chp 1 osilasi

7/17/2019 CHP 1 Osilasi

http://slidepdf.com/reader/full/chp-1-osilasi 1/29

1

Osilasi

Gerak osilasi dapat dijumpai di mana-mana: bandul yang berayun,

gerak kapal laut yang sedang berlabuh, gerak piston mesin kendara-

an, osilasi dari senar gitar, osilasi dari diapragma speaker dan lain-lain.

Biasanya osilasi yang dijumpai di alam adalah dalam bentuk osi-

lasi teredam, artinya perlahan-lahan gerakannya akan berhenti kare-

na gesekan. Energi mekanik berubah menjadi energi panas. Untuk

menjaga agar osilasi tetap terjadi, diperlukan suplai energi. Misal-

nya pada piston mesin diperlukan energi kimia dari bahan bakar

yang diubah menjadi energi mekanik untuk mempertahankan gerak

osilasi.

Pada bab ini mula-mula akan kita bahas gerak osilasi ideal, ya-

itu osilasi di mana gaya gesekan dapat diabaikan. Ini penting un-

tuk memahami konsep dasar dari gerak osilasi. Selanjutnya dibahas bagaimana menjumlahkan beberapa gerak osilasi. Di akhir bab ini

akan dibahas juga osilasi teredam.

1.1 Periode, Frekuensi dan Amplitudo Gerak Osilasi

!

"

#

$

%

&

'

(

)

Gambar 1.1: Osilator harmonik seder-hana difoto berkali-kali. Rentang wak-tu antara setiap foto adalah satu de-tik. Gambar pertama menunjukkan de-tik ke nol, gambar kedua menunjukkan balok pada detik pertama dan seterus-nya. Pada detik kedelapan balok kembali ke posisinya semula

Salah satu parameter penting dalam gerak osilasi adalah periode,

dapat ditulis dengan simbol τ , yaitu waktu yang diperlukan untuk

menempuh satu getaran penuh. Untuk memahami apa yang dimak-

sud dengan satu periode, perhatikan gambar (1.1). Balok bermassa

m dihubungkan dengan dinding melalui pegas. Mula-mula pegastidak teregang dan tidak tertekan. Kemudian balok dipukul dengan

palu sehingga balok berosilasi. Misalnya balok difoto berkali-kali.

Mulai saat balok dipukul, foto diambil setiap satu detik. Hasilnya

kita letakkan secara berurutan secara vertikal dari atas ke bawah.

Pada gambar (1.1), waktu-waktu yang berbeda diberi label (1) sam-

pai (9). Pada waktu yang diberi label (5), balok kembali ke posisinya

semula. Tetapi, kecepatan balok berlawanan arah dengan kecepatan

balok mula-mula meskipun besarnya sama. Akhirnya pada waktu

yang diberi label (9), balok kembali ke posisinya semula dengan ke-

cepatan yang sama dengan kecepatan awal. Waktu yang diperlukan

dari saat setelah balok dipukul palu (1) hingga balok kembali keposisi semula (9) disebut sebagai periode getaran.



2 gelombang dan optik

Parameter lain yang berkaitan dengan periode adalah frekuensi,

yaitu banyaknya getaran dalam satu detik. Secara matematis dapat

ditulis hubungan periode dan frekuensi,

f = 1

τ

. (1.1)

Satuan untuk frekuensi adalah invers sekon, dengan singkatan s−1,

biasa disebut sebagai Hertz, dengan singkatan Hz.

!

"

#

$

%

&

'

(

)

Gambar 1.2: Osilator harmonik seder-hana

Pada gambar (1.1), balok bergerak bolak balik pada arah hori-

sontal di atas lantai yang licin. Gambar yang berbeda menunjukkan

posisi balok pada waktu yang berbeda. Jika dari posisi balok yang

berbeda-beda tersebut kita hubungkan dengan garis, maka akan ter-

lihat seperti gambar (1.2). Arah vertikal menyatakan waktu. Artinya

foto yang terletak lebih atas terjadi lebih dahulu dibandingkan foto

yang ada di bawahnya. Arah horisontal menyatakan simpangan ba-

lok. Garis vertikal putus-putus menyatakan posisi kesetimbangan.

Foto yang menunjukkan balok berada paling kanan atau paling kiri

menggambarkan balok yang berada pada simpangan maksimum-

nya. Balok yang pusatnya berada pada titik kesetimbangan artinya

memiliki simpangan nol.

Garis-garis yang menghubungkan posisi pusat massa balok dari

deretan foto-foto pada gambar (1.1) menyatakan plot posisi sebagai

fungsi waktu. Terlihat bahwa plot posisi sebagai fungsi waktu pada

gambar (1.1) tidak mulus karena terdapat sudut-sudut pada setiap

sambungan. Ini karena foto yang diambil sangat sedikit, hanya se-

tiap satu detik. Untuk mempermulus plot posisi disamping, harus

diambil lebih banyak foto setiap detiknya.Sekarang gambar (1.1) untuk posisi pusat massa balok yang su-

dah dipermulus diputar dengan sudut 90o berlawanan arah jarum

jam, diperoleh gambar berikut

Gambar 1.3: Plot simpangan terhadapwaktu

2 4 6 8 tdetik

1.0

0.5

0.5

1.0

xmeter

Sumbu vertikal yang diberi label x menyatakan simpangan dari po-

sisi kesetimbangan. Jarak maksimum dari posisi kesetimbangan di-

sebut sebagai amplitudo gerak. Untuk gambar di atas, amplitudo

gerak osilasinya 1 meter. Sumbu horisontal yang diberi label t me-

nyatakan waktu. Periode gerak osilasi di atas 8 detik.

Plot di atas dapat dinyatakan secara matematis sebagai

x(t) = − sin (π t/4) (1.2)

yaitu fungsi sinusoidal. Fungsi seperti ini akan sering dijumpai un-tuk persamaan simpangan dari gerak osilasi harmonik sederhana



o si la si 3

Soal dan Penyelesaian

1.1 Seekor lalat menghasilkan suara dengan frekuensi 200 Hz aki-

bat kepakan sayapnya. Tentukan berapa kali lalat tersebut meng-

epakkan sayapnya dalam satu detik. Tentukan juga waktu yang

diperlukan untuk satu kepakan.

Solusi:

Frekuensi 200 Hz, artinya ada 200 kepakan dalan 1 detik. Untuk

1 kepakan dibutuhkan waktu 1/200 detik= 0.005 detik.

1.2 Radio Hardrock FM memiliki frekuensi gelombang 87.6 MHz.

Apa makna huruf "M" pada MHz. Tentukan periode yang terkait

dengan frekuensi ini.

Solusi:

MHz artinya Mega Hertz = 106 Hz. Untuk frekuensi 87.6 MHz

artinya ada 87.6× 106 getaran per detik yang bersesuaian dengan

periode 1/87.6× 10−6 detik= 1.1× 10−8 detik.

1.3 Bayi memiliki detak jantung 140 detakan tiap menit. Hitung

frekuensi dan periode detakan jantung tersebut.

Solusi:

Jantung melakukan 140 detakan setiap 60 detik. Frekuensi 140/60 Hz

= 2.3 Hz.

1.4 Prajurit yang sedang berbaris melakukan 50 langkah dalam satu

menit. Hitung frekuensi dan periode langkah prajurit tersebut.Solusi: Ada 50 langkah dalam 60 detik. Frekuensi 50/60 Hz= 0.83

Hz.

1.5 Pada gambar (1.4) ditampilkan beberapa plot simpangan terha-

dap waktu dari suatu gerak osilasi. Tentukan periode dan freku-

ensi masing-masing





Solusi: Untuk gambar pertama, pola berulang kembali setiap dua

detik, T = 2 detik. Diperoleh frekuensi f = 1/2 Hz. Untuk gam-

bar kedua, pola berulang kembali setiap satu detik, T = 1 detik.

Diperoleh frekuensi f = 1 Hz. Untuk gambar ketiga, pola beru-

lang kembali setiap dua detik, T = 2 detik. Diperoleh frekuensi

f = 1/2 Hz.

Soal Latihan

1.1 Untuk gambar (1.5) tuliskan y sebagai fungsi sinusoidal dari t.

Tentukan amplitudo, dan frekuensi osilasi. Diketahui y = 0 pada

t = 0.5,4.5, 8.5,. . ..

2 4 6 8 10 12 t

0.5

1.0

1.5

2.0yt

Gambar 1.5: Plot simpangan terhadap

waktu

1.2 Untuk gambar (1.6) tuliskan y sebagai fungsi sinusoidal dari t.

Tentukan amplitudo, dan frekuensi osilasi. Diketahui y = 0 pada

t = 1.5,5.5, 9.5,. . ..

2 4 6 8 10 12 t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0yt


1.3 Untuk soal (1) jika satuan untuk simpangan adalah meter dan sa-

tuan untuk waktu adalah detik, tentukan percepatan maksimum,

dan kecepatan maksimum. Tentukan t saat percepatannya maksi-

mum. Tentukan juga t saat kecepatannya maksimum.

1.4 Untuk soal (2) jika satuan untuk simpangan adalah meter dan sa-

tuan untuk waktu adalah detik, tentukan percepatan maksimum,

dan kecepatan maksimum. Tentukan t saat percepatannya maksi-

mum. Tentukan juga t saat kecepatannya maksimum.

1.5 Untuk soal (1) dan (2), tentukan kecepatan dan percepatan pada

saat t=

0.1.6 Untuk soal (1) dan (2), tentukan rentang waktu di mana kece-

patan positif. Tentukan juga rentang waktu di mana percepatan

positif.

1.7 Sebuah bola dengan jari-jari 5 cm berada di antara dua dinding

paralel yang jaraknya 1 meter. Bola bergerak tegak lurus dinding

dengan kecepatan 0.5 m/s, pantul-memantul dengan kedua din-

ding. Jika tidak ada gesekan dengan lantai dan bola memantul

dengan sempurna ketika menumbuk dinding. Tentukan periode

gerak osilasi bola. Apakah ini termasuk gerak osilasi harmonik

sederhana?

1.8 Bola dilepas dari ketinggian 1 meter. Menumbuk lantai seca-

ra elastik sempurna, kemudian kembali ke ketinggian semula.

Demikian seterusnya. Tentukan periode osilasinya. Apakah ini

termasuk gerak harmonik sederhana? Plot Ketinggian terhadap

waktu.

1.9 Untuk osilasi massa yang terhubung dengan pegas, seperti pa-

da gambar (1.1), jelaskan apa saja yang mempengaruhi periode

osilasi.

1.10 Untuk osilasi pendulum, yaitu massa yang digantung dengantali, jelaskan apa saja yang mempengaruhi periode osilasi.



o si la si 5

1.2 Gerak Osilasi Harmonik Sederhana

Apa yang menyebabkan balok yang dihubungkan dengan pegas ber-

gerak osilasi?

Tinjau sistem yang terdiri atas sebuah massa yang terhubung pa-

da dinding melalui pegas, seperti ditunjukkan pada gambar (1.7).

Anggap tidak ada gaya gesek antara massa dan lantai. Untuk sistem

ini massa bergerak hanya dalam satu dimensi yaitu arah horizontal,

dengan kata lain hanya ada satu derajat kebebasan. Tidak ada gerak-

an pada arah vertikal dan resultan gaya arah vertikal sama dengan

nol. Gaya gravitasi yang arahnya ke bawah dinetralkan oleh gaya

normal oleh lantai yang besarnya sama dan arahnya ke atas.

Menurut hukum Hooke, besarnya gaya oleh pegas pada massa

yang berada pada posisi x dapat dinyatakan secara matematis

F = −K (x − xs) , (1.3)

dimana xs adalah posisi kesetimbangan dan K adalah konstanta pe-

gas. Tanda minus menunjukkan bahwa gaya selalu mengarah ke

posisi kesetimbangan.

Gambar 1.7: Osilator harmonik seder-hana

Jika posisi kesetimbangan dijadikan sebagai titik asal koordinat,

maka xs = 0. Persamaan di atas menjadi lebih sederhana

F = −Kx . (1.4)

Dengan menggunakan hukum Newton diperoleh persamaan gerak

md2x

dt2 =−

Kx . (1.5)

Untuk menyederhanakan notasi, turunan terhadap waktu dapat di-

tulis sebagai, x, dan untuk turunan kedua dapat ditulis sebagai, x,

dan seterusnya.

Persamaan (1.5) menunjukkan bahwa fungsi x(t) proporsional

dengan turunan keduanya. Fungsi yang memenuhi sifat ini adalah

fungsi sinusoidal (fungsi sinus dan cosinus). Turunan dari fungsi

sinusoidal memenuhi

d

dθ sin θ = cos θ , (1.6)

d

dθ cos θ = − sin θ (1.7)

Oleh karena itu, solusi persamaan (1.5) dapat dinyatakan sebagai

berikut

x(t) = A sin (ωt) + B cos (ωt) , (1.8)

dimana

ω =

r K

m , (1.9)

biasa disebut sebagai “frekuensi angular” yang berkaitan dengan

frekuensi sebagai berikut

ω = 2π f . (1.10)




Dapat dicek bahwa solusi umum untuk x(t) seperti pada persamaan

(1.8) memenuhi persamaan (1.5). Jika dibandingkan dengan persa-

maan () di subbab sebelumnya, persamaan () tidak memiliki suku

konstan xs. Ini karena sekarang x didefinisikan sebagai simpangan

terhadap titik kesetimbangan.

Karena dalam solusi hanya muncul satu nilai frekuensi, yaitu ω ,

seperti solusi (1.8) di atas, maka osilasinya disebut sebagai osilasi

“harmonik sederhana”.

Selain konstanta pegas K dan massa m, ada dua konstanta yang

muncul dalam solusi (1.8) di atas yaitu A dan B. Ini karena pada per-

samaan gerak (1.5) adalah persamaan diferensial orde dua: terdapat

turunan kedua, dan tidak ada turunan ketiga dan turunan yang lebih

besar.

Nilai konstanta A dan B dapat ditentukan apabila pada waktu

tertentu diketahui posisi dan kecepatan dari massa m. Misalnya pa-

da t = 0, massa m berada pada posisi x(0) = x0 dengan kecepatanx(0) = v0. Posisi dan kecepatan pada t = 0 disebut juga sebagai

keadaan awal (initial conditions).

Subsitusi t = 0 pada persamaan (1.8), diperoleh x0 = B. Subsi-

tusi t = 0 pada turunan dari persamaan (1.8), diperoleh v0 = Aω.

Persamaan (1.8) dapat ditulis menjadi

x(t) = v0

ω sin (ωt) + x0 cos (ωt) . (1.11)

Tinjau dua keadaan awal berikut

x0 = 0 m, v0 = 10 m/s , (1.12)

x0 = 1 m, v0 = 0 m/s . (1.13)

Untuk keadaan awal (1.12), massa mula-mula berada pada posisi ke-

setimbangan dan diberikan kecepatan awal v0 = 10 m/s. Sedangkan

untuk keadaan awal (1.13), massa ditarik dari posisi kesetimbangan-

nya ke posisi x0 = 1 m dan dilepas dari keadaan diam. Solusinya

ditunjukkan pada gambar (1.8).

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

-1.0

-0.5

0.5

1.0

x

Gambar 1.8: Kurva kontinu berwarna biru adalah solusi dari keadaan awal(1.12). Kurva putus-putus berwarna

merah adalah solusi dari keadaan awal(1.13)

Dua sistem osilator harmonik dengan frekuensi dan amplitudo

osilasi yang sama dapat memiliki beda fase. Beda fase ini muncul

karena perbedaan keadaan awal dari dua sistem osilator tersebut.

Untuk memahami beda fase, mula-mula kita tulis solusi (1.8) sebagai

berikut

x(t) = C cos (ωt + φ) , (1.14)

dimana

C =p

A2 + B2 (1.15)

φ = arctan

A

B

(1.16)

Konstanta C disebut sebagai amplitudo dan φ disebut sebagai kon-

stanta fase. Dua osilator harmonik yang memenuhi x1(t) = C cos(ωt +

φ1) dan x2(t) = C cos(ωt + φ2) memiliki beda fase δφ = φ1 − φ2. Ji-

ka δφ = 2nπ dengan n adalah bilangan bulat, maka kedua osilatorharmonik disebut se-fase.



o si la si 7


1.6 Sebuah balok bermassa, m = 5 kg, dihubungkan dengan pegas

dengan konstanta pegas, K = 125 N/m seperti pada gambar (1.7).

Abaikan gesekan.

a) Tentukan frekuensi angular, frekuensi, dan periode osilasi.

b) Balok ditarik ke x = 1 m dari posisi kesetimbangan, dan diberi

kecepatan awal 5 m/s. Tentukan solusi umum gerak osilasi

(tentukan koefisien A dan B seperti pada persamaan (1.8))

c) Tentukan amplitudo osilasi (simpangan terbesar).

d) Tentukan kecepatan maksimum balok.

Solusi:

a) Menurut persamaan (1.9),

ω =

r K

m =

s 125Nm−1

5 kg = 5 s−1 , (1.17)

setara dengan frekuensi f = ω/2π = 5/π Hz dan periode

T = 1/ f = π /5 sekon.

b) Subsitusi x = 1 dan t = 0 pada persamaan (1.8) diperoleh

B = 1 m. Dari turunan persamaan (1.8) diperoleh kecepatan

sebagai fungsi waktu

v(t) = Aω cosωt− Bω sin ωt (1.18)

Subsitusi v = 5 dan t = 0 pada persamaan di atas diperoleh

Aω = 5 atau A = 1 m.

c) Simpangan maksimum diperoleh dari persamaan (1.16)

C =p A2 + B2 =

√ 2 m (1.19)

d) Kecepatan maksimum adalah Cω = 5√

2 m/s.

1.7 Sebuah bandul yang terdiri atas benda bermassa m digantungk-an pada tali tak bermassa dengan panjang l , seperti pada gambar

(1.9). Benda disimpangkan dengan sudut θ.θ

l

mg

Gambar 1.9: Untuk soal (7)

a) Tentukan persamaan geraknya! Tulis persamaan gerak untuk

sudut θ kecil!

b) Tentukan frekuensi angular untuk osilasi dengan θ kecil.

c) Pada t = 0 massa m disimpangkan dengan sudut θ0 << 1

dengan kecepatan sudut θ = ω0 << 1. Tentukan solusi umum

θ(t) dan θ(t)

Solusi:




a) Torka terhadap pangkal tali

τ = −mgl sin θ (1.20)

Momen Inersia terhadap pangkal tali

I = ml2 (1.21)

Dengan menggunakan hukum Newton diperoleh persamaan

gerak

I θ = −mgl sin θ (1.22)

ml2 θ = −mgl sin θ (1.23)

θ + g

l sin θ = 0 (1.24)

Untuk θ yang kecil, dapat digunakan pendekatan sin θ ≈ θ,

sehingga diperoleh persamaan

θ + g

l θ = 0, (1.25)

b) Persamaan (1.25) adalah persamaan osilasi harmonik sederha-

na dengan frekuensi sudut

ω =

r g

l (1.26)

c) Solusi umum persamaan (1.25) adalah

θ(t) = A sin(ωt + φ) (1.27)

Pada saat t = 0, θ = θ0 dan θ = ω0

θ0 = A sin φ , ω0 = Aω cosφ (1.28)

Diperoleh

A =q

θ20 + ω2

0/ω2, φ = arctan

θ0ω

ω0

(1.29)


1.8 Tabung U diisi air bermassa, m = 100 gr dengan kerapatan ρ =

1 kg/m3 seperti pada gambar (1.10). Luas permukaan lintang 0.02

m2. Permukaan air di kedua ujung tabung berosilasi terhadap

posisi kesetimbangannya.

(a) Tentukan persamaan geraknya untuk simpangan kecil!(b) Tentukan frekuensi angular osilasi!

(c) Jika kecepatan permukaan air saat berada pada posisi kese-

timbangannya adalah v0 = 1 cm/s, tentukan amplitudo osila-

sinya!

Solusi

(a) Saat permukaan air di salah satu lengan tabung lebih tinggi

dari lengan yang lainnya terjadi ketidaksetimbangan gaya gra-

vitasi yang besarnya sama dengan berat air yang berlebih di

salah satu lengan tabung. Diperoleh persamaan gerak

mh = − ρ gA2h (1.30)



o si la si 9

(b) Frekuensi sudut osilasi

ω =

r 2 ρ gA

m = 2s−1 (1.31)

(c) Amplitudo

A = v0

ω= 0.5 cm (1.32)

1.9 Rangkaian elektronik terdiri dari induktor L dan kapasitor C se-

perti pada gambar (1.11). Besar muatan listrik pada salah satu

plat kapasitor dinyatakan sebagai q.

(a) Tentukan persamaan diferensial yang dipenuhi oleh q.

(b) Tentukan frekuensi angular osilasi dari besar muatan q.

(c) Misalnya muatan maksimum pada salah satu pelat kapasitor

adalah q0, dan arus maksimum pada kawat penghubung ada-

lah I 0. Tentukan hubungan antara q0 dan I 0!

! "

#


Solusi

(a) Pada kapasitor, muatan pada salah satu plat q dan beda po-

tensial antara plat V memenuhi hubungan

V C =q

C (1.33)

dengan C adalah kapasitas kapasitor. Beda potensial antara

dua kaki induktor bergantung pada perubahan arus listrik

V I = LdI

dt

= Ld2q

dt2

(1.34)

dengan L adalah induktansi induktor. Diperoleh

V I +V C = Ld2q

dt2 +

q

C = 0 (1.35)

(b) Dari persamaan diferensial di atas diperoleh persamaan yang

ekivalen dengan persamaan untuk gerak harmonik sederhana

denga frekuensi

ω =

r 1

LC (1.36)

(c) Analogi dengan gerak osilasi harmonik dapat dituliskan seba-

gai berikut

x↔ q (1.37)

v↔ I (1.38)

Hubungan amplitudo dan kecepatan maksimum adalah vmax =

Aω, sehingga untuk sistem LC di atas diperoleh hubungan I 0 =

q0ω .

!


1.10 Bola pejal dengan jari-jari r diletakkan pada permukaan me-

lengkung berbentuk setengah lingkaran dengan jari-jari R seperti

ditunjukkan pada gambar (1.12). Jika bola menggelinding tanpaslip,




(a) Tentukan persamaan gerak bola!

(b) Tentukan frekuensi angular untuk osilasi dengan simpangan

kecil dari posisi kesetimbangan! nyatakan dalam: percepatan

gravitasi g , jari-jari R, dan r.

Solusi

(a) Hubungan antara kecepatan sudut rotasi bola kecil dan ke-

cepatan sudut revolusi terhadap pusat lingkaran besar dapat

dituliskan sebagai.

ωr = (R− r) θ (1.39)

Persamaan gerak linear bola

m(R− r)θ = −mg sin θ− f (1.40)

Persamaan gerak rotasi

2

5mr2

ω = f r (1.41)

Subsitusi persamaan (1.39) ke persamaan ini diperoleh

f = 2

5m(R− r)θ (1.42)

Subsitusi ke persamaan (1.40) diperoleh

7

5m(R− r)θ + mg sin θ = 0 (1.43)

(b) Untuk sudut kecil dapat digunakan pendekatan sinθ ≈ θ.

Sehingga diperoleh persamaan osilasi harmonik sederhana de-

ngan frekuensi

ω =

s 5 g

7(R− r) (1.44)

Soal Latihan

1.11 Jika frekuensi getar sebuah benda bermassa 5 kg yang dihu-

bungkan dengan pegas adalah 10/π Hz, tentukan pertambahan

panjang pegas tersebut jika digunakan untuk menggantung bebandengan berat 4 kg.

1.12 Sebuah benda bermassa 1 kg dihubungkan dengan pegas 100

N/m pada bidang datar yang licin. Pada waktu t = 0 simpangan

benda 0 dan kecepatannya 2 m/s. Tuliskan persamaan simpangan

benda.

1.13 Berapa panjang pendulum yang periodenya 1 detik dipermu-

kaan bulan? (percepatan gravitasi dipermukaan bulan 0.1654 g).

1.14 Pendulum yang berupa bola pejal uniform bermassa 1 kg dan

berjari-jari 10 cm digantungkan pada tali tak bermassa denganpanjang 1 m. Tentukan periode osilasi.



osilasi 11

1.15 Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu x, menurut persa-

maan x = a cosωt. Tentukan total jarak yang ditempuh partikel

untuk interval waktu dari t = 0 sampai t.

1.16 Pendulum berupa dua massa 1 kg dan 2 kg dihubungkan de-

ngan batang tak bermassa yang panjangnya 3 m. Jika pendulumini berosilasi terhadap suatu poros di titik tengah antara kedua

massa. Tentukan periode osilasi.

1.17 Suatu sistem terdiri dari pegas dan sebuah benda bermassa 1

kg yang terikat pada salah satu ujung pagas. Ujung pegas lainnya

dihubungkan dengan tembok. Sebutir peluru bermassa 10 gr ber-

gerak dengan kecepatan 100 m/s. Peluru bergerak paralel sumbu

pegas ke arah mendekati tembok, mengenai benda dan menem-

busnya. Setelah menembus benda kecepatan peluru menjadi 50

m/s. Konstanta pegas adalah 150 N/m. Anggap massa benda

tetap. Hitung amplitudo osilasi benda.

1.18 Suatu partikel bergerak harmonik sederhana. Ketika kecepatan

partikel v1, percepatannya a1 dan ketika kecepatan partikel v2,

percepatannya a2. Tentukan amplitudo, periode gerak osilasi dan

kecepatan maksimum gerak osilasi.

1.19 Periode pendulum dalam sebuah lift yang diam adalah T . Jika

lift dipercepat ke atas dengan percepatan 2/3 g. Tentukan periode

osilasi.

1.20 Sebuah pendulum berupa benda titik bermassa m dan tali de-

ngan panjang l. Jika sudut simpangan maksimum suatu gerakosilasi adalah θ0. Tentukan tegangan tali saat simpangannya nol.

h


1.21 Sebuah benda dijatuhkan dari ketinggian h dari sebuah piring-

an yang dihubungkan dengan pegas seperti pada gambar. Setelah

menumbuk piringan, benda tersebut melekat pada piringan, ke-

mudian mengalami gerak harmonik sederhana. Massa piringan

dan pegas dapat diabaikan. Jika konstanta pegas k , tentukan am-

plitudo osilasi.

1.22 Sebuah benda mengalami gerak harmonik sederhana. Jika per-

iode osilasi 10

s dan 2

detik setelah melewati titik kesetimbangan,kecepatan benda 3 m/s, tentukan kecepatan benda pada titik ke-

setimbangan.

θ0θ0

m 2mGambar 1.14: Untuk soal (23)

1.23 Dua pendulum yang terdiri atas beban bermassa m dan 2m se-

perti pada gambar (1.14). Simpangan awal keduanya θ0 << 1.

Kemudian kedua beban dilepaskan bersamaan.

(a) Tentukan titik di mana kedua beban bertumbukan.

(b) Tentukan waktu yang diperlukan dari ketika kedua benda di-

lepas hingga tumbukan yang pertama.

(c) Tentukan sudut simpangan maksimum beban bermassa m se-telah tumbukan pertama tetapi sebelum tumbukan kedua.




1.24 Seorang bermassa 65 kg berdiri di atas papan yang berosilasi ke

atas dan ke bawah dengan frekuensi 0.5 Hz dan amplitudo mak-

simum 50 cm. Jika orang tersebut menimbang berat badannya

di atas papan tersebut. Tentukan nilai maksimum dan minimum

yang terbaca pada timbangan tersebut.

1.25 Sebuah bola digantungkan dengan dua batang ringan seperti

terlihat pada gambar. Tentukan periode osilasi kecil bola tersebut

pada arah tegak lurus terhadap bidang diagram!

Gambar 1.15: Kiri: Soal (25). Kanan:Soal (??)

1.3 Energi Gerak Osilasi Harmonik Sederhana

Pada subbab sebelumnya dibahas mengenai gerak osilasi ideal, ya-

itu gerak osilasi tanpa ada lesapan energi (energy dissipation). Pada

kenyataannya lesapan energi hampir selalu terjadi, misalnya kare-

na gesekan. Tanpa lesapan energi, energi potensial diubah menjadienergi kinetik dan sebaliknya sedemikian sehingga total energi kine-

tik dan energi potensial selalu konstan. Pada simpangan maksimum

energi kinetik nol dan energi potensial maksimum, sementara pada

posisi kesetimbangan energi kinetik maksimum dan energi potensial

nol.

Etotal = EK + EP = EKmax = EPmax . (1.45)

Tinjau kembali sistem yang ditunjukkan pada gambar (1.7). Ener-

gi potensial osilator bergantung pada besarnya simpangan. Pada

posisi kesetimbangan energi potensialnya nol. Besarnya energi po-

tensial sama dengan besarnya usaha melawan gaya pulih untuk me-

mindahkan balok dari posisi kesetimbangan, x 0 = 0, ke posisi x ,

-1.0 -0.5 0.5 1.0xHmL

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

EPHJouleL

Gambar 1.16: Energi potensial pegas,untuk K = 2 N/m.

EP(x) = −

Z x

0F(x) dx =

Z x

0K x dx =

1

2Kx2 . (1.46)

Sebaliknya besarnya gaya pulih dapat dinyatakan sebagai turunan

pertama dari energi potensial

F(x) = −d EP(x)

dx . (1.47)

Dengan menyubstitusi persamaan (1.14) ke persamaan (1.46) dipero-

leh

EP = 12

K C2 cos2(ωt + φ) . (1.48)

Energi kinetik sistem bergantung pada kecepatan balok,

EK = 1

2m x2 =

1

2mω2C2 sin2(ωt + φ)

= 1

2KC2 sin2(ωt + φ) . (1.49)

Dibandingkan dengan persamaan (1.48), persamaan ini menunjukk-

an bahwa ketika energi potensial maksimum energi kinetik mini-

mum, dan sebaliknya ketika energi kinetik maksimum energi poten-

sial minimum. Pada baris terakhir pada persamaan di atas digu-nakan persamaan (1.9). Dengan menggunakan prinsip trigonometri,



osilasi 13

sin2θ + cos2

θ = 1, diperoleh total energi mekanik yang konstant,

yaitu

Etot = 1

2KC2 . (1.50)

Osilasi yang lebih umum dan kaitannya dengan osilasiharmonik sederhana

Pada subbab sebelumnya dibahas mengenai osilasi massa yang

terhubung dengan pegas. Solusinya adalah fungsi sinusoidal. Sis-

tem lain yang mengalami gerak osilasi, misalnya seperti pada soal-

soal (1.7-1.10), umumnya juga memiliki solusi sinusoidal. Tetapi,

misalnya untuk soal (1.7) dan soal (1.10), solusinya berupa fungsi

sinusoidal hanya jika simpangannya kecil.

Jika simpangan kecil, gerak osilasi secara umum dapat dipan-

dang sebagai gerak osilasi harmonik sederhana. Untuk simpangan

kecil, energi potensial sembarang sistem yang mengalami gerak osi-

lasi dapat diekspansi di sekitar titik kesetimbangannya. Koordinat xdapat diatur sedemikian sehingga titik kesetimbangan berada pada

x = 0,

EP(x) = EP(0) + EP 0(0)x + 1

2EP00(0)x2 + . . . . (1.51)

dimana EP0(0) menyatakan turunan pertama EP(x) terhadap x di-

titik x = 0, dan EP00(0) menyatakan turunan kedua dan seterusnya.

Dari persamaan (1.47) diperoleh gaya

F(x) = −EP0(0) − EP00(0)x (1.52)

Pada titik kesetimbangannya besarnya gaya pulih sama dengan nol

sehingga, EP0(0) = 0. Selama simpangan dari osilasi yang terjadi

cukup kecil, suku dengan orde yang lebih tinggi dapat diabaikan,

diperoleh persamaan gaya pulih untuk gerak harmonik sederhana

(Hukum Hooke)

F(x) = −Kx , (1.53)

dengan K = EP00(0).


1.11 Bandul disimpangkan dari posisi kesetimbangannya O ke posi-

si P. Posisi P adalah 0.05 m lebih tinggi dari O. Bola dilepas darikeadaan diam. Tentukan kecepatan bola pada titik kesetimbang-

an, abaikan gesekan. (Percepatan gravitasi g = 10m/s2)

Solusi:

Karena gesekan diabaikan, energi potensial di titik P diubah selu-

ruhnya menjadi energi kinetik

1

2mv2 = mgh . (1.54)

Diperoleh v =p

2 gh = 1 m/s.

1.12 Tentukan energi mekanik sistem (energi kinetik + energi poten-sial) seperti pada soal (1.6). Tentukan perbandingan energi kinetik




dan energi potensial sistem ketika x = 1/2× simpangan maksi-

mum.

Solusi:

Solusi persamaan gerak osilasi harmonik sederhana dapat dinya-

takan sebagai

x = A sinωt, ω =

√ k /m (1.55)

Energi kinetik

Ek =1

2m x2

=

1

2mω

2 A2 cos2ωt =

1

2k A2 − x2

=

3

8kA2 (1.56)

Energi potensial

E p =1

2kx2

=

1

8kA2 (1.57)

Perbandingan E p : Ek = 1 : 3.

1.13 Sebuah benda mengalami gerak harmonik sederhana denganamplitudo A. Tentukan simpangan benda ketika energi kinetik-

nya sama dengan energi potensialnya.

Solusi:

Semua jenis osilasi harmonik sederhana dapat dianalogikan seba-

gai osilasi massa yang terhubung dengan pegas. Solusi persamaan

gerak osilasi harmonik sederhana dapat dinyatakan sebagai

x = A sinωt, ω =

√ k /m (1.58)

Energi kinetik

Ek =1

2m x2

=

1

2mω

2 A2 cos2ωt =

1

2k A2 − x2

(1.59)

Energi potensial pegas

E p =1

2kx2 (1.60)

Saat energi kinetik sama dengan energi potensial

1

2kx2

=

1

2k A2 − x2

(1.61)

x2=

1

2 A2 (1.62)

x =

A√ 2 (1.63)

1.14 Energi potensial dari sebuah benda yang massanya 4 kg ber-

ubah bergantung posisi seperti pada gambar (14). Simpangan

dinyatakan dalam meter dan energi potensial dinyatakan dalam

Joule. Tentukan periode osilasi benda

0.10 0.05 0.05 0.10x

0.5

1.0

1.5

2.0Ep

Gambar 1.17: Soal (14)

Solusi: Dari gambar diketahui jika simpangan pegas 0.05 m di-

peroleh energi potensial 0.5 Joule. Jika simpangan pegas 0.1 m

diperoleh energi potensial 2 Joule. Dari sini diketahui bahwa kon-

stanta pegas 400 N/m. Sehingga diperoleh periode osilasi

T = 12π

r mk =

12π

r 4400

=1

20π detik (1.64)



osilasi 15

1.15 Dua balok yang masing-masing bermassa m dihubungkan de-

ngan pegas dengan konstanta pegas K . Jika kedua massa ditarik

menjauhi satu sama lain sehingga panjang pegas menjadi l + x,

dengan l adalah panjang pegas tak teregang. Kedua massa kemu-

dian dilepas dari keadaan diam.

!"#

!

$% $&


(a) Tentukan energi kinetik gabungan kedua balok ketika pegas

tak teregang.

(b) Tentukan energi kinetik masing-masing ketika pegas tak tere-

gang.

(c) Tentukan periodi osilasi sistem.

Solusi

(a) Energi total sistem kekal. Saat pegas tidak teregang seluruh

energi potensial pegas diubah menjadi energi kinetik. Energi

kinetik gabungan kedua balok ketika pegas tak teregang sama

dengan energi potensial pegas mula-mula

Ek ,total = E p =1

2Kx2 (1.65)

(b) Karena momentum total sistem mula-mula sama dengan nol

dan tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada sistem pada

arah mendatar maka momentum total sistem selanjutnya se-

lalu sama dengan nol. Tapi, karena massa balok sama maka

kecepatan kedua balok saat pegas rileks sama besar. Artinya

energi kinetik kedua balok sama besar.

Ek ,1 = Ek ,2 =Ek ,total

2 =

1

4Kx2 (1.66)

(c) Kecepatan maksimum masing-masing balok dapat diperoleh

dari energi kinetik

1

2mv2

maks =1

4Kx2 , vmaks = x

r K

2m (1.67)

Masing-masing massa berosilasi dengan amplitudo A = x/2.

Dari hubungan vmaks = Aω diperoleh

ω =vmaks

A =

r 2K

m (1.68)

Soal Latihan

1.26 Sebuah balok bermassa m dihubungkan ke dinding dengan dua

pegas dengan konstanta K . Pada posisi kesetimbangan panjang

kedua pegas adalah a. Balok kemudian disimpangkan ke arah

vertikal sejauh y. Abaikan gravitasi dan anggap bola cuma dapat

bergerak pada arah vertikal.

! !

"


(a) Tentukan energi kinetik balok ketika berada pada posisi kese-timbangan.




(b) Tulis persamaan gerak untuk simpangan kecil. Apakah ini

termasuk osilasi harmonik sederhana?

1.27 Tentukan energi total sistem (energi listrik kapasitor + ener-

gi magnetik induktor) seperti pada soal (1.9). Misalnya muatan

maksimum pada salah satu plat kapasitor adalah q0. Tentukan besar energi magnetik induktor ketika muatan kapasitor adalah q.

1.28 Pendulum berupa dua massa 1 kg dan 2 kg dihubungkan de-

ngan batang tak bermassa yang panjangnya 3 m. Pendulum ini

berosilasi terhadap suatu poros di titik tengah antara kedua mas-

sa. Jika simpangan maksimum pendulum 30o, tentukan energi

kinetik maksimum masing masing massa.

1.29 Sebuah cincin yang massanya m dan jari-jarinya R berosilasi

terhadap sebuah poros seperti pada gambar (1.20). Jika simpang-

an maksimum θ0, tentukan energi kinetik maksimum cincin. Ten-tukan periode osilasi.θ0


1.30 Seseorang bermassa 70 kg melakukan bungee jumping dengan

tali elastik yang panjang rileksnya 50 m dan konstanta elastisitas-

nya k = 200 N/m. Anggap orang tersebut sebagai massa titik

(Abaikan tinggi badan orang tersebut).

(a) Tentukan kecepatan orang tersebut pada saat tali mulai te-

gang

(b) Tentukan pertambahan panjang maksimum tali

(c) Plot ketinggian orang tersebut dari titik orang tersebut mulaimelompat sebagai fungsi waktu.

1.31 Dua balok bermassa m1 dan m2 dihubungkan dengan pegas de-

ngan konstanta pegas K . Jika kedua massa ditarik menjauhi satu

sama lain sehingga panjang pegas menjadi l + x, dengan l adalah

panjang pegas tak teregang. Kedua massa kemudian dilepas dari

keadaan diam.

!"#

!

$% $&


(a) Tentukan energi kinetik gabungan balok m1 dan bola m2 keti-

ka pegas tak teregang.

(b) Tentukan energi kinetik masing-masing ketika pegas tak tere-

gang.

(c) Tentukan periodi osilasi sistem.

1.4 Gerak Melingkar Beraturan dan Osilasi Harmonik Seder-

hana

Proyeksi gerak melingkar beraturan pada arah tertentu adalah gerak

osilasi harmonik sederhana. Misalnya sebuah massa bergerak me-

lingkar dengan kelajuan sudut konstan ω , dengan jari-jari lingkaran

A, posisinya pada arah y memenuhi persamaan

y = A cos(ωt + φ) (1.69)



o si la si 17

dengan φ adalah posisi sudut mula-mula massa terhadap sumbu y.

Ini sama dengan solusi simpangan gerak harmonik sederhana. Para-

meter dari gerak melingkar beraturan dapat dikaitkan dengan para-

meter dari gerak osilasi harmonik sederhana sebagai berikut. Kelaju-

an sudut ω untuk sistem yang mengalami gerak melingkar beratur-

an terkait dengan frekuensi sudut ω untuk gerak osilasi harmonik

sederhana. Jari-jari lintasan gerak melingkar A beraturan terkait de-

ngan amplitudo A gerak osilasi harmonik sederhana.

Gambar 1.22: Hubungan antara gerakmelingkar beraturan dan osilasi harmo-nik

1.5 Representasi gerak harmonik sederhana dengan bilangan

kompleks

Dari subbab sebelumnya kita jumpai solusi gerak osilasi yang umum-

nya berupa fungsi sinusoidal. Terkadang penggunaan bilangan kom-

pleks dapat memudahkan perhitungan yang melibatkan fungsi si-

nusoidal. Oleh karena itu pada subbab ini akan kita bahas terlebihdahulu mengenai bilangan kompleks. Bilangan kompleks dapat di-

nyatakan sebagai

z = a + ib , (1.70)

dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i didefinisikan sebagai,

i2 = −1. Biasanya a disebut sebagai komponen riil dan b disebut

sebagai komponen imajiner.

a = Re ( z), b = Im ( z) (1.71)

Konjugat kompleks dari z diperoleh dengan mengubah tanda i.

z∗ = a − ib . (1.72)

Perkalian bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya meng-

hasilkan bilangan riil zz∗ ≡ | z|2 = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2.

!

"

#

$

Gambar 1.23: Bidang kompleks. Sum- bu x menyatakan komponen riil, se-dangkan sumbu y menyatakan kompo-nen imajiner

Karena bilangan kompleks tersusun atas dua bilangan riil ma-

ka bilangan kompleks dapat dipandang sebagai vektor dengan dua

komponen. Pada diagram (1.23) digambarkan vektor yang proyek-

sinya ke sumbu x adalah a dan proyeksinya ke sumbu y adalah b.

Panjang vektor adalah R =√

a2 + b2 yang dapat dinyatakan sebagai

R = | z| =√

zz∗ (1.73)

Pembagian bilangan kompleks z = a + ib dengan bilangan riil r

dapat dilakukan dengan membagi komponen riilnya dengan r dan

komponen imajinernya dengan r. Diperoleh

z

r =

a

r + i

b

r. (1.74)

Pembagian bilangan kompleks z dengan bilangan kompleks z0

dapat dilakukan dengan mengalikan penyebut dan pembilangnya

dengan konjugat kompleks z0∗ sehingga penyebutnya menjadi bi-

langan riil | z0|2. Diperoleh

z

z0 =

zz0∗

z0 z0∗ =

zz0∗

| z0|2. (1.75)




Fungsi sinusoidal berkaitan dengan fungsi eksponensial sebagai

berikut

eiθ = cos θ + i sin θ ,

e−iθ = cos θ

−i sin θ , (1.76)

atau

cos θ = eiθ + e−iθ

2 , (1.77)

sin θ = eiθ − e−iθ

2i (1.78)

Persamaan di atas dapat dicek kebenarannya dengan mengekspansi

Taylor sisi kiri dan sisi kanan persamaan. Diperoleh untuk sisi kiri

eiθ = 1 + iθ +

(iθ)2

2

+ (iθ)3

3!

+ (iθ)4

4!

+ . . . . (1.79)

Dengan menggunakan ekspansi Taylor

cos θ = 1−θ

2

2! +

θ4

4! + . . . ,

sin θ = θ−θ3

3! + . . . .

diperoleh untuk sisi kanan

cos θ + i sin θ =

1−

θ2

2! +

θ4

4! + . . .

+ i

θ −

θ3

3! + . . .

(1.80)

yang sama dengan ekpansi (1.79).Setiap bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk eks-

ponensial,

z = a + ib = Reiθ , (1.81)

dengan R =√ a2 + b2 dan θ = arctan(b/a).

Solusi umum persamaan osilasi (1.5) dapat ditulis dalam bentuk

x(t) = C1eiωt + C2e

−iωt (1.82)

dengan ω =√ K /m. Dapat dicek bahwa solusi ini memenuhi persa-

maan osilasi dengan menyubsitusi solusi di atas ke persamaan ( 1.5).

Misalnya, pada saat t = 0 simpangan x(0) = x0 dan kecepatan

x(0) = 0. Subsitusi nilai t = 0 pada persamaan di atas diperoleh

x0 = C1 + C2 (1.83)

Dari turunan terhadap waktu dari simpangan diperoleh kecepatan.

Pada t = 0 diperoleh

0 = iωC1 − iωC2 (1.84)

Dari kedua persamaan di atas diperoleh C1 = C2 = x0/2.


1.16 Hitung.



osilasi 19

(a) (4 + 3i)/(2 − i).

(b) (1 + i)/(1− i)

(c) (1 + 2i)/(1 + i)

Solusi

(a) Kalikan dengan (2 + i)/(2 + i) diperoleh

(4 + 3i)(2 + i)

(2− i)(2 + i) =

(4 + 3i)(2 + i)

5 =

(5 + 10i)

5 = 1 + 2i (1.85)

(b) Kalikan dengan (1 + i)/(1 + i) diperoleh

(1 + i)(1 + i)

(1− i)(1 + i) =

(1 + i)(1 + i)

2 =

(2i)

2 = i (1.86)

(c) Kalikan dengan (1− i)/(1 − i) diperoleh

(1 + 2i)(1 − i)

(1 + i)(1 − i) =

(1 + 2i)(1 − i)

2 =

(3 + i)

2 (1.87)

1.17 Nyatakan dalam bentuk eksponensial!

(a) (1 + i)

(b) (2 − i)

(c) (1 + 2i).

Solusi

(a) Untuk bilangan kompleks 1 + i,

R =p

12 + 12 =√

2 (1.88)

dan

θ = arctan (1) = π

4 (1.89)

sehingga (1 + i) =√

2eiπ /4.

(b) Untuk bilangan kompleks 2− i,

R =p

22 + 12 =√

5 (1.90)

danθ = arctan (−1/2) = −0.46 (1.91)

sehingga (2 − i) =√

5e−i0.46.

(c) Untuk bilangan kompleks 1 + 2i,

R =p

22 + 12 =√

5 (1.92)

dan

θ = arctan (2) = 1.11 (1.93)

sehingga (1 + 2i) =√

5ei1.11.

1.18 Dengan menggunakan bentuk eksponensial dari fungsi sinuso-idal




(a) Buktikan identitas trigonometri cos 3θ = cos3θ− 3cos θ sin2

θ.

(b) Buktikan identitas trigonometri

cos θ1 + cos θ2 = 2 cos

θ1 + θ2

2

cos

θ2 − θ1

2

. (1.94)

Solusi

(a)

cos3θ − 3cos θ sin2

θ = (eiθ + e−iθ)3

8 +

3(eiθ + e−iθ)(eiθ − e−iθ)2

8

= 4e3iθ + 4e−3iθ

8 = cos 3θ (1.95)

(b)

2cos

θ1 + θ2

2

cos

θ2 − θ1

2

=

(1.96)

1.19 Tentukan solusi dari persamaan differensial

d2

dθ2x(θ) − 2

d

dθx(θ) − 3x(θ) = 0 (1.97)

Gunakan fungsi eksponensial kompleks.

Soal Latihan

1.17 Hitung.

(a) (3 + 4i)/(2 − i).

(b) (1 − i)/(1 + i)

(c) (1 + 2i)/(2− i)

1.18 Nyatakan dalam bentuk eksponensial!

(a) (i +√

3), (i−√

3). Tulis θ dalam bilangan rasional kali π .

(b) Tunjukkan bahwa akar-akar dari Reiθ adalah ±√ Reiθ/2.

(c) Gunakan hasil (c) untuk menentukan akar-akar dari 2i dan

2 + 2i√

3.

1.19 Dengan menggunakan bentuk eksponensial dari fungsi sinuso-

idal

(a) Nyatakan sin(θ1 + θ2 + θ3) dalam fungsi sin dan cos untuk

masing masing sudut.

(b) Buktikan identitas trigonometri

cos5 θ

5 =

10

16 cos

θ

5 +

5

16 cos

3θ

5 +

1

16 cos θ (1.98)

1.20 Tentukan keenam solusi dari persamaan z6 = 1. Tulis dalam

bentuk A + iB dan plot pada bidang kompleks. [Petunjuk: tulis

z = Reiθ untuk R real dan positif]

1.21 Tentukan solusi umum dari persamaan differensial

d3

dθ3

x(θ) + x(θ) = 0 (1.99)

Gunakan fungsi eksponensial kompleks.



osilasi 21

1.6 Superposisi gerak osilasi harmonik dalam 1 dimensi

Persamaan (1.5) untuk gerak osilasi harmonik adalah persamaan di-

ferensial yang linear. Artinya, jika x1(t) dan x2(t) adalah solusi

yang berbeda dari suatu persamaan differensial, maka jumlahannya,

x1(t) + x2(t), juga merupakan solusi dari persamaan diferensial ter-

sebut.

Superposisi gerak osilasi dengan frekuensi sama! !!" #

$#

$"

%

&

Gambar 1.24: Representasi dari bilang-an kompleks P = a2 + a1ei(φ2−φ1)

! ! !

" #

$ #

$ "

%

&

'!#

!(

Gambar 1.25: Representasi dari P =(a2 + a1ei(φ1−φ2))ei(ωt+φ2)

Misalnya solusi pertama dinyatakan sebagai

x1 = a1 cos (ωt + φ1) , (1.100)

dan solusi kedua dinyatakan sebagai

x2 = a2 cos (ωt + φ2) . (1.101)

Superposisinya x3(t) = x1(t) + x2(t) adalah fungsi sinusoidal. Un-

tuk memudahkan perhitungan, dapat digunakan bilangan kompleks.

Misalnya z1 = a1ei(ωt+φ1) adalah bilangan kompleks dengan kompo-

nen riil x1 dan z2 = a2ei(ωt+φ2) adalah bilangan kompleks dengan

komponen riil x2. Superposisinya direpresentasikan dengan bilang-

an kompleks z3 = z1 + z2 dengan komponen riil x3. Diperoleh

z3 =

a1eiφ1 + a2eiφ2

eiωt

=

a2 + a1ei(φ1−φ2)

ei(ωt+φ2) (1.102)

!

"

#$

#%

$

%

!$ !%

"$

"%

&

'!%!$

'"%$

Gambar 1.26: Penjumlahan vektor pa-da bidang kompleks. Masing-masingmerepresentasikan gerak osilasi harmo-nik pada sumbu-x dengan frekuensi su-dut ω. Resultannya adalah x1 + x2 =R cos(ωt + θ). Pada gambar diset t = 0

Pada bidang kompleks, bilangan kompleks z1, z2 dan z3 ditun-

jukkan pada gambar (1.26). Representasi gerak osilasi sebagai vek-

tor seperti yang ditunjukkan pada gambar (1.24, 1.25, 1.26) disebut

sebagai phasor ( phase vector). Dari sini kita ketahui bahwa z3 dapat

dinyatakan sebagai vektor yang besarnya konstan dan berotasi ber-lawanan arah jarum jam dengan frekuensi sudut ω .




Amplitudo, R = | z3|, dari superposisi gerak osilasi dapat dihi-

tung sebagai berikut

R2 = | z3|2 = (a2 + a1e

i(φ1−φ2))(a2 + a1e−i(φ1−φ2))

= a21 + a

22 + a1a2(ei(φ2−φ1) + e

−i(φ2−φ1))

= a21 + a2

2 + 2a1a2 cos(φ2 − φ1) (1.103)

Dari gambar (1.26) diperoleh konstanta fase θ ,

tan θ = a1 sin φ1 + a2 sin φ2

a1 cosφ1 + a2 cosφ2=

Im ( z3 e−iωt)

Re ( z3 e−iωt)

(1.104)

Gerak resultan x3 adalah komponen riil dari z3, diperoleh

x3 = R cos(ωt + θ) , (1.105)

yaitu fungsi sinusoidal dengan frekuensi sudut ω dengan konstanta

fase θ .

Superposisi gerak osilasi dengan frekuensi berbeda

Sekarang tinjau dua gerak osilasi harmonik dengan frekuensi ber-

beda,

x1 = a1 cosω1t (1.106)

x2 = a2 cosω2t (1.107)

Gerak osilasi resultannya dapat dinyatakan dalam bilangan kom-

pleks sebagai berikut

z3 = (a1eiωmt + a2e

−iωmt)eiωat (1.108)

dimana

ωa = ω1 + ω2

2 , ωm =

ω1 −ω2

2 . (1.109)

Gerak osilasi resultan dapat ditulis

x3 = R cos(ωat + θ) (1.110)

Meskipun menyerupai persamaan (1.105), pada persamaan di atas R

dan θ merupakan fungsi waktu. Diperoleh amplitudo

R2 = | z3|2 =

a2 + a1e

2iωmt

a2 + a1e

−2iωmt

(1.111)

= a21 + a

22 + 2a1a2 cos(2ωmt) (1.112)

dan fase

θ = Im ( z3 e

−iωa t)

Re ( z3 e−iωat)

= (a1 − a2) sinωmt

(a1 + a2) cosωmt

Soal Latihan

1.22 Sebuah partikel mengalami dua gerak osilasi harmonik secara

bersamaan pada arah yang sama, dengan frekuensi 5 Hz. Masing-

masing dengan amplitudo 0.005 m dan 0.002 m. Beda fase antara

kedua gerak osilasi harmonik adalah 45◦. Tentukan amplitudo da-

ri gerak osilasi resultannya. Tentukan juga beda fase antara gerak

osilasi resultan dan komponen gerak osilasi dengan amplitudo0.005 m.



osilasi 23

1.23 Tentukan resultan dari dua gerak osilasi harmonik berikut

x1 = 0.3cos2π t

x2 = 0.2sin(2π t − π /3) .

Simpangan x dinyatakan dalam cm dan t dalam detik.

1.24 Sebuah partikel mengalami dua gerak osilasi harmonik seca-

ra bersamaan pada arah yang sama: x1 = a cosωt dan x2 =

a cos2ωt. Tentukan kecepatan maksimum partikel tersebut.

1.25 Jika superposisi dari dua osilasi harmonik sederhana adalah

x = a cos(2.1t) cos(50t), (1.113)

dimana t dinyatakan dalam detik. Tentukan frekuensi dari masing-

masing gerak osilasi harmonik sederhana penyusunnya.

1.26 Sebuah partikel mengalami tiga gerak osilasi harmonik secara

bersamaan pada arah yang sama dengan frekuensi 5 Hz. Masing-

masing dengan amplitudo 0.5 mm, 0.4 mm, 0.3 mm. Beda fase

antara gerak osilasi yang pertama dan kedua adalah 45◦ dan beda

fase antara gerak osilasi yang kedua dan yang ketiga adalah 30◦.

Tentukan amplitudo gerak osilasi resultan. Tentukan juga beda fa-

se antara gerak osilasi resultan dengan gerak osilasi beramplitudo

0.5 mm.

1.27 Dengan menggunakan bilangan kompleks buktikan bahwa su-

perposisi dari n gerak osilasi harmonik

xi = a sin(ωt + i δ) , dengan i = 0, 1, 2, . . . , n − 1. (1.114)

adalah

xR = a sin

ωt +

(n − 1)δ

2

sin nδ/2

sin δ/2 (1.115)

1.28 Gambarkan perpaduan dua GHS yang saling tegak lurus de-

ngan amplitudo yang sama, tetapi T x : T y = 1 : 2, dan saat t = 0

fase gerak sumbu y mendahului fase gerak sumbu x sebesar π /2

radian.

1.29 Sebuah pendulum terdiri atas bola bermassa yang digantung

dengan tali ringan. Jika arah vertikal dinyatakan sebagai arah z.

Mula-mula bola berada di x = x0 dan y = 0. Bola diberikan ke-

cepatan awal pada arah y sebesar v0 y. Tentukan kecepatan mak-

simum bola pada arah x. Tentukan simpangan maksimum bola

pada arah y. Gambarkan proyeksi lintasan bola pada bidang xy.

1.7 Osilasi Harmonik Teredam

Pada subbab sebelumnya dibahas kondisi ideal untuk gerak osila-

si dimana energi total konstan dan simpangan terhadap titik kese-timbangan memenuhi fungsi sinusoidal selamanya. Kenyataannya,




osilasi yang terjadi di alam secara umum terjadi dalam waktu yang

terbatas karena energi osilasi didisipasikan ke lingkungan melalui

gesekan dan sebagainya. Misalnya, amplitudo bandul yang berayun

semakin lama semakin kecil sampai akhirnya osilasi berhenti.

Tinjau suatu gaya gesek yang berbanding lurus dengan kecepat-

an. Persamaan gerak osilasi dapat ditulis:

mx = −Kx − b x , (1.116)

dengan b adalah konstanta proporsionalitas. Persamaan di atas da-

pat ditulis dalam bentuk

x + b

m x + ω

20x = 0 . (1.117)

dengan ω20 = K /m.

Untuk menentukan solusi dari persamaan diferensial di atas, mula-

mula kita gunakan solusi tebakan dalam bentuk

x = Ceαt , (1.118)

yang menyerupai solusi persamaan osilasi harmonik (1.82), dengan

konstanta α secara umum adalah bilangan kompleks. Subsitusi per-

samaan di atas ke persamaan (1.117) diperoleh

Ceαt(α2 + b

mα + ω

20) = 0 (1.119)

Jadi ada dua pilihan. Pilihan pertama C = 0, yaitu solusi trivial,

yang artinya tidak ada osilasi, atau

(α2 + bmα + ω

20) = 0 (1.120)

Solusi persamaan kuadrat di atas adalah

α = −

b

2m ±

r b2

4m2 −ω2

0 (1.121)

Perhatikan bahwa jika b = 0 diperoleh gerak osilasi harmonik seder-

hana dengan α = iω0.

Simpangan dapat dinyatakan dalam jumlahan semua solusi yang

mungkin,

x(t) = C1e−bt/2m+(b2/4m2−ω20 )1/2t + C2e−bt/2m−(b2/4m2−ω20 )1/2t (1.122)

Ada 3 jenis gerak bergantung kepada nilai b2/4m2−ω

20 .

• Gerak sangat teredam jika nilai b2/4m2− ω

20 > 0. Gerak yang

terjadi bukan gerak osilasi. Misalnya didefinisikan γ ≡ b/2m dan

q ≡ (b2/4m2−ω

20 )1/2, simpangan gerak dapat ditulis

x(t) = e−γt C1e

qt + C2e−qt

(1.123)

Jika pada saat t = 0, x = 0, diperoleh C1 = −C2, dan

x(t) = 2C1e−γt sinh(qt) (1.124)

Gerakan ini diilustrasikan pada Gambar (1.27).



osilasi 25

Gambar 1.27: Simpangan untuk gerakdengan redaman besar dengan γ yang berbeda untuk ω0 = 1.

Γ=1.5

Γ=2.5

Γ=3.5

t

x(t)

1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

• Jika nilai b2/4m2− ω

20 = 0, persamaan kuadrat untuk α memi-

liki solusi kembar. Jika syarat γ2− ω

2 = 0 langsung diterapkan

ke persamaan (1.122) cuma akan diperoleh satu konstanta bebas

untuk persamaan diferensial orde dua. Oleh karena itu, solusi

tebakan (1.118) mesti ditulis dalam bentuk

x(t) = ( A + Bt)e−γt (1.125)

dengan A dan B adalah konstanta. Dapat ditunjukkan bahwa

persamaan di atas adalah solusi dari (1.117). Jika pada saat t = 0,

x = 0, dan x = V , diperoleh A = 0 dan

x(t) = Vt e−γt (1.126)

Gerakan ini diilustrasikan pada Gambar (1.28). Pada osilator me-

kanik, kondisi dengan redaman kritis sangat penting. Jika sistem

diberikan impuls singkat (kecepatan awal), maka kondisi redam-

an kritis memungkinkan sistem sesegera mungkin kembali diam

di posisi setimbang.

t

x(t)

1 2 3 4 5

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25Gambar 1.28: Simpangan untuk gerakdengan redaman kritis.

• Osilasi harmonik teredam terjadi jika nilai b2/4m2−ω

20 < 0. Nilai

akar kuadrat (b2/4m2−ω

20)1/2 menjadi imajiner. Jika didefinisik-

an ω ≡ (ω20 − b2/4m2)1/2. Persamaan (1.123) menjadi

x(t) = e−γt

C1e

iωt + C2e−iωt

(1.127)

Suku di dalam kurung tidak lain adalah fungsi sinusoidal dalam bentuk fungsi kompleks. Suku eksponensial pada persamaan di




atas menunjukkan bahwa gerak yang terjadi adalah gerak osilasi

harmonik dengan amplitudo yang mengecil secara eksponensial.

Jika pada saat t = 0, x = 0, dan x = V , diperoleh

x(t) = V

ω

e−γt sinωt (1.128)

Gerakan ini diilustrasikan pada Gambar (1.29)

Adanya gesekan menyebabkan amplitudo osilasi mengecil secara

eksponensial dengan faktor e−γt. Frekuensi osilasi juga tereduksi

dari ω0 menjadi ω =q

ω20 − γ2.

Gambar 1.29: Simpangan untuk gerakosilasi teredam.

x(t)

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Soal Latihan

1.30 Untuk gerak yang sangat teredam. Jika sistem disimpangkan

sejauh F dari posisi setimbangnya, kemudian dilepas dari keada-

an diam, tunjukkan bahwa simpangan sistem dapat ditulis seba-

gai

x(t) = e−γt (F cosh qt + G sinh qt) (1.129)

Tentukan G .

1.31 Tunjukkan bahwa persamaan (1.125) adalah solusi dari persa-

maan (1.117) untuk b2/4m2−ω

20 = 0.

1.32 Tentukan nilai konstanta C1 dan C2 pada persamaan (1.127),

jika x = A, dan x = 0 saat t = 0. Tuliskan solusi x(t) dalam

fungsi sinusoidal.

1.33 Tinjau suatu sistem yang teredam kritis dengan b2/4m2 = k /m =

1. Pada saat t = 0, x = 0 dan x = V . Tentukan simpangan maksi-

mum, dan waktu untuk mencapai simpangan maksimum.

1.34 Untuk sistem yang teredam kritis dengan b2/4m2 = k /m = 1.

Jika saat t = 0, x = A dan x = 0, tentukan x(t).

1.8 Osilasi Terkopel dan Mode Normal

Sebelumnya telah dibahas bagaimana perilaku satu sistem yang ber-osilasi. Kenyataannya di alam, sulit untuk menemukan sistem yang



osilasi 27

benar-benar terosilasi dari lingkungannya. Suatu sistem yang berosi-

lasi dapat mempengaruhi atau dapat dipengaruhi oleh osilasi sistem

lainnya. Perambatan gelombang yang akan dibahas di bab selanjut-

nya, terdiri atas banyak sistem yang berosilasi yang terhubung satu

sama lain. Energi ditransfer dari satu sistem osilator ke sistem osi-

lator lainnya. Berikut akan kita bahas dua osilator yang terhubung

lewat suatu pegas.

x 21

k k k

Gambar 1.30: Dua balok yang salingterhubung dengan pegas, dan masing-masing terhubung ke dinding denganpegas.

Masing-masing bola bermassa m. Pada suatu saat, bola pertama

menyimpang sejauh x1, dan bola kedua menyimpang sejauh x2 dari

posisi setimbangnya. Persamaan gerak kedua balok diperoleh dari

hukum Newton,

mx1 = −kx1 + k (x2 − x1) , (1.130)

mx2 = −k (x2 − x1) − kx2 , (1.131)

yang dapat ditulis ulang dalam bentuk

x1 + 2ω20 x1 −ω2

0 x2 = 0 , (1.132)

x2 + 2ω20 x2 −ω2

0 x1 = 0 . (1.133)

dengan ω0 =√

k /m. Perhatikan bahwa variabel x1 dan x2 saling

berkaitan. Di setiap persamaan keduanya selalu muncul. Untuk

menyelesaikan persamaan diferensial terkopel ini, kedua persamaan

di atas perlu dituliskan dalam bentuk dua persamaan yang saling

bebas.

Terdapat suatu keadaan awal tertentu yang memungkinkan sink-

ronisasi gerak kedua bola yaitu kedua bola berosilasi dengan freku-

ensi yang sama dengan fase yang sama (atau berlawanan). Keadaan

gerak yang sangat spesial ini disebut sebagai mode normal. Untuk

mode normal ini dapat digunakan solusi dalam bentuk

x1(t) = A sin(ωt + φ) (1.134)

x2(t) = B sin(ωt + φ) (1.135)

Dengan menyubstitusikan solusi ini ke persamaan gerak di atas, dan

mengeliminasi fungsi sin(ωt + φ) yang muncul di kedua sisi persa-

maan diperoleh persamaan matriks −ω2 + 2ω2

0 −ω20

−ω20 −ω2 + 2ω2

0

! A

B

!= 0 (1.136)

Solusi yang paling sederhana (trivial) dari persamaan matriks iniadalah A = B = 0. Artinya tidak terjadi apa-apa, solusi yang tidak




menarik sama sekali. Solusi sederhana ini dapat dihindari apabi-

la matriks 2 × 2 pada persamaan di atas tidak memiliki invers. Ji-

ka matriks tersebut memiliki invers, maka persamaan di atas dapat

dikalikan dengan matriks invers 2 × 2 tersebut, untuk memperoleh

matriks identitas, 1, sehingga diperoleh solusi trivial A = B = 0. Su-

paya matrik 2× 2 di atas tidak memiliki invers, maka determinannya

harus nol. Diperoleh

2ω2

0 −ω22−ω4

0 = 0 (1.137)

Solusi persamaan kuadrat di atas ada dua, ω+ = ω0, dan ω− =√ 3ω0. Frekuensi sudut ω+ adalah frekuensi sudut untuk mode nor-

mal di mana balok 1 dan balok 2 berosilasi dengan fase yang sama

dan amplitudo yang sama, A = B. Adapun frekuensi sudut ω−adalah frekuensi sudut untuk mode normal di mana balok 1 dan

balok 2 berosilasi dengan fase yang berlawanan (berbeda 180◦) dan

amplitudo yang sama, A = −B.Sistem osilasi terkopel di atas secara umum tidak berosilasi da-

lam mode normalnya, kecuali jika diberikan keadaan awal yang pas.

Misalnya, jika masing-masing balok diberi kecepatan v1 dan v2 de-

ngan v1 = ±v2 dari keadaan setimbang, maka sistem akan berosilasi

dalam mode normal dengan frekuensi sudut ω±. Jika keadaan awal

yang pas ini tidak terpenuhi, maka osilasi sistem akan berupa super-

posisi dari osilasi dua mode normal yang mungkin. Solusi umum

sistem osilasi terkopel dapat ditulis dalam bentuk superposisi mode

normal

x1(t) = A+ sin(ω+t + φ+) + A− sin(ω−t + φ−) (1.138)x2(t) = B+ sin(ω+t + φ+) + B− sin(ω−t + φ−) (1.139)

dengan konstanta A± dan B± yang bergantung pada keadaan awal

sistem. Untuk sistem di atas, dengan massa bola yang identik dan

konstanta pegas yang identik, A+ = B+ dan A− = −B−.

Prosedur di atas dapat digeneralisasi untuk tiga atau lebih osila-

tor yang terkopel. Pada sistem tiga osilator, matriks 2 × 2 pada per-

samaan (1.136) menjadi matrik 3 × 3. Syarat determinan nol menjadi

persamaan pangkat tiga, yang menghasilkan tiga solusi frekuensi

mode normal.

Soal Latihan

1.35 Tunjukkan bahwa dengan menggunakan variabel u = x1 + x2

dan v = x1 − x2, persamaan (1.130) dan (1.131) dapat ditulis men-

jadi dua persamaan yang saling bebas (Salah satunya adalah per-

samaan diferensial untuk variabel u, persamaan lainnya adalah

persamaan diferensial untuk variabel v).

1.36 Untuk sistem osilasi terkopel seperti pada gambar (1.30) de-

ngan massa bola identik m dan konstanta pegas identik k . Ten-

tukan nilai konstanta A± dan B±, jika mula-mula t = 0, kedua

bola disimpangkan ke kanan dengan x1(0) = x2(0) = C kemudi-an dilepaskan dari keadaan diam.



osilasi 29

1.37 Untuk sistem osilasi terkopel seperti pada gambar (1.30) de-

ngan massa masing-masing bola, m dan M, yang saling terhu-

bung dengan pegas identik k . (a) Tentukan frekuensi-frekuensi

mode normalnya. (b) Tentukan rasio A+/B+ dan A−/B−.

1.38 Tiga bola bermassa identik m yang saling terhubung denganpegas k , seperti pada gambar (1.31). (a) Tentukan frekuensi-frekuensi

mode normalnya. (b) Sketsa gerak mode-mode normalnya. (c) Ji-

ka saat t = 0, x1 = x2 = 0, x3 = A, dan x3 = 0, tentukan x3(t).

32

k k

1 Gambar 1.31: Soal (38)

1.39 Untuk soal (38), jika bola tengah memiliki massa berbeda M.

(a) Tentukan frekuensi-frekuensi mode normalnya. (b) Jika saat

t = 0, x1 = x2 = 0, x3 = A, dan x3 = 0, tentukan x3(t). (c)

Tentukan solusi x3(t) untuk limit M m, expansi sampai orde

pertama m/ M.

chp 1 osilasi

Documents