chowdaiah m.phil thesis

8/14/2019 Chowdaiah M.Phil Thesis

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F O U R I E R A L G E B R A S A N D A M E N A B I L I T Y

N o v e m b e r , 2 0 0 9


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B O N A F I D E C E R T I F I C A T E

I c e r t i f y t h a t t h i s d i s s e r t a t i o n e n t i t l e d " F o u r i e r a l g e b r a s a n d a m e n a b i l i t y " ,

s u b m i t t e d i n p a r t i a l f u l l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f M a s t e r o f

P h i l o s o p h y i n M a t h e m a t i c s t o t h e P o n d i c h e r r y U n i v e r s i t y , P u d u c h e r r y , i s a

b o n a d e r e c o r d o f t h e w o r k c a r r i e d o u t b y M r . K u n d a C h o w d a i a h , u n d e r

m y s u p e r v i s i o n a n d g u i d a n c e d u r i n g 2 0 0 8 - 2 0 0 9 .

I f u r t h e r c e r t i f y t h a t t h i s m a t e r i a l h a s n o t b e e n s u b m i t t e d f o r a n y o t h e r

d e g r e e b y a n y p e r s o n t o t h e b e s t o f m y k n o w l e d g e .

I a r m a l s o t h a t a l l t h e s o u r c e s f r o m w h i c h m a t e r i a l b o r r o w e d a r e a d e -

q u a t e l y r e f e r r e d t o .

P l a c e : ( D r . V . M U R U G A N A N D A M )

D a t e : S U P E R V I S O R


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D E C L A R A T I O N

I h e r e b y d e c l a r e t h a t t h e w o r k p r e s e n t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n o r i g i n a l a n d

h a s b e e n t h e s u p e r v i s i o n a n d g u i d a n c e o f D r . V . M u r u g a n a n d a m , R e a d e r ,

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , P o n d i c h e r r y U n i v e r s i t y , P u d u c h e r r y . I f u r t h e r

s t a t e t h a t t h i s w o r k h a s n o t f o r m e d t h e b a s i s f o r t h e a w a r d o f a n y o t h e r d e g r e e

o f t h i s u n i v e r s i t y o r a n y o t h e r u n i v e r s i t y .

P l a c e :

D a t e : ( K u n d a C h o w d a i a h )


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A C K N O W L E D G E M E N T

I h a v e n o a d e q u a t e w o r d s t o e x p r e s s m y i n d e b t e d s e n s e o f s i n c e r e

g r a t i t u d e t o m y g u i d e , D r . V . M u r u g a n a n d a m , R e a d e r , D e p a r t m e n t o f

M a t h e m a t i c s , P o n d i c h e r r y U n i v e r s i t y , P u d u c h e r r y , f o r h i s e x c e l l e n t g u i d a n c e ,

i n s p i r i n g c o m m e n t s , s u g g e s t i o n s a n d m o t i v a t i o n t h a t h e h a s g i v e n t o m e

t h r o u g h o u t t h e p r e p a r a t i o n o f t h i s d i s s e r t a t i o n .

I w o u l d l i k e t o t h a n k D r . A . M . S . R a m a s a m y , P r o f e s s o r a n d D e a n ,

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , P o n d i c h e r r y U n i v e r s i t y , P u d u c h e r r y , f o r g i v i n g

s u p p o r t a n d e n c o u r a g e m e n t f o r t h e c o m p l e t i o n o f t h i s t h e s i s .

F u r t h e r , I w o u l d l i k e t o s p e c i a l l y t h a n k D r . V . I n d u m a t h i , P r o f e s s o r

a n d H e a d , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , P o n d i c h e r r y U n i v e r s i t y , P u d u c h e r r y ,

f o r h e r e n c o u r a g e m e n t t h r o u g h o u t t h e c o u r s e .

I a m a l s o t h a n k f u l t o t h e t e a c h i n g a n d n o n - t e a c h i n g s t a o f m y d e p a r t -

m e n t f o r t h e i r s u p p o r t a n d e n c o u r a g e m e n t t o m e .

I g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e m y p a r e n t s a n d m y f r i e n d s w h o g a v e t o m e

c o - o p e r a t i o n a n d a d v i c e t o n i s h t h i s p r o j e c t w o r k .

I t a k e t h i s o p p o r t u n i t y t o e x p r e s s m y s i n c e r e t h a n k s t o m y a l l c l a s s m a t e s

a n d m y a l l w e l l w i s h i n g f r i e n d s f o r t h e i r i n g e t t i n g t h i s d i s s e r t a t i o n s u c c e s s f u l .

P l a c e :

D a t e : K u n d a C h o w d a i a h


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C o n t e n t s

I n t r o d u c t i o n i v

1 G e n e r a l i t i e s 1

2 R e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f g r o u p s 1 0

2 . 1 G e n e r a l t h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

2 . 2 R e p r e s e n t a t i o n s o f g r o u p a l g e b r a . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 3 P e t e r - W e y l t h e o r y o f c o m p a c t g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . 1 8

2 . 3 . 1 I r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s a r e n i t e d i m e n s i o n a l . . . . 1 8

2 . 3 . 2 S c h u r ' s t h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

2 . 3 . 3 P e t e r - W e y l t h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

2 . 3 . 4 R e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f

SU(2). . . . . . . . . . . . . 2 8

3 F o u r i e r a l g e b r a s 3 3

3 . 1 F o u r i e r - S t i e l t j e s a l g e b r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3

3 . 2 F o u r i e r a l g e b r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

4 F o u r i e r a l g e b r a s a n d a m e n a b l e g r o u p s 4 1

4 . 1 D e n i t i o n s a n d e x a m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

4 . 2 R e i t e r ' s p r o p e r t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

4 . 3 L e p t i n ' s T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

5 A m e n a b l e B a n a c h a l g e b r a s 5 6

5 . 1 B a s i c p r o p e r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6

5 . 2 A m e n a b i l i t y o f g r o u p a l g e b r a s

( f o r a m e n a b l e g r o u p s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5

5 . 3 N o n - a m e n a b i l i t y o f F o u r i e r a l g e b r a s . . . . . . . . . . . . . . . 7 2

L i s t o f s y m b o l s 7 7

B i b l i o g r a p h y 7 9

i v


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I n t r o d u c t i o n

A s t h e t i t l e s u g g e s t s t h e m a i n o b j e c t i v e o f t h i s d i s s e r t a t i o n i s t o u n d e r s t a n d

t h e i n t i m a t e r e l a t i o n t h a t e x i s t s b e t w e e n t h e F o u r i e r a l g e b r a s o f l o c a l l y

c o m p a c t g r o u p s a n d t h e c o n c e p t c a l l e d a m e n a b i l i t y .

F o u r i e r a l g e b r a s a r e c o m m u t a t i v e f u n c t i o n a l g e b r a s t h a t a r e d e n e d o n

l o c a l l y c o m p a c t g r o u p s w h i c h a r e n o t n e c e s s a r i l y a b e l i a n . I n f a c t i t c o n s i s t s

o f m a t r i x c o e c i e n t s a s s o c i a t e d t o t h e l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e g r o u p

a n d t u r n s o u t t o b e t h e c l a s s i c a l F o u r i e r a l g e b r a w h e n t h e g r o u p i s a b e l i a n .

A m e n a b i l i t y , o n t h e o t h e r h a n d i s t h e m o s t u s e f u l a n d w i d e l y s t u d i e d

c o n c e p t o n l o c a l l y c o m p a c t g r o u p s . A m e n a b i l i t y w a s i n t r o d u c e d a n d s t u d i e d

b y t h e l e g e n d a r y m a t h e m a t i c i a n J o h n v o n N e u m a n n f o r g r o u p s a n d l a t e r b y

J o h n s o n f o r B a n a c h a l g e b r a s . B r i e y p u t , t h i s d i s s e r t a t i o n e x p o u n d s t h e o r y

o f a m e n a b l e g r o u p s s t u d i e d b y H u l a n c k i , E y m a r d a n d n a l l y c h a r a c t e r i z e s

t h e a m e n a b l e g r o u p s b y t h e i r F o u r i e r a l g e b r a s . M o r e o v e r , i t e l a b o r a t e s t h e

t h e o r y o f a m e n a b l e B a n a c h a l g e b r a s a n d s h o w t h a t t h e s e F o u r i e r a l g e b r a s

o v e r n o n - a b e l i a n g r o u p s a r e f a r f r o m b e i n g a m e n a b l e B a n a c h a l g e b r a s .

I n w h a t f o l l o w s , w e s h a l l b r i e y m e n t i o n t h e c o n t e n t s o f t h e d i s s e r t a -

t i o n . C h a p t e r 1 i s d e v o t e d t o t h e p r e l i m i n a r i e s w h i c h w o u l d f o r m b a s i c s

t o f o l l o w t h e l a t t e r c h a p t e r s . T h e C h a p t e r 2 , s t u d i e s r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y

o f g r o u p s . I t h a s t h r e e s e c t i o n s . S e c t i o n 2 . 1 i s d e v o t e d t o b a s i c p r o p e r t i e s

o f r e p r e s e n t a t i o n s o f g r o u p s . I n s e c t i o n 2 . 2 , w e b r i n g o u t t h e r e l a t i o n s h i p

t h a t e x i s t s b e t w e e n u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s o f a g r o u p a n d n o n - d e g e n e r a t e

- r e p r e s e n t a t i o n s o f i t s g r o u p a l g e b r a

L1(G).I n s e c t i o n 2 . 3 w e s t u d y t h e n o -

t i o n o f P e t e r - W e y l t h e o r y o f c o m p a c t g r o u p s . M a i n r e s u l t s i n t h i s s e c t i o n a r e

t h e i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s , S c h u r ' s t h e o r y , P e t e r - W e y l t h e o r y . M o r e o v e r ,

w e p a r a m e t e r i z e t h e i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f SU(2).

v


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C h a p t e r 3 i s o n e o f t h e m a i n c h a p t e r s o f t h i s d i s s e r t a t i o n . I n t h i s c h a p t e r

w e a s s o c i a t e a C

a l g e b r a f o r e v e r y l o c a l l y c o m p a c t g r o u p i n s u c h a w a y t h a t

u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f G

l i f t s i n t o a n o n - d e g e n e r a t e

- r e p r e s e n t a t i o n o f

t h i s

C- a l g e b r a s o t h a t t h e f u l l f o r c e o f t h e

C- a l g e b r a t h e o r y c a n b e u s e d t o

u n d e r s t a n d t h e g r o u p s . I t h a s t w o s e c t i o n s . I n S e c t i o n 3 . 1 , w e c o n s t r u c t t h e

e n v e l o p i n g C

- a l g e b r a a n d r e d u c e d C

- a l g e b r a o f a g r o u p . U s i n g C

- a l g e b r a

t h e o r y , w e s h o w t h a t t h e d u a l o f e n v e l o p i n g C

- a l g e b r a i s t h e B a n a c h s p a c e

o f o f a l l m a t r i x c o e c i e n t s c o r r e s p o n d i n g t o a l l u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s o f G.

T h e s t u d i e s w e c a r r y o u t h e r e , g i v e r i s e t o t w o B a n a c h a l g e b r a s , c a l l e d F o u r i e r

S t i e l t j e s a l g e b r a a n d F o u r i e r a l g e b r a , w h i c h w e s t u d y i n e n d o f S e c t i o n 3 . 1

a n d S e c t i o n 3 . 2 r e s p e c t i v e l y .

T h e a i m o f c h a p t e r 4 i s t o u n d e r s t a n d a m e n a b i l i t y v i s - a - v i s t h e F o u r i e r

a l g e b r a s w e d e n e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r . I t c o n t a i n s m a n y i m p o r t a n t

r e s u l t s d u e t o G o d e m e n t , H u l a n i c k i , L e p t i n . I t c o n t a i n s t h r e e s e c t i o n s .

I n s e c t i o n 4 . 1 c o l l e c t s i m p o r t a n t p r o p e r t i e s o f a m e n a b l e g r o u p s , d i s c u s s e s

e x a m p l e s , c o u n t e r - e x a m p l e s o f a m e n a b l e g r o u p s . I n S e c t i o n 4 . 2 w e s t u d y t h e

r e l a t i o n b e t w e e n a m e n a b i l i t y a n d R e i t e r ' s Pp - p r o p e r t y . F i n a l l y w e s h o w t h a t

a g r o u p

Gi s a m e n a b l e i f a n d o n l y i f i t s r e d u c e d

C

- a l g e b r a a n d e n v e l o p i n g

C- a l g e b r a a r e e q u i v a l e n t . I n S e c t i o n 4 . 3 w e p r o v i n g t h e m o s t i m p o r t a n t

r e s u l t d u e t o L e p t i n , w h i c h s t a t e s t h a t G

i s a m e n a b l e i f a n d o n l y i f t h e F o u r i e r

a l g e b r a h a s a b o u n d e d a p p r o x i m a t e i d e n t i t y .

T h e i n v e s t i g a t i o n w e c a r r y o u t i n t h i s d i s s e r t a t i o n w i l l n o t b e c o m p l e t e

i f w e d o n o t d i s c u s s o n e i m p o r t a n t p r o p e r t y t h a t t h e g r o u p a l g e b r a o f a n

a m e n a b l e g r o u p h a s . I n f a c t i t s e r v e s a s a m o t i v a t i o n f o r t h e s t u d y o f

a m e n a b l e B a n a c h a l g e b r a s i n i t i a t e d b y J o h n s o n . I t h a s t h r e e s e c t i o n s .

I n s e c t i o n 5 . 1 w e d e n e a m e n a b l e B a n a c h a l g e b r a s a n d c h a r a c t e r i z a t i o n o f

a m e n a b l e B a n a c h a l g e b r a s i n t e r m s o f v i r t u a l d i a g o n a l s . I n s e c t i o n 5 . 2 w e

p r o v e t h e m o s t c e l e b r a t e d J o h n s o n ' s t h e o r e m w h i c h s a y s t h a t a g r o u p i s

a m e n a b l e i f a n d o n l y i f i t s g r o u p a l g e b r a i s a m e n a b l e . S e c t i o n 5 . 3 w e s t u d y

a m e n a b i l i t y a m o n g B a n a c h a l g e b r a s a n d s h o w t h a t t h e F o u r i e r a l g e b r a s o f

n o n - a m e n a b l e a r e f a r f r o m b e i n g a m e n a b l e .

v i


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C h a p t e r 1

G e n e r a l i t i e s

A s t h e t i t l e s u g g e s t s , w e w r i t e d o w n t h e d e n i t i o n a n d b a s i c r e s u l t s w h i c h w e

m a y n e e d i n t h e s e q u e l . T h i s c h a p t e r c o n t a i n s p r e r e q u i s i t e s t h a t w o u l d h e l p

t o f o l l o w t h e r e m a i n i n g c h a p t e r s . A l s o , w e x t h e n o t a t i o n s a n d c o n v e n t i o n s

w h i c h w e m a y a d h e r e t o i n t h e f u t u r e . T h e m a i n s e c t i o n o f t h i s c h a p t e r

d i s c u s s e s t h e e l e m e n t a r y c o n c e p t s r e g a r d i n g t h e g e n e r a l t h e o r y o f l o c a l l y

c o m p a c t g r o u p s .

D e n i t i o n 1 . 0 . 1 . A t o p o l o g i c a l s p a c e i s

Gi s s a i d t o b e a t o p o l o g i c a l g r o u p

i f i t i s a g r o u p a n d t h e m a p (x, y) xy1

i s c o n t i n u o u s f r o m G G

i n t o G

.

A t o p o l o g i c a l g r o u p i s s a i d t o b e l o c a l l y c o m p a c t (compact, connected, etc..)

g r o u p i f i t s t o p o l o g i c a l s p a c e i s c o m p a c t (compact, connected, etc..)

.

N o t e : - A n y t o p o l o g i c a l g r o u p u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s a l w a y s a s s u m e d t o

b e l o c a l l y c o m p a c t H a u s d o r , s e c o n d c o u n t a b l e .

L e t u s g i v e s o m e i m p o r t a n t c l a s s e s o f l o c a l l y c o m p a c t H a u s d o r g r o u p s .

( i )Rn

i s a l o c a l l y c o m p a c t g r o u p .

( i i ) F o r e v e r y x e d n 1

, Tn i s a c o m p a c t g r o u p .

( i i i ) F o r e v e r y x e d n , l e t GL(n,R)

b e t h e g r o u p c o n s i s t i n g o f nn

i n v e r t i b l e

m a t r i c e s w i t h r e a l e n t r i e s . T h e n GL(n,R)

i s a l o c a l l y c o m p a c t g r o u p

a s i t i s a n o p e n s u b s e t o f Rn

2

.

1


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( i v ) SL(n,R) =

{x

GL(n,R) : det(x) = 1

}a n d

O(n)b e t h e g r o u p

o f o r t h o g o n a l m a t r i c e s a r e a l s o l o c a l l y c o m p a c t g r o u p s a s t h e y f o r m

c l o s e d s u b s e t o f GL(n,R)

.

( v )S =

x =

a b0 1

: a > 0, b R

.

( v i ) L e t F2 d e n o t e t h e f r e e g r o u p g e n e r a t e d b y a , b w i t h ab = ba. I t i s a

n o n a b e l i a n d i s c r e t e g r o u p . A r b i t a r y e l e m e n t o f t h i s g r o u p i s o f t h e f o r m

ambnck....w h e r e m , n , k b e l o n g t o

Z.

D e n i t i o n 1 . 0 . 2 ( S t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y ) . I f X i s a B a n a c h s p a c e ,

t h e n t h e s t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y ( S O T ) o n BL(X)

i s t h e t o p o l o g y w h i c h i s

g e n e r a t e d b y t h e s u b b a s i c o p e n s e t s a t T

g i v e n b y

{S(T, x , )}xX,>0 w h e r e

S(T, x , ) =

A BL(X) : (T A)x <

.

A n e t { T } i n BL(X) c o n v e r g e s t o T w i t h r e s p e c t t o s t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y

i flim

Tx = T x, f o r a l l x X.

T h e o r e m 1 . 0 . 3 . L e t (x) I i s a n e t i n a n o r m e d s p a c e t h a t c o n v e r g e s

w e a k l y t o s o m e

x,t h e n s o m e s e q u e n c e o f c o n v e x c o m b i n a t i o n s o f m e m b e r s o f

{x : I} c o n v e r g e s t o x w i t h r e s p e c t t o t h e n o r m t o p o l o g y .

D e n i t i o n 1 . 0 . 4 . L e tG

b e a l o c a l l y c o m p a c t s p a c e . A B o r e l m e a s u r e

i s

s a i d t o b e r e g u l a r i f

1 .(K) < ,

f o r e v e r y c o m p a c t s e t K.

2 . F o r e v e r y B o r e l s e t E

,(E) = inf

{(U) : U

i s o p e n a n d E

U

}.

3 . I f E

i s a n y B o r e l s e t a n d (E) < ,

t h e n (E) = sup

(K) : K

i s c o m p a c t , K E.

L e tG

b e a l o c a l l y c o m p a c t H a u s d o r g r o u p . I f M(G)

d e n o t e s t h e s p a c e

o f c o m p l e x B o r e l m e a s u r e s o n G,

t h e n i t f o r m s a B a n a c h S p a c e . I n w h a t

f o l l o w s , w e b r i e y s h o w t h a t t h e u n d e r l y i n g g r o u p s t r u c t u r e g i v e s r i s e t o

2


10/87

t w o a d d i t i o n a l s t r u c t u r e s o n M(G),

w i t h r e s p e c t t o w h i c h M(G)

f o r m s a n

i n v o l u t i v e B a n a c h a l g e b r a . I f ,

a r e i n M(G),

t h e n d e n e (x) d( )(x) =

(xy) d(x) d(y).

i s c a l l e d t h e c o n v o l u t i o n o f t h e m e a s u r e s . F o r e v e r y

a n d

,

b e l o n g s t o

M(G)a n d

.R e c a l l t h a t i f

xb e l o n g s t o

G,t h e n

x d e n o t e s t h e D i r a c m e a s u r e a t x. I f x, y a r e i n G, t h e n

d(x y) = (uv) dx(u) dy(v) = (xy) = dxy.T h e r e f o r e ,

x y = xy. S e e t h a t e i s t h e m u l t i p l i c a t i v e i d e n t i t y o f M(G).T h e i n v o l u t i o n

o n

M(G)i s d e n e d b y

d =

(x1) d(x).

I t i s e a s y t o s e e t h a t e i s t h e i d e n t i t y f o r M(G). I n w h a t f o l l o w s w e e x h i b i t

o n e m o r e i n v o l u t i v e B a n a c h a l g e b r a o v e r G.

A B o r e l m e a s u r e m

o nG

i s

s a i d t o b e l e f t i n v a r i a n t i fm(xE) = m(E)

f o r e v e r y B o r e l s e t E,

a n d f o r a l l

x i n G.

T h e o r e m 1 . 0 . 5 . L e tG

b e a l o c a l l y c o m p a c t H a u s d o r g r o u p . T h e r e e x i s t s

a n o n - z e r o , p o s i t i v e , l e f t i n v a r i a n t r e g u l a r B o r e l m e a s u r e o n G.

M o r e o v e r , i t

i s u n i q u e u p t o a p o s i t i v e c o n s t a n t .

S u c h a m e a s u r e i s c a l l e d H a a r m e a s u r e a n d t h e c o r r e s p o n d i n g i n t e g r a l

i s c a l l e d H a a r i n t e g r a l . T h e p r o o f i n i t s f u l l g e n e r a l i t y , c a n b e s e e n i n t h e

b o o k s b y A . W e i l [ 1 6 ] , L o o m i s [ 1 0 ] . F o r a n y s u b s e t E

o f a d i s c r e t e g r o u p , i f

m(E)i s d e n e d t o b e t h e n u m b e r o f e l e m e n t s i n

E,t h e n i t i s a H a a r m e a s u r e

c a l l e d c o u n t i n g m e a s u r e . T h e L e b e s g u e m e a s u r e i s t h e H a a r m e a s u r e f o r t h e

g r o u p Rn,

a s i t i s t r a n s l a t i o n i n v a r i a n t . F o r t h e T o r u s T, 1

2

20

f(ex)dxi s

t h e H a a r i n t e g r a l . F o r t h e c o m p u t a t i o n o f H a a r m e a s u r e f o r o t h e r c l a s s i c a l

m a t r i x g r o u p s , w e r e f e r t o H e w i t t a n d R o s s [ 6 ] . L e t Lp(G), 1 p <

d e n o t e

a s u s u a l , t h e B a n a c h s p a c e c o n s i s t i n g o f a l l m e a s u r a b l e f u n c t i o n s f

s u c h t h a t G

|f(x)|p dxi s n i t e . R e c a l l t h a t b y R a d o n - N i k o d y m t h e o r e m w e c a n v i e w

L1(G)a s a c l o s e d s u b s p a c e o f

M(G)c o n s i s t i n g o f a l l m e a s u r e s w h i c h a r e

3


11/87

a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o H a a r m e a s u r e . F o r e v e r y f, g

L1(G),

s i n c e G

(x)d(fg)(x) dx =G

G

(xy)f(x)g(y) dxdy =

G

G

(x)f(y)g(y1x) dydx

w e d e n e c o n v o l u t i o n

f g(x) =G

f(y)g(y1x) dy.( 1 . 0 . 1 )

S i m i l a r l y , t h e i n v o l u t i o n o f

M(G),r e s t r i c t e d t o

L1(G),i s g i v e n b y

f(x) dx = f(x1) d(x1).

T h a t i s ,

f(x) = (x1)f(x1).( 1 . 0 . 2 )

S u m m a r i z i n g w e o b s e r v e t h a t w i t h t h e a b o v e c o n v o l u t i o n p r o d u c t a n d t h e

i n v o l u t i o n , L1(G)

f o r m s a n i n v o l u t i v e B a n a c h a l g e b r a . M o r e o v e r i t i s a t w o -

s i d e d i d e a l i n M(G)

a n d c l o s e d u n d e r i n v o l u t i o n . I n f a c t

g(x) =G

g(y1x) d(y).

f (x) =G

(y1)f(xy1) d(y).

O n e c a n e a s i l y s e e t h a t i f G

i s c o m m u t a t i v e t h e n L1(G)

i s a c o m m u t a t i v e

B a n a c h

- a l g e b r a . W i t h a l i t t l e m o r e e o r t s , o n e c a n p r o v e t h e c o n v e r s e

a l s o . T h a t i s , i f L1(G)

i s c o m m u t a t i v e w i t h t h e c o n v o l u t i o n p r o d u c t t h e n

t h e u n d e r l y i n g g r o u p i s c o m m u t a t i v e . L e t u s a l s o r e m a r k t h a t i f G

i s d i s c r e t e

t h e n e i s t h e i d e n t i t y f o r L

1(G).W e r e c a l l t h a t t h e c o n v e r s e a l s o h o l d s . I n

f a c t i f L1(G)

h a s i d e n t i t y t h e n G

i s d i s c r e t e . B u t n e v e r t h e l e s s i t h a s b o u n d e d

a p p r o x i m a t e i d e n t i t y . W e b r i e y c o n s t r u c t o n e s u c h a s f o l l o w s . L e t {V} I

b e a n e i g h b o u r h o o d s y s t e m c o n s i s t i n g o f c o m p a c t n e i g h b o u r h o o d s a t e . S e t

f =V

(V), (V) i s a m e a s u r e o n V . ( 1 . 0 . 3 )

4


12/87

T h e n

{f

}I i s a b o u n d e d a p p r o x i m a t e i d e n t i t y f o r L

1(G).L e t u s e n d o u r

d i s c u s s i o n a b o u t g r o u p a l g e b r a b y r e c a l l i n g s o m e i m p o r t a n t p r o p e r t i e s o f

g r o u p a l g e b r a s o f c o m m u t a t i v e g r o u p s . I n t h e r e s t o f t h i s s e c t i o n w e r e c a l l

t h e r e s u l t s f r o m a b e l i a n h a r m o n i c a n a l y s i s w h i c h w e m i g h t r e q u i r e i n t h e

f u t u r e . W e a s s u m e t h a t G

i s c o m m u t a t i v e . I f A = L1(G)

w e s h o w h o w

(A)i s i d e n t i e d w i t h t h e g r o u p c o n s i s t i n g o f c h a r a c t e r s . L e t

Td e n o t e t h e

T o r u s , g r o u p c o n s i s t i n g o f a l l c o m p l e x n u m b e r s w i t h m o d u l u s 1.

A c o n t i n u o u s

g r o u p h o m o m o r p h i s m f r o m G

i n t o T

, i s c a l l e d a c h a r a c t e r . T h e s e t o f a l l

c h a r a c t e r s o f G i s d e n o t e d b y G. I t c a n b e s e e n t h a t G i s f o r m s a l o c a l l y c o m p a c t a b e l i a n g r o u p u n d e r p o i n t w i s e m u l t i p l i c a t i o n a n d c o m p a c t - o p e n t o p o l o g y a n d i s c a l l e d a s d u a l g r o u p o f G .

T h e o r e m 1 . 0 . 6 . T h e m a p

t o f r o m G i n t o (L1(G)) g i v e n b y

(f) =

G

f(x)(x)dx f L1(G),( 1 . 0 . 4 )

d e n e s a h o m e o m o r p h i s m f r o m

G

i n t o (L1(G)),

w i t h G e l f a n d t o p o l o g y .

D e n i t i o n 1 . 0 . 7 . F o r e v e r y

f L1

(G)t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f

fi s d e n e d

t o b e a f u n c t i o n o n

Gg i v e n b y

f() =

f(x)x, dx.

( 1 . 0 . 5 )

P r o p o s i t i o n 1 . 0 . 8 . T h e F o u r i e r t r a n s f o r m i s a i n j e c t i v e h o m o m o r p h i s m

f r o m L1(G)

t oC0(G) a n d i t s r a n g e i s d e n s e i n C0(G).

T h a t i s t o s a y i n t h e l a n g u a g e o f G e l f a n d t h e o r y ,

T h e o r e m 1 . 0 . 9 . ( F o u r i e r I n v e r s i o n f o r m u l a ) L e t G b e a l o c a l l y c o m p a c t

a b e l i a n g r o u p . T h e n t h e r e e x i s t s a H a a r m e a s u r e d

o n

Gs a t i s f y i n g t h e

f o l l o w i n g . I f f L1(G)

a n d

f L1(G), t h e n

f(x) =

G

f()(x) da . e ( 1 . 0 . 6 )

5


13/87

T h e o r e m 1 . 0 . 1 0 . ( P l a n c h e r e l t h e o r e m ) L e t G

b e a l o c a l l y c o m p a c t a b e l i a n

g r o u p . I f f L1(G) L2(G)

t h e n

fL2(G) = fL2( G).

T h e F o u r i e r t r a n s f o r m e x t e n d s t o a u n i t a r y o p e r a t o r f r o m L2(G)

o n t o L2(G).

F o r t h e p r o o f s a n d m o r e d e t a i l s w e r e f e r t o L o o m i s [ 1 0 ] a n d t h e r e c e n t

b o o k F o l l a n d [ 4 ]

D e n i t i o n 1 . 0 . 1 1 . L e t

Ab e a B a n a c h s p a c e o v e r

C. I f

Ai s a n a l g e b r a o v e r

C i n w h i c h t h e m u l t i p l i c a t i o n s a t i s f y i n g

xy xy, x, y A

t h e n

Ai s c a l l e d a B a n a c h a l g e b r a .

D e n i t i o n 1 . 0 . 1 2 . L e t

Ab e a B a n a c h a l g e b r a . A n e t

{} o f e l e m e n t s o f A

i s c a l l e d a p p r o x i m a t e i d e n t i t y o f A

i f

lim

x x = 0 = lim

x x = 0, x A.

I f{} i s b o u n d e d , t h e n {} i s c a l l e d a b o u n d e d a p p r o x i m a t e i d e n t i t y .

N o t a t i o n L e tA

b e a c o m m u t a t i v e B a n a c h a l g e b r a . T h e n t h e s e t o f a l l

n o n - z e r o c o m p l e x h o m o m o r p h i s m f r o m A

t oC

i s d e n o t e d b y (A).

L e t u s

r e c a l l t h a t i f

b e l o n g s t o (A),

t h e n i t i s b o u n d e d a n d i n f a c t 1.

E q u i p p e d w i t h w e a k

- t o p o l o g y (A)

f o r m s a l o c a l l y c o m p a c t s p a c e c a l l e d

G e l f a n d s p a c e . M o r e o v e r , (A)

i s c o m p a c t i f a n d o n l y i f

Ah a s i d e n t i t y .

S u p p o s e t h a t

Ai s a c o m m u t a t i v e B a n a c h a l g e b r a . T h e n t h e m a p

x xg i v e n b y

x() = (x)i s c a l l e d G e l f a n d t r a n s f o r m . F o r e v e r y

x A, xi s a

c o n t i n u o u s f u n c t i o n w h i c h v a n i s h a t i n n i t y . M o r e o v e r t h e G e l f a n d t r a n s f o r m

i s a n a l g e b r a h o m o m o r p h i s m f r o m A

i n t o C0((A)). L e t A b e a c o m m u t a t i v e

B a n a c h a l g e b r a . W e s a y t h a t A

i s s e m i s i m p l e , i f t h e G e l f a n d t r a n s f o r m i s

o n e - t o - o n e . A

i s c a l l e d T a u b e r i a n i f{x :

s u p p o r t o f x

i s c o m p a c t }

i s d e n s e

i n

A.A c o m m u t a t i v e B a n a c h a l g e b r a

Ai s c a l l e d r e g u l a r i f f o r e v e r y c l o s e d

s u b s e t K

i n(A)

a n d f o r a l l / K,

t h e r e e x i s t s x A

s u c h t h a t x|K = 0

a n dx() = 1.

6


14/87

T h e o r e m 1 . 0 . 1 3 . I fG

i s c o m m u t a t i v e t h e n t h e g r o u p a l g e b r a L1(G)

i s

s e m i s i m p l e a n d T a u b e r i a n . M o r e o v e r , i t i s r e g u l a r .

D e n i t i o n 1 . 0 . 1 4 . I f B a n a c h a l g e b r a A

a d m i t s a m a p : x x A

w i t h

t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s ,

1 .(x) = x

2 .(x + y) = x + y

3 .(x) = x

4 .(xy) = yx

5 .

x = x

f o r e v e r y x, y A

a n d C,

t h e n

Ai s c a l l e d a n i n v o l u t i v e B a n a c h a l g e b r a

o r B a n a c h

- a l g e b r a a n d t h e m a p x x,

i s c a l l e d t h e i n v o l u t i o n o f

A.

D e n i t i o n 1 . 0 . 1 5 . L e tA, B

b e t w o i n v o l u t i v e B a n a c h a l g e b r a s . T h e n a

h o m o m o r p h i s m :

A Bi s s a i d t o b e a

- h o m o m o r p h i s m i f

(x) = (x).

D e n i t i o n 1 . 0 . 1 6 . A n e l e m e n t x

i n a n i n v o l u t i v e B a n a c h a l g e b r a i s s a i d

t o b e s e l f - a d j o i n t i f x = x.

A s e l f - a d j o i n t e l e m e n t x

i s s a i d t o b e p o s i t i v e i f

x = yyf o r s o m e

yi n

A.W e s a y t h a t

x yi s

x yi s p o s i t i v e . S i m i l a r l y ,

A l i n e a r f u n c t i o n a l

o n

Ai s c a l l e d p o s i t i v e i f i t t a k e s p o s i t i v e e l e m e n t s t o

p o s i t i v e r e a l s .

D e n o t e t h e s e t o f a l l p o s i t i v e e l e m e n t s o f A

b yA+. I n w h a t f o l l o w s , w e

s h a l l r e c a l l t h e c o n v o l u t i o n a l g e b r a s d e n e d o v e r l o c a l l y c o m p a c t g r o u p s .

D e n i t i o n 1 . 0 . 1 7 . A n i n v o l u t i v e B a n a c h a l g e b r a A

i s s a i d t o b e C

- a l g e b r a

i f t h e i n v o l u t i o n o f A

s a t i s e s t h e a d d i t i o n a l c o n d i t i o n

xx = x2, x A.

7


15/87

R e m a r k s

1 . L e t X

b e a c o m p a c t H a u s d o r s p a c e . T h e s p a c e C(X)

o f c o n t i n u o u s

c o m p l e x v a l u e d f u n c t i o n s o n X

i s a u n i t a l B a n a c h a l g e b r a w i t h t h e

u n i f o r m n o r m . T h e m a p f f

i s a n i n v o l u t i o n t h a t m a k e s C(X)

i n t o

aC

- a l g e b r a . S i m i l a r l y i f X

i s a l o c a l l y c o m p a c t n o n c o m p a c t H a u s -

d o r s p a c e t h e n C0(X) c o n s i s t s o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s w h i c h v a n i s h

a t i n n i t y f o r m s a C

- a l g e b r a w i t h o u t i d e n t i t y . I n f a c t t h e f o l l o w i n g

t h e o r e m i m p l i e s t h a t t h e p r e c e d i n g e x a m p l e s a r e i n d e e d t h e p r o t o t y p e .

2 . L e t H b e a H i l b e r t s p a c e . T h e n t h e u n i t a l B a n a c h a l g e b r a BL(H) i sa

Ca l g e b r a w i t h t h e o p e r a t o r n o r m a n d t h e i n v o l u t i o n g i v e n b y t h e

m a p

T T 1i s a e x a m p l e s o f c o m m u t a t i v e

C- a l g e b r a s .

T h e o r e m 1 . 0 . 1 8 ( G e l f a n d N a i m a r k t h e o r e m ) . L e t

Ab e a c o m m u t a t i v e

u n i t a l C

- a l g e b r a . T h e n t h e G e l f a n d t r a n s f o r m i s a n i s o m e t r i c

- i s o m o r p h i s m

f r o m

Ao n t o

C((A)).M o r e o v e r i f

Ad o e s n o t h a v e i d e n t i t y t h e n t h e G e l f a n d

t r a n s f o r m i s a n i s o m e t r i c

- i s o m o r p h i s m f r o m A

o n t o C0((A)).

T h e o r e m 1 . 0 . 1 9 . L e t A b e a i n v o l u t i v e B a n a c h a l g e b r a a n d B b e a C -a l g e b r a . I f

: A Bi s a

- h o m o m o r p h i s m t h e n

(x) x

f o r e v e r y x A

.

T h e o r e m 1 . 0 . 2 0 . L e t

A, Bb e t w o

C- a l g e b r a s . I f

i s a

- i s o m o r p h i s m o f

Ai n t o

B, t h e n

(x)

x

f o r e v e r y x A.

C o r o l l a r y 1 . 0 . 2 1 . A

- i s o m o r p h i s m o f a C

- a l g e b r a i n t o a n o t h e r C

- a l g e b r a

i s a n i s o m e t r y .

1

T

i s a a d j o i n t o f T

8


16/87

T h e o r e m 1 . 0 . 2 2 . I f

Ai s a

C- a l g e b r a t h e n t h e r e e x i s t s a a p p r o x i m a t e i d e n -

t i t y

{i} s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s

1 .0 i j i f i j

2 .

i 1 i.

D e n i t i o n 1 . 0 . 2 3 . L e t

Ab e a

C- a l g e b r a a n d

a l i n e a r f u n c t i o n a l o n

A.

W e s a y t h a t

i s a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l o n

Ai f

i s s u c h t h a t

(x) 0f o r e v e r y

x 0, i . e . f o r e v e r y p o s i t i v e e l e m e n t

x A.

L e t b e a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l o n A. T h e n

(x) = (x)f o r e v e r y

x A.

|(xy)|2 (xx)(yy)f o r e v e r y

x, y A. T h i s i s a n a n a l o g o f t h e

C a u c h y - S c h w a r t z i n e q u a l i t y

L e t

b e a l i n e a r f u n c t i o n a l o n a C

- a l g e b r a

Aw i t h i d e n t i t y e l e m e n t

e. T h e n

i s p o s i t i v e i f a n d o n l y i f i s b o u n d e d a n d = (e).

T h e o r e m 1 . 0 . 2 4 . L e tA

b e aC

- a l g e b r a . L e t

b e a p o s i t i v e l i n e a r f o r m .

T h e n t h e r e e x i s t s a u n i q u e ( u p t o u n i t a r y e q u i v a l e n c e ) c y c l i c

- r e p r e s e n t a t i o n

(, H, )w i t h t h e c y c l i c v e c t o r

,s a t i s f y i n g

(x) = (x)(), x A.

T h e r e f e r e n c e s f o r t h i s s e c t i o n a r e t h e b o o k s b y T a k e s a k a i [ 1 5 ] a n d P e d e r -

s o n [ 1 1 ] .

9


17/87

C h a p t e r 2

R e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f g r o u p s

T h e m a i n t h e m e o f t h i s c h a p t e r i s r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f g r o u p s a n d P e t e r -

W e y l t h e o r y o f c o m p a c t g r o u p s . I t h a s t h r e e s e c t i o n s . S e c t i o n 2 . 1 i s d e v o t e d

t o b a s i c p r o p e r t i e s o f r e p r e s e n t a t i o n s o f g r o u p s . I n s e c t i o n 2 . 2 , w e b r i n g o u t

t h e r e l a t i o n s h i p t h a t e x i s t s b e t w e e n u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s o f a g r o u p a n d

n o n - d e g e n e r a t e

- r e p r e s e n t a t i o n s o f i t s g r o u p a l g e b r a L1(G).

I n s e c t i o n 2 . 3

w e s t u d y t h e n o t i o n o f P e t e r - W e y l t h e o r y o f c o m p a c t g r o u p s . M a i n r e s u l t s i n

t h i s s e c t i o n a r e t h e c h a r a c t e r i z a t i o n i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f c o m p a c t

g r o u p s , S c h u r ' s t h e o r y , P e t e r - W e y l t h e o r y o f c o m p a c t g r o u p s . M o r e o v e r , w e

p a r a m e t e r i z e t h e i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f SU(2).

T h e p r i m a r y r e f e r -

e n c e s f o r t h i s c h a p t e r a r e S u g i u r a [ 1 4 ] a n d G . F o l l a n d [ 4 ] .

2 . 1 G e n e r a l t h e o r y

D e n i t i o n 2 . 1 . 1 . L e tG

b e a l o c a l l y c o m p a c t g r o u p . T h e n (, H)

i s s a i d t o

b e r e p r e s e n t a t i o n o f G

i f

1 . t h e m a p (g, v) (g)v

f r o m G H

t o

Hi s c o n t i n u o u s .

2 . : G GL(H)

i s a g r o u p h o m o m o r p h i s m .

1 0


18/87

D e n i t i o n 2 . 1 . 2 . L e tG

b e a t o p o l o g i c a l g r o u p . A u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n

o fG

i s a p a i r (, H)

w h e r e

Hi s a H i l b e r t s p a c e a n d

: G U(H)i s a

h o m o m o r p h i s m s u c h t h a t t h e m a p p i n g o f G H H

t h a t s e n d s (g, v)

t o

(g)vi s c o n t i n u o u s . H e r e

U(H)d e n o t e s t h e s e t o f u n i t a r y o p e r a t o r s o f

H.

T h e g r o u p G

i s s a i d t o a c t u n i t a r i l y o n H

o r s o m e t i m e s , G

i s s a i d t o a c t b y

u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o n H

.

E x a m p l e s

1 . L e t Sn b e t h e s y m m e t r i c g r o u p o n n s y m b o l s {1, 2,...,n}. W e m a y

c o n s i d e r

Sna s a t o p o l o g i c a l g r o u p w i t h d i s c r e t e t o p o l o g y . D e n e

:Sn GL(Cn) b y s e t t i n g ()x = (x(1),...,x(n)) f o r x = (x1,...,xn) Cn.

T h e n (,Cn)

.

2 . L e t G = C,

t h e a d d i t i v e g r o u p o f c o m p l e x n u m b e r s ,

H = C2.D e n e

(z) =

1 z0 1

, z C.

N o t e t h a t (z) GL(2,C).

T h e n (,C2)

i s a n o n - u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f

G.

3 . L e t G

b e a l o c a l l y c o m p a c t g r o u p a n d

H = L2(G).D e n e

((g)f)(x) = f(g1x), f o r a l l g G, f H.T h e n

g (g)i s a u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f

G. T h i s r e p r e s e n t a t i o n i s

s a i d t o b e l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n . S i m i l a r l y , i f w e d e n e

((g)f)(x) = f(xg),f o r a l l

g G, f H.T h e n t h e r e p r e s e n t a t i o n

g (g)i s s a i d t o b e r i g h t r e g u l a r r e p r e s e n -

t a t i o n .

D e n i t i o n 2 . 1 . 3 . A r e p r e s e n t a t i o n (,

H) i s s a i d t o b e u n i f o r m l y b o u n d e d

i f t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t C > 0 s u c h t h a t supg G

(g) C. H e r e (g)d e n o t e s t h e o p e r a t o r n o r m o f

(g).

A u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n i s u n i f o r m l y b o u n d e d , s i n c e (g)v = v, g.

O n e c a n a l s o o b s e r v e t h a t a n y c o n t i n u o u s r e p r e s e n t a t i o n o f a c o m p a c t g r o u p

i s u n i f o r m l y b o u n d e d .

I f(, H) i s n i t e d i m e n s i o n a l t h e n t h e d i m e n s i o n o f H i s c a l l e d t h e

d i m e n s i o n o f t h e r e p r e s e n t a t i o n ,

a n d d i m e n s i o n o f

i s d e n o t e d b y d.

1 1


19/87

D e n i t i o n 2 . 1 . 4 . L e t(1,

H1) a n d (2,

H2) b e t w o r e p r e s e n t a t i o n s o f G. A

b o u n d e d l i n e a r m a p T : H1 H2 i s c a l l e d a G- m a p o r i n t e r t w i n e s w i t h 1

a n d2 i f

T 1(g) = 2(g) T, f o r a l l g G.W e d e n o t e t h e a l g e b r a o f a l l

G- m a p s b y

HomG(H1, H2).

D e n i t i o n 2 . 1 . 5 . 1 . T w o r e p r e s e n t a t i o n s (1, H1) a n d (2, H2) a r e s a i d

t o b e e q u i v a l e n t i f t h e r e e x i s t s a G

- m a p T

s u c h t h a t T

i s o n e - t o - o n e ,

o n t o a n d

T1i s c o n t i n u o u s .

2 . T w o u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s (1, H1) a n d (2, H2) o f a g r o u p G i s s a i d

t o b e u n i t a r i l y e q u i v a l e n t i f t h e r e e x i s t s a G

- m a p T : H1 H2 w h i c h

i s u n i t a r y . T h a t i s ,

T u , T v = u, v,f o r a l l

u, v H1.

D e n i t i o n 2 . 1 . 6 . S u p p o s e (, H)

i s a r e p r e s e n t a t i o n o f G

o n t h e H i l b e r t

s p a c e

H.L e t

Hb e t h e d u a l o f

H.L e t

(g)u, v = u, (g1v ,f o r a l l

u H, v H, g G.T h e n

(, H)i s a r e p r e s e n t a t i o n o f

G.T h i s

r e p r e s e n t a t i o n i s c a l l e d t h e c o n t r a g r e d i e n t o f (, H).

D e n i t i o n 2 . 1 . 7 . L e t(, H)

b e a r e p r e s e n t a t i o n o f G.

I fV

i s a c l o s e d s u b -

s p a c e o f

Hs u c h t h a t

(g)V V,f o r a l l

g G.T h e n

Vi s s a i d t o b e

-

i n v a r i a n t . o r

G- s t a b l e .

N o t e t h a t V = {0}

a n dV = H

a r e t r i v i a l i n v a r i a n t s u b s p a c e s .

D e n i t i o n 2 . 1 . 8 . A r e p r e s e n t a t i o n (, H)

i s s a i d t o b e a n i r r e d u c i b l e

r e p r e s e n t a t i o n o f G

i fH

d o e s n o t h a v e a n y n o n - t r i v i a l c l o s e d

- i n v a r i a n t

s u b s p a c e .

E x a m p l e s

1 . A n y o n e d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f a n y g r o u p G

i s i r r e d u c i b l e .

2 . L e t G

a n d

Hb e a s i n e x a m p l e ( 2 ) . T h e n

(, H)i s n o t a i r r e d u c i b l e

r e p r e s e n t a t i o n o f G,

s i n c e

{(x, y) C2 : y = 0}i s a p r o p e r i n v a r i a n t

s u b s p a c e .

1 2


20/87

N o t a t i o n L e t G b e t h e s e t o f e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f i r r e d u c i b l e u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f

Ga n d l e t

Gb e t h e s e t o f e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f

u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f G.

L e m m a 2 . 1 . 9 . I f(, H)

i s a u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f G

a n d i f V H

i s a

- i n v a r i a n t s u b s p a c e t h e n

V = {u H : (u, v) = 0,f o r a l l

v V}i s a n

i n v a r i a n t s u b s p a c e .

P r o o f . W e c l a i m t h a t (g)V V.

L e tw V.

I fv

b e l o n g s t o V,

t h e n

w e s h a l l s h o w t h a t

(g)(w), v

= 0.

S i n c e (,

H)

i s a u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n ,

(g) = (g1). T h e r e f o r e ,

(g)(w), v = w, (g) v = w, (g1)v = 0.

H e n c e V

i s a n i n v a r i a n t s u b s p a c e .

D e n i t i o n 2 . 1 . 1 0 . L e t(, H)

b e a n y r e p r e s e n t a t i o n o f a t o p o l o g i c a l g r o u p

G.A n o n - z e r o v e c t o r

v Hi s s a i d t o b e c y c l i c i f t h e l i n e a r s p a n o f

{(g)v :g G}

i s a d e n s e s u b s p a c e o f

H.W e s a y t h a t

(, H)i s a r e p r e s e n t a t i o n w i t h

a c y c l i c v e c t o r

v.

R e m a r k : - I f(, H)

i s i r r e d u c i b l e , t h e n a n y n o n - z e r o v H

i s a c y c l i c v e c t o r .

P r o p o s i t i o n 2 . 1 . 1 1 . T w o u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s (1, H1) a n d (2, H2) a r e

e q u i v a l e n t i f a n d o n l y i f t h e y a r e u n i t a r i l y e q u i v a l e n t .

P r o o f . O n l y c o n v e r s e n e e d s t h e p r o o f . S u p p o s e (1, H1) a n d (2, H2) a r e

e q u i v a l e n t . T h e n t h e r e e x i s t s a G

- m a p T : H1 H2 s u c h t h a t T i s o n e - t o -

o n e , o n t o a n d T1

i s c o n t i n u o u s . L e t

,

a n d

( , )b e t h e i n n e r p r o d u c t s

f o r H1 a n d H2 , r e s p e c t i v e l y . N o w c o n s i d e r P = TT : H1 H1. W e t h e n h a v e

TTu , u = T u , T u = T u2 0,s i n c e

Ti s o n e - t o - o n e . T h u s

P

i s a p o s i t i v e o p e r a t o r o n

H1 w i t h r e s p e c t t o , . P h a s s q u a r e r o o t , s a y S.M o r e o v e r , a n y o p e r a t o r

Ac o m m u t e s w i t h

Pi f a n d o n l y i f

Ac o m m u t e s w i t h

S.

1 3


21/87

(Bu,Bv) = (T S1u , TS 1v)

= S1u, TT S1v= S1u, S2S1v= S1u,Sv= SS1u, v= u, v.

T h u s ,

B : (H1, , ) (H2, ( , )) i s a u n i t a r y o p e r a t o r . S i n c e

Ti s a

G- m a p ,

B 1(g) = T S1 (1(g)) = T 1(g)S1 = 2(g)T S1.T h e r e f o r e ,

B 1(g) = 2(g) B. H e n c e (1, H1) a n d (2, H2) a r e u n i t a r i l y e q u i v a l e n t .

2 . 2 R e p r e s e n t a t i o n s o f g r o u p a l g e b r a

D e n i t i o n 2 . 2 . 1 . L e t

Ab e a n i n v o l u t i v e B a n a c h a l g e b r a a n d l e t

Hb e a

H i l b e r t s p a c e . A


Ai s a

- h o m o m o r p h i s m

o f

Ai n t o t h e

C- a l g e b r a

BL(H).D e n i t i o n 2 . 2 . 2 . A


o f

L1(G)i s s a i d t o b e n o n d e g e n e r a t e

i f = 0

t h e n t h e r e e x i s t s a n e l e m e n t f

i nL1(G)

s u c h t h a t (f)() = 0.

R e m a r k 2 . 2 . 3 . A r e p r e s e n t a t i o n (, H)

o fL1(G)

i s n o n - d e g e n e r a t e i f a n d

o n l y i f t h e f o l l o w i n g h o l d s . F o r e v e r y v

i n

Hi f

(f)u, v = 0f o r a l l

ui n

Ha n d f o r a l l

fi n

L1(G)t h e n

v = 0.

F o r e v e r y u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f t h e g r o u p G

w e w a n t t o a s s o c i a t e a n o n -

d e g e n e r a t e - r e p r e s e n t a t i o n o f L1(G) i n a u n i q u e w a y .

L e m m a 2 . 2 . 4 . S u p p o s e t h a t

{f} i s a b o u n d e d a p p r o x i m a t e i d e n t i t y i n L1(G).

I f(f) I i n s t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y , t h e n i s n o n - d e g e n e r a t e .

P r o o f . S u p p o s e (f) I i n s t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y . T h e n f o r e v e r y i n

H, (f) . L e t i n H b e s u c h t h a t (f), = 0, f o r a l l H. T h e n , = 0,

f o r a l l H.

T h a t i s ,

, = 0.W h i c h i m p l i e s t h a t

= 0.B y

R e m a r k 2 . 2 . 3 ,

i s n o n - d e g e n e r a t e .

1 4


22/87

L e m m a 2 . 2 . 5 . I f(,

H)

i s a ( u n i f o r m l y b o u n d e d ) u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f

G,t h e n t o e a c h

i n

M(G)i f w e d e n e

()b y

()u, v =G

(g)u, vd(g),f o r a l l

u, v H.

t h e n () BL(H).

P r o o f . S i n c e (, H)

i s u n i f o r m l y b o u n d e d , t h e r e e x i s t s M > 0

s u c h t h a t

(g) M, g.T h e r e f o r e ,

|()u, v| = G

(g)u, v d(g)

G

|(g)u, v| d || g Muv.

w e g e t () BL(H).

T h e o r e m 2 . 2 . 6 . I f G

t h e n t h e r e e x i s t s


o nM(G)

s u c h t h a t |L1(G) i s n o n - d e g e n e r a t e .

P r o o f . D e n e : M(G) BL(H)

b y

(), =G

(x), d(x).

T h e n

i s a

- r e p r e s e n t a t i o n . F o r ,

( ), =G

(x), d( )(x)

= G

G

(xy), d(x) d(y)

=

G

G

(x)(y), d(x) d(y)

1 5


23/87

(

),

=

G()(y),

d(y)

=

G

(y), () d(y)

= (), () = ()(), .

W e d e d u c e t h a t ( ) = ()().

A l s o

(), = G

(x), d()(x)

=

G

(x1), d(x)

=

G

(x), d(x)

= (),

= ()

, .T h e r e f o r e

() = ().L e t

f b e a s i n ( 1 . 0 . 3 ) . T h e n {f} I i s a b o u n d e d a p p r o x i m a t e i d e n t i t y f o r

L1(G).W e c l a i m t h a t

|L1(G) i s n o n - d e g e n e r a t e . F i x

H.S i n c e

i s r e p r e s e n t a t i o n ,

x (x)i s c o n t i n u o u s a t e . T h a t i s ,

g i v e n > 0

t h e r e e x i s t s V0 s u c h t h a t , x V0 (x) < .

F o r e v e r y > 0,

(f) =G

f(x)(x) dx =

V

f(x)((x) ) dx

V

|f(x)| (x) dx

< .

V

|f(x)| dx.

= .

1 6


24/87

T h e r e f o r e , lim

(f) = . H e n c e (f)

I

i n s t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y . B y

L e m m a 2 . 2 . 4 , |L1(G) i s n o n - d e g e n e r a t e .

T h e o r e m 2 . 2 . 7 . S u p p o s e t h a t : L1(G) BL(H)

i s a


a n d i s n o n - d e g e n e r a t e . T h e n t h e r e e x i s t s a u n i q u e c o n t i n u o u s u n i t a r y r e p r e -

s e n t a t i o n : G BL(H)

s u c h t h a t = .

P r o o f . S e tK = [(L1(G)(H)].

B y h y p o t h e s i s , K

i s d e n s e i n H.

D e n e

(x)((f)) = (x f)().

W e c l a i m t h a t (x)

i s b o u n d e d o n K.

W e k n o w t h a t xff xf, f o r a l l

f L1(G), x G.S o t h a t

lim

(xff) = (xf). B y T h e o r e m 1 . 0 . 1 9 , w e h a v e

(x f) 1. T h e r e f o r e ,

(x)((f)) = (x f)()= lim

(x f f)()

lim

(x f)(f)()

(f)()

.

T h e r e f o r e (x)

i s b o u n d e d o n K.

H e n c e (x)

g e t s e x t e n d e d a s a n o p e r a t o r

o n

H.W e c l a i m t h a t

(xy) = (x) (y).

(xy)((f)()) = lim

(xy f f)()= lim

(x y f f)()

= lim

(x)(y f f)()= (x) (y)(f)().

T h e r e f o r e (xy) = (x) (y).

W e c l a i m t h a t

i s u n i t a r y .

B y T h e o r e m 1 . 0 . 1 9 , w e h a v e

= (x1)(x)() (x) .

W e d e d u c e t h a t (x) = .

H e n c e

i s u n i t a r y . N o w ,

(f)((g)) = (f g)()

1 7


25/87

S i n c e

i s a b o u n d e d l i n e a r m a p o n L1(G),

i t c o m m u t e s w i t h i n t e g r a t i o n .

T h e r e f o r e f o r e v e r y g L1(G),

(f)((g)) =

G

f(y)(y g)()dy.

=

G

f(y)(y)((g))dy.

= (f)((g)).

W e d e d u c e t h a t

= .F i n a l l y , s u p p o s e

1 i s a n o t h e r u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n

o f G s u c h t h a t 1(f) = (f) = (f), f L1(G). N o w , G

f(x)(x)u, vdx = (f)u, v = 1(f)u, v = G

f(x)1(x)u, vdx.

T h e r e f o r e

1(x)u, v = (x)u, v, f o r a l l x G, u,v H.H e n c e

1(x) = (x), f o r a l l x G, p r o v i n g t h e t h e o r e m .

2 . 3 P e t e r - W e y l t h e o r y o f c o m p a c t g r o u p s

2 . 3 . 1 I r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s a r e n i t e d i m e n s i o n a l

L e m m a 2 . 3 . 1 . (S c h u r ' s l e m m a

) S u p p o s e t h a t (, H)

i s a n i t e d i m e n s i o n a l


t h e n

i s i r r e d u c i b l e i f a n d o n l y i f t h e s e t o f a l l

i n t e r t w i n i n g o p e r a t o r s i s CI.

T h e o r e m 2 . 3 . 2 . L e t(, H)

b e a c o n t i n u o u s u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f a

l o c a l l y c o m p a c t g r o u p G

t h e n

i s i r r e d u c i b l e i f a n d o n l y i f t h e s e t o f a l l

i n t e r t w i n i n g o p e r a t o r s i s CI.

C o r o l l a r y 2 . 3 . 3 . L e t G b e a n a b e l i a n t o p o l o g i c a l g r o u p . T h e n a n y i r r e d u c i b l e


i s o n e d i m e n s i o n a l .

T h e o r e m 2 . 3 . 4 . I fG

i s c o m p a c t t h e n e v e r y i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n i s

n i t e d i m e n s i o n a l .

P r o o f . L e t1, 2 b e t h e x e d v e c t o r s i n H

L e t u s d e n e a m a p B1,2 o n H H a s f o l l o w s . B1,2 : H H C.

1 8


26/87

B1,2(1, 2) = G (g)1, 1 (g)2, 2dgC l e a r l y

B1,2 : H H C i s s e s q u i l i n e a r a n d ,

|B1,2(1, 2)| G

|(g)1, 1| |(g)2, 2|dg

||1|| ||2|| ||1|| ||2||G

||(g)|| ||(g)||dg.

B1,2 i s s e s q u i l i n e a r a n d , b o u n d e d . T h e n B y R i e s z r e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m ,

t h e r e e x i s t s a l i n e a r m a p s a y T1,2 f r o m H1 i n t o H2 a n d

B1,2(1, 2) = T1,2(1), 2.

N o w w e s h a l l p r o v e t h a t T1,2 i s a n i n t e r t w i n i n g m a p .

F o r a l l x G

a n d f o r e v e r y 1 H1, 2 H2 ,

(x)T1,21, 2 = T1,2(1), (x1)2 = B1,2(1, (x1)2)=

G

(g)1, 1(g)(x1)2, 2dg

= G(g)1, 1(gx1)2, 2)dg=

G

(gx)1, 1(g)2, 2dg

=

G

(g)(x)1, 1(g)2, 2dg= B1,2((x)1, 2)

= T1,2((x)1), 2= (T1,2 (x))1, 2.

S o ,

T1,2i s a n i n t e r t w i n i n g o p e r a t o r . B y S c h u r ' s l e m m a , w e k n o w t h a t t h e

s e t o f a l l i n t e r t w i n i n g o p e r a t o r s i s CI.

S o t h e r e e x i s t 1,2 C s u c h t h a t T1,2 = 1,2I i . e . ,

T1,21, 2 = 1,21, 2 = 1,2 1, 2S i m i l a r l y b y i n t e r c h a n g i n g t h e

1, 2 w i t h 1, 2 w e c a n g e t a l i n e a r o p e r a t o r

T1,2 o n H a n dT1,21, 2 = 1,21, 2 = 1,2 1, 2

1 9


27/87

B u t

T1,21, 2 = B1,2(1, 2)=

G

(g)1, 1 (g)2, 2dg

=

G

(g1)1, 1

(g1)2, 2

dg

=

G

(g1)1, 1 (g1)2, 2dg

= G (g)1, 1 (g)2, 2dg= B1,2(1, 2) = T1,21, 2= 1,2 1, 2

T h e r e f o r e

1,2 1, 2 = 1,2 1, 2 ( 2 . 3 . 1 ) L e t

1 = 2 = w h e r e i s u n i t v e c t o r i n HI f

1,2 = t h e n b y 2 . 3 . 1

G

(g)1, 1 (g)2, 2dg = 1, 2 1, 2

I f

Hi s n o t a n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e T h e n f o r e v e r y n t h e r e e x i s t a s e t

{ei : 1 i n}. L e t u s a p p l y t h e a b o v e f o r m u l a f o r a s e t o f o r t h o n o r m a l v e c t o r s .

nj=1

, ej, ej = nj=1

(x), ej (x), ej dx ( 2 . 3 . 2 ) =

nj=1

(x), ej (x), ej dx ( 2 . 3 . 3 )

n n

j=1

| (x), ej |2 dx

2 0


28/87

b y P a r s e v a l ' s i n e q u a l i t y . S o ,

n

(x)2 dx = 1

H e n c e , f o r e v e r y n , || 1

nw h i c h f o r c e s t h a t

= 0.

B u t t h e n , i f = 0

t h e n ,

| (x)1, 1 |2 dx = 0 f o r e v e r y 1, 1 a n d x Gi . e . ,

(e), = 0. B u t ,

, = 0. S o ,

i s n o n z e r o w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n .

S o , o u r s u p p o s i t i o n t h a t

Hi s n o t n i t e d i m e n s i o n a l i s w r o n g . H e n c e , e v e r y

i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n o f a c o m p a c t g r o u p i s n i t e d i m e n s i o n a l .

2 . 3 . 2 S c h u r ' s t h e o r y

T h e o r e m 2 . 3 . 5 . L e tG

b e a c o m p a c t g r o u p a n d ( , H

) b e a n o n u n i t a r y

r e p r e s e n t a t i o n o f G

o nH

w i t h t h e i n n e r p r o d u c t ,

. T h e n , t h e r e e x i s t s a n

i n n e r p r o d u c t

, u o n H s u c h t h a t , i s e q u i v a l e n t t o , u a n d ( , H ) i sa u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o n

Hw i t h t h e i n n e r p r o d u c t

, u .T h e o r e m 2 . 3 . 6 . ( S c h u r ' s o r t h o g o n a l i t y r e l a t i o n s ) L e t (

, H1 ) a n d (, H2)a r e i r r e d u c i b l e u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s o f c o m p a c t g r o u p

Go n

Hi r e s p e c t i v e l y . 1 . I f i s n o t e q u i v a l e n t t o t h e n , (g)1, 1(g)2, 2dg = 02 . I f

i s e q u i v a l e n t t o

T h e n , (g)1, 1(g)2, 2dg = 1

d1, 21, 2

w h e r e i, i i = 1 , 2 a r e x e d v e c t o r s i n Hi i = 1 , 2 r e s p e c t i v e l y .

P r o o f . L e t

1, 2 b e t h e x e d v e c t o r s i n H1, H2 r e s p e c t i v e l y . L e t u s d e n e a m a p

B1,2o n H1 H2 a s f o l l o w s

B1,2(1, 2) =

G

(g)1, 1(g)2, 2dg ( 2 . 3 . 4 )

C l e a r l y , B1,2 : H1 H2 C i s s e s q u i l i n e a r a n d ,

|B1,2(1, 2)| G

|(g)1, 1| |(g)2, 2|dg

||1|| ||2|| ||1|| ||2||G

||(g)|| ||(g)||dg.

2 1


29/87

W e k n o w t h a t a l l r e p r e s e n t a t i o n s o f a c o m p a c t g r o u p a r e u n i f o r m l y b o u n d e d

i . e . , f o r a n y r e p r e s e n t a t i o n

t h e n

C >0 s u c h t h a t

||(g)|| C g G.

S o , t h e r e e x i s t s M1, M2 > 0 s u c h t h a t g G, ||(g)|| M1, ||(g)|| M2 .

S o , b y t h e a b o v e ,

|B1,2(1, 2)| M1M2||1|| ||2|| ||1|| ||2|| .T h e r e f o r e

B1,2 i s s e s q u i l i n e a r a n d b o u n d e d , B y R i e s z r e p r e s e n t a t i o n

t h e o r e m , t h e n t h e r e e x i s t s a l i n e a r m a p s a y T1,2 f r o m H1 i n t o H2 a n d

B1,2(1, 2) = T1,2(1), 2 .N o w w e s h a l l p r o v e t h a t

T1,2 i s a n i n t e r t w i n i n g m a p .

F o r a l l x G

a n d f o r e v e r y 1 H1, 2 H2 ,

(x)T1,21, 2 = T1,2(1), (x1)2 = B1,2(1, (x1)2)=

G

(g)1, 1(g)(x1)2, 2dg

=

G

(g)1, 1(gx1)2, 2)dg

=

G

(gx)1, 1(g)2, 2dg

=

G

(g)(x)1, 1(g)2, 2dg

= B1,2((x)1, 2)= T1,2((x)1), 2= (T1,2 (x))1, 2.

S o ,T1,2 i s a n i n t e r t w i n i n g o p e r a t o r .

L e t ( , H1 ) a n d ( , H2 ) b e t w o n i t e d i m e n s i o n a l i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s

o fG

o nHi , i = 1 , 2 r e s p e c t i v e l y . T h e n , t h e s e t o f a l l i n t e r t w i n i n g o p e r a t o r s

f r o m

H1 i n t o

H2

=

{0

} i f


.

S i n c e

i s n o t e q u i v a l e n t t o

,T1,2 0 . 1 H1, 2 H2,

T1,21, 2 = B1,2(1, 2) =G

(g)1, 1(g)2, 2dg = 0.

S u p p o s e ( , Hi ) a n d ( , H2 ) a r e e q u i v a l e n t t o ( , H ) . L e t d = d e g . T h e n ,

1, 2, 1, 2 H,

(x)1, 1(x)2, 2 dx = 1d

1, 21, 2.

2 2


30/87

L e t

{ei : 1

i

d

}b e a n o r t h o n o r m a l b a s i s a n d

e0 b e t h e i d e n t i t y e l e m e n t .

P r o c e e d i n g a s w e d i d i n t h e p r o o f o f t h e o r e m 2 . 3 . 4 w e g e t t h e e q u a t i o n ( 2 . 3 . 2 )

a s ,

d =

G

nj=1

|(x)e0, ej|2 dx =G

||(x)e0||2 dx = 1 i . e . , = 1d

H e n c e ,

(g)1, 1(g)2, 2dg = 1d 1, 21, 2 w h e r e i, i i = 1 , 2 a r e x e d v e c t o r s i n

H.

D e n i t i o n 2 . 3 . 7 . L e t ( , H

) b e a n y n i t e d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f

G. T h e n t h e f u n c t i o n

g trace of (g)i s c a l l e d t h e c h a r a c t e r o f

a n d i s

d e n o t e d b y . i . e . , : G C , (g) = T r a c e o f ( ( g ) ) f o r e v e r y g G.

D e n i t i o n 2 . 3 . 8 . L e tG

b e a l o c a l l y c o m p a c t g r o u p . A f u n c t i o n f : G C

i s s a i d t o b e a c l a s s f u n c t i o n , i f f

d e p e n d s o n l y o n t h e c o n j u g a c y c l a s s e s

i . e . , f o r e v e r y x, y G, f(yxy1) = f(x).

P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 9 . L e t(,

H)

a n d(,

V)

b e a n y n i t e d i m e n s i o n a l r e p r e -

s e n t a t i o n s o f a g r o u p G T h e n

( i ) I f

(, H)i s e q u i v a l e n t t o

(, V)t h e n

= .

( i i ) i s a c l a s s f u n c t i o n .

( i i i ) = + .

( i v ) (e) = dim()

T h e o r e m 2 . 3 . 1 0 . L e tG

b e a c o m p a c t g r o u p , s u p p o s e (,

H)

a n d(,

V)

b e

a n y t w o i r r e d u c i b l e u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s . T h e n ,

, L2(G) =

0i f

(, H)a n d

(, V)a r e n o t e q u i v a l e n t

1i f

(, H)a n d

(, V)a r e e q u i v a l e n t

P r o o f . O b s e r v e t h a t (g) =

i

(g)ei, ei w h e r e {ei}i i s o r t h o n o r m a l b a s i s , p r o o f f o l l o w s f r o m S c h u r ' s o r t h o g o n a l i t y r e l a t i o n s .

2 3


31/87

2 . 3 . 3 P e t e r - W e y l t h e o r y

D e n i t i o n 2 . 3 . 1 1 . L e t G b e t h e c o m p a c t g r o u p a n d ( , H

) b e a r e p r e -

s e n t a t i o n o f G

. F o r e v e r y u, v

i nH

t h e f u n c t i o n u,v(x) = (x)u, v i s a

c o n t i n u o u s f u n c t i o n a n d i s c a l l e d m a t r i x c o e c i e n t s o f r e p r e s e n t a t i o n (, H)

.

N o t e : S o m e t i m e s w e w i l l d e n o t e u,v b y u,v.

L e t(, H)

b e a u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f G

o n a n i t e d i m e n s i o n a l H i l b e r t

s p a c e H

. W e c h o s e t h e o r t h o n o r m a l b a s i s {e1, e2, en} o f H . W i t h r e s p e c t

t o t h i s b a s i s e a c h

(g)i s r e p r e s e n t e d b y u n i t a r y m a t r i x :

(g) = (i,j(g))1i,jn.

R e c a l l t h a t

(g)ei =

i,j(g)ej

S o t h a t

(g)ei, ej = i,j(g)T h i s s h o w s t h a t t h e f u n c t i o n

g (g)ei, ej = i,j(g)i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n

G. N o t e t h a t i f

i s u n i t a r y

i,j(g) = (g)ei, ej = ei, (g1)ej = (g1)ej, ei = j,i(g1) .

N o t a t i o n : L e tB(G)

d e n o t e t h e s e t o f a l l m a t r i x c o e c i e n t s o f r e p r e s e n -

t a t i o n t o a l l n i t e d i m e n s i o n a l c o n t i n u o u s u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s .

P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 1 2 . B(G)

i s a n a l g e b r a c o n t a i n e d i n C(G)

w h i c h i s c l o s e d

u n d e r c o n j u g a t i o n . A l s o B(G)

c o n t a i n s c o n s t a n t f u n c t i o n s .

P r o o f . S u p p o s e t h a t B(G)

. T h e n , = u,v w h e r e u, v H , i s n i t e

d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n .

(x) = u,v(x)

= (x)u, v= (x)u,v= u,v(x)

2 4


32/87

S o , f o r e v e r y

B(G)

,

B(G)

.

L e t1 = u1,v1, 2 =

u2,v2 a r e a n y t w o a r b i t r a r y e l e m e n t s o f

B(G)

C l a i m : -

1 + 2 = (u1,u2),(v1,v2)

. F o r ,

(u1,u2),(v1,v2)(x) = (x)(u1, u2), (v1, v2)= ((x)u1, (x)u2), (v1, v2)= (x)u1, v1 + (x)u2, v2= 1 + 2.

C l a i m : - I f(x) =

()(u1u2),(v1v2)

(x)t h e n ,

(x) = 1(x)2(x)

(x) = (x)(u1 u2), (v1 v2) = (x) (x)(u1 u2), (v1 v2)= (x)u1, v1 (x)u2, v2= 1(x)2(x).

L e t(x) = u,v(x). T h e n , (x) =

u,v(x) = (x)u, v = v,u(x) 1 .

S o , B(G)

i . e . , B(G)

i s c l o s e d u n d e r c o n j u g a t i o n .

L e t d e n o t e t h e t r i v i a l r e p r e s e n t a t i o n g i v e n b y (x) = IH w h e r e IH d e n o t e s

t h e i d e n t i t y o p e r a t o r o n H

. L e t u H b e s u c h t h a t u, u = 1

i . e . , u,u(x) = (x)u, u = u, u = 1. S o , 1 B(G).

H e n c e t h e t h e o r e m i s p r o v e d .

T h e o r e m 2 . 3 . 1 3 . B(G)

i s d e n s e i n

C(G).

P r o o f . W e p r o v e t h i s t h e o r e m , u s i n g G e l f a n d R a i k o v t h e o r e m w h i c h i s g i v e n

b e l o w .

T h e o r e m 2 . 3 . 1 4 . ( G e l f a n d R a i k o v ' s t h e o r e m ) L e t G b e a l o c a l l y c o m p a c t

g r o u p . T h e n , G

h a s s u c i e n t l y m a n y i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s t o s e p a r a t e

p o i n t s o f G

. i . e . , f o r e v e r y x, y G, x = y

t h e n t h e r e e x i s t s a n i r r e d u c i b l e

r e p r e s e n t a t i o n

o fG

s u c h t h a t (x) = (y)

.

W e u s e S t o n e W e i e r s t r a s s t h e o r e m t o s h o w t h a t B(G)

i s d e n s e i n C(G).

T o w a r d s t h a t , w e r s t v e r i f y t h a t B(G)

s e p a r a t e s p o i n t s o f G

.

1

(x) = (x1)

2 5


33/87

L e tx, y

G

a n dx

= y

. N o w w e c l a i m t h a t t h e r e e x i s t s

B(G),

(x) = (y). B y G e l f a n d R a i k o v ' s t h e o r e m t h e r e e x i s t s a n i r r e d u c i b l e r e p r e -

s e n t a t i o n

o nG

s u c h t h a t (x) = (y)

i . e . , t h e r e e x i s t s a t l e a s t o n e e l e m e n t

s a y

u Hs u c h t h a t

(x)u = (y)u. S o , t h e r e e x i s t s a t l e a s t o n e e l e m e n t

s a yv H

s u c h t h a t (x)u, v = (y)u, v

i . e . , u,v(x) = u,v(y). H e n c e

t h e c l a i m .

W e k n o w t h a t B(G)

i s a s u b a l g e b r a o f

C(G)c l o s e d u n d e r c o m p l e x

c o n j u g a t i o n . B y S t o n e W e i e r s t r a s s T h e o r e m B(G)

i s d e n s e i n

C(G).

T h e o r e m 2 . 3 . 1 5 . L e t(, H) b e a i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n o f G. L e t

{e1, e2, . . . , ed} b e a n o r t h o n o r m a l b a s i s f o r H w i t h d i m (H) = d . T h e n s e t

{di,j : 1 i, j d : G} i s a n o r t h o n o r m a l b a s i s f o r L2(G).T h e o r e m 2 . 3 . 1 6 . A n y

f L2(G)c a n b e w r i t t e n a s

f(y) = G

1i,jd

d

f, i,j

i,j(y) =

d

G

f(x)(xy1)dx

w h e r e t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s i s w i t h r e s p e c t t o t h e L2

n o r m .

P r o o f . B y P e t e r - W e y l t h e o r e m , t h e f u n c t i o n s {di,j : 1 i, j d : G}

f o r m a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f L2(G)

. T h u s ,

f = G

di,j=1

d

f, i,j

i,j ( 2 . 3 . 5 )

N o w i t i s e n o u g h t o s h o w t h a t

f

= i,j f,

i,j

i,j

N o w

f (x) =

f(xy1)(y)dy

=

f(y1)(y, x)dy

=

f(y1)

i

ii(y, x)dy

2 6


34/87

f

(x) = f(y1)i,k i,k(y)k,i(x)dy=

i,k

k,i(x)

f(y1)i,k(y)dy

=i,k

k,i(x)

f(y)i,k(y

1)dy

=i,k

k,i(x)

f(y)i,k(y)dy

= i,j f, i,ji,j.

D e n i t i o n 2 . 3 . 1 7 . F o r a n y f L2(g), G

, l e t

fb e d e n e d o n

Gf() = f(x1)(x)dx

T h e n

f

i s k n o w n a s t h e ( o p e r a t o r v a l u e d ) F o u r i e r t r a n s f o r m o f f

. N o t e t h a t

f() i s a i n t e r t w i n i n g o p e r a t o r o n H .I f

Hi s n i t e d i m e n s i o n a l v e c t o r ( c o m p l e x v a l u e d ) s p a c e , a n d

Ai s a

i n t e r t w i n i n g o p e r a t o r o n H

, t h e n t h e H i l b e r t S c h m i d t n o r m AH.S d e n e d

o fA

i s d e n e d A2H.S = tr(AA) .

P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 1 8 . A n yf L2(G)

h a s t h e F o u r i e r e x a c t i o n

f(g) = G

dtr(f()(g))I n p a r t i c u l a r ,

1 .

f(e) = G

dtr(f() ( F o u r i e r i n v e r s i o n f o r m u l a ) 2 .

f = G

df()2H.S ( F o u r i e r P a r s e v a l R e l a t i o n )

2 7


35/87

P r o o f . N o w w e p r o v e 1

tr(f()(g)) = i

(f()(g))i,i=

i

f()(g)ei, ei=

i

f(x1) (x)(g)ei, ei dx

=

i

f(x1)i,i(xg)dx

= i

f(x1)j

i,j(x)j,i(g)dx

=i,j

j,i(g)

f(x)i,j(x

1)dx

=i,j

j,i(g)

f(x)j,i(x)dx

=i,j

j,i(g)

f, j,i

T h i s i s f o l l o w s f r o m t h e o r e m 2 . 3 . 1 6

2 ) L e t = f f

w h e r e f = f(x1)

N o w w e a p p l y 1 ) t o

w e g e t t h e 2 ) .

2 . 3 . 4 R e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f SU(2)

L e tG

b e t h e s p e c i a l u n i t a r y g r o u p o f o r d e r 2

SU(2) = {g U(2) : detg = 1}= : ||2 + ||2 = 1; , C

SU(2)i s o b v i o u s l y h o m o m o r p h i c t o t h e u n i t s p h e r e i n

C2 = R4a n d h e n c e

c o m p a c t . G

H a s a n a t u r a l r e p r e s e n t a t i o n o n V = C2

v i z . , t h e i d e n t i t y

r e p r e s e n t a t i o n g g GL(V)

. T h u s

g.x =

z1z2

=

z1 + z2z1 z2

C2

2 8


36/87

F o r a l l n

0

, l e t

Hn b e t h e s e t o f h o m o g e n e o u s p o l y n o m i a l s o f d e g r e e n i n

t w o v a r i a b l e s z1, z2. i . e .

Hn =

(z1, z2) =nk=0

kzk1z

nk2 : k C

C l e a r l y

Hn i s (n + 1) d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e s p a n n e d b y r w h e r e r =z1nz2

nr, 0 r n. W e d e n e a i n n e r p r o d o c t

, o n

Hn b y

k, r = 0 if k = r

a n d

k, k = k!(n k)!T h e n f o r

f, g Hn, f(z) =

r rz1nz2

nra n d

g(z) =

r rz1nz2

nr,

f, g = r!(n r)!rr.F o r e a c h

n 0,let Hn b e a H i l b e r t s p a c e d e n e d a b o v e I f g SU(2) , d e n e d a l i n e a r m a p

n(g) o n Hn b y

n(g)f(z) = f(g1

z), f HnI t i s e a s y t o s e e t h a t t h e m a p

g n(g) f r o m SU(2) t o GL(Hn) i s r e p r e s e n - t a t i o n o f

SU(2)

R e m a r k 2 . 3 . 1 9 . L e t

T =

t() =

ei 00 ei

: [, ]

T

i s c l e a r l y H o m o m o r p h i c t o S1.

1 . E v e r y e l e m e n t o f SU(2)

i s c o n j u g a t e t o a n e l e m e n t o f T

a n d t h a t t()

i s c o n j u g a t e t o t(), [, ]

2 . L e t f Hn t h e n n(t())f = ei(n2k)f f o r a l l [, ] i f a n d o n l y

i ff = ck f o r s o m e c o n s t a n t c .

T h e o r e m 2 . 3 . 2 0 . F o r e a c h n 0

t h e r e p r e s e n t a t i o n (n, Hn) o f SU(2) i s

a n i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n .

2 9


37/87

P r o o f . B y S c h u r ' s l e m m a , i t i s s u c i e n t t o s h o w t h a t i f A :

Hn

Hn i s

l i n e a r s u c h t h a t A n(g) = n(g) A f o r a l l g G t h e n A = I f o r s o m e

CC o n s i d e r t h e s u b g r o u p

T =

t() =

ei 00 ei

: 0 2

. T h e n

n(t())r = ei(n2r)r , f o r a l l a n d 0 r n T h u s o n e d i m e n s i o n a l

s u b s p a c e Cr , i s i n v a r i a n t u n d e r n(T) f o r a n y r .

T h u s e a c h r i s a c o m m o n e i g e n v a l u e f o r a l l n(t() w i t h e i g e n v a l u e f o r

a l ln(t()) w i t h e i g e n v a l u e e

i(n2r).S i n c e

Hn = Cr, Hn i s t h e d i r e c t s u m o f s i m u l t a n e o u s e i g e n s u b s p a c e s o f

n(T) I n p a r t i c u l a r n(t()) = ei(n2r)

f o r s o m e Hn i i s a s c a l a r m u l t i p l e o f r . W e n o w s h o w t h a t e a c h Cr

i s i n v a r i a n t u n d e r A

.

n(t())Ar = A n(t())r = Aei(n2r)r = ei(n2r)Ar

T h u s Ar i s a e i g e n v e c t o r o f n(t()) w i t h e i g e n v a l u e e

i(n2r). T h e r e f o r e

Ar = rr f o r s o m e r C .

T o c o n c l u d e t h e p r o o f o f t h e c l i m e w e m u s t s h o w t h a t a l l r ' s a r e e q u a l .

T o t h i s e n d c o n s i d e r t h e s u b g r o u p K

:

K = SO(2) =

k() =

cos sinsin cos

; 0 2

SU(2)

W e c o n s i d e r t h e a c t i o n o f t h e s u b g r o u p o n e i g e n s p a c e {Cr}

n(k())n(z) = (z1cos + z2sin)n

=

nr

cosrsinnrr ( 2 . 3 . 6 )

n(k()) An(z) = n(k())nn= nn(k())n

= n

r


A n(k())n = A n

r

cosrsinnrr

=

r

nr


3 0


38/87

F r o m 2 . 3 . 6 a n d 2 . 3 . 7 a n d t h e f a c t t h a t n(k())

A = A

n(k()) f o r a l l

, w e c o n c l u d e t h a t

n = r f o r 0 r n. H e n c e w e h a v e p r o v e d (n.Hn) i sa n i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n o f

G.

R e m a r k s

1 . L e t f

b e a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n SU(2)

s u c h t h a t f(hgh1) = f(g)

h, g SU(2)( R e c a l l t h a t s u c h f u n c t i o n s a r e c a l l e d c l a s s f u n c t i o n ) .

T h e n

SU(2)f(g)dg =

2

0

f(h())sin2 d

2 . L e t n 0

a n dn t h e c h a r a c t e r o f t h e r e p r e s e n t a t i o n (n.Hn) t h e n

n(h()) =sin(n + 1)

sin , w h e r e

= 0, , ;a n d

n(h(0)) = n + 1,

n(h()) = (1)n(n + 1) = n(h()).

T h e o r e m 2 . 3 . 2 1 . L e t(, H)

b e a n i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n o n SU(2)

. T h e n


(n, Hn) f o r s o m e n .

P r o o f . L e t d e n o t e t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f r e p r e s e n t a t i o n (, H) . W e

c o n s i d e r

a s a f u n c t i o n o n

S

1

Ta n d w r i t e

(h()) = . I f

(, H)i s n o t

e q u i v a l e n t t o a n y

(n, Hn), B y S c h u r ' s o r t h o g o n a l i t y r e l a t i o n s , n = 0f o r a l l

n 0.S i n c e

i s a c l a s s f u n c t i o n ,

22 =2

0

|()|2 sin2 d.

L e t() = ()sin ; then i s a n o d d f u n c t i o n o n [, ]. H e n c e (0) = 0,

a n d f o r n 1

(n) = 12

()eind

=i

0

()sin nd

=i

0

()sin sin nd

=i

0

()n1()sin2

= i2

, n1

3 1


39/87

S i m i l a r l y (n) = i2 , n1 . H e n c e b y t h e P l a n c h e r e l t h e o r e m f o r L2(S1) ,w e g e t

22 = 2(n)2 = 12 | , n1 |2 = 0,b y o u r a s s u m p t i o n . H e n c e

= o , w h i c h c o n t r a d i c t s t h e h y p o t h e s i s t h a t

i s a n i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n .

N o t e : - E v e r y i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n o n SU(2)

i s e q u i v a l e n t t o (n, Hn)

f o r s o m e n .

3 2


40/87

C h a p t e r 3

F o u r i e r a l g e b r a s

T h i s c h a p t e r c o n s t i t u t e s t h e m a i n c h a p t e r o f t h i s d i s s e r t a t i o n . I n t h i s c h a p t e r

w e a s s o c i a t e a C

a l g e b r a f o r e v e r y l o c a l l y c o m p a c t g r o u p i n s u c h a w a y t h a t


l i f t s i n t o a n o n - d e g e n e r a t e


t h i s

C- a l g e b r a s o t h a t t h e f u l l f o r c e o f t h e

C- a l g e b r a t h e o r y c a n b e u s e d t o

u n d e r s t a n d t h e g r o u p s . I t h a s t w o s e c t i o n s . I n S e c t i o n 3 . 1 , w e c o n s t r u c t t h e

e n v e l o p i n g C

- a l g e b r a a n d r e d u c e d C

- a l g e b r a o f a g r o u p . U s i n g C

- a l g e b r a

t h e o r y , w e s h o w t h a t t h e d u a l o f e n v e l o p i n g C

- a l g e b r a i s t h e B a n a c h s p a c e

o f o f a l l m a t r i x c o e c i e n t s c o r r e s p o n d i n g t o a l l u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s o f G.

T h e s t u d i e s w e c a r r y o u t h e r e , g i v e r i s e t o t w o B a n a c h a l g e b r a s , c a l l e d F o u r i e r

S t i e l t j e s a l g e b r a a n d F o u r i e r a l g e b r a , w h i c h w e s t u d y i n e n d o f S e c t i o n 3 . 1

a n d S e c t i o n 3 . 2 r e s p e c t i v e l y .

3 . 1 F o u r i e r - S t i e l t j e s a l g e b r a

P r o p o s i t i o n 3 . 1 . 1 . I f

. i s d e n e d o n

L1(G)b y

f = sup {(f) : i s a n y n o n - d e g e n e r a t e


}( 3 . 1 . 1 )

t h e n i t d e n e s a n o r m o n L1(G).

M o r e o v e r , t h e c o m p l e t i o n o f L1(G)

w i t h

r e s p e c t t o t h i s n o r m i s a C

- a l g e b r a .

P r o o f . C l e a r l y ,

f + g || f + g

3 3


41/87

S u p p o s e t h a t

f

= 0.

T h e n (f) = 0

w h e r e : L1(G)

BL(L2(G))

i s t h e l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n . A s

i s a f a i t h f u l r e p r e s e n t a t i o n , w e h a v e

f = 0. T h e r e f o r e

. i s i n d e e d a n o r m a n d

f f f.g,f o r e v e r y

f L1(G).A l s o

(f f) = (f).(f) = (f)2. T h e n

sup (f f) = sup x(f)2

= (sup (f))2 .

T h e r e f o r e ,

f

f = (

f)2

T h a t i s

. i s a

C- n o r m . T h e r e f o r e , t h e c o m p l e t i o n o f

(L1(G), . )i s a

C- a l g e b r a

D e n i t i o n 3 . 1 . 2 . T h eC

- a l g e b r a o b t a i n e d a b o v e i s c a l l e d f u l l C

- a l g e b r a o f

Ga n d i s d e n o t e d b y

C(G).

F r o m t h e p r e c e d i n g p r o o f w e o b s e r v e t h a t i n s t e a d o f t a k i n g a l l u n i t a r y r e p -

r e s e n t a t i o n s i n t h e e q u a t i o n ( 3 . 1 . 1 ) , i f w e t a k e t h e l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n

a l o n e , w e g e t a n o t h e r

C

- a l g e b r a w h i c h i s c a l l e d r e d u c e d

C

- a l g e b r a o f

G.

D e n i t i o n 3 . 1 . 3 . T h e c l o s u r e o f

- s u b a l g e b r a (L1(G))

i nBL(L2(G))

i s a

C- a l g e b r a a n d i s c a l l e d r e d u c e d

C- a l g e b r a o f

G.

W e d e n o t e t h i s C

- a l g e b r a b y C(G) .

P r o p o s i t i o n 3 . 1 . 4 . S u p p o s e t h a t t h e g r o u p G

i s a b e l i a n . T h e n t h e f u l l C

-

a l g e b r a o f

Gi s i d e n t i e d w i t h

C0(

G).

P r o o f . I f

(, H)i s a u n i t a r y i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n o f

Gt h e n b y S c h u r ' s

l e m m a i t i s g i v e n b y o n e - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n . T h a t i s , t h e r e e x i s t s

a c h a r a c t e r s u c h t h a t (x) = (x), f o r e v e r y x G. g o i n g t o

i d e n t i e s

Gw i t h t h e d u a l g r o u p . R e c a l l t h a t i n t h i s c a s e

Gi s a l o c a l l y

c o m p a c t a b e l i a n g r o u p a n d i s c a l l e d d u a l g r o u p w i t h t h e G e l f a n d t o p o l o g y .

3 4


42/87

N o w

(f) =G

f(x)(x) dx.

=

G

f(x)(x) dx.

=

G

f(x)(x1) dx.

=

f(), w h e r e = (x

1).

T h e r e f o r e ,

f = sup G

(f) = sup G

f() = f, s i n c e G.S i n c e

C(G)i s t h e c o m p l e t i o n o f

(L1(G), . )a n d

(L1(G)) = G,w e h a v e

C(G)i s t h e c o m p l e t i o n o f

{f C0(G) : . norm}. S i n c e L1(G) i sT a u b e r i a n , ( r e f e r T h e o r e m 1 . 0 . 1 3 ) ,

{f :

f Cc(

G)}

i s d e n s e i n L1(G).

T h e r e f o r e C(G) = C0(G).

P r o p o s i t i o n 3 . 1 . 5 . I f

i s a n y

- r e p r e s e n t a t i o n o f L1(G)

, t h e n

g e t s e x -

t e n s i o n t o a

- r e p r e s e n t a t i o n o f C(G).

P r o o f . W e k n o w t h a t L1(G)

i s d e n s e i n C(G)

F o r e v e r y f L1(G),

(f) sup(f) : i s a n y r e p r e s e n t a t i o n

(f) f

S o ,

d e n e s a b o u n d e d

- h o m o m o r p h i s m f r o m (L1(G),

.

)

i n t o BL(

H).

T h u s g e t s e x t e n d e d t o C(G).

R e m a r k s : -

1 . I f

i s a n y n o n - d e g e n e r a t e r e p r e s e n t a t i o n o f L1(G)

t h e n i t i s i r r e d u c i b l e

i f a n d o n l y i f t h e e x t e n s i o n o f

t oC(G)

i s i r r e d u c i b l e .

2 . I f 1 a n d 2 a r e t w o n o n - d e g e n e r a t e r e p r e s e n t a t i o n s o f L

1(G)t h e n t h e y

a r e e q u i v a l e n t i f a n d o n l y i f t h e i r e x t e n s i o n s t o C(G)

a r e e q u i v a l e n t .

3 5


43/87

3 . W e o b s e r v e t h a t t h e r e i s a b i j e c t i v e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e u n i t a r y

r e p r e s e n t a t i o n s o f G

a n d n o n - d e g e n e r a t e

- r e p r e s e n t a t i o n s o f C(G)

s u c h t h a t i r r e d u c i b l e o n e s g o i n t o i r r e d u c i b l e o n e s . M o r e o v e r t h i s i d e n -

t i c a t i o n r e s p e c t s e q u i v a l e n c e r e l a t i o n a m o n g t h e r e p r e s e n t a t i o n s .

T h e o r e m 3 . 1 . 6 . L e t

Ad e n o t e t h e

C- a l g e b r a o b t a i n e d b y c o m p l e t i n g

L1(G)

w i t h

w h e r e

f = sup(f) : G.

T h e n C(G)

a n d

Aa r e

i s o m e t r i c a l l y

- i s o m o r p h i c .

P r o o f . D e n e : (L1(G), . ) (A, . ) .

T h e n (f) f.

S o

e x t e n d e d i n t o a - h o m o m o r p h i s m f r o m C(G) i n t o A. W e c l a i m t h a t i s i n j e c t i v e . S u p p o s e

(f) = 0, f C(G).T h e n

(f) = 0, G.B y G e l f a n d R a i k o v T h e o r e m ,

f = 0.T h e r e f o r e

i s i n j e c t i v e . B y C o r o l -

l a r y 1 . 0 . 2 1 , w e h a v e

(f) = f, f C(G).

T h e r e f o r e , (C(G))

i s c l o s e d i n A.

T h u s (C(G)) = A.

H e n c e A

i sC

- c o m p l e t i o n o f (L1(G), . ).

R e m a r k 3 . 1 . 7 . T h e B a n a c h s p a c e d u a l [C(G)]

o fC(G)

i s g i v e n b y

{, : , H, i s a u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o f G} . ( 3 . 1 . 2 )

M o r e o v e r t h e w e a k

- t o p o l o g y o n

[C(G)]i s e q u i v a l e n t t o t h e t o p o l o g y o f

u n i f o r m c o n v e r g e n c e o n c o m p a c t a . F o r t h e p r o o f a n d o t h e r d e t a i l s w e r e f e r t o

D i x m i e r [ 1 ]

D e n i t i o n 3 . 1 . 8 . T h e B a n a c h s p a c e d u a l [C(G)]

o f t h e C

- a l g e b r a o f G

i s c a l l e d F o u r i e r - S t i e l t j e s a l g e b r a o f G a n d i s d e n o t e d b y B(G).

L e t u s s e e f r o m t h e f o l l o w i n g t h e o r e m t h a t i t i s i n f a c t a B a n a c h a l g e b r a .

T h e o r e m 3 . 1 . 9 . B(G)

f o r m s a B a n a c h a l g e b r a w i t h u n i t y u n d e r p o i n t w i s e

p r o d u c t .

P r o o f . A s i t i s t h e d u a l s p a c e o f C(G)

i t f o r m s a B a n a c h s p a c e . W e s h o w

t h a t i t f o r m s a B a n a c h a l g e b r a . L e t = 1, a n d =

2, b e t w o f u n c t i o n s

3 6


44/87

i nB(G)

a s g i v e n i n ( 3 . 1 . 2 ) . L e t

d e n o t e t h e u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n g i v e n b y

t h e t e n s o r p r o d u c t 1 2.

T h e n i f =

a n d =

t h e n w e h a v e

,(x) = (x)() = 1(x)(), 2(x)(), = (x)(x)

T h e r e f o r e , b y ( 3 . 1 . 2 ) a g a i n , t h e p r o d u c t

b e l o n g s t o B(G).

T h e p r o o f t h a t

f o r e v e r y

a n d

b e l o n g i n g t o

B(G)

i s a d e e p r e s u l t i n v o l v i n g t h e t h e o r y o f o p e r a t o r a l g e b r a s . W e r e f e r t o t h e

p a p e r b y E y m a r d [ 3 ] f o r t h e p r o o f . H e n c e i t f o r m s a B a n a c h a l g e b r a .

M o r e o v e r , i f (,

H) d e n o t e s t h e t r i v i a l r e p r e s e n t a t i o n t h e n f o r a n y u n i t v e c t o r

i n

H, w e h a v e (x) = ,(x) = , = 1 a n d s o 1 b e l o n g s t o B(G) a n di s t h e i d e n t i t y f o r

B(G).

R e m a r k s

1 . W i t h o u t r e s o r t i n g i n t o C

- a l g e b r a s , o n c a n c o m p u t e t h e n o r m o f a n

e l e m e n t i n B(G)

b y t h e f o l l o w i n g r e s u l t d u e t o E y m a r d .

I f

b e l o n g s t o B(G)

t h e n

= inf{ : = ,}, ( 3 . 1 . 3 )

w h e r e t h e i n r m u m i s t a k e n o v e r a l l , s u c h t h a t = , .

F o r t h e p r o o f w e r e f e r t o E y m a r d [ 3 ] .

2 . S i n c e t h e m a t r i x c o e c i e n t s a r e c o n t i n u o u s w e s e e t h a t B(G)

i s c o n -

t a i n e d i n Cb(G). M o r e o v e r t h e i n c l u s i o n m a p i s c o n t i n u o u s b e c a u s e ,

B(G) b y ( 3 . 1 . 3 ) .

3 . S u p p o s e t h a t G

i s a b e l i a n . T h e n b y P r o p o s i t i o n 3 . 1 . 4 , t h e f u l l C

-

a l g e b r a o f G

i s i d e n t i e d w i t h C0(G), w h e r e G i s t h e d u a l g r o u p o f

G.T h e r e f o r e ,

B(G) = [C0(G)] S o , b y R i e s z R e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m , w e o b s e r v e t h a t

B(G) = M(G)w h e r e

M(G)c o n s i s t s o f a l l b o u n d e d

r e g u l a r B o r e l m e a s u r e s o n

G.

3 7


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B u t t h e n b y i n v e r s e F o u r i e r - S t i e l t j e s t r a n s f o r m w e h a v e t h e f o l l o w i n g i d e n t i -

c a t i o n .

B(G) = { = :f o r s o m e

M(G)},w i t h

B(G) = ,

w h e r e t h e

chowdaiah m.phil thesis

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