CΦp (M,Z)
i : CΦp (M,Z) ↪→ Cp(M,Z)��Za\,`d\
itubMX[Z]\�V�giXcwa`[g;~DtuV]|,~uw]bctuk;V�� $Bk;Xc\�X[Z�g�X
Φ∞◦itubMX[Za\�t�ea\,V�Xct�XW�{kpV
CΦp (M,Z)
��¡\KZ�g��p\KVak��5XcZa\�hskp~u~�k���tuVao{X[Za\zkp`c\zq �
� �c�l�kc�� n@p ��� �M«O¬CΦ
∗
¦D«w.�®�¬W«K¬s¯�«�¼®�ª[¨�«µ©}®('�)+/u«Sx |�� � � � � }0�;1�¯�«w.∀p ∈ N
Hp(CΦ∗ ) ∼= Hp(M,Z).
� klql � ¶�kpVabct�ea\,`²XcZa\�hskp~u~�k0��t�Vao(|zkpqyq7w]X}giXct��;\Qeat�giop`[g;q �
0 −→ Cn(M,Z)∂
−→ Cn−1(M,Z)∂
−→ . . .∂
−→ C0(M,Z) −→ 0↓Φ∞↑i ↓Φ∞↑i ↓Φ∞↑i
0 −→ CΦn (M,Z)
∂−→ CΦ
n−1(M,Z)∂
−→ . . .∂
−→ CΦ0 (M,Z) −→ 0
�M\OXΦ∞
∗ : H∗(M,Z) −→ H∗(CΦ∗ )
i∗ : H∗(CΦ∗ ) −→ H∗(M,Z)ea\,VakiX[\KX[Za\{tuVae]wa|,\ze�qyg;mab�kpVZakpqnkp~ukpoi�p� ' wa`�opk�g;~�t�b�XckybdZak���X[Z�g�X
i∗g;V]e
Φ∞∗g;`c\³tubdkpqyk;`cmaZat�bcqnb,�=UWVyhCg;|OX��>��\³��tu~�~aX[Z�giXlX[Z]\z�yg;`c\³tuV��;\,`cbd\,b�k;h�\�gi|}Z#k;X[Z]\,`,�AvxtuVa|z\
Φ∞ ◦ i = 1��\{Zag��;\
1 = (Φ∞ ◦ i)∗ = Φ∞∗ ◦ i∗´:k_bc\z\{XcZ�giX
i∗ ◦ Φ∞∗ = 1
��t�X�tub²bcw �y|ztu\zV>X³X[kµ^�V]e�g;Vkpm8\,`cgiX[kp`L : C∗(M,Z) −→ C∗−1(M,Z)
bcwa|}ZX[Z�giX1 − i ◦ Φ∞ = ∂L + L∂.
� bMg²q�g�XcX[\z`�k;h>hCg;|OX��0|,~�kpbc\zeKhsk;`cqnb���k;wa~ueK�8\Aq�g;m]m�\zeKXck�\O�]g;|zX�hsk;`cqnb����1−i◦Φ∞ �g;VaeFXcZatubfq�gim¼��kpwa~�eÀ��\nX[Za\y�,\z`ck�qyg;mFkpVÀZakpqnkp~�kpo;�p� vxtuVa|z\
itubKX[Za\ytuea\zV>Xct�XW�
q�g;m k;V$|}Z�gitub³g;VaeΦ∞ = ΦN
hskp`²bckpqn\N~�gi`cop\�\zVakpwaopZ��
1 − i ◦ Φ∞ = 1 − ΦN = (1 − Φ)(1 + Φ + Φ2 + . . .+ ΦN−1)= (−∂V − V ∂)(1 + Φ + Φ2 + . . .+ ΦN−1)= ∂[−V (1 + Φ + Φ2 + . . .+ ΦN−1)] + [−V (1 + Φ + Φ2 + . . .+ ΦN−1)]∂
�s��\{w]bc\,eΦ∂ = ∂Φ
�±�L = [−V (1 + Φ + Φ2 + . . .+ ΦN−1)]
tub�gib³e]\,bct�`c\ze���
�8���������� � ��� �������� � ����Y��� � ��������������� ��������� � �&�
OVP ��PSQ � ��_ �I^ ��a8_ [2^!WYXZ�_2` \(� ! [�� U !8UR[ \ Z�XG^!U � !8a��\OX
M��\Tg�^�V]t�X[\ ¶�� |zkpqnma~u\±���Y´²Za\Topkpg;~�kih³XcZatub7bc\,|OX[t�kpV!tub7Xck ma`ck��;\#X[Z�giX
XcZa\_�$k;`cbc\7|,kpqnma~u\±�|�g;V �8\7\±�xma`c\zbcbc\ze¼XcZ�g;Va�>bQXck#|,`dt�X[t�|�g;~�|z\,~�~ub,�³�¡\f^�`cb�X�ma`ck��;\XcZ�giX�XcZa\�bcmag;|,\Kk;h
Φ6Wt�V��;gi`ct�giV>X�|}Z�g;t�Vab�tub�|�g;Vak;Vatu|,g;~u~��yt�bckpqnkp`dmaZatu|�X[k(XcZa\�bcmag;VTk;h
XcZa\µ|,`dt�Xctu|�gi~:|z\,~u~�b,�K´²Za\zV�����\µ��tu~�~=^aVae¼g;V \O�xma~�tu|,t�XQ\±�]m]`c\,bdbct�kpVFkihlXcZa\µ�8kpwaVae�gi`d�k;m�\z`[giXckp`�k;h*XcZa\(�kp`cbd\f|zkpqym]~u\O�#X[Z�g;V]�Db�X[knX[Za\{|,`dt�Xctu|�gi~�|,\z~u~ub�giVae$XcZa\fV]k;X[t�kpVTk;ho;`[g;eat�\,V�X�m�giXcZ��¥�kp`�\�gi|}Z
p ∈ N��~u\OX
Mp
ea\zVak;X[\�XcZa\Kbcm�g;Vk;h=X[Za\K|z`ct�Xctu|,g;~p6W|,\z~u~�b,�at.� \i�
Mp = {∑
σ∈Kp
aσσ|aσ ∈ Zg;Vae
aσ 6= 0 =⇒ σt�b²|,`dt�X[t�|�g;~
}.
�l� `c\zbdX[`dtu|OX[tuV]o_XcZa\Kq�gimΦ∞ ea\O^�Va\,e$tuV X[Z]\{m]`c\z�Dt�kpwab�bc\z|zX[t�kpV��]��\{op\zX³g_q�gim
Φ∞ : Mp −→ CΦp (M,Z).
� � � � � � �¥:t��7g;V_kp`ct�\,V�X}g�X[tuk;Vfhskp` \,g;|}Z
p6 |,\,~�~
σg;V]eµtuea\zV>Xct�hj�
−σ��t�X[Z
σopt��p\zV_XcZa\�kpm]m�kpbdt�Xc\
k;`ctu\zV�X}giXctukpV��� c���� nqp �qr �M«O¬
σ�O«�,T©Oª±§j¬C§G©5,0/
p v ©}«w/j/7� j{ σ 6= σ§u¨µ©Oª±§j¬.§G©5,0/ � ¬s¯�«w.
< Φ∞(σ), σ >= 0.
� klql � � b�bc\,\zV�t�VTXcZa\Kma`ckDk;h:k;h:~u\,qnqyg % � � �
Φ∞(σ) = σ + c,
��Z]\,`c\c ∈ Im(V ) ⊆ M⊥
p
��
� �c l�kc�� nqp � n 1�¯�«#';,w) � � � � � §u¨�,0.�§u¨�®('�®�ª�)�¯D§u¨w';�� klql ���skpV�X[k ��vxw]mam�k;bc\
c ∈ CΦp (M,Z)
�3g;VaeT~u\OX
c =∑
σ ��� � ��� ����< c, σ > σ ∈ Mp.
�F\KbcZ�gi~u~�bd\,\KX[Z�giXΦ∞(c) = c
��¥�`dkpq ~�\,qnq�g % �  �]hskp`�g;V�� |z`ct�Xctu|,g;~�|z\,~u~σ
< Φ∞(c), σ >=< c, σ > .
vDkΦ∞(c) − c
tub�gΦ6Wt�V��;gi`ct�giV>X�|}Z�g;tuVTbdwa|}Z$XcZ�giX�hskp`�g;V�� |z`ct�Xctu|,g;~�|z\,~u~
σ
< Φ∞(c) − c, σ >= 0.
� � ��������� ������������������������������ ���������!�#"%$
��� ~u\zqyqyg % � � � ��\{Zag��;\Φ∞(c) − c = 0
��  6  ��vxwam]m�kpbd\
c ∈ Mp
bcgiX[t�bd^�\zbΦ∞(c) = 0
�A´²Za\zV���hskp`�g;V�� |z`ct�Xctu|,g;~�|z\,~u~σ�
< Φ∞(c), σ >= 0.
�¡\�w]bc\ g;opg;tuV�XcZa\�\z½Dwag;~ut�XW�Φ∞(c) = c + cV
�²��Za\,`d\cV ∈ Im(V ) ⊆ M⊥
p
�´²Za\,`d\zhskp`d\;�ahskp`�g;V��T|z`ct�Xctu|,g;~�|z\,~u~
σ�
< c, σ >= 0,
��Zatu|}Ztuqnma~ut�\,bc = 0
��´²Z]\,kp`d\,q % � � tuqnma~ut�\,blX[Z�giX²XcZa\f�$kp`dbc\K|,kpqnma~�\O� t�b²tubdkpqyk;`cmaZat�|�X[k
M : 0 −→ Mn
e∂−→ Mn−1
e∂−→ . . .
e∂−→ M0 → 0
� � � � � � �¶�kpVabct�ea\,`²XcZa\�hskp~u~�k0��t�Vao7|zkpqnq(w]X}g�X[t��;\�eat�giop`[g;q
Mp
e∂−→ Mp−1
Φ∞ ↓ Φ∞ ↓
CΦp
∂−→ CΦ
p−1
�¡\fkp�]X}gituV��3hskp`c ∈ Mp
�(Φ∞)−1(∂Φ∞(c)) = ∂c
�B´²Z�g;Va�>b�Xck�X[Z]\7�8\,opt�VaVatuV]o�k;hX[Za\Kma`dkxk;h=k;h=X[Z]\,kp`d\,q % � � �]��\KZ�g��p\
∂c =∑
eσ∈Kp−1 and critical
< ∂Φ∞(c), σ > σ.
vxka�at�hc ∈ Mp
�σt�b�gµ|,`ct�X[t�|�g;~
(p− 1)6 hCg;|z\
< ∂c, σ >=< ∂Φ∞c, σ >=< Φ∞∂c, σ > .� � � � � � �
vxtuVa|z\H∗(M) ∼= H∗(M,Z)
�p��\³~u\�gi`cVµhs`ckpq�X[Za\��BV]t��p\z`cbcg;~�¶�kx\ �y|ztu\zV>Xl´²Za\zkp`c\zqX[Z�giX²hsk;`�g;V��#^�\,~�e
F�
H∗(M⊗ F) ∼= H∗(M) ⊗ F ∼= H∗(M,Z) ⊗ F ∼= H∗(M,F).
´²Z>wabM ⊗ F
t�b{g$eat���\z`c\,V�Xct�g;~ |zkpqnma~u\±�Yk;h��;\,|OX[kp`fbcm�g;|z\,bfk0�;\,`F��t�X[ZYX[Za\
b[g;qn\�Zakpqnkp~uk;o;�#gibM���kp`c\zk0�;\,`z�
dimFMp ⊗ F = mp(f)�at�X²hskp~u~�k���b�X[Z�g�X
� l�kl��"�#$&%�nqp � ' m{M§u¨ ,�� .�§j¬W«%& -�©}®('�)+/u«Sx � f ,y¦;§u¨�©Oª[«O¬W«#,n¦;§u¨�©Oª[«O¬ «³F®�ª[¨�«�q*�.�©O¬.§G®(.®(.
M,0.8¦
F§u¨ ,0.�°µ©}®�«m~Á©O§G«w.�¬���«w/�¦ � ¬j¯�«w.T¬s¯�« �3¬Cª[®(.�4{F®�ª[¨�« w.�«���*�,0/ v§j¬.§G«}¨G,0.8¦n¯�«w.�©}«�¬s¯�« -n«5, �µ¼®�ª[¨�« w.�«���*�,0/ §j¬C§G«}¨Q¯�®(/�¦e�
�8���������� � ��� �������� � ����Y��� � ��������������� ��������� � �
$³k0� ��\�~ukDkp�µhskp`²g(bcw]t�X}gi�a~u\B\O�xma`c\zbcbdtukpVThskp`∂� �F\Q��tu~�~�bdZak�� XcZ�giX�hskp`
τ (p+1)giVaeσ(p) XW��k�|,`dt�Xctu|�gi~l|z\,~�~ub,� < ∂τ, σ >
|�g;V¡��\y\O�xma`c\zbcbd\,e£tuVFXc\,`dq k;h�4;ª5,�¦;§G«w.�¬)�,;¬j¯�¨Khs`ck;q
∂τXckσ�
b�cedgf�hjikhml f nqp�� �t 4;ªS,�¦;§G«w.�¬ )�,;¬j¯À®�{n¦;§j'�«w.]¨O§G®(.p§u¨;,¨�«���*3«w.�©}«
γ®�{p v ©}«w/j/ ¨®�{
Mγ = σ0, σ1, . . . , σr¨w*�©}¯¬j¯�,;¬+{�®�ª7«wy;«Oª±°
i = 0, . . . , r − 1 �| §�}À§ {
V (σi) = 0¬j¯�«w.
σi+1 = σi
�| §j§�}À§ {
V (σi) 6= 0¬j¯�«w.
σi+1 < V (σi),0.8¦
σi+1 6= σi
�-n«�¨�,;°
γ§u¨G, op`[gieatu\zV>X�magiX[Z;{±ª}®('
σ0
¬W®σr
� 1�¯�«(~�\,Vao;XcZ£®�{γ � ¦D«w.�®�¬W«c¦ |γ|§u¨µ«���*�,0/�¬W®
r�
´²Z>wab���\{Z�g��p\KX[Z]\KXW��k_hskp~u~�k0��t�Vao(ma`dkpm8\,`dXctu\zb� c���� nqp � � | §�} m{
γ = σ0, σ1, . . . , σr
§u¨�,�4;ªS,�¦;§G«w.�¬�)�,;¬s¯�¬j¯�«w.�{�®�ªY«5,D©}¯i = 0, . . . , r − 1
«O§j¬j¯�«Oªσi = σi+1
®�ªf(σi) > f(σi+1)
�| §j§�} m{
γ1 = σ0, σ1, . . . , σr
,0.8¦γ2 = σr+1, σ1, . . . , σr+s
,;ª[«_¬���®#¨�«���*3«w.�©}«}¨y®�{p v ©}«w/j/ ¨ � ¬j¯�«w.
σ0, σ1, . . . , σr+1, . . . , σr+s§u¨G,�4;ªS,�¦;§G«w.�¬@)�,;¬j¯§ {G,0.8¦T®(.z/ °n§ {γ1,0.8¦
γ2,;ª[«�4;ªS,�¦;§G«w.�¬q)�,;¬s¯�¨��
�F\fV]k0��tuV�X[`dkxe]wa|,\�X[Z]\fVakiX[tuk;Vkih*q(w]~�X[t�ma~ut�|,t�XW�ykih g_op`[gieatu\zV>X�magiX[ZX[k � qn\�g(6bdwa`c\ � XcZa\���g��Tkp`dtu\zV>X[giX[t�kpV tub²|,g;`c`dtu\ze$gi~ukpVao_gµop`cg;eat�\,V�X�m�giXcZ��vxwamam8kpbd\
σ 6= σgi`c\�XW��k
p6W|z\,~�~ub²k;h
Mg;V]e
τtub�g
(p+ 1)6 |,\z~u~���t�X[Z
σ < τg;V]e
σ < τg;V]e!��k;XcZ!g;`d\#`c\zopwa~�gi`fhCg;|z\,b(k;h
τ�Y´²Za\,V"g;V!k;`ctu\zV�X}giXctukpVFkpV
σtuV]eawa|,\zb
giVÀkp`ct�\,V�X}g�X[tuk;V¼k;VσtuV¼X[Za\nhskp~u~�k���tuVao ��g��;� � $�kp`dtu\zV>X[giX[t�kpV¼kpV
σt�Vaeawa|z\,b(giV
k;`ctu\zV�X}giXctukpVÀk;Vτbdk X[Z�giX
< ∂τ, σ >= −1� ��t��;\,VÀXcZa\Tkp`ct�\,V�X}giXctukpV¡kpV
τ�¸��\
|}Z]kxkpbd\yXcZa\�kp`dtu\zV>X[giX[t�kpVYkpVσbckX[Z�giX
< ∂τ, σ >= 1�T¹A½>wat��;gi~u\,V�Xc~��p�M^]�xtuV]o�g;V
k;`ctu\zV�X}giXctukpV kpVσg;Vae
τ�3giV$kp`dtu\zV>X[giX[t�kpV tub²t�Vaeawa|z\,ekpV
σbdk_X[Z�giX
< ∂τ, σ >< ∂τ, σ >= −1.
' Va\�|,g;V b[g��#XcZ�giX���\�tuV]eawa|,\KgiV kp`ct�\,V�X}giXctukpVykpV� � bd~ut�eatuVao �
σg;|z`ckpbdb
τX[kσ�
¥:tuopwa`d\ % � � � � m]`c\,bd\,V�X[b³X[Zat�b²ma`ckD|,\zbcbz�3��t�X[Zgµ^]�x\,ekp`ct�\,V�X}giXctukpV kihσ�
�$k;`c\,k��;\,`,�8t�hσ = σ
�aX[Z]\,V$XcZa\Kkp`ct�\,V�X}g�X[tuk;Vt�Vaeawa|z\,ekpVσq(w]bdX³��\KX[Z]\{bcg;qn\
k;`ctu\zV�X}giXctukpV_kpVσ� ´²Z>wabz�]t�h
γ = σ0, σ1, . . . , σr
tublgKop`[g;e]tu\,V�Xlm�giXcZ��σ0
tuV]eawa|,\zb�giVk;`ctu\zV�X}giXctukpV$�>��ea\,o;`c\,\zb�kpV
σi
g;V t�V�m�g;`�X[t�|,wa~ug;`Bk;Vσr
�fvxtuV]|,\7��\µZ�g��p\(^]�x\zeFgiV
� � ��������� ������������������������������ ���������!�#"%$
¥*t�opwa`d\ � � � � � �AUWV]eawa|,\ze�kp`dtu\zV>X[giX[t�kpV
kp`ct�\,V�X}giXctukpVµhskp`¸\,g;|}Z#|,\z~u~3k;hM�x��\�bd\zX
m(γ)���
m(γ) = 1t�h�XcZa\³tuVaeaw]|,\,e�kp`ct�\,V86
X}giXctukpV���σ0
k;Vσr
t�b³XcZa\7k;`ctu\zV�X}giXctukpVTk;h XcZatub³kpVa\i��g;V]em(γ) = −1
kiX[Za\z`d��tubd\;�¹¸½>wat��ig;~u\zV>Xc~��;�]��\Kbd\zX
m(γ) =
r−1∏
i=0
V (σi)6=0
< ∂V (σi), σi+1 > .� � � � � � �
�¡\K|�giVw]bc\KX[Zat�b�hskp`cq(w]~�g7X[k_ea\O^�Va\KX[Za\Kq(w]~�X[t�ma~ut�|,t�XW�µk;hAgiV>�#op`[g;e]tu\,V�X�m�g�X[Z��bCcedgf�hjikhml+fonqp � ���M«O¬
γ = σ0, σ1, . . . , σr
�O«�,E4;ªS,�¦;§G«w.�¬ )�,;¬s¯"®�{�¦;§j'�«w.]¨O§G®(.p�
-n«f¦D«m� .�«K¬j¯�«(q(w]~�X[t�ma~ut�|,t�XW�F®�{γ � m(γ)
�,°n¬s¯�« {�®�ª '�*�/7, |�� � � � � }0�
�F\{Vak;X[\�XcZ�giX³X[Zat�b³V]k;X[t�kpVTtub�|,kpqnm�giXctu�a~�\���t�XcZXcZa\{|,kpqnm�k;bct�XctukpV kih op`cg;eatu\zV�Xm�giX[Z]b,���$kp`c\fma`c\z|,t�bc\,~��p�8t�h
γ0 = σ0, σ1, . . . , σr
g;Vaeγ1 = σr+1, . . . , σr+s
gi`c\fXW��kop`[g;e]tu\,V�X�m�g�X[Zab�k;h:b[g;qn\�eat�qy\zVabct�kpV��xXcZa\,V
m(γ1)m(γ0) = m(γ1 ◦ γ0)� � � � � � �
��Za\,`d\γ1 ◦ γ0 = σ0, . . . , σr, σr+1, . . . , σr+s
�¥3k;`
p6W|,\z~u~�b
σg;Vae
σ��~u\OX
Γr(σ, σ)X[Z]\7bc\OX�k;h¸gi~u~Mop`[gieatu\zV>XBm�giXcZabBhs`dkpq
σX[kσk;h
~u\,V]o;X[Zr�
�F\KVak��5bcZ]k0��X[Z�giX�t�hτ (p+1) giVae σ(p) g;`d\�XW��kn|,`dt�X[t�|�g;~�|,\z~u~ubz�]X[Z]\,V
< ∂τ, σ >=∑
eσ(p)<τ
< ∂τ, σ >∑
γ∈ΓN (eσ,σ)
m(γ)
hskp`�g;V��N~�gi`cop\Q\zVakpwao;Z��
�8���������� � ��� �������� � ����Y��� � ��������������� ��������� � � #
b�cedgf�hjikhml f nqp�� ���(«m� .�«L,T`d\,eawa|z\,e �k��Φ : Cp(M,Z) → Cp(M,Z)
�,°
Φ = 1 + ∂V
´²Zak;waopZΦe]t���\,`cbKhs`ck;q
�:��\y��t�~u~ ma`dk��p\yXcZ�giX{��\y|�g;VF`c\zma~�g;|z\
Φ�>�
ΦtuV
\z½>w�giX[t�kpV � % � � � � �O�A´²Z]\{opg;tuVTtub�XcZ�giXΦtub²\�gibctu\z`²X[Z�g;V
ΦX[k_|,k;qymawxX[\;�
� c���� nqp � "��=®�ªL,0.�° ©OªO§j¬C§G©5,0/:©}«w/j/ ¨τ (p+1) ,0.8¦ σ(p)
< ∂τ, σ >=< Φ∞∂τ, σ > .
� klql �*U X³t�b²bcw��n|,t�\,V�X³X[k_ma`ck��;\KXcZ�giX�hskp`²\O�p\,`��r ≥ 0
< Φr∂τ, σ >=< Φr∂τ, σ > .
´²Z]tub²hskp~u~�k���b�hs`ckpq�X[Za\Kkp�]bc\,`��igiX[t�kpV X[Z�giX²hsk;`²\z�p\z`d�|}Z�g;t�Vcg;VaeT\z�;\,`d�
r ≥ 0
Φr(c) − Φr(c) ∈ Im(V ) ⊆ M⊥∗ .
�F\Kma`ck��;\{XcZatub²��� t�Vaeawa|OX[tuk;Vk;Vr�
U hr = 0
XcZa\,VTX[Za\z`c\Ktub²V]k;X[Zat�VaoµX[k_ma`dk0�;\;�vDwamam8kpbc\KX[Za\Kma`dkpm8\,`dXW�#tub�X[`dwa\�hskp`
r − 1�¸¥�kp`
r�
Φr(c) = Φ(Φr−1(c)) = Φ(Φr−1(c) + V (c))
hsk;`²bckpqn\�|}Z�g;t�Vc�s��� X[Za\KtuV]eawa|zXct��;\�Z>�Dm8k;X[Z]\,bct�b3�±�
Φr(c) = (Φ + V ∂)(Φr−1(c) + V (c))
= Φr(c) + Φ(V (c)) + V ∂Φr−1(c) + V ∂V (c)
= Φr(c) + V (c+ ∂Φr−1(c) + ∂V (c))
��Z]\,`c\KX[Z]\{~ug;bdX�\,½>w�g;~�t�XW�#hskp~�~uk���b�hs`dkpqΦV = V + ∂V 2 = V
��
� c���� nqp � %∀(σ
(p)1 , σ
(p)2 ) ∈ (Kp)
2 �
< Φσ1, σ2 >=∑
γ∈Γ1(σ1,σ2)
m(γ).� � � � � �
� klql �:�F\Keatub�X[t�Vaopwat�bcZ \,~�\,qn\,V�X}gi`d� |,g;bc\zb³Xcknm]`ck��p\KX[Zat�b,�¥:tu`cb�X��abdwamam8kpbc\
V (σ1) = 0�A´²Z]\,V
< Φσ1, σ2 >=< σ1, σ2 >=
{1, si σ1 = σ2
0, si σ1 6= σ2
� % ��������� ������������������������������ ���������!�#"%$
' VTX[Z]\{kiX[Za\z`BZ�giVae��aX[Z]\fkpV]~��#o;`[g;eat�\,V�X³m�giXcZ$k;h*~u\zVao;X[Z  ��\zoptuV]VatuVaongiXσtub²XcZa\
X[`ct��Dt�g;~�k;Va\γ = σ1, σ1
t�hσ2 = σ1
g;Vae�bdkm(γ) = 1
��U hσ1 6= σ2
�Γ1(σ1, σ2) = ∅bck
∑
γ∈Γ1(σ1,σ2)
m(γ) = 0.
�¡\KZ�g��p\�XcZa\K\,½>w�g;~�t�XW� �8\zXW��\,\zV$X[Z]\KXW��kn\O�xma`c\zbcbdtukpVabz�$Bk��K��bcwam]m�kpbd\
V (σ1) 6= 0� U h
σ1 = σ2
�p��\²|�g;~�|,wa~ugiX[\lX[Za\�~�\zhjX*Z�g;Vae_bct�ea\�k;h�� % � � � 0�X[kµ^�Vae
< Φσ1, σ1 >=< σ1, σ1 > + < ∂V (σ1), σ1 >= 1 − 1 = 0.
�¡\ |,g;~u|zwa~�giXc\�X[Z]\`dtuopZ�XµZag;Vae"bct�ea\ k;h%� % � � � �O�"vDtuVa|z\V (σ1) 6= 0
�AXcZa\,`d\t�bµVakop`[g;e]tu\,V�X�m�g�X[ZTk;h:~u\,V]o;X[Z Â hs`ckpq
σ1
Xckσ1
bckΓ1(σ1, σ1) = ∅
giVae∑
γ∈Γ1(σ1,σ1)
m(γ) = 0.
$Bk��K��bcwam]m�kpbd\σ1 6= σ2
X[Za\zV
< Φσ1, σ2 >=< σ1, σ2 > + < ∂V (σ1), σ2 >=< ∂V (σ1), σ2 > .
U hσ2
tubBVak;X�g_hCg;|,\fk;hV (σ1)
�8X[Za\zV< Φσ1, σ2 >= 0
�³UWV�X[Zat�bB|,g;bc\7XcZa\,`d\µg;`d\7Vakop`[g;e]tu\,V�X�m�g�X[Zab�k;h:~u\zVao;X[Z  hs`ck;q
σ1
Xckσ2
bdknXcZ�giX∑
γ∈Γ1(σ1,σ2)
m(γ) = 0.
U hσ2t�b³g_hCg;|z\fkih
V (σ1)��X[Z]\,V$XcZa\,`d\f\±�]g;|zXc~��TkpVa\{op`cg;eatu\zV�XBmagiX[Zk;h ~�\,VaoiX[ZThs`ckpq
σ1Xckσ2
�γ = σ1, σ2
��vxk
m(γ) =< ∂V (σ1), σ2 >
g;b²ea\,bdtu`d\,e���
� �c�l�kc�� n@p�" �∀(τ (p+1), σ(p)) ∈ (Kp+1 × Kp)
�*¯D§G©}¯�,;ª[«(©Oª±§j¬.§G©5,0/*©}«w/j/ ¨
< ∂τ, σ >=∑
eσ(p)<τ
< ∂τ, σ >∑
γ∈ΓN (eσ,σ)
m(γ)
{�®�ªN/7,;ª 4D«(«w.�®(*04�¯��
�8��� ���� � �@�w�g�����w�����E��� ���! � ��� ������ ���� � � klql � �l� ~u\zqyqyg % � � �xhsk;`
N~ug;`co;\Q\,Vak;waopZ
< ∂τ, σ >=< ΦN∂τ, σ > .vDtuVa|z\
∂τ =∑
eσ(p)<τ < ∂τ, σ > σ�a�¡\�^�V]e
< ∂τ, σ >=∑
eσ(p)<τ
< ∂τ, σ >< ΦN σ, σ >
hsk;`N~�g;`dop\Q\,V]kpwaopZ��A�F\Kma`ck��p\{��� tuV]eawa|zXctukpVTkpV
r ≥ 1
< Φrσ, σ >=∑
γ∈Γr(eσ,σ)
m(γ).
´²Z]\{|,g;bc\r = 1
t�b²~u\zqyqyg % � # �vDwamam8kpbc\KX[Za\Kma`dkpm8\,`dXW�#tub�X[`dwa\�hskp`
r − 1�
< Φrσ, σ > = < Φ(Φr−1σ), σ >
=∑
σ′(p)
< Φr−1σ, σ′ >< Φσ′, σ > (Φr−1σ =∑
σ′(p)
< Φr−1σ, σ′ > σ′)
=∑
σ′
∑
γ∈Γr−1(eσ,σ′)
m(γ) < Φσ′, σ >�C��� t�Vaeawa|OX[tuk;VZ��Dm8k;X[Za\zbct�b3�
=∑
σ′
∑
γ∈Γr−1(eσ,σ′)
m(γ)∑
γ′∈Γ1(σ′,σ)
m(γ′)�C��� ~u\zqyqyg % � � �
=∑
γ∈Γr(eσ,σ)
m(γ)�C��� ~�\,qnq�g % � � �Ct�tj�lg;Vae � % � � � �e�5�
vDk_XcZa\Kma`ck;m�\z`dXW�Ttub�Xc`cwa\�hskp`rg;Vae X[Za\Kma`dkxkih*t�b²|,kpqnma~u\OX[\i�
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