chapter 2 vector spaces and atrices 2.1 definitions definition: a

51

Upload: hoangtuyen

Post on 09-Dec-2016

230 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

� � ��� ����

� � ������� ��� ����� � ��� � ����������� �

���! "$#&%('*),+-),./'*0

132547698;:<8>=?6A@CB DFEHGJILKNM9O5GQPSRUTLEWV!XYILPSGZP[T]\-VH^_V`RUVWTLabI�\-T]\cGQdeX�Rgf�V!GSRih Ij\-kcR,lmTTLX?GQEUInRU^_TL\-VQo

prq�s GutvEwV!R/TLX?GQEUInRU^xT]\zy{Ijk-k-^|RU^_T]\zy5^xV/k�GStY\�G}kcaFTLEAXYIL^|EwV~Tja�GQKxGQdeGQ\�RUV�^x\ch�y��IL\-k��AyYIL\-k�f�^xGQK_k-VuIj\�GQKxGQdeG}\5R�^x\�h�y-k�GQ\-TjRwG}k���f�������o

prq�s GcV!GQPQTL\-k�TLX?GQEUInRU^_TL\zy�VwPQILK_IjE�d��-K�R�^|XvK_^xP}InRU^xT]\zy�^_V�k�GStY\�G}k�aFTLE(R s G�XYIj^xE� ybI�EHGJIjK9\{�-d���G[EQyzIL\-k�IL\G}K|G}deGQ\5R��$��h�y�IL\-k f�^xGQK_k-VZIL\�GQKxGQdeG}\5R�^_\h k�G}\-TnRUGQk3��f � �Co

Page 2: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

� ���b�&�� {¡v¢£}¤¥�¡��� �¦�¢ §Q�j�7��¡Y§¨�&©&ª «¬�& {¢�­®��¡Y§¯�°x±]²�³i´-µU¶j´�·[µH³U°|·}¸i¹jµH·(¹L¸H¸wº-»¼·}½�³�¶�²-¶]¾x½�¿F¶LµiÀCÁwÂ�ÁUüÄrÅ�Á�ÆAÁHÇAÁ<È�ÄÉrÊ

Ë ÈJÌZÀ�ÍÎÂ�Ï$Â3ÍÐÀËÒÑ Ì Ë À�ÍÎÂ7Ì�Í�Ã�ÏÓÀ�Í Ë Â�ÍÎÃ{ÌËÕÔ Ì×Ö�²�·[µH·×°_¸u¹LØ�·}¾|·}»e·QØ5³�°_Ø�Å ½�·QØ-¶j³w·}½3ÙÚ¸wº-Û�²�³U²v¹n³

Ù�Í�À ÏÓÀ�ÍÜÙ�ÏÓÀ

ËFÝ Ì(Þ-¶Lµ�·}¹LÛß²�À�ÄÅ ³�²�·[µH·×°_¸�¹jØ3·}¾|·}»¼·}Ø5³m°xØ3Å ½�·}Ø-¶j³w·Q½�àuÀ�¸Hº-Ûß²�³�²v¹á³À�Í Ë àuÀ9ÌCÏ Ë à�ÀâÌ�Í�À ÏãÙ

ËÒä Ì(Æ Ë À�ÍÎÂ7ÌåÏ�ÆbÀ�ÍÜÆ&ÂпF¶Lµ�¹L¾_¾�ÆËÕæ Ì Ë Æ�Í�Ç7Ì,ÀÏãÆbÀ�Í�Ç&À�¿F¶Lµm¹L¾_¾�ÆAÁHÇËÒç ÌeÈèÀ ÏÓÀËÕé Ì(Æ Ë Ç&À9ÌåÏ Ë ÆbÇåÌ®À�¿F¶Lµu¹L¾x¾�ÆAÁHÇ

Page 3: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

ê}ëíìßëeî9ïvð�ñ>ò�ñgó�ñ®ô�ò�õ ö

÷rø�ù�ú~ú}û|ú}ü¼ú}ý5þUÿ������ ���Hú��Lû_û|ú ���]ú èþ����wÿ��Lý���þUù�ú/úQûxúQüeúQý�þUÿ��xý�� ���Hú �Lûxûxú��ÿ���Lû����wÿ��

÷���û|ú}üeúQý5þ�ÿ����� ���_ûxû���ú���ú}ý��nþUú�� �"!#���]û$� �%��Sú �&���Lü'�Lý�ûxúSþHþUú��wÿ�()�*�íú��,+-�÷/.¬û|þUù��10)25ù3���]ú èþ����mÿ546��Sú��_ÿ7��ú98Yý�ú �:�jÿiþ�ù�úZþ;�;�$4vû|ú<��]ý-ÿ��_ÿ`þ��_ý)2=����þUù�ú×ÿ!ú[þ� �Lý��(þUù�ú�þ>�?�@��4?ú����nþ��A�Lý-ÿ�( �/úB���_ûxû"���C0-ÿ!úWý��jþD�nþ��A�]ý×ÿHûA�E25ù�þUûF!G�"!��Hú��>ú����;�_ý)2þ�� � �Lÿ��3�5ú�èþD���×ÿ�46��[úH�D�áþ�ù�ú��*þUùC�LýI�KJMLNJ�OA(P�¨ù�ú��HúQOR�Hú��>ú��wÿ*þD�3ÿ;��LûA���üS0-û|þ��E4vûA�A��nþ��A�LýT�

U ��� �xÿ@�S�5ú�Sþ����iÿ546��[ú*þUù�úQý �|þ7�_ÿmú �LÿV!�þ���ÿHù��W�ãþUùC�nþ÷�XY+[Z]\÷_^a`�b c>+�Z `@+÷�d�\3Z]\

Page 4: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

e5f g)hRikj�lnmCo�p q�r)mPgPltsuo[v�j�i,g)m6v�ikwkx[yziklnoP{|g)m6v}1~R�C������}��6��� � �5�9���������$�u���;�)�������3�6���E���������������P�������t���;���*���1�

� � �'¡¢� £)¤%¥u¦;§�¥ ¡�¨¢© ¥u¦«ªI¬­§�¥ ¡ ªI¬�®¯±°D²´³ �A�7�)�9µ6�)� �3��¶'~ ²¸· � ¤%¥ ¦ ²_¹ ¦ §�¥ ¡ ²_¹ ¡ ¨¯±°;º ~ ³ �A�7�)�9µ6�)� �3��¶ º ~»� ¤ º ¥u¦�§ º ¥ ¡�¨

}1~R�C������} ¼��/½ � �5�9���������$�T���;�)�������&¾»���)�C�E� �7���k�;� ���u�������t�������*���1�:� ��À¿��¯±°D²´³ �)��µ6�)��� �"¶#~ ²_· � ¤Á¥u¦ ²_¹ ¦D§�¥ ¡ ²_¹ ¡ §� Â�Â�§;¥ ¿ ²�¹ ¿ ¨¯±°;º ~ ³ �)��µ6�)��� �"¶ º ~»� ¤ º ¥ ¦ § º ¥ ¡ §� Â�Â�§ º ¥ ¿ ¨

Page 5: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

à ÄÅà ÄQÆTÇPÈTÉ´ÇkÊnËRÌ ÈTÍSÇ,ÎtÏ)ÐÒÑ�Ó�Ç�Ô�Õ[Ö ×YÔ,Ï)Ç ØÙØÚ7ÛÜÚ Ý Þ�ßà Þká)â�ã ß«ä:åQæ<çPèVéVêGÞ�ë-ì í@îGëBçTÞï ð)ñ�ò[ó ô õÀöHñ ÷Eñ øHñ òÒù�ú�û�ü-ù�ð)ñ­ýÒñ�þ9ù�û�ÿzú�����þ�ñ���ò��/ù�ð)ñ�û�� ñ�ÿ��Yù�$û1ò�úzû�ü��������ù�Aû1ò ��ò��Iú�þ���÷���ÿ´ø���÷Eù���C÷�Aþ��Yù�Aû1òQø������tñ=ÿ�ñ���ÿ�ñ�ú�ñ�òÒù�ñ��������1ñ�û1øÀñ9ù�ÿ�$þ ýÒñ�þMùDû�ÿ�ú��� ñ û1øHñ�ù;ÿ�Aþ ý1ñ þMù�û�ÿ;ú�þ�û�ÿ�ÿ�ñ�ú �tû1ò���ù�û�ù�ð)ñ¢ò�û�ù�Aû1ò­û�ü!��ýÒñ�þ9ù�û�ÿ"$ò�õÀö#��ú$�%��$ÿ�ñ�þ9ù;ñ��÷&$ò)ñ ú5ñ��ÒøHñ òÒù'�(�)+*$,"-�./-10!,243Üü65 ��ò���7 ÿ�ñ���ÿ;ñ�ú5ñ òÒù8��û9$ò"ù�ú8Aò#õ ö �;:<0>=+?@.')�ACB!)D=�.'0�EF�tñ��+$òG�ò�AòH�I�Yù%5 ��ò��3ñ ò���$òH���Yù#7 $ú�ÿ�ñ���ÿ�ñ�ú�ñ�òÒù�ñ��J��� KML5N7��

OQPSR û7÷Aû�þ'� ù�ñ��GýÒñ�þ9ù�û�ÿ;ú KTL5N7U��ò�� KTLVXWY��ÿ�ñ ú���&�Gù�ûZ�tñ[)�\^]"-1BH?_:<)D,`.a$ü�7cbF5 ôW bdV

O�e ýÒñ�ÿ��<÷$ûnþ��Yù;ñ'�GýÒñ�þMùDû�ÿ KML5N7CAúRñ'fD��Eýg��÷Eñ òÒùTù�û7ù�ð)ñ ÷$ûnþ��Yù;ñ��<ý1ñ þMù�û�ÿ>�tñ��+Aò�ò�$òH��Yù ù�ð)ñ´û�ÿ���+$òih ô jlkHmMk@m'n'n�nTmMk+op��ò�� ñ ò���$òH�;�YùZ7qbr5st��ñ9��ù�û KMLhIju7vbd5No

OQPSR ûS÷Aû�þ'�Yù;ñ��&ýÒñ�þMùDû�ÿ�ú KML5N7 ��ò�� KMLVXWd��ÿ�ñ ú���&�&ùDû��tñwYx ?�E/?_:y:1)D:zEüzù�ð)ñ�ÿ;ñ{Aú��Iÿ�ñ'��÷?òD��ø�� ñ�ÿ�|~}ô k ú ��þÙð ùDð_� ù�7 b 5 ô

|�juWrb�VXow 3ÜòNù�ð)ña��?_��)�A6-1E/)�=�./-10`,YEü`7Yb�5 ô�|�j�WXb�VXoPü û�ÿ�ú�û1øÀñ ÿ�ñ���÷�òD��ø;�tñ�ÿ

|��~kH�w 3Üò[ù�ð)ñ�0`�"��0!�'-�.')�A6-1E/)�=�./-10!,�$üa7 b~5 ô |�juW�b~VXo@ü û�ÿGú�û1øHñNÿ�ñ���÷òD��ø;�tñ�ÿ4|X��k

Page 6: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

� � �H�������G�_���'���H�^�^�`���� ��g�$�H�� ¡��¢�£�¤#���G�^¥¦�H�� §�¨+©$ª"«�¬/«1­!ª®a¯v°�±'²9³�±�´�µ�¶&·a¸9±'·¹´�²�µ¶&ºJ»½¼X·�²�µ µ ±�¾ ¿`²9º�À�¶&ºH°N´�²ÂÁ�ºiÁgÃ�°9±�Ä�µ�Á�¶&·a¸9±'·TÅ´�²�µ;¶�ºd» ¼ÇÆ ¶tÈɱ9È�ÊpÁ�ºÇ²gµ�ÀH±�µ ±'À�Ë~´�ÌH¿_Ã�±�Í Î ÆyÏ>Ð Ñ'Ò'Ò�ÒÓÑ�Ï ¼gÔ Ô ¶&¾Õ´�ÖH±i±'×DÌ�¶Ø¸gÁgÃ�±�º�·�±·�Ã�Á�¾ ¾S²gÙ"Á�Ã�ÃÚÀ�¶�µ ±�·Ó´�±�À�Ã�¶&ºH±X¾�±�°+³I±�º�´�¾rÛMÜÝNÞ ¶&º�ßI¼F´�Ö_Áà´4Ágµ ±�Ù<²�µ�³I±�À�ÄDác¿`²9¶&º+´�¾ZÝÁ�º�À�Þãâ¡Ö�²9¾�±¡·�²D²�µ�À�¶&º_Áà´�±�¾ Æ�ä�Ð�Ñ�Ò'Ò'ÒÓÑtä ¼gÔ Ê Æyå/Ð�Ñ'Ò�Ò'Ò¹Ñ�å ¼�Ô µ ±�¾ ¿!±'·¹´�¶Ø¸+±�ÃØá9Ê+¾�Áà´�¶&¾�Ù�á;´MÖH±±�×GÌ_Áà´�¶�²9º�¾

ä�æ_çÇåÓæ Î Ï�æuè#é�êUëê Ë

ì ¯ ¾ ¶�ºH°+Ã�±�³I±�³�Ä!±�µ�²�Ù8´�Ö�¶�¾z·�Ã�Ág¾�¾z²�ÙaÀ�¶�µ ±�·Ó´�±�ÀíÃ&¶&ºH±�¾�±�°9³I±'º+´�¾X¶&¾X´îáG¿_¶&·�Á�Ã&Ãïá·TÖ�²�¾ ±�º�´�²�µ ±�¿�µ ±'¾�±�º�´;´�ÖH±�±'º+´�¶�µ ±i·�Ã&Á�¾ ¾;º_Á�³I±�ÃØáí´�ÖH±�²9ºH±J¶&º�â¡Ö�¶�·TÖdÝ ÎÆlðHÑ�Ò'Ò'Ò¹Ñ�ð Ô È

ìQñ ÖH±F²�¿`±�µ�Áà´�¶&²9º�¾Iòî¸+±'·¹´�²�µ¡Á�À�À�¶ï´M¶�²9º�ó�Á�º�À�ò ¾ ·'ÁgÃ�Ágµ½³�Ì�ÃØ´�¶Ø¿_Ã&¶&·�Áà´�¶&²�º�óÕ²9º�Á�Ã�Å°9±�Ä�µ�Á�¶&·$¸+±'·¹´�²�µ�¾�·�²�µ µ ±'¾�¿`²9º�ÀN´�²¡¾ ¶&³I¿_Ãرô²�¿!±�µ�Áà´�¶&²�º�¾�²9ºz°9±�²9³I±Ó´�µ�¶�·6¸+±�·¹´M²gµ�¾�È

ì ¯#º�¶�º�´�±�µ ¿�µ�±Ó´MÁà´�¶&²9º�²�Ù6´�ÖH±Â¾ Ì�³ ²�Ù$°9±�²9³I±Ó´�µ�¶�·%¸+±'·¹´�²�µ�¾½¶&¾Z´MÖH±z¸+±�·Ó´�²�µ¡·�²�µõŵ ±�¾ ¿`²9º�À�¶&ºH°q´�²Ç´�ÖH±íÀ�¶�Ág°9²9º_Á�Ã�²�ÙÂÁÇ¿�Ágµ�Á�Ã&Ãر'Ã�²�°9µ�Á�³ ·�²�º�¾�´�µ�Ì�·¹´�±�Àö¶&ºU´MÖH±ò�¿_Ã&Á�ºH±�ó;ÀH±�´�±�µ�³I¶&ºH±�À�ÄDác´�ÖH±%´÷â4²Õ¸+±�·¹´M²gµ�¾ ÛMÜø Ý Ágº�À ÛMÜø Þ Ö_Á'¸@¶&ºH° ÛMÜø Ý Á�º�ÀÛ�Üø Þ Ù<²�µXÁ�Ààù�Á�·�±�º+´X¾ ¶&ÀH±�¾�È ñ ÖH±�À�¶�Ág°+²�º_Á�Ã�¶&¾X·MÖ�²9¾�±'ºQ⡶ش�Ö ²9ºH±;±�º�ÀíÁà´%´MÖH±²�µ�¶Ø°+¶&º>È

ì ú ·�Á�Ã�Áൽ³�Ì�Ãï´�¶�¿_Ã&¶�·'Áû´M¶�²9º�¾8²�Ù�Á�¸+±'·¹´�²�µ½·�²�µ µ�±�¾�¿Ú²9º�À�¾4´�²cÁ�·TÖ_ÁgºH°9±Õ¶�ºYÃ�±�ºH°�´�ÖÁ�º�ÀX¿`²9¾ ¾�¶ØÄ_ÃØáXÁSµ�±Ó¸+±�µ�¾�ÁgÃ�¶&ºNÀ�¶Øµ�±�·¹´M¶�²9º�²�Ù�´�ÖH±Á�¾ ¾ ²D·�¶&Áà´�±'À�°9±�²9³I±Ó´�µ�¶&·�¸+±�·Ó´�²�µ�Èñ ÖH±X°9±�²9³I±Ó´�µ�¶&·¡¸9±'·¹´�²�µZÁ�¾ ¾ ²D·�¶&Áà´�±'Àc⡶ش�Ö{ü$Ý ¶�¾ZÀH±'º�²g´�±�À{ü Û�Üø Ý�È

Page 7: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

ý'þÿý'þ������������ �����������������������! #"$����� %'&(�)�*�+�,.-/,�01+325476�8:9<;�=?>@=�ACB�A/0�DFE�;G-IHGJ�KMLNIO PGQ�R KMLNIS TVU

KMLNIO W KMLNISYX Z[\^]1_a` \.bc\d�e<PGf.Phgji�g H R�k�emlnU 6 P#o 8 l 6�8IJ@H fVf Hqp TrQ�s JtH k�g5i�g H i 8 g'lMT 8 Uu KMLNIO W KMLNISYX KaLN:S W KMLNIOu KMLNIvwW�x KnLN:Owy KMLN:S:z{X KaLN:vwW KnLN:O y KnLNIvwW KMLN:Su xt| KnLNIv}z~W KMLNISYX�|Gx KMLNIvwW KnLNIS�zu KMLNIO W KaLN:OIX ��T J PGQ�R H Q�f^��T J KMLNIO TrU�l 6�8 o 8 eml H g�N�����l 6�8 g p TVU 8 KMLN:OW KaLN:O����

(�)�*�+�,.-/,�01+325476�8�+�0�A�� H g7f 8 Q�sGl 6�HGJ KMLNIO TVU7R 8�� Q 8 R�PGU� KMLNIO � X � KMLNIO W KMLNIO

Page 8: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

��� ��� ������? ¢¡#£¢¤�������¥¦ !§<�h������§��¨©!ª«��� �¬­����§®�¯�°�±�².³/²�´1±3µ5¶7·�¸:¹F²�º�³#»?±�¼�¯¾½�¸c¿ÁÀj¸<¸< ÃMÄÅIÆ Ç Â�È ÃMÄÅIÉ ÊVË È�¸�Ì�Â�¸<È ÇGË

Í ÃnÄÅIÆ Î ÃMÄÅIÉ ÍÏ ÊVË ¿ Ç Â�Ðc¸ Ë · Ç#Ñ ¸Ò¿n·�¸IÓ@ÔÖÕVÕrÔqÀ Ê Â�×�Ø�ÙnÔhØ�¸�ÙÚ¿ Ê ¸ Ë�ÛÜ Í ÃaÄÅ:Æ Î ÃnÄÅ:É Í5Ý Í ÃMÄÅIÉ Î ÃnÄÅIÆ ÍÜ ÍaÞ ÃnÄÅ:Æ Í7Ý ßàÞ�ßáÍ ÃMÄÅIÆ ÍÜ Í ÃaÄÅ:Æwâ ÃnÄÅIÉ Í7Ý Í ÃMÄÅIÆ Î ÃaÄÅ:É Í Ê Ó Ç Â�È�ÔÖÂ�Õäã Ê Ó ÃMÄÅIÆ å ÃMÄÅIÉ Ýçæ

®�¯�°�±�².³/²�´1±3µ«èéÓ ÃaÄÅ:Æ å ÃMÄÅIÉ Ýêæ Àj¸ ËnÇ ã�¿n· Ç ¿ ÃMÄÅIÆ Ç Â�È ÃaÄÅ:É Ç ÙÚ¸IØ1¸<ÙÚØ1¸#Â�È Ê Ð<ë�Õ Ç ÙÔGÙ7´�ì#³qí�´1î�´�±�»?ï­ðñ}ò�³qí�»�î�´1ì/¯á»?±ôóYí�¯á´1ì/¯öõ÷µ7èøÓ ÃMÄÅIÆ Ç Â�È ÃnÄÅIÉ Ç Ù~¸}ÔhÙÚ¿n·�ÔG×ÖÔÖÂ Ç Õ1¿n·�¸<Â

Í ÃMÄÅ:Æ â ÃMÄÅIÉ ÍaùúÝ Í ÃMÄÅIÆ Íaù â Í ÃnÄÅIÉ Íaù

Page 9: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

û#üýû#ü�þ�ÿ�����ÿ���������ÿ ����������ÿ���������� ��ÿ �! "�#%$'&)(*,+ - #/.10�243�#65%$8719:.10�;=<>#%$'&)(*@? - #A.B0C2D0�710�EF#69G7H3�#65%$87196IJ"�#%$LK - #

$8M�#ONP7RQ>0C$TSGU�5)MV$8MW.�$ &)(K + Q>SX719Y$8M�71Z�7R0W.1<W$87 &)(*,? I\[XM�#60] &8(* KL^`_ &8(*@? .10�; &)(*,+ a &)(* K QbST719Y$8M�71Z�710W.1<c$87 &8(*,?] [XM�#O0dU�e - #F9T_JQbSXU�0�Q>f�U�#,.B0�;4QbSgZRQh3�#60 - 2

_i^ &)(*,+ j &)(*,?k &)(*,? k

] _:Q>SX5�.B<b<>#6;l$8M�#Om�ncoqprn�s�tds�u@71v &)(*@+ .1<>7R0�Z &w(*@?] [XM�#xp�yzn|{FtCm1uz}�ncs~71v &8(*,+ .1<>7R0�Z &8(*@? QbS�_ &8(*@?�� M�#69!#�_XQ>S�$)M�#�5F7ReAN�7R0�#60C$�I

�L�W� mB�P�P�%��m�� � y�u����%s�tC� ���W� }�u)����719i.B0C2�$ � 7�3�#65%$8719GS &w(*@+ .10�; &)(*,? � #OMW.�3�#$8MW.�$ � &)(*,+ j &8(*,? �� k &)(*,+ k�k &8(*,? k

� y�} � s�� � t=�%s�tC� ���W� }�uw�q��719i.10�2�$ � 7�3R#�5�$8719GS &8(*,+ .10�; &w(*@? � #OMW.�3�#:$8MW.�$k &)(*,+�� &)(*@? k � k &8(*@+ k � k &8(*@? k

Page 10: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

 Y¡ ¢�£¤�¥�¦�§W¨=©�ª=«�§�¢�¦�¬­¨�®6¥B¤ ¢�§¯®i¤�°�±�²x¤�¦�¨�³´¢�§¯®µ=¶�·G¸R¹ º8»�¼�½g¾B¿�Àw»CÁCÂÄÃ�Àw»�ÅT¾B·Yº8ÆÈÇÊÉ�¼�Ëd¿W¾1ÌbÍκÏÁ/Åg¼,»W¾�Ð�¼:º8»W¾�º

Ñ�Ò:ÓÔ)ÕÖ,× Ø Ô)ÕÖ@Ù

Ú Ô)ÕÖ,Ù Ú�ÛÚ Ô8ÕÖ@Ù Ú ÓÝÜÞÒµDßX»d¿�àáº8»�¼6·!¼,ÍbàT¾/¿�É�ÍbËd¿�¼,â|ã¯ä Ó â Óæå à!¿�Àw»º8»W¾�º

ÀF¸Rà�çèâ�é�ê Ô)ÕÖ,× Ø ÔwÕÖ@ÙÚ Ô)ÕÖ,Ù ÚPÛÚ ÔwÕÖ@Ù Ú

µ=âÞÍbàTÀ6¾1Ì>Ì>¼6ëlº8»�¼,ìWí�î�ï�ð�ñ�¼%ºÏÅá¼6¼6É Ô)ÕÖ,× ¾1É�ë Ô8ÕÖ,Ù

Ã�¸R¹A¼:¹HÍbà!À%¼�Ì>Ì�¾1É�¼6¸R¿�àóòR¼�¸1¹A¼FºG·GÍbÀiÀF¸RÉ�ÀF¼Fô�º8àX¾B·!¼1õµDßX»�¼JàY¼%ºX¸1ö�ôP¸1ÍbÉ�º)àø÷ à!¿�Àw»ùº)»W¾�º Ú Ô)ÕÖ ÷ Ñ Ô8ÕÖ,× Úxú`û ÍbàgÀ6¾1Ì>Ì>¼6ë�º8»�¼Jücý�ðdíþ ìWïÿïá¸1öó·8¾1ë�Í>¿�à�� À%¼�É�ºG¼6·!¼6ë ¾�º Ô)ÕÖ,×�� Ç ö ú Í>àJ·G¼FôWÌ�¾BÀF¼6ë ñCÁ Ó Åg¼ òR¼%ºJº)»�¼� ï�ü��6ð�� þ ìWï ï ¾1É�ë4Íhö ú ÍbàT·!¼FôWÌ�¾1À%¼�ëùñCÁDê Åá¼JòR¼%ºx¾��ý��ð��zð �

µDßX»�¼,ï� í�ðHº8»�·G¸R¿�ò�» × ¾1É�ë Ù ÍbàTë�¼��¯É�¼�ëD¾Bàáº8»�¼@àY¼%ºi¸1ö ¾1Ì>Ì­÷ àG¿�À)»Vº8»W¾�º÷ ê�� × Ü ç ÒáÑ �cé Ù

ßX»�¼óÌ>ÍbÉ�¼óô¯¾1à!à!ÍbÉ�ò�º)»�·G¸R¿�òR» Ö ¾1É�ë × Í>à�º)»�¼óàY¼%º ¸1öW¾1Ì>Ì�ôP¸RÍ>ÉCº8àÅi»�Í>Àw»LàG¾�º8ÍbàYö�Á÷ ê�� ×µDßX»�¼Vý ï�ìWí�ð º)»�·G¸R¿�òR»qôP¸1ÍbÉ�º)à ×����w×�������������×�� Í>àLº8»�¼VàY¼%ºÞ¸1öi¾1Ì>Ì�ôP¸RÍ>ÉCº8à@÷à!¿�Àw»Vº8»W¾�º

÷ ê���! � � �

× � Åi»�¼6·!¼���! � � � ê Ò

Page 11: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

"�#$"�#&%('*)(+,'.-0/�12)(3�'547698;:=<�'?>A@CB�DE>569' FHGIKJ9LNMPORQTS9LVUWJ9XZY\[9];J_^a`cb�de`cb�f�`�g�g�g�`�b�hViRjkUWJ9LljmLnUoYTpKQTOqOrMsYTiRS;Uejut jH[?v�JUWJPQEU

t whxymz d\{ y

b y

Page 12: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

|m} ~9���.�A�0�P�������9�*~*�7���C�����5~9�����.�.�C���.�0�*��~9����K��� ������� ��¡£¢(¤��¦¥¨§ª©«¤�¢�¬9¥®­¯����¡£¢(¤��

°2±;²5³�´¶µ·´=¸�³º¹¼»�½7¾ ¿RÀ£Á�Â?Ã\Â0Ä�Å�ÆVÇ9ÈÊÉoÀHË9ÌPÀmÅ�ȺÃT½sÁ�Í;Å�ÎcÈWÃTÏÐÀHÇ�Á�ÎnÅÒÑ ÎnÓRÃ\ÀmÅ�Ô�Ë?Â?Ô9Å�ÏÁTÔ?Ô?¿ÕÈe¿qÃ\ªÁTÂ?Ô2ÀHÎ�ÁTÓ¶Á�ÏÒÆË?ÓÕÈW¿qÇPÓR¿qÎ�ÁÖÈe¿qÃ\ÂÈW×9Å�ª¾ ¿qÀKÎ�ÁTÓqÓqÅ�Ô&Á�ÀHË9ÌPÀHÇ�Á�ÎnÅuÃT½�ÑÙØÚ�ÃEÈWÅTÛr»�½�¾ ¿RÀ�Á�ÀHË9ÌPÀmÇ�ÁTÎnÅÜÃT½AÑ«Ý9ÈW×9Å�ª¾ ¿qÀK¿ÞÈWÀmÅ�ÓÞ½�Á�Í\Å�ÎcÈWÃTÏÒÀmÇ�ÁTÎ�Å\ر\ß�àPáãâ�ä=±_å�¹Ò»�½�Ñ ¿qÀKÁoÍ;Å�ÎcÈWÃTÏÒÀmÇ�ÁTÎ�ÅTÝ?Ì7Ã�ÈW×CæEç�è�ÁTÂ?ÔéÑ Á�ÏHÅkÀHË9ÌPÀmÇ�ÁTÎ�Å�ÀnØÐÑ ¿RÀÈW×9Å�Ó¶Á�ÏHê\Å�À!È�ÀHË9ÌPÀmÇ�ÁTÎ�Å�¿RÂëÈe×PÁÖÈ�¿ÕÈ�ÎnÃ\Â�ÈeÁT¿qÂ?À�Å�Í;ÅnÏHÉìÃ�ÈW×9Å�Ï�ÀHË9ÌPÀHÇ�Á�ÎnÅíÁTÂ?ÔÙæEç(èV¿RÀÈW×9ÅuÀZÆNÁTÓRÓÞÅ�À!Èî¿RÂéÈW×9ÅuÀmÅ�Â?ÀmÅ�ÈW×PÁEÈ�¿ÕÈ�¿RÀKÎnÃ\Â;È�Á�¿RÂ9Å�Ôª¿qªÅ�Í;Å�ÏmÉéÀHË9ÌPÀmÇ�ÁTÎ�ÅÜÃ�½�ÑÙر\ß�àPáãâ�ä=±ðï�¹îñ�Â�ÉlÓR¿RÂ9Å�¿RÂéòlóÜôõÃTÏîòNö�÷ºø�×?¿qÎ�×lÇ�ÁTÀHÀmÅ�À¼ÈW×9ÏZÃ\Ë9ê;×NÈW×9ÅkÃTÏZ¿qê\¿RÂl¿RÀîÁÀHË9ÌPÀmÇ�ÁTÎnÅuÃT½Aò ó ôõÏHÅ�ÀmÇ7Å�Î�ÈW¿ÞÍ\Å�ÓÕÉùò ö ÷cر\ß�àPáãâ�ä=±«ú�¹Kû*Å�ÈKÑ ü¯òVýÁTÂ?ÔªÓqÅ�È

¾ þsü æ ôõÿ�� � ÿ ó ��������� ÿ?þ ������������� ÷®Û ÿ��� ��������������mè� ×9Å�Âé¾ þ ¿qÀîÁaÀHË9ÌPÀmÇ�ÁTÎ�Å�ÃT½.Ñ«Ý9ÁTÂ?Ôù½õÃ�Ï����������! "��Ý0ø¼Å�×PÁ�Í;Å�¾ þ$# ¾ þ&%'�Ø

Page 13: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

(�)+*,).-0/21�-�354768�-:9�;=<8>6>?@9�AB-�3C4768�- DFEGIHKJ7LNMPOQMSR'L�TVUXW,YIZ\[7]�^�_�_�_,^F[X`badc@WdegfFW,Y.hji�kbW�lY�hjmnfporqsetkKW�lYuhCmvfFw�ejl�Wyx{z|~} W�kKW�l�Y�hjm�[���x o�f�e���M�L�H������KR@�B�NM�L��0O\M�R'L�hji�Y } W�kKW�l�Y�hjmnf�Z\[7]�^�_�_�_,^F[X`baori�Y } W,m�W�eCm�W�fnl�ej��eCmnf��7]u^�_�_�_�^u�X`�f���l } Y } e5Y

[t���7]�[�]��������5�"�>`\[X`��  H�R��QH2� ¡£¢�¤�T¥U>W�Y:[ ] ^�_�_�_�^�[ ` c'W.W��&W�¦vW�qKY�f�hCi�e§kKW�lYuhCm:fFw�ejl�W¨x ejq�©ª�rW�Y« c'W:Y } W�f��c¬fFW,Y�hji7x l�hbq�f�orfFY�orq­!hji�ej������o�qW�eCm�l,hb¦�c¬o�q¬e5Y�o�hjq�f®hji�[ ] ^�_�_�_,^F[ `o¯z°Wbz

« � ±² ³ `´µ&¶ ] � µ [ µ�· � µ ��¸�¹�º�»�¼�»�½�¾ ¿À|~} W�qI« o�fÁepf��c¬f�w�eCl,W�hji�x�zGIHKJ7LNMPOQMSR'L�TÂUXW,Y7[�]u^�_�_�_�^�[X`~c@WÃkKW�lY�hjmnf�hji�Y } W®fFw�ejl,WÃx{z |~} W�f��c¬fFw�ejl,W®hji'ej�����orqW\e5mÄl�hj¦Åc¬orq¬e5Y�o�hbq�f�hjiÆY } W�fFWÅkKW�l�Y�hjmnf�Ç�o��r�7c'W¨©W�q�hCYnW�©ÉÈ�ÊÂËS[ ] ^�_�_�_,^F[ `jÌ ejq�©Y } WÄ[ µ¯Í f®Ç�or���£c'WÎl�ej�r�rW�©§­bW�qW�m�e5Y�hjmnfÃhji$Y } o�f�f��c¬fFw�ejl�WbzGIHKJ7LNMPOQMSR'L�T�Ï�i$« o�f®e�fn�c¬fFw�ejl�W�hji�x eCq�©�Ð ] ^�_�_�_�^nÐ ` eCm�W�kbW�lY�hjmnfÃorq�«f���l } Y } e5Y�« � È�ÊÃË�Ð ] ^�_�_�_�^nÐ `5Ì Y } W�qBÇÃW¨fne�Ñ�Y } eÒY�Y } WvÐ µ�Í f�eCm�Wv­jW�qW,m�e5Y�hjmnfhji�« hCm®Y } e5Y~« o�fíbW�qW,m�e5YnW�©§hjm~Ó�Ê��¬LNL�HÕÔªcÕÑ¥Y } W�fFW,YÄZQÐN]u^�_�_�_�^nÐ�`jaÕz

Page 14: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

Öu× ØÙ�Ú$Û�Ü2ݬÞdß�àdáÝ>Ø>Ü@â�ÞBã�ÛCÚ7ØÝ�ã�Ú$ä$åBæ�Ú$Ü2Þ>çèØÝ�ãébê�ë¬ìVíNîSésï�ð:ñXò,ó�ô õ ö¨÷.øjù�úBéKûüõ ýÿþ���þ����������������������þ� ����� ��� ���.ý���� ò����ébû����®ó��ò �&ó��!� óuøjù�ú¬ø�"nú$#�ù%� ó'&Kò�(�ó�)�"*��ùyö ÷ �,+-�ò�ùIô õ .�íÂý�é�/����������é ÷ �ébê�ë¬ìVíNîSé10£ðvñXò,ó�ô õ ö32:øCù�ú�é%/��né546�né 287 òpó��ò�� ó øCù�ú¬ø�"nú9#�ù%�&ó:&Kò�(ó�)�"��;��ùö 2 ñ>ò�ó=< / õ ý>�������uþ�Æøjù�ú?< 4 õ ý>���@������ �,AB)bù%�C��úòD"®ó��ò:EF)�G�G�)�H=�rù�IJ�K# 7 �>L�ø�(�ò���M

N /�õO.�íÃýQPR � N 4 õ .�í ý�<S/S � N 2 õ .�í ý�<T4�N U õV.�íÃý�é / ��é 4 � N W õV.�í ý�< / ��é / � N X õO.�íÃý�< / �né 2 Y )�H N 4ÆøCù�ú N 2 ø�"�ò-G��rùò���ó���"K)Z#�IZ��ó��ò[)�"K�\I]��ùJ��ù�ó��òÁú%��"�ò�(�ó���)jù^)�E_<S/7øjù�ú�<T46�"�ò��>L'ò�(ó��\&Kò�G\`Z��øjù�ú N / õ N 4ba N 2 ��c;G��C)%� N U õ N W øjù�ú N 4 õ N U a N X �

Page 15: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

d�egfDe3hjilkmh�npo�q�rshutmvxw�ryqyzRtm{|h�n�o�q�rsh }�~���-���������������:���C���b�C�s���D�x�����������>�s���%�����1�������>�6�����;�]����������������1�R���j�K���%�������������K���b�>�s���6� �R���������>�s���%�����$�5�?�J�C�6�=�����������D�'�C���b�>�s���6���D�

� �5��¡����6���£¢¥¤s�%�\�K�@¦§�>�6�^���¨�Z���������p�����K�§�¥�K�Z© ����� �����ª�����3�C���b�>�s���D���D«��¬���K©���������§�>�6�8�%�%���Z� ���%�9�D�Z�%�C�����D���������C���b�C�s���D�����­¡����������§�D�Z©^�b���b�®�����Z�%�[����������C�:�]����������D�

¯?°]±�²´³¶µ@³¥·�²­¸|¹ �D�Jº »�¼�½�½�½6¼Cº ¾!���?�C���b�>�s���6���J���-¿����-���À�>�D���>�s���%�������5�º »�¼�½�½�½¼Cº ¾$¢F����¡�¡\���Á����� �C�%© ���º »�¼�½�½�½6¼Kº ¾p¦B���'�����%���K���$º »mÃĽ�½�½�Ã�º ¾���%�!���'���6¤s���������¨�����8�>�6�º » Ã�½�½�½Åçº ¾ÇÆ È@É£Ê ¿ Ë ÉÌÆÍÉ´» à ÉyÎ ÃJÏ�Ï�Ï�à Ém¾ �¬��� ÉmÐÂÊ º ÐTÑ;Ò:ÓÕÔ­ÓÕÖ´×Ø �p���§���b�p�'���´º »�¼Cº Î6¼�½�½�½6¼Kº ¾J���C� �C���b�>�s���D���-����¿ �������

º »yÃÙº δÃÄÏ�Ï�Ï�ÃÙº ¾���[��¡��C�����C���b�>�s���D�8���¿��

Page 16: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

Ú Ú Û�ÜÞÝÂß�àlábâäã�åäæ�áyÛyàRçmâ|è�ß�Ý�Û�ásè=ÝÂéÂê|ë�ÝÂàlâyìíÛ�ásèîZïÞðbñ£ò´ó¥îÄôsõ�öø÷Dù8ú û ü3ýuþ�ÿ��Ìî����Kî����Kî ý� ÷�ù��÷ �Sù þ�ÿ��bþ������%ÿ��\ù��]÷��ù���������ÿü ý������ � �,û !Þò#"Fî$�&%Bþ�ÿ�� � �ªû'!Þò#"Fî(���Kî ý %ªù��÷�ÿ$ú û � �*) � � �

+ �pù�÷­ù�bþpù´ù��÷,�-��. � � ��� � �&/sþ0�6÷��1�2�,ÿ��pù´ù��÷��2�3�>÷6ù4�%ÿ��5�Zÿ �6� �7) � ��þ08:9-þ<;=��>�Zÿ�ù�þ0��ÿ�� � ��?@� � � �jù � �A?@� � ÷<B��bþ082� � � ) � � ��ÿ�8C;D��ÿ�ù��÷E�&/R÷�����þ08���þ��C÷��ÿF9G��5�H � �#I � �J�0� � �JI � � �KML î(NPO@îlñ QSRTQ öø÷Dù;ú � ÷�þU�]÷<�ù��0�G�&/sþ0�D÷�þ�ÿ�� � � � � � � ÷D�-� � �-/sþ��D÷��V� � ú�&/sþ�ÿ%ÿ�÷�� � ;XW�ï � �<Y<Y�Y��Cï*ZH[ þ�ÿ��\W^] � ��Y<Y<Y_�-]a`�[�b#�C÷��&/R÷��6ù��C�Z÷<8:; �c��� ÷�þ0�� ï*dG�5��þ85��ÿ�÷�þe�,�>�f. � ��ÿbþpù��5��ÿg� � ù��÷@]ih<jk�>bjù��÷�ÿ � � I � ���l NiO^N�óFó¥ð�O7] QmR5n£öy÷6ù � � û !Þòo"¬ï � ��Y<Y<Y��>ïape%8þ�ÿ�� � � û !Þòo"q] � �<Y�Y<Y���]mpe% � ÷�-� � �&/sþ0�D÷���� � ú �sr �÷�ÿ�� � ÷�þ0�Ht] h �5� þu82��ÿ�÷�þ��V�>�f. � ��ÿbþ®ù��2�Zÿv� � ù��÷^ï d jw�:þ�ÿ��÷�þ0�HÀï d �5�[þD85��ÿ�÷�þ��,���f. � ��ÿbþpù��5�Zÿx� � ù��÷] h jk�>b=9*÷bþ<�]÷ � ��û � � �

Page 17: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

y<z|{>zU}A~��������v� ���P����� �P���$� ����J�q� �����V�6������� ���6���V� ���a�

� �A¡1¢ £¥¤^£�¦i¢�§©¨Jª$«@¬A«<­_®�¯0°�±o²3³�´-²�µ�´<¶�¶<¶�´-²*·�¸2¹»º ¼�°-«±�¼0¸5½ ®�¯ ¾i«M¿q£q¢6��À�Á¿TÃXÄ �0ÅÆ ��¢6Ä ��¢Ç¤�¸CÈ�°�«<¼0ÉE¹�Ê�ËD¾i«�°�±gÌ ³ ´�Ì µ ´<¶�¶<¶_´�Ì · «�Í$¸5±�®F±-Ê�­Hªc®�ª�¼e®u¼Â®ÎÉ2«<¼0±�®F¯f¹$«Ï¸5±½�¸CÐÇ«�°-«�¹(®,Èq°�¯fË Ñ>«>°�¯ ¼0¹�½

Ì ³ ² ³*Ò Ì µ ² µ6Ò�Ó<Ó�ÓeÒ Ì · ² ·@ÔÖÕ×ØÈi®�ª�¸5±1¸5±1¹�¯�®1®�ª$«Ù­<¼�±-«0Ú0Û٫ٱ�¼7Üs®�ª�¼e®3®�ª$«o¬A«<­_®�¯0°�±1¼�°-«,¿q£Ý¢6�(À�Á¿TÃÞ£q¢6Ä � Æ �ߢ6Ä ��¢Ç¤fàᩯe®�«4®�ª�¼Â®�®�ª$«â¬A«�­�®�¯0°�±m² ³ ´&² µ ´�¶<¶�¶>´&² · ¼e°�«ãÉ2¸5¹$«<¼�°�ÉCÜ�¸5¹�½$«>äÇ«�¹�½$«<¹A®3¸CÈ�¼0¹�½s¯f¹�ÉCÜ

¸2È ¼0¹(ÜΫ�å�Ê�¼e®�¸5¯f¹F¯0È6®�ª$«�Èq¯0°�ËÌ1³�²3³ Ò Ì�µ�²�µ ÒXÓ<Ó�ÓeÒ Ìa·7²*· ÔÖÕ ¸2ËUä�É5¸C«<±ÞÌ1³ Ô Ì�µ Ô Ó�Ó<Ó=Ô Ìa· Ô�æ

çMè �(¦PÁ^�ßé êSëCìí¨Jª$«u¬A«�­�®�¯0°�±M² ³ ´-² µ ´<¶�¶<¶�´-² · ¼�°-« É5¸5¹$«<¼�°�ÉCÜî½$«>äÇ«�¹�½$«<¹A®U¸2È©¼0¹�½¯f¹�É:ÜF¸2È3¼e®JÉ2«<¼0±�®E¯f¹$«¯0È�®�ª$«�¬A«�­�®�¯0°�±Ù¸2±E¼ïÉ2¸5¹$«<¼�°,­>¯fË�¾�¸5¹�¼Â®�¸2¯f¹g¯0È�®�ª$«¯�®�ª$«>°�±>àð ¦iÁ^¦i¿Ý¿�À�Á7ÃÖêSëTñvòa«�®ó7² ³ ´&² µ ´�¶<¶�¶_´-² ·Aô ¾Ç«�¼UÉ2¸5¹$«<¼�°�ÉCÜF¸5¹�½$«>äÇ«�¹�½$«�¹(®©±&«>®©¯0È6¬f«<­Hõ®�¯0°�±,¸5¹uº ¼0¹�½ É2«�®,²îöϺÞà4¨Jª$«<¹tó7²3³�´-²�µ�´�¶<¶<¶�´&²a·A´-² ô ¼e°�«É2¸5¹$«<¼�°�ÉCÜg½$«>äÇ«�¹�½$«�¹(®¸2È ¼0¹�½»¯f¹�É:Üg²÷¸5±E¼DÉ5¸5¹$«<¼�°Ù­�¯fË�¾�¸2¹�¼e®�¸5¯f¹g¯0È�²1³�´&²�µ�´�¶<¶�¶>´&²*·gà�f²�À�é Æ ¿��øò*«>®F�$³�´��(µ>´��Aùξǫú±�®H¼�¹�½�¼�°�½øÊ�¹�¸C®g¬A«�­_®�¯�°�±g¸2¹Xû ù ¼0¹�½í² Ô �$³ Ò�(µ>໨Jª$«g±&«>®�±UóÂ�$³�´��(µ�´��Aù ô Ú�óÂ��³�´��(ù>´&² ô ¼�°-«UÉ5¸5¹$«<¼�°�ÉCÜt¸5¹�½$«>äÇ«�¹�½$«�¹(®<àvü©¯7Ûo«>¬f«�°�ÚóÂ�$³�´��(µ�´-² ô ¸2±E¼ É2¸5¹$«<¼�°�ÉCÜg½$«>äÇ«�¹�½$«�¹(®G±&«�®7à

Page 18: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

ý�þ ÿ���������� ��� ���aÿ�����������1ÿ������������������ ÿ���� "!$# %'&)(+*-,/.'02143 57698:0214;45�<>=?,�*�5

@"A�BDCFEHG+CIB�J�KLE�MONQPRG�BTSVUWPRG+X�B�JYB�G+X�B�G+CFBZC�S[G\S[NQ]^E`_�BDBbaKcB�G+X�B�XdKcEe]^f�_�]^J�S�CFB�]Fgh f�J+JiE[]^Bkj lOS[G+X`j mnSVUoBpKrqsEt]^f�_�]uJ�S[CIB�]�E[Mwv BTS�CxAeX+PzyiBFU^B�G{K2KcA�S[Ge|:]^f+CxAKcA�SVK�S[G{}ZJ�S[PzUOE[M�~{B�CbK�E�Uc]9� l�� j l S[G+X�� m"� j m S�U^BpNQPRG�BTS�UoN�}ZPQG+X�BFJ�B�G+X�B�G{K�g������������ ���Q���/BFKpj l S[G+X:j m _YB�]^f�_�]uJ�S[CIB�]pE[M�v�g�@"A�B�G�KcA�BLM�EHNQNRETq�PQG��CFEHG+X+PzKcPQE[G+]OS�U^B4B��f+P�~�S[NRB�G�K��

� g�j l�� j m�� � |��� g�� l�� j lc  � m"� j m S[G+X � l�¡ � m � | PR¢£J�NQPzB�]:� l � � m � |�g"¤¥P¥g¦B[gQ§HS�G�}J�S[PzU¨E[M�G+EHG©$ªFB�UoE>~{B�CIKcE[Uo]«� l � j l   � m � j m S�U^B"NQPRG�BTS�UoN�}¬PQG+X�BFJ�B�G+X�B�G�Kb­

® �{¯w°-±³²�±´�Y°�µ"��BIK2j l S[G+X�j m _�B¶]^f�_�]^J�S�CFB�]"E[M�KcA�B>~{B�CIKcE[Us]^J�S�CFBpvdg¨·¸Mj l � j m � � |��¹§�KcA�B£]uJ�S[CIBºj l-¡ j m PR]¶C�S[NRNRB�X�KcA�B�»«±´����¼[² ½T¾-� E[M�j lS[G+X j mIgk@"A�BLG+E�K�SVKcPREHG¿j l-ÀÁj m>PQ]�f+]^B�X:M�E[U�K�A�BLX+PzU^B�CbK4]^f+¢ E[M¨j l"S[G+Xj m g® �{¯w°-±³²�±´�Y°�µs·¸Mij l S[G+Xºj m S�U^B2]^f�_�]uJ�S[CFB�]�E[Miv ]^f+CxAºKcA�SVK�v � j l À`j m §qÂBp]cS�}ZKcA�SVKOj l S[G+X�j m SVUoBpCFEH¢£J�NzB�¢�B�G{Kc]�E�M-EHG�BkS[G+E�KcA�BFUOPQG�vdg�H��Ã��\Ä-Å´��µ'·¸MWv � Æ m KcA�B�G'j l:� Ç Ä�¤È� l ­tA�S[]ÉS[GÊPQGÌË�G+PzKoB:Gf+¢¬_�BFUÍE[MCFEH¢£J�NRB�¢£B�G�Kc]FgÎP¥g¦B[gÏPRM � � l   �w� PQ]£NRPQG�B�S�UoNz}\PQG+X�BFJ�B�G+X�B�G�K�§¨K�A�B�GÐv � j l ÀÇ Ä�¤´�-­xg

Page 19: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

Ñ�ÒÔÓbÒ£ÕYÖ-×�Ø�×"Ö�Ù�Ú Ú�Û�ÜnØ�Ù�×FÛÞÝ/Ù\Ý�߬ÖáàÌØ�â�ã�Ý/äe×�å�Öwâ�Ø æxçè"é¸ê ë\ì?íÌî-íÐì¨ï4ð ñóò)ô î-ï4í�òöõÂï õ9÷Éì ø�î-ù�ú�õ�ûóü2ý>ì?ù�î

þÉÿ������������ ������������������� �"!#!"!����%$'&)(+*-,��"./�0(213�547698:,��".;�3(+1<��=>8+.;��? 4@�A.#8+B7B7�"C8EDF>6G4H�3��I J>82�K47�L(+*�? 47*M �3���N,��".;�3(+1K�A���3�"!#!#!;���O$P821Q�RB@476���821KBHST4@6GC���=U�"6GC��"6V�M ? WYX-Z<D� � �#!"!#!;�Q� $ I

ÿ'�-[]\^Z�_´ÿa`>�Oÿ��0�#!#!"!;�cÿ'$:*b(+1Kc 8PJ>8+�Q4@��(+*�d $Veÿ'�-[]\^Z�_´ÿgfh�Lij�kW D�l2�3mVI �3ionkW D�l2��l�Ip*b(+1Kc 8qJ>8+�Q4@�A*r(21�d n�esut ÿV>v�ÿw\ fhxzy|{}*������3�#!#!"!;�Q�%$'&�47� 8�J>8+�Q4@�k*b(+1~?g���3���"6�8+6�SP,��".;�3(+1��^��? ."8+6JU���G6G47�w���"B�S��/��=G1Q�"�Q�Q�"C�8+��8�B@476���8�1L.�('cPJ]4@6]8��34@(+6T(+*��3�����O�}��� eþÉÿ������������ �:{}*L�����3�#!#!"!;�Q�%$�&�4@��8�J>8+�Q4@��*b(+1��3���u,��".;�3(+1���=>8+.;�u?g�U�3�����K."8+B@821� � 4@6a�3���9�G6G47�w����1Q��=G1K�"���#6��08��34@('6�(+*���4@��."8+B@B��#Cg�0�������3����%�v����b��[��Tÿ�(+*L�Db1Q�#B@8��34�,����0(P�3�G4@��J>82�K47� e I

Page 20: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

�0�  �¡-¢�£�¤w¥]¦¨§#©¨ª�¥O O¤U«¬¦®­"£2¢� �¥>­�¢�¯�°®±�¢�¤w¦O²³ �¥>­´'µ-¶]·^¸�¹´>ºq» ¼ ½T¾�¿�À%Á�Â)´�Ã0Ä3´ ¾�Å Á�Æj Ç2ÈGÉ]Ç2ÊKÉÌËGÈGÍ�ÂRÎ�Á"Ï;Â3Ð+ÊKÆNÍ7ÈѽT¾:Ç2ÈGÉÑÒT¼Ó�Ô Ä Ô#ÕAÖ�× Á#È�» ¼ Ø-¸ Ó ´�Ã3Ä3ÒjÃ Õ Ç+ÈGÉE´�à ÄKÒjÃ�Ç2ÊQÁ)Ù@Í7È�Á�Ç2ÊKÙHÚ9Í7ÈGÉ�Á"Û�Á#ÈGÉ�Á"È�Â�ÆQÐÝÜÞ´�Ã0Ä3ÒjÃQßÍ@Æ<Ç Å Ç+ÆQÍ7Æ"¿�à�Ð�áâÍ�ã%µ®¼ ÓåäPÔ�Õ ´�Ã�æ Ójä�çVÕ ´ ¾ Â × Á"È ÓåäPÔ Ä ä�çVÕ Ç2ÊQÁ�Â × Á�Ï"ÐèÐ+ÊKÉGÍ@È]Ç�ÂKÁ"ÆÐ+ã�µéÊQÁ"Ù�Ç�Â3Í�Î'Á�Â3Ð|Â × Á Å Ç+ÆQÍ7Æ)ÜÞ´ à Ä3´ ¾ ßè¿Nê�Ð�áAÁ�Î'Á"ÊLÂ × ÁPÏ�ÐwÐ2Ê3ÉGÍ7È]Ç�ÂKÁ#Æ�Ð2ã~µéÊQÁ"Ù�Ç�Â3ÍHÎ�ÁÂ3Ð�Â × Á Å Ç+ÆQÍ@Æ�ÜÞ´GÃ0ÄKÒ�ÃQßPÇ2ÊQÁ Óoë Ä ä�ç�Õ ¿

à�Ð�Â3ÁRÂ × Ç�Â�» ¼ Ø-¸ Ó ´ à Ä3´ ¾ Ä3Ò Ã Õ Å Ë�Â�ÜÞ´ à ÄK´ ¾ ÄKÒ Ã ß�Ç2ÊQÁ)Ù@Í7È�Á�Ç2ÊKÙHÚ�É�Á"Û�Á#ÈGÉ�Á"ÈVÂ�ÆQÐÂ × Á�Ú�ÉGÐ�ÈGÐ2Â�ãbÐ+ÊKì Ç Å Ç2ÆKÍ7Æ Ó Í�¿íÁ'¿ Ô ´ à æ Ô ´ ¾ æ ÓjäuÔ�Õ Ò Ã ¼�î Õ ¿à�Ð�Â3Á�Ç+Ù7ÆKÐ�Â × Ç�Â�ÚVÐ'ËuÏ"Ç+ÈPÁ;ï�ÛGÊQÁ#ÆQÆ�Ç�Î�Á"Ï;Â3Ð+Ê�µðÍ7ÈPÂKÁ�ÊKì�Æ�Ð+ã ñQÏ�ÐwÐ2Ê3ÉGÍ7È]Ç�ÂKÁ#ÆQò�ÊQÁ#ÙôóÇ�Â3Í�Î'ÁpÂ0Ð�Ç�Æ�Á�Â~Ð+ãGõ+Á#È�Á�Ê3Ç�Â3Ð+ÊKÆ-Â × Ç�Â~Ç2ÊQÁ<ÈGÐ2Â~Ç Å Ç+ÆQÍ@Æ�ö × Ð�áAÁ�Î'Á"Ê�Â × ÁPñQÏ�ÐwÐ2Ê3ÉGÍ7È]Ç�ÂKÁ#ÆQòÇ2ÊQÁRÈGÐ2Â�ËGÈGÍ7÷wË�Á"Ù�Ú�É�Á;ÂKÁ"ÊKì�Í7È�Á#É�Íø¿ùÁ+¿

µ ¼ ÓjäuÔ�Õ ´�Ã%æ Óåä�çVÕ ´ ¾ æ ÓøúVÕ Òjõ ¼ Ó æ ë'Õ ´�ìæ Óåä�çVÕ ´ ¾ æ Ójä�çVÕ ÒjÃ

Page 21: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

û#üíý/ü|þ�ÿ�������ÿ�������� ��������������Pÿ�������������� �2ÿ!�"� #%$&('�)+*�,-)/. 021436587+9�:<;>=@?�ACBED BGF�=CHIA�JKD LM:N=OHPBRQ�AOL�DTS L =U7K:NACVW7�:NX"DYBZAC[\D7^]_[`?aD H>=CF�JKD LM:N=OHbB�c)Udfe�.�g�hi)�jlk�Dm: donpS AC7_q�rsDm:tdvu%w x�x x�wRd�yzAO7_q�{�uNw�x x�x wZ{�y`?�D|:<;>=\?�ACBED�BtF�=CHS}c�~�X"D 7 dY� y���� uC� � d � AC7_q d�� y���� u�� � { �� ]�: { � � y���� u�� ��� d �BR=z:bX�A�: y���� uO� � d � � y���� u�� ���� y���� u�� ��� d �s��

� y���� u ��y��E� u�� � � ��� d �s��

� y���� u ��y��E� uR�i� � � ���W�� d �

~�X^]_B � � ��� y�E� u � � � ��� HZD r4A�:bD B�:bX"D�HZD�Q_HRD�BED 7+:NA�:bVs=U7\Vs7\:bD�HZ[�B�=CF�:bX"Dt:<;>=�?�ACBED B c

Page 22: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

�N�  "¡f¢�£�¤/¥�¦§�¨©"¥� �¤�ª�¦T« £O¢! "¥�«�¢�¬�­T®8¢�¤/¦�¯� "¥�«°²±a³-±a´µ´i¶_³¸· ¹2ºW»p¼�½�¾�¿ Àa½\Á�ÂK½ Ãm¾bÄCÅ ÆEÇ�ÁCÃ�½(È�É�¾bÊÀ�ÁCÆRÉsÆ8ËvÌ%Í Î�Î Î�ÍRË�Ï\ÉsÐ�Ñ Ò Ó!Ô¾bÊ"½�ÕÖÁCÕ+×GÆE½m¾tÄCÐ�Ñ ÂK½ Ãm¾bÄCÅZÆØÄOÐ�¿ ÉsÆ�ÙWÉsÕ"½¸ÁOÅZÙ�×PÚ"½ Ça½�Õ_Ú"½ ÕK¾¸ÛÜÞÝKß!à�á4â-á ± àäã�å ÂK½ ÃM¾NÄOÅ�ÆEÇ�ÁCÃ�½æ¿ È�É�¾bÊ(Á�ç�Õ_É�¾Z½äÀ�ÁCÆRÉWÆ�ÉsÆ�ÆZÁCÉWÚè¾NÄ8Ê�Á�ÂK½æÚ_ÉWé\½ Õ_ÆRÉWÄUÕÓPÉsÐ_¾bÊ"½êÕ/ë_éìÀ�½�Å�ÄCÐ"ÂU½�ÃM¾bÄCÅZÆ�ÉWÕ²¾bÊ"½|íîÁCÕK×�ï�À�ÁCÆRÉWÆvÉWÆ�Ó!Û�ð}½ØÆZÁ�×�¿ Ê�ÁCÆvÚ_ÉWé\½ Õ_ÆRÉWÄUÕÓ}ÁCÕ_ÚGÈtÅbÉ�¾Z½lÚ_ÉWé íµ¿ï�ñòÓ!Û�ó�Ê"½èÆEÇ�ÁCÃm½`ô�õ�öìÉsÆ�ÆZÁCÉWÚP¾NÄzÊ�Á�ÂK½èÚ_ÉWé÷½�Õ_ÆRÉWÄCÕPø�½�ÅbÄ"Ûù(ú Ý ±�³ Ý/û ¹2ºµü^õ å ÕK×\ÙsÉWÕ"½�ÁOÅZÙ�×(ÉWÕ_Ú"½�Ç�½ Õ_Ú"½�ÕK¾ýÆE½�¾æÄOÐ2ÂK½�ÃM¾bÄCÅZÆ�ÄCÐ�Áèç�Õ_É�¾Z½tÚ_Ésé\½�Õ/þÆRÉWÄUÕ�ÁOÙ�ÂK½�ÃM¾bÄCÅØÆEÇ�ÁCÃm½|Ã�ÁOÕÞÀ�½è½ Õ_Ù4ÁOÅRÿU½ ÚP¾bÄ\Á`À�ÁCÆRÉsÆ Ûù(ú Ý ±�³ Ý/û ¹2ºµü�ü�¼�½�¾�¿ À�½PÁ�íiç�Õ_É�¾b½÷Ú_ÉWé÷½�Õ_ÆRÉWÄCÕ�ÁCÙiï>ÂK½�ÃM¾bÄCÅ|ÆEÇ�ÁCÃ�½zÈ�É�¾bÊpÆRë"À�þÆEÇ�ÁCÃm½�Æ�� Ì ÁOÕ_Ú�� ��Û�ó�Ê"½ Õí��¸ïèÚ_Ésé6í�� �iï� Ú_ÉWé6í�¿TïvÁCÕ_Ú�ÁOÕ+×`À�ÁCÆRÉsÆ�Ð�ÄCÅ� �aà ÁCÕ\À�½t½ Õ_Ù4ÁOÅRÿU½ Úì¾NÄ|ÁèÀ�ÁCÆRÉWÆÐ�ÄCÅØ¿í��Uï� Ð�¿ ñ � Ì���� � ¾bÊ"½ Õ�Á�À�ÁCÆRÉWÆ Ð�ÄCÅ8¿ ÉWÆ�ÄCÀ"¾NÁCÉsÕ"½�Ú�À+×�à ÄCé`À�ÉsÕ_ÉWÕ"ÿPÁOÕ+×À�ÁCÆRÉsÆèÐ�ÄCÅ�� Ì È�É�¾NÊ�ÁCÕ+×TÀ�ÁCÆRÉWÆlÐ�ÄCÅ�� �mÛ å ÙWÆRÄÖÚ_ÉWé í�¿Tï�ñ Ú_ÉWé í�� Ì ï��Ú_Ésé í�� � ï%Û

Page 23: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

�������������! #"%$#"�&('*),+.-0/�$213+4 5/ 6879;:=< >@?A?CBEDGFHDJI*KALAMONQP*RCSTM.B�U

VXWZY3[�\^]_\�`a[cbdfe�gheJe4ikj�lJjnmpoJqJrtsEuvl5w2rkicrkmxeJuvghuyszu!m2{Jw}|Zi~rtszm�j.u�l5w�rtic����s8m2�xiksz�4ikj� g�sz��w�jvi�w��3|2w��hq4i~o�{�qJeJr�szghmxe����T�n�3��r�w�����i~o�s8�4i�gheJe4ikj�lJjnm�oJqJr�s�mxe�� � �Jg�r��ghu�o4ik�5e4i~o�{�m�j�i�w�r���m�jno4i~jvi~o�l5w�g�j�m�{|Zi�r�szm�jnu��T���Qg�e�� w�eJo � �Jghr8���#w�u�s8�4i{�mx�h��m � ghe4��{�mxq4j�lJjnm�lai~j�szg�i~uk�

����  ���T�n�¡�¢ ���c�v��� � uy£4¤¥¤¥iksnj�£  ��¦x  ���T�v���§Q¨ � g�sz��i~©�q#w���g�sª£«g�{3w2eJoXmxeJ��£¬g�{!��¢®­ � l¯m�ung�szg�|ZiAo4it�5eJg�sni  �±°@  ���*²���z³��¢ ���T�z³��´²µ����z³���w�eJo�����v�¶²�³��T¢ ���T�n�3�´²µ���T�n³�� ��· gh��ghe4i�w2jng�sª£  ��¸�  ��¹4�T�v�3�c¢ ���T��¹4�3�c¢º¹!���T�v�3� � �Jmx¤�m���i�e4i~g�sª£  

Page 24: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

»�¼ ½4¾�¿!ÀEÁ�Â#ÃÅÄ�ÆÅÇ4Â.½.Á,È(õÉ~À2¿3½4Â5ÉÊ¿!Ë!̵Ͷ¿!Á�Ã.Î=½4Â5ÉÏXÐZÑ3Ò�Ó^Ô_Ó�ÕaÒcÖ;×.ØtÙ*Ú ÛaØ�Ü�Ý�ÞhÝJÝ4Økß�àJßná�âJãJä�Ù*å�à5Ü�ätØxæç;è4Ø~Ý

é�ê�ë ç;è4Øcì�Ø�Ý4í2Ù8è�á�îïÜ}ðZØ~ätÙzá�ßOñ�òÅÚ Þ�å.Ùzè4ØcÝJáxÝ�óôÝ4Ø~í@ÜõÙ8Þ�ðZØ3ßnØ�Ü�ìxÝpãJö÷Û,Økß¡ø ù�ñTúvñ�û�üâ4Ø~ÝJá2ÙnØ�â�ýzñ}ý_ü5Ü2ÝJâ�ä�Ü2ìhì�Ø~â«Ù8è4ØþÒEÕ5ÿ�� á�î!ñ

é��xë ç��}á�ðZØ~ätÙzá�ßnå;ñTú�� ò�Ú Ü2ßvØ�åzÜ2Þhâ�Ùzá�Û,Ø÷Õ5ÿ�Ô�EÕ�5Õ,Ò ���cÞ�î*ù�ñTú��3û�� ��æ���Ø�*ßnÞ�ÙnØAÞ�Ý�ÙzèJÞhå�ä~Ü�å�ØAñ����é��@ë ç;è4Ø��¡Ó��kÔ��#Ò �ZЫÛ,ØtÙ��Ø~Ø~ݬ٠��á�ðZØ~ätÙzá�ßnåñTú!��òÅÚ Þhå}Ùzè4Ø�ßnØ�Ü�ì(ÝpãJö÷Û,Økß

" é ñTú!� ë � ýzñ$#%��ý�� ý&�'#�ñ�ýé)(�ë+* îEñ�Ü�ÝJâ,��Ü2ßvØCðZØ~ätÙzá�ßnå�Þ�Ý�Ú Ù8è4Ø+-Eÿ_Õ/.~Ð0��Ô�Ó�ÕaÒ á�î ��áxݬñ�Þ�å}Ùzè4Ø�ðxØ�ä�Ùzá�ß

1��� 23 ù4�úvñ�ûù�ñTúvñ�û657 ñ

Page 25: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

8�9;:<9>=�?@?BA�C$D�CFEHGJILKNMPO�DRQSKTA�O U�VW,XZYS[F\^]\�_`[ba�cNdfehg i�jlknmpo;erqts�uwv!oxvzy�XT{&|rX0}~|����6��|rX kZ����� qTd�v�e&uw����uR����o����Td~�� ���/������eJox��j k oxv��Td~���Td6�,s0�

�)� |<����i��S{���{@���B}��L}F�¡ 6 � ¢�£� k � kmpqTd~��dt��{¤|r�B}~|� 6 � /��� k |<��{r|!�`}~|� � 6 6|<� k uR�!dlerqTdt�6���w����o���u�erd6v+�w¥���uw��� �b¦ �!d�§v � d6�fero;¨Zd�©;� ¦ �!d6©^u¢ero;¨Zdzer�ªe&qTd�s�uwv!oxv«y�X { |6���6�~|�X k ���X¬�@­�®%¯F°�X²±�a�cNdfeJg i�j } uw��� �  �|6 ³�´sLdµerqTd+v�e¤uR����uR���¶ox���Td6� � ���������fe �·� qTd6�erqTd¸�Td~����o;e&ox�¬�+�w¥�©xd6�T¹werq ¦ ��o�v�e&uw���~d ¦ �R�!erq��w¹¬�¬��uw©�o;e��ºuw��� � �r�R»�d6�fero��w�+�~�w�!�!d�v � �¬���er�PerqTd+��v!��uw©��Td~����o;ero��¬�to��$¼½���~©�ox�Td¾uR�t¹¬d6�¬¿ldfe��<� ��À ¥ ��i�X { �ÁX } erqTd6� �  i à � �½|<�F�i Ä Å } ��Å }i Ä Æ� X { |rX } � i Å� Çp�£Çµ �Åi ÇÈv!�Pe&q�u�e²XT{½É�X0}ÊÌË ��|rXT{�Í i  ��ÎÁXT{ Âi à � �ÏÎÁXT{&|!��βXT{!�i Ä Ç } ��Å }i Å

� qTd � ���w»�d6�ferox�¬���w¥B�Ð�¬�Zer�ÑXT{¸oxvÒ�Ói ÔÕ � ��|rXT{<�� X�{&|�X�{<�~Ö× XTØhi�X {

Page 26: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

Ù�Ú ÛTÜ@ÝBÞ ß/à�á'â�ã'äTàNÛNßLåHáçæ6ÞRÝSÛTà�æpÝBèBéçêzÝBß/áNëìÛTà�æí¬î@ï�ð%ñFò�íôóÌõ�öN÷fø�ù ú�ûlüþýpÿ;ø��������!ÿ��¾î��� ������� <î ü�� �������T÷����T÷���î� ���� �"!

# �%$&�&' #)( $ ( '+*�*�*,' # ü $ üý-�T÷/.�÷ # �0 #1( �*�*�*� # ü �$&�� 2$ ( �*�*�*� �$ ü �,.�÷�ø��T÷43�565�.7��ÿ��8�¢ø�÷���5�9Hî:�����;�:.!÷�<=�¢ørÿ?>Z÷ø�5>ø��T÷@���A��ÿB�C¾î��� ������� <î ü��6DFE �T÷G��ø������8�A.7�$ÿB���T÷�.IH�.75J��K�3�øpÿ��Ïû ü ÿB�L�M�2H`÷�3~ÿ=��<3����<÷�ý-�T÷�� î&N�ú¡íONQPSRUTVRXWY 5¢ør÷�Z[��5¾ý�÷�>Z÷/.�Z/ø��8��ø�ý-�T÷��

¾î��� ������� <î ü��]\ú �í[�� rí ( ������� rí ü��ø��T÷M.!÷��7K�<;ørÿ��[^_�T÷�����ÿ ørÿ�5����@3/5�.�.!÷��2H`5�����ÿ��[^¶ø�5_< ÷��[^wø��&Za5�.<ø���5�^O5��8��<�ÿ;øb!cZ�÷fø�3 D ��5��5Rø)3�5A.7.!÷��2H`5c���«ø�5�ø��T÷�K���K8��<Od�K�3/<�ÿB�T÷e���^w÷�5cf>÷~ø7.�ÿ�3��T÷�����ÿ ørÿ�5c��� Dag �SH��A.<ø&ÿB3�K�<��A.�Zýpÿ ø�� ø��T÷h��ø������8�A.7� ÿ����T÷/.iH�.756��K�3fø�Z/÷���30��>Z÷�3fø�5�.¸ÿB��ø��T÷�����!ÿB�i�8���iK���ÿ øj<x÷��[^wø�������_�A�"! ø ýF5k�����!ÿ�� >Z÷�3�ø�5�.7�l�A.!÷S5�.<ø���5�^O5c�8�A< D

Page 27: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

m�n?o2nqpsr1r)t8u_v8uxwzyI{}|�~���vA��|[t�� �0��c�1�8���x�s���&� �����i� �}�4�����������`�c���?���?�O�l�[������� �7�I�¢¡[£M£M�/�7¤7��¥¦£��§��¤7�©¨&ª)«l¬[����B­x®V¯�°±�A¤��S¥��6��¤7�����8�,�7���j��­1��¯�²³¤7��´=�§���?�O�4���_µ¶��·�¯�¸�¸�¸�¯7�O¹Aº¼»��[�����[�

½ �¾¯7²�¿�À ¹Á à ·¹ÁÄ2à · ®  ° Ä�Å-ÂÆÄ

Ç ¬[�/¤7� Å ÂÆÄ ���z��¬[�-µÉÈ7¯ËÊJº%��¬��´ ��£M���O����­6��¬[�¾£��,�7¤7�?¨L� �A���C���,������¬8�,�&��¬��B�1�7�,���B�2�8�����¬[�S¤7��Ì6Í��B¤���£q���O��� �A­������B���[��¤F��¤7�6��Í�¥���ªÎ �OÏ�ÐxÑ=ÒÓÑsÔÕÐV�4Ö×­x��»8²Ø�A¤��C���c�JÙÛÚ/�/¤��k�O��¥�����¤7�l�B��ܳ»[��¬[������¬[���A�[ÝO´B�CÞ��}��� Ç �������������²ß�B�l�[�/���[�����"¡

¥/�c�eµàÞOº¾À ½ �¾¯�²�¿á � á¦â�á ² á«l¬����¦¤���´��,�����c����¬�� �;�}��� Ç ����� ½ ��¯�²�¿¦������Þ@���]ã ¹ £;�e¡q�}�L¤7�/��¤����2���"�7���;�6¡;Ýc���§Ù£M���7¤��B¥L¥/�c�������[�/¤��,�����c��� ���ä��¬[�S�8´=�A�[�S�����A���[�����"¡���������²�ª

Page 28: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

å�æ ç[è1é)êaëJì8íïî�ðïñ[ì�ç�ë}òzíQó�êAé�ç[ì�ó-é)ô)õQö4é)ëJí�÷%ç[ì�óø`ùûú`ù¶ü ýxþxÿ��������Jÿ���� ��ÿ�����þ����������������Éÿ���ÿxÿ�������������þ����� "!��#�$���%'&)(+*,(.-/*,(102(43$(+*5-�6)*2(027#69850:7#0;(+<�7#6>=@?A-�?�-B69CD8E=@FHGI(KJILM(48,*;C�85&�-/8:&�-�3I(N=OLALM(KP#=Q-R85((TSU8,(K?#0,=@JI?#0H85JV=O?#?)(+*1W#*,JXP#7#FT8N0;W>-�F4(0+Y:%'&)(K02(Z*2(K027#69850'-B*2(�[\^] ���>���X� øzùÉü[ø`_ba %'&)(�cdCX85&�-BG$JB*,(-�?e%'&)(JB*,(KLefgYih�(+8'jikmlonp(q3$(KFT8EJB*50r=O?ts�Y%'&)(K?ou�lwv2j�x:y{z|=@<�-�?#P}JI?#6~Ce=@<

� lt�oj �g� y � l �g� � � j �g�� �D�o���ïø`ù¶üU�`_Za�� -�7#Fg&$C����XFg&$�'-B*2� ��?)(�D7�-�6@=98�C�f���<jik�l�-B*2(r3I(FT85J�*,0�=@?Vs�kB8E&)(K?

� u�lwv;j�x �X� � l �$� j �� J�*2(J�3$(+*Kk � u�l:v2j�x � y � l �$� j � =9<�-�?#PAJI?#6~CV=@<`l�-�?#PMj�-B*2(.6O=@?)(�-B*,6~C�P)(KWp(?#P)(K?$8�Y\^] ���>���X� ø`ù¶ü���_ba %'&)(�%�*,=Q-�?)GI6@(Z��?)(K�X7�-�6@=98�C>fw��<�jikml�-B*2(�3$(KFT8EJB*50H=O?ts�k)85&)(K?

� j�� l �¡� � j � � � l �¢ �D7�-�6O=~8�C£JDF+FK7)*,0w=@<�-B?#PAJI?#69CV=9<j�y¥¤�J�*ij¦y{§�l�<�J�*w02JIL|(N?#JI?X�¨?)(+G�-/85=93$(H*2(�-�6?D7#L�np(K*1§wY

Page 29: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

©ª~«;ª|¬®­"­�¯�°²±�°�³`´Nµ¶�·�¸±B¹�¶)¯>¸ ºT»¼¾½�¿¾½�¼ À|ÁÂ�Ã�ÄpÅ�ÄpÁRÆ�Ç�ÈHÉ�Ç#ÊË�ÊÌtÍ$Î Å�ËQÂ�Ë®ÄpÅwÏÑÐ Ò>Ó�Ô2ÕOÔAÖ�×ÙØ5ÚÛKÛÛ4Ú2×�Ü$Ý}Þ�ß�à£á ÕOÔ�âKÓ�ãOã9äåæÓ�ç ß�à;è5é#ßIç#ß�à,ê�Ó�ã�Ò>Ó�Ô2ÕOÔë�ì�íZîrï Õ@Þ�è5é)ä�ð$äKâ4è5ß�à,Ôñ×�ò�ÓBà2äZó>Ó�Õ9à2ô.Õ@Ô;ä�ß�à;è5é#ß�õ$ßIç�ÓBã¾Ó�ç#å}é�Óð$ä�ö#ç#Õ9èNç#ß�à,ê²÷ÙÕø÷mäI÷

ù × ò Ú;×úgûwü ýþ ÿ�� Õ@Þ��Ùü��� Õ@Þ����ü��Í ×"Ç�Æ�È Í�� Ï ��ä+è¡á ü � Ü ÷��'é)äç�Ö Í Ø5ÚÛÛKÛ4Ú Í Ü$Ý��pè5é)ä£Ô�èEÓ�ç#å�ÓBà,å²ö#ç#Õ9è ð$äâTè5ß�à,ÔÕOç�� Ü �#ÕOÔNÓ�ç}ßBà2è5é#ßIç#ßBà5êAÓ�ã>Ò>ÓBÔ,Õ@Ô+÷Í ×"Ç�Æ�È Í ¼¾Ï���ä4è'á ü����NÓ�ç#å

× Ø ü � �� � Ú �� ���× � ü ��� �� � Ú �� � ��'é)äKç�Ö�× Ø Ú2× � Ý£ÕOÔNÓBç ì�íZî ÷

Page 30: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

�! "$#&%('*),+.-0/2103$+4"4)657-98:';%<"$+=8>%(?(@9A�%(),-4BC"$+=8D�E�FHG�FHI.J�FLKNMOJQPRGSFTE;MVUWG:XYFHE[Z\P^]`_�Ea_,bdc:GSZ\E�e�J�Z\Ggf=J;KNZRh>KiPRGgE[ZRFHI�E[jWE[_.J[kml�FnI$G:_FHI$GSopJ;ZqGrkNKi_$G2J;Z\ksotKi_�u$GSf6G:_�u$G2_WF2vxw�I�y�PzKsM{u�KN| ]`}0eT~ ��J;_�up���n�2�:�2�Y�q���xJ;ZqGf=J[KsZqh>KNPRG�E[ZRFnI�E;jWEa_.J[k�l�FHI$GSo�X:E[_�PRFHK�Fny�F\GTJ[_�E[ZRFnI�E;jWEa_.J[k��=J[PqKNP�M`E;Z�}�v���kiPqE�l$��o_�E[Z\|�J[kNKNc:Ki_$jTFnI$G ������PSl$h�G�I.J2UWGLFHI.J�F�� � ���� � � � � �&�� � � � �:�2�2�Y� ���� � � �6� ��KiP�J;_��LD � M¡E[Z�}�vw¢E£PqI�E¤h FHI.J�FTf=J[KsZRh>KiPRG^E[ZRFnI�E;jWEa_.J[kNKsF¥o£Ki|¦f.kNKNG:P kiKi_$G2J;ZTKi_�u$GSf6G:_�u$G:_�XSG[l(h{GPqy$f�f�EaPRG{FHI.J�F�FHI$G�� � �§P¨J;ZqG{kNKi_$G2J;Z\ksozu$G:f©G2_�u$G:_WFOJ[_�u^J;ZqZ\KsUWG�J�FVJLXSEa_WFHZHJ[u�KNXYFHKNEa_�vª y$f�f�E[PqG FHI$GSZ\G G¬«$KiP­F>®<�n�2�:�2�Y�n®��gPqy�X!IxFHI.J�F�¯�s° � ®4�i�4�7~²±w�I$G:_�M¡E[Z�J[kNk.³´h{GTI.J2UWG µ ~ ¶·�©¸¹� �¯��° � ®��i���`º~ �¯�s° � ®4�»¶¡�©¸¹�R���¡º~ ® ¸ ¶·� ¸ �R� ¸ º�Oy�F�¶·�©¸¤�R�6¸¬º¦~ ¼¦h>I�KiX!I½KN|¦f.kiKsG2P¾®6¸�~ µ M¡E[Z^J;kik<³.vw�I�y�PgFHI$G�UWG:XYFHE[Z\P¿J;ZqGkiKN_$G¤J�ZHk�o�KN_�u$G:f©G2_�u$G:_ÀF2v

Page 31: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

Á2Â�ÃR´ķÅ&Å(Æ.Ç£È.Ç¢É7Ê�Ë6Ì4Í¿Î2È;Ï<Ì$Æ=ΠЬÑÒ�Ó$Ô�Õ:Öi×[ØqØ\ÙNÕÛÚ\Ô:ØqÜ�Ösݨ×;Þ6ßaÜ�ÝáàLâ ã�ä§Ø¢ÙiØ<×[å�Ô¬æ$ÙiØ­Ý\Ô2å�ÕYÔÛÝnÓ$Ô:ß[ÚqÔ:ç è>Ó�ÙNÕ!Ó�ÙiØ¢é�Ú\ߤêWÔ:ëÞÀìrÕSßaå�Ø­Ý\ÚHÜ�Õ¬ÝHÙißaå�í*Ò�Ó$Ô�ç¦ÔYÝHÓ�ß,ë´ß[î4Õ:ßaå�Ø­Ý\Ú\Ü�ÕYÝHÙNßaå¦ÙNØÛÕ2×[ÖNÖNÔ:ë´ÝHÓ$Ô�ïðÚH×[ç^ñ­ò,ÕnÓ�çrÙië�Ýé�Ú\ß,ÕYÔ:Ø\ØSíó�ô*õÀö=÷¹õ,ø ù�ú¡û�ü�ý þ�ÔSÝ�ÿ����������������� pÞ©Ô ×;å ×;ÚqÞ.ÙsÝ\ÚH×;ÚRì½Þ=×[ØqÙiØrî¡ß[Ú��pí Ò�Ó$Ô:åÝHÓ$Ô:ÚqÔ>ÔYæ$ÙiØ­ÝHØO×[åQß[ÚRÝHÓ�ßaå�ß[Ú\ç�×[Ö�Þ=×[ØqÙiØÛî¡ß[Ú����.ÿ�� � ���������� � �ØqÜ�Õ!ÓrÝnÓ.× ÝOÔ¤×[ÕnÓ�����ÙiØ×´ÖNÙiå$Ô2×;Ú�ÕSßaçgÞ.Ùiå.× ÝnÙNßaårß[î*ÝHÓ$Ô�� � ä�ØSí� ØqÙNå��9ÝHÓ$Ô ïLÚH×[ç^ñ¥ò,Õ!Ó�çrÙië�ÝTé�Ú\ß�ÕSÔ:ØqØ��¨è�Ô å�ß;Ý\Ô�ÝnÓ.× Ý^ÙsÝ^ÙiØ¿×;Ösè�פì�ؾé6ßaØqØ\ÙsÞ.ÖNÔÝHß Ô¬æ,ÝHÔ:å�ëp×[å�à âLã î¡ß[Ú ×xØqÜ$Þ.ØRé=×[ÕSÔ�� ÝHß ×;å�àLâ ã î¡ß[Ú���í! dî�ÿ����"�������#��%$& ÙiØ�×[å àLâLã î`ß;Ú'� ��ÝHÓ$Ô2å²×;é�é©Ô2å�ë)(+* ,êWÔ2Õ¬ÝHß[Ú\Ø0ÿ���$.-/�"�������#�0���� Øqß ÝHÓ.×�Ýÿ�� � ���������1� $ �0� $2-/� ���������� � gÙNØ�×gÞ=×[ØqÙiØ�î¡ß[Ú3�píVÒ�Ó$Ô2å�ØRÝn×;ÚRÝ�ÝnÓ$Ô¾ïðÚH×[ç^ñ­ò,ÕnÓ�çrÙië�Ýé�Ú\ß,ÕYÔ:Ø\Ø�× Ý�ÝHÓ$Ô�, ÝHÓ Ø­Ý\ÔSé£Ùmí Ôaí

� $2-/�54 �76$.-/�8 � 6$.-/� 8 è>Ó$ÔSÚqÔ9� 6$.-/� 4 � $2-/� * $:�<; �= � $.-/� �1�%�?>@�%�

Page 32: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

A&B C�DFEHGJILKNMPO�QPR�KSCSIUT%MWV�GXEYC�KZV[EH\H]W^_EHILMS`.C�KZVacbedcbgf hji�k�lJmZn/m/oJpNqsrtm/uwv7q?xyuzxyoUk�{|~}������X�"�����W�������0�"}��������N�X���<�����X�5�@�3����������X�"��������������'�/�j��L�"���������W�"���0�#�"����H������"���1�~����������N�0�Z�������#�  x�¡Yo7¢gk�¢?m/o�£3¤ �S¥ �¦���t�0�#�§���c������"���1�����©¨ ª«�N�¬�§���­�§����������1�X�1���®�©�¯����N�0�Z���#�����¨W°&±N�"}������"}��t�0����¥ ²³�¦�[�����¦�¦���'�"}��!���0�"}��������N�X�%����´j�N�¦��´©�����3����¥ �¦�µ¨�������¦�¶����·Z�����¸���

¥ ²'¹ º�»z¼!½?»¿¾1ÀYÁ¿¹ÃÂ�Ä5ÀwÅ ¥ ÆÇ lJxÈmZi�xLu acb«É¬Ê�£s¤ �7¥ ���s������N����[���J¨ �"}����'¥ ² ���~������N��Z�X�#�Ë���J¨Ì�Ç lJxÈmZi�xLu a%bÍÉ�d%£5¤ �¬¥ ���F�¶����N�0�Z���#�5���L¨ �[�®�"}�����´PªÍ¥ ° ¹ÏÎ �����Ð����´¸ªÍ¨W° ¹Ñ ±¬�"}��������¦´ ªÍ¥ ² ° ¹ Ñ'Ò Î �¿Ó_�����±�¨ ¹ ¥ Ô+¥ ² �

Õ ��¦���j�"}��Ë���X�"�����'���Y���µ���0�"}��L�#��´©�N�<��´j�����§���Y�j����N�0�Z������±��3�Ë�1������}N�Ö�[��������"��� » ���[���0�"}��������N���U�"���©����N�0�Z�����!¥ ���µ¨ �¦� » ���[���0��}��X�����N���c�"�©�������0��������"�������³¥ ����±���×L���®�X���¦�������®��±c�<� » �����¦�W¥ ²J�t|~}��¦�����P�����1�W´��X�"�<�X�­�1���¶��}����¬�1�����1�¦���Ø���N�"}��¶���X�"�����!���N��}��Ù���1��Ú@�����"�¦���t���/�����§������"���Y�������������X�"}��#��������"����"���"}��Ð���1�XÚÛ������¦���������Ø������"���¶���È�"���j����N�0�Z�������

Page 33: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

Ü�Ý®Þ0Ýjß?àFàHáNâµãNâ7ä%åsæUçSè�é�ãXêYç�áZé ë&ìícîeïcî<ð ñ¯ò�óLô�õÈö�÷�øÍó/ùJúû�ü!ýNþ�ÿ�ü���ü�����ü������� @ü�������������������üÐÿ�ü������������� �������©þ�����"ý�ü�Ùÿ�ü���������! ~ý�ü���� Ûü����"�#���$���¶þµÿ�ü����"��%���&���¸þ�'�(*)+',�Zþ���ü-���.� �#'/��ü0����ü��1)�23�"ý�ü4�5��6�6#�879���*:ü�';(6<�8�=/> õÈóZò�õ@? ícîBADCFEHG ü0�JIK)Uü�þL����@MON#ü0���ÿ�ü����"��P�#�Q� þ����R þL';(*)+',�Zþ���üS����T�U ~ý�ü��V�"ý�ü01ü�ü�W*��'X�.�Y7Z�!ÿ�ü��������'[I]\"^*I`_a���b� ';(�&ýV�"ýNþc�d,e8f I3ghI \ji I _dlk�f I \!m R nUI _am R odqp�f I \ þ����I _ þc1ür(��#s@(�üd5t@fruvd Iwn;Ix\ f[yzuFd I{n;| f �B��~þ�6#6D| m Rû�ü4��ü�����ü}�"ý�ü~���� @ü��������������!Iz���&�"�VR þ�'��"ý�ü�ÿ�ü�������rI \ ���3�"ý�ü©þ�)v��ÿ�ü

ü�';(6<�8���J6#'��*^{�#�a73üV��þ������� ÿ�ü��������'/I \ þ����I _ '1þc����',��2*�#�*:������/ü�,���¦ü�' d,e8fþ��� dlk�f ^`�"ý�ü��$�����/ü�,���¦ü�' d�p&f þ��� d5t@f 79�#6�6x�B��6�6��87 þ�(D�"����þc������þ�6�6<2µþ���TI \ ��'�"ý�üJ���� @ü����������L����I$���&���/R �U�U����Uü0,�Y2 d5t@f ��'��"ý�ü�6¦ü�þ�'X�Z'�s�(Nþ�ü�'!�����/ü�,�Y2����l�'X��þc�1ü�'[�"ýNþc�.Ix\w��'Z�"ý�ü�ÿ�ü�������.�#�VR �06���'0ü�'X�.����I{�

Page 34: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

��� �*�������@�+�Q���Q�*�`�`���F���������*���9�� �¡�¢P���@�`£¤�*���¥�¦¨§&©�ª¬«�ª®­�¯,°"±­�ª­�¯�²4«�³{´�«�µ;¦�µ-¶8·x¸�¹�º�º�º�¹;·j»½¼Q¾5­�¯~«3µ�¿*´+µ,À�«�Á�©� ¦�ª®ÃTÄ�«

µ;¦�²~À+³¨©w¾5­�¯�² ¾5­�¯�°"±*©!À¯�­�ÅX©�Á�°"¦#­�ª�­�¾�«�§&©�Á�°"­�¯�Æ�­�ª&°�­9 Ç5Æ]¸XÈ�²4«�É�´�©[­�´*°"«�¦#ª*©�ÊjËÌ ª�°�¿¦¨°�¦#­�ª4µ;¿*Í�Í�©�µ,°�µ�°"±+«Î°ZÆ]¸wµ;±­�¿³#Ê4´�©�°�±*©�µ;¿² ­�¾�°�±*©�À¯�­�ÅY©�Á�°�¦�­�ªµ�­�¾`Æ�­�ª&°"­°�±*©�­�¯,°"±­�ª­�¯�²4«�³´�«�µ;¦�µ.¾5­�¯.Â

Æ]¸UÏ »ÐÑ¨Ò ¸;Ó Æ{¹;· ÑÕÔ · ÑÖ ±¦�µ[¾B­�¯�²S¿³�«/¦�µ[§&©0¯�¦¨×+©�ÊV´�É-°"±*©�¾5­�³#³�­8Ø9¦�ª*Í%¯�©�µ;¿³¨°�ÙÚ/Û�Ü�Ý�ÞßÜ@à áFâ5ã*ähå ©�°4 ´�©�«1µ;¿*´+µ,À�«�Á�©�«�ªÊæÆ «T§&©�Á�°"­�¯L¦�ªæÃTËèçJµ;µ;¿²~©¶8· ¸ ¹�º�º�º�¹;· » ¼%¦�µ�«�ªQé�ê�ëì¾5­�¯ZÂ Ë Ö ±*©�ª�°�±*©�§&©�Á�°�­�¯

Æ ¸ Ï »ÐÑ¨Ò ¸;Ó Æ{¹;· Ñ Ô · Ѧ�ªV ¦�µZ°�±*©rÀ¯�­�ÅY©�Á�°�¦#­�ª-­�¾�Æ1­�ª�°�­í Ë

Page 35: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

î�ïñð0ïLò9ó�ô@õ`öø÷�ù]ú+ûDöÕü�öYô�ö¤ýFü�þ�ó�ü�ù�ýFÿ+ú+õ`ó�ô�ö¤ýFü�þ �������� � � ����� ���������� �������� ��! "�#$�%�&� �������

')(�* +-,.+0/2143657398;: ,;3=<%>-?=,.,@+A1CBD?E5&F +A5&>G+IHJ+-8�KL+-+A5M/N5&5 +-,�B&,@?OF&:&>P8�1CB�3=>-+A14?=QF&/2RS+T5&1./2?E5VUW3=5&FX8;* +41C+-8Y?ZQ[3=<N<\UW]_^4R`398@,;/2>-+A1-a

'cb�Q�3dH�3=1./N1�/N1e>f*&?E1C+A5gQh?=,48;* +Sij+A>G8;?=,�1CB�3=>G+`kWl�8;* +T5mKY/n8;*m+-iE+A,CopiE+T>P8;?=,/21q3=1.1@?r>-/s398@+AF`34:&5&/Ntr: +u?Z,;F +-,.+TF0>A?=<N<2+A>P8v/2?E5I?=Q\5V5r:&RwHJ+A,@1�>A?=,.,.+A1.Bx?E5&F&/N5 y8;?z8v* +�>-?O?Z,;F&/257398@+T1�?=Q{8;* +|ij+A>G8;?=,},.+T<N398;/nij+~8;?z8;* +4>f*&?E1C+T5XH�3=1./N1-a

')�Y,@,;3=5 yE/N5 y�8v* +A1C+�?=,@F +-,@+AFz>-?E<N<n+T>P8;/N?E5&1%?=Q�UX5O:&RzHx+-,@1[/N5j8v?uUI]`^�R`398@,;/2>-+A1-lK}+~*73Tij+~3$?E5 +Y8;?�?E5 +|>-?=,.,.+T1CBx?E5&F +T5&>G+�Hx+G8�K}+A+A5`+A<2+ARS+T5j8;1�/N5S8;* +uiE+T>P8;?=,1CB�3=>G+4k 3=5&FXUW]�^|RV398@,@/N>G+A1Aa

Page 36: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

�G� � �����{�O�7�c�T�c� �����x�\���A�Z��� ���Y�������u���O����� ����)��� �4�& Z¡;¢2 E�£ =¤%¥N¢2� ��¦9§L¨ �-©x�A�&¨ �T�&ªG�e¦=«.«. Oª-¢s¦9¡@�A¨`¬Y¢n¡;�£­E�TªP¡; =§@«L¢N�¯® ªA =§.§.�P°«C©D =�&¨&«L¡v I¥N¢2� ��¦9§±¨ �-©x�A�&¨ �T�&ªG�$ Z¤[¦=«.«. Oª-¢s¦9¡@�A¨X²m³�´|µV¦9¡@§@¢NªG�T«�¢N�c¶�·¹¸

�)ºu¥N«. &»Dµw¼&¥n¡;¢2©7¥2¢NªA¦9¡;¢N E�¯ =¤ µV¦9¡@§@¢NªG�T«�¦=«.«. rªA¢N¦9¡@�T¨d¬Y¢n¡;�d­j�AªG¡; =§@«Y¢N�)® ªA =§.§.�P°«C©D =�&¨&«L¡v IªA¦=¥Nª-¼&¥s¦9¡;¢2 E�£ =¤%«½¡v¦=�&¨7¦Z§@¨6¢2�&� �A§±©&§@ r¨&¼&ªG¡;«±¢2�6®W¸

�p¾u©x�-§;¦9¡;¢N E�&«� E�g²¿­j�AªG¡; =§@«eµV¦TÀMÁx�¯¨& E� �£«.¢2µI¼&¥Â¡v¦=� �T =¼&«@¥ÂÀcÁrÀæ=¨9Ľ E¢2�&¢N� Å¡;� �4ª- =§.§@�A«C©D E�&¨&¢2� Å�²M³Ã´~µV¦Æ¡;§@¢2ª-�A«Ç¡v ZÅE�-¡;� �-§L¢2�¹¡; I¦=�£²M³d²pµV¦9¡@§@¢ÂÈ`¦=�&¨µV¦Z�&¢2©7¼&¥s¦Æ¡v¢2� Åe¡;�&¢N«�µ`¦9¡@§;¢ÉÈʸ

�cË���¡;� �Ç©&§.�G­ ¢2 E¼&«�«C�AªG¡;¢2 E�&«-»Ì­j�AªP¡v Z§;«�¢N��¢N�&� �-§�©&§@ r¨&¼&ªG¡{«C©�¦=ª-�A«�¬}�-§@�Ǩ �T�& Z¡@�A¨Á¹À£ÁD E¥2¨6¤Í¦=ªG�T¨X¥2�G¡@¡@�-§@«eÎ͢ϸÐ�=¸N»¹Ñ[Òf¸

�)��� ��²�³Ó´$µV¦9¡@§@¢NªG�T«�ª- =§.§.�T«C©D =�&¨&¢N� Å`¡; `¡v� �A«C��­j�AªG¡; =§@«�¬Y¢N¥N¥�Áx�w«.¢Nµ`¢2¥s¦Z§@¥ÂÀ¨ �A�& Z¡@�T¨�¬Y¢Â¡v�$¡;� ��¼&�&¨ �-§@«½¡f¦Z�&¨&¢N� Åu¡;�7¦9¡�¡;� �}­j�AªP¡v Z§�¢2« ¦|ÅE�A EµS�G¡@§@¢Nª� =Á Ä��TªP¡¬Y�&¢2¥2��¡;� �}²$³w´�µV¦Æ¡;§@¢ÉÈ�¢N«�¦=�w¦=¥nÅE�AÁ&§;¦=¢2ª� =Á Ľ�AªP¡{¬Y¢n¡;�zª- O =§@¨&¢2�7¦9¡@�T«�§.�A¥s¦9¡;¢Â­j�¡; 0¦wÅj¢Â­j�A�XÁ�¦=«.¢N«-¸

�pÔÕ¦9¡@§@¢NªG�T«q¤h =§@µS�T¨`Á¹À¯¦=¨9Ľ E¢2�&¢N� Åz«C�G­j�-§v¦Z¥x²�³W´~µV¦9¡@§@¢NªG�T« ¬Y¢2¥N¥xÁJ�4¨ �T�& Z¡@�A¨Á¹À£ÁD E¥2¨6¤Í¦=ªG�T¨XªT¦Z©7¢Â¡v¦=¥\¥2�G¡.¡;�-§@«�Î͢ϸÖ�E¸�×ÕÒf¸

Page 37: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

ØTÙÛÚ-Ù`ÜYÝ�ÞOß�àsá�â%ã7äåàçæ�à�Þrà�è\æ�é�Ý�æ�â�è\ê7ã7ß�Ý�Þrà�è\æ�é ëPìí6îjï�ð%ñsòÌñçóJð�ô6õ�öG÷wø ùJö¯úcû`ú9÷@ü;ýÉþpÿ����&ý2ûSö����.ý2ÿ����� ������ ö��g÷�� ö��-ÿ����&û��ü;ú����`ÿ��{ø ý �!� ö#"$� ö��6ú���÷�� ö%�&�&ûzùxö-ü�ÿ��'�2ý�� öTúZü(�*)Sý���� ö,+xö���� ö��j÷��-ÿ�� �&û-���qÿ���øú����)÷.� ö$ü;ÿ0/ ü;ú����Õÿ�� ø ý��1� ö#"$� ö��pú��u÷�� ö2�&�&ûwùJöAüuÿ��3�Ný�� öTúZü(�*)dý���� ö,+xö���� ö��j÷ü@ÿ0/4�±ÿ��%ø5�

6 ��� ö7�hÿ�� �Nÿ0/Yý���8`ü.ö��9���n÷|ö��½÷vúZù:�Ný �(� ö��u÷��7ú9÷u÷.� ö2�-ÿ�� �&û-�cú�����ü@ÿ0/ ü;ú����;��úZü.öö�<;�7ú��=�

6 ���&���Ê÷�� ö�üvú����~ÿ��Oø5>?� ö��&ÿZ÷@ö��4ü;ú����A@Íø�BC>ÌûVú�)D���7ú=ûzù7ý 8��&ÿ����9�*)�ùJöE� ö,"$� ö��ú��L÷�� öF�-ÿ����&û��¯ü;ú����£ÿ��{øG�

HJI î¹ó$KÌî;L MONPM�Q�ô�õ�öG÷�ø ùxöeú��R�S dûVú9÷@ü@ýÂþA�T��� ö��£÷.� öF�-ÿ�� �&û-�Vüvú����Vÿ��{øö�<;�7ú�� �}÷�� ö4ü;ÿ0/ ü;ú����£ÿ��%ø5�

U ý*Vjö��£÷�� ö|ö�<&�7ú��NýÂ÷W)Sÿ���÷�� ö|ü@ÿ0/ ú����X�-ÿ�� �&û-�`ü;ú����Y�}ÿ��%úzûVúÆ÷;ü@ýÉþZ>rú[VZúZü@ý2öG÷W)ÿ��%ÿ9÷.� ö-ü����Cö,�\���Êü.ö��9���Â÷.�±úZùDÿ��å÷}÷�� ö�ü;ú����;�±ÿ��{ûVú9÷@ü@ý��Gö��]�hÿ����2ÿ^/_�

`&ÿ=ü�a�- Õû`ú9÷@ü;ý �-ö��,>�b ú�����cd>Y/}ö_�7ú�Vjö6fehg üvú����h@ibjB g û`ý���@kml= OB6 ü;ú����A@ib�Bon ü;ú����A@ib�p$B6 ü;ú����A@ib qrc�B g üvú����O@=bjBsq�ü;ú����A@\c�B6 ü;ú����A@ibdc�B g û`ý��Z@Íü;ú����A@ibjBCl.ü;ú����t@\c�B(B6 ü;ú����A@ib�p�b�Bon�ü;ú����O@ibXb-puBvn üvú����Z@ibjB6fw � ø ý��uú���x�5gûVú9÷@ü@ýÂþR/Yýn÷��dü;ú����A@Íø�B]n Ãú�����y ý��uúz 5�R pûVúÆ÷;ü@ýÉþ/YýÂ÷.�¯ü;ú����O@{yBvn| d÷�� ö��Xü;ú����A@Íøjb}yBmn ü;ú����A@ib�B~�

Page 38: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

�~� �����'���;�:�f���f���s�s�t�A�5�����m���$�4�'�'�5�D�'�;�s�����$��j���m�T���^�{�u�E�}���v�� �¡£¢f¡£¤��¦¥(§(¨ª©X« ¬:��­��k®�¯�¯Z§.�� �°²±\¨=³µ´�³E§��� �°A±i«�¶]·¸¡'¶¹¥.¬�´� « ¨�­�º���¯ ¯ ´�»j �¼� ;½�­9¨  �¾�®�¯���§�³¿JÀ �Á�$Â^�;à ÄAÅ�ÄOÆu�]Çs´#¥v« Èt´��1­9É;®:��§9´!¤��¦¥(§(¨ª©z¼��t­9¨ Ê,´Ë¡J¢}¡X�� �»7§.�� �°Z±i«j¶o·Ì¡m³Í ¬�´� d¥�¬�´�§9´%´C©�¨ ­Î¥.­��S¤��¦¥(§(¨ª©-»�´� �¼�¥(´�»j«�Ï�Ðvº���¯ ¯ ´�»d¥�¬�´F¨� �Ñ�´,§(­9´F¼��Ò« Ó4¨*¥�¬�¥.¬�´Ô §(¼ Ô ´,§Õ¥WÖ-¥�¬:�¦¥×«X« Ï�Ð ·ÙØ}Ó4¬�´�§9´FØ1¨ ­Ë¥.¬�´%¡£¢�¡a¨ »�´� �¥�¨*¥ÚÖR¤��¦¥(§(¨ª©�¾�¨*Ñ�´� dÈ&Ö

Ø×·ÜÛ?Ý#Þµß,à Ó4¬�´,§(´ ÝCÞµßË· áâ ãJä ¨ �Aå7·Ìæç ¼�¥�¬�´�§ÕÓ4¨�­Õ´è�¼�§9´�¼0Ñ�´,§�é�«�Ï�ÐÚ« ·Ì«X«�Ï�Ð]�� �»�«�Ï�Ð]¨ ­�®� �¨�É&®�´�³Í ¬�´,§(´z�¦§(´F­Õ´#Ñ�´,§.��¯ Ô �¦§9¥�¨ º�®�¯���§¹¥ÚÖ Ô ´�­Ë¼��T¤��¦¥(§(¨�º#´�­]¥�¬:�¦¥4�¦§(´F®�­Õ´,�k®�¯�¨  j¤��� �Ö­Î¥.�¦¥�¨�­Î¥�¨�º���¯$� Ô�Ô ¯�¨ º��¦¥�¨ ¼� �­,³ Í ¬�´}¯�¨  �´0��§¹��¯ ¾�´,È�§��[�� �»R¤��¦¥(§(¨�º#´�­v­9® Ô�Ô ¯ ´�¤�´� �¥¹º,¼� ;½¥.��¨� �­4�-¯ ¨�­Î¥D¼��3­9¼�¤S´[¼��T¥�¬�´�­9´z¥WÖ Ô ´�­D¼��3¤��?¥�§(¨ º,´�­��� �»�§9´�¯*´,Ñ��� Á¥4§9´�­9®�¯ª¥.­4��Èt¼�®Y¥¥�¬�´�¤�³

Page 39: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

ê�ëíì,ë-î4ï'ð;ñsò�ó5ôTõ:öYò{÷�òWð&ò�øA÷'ù×ï'÷'ô|øAú:õ:ñsï'ð&ò�øA÷'ù û#üýjþ�ÿ������������ � ���������������������! "��#%$'& #(�*)+�-,(,.�0/21-�3 "4517651-�����-,8#:9�&'&�;=<?>@ 4A�B ��C�D65��9E1-�����! C#:176GF <?&=H �D����1I)+#(�� ��0/�JK#. "4= C4A��1D�� "4517651D�"�L�-,�L�� ��"#%$=&#(�*)+�-,:,:�+/M�-6M1-�3 C451-651-�����-,5 "�"�-65�39E1-������ "#:176ONPRQ L#:�S�0�-��#(,UTV�3�W�06X9��"1-� "4A�Y/A�[Z865#. "#(176\1D9]�-6X1-�3 "4517651-�����D,����� ���#U$_^`&a^ "4��� &Yb5c�<?& ;ed & ; & <f>�-65/g "4��� B "4A�h)+17,:�5�L65�]1-9i& �-�BJj�+,(,k�-�] "4A�S��1lJK�B1-9i& )W1-�����0�3mn1-65/a "1o]pBq r �j9E1-�tshu=N

Pwv �x�-,(��1y651D ��B "4��� {z|�} ~�D65/��D��/��#:656A�+�tm5��1I/5�5)[ "� �D����#:6��D�D��#(�-6� j�565/A�W� 1-�}� "4517651-�����D,8 ��"�-65�39|1D�"�L�� "#(1765��z|#�N��-N ��� d���� < ��&L� d & ��� �~NPg� #:65)W���-6Y1-�3 "451-��1-6��-, ��"�-65�39|1D�"�L�� "#(176hm5���+�3�+�3���+�j "4A�x/5#:�3 C�-65)[�+�t���[ �Ji�+�+6�-,:,8m8�D#:����1-9Omn17#:6� "��#:6=�-6�TS)W176�Z����A�"�� "#(1-6O^7 "4A�+�3�K ��"�-65�39E1-������ "#(1765��)+�-6L���)W176����065#.�06� ",.TR "4517�A��4� x1D9*�-���"#.��#(/���1D C�� "#(1-65���D�n17�� � "4A��1-��#:��#:6�zE�[$A)W�WmA 9E1-�*��17�S�]mn17����#:��,.�B���W���+)[ "#:1765�t1-9�m�,(�-6A�+�~�~N

Page 40: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

��� �A��� ��¡�¢�£R¤0¥R¦A¢e�e¡�§_£a¨+�D���A¢8¨K� © ªa«�� ¡�£e¬­�A¢8¨®�¯3°C±5²-³5²-¯�´�µ-¶�°"¯"µ-³5·3¸E²-¯�´�µ�°"¹:²7³5·OµD¯�¹(·3º»¹(³�¯�º+¶�µ!°C¹:³A¼t°�½j²¾®B¿]ÀKÁ�· °C² º0µ-Â~±x²�°C±AºW¯¹(³'°C±AºB¸E²7¶:¶(²l½K¹(³A¼�½*µ0ÃnÄÅRÆ ¸hÇlÈ�É"Ê0Ë+Ë0Ë[Ê�ÈOÌ�Íε-³5ÏÐÇ�Ñ�ÉCÊ0Ë0Ë+Ë[Ê�Ñ_Ì7ÍεD¯�ºa°Ò½t²Ó®]¿BÀ ÁÔ·=¸E²-¯MÕ Ì�Ö µ-³5ÏØ×OÊCÙ¯�ºWÚ5¯�º+·3º0³�°kÂ+²I²-¯�Ï5¹(³�µ!°"º`Û7º0Â�°"²-¯�·�½K¹U°"±x¯�º0·3Ú�º+Â�°k°"²�°"±Aº+·�º ®]¿BÀKÁ�·�¸|²D¯Üµ�Û7º0Â�°"²-¯Ý Ö ¹�Þߺ7Þ

ÝáàÌâã.ä ÉDå ã È ã à

Ìâã.ä É-æ ã Ñ ãÅ�ç ±Aº+³2°"±Aº+¯�ºBº�è5¹:·}°C·tµ-³M²-¯3°"±5²7³5²-¯�´�µD¶´�µ!°"¯�¹%è=é ·�ê5Â~±2°"±�µ�°*× à éxÙ�Þ

ëYç ±5¹:·�¹(·�·�ºWº+³yì�Ãx¶:º[°�°"¹:³A¼]í µ-³5Ïáî ÏAº0³5²D°�º�°"±Aºt²-¯3°"±5²7³5²-¯�´�µD¶-´�µ�°�¯�¹(Â[º+·½K¹U°"±MÂW²7¶(ê5´L³5·ïì�º+¹(³A¼'ÇlÈ�É~Ê+Ë0Ë+ËWÊ3ÈOÌ7Íyµ-³5ÏRÇ�Ñ�É~Ê+Ë0Ë+ËWÊ�Ñ_Ì7Í{¯�º+·�Úº0Â�°"¹.Û�º+¶.Ã7ÞëYç ±Aº+³L°"±Aº+¯�ºKº[èA¹(·}° ð µ-³5Ï=ñ ·�²x°"±�µ�°*ð{í à ñMî'Þ ç ±Aº+³�é à ðGò É ñ½K±5¹:Â~±M¹:·tºlµD·�¹:¶.Ã'·�±5²l½K³'°"²yì�º�²-¯3°"±5²7³5²-¯�´�µ-¶8·�¹(³5Â[º

ó à í2íLô à é�îyî{ô5éBô à é�éBô

Page 41: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

õ0öø÷WöLùKú û�üeý�þaÿ�����ý���ý�ûIý���� ú� ÿ�������üeú ûIý���� ����������������������� ���!����"$#�%'&(���$&)�*�+��"$&�%,"$�-�.�/%102�3�4�$�657"$�/8:9/%'#;�3�=<>�3&)"?�."$�3�@�)%A&)B��?�

02���C&EDF�@�=%��.��"4#����G�.��"4#;%A&H57��"$#I�-57"$�$�KJL%MB�&�%A9N�)%A<L%6�G�.%A9��?D�"$�O�.��"$&P#A�3B/��&�%�QR:SUTWV XYT[Z \K]^\L\K_a`cb <L%'#d���.���fe�%A#A���=<K�3&)"g��"4�3�Lh>ia�fD1&ED/�@�*%;����"$#j���!����"gkml `2n,on hp#A���NJL%,5q��"g����%A�N�+&

l rts1upsmv57�/%;��%,uw"4&q�x9�"$�+8f�3���+�K���!����"gk-����9ys "$&q�+�y�����.���3����������� ���!����"gk�Q

z|{ �/%}9�"^�+83�3�����K%A�4%A�=%'�f�.&~��0�u7� `��>�.�d���;�A�'�'���I�/� hI�L�+�)%,�.�/%,�.�/%}%A"483%A�f�+���$B/%A&��0~l ����9��.���/� ` lNh1r ����"40C�+��9��3���gD�"?0(�.�/%A�)%-�!��%*%�k���#d�.�?DO�����3�[���A%;���%A"483%A�f�+���$B/%A&;Q

z|{ �/%-#;�3�$B��=��&}��0Ps �+�)%�#A���$�?%'9 ` &�������9��!�.9�"?�A%A9Lh�%'"?83%A�W�f%A#d���+�.&,��0Cl ����9�.�/%A&)%m�f%A#d���+�.&p02����� �������m��02���C� � Q

z|{ �x"$��9�"4#'�!��%7���/%,#;���)�)%'&�<>�3��9/%'��#�%�JL%;��5P%;%'��%'"?83%A�W�f%A#d���+�.&p����9-�+���$B/%A&;�F5P%&��'D*�.�/%7���.�@#A���$B��@�@�+0�s "$&H�.�/%7%'"?83%'�f�f%A#��.���H��&)&)�[#;"^�!��%A9*57"?�.�*�.�/%7%'"?83%A�[��+���4B/% �F�U` �����.�/%(���.��9�"^�+83�3�����f%'�?%'�*%'�f����0Lu�"$&����/%p%A"483%A�W�+�+�$B/%P��&)&���#;"^�!��%A957"g���-�.�/%m�����O%'"?83%'�f�f%A#��.���IhIQ

z b "4��#;%P�.�/%C�+�.9/%;��"$�/8,��0��.�/%q#A���$B��@��&���0>s ����9x%A�4%A�=%A�W�.&���0>u�"$&H�+�)J�"?���.�+��D` ��&��4�3�/8��+&=���/%�#;���)�)%'&�<K����9/%'��#�%�"$&�����"4�W����"4�/%'9�JL%;��5P%;%A��%'"?83%A�W�f%A#d���+�����9 %A"483%A�f�+���$B/%A&�hd�/�.�/%:B�&)B�����#A�3�f�f%A�W�."4�3�y"$&C�.���+�)�.���/83%m�.�/%M%A"483%A�f�+���$B/%A&&)�x�.���!�

� �p¡ � �q¡ ¢'¢A¢�¡ � �

Page 42: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

£d¤ ¥/¦�§¨U©[ª�«�¬'­�®/ª¯¥¯©>°�«²±A¨+§j¥/ª ±7§³´²µ�§©[«¯¶�¥/ª ±·a¸�¹!º�»/¼;½¿¾/¼'À;¹3Á=Â>¹3Ã)Ä?º.Ä$¹3¸}½�¼AÃ)Å�Æ?º¿Ç2¹�½È¸�¹�¸[É�Ã)Ê[Å�Ë+½)¼PÁ�Ë!º�½�Ä$À�¼'Ã�Ç2¹3Æ$Æ4¹6Ì7Ã�Ç�½�¹3Á º�»/¼

Í Â>¼AÀdº.½.Ë�Æ>Î�¼AÀA¹3Á*ÂK¹3Ã)Ä?º.Ä4¹3¸x½)¼AÃ)Å�Æ?ºpÇ2¹�½pÃ�Ê�Å�Ë+½)¼�Ã�ÏFÁ@Á=¼�º�½�Ä$À~Á�ËGº.½�Ä4À;¼AÃ;Ð�Ë+¸�¾�Ä4Ã(Å�Ã�¼dÉÇ2Å�Æ�Ä$¸y¾/¼�Ñ ¸�Ä$¸/Ò=ËxÒ3¼A¸/¼;½�Ë+Æ$Ä4Ó;¼A¾�Ä4¸WÔ3¼A½�Ã�¼,¹�Ç�ËxÁ�Ë!º�½�ÄgÕ�Ö×:ØUÙWÚ ÛYÙ[Ü ÝKÞ^Ý ß�àâá Í Ä$¸/ÒfÅ�Æ$Ë+½*ãäË�Æ$Å/¼�Î�¼AÀ;¹3Á=ÂK¹�Ã�Ägº.Ä$¹3¸Låç毼�º�è á2étêìë åxí>¼²ËÁ�Ë!º�½�ÄgÕ@¹�Ç�½.Ë�¸/î7ï[ÖHðC»/¼'¸Nè ÀAË�¸NíL¼mÌq½.Ägº)º.¼A¸

è ñtòNó�ôNõÌ7»/¼;½�¼aò áöé|ê ï3åpË�¸�¾�ô á÷ë�ê ïfåøË+½)¼�Ã)Å�ÀI»�º.»�Ë!º~ò õ ò ñùô õ ô ñtú�û á Ä�Öü¼�ÖUº�»/¼À;¹3Æ$Å�Á@¸�Ã(¹�ÇUò Ë�¸�¾Nô Ë+½)¼m¹�½�º.»�¹�Òf¹�¸�Ë�ÆKË�¸�¾N»�Ë6Ô3¼mÅ�¸�Ä?ºqÆ?¼'¸/Ò+º�»LåøË�¸�¾Nó á ï ê ï3åÄ$ÃqË�¾�Ä^Ë!Òf¹3¸�Ë�ÆKÁ@Ë!º�½.Ä÷Õ@Ì7Ägº�»�ÂK¹3Ã)Ägº�ÄgÔf¼�¼AÆ4¼AÁ=¼A¸Wº.Ã;Ö

ðC»/¼;½�¼xË!½�¼x¹+º.»/¼;½�Ç2¹�½�Á@Ãa¹+ÇȺ.»/¼ Í ãmÎ º.»�Ë!º1Ë!½�¼xÃ)¹3Á=¼�º.Ä$Á=¼AÃqÅ�Ã�¼AÇ2Å�Æ�Öçýc¸þ¹3¸/¼Ôf¼;½�Ã�Ä4¹3¸�Ð>è ñ òOó�ô õ Ì7»/¼A½)¼}òþÐ>ô Ë+½)¼ éÿê�é ¹�½�º.»�¹3¸�¹�½�Á�Ë�ÆKÁ@Ë!º�½.Ä4À;¼AÃCË�¸�¾|óÄ$ÃqË+¸ é�ê é Á�Ë!º�½�ÄgÕ�¹�Ǻ.»/¼,Ç2¹�½�Á

ó ñ ���� �� ����Ì7»/¼;½�¼ � Ä$ÃC¾/¼�Ñ ¸/¼'¾yË+íK¹6Ôf¼�Ö

· Ã�¼'À;¹3¸�¾ Ç2¹�½�Á ¹�Çqº.»/¼ Í ã,Î Ã)¹3Á=¼�º.Ä$Á=¼AÃ:ÀAË�Æ$Æ?¼'¾�º.»/¼N½.Ë�¸/î�Ç Ë+À�º.¹�½�Ä4Ó'Ë!º.Ä$¹�¸�ÐÌq½�Ä?º�¼AÃqè ñ�� Ì7»/¼;½�¼ Ä$Ã7Ë�¸ é�ê ïxÁ�Ë!º�½�ÄgÕO¹+Çj½.Ë�¸/î-ï=Ë�¸�¾�� Ä4ÃaË+¸yï ê@ëÁ�Ë!º�½�ÄgÕ=¹�ǯ½.Ë�¸/î=ï[Ö��jÕFÂ�½)¼'Ã)Ã)Ä$¸/Ò� Ë�¸�¾�� Ä$¸�º�¼A½�Á@Ãø¹�Ç�º.»/¼,Ë+í>¹YÔ3¼ Í ã,Î Ì(¼mÃ�¼A¼º.»�Ë!º� ñâò Ë�¸�¾�� ñtó�ô õ Ö

Page 43: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

�������������! #"%$'&�(*)+"-,."/�0"213,�4���,�&5136*(* #���0"213,�4 798:<;>=@?BADCFEBG�;>=H?BAJILKHMONQPOMRK@IBG�SBGUTUVRWYXZV[;>=\C]=@V[?�N^GU;>ILK_C�`UabGc?LVdaeT�V[?L;>=HSBG�N�MfWgG�CFELV0SVRh�SBGjik?L=H?BA�MR?mln=H?JPJGUN^;nGUo�hpVRNqMR?srtW�MuC^NF=wvyx

z|{J}�~��%���-��~����LVRN�M�W�MuC^N^=\v�� �����|�Z��VRh�NFMR?B���!`.����=H;�TUMRKHK_G�S�MtAO��=H?JPJGUN^;nG�pA[GU?BGUNFMRK@=@��G�S�=H?JPJG�N^;>G���VOh�� SBG�?LVOC^GUS|�sr�� � =@h�t� � � ���

 �¡ ARG�?BG�NFMRKH=_�UGUS¢=H?JPJG�NF;nG£MRK_afM�rB;�G9vL=@;¤C];'MRK\C]ELVRIBAJE=H? A[GU?BGUNFMRK =_C'=H;'?LVOCIL?L=@¥!IBGRx �¦ EBG�G9vL=@;¤CFGU?LTjG�VRhqM�A[GU?BGUNFMRK@=@��G�Se=H?JPJG�NF;nG�hpVRN§MR?JreW�MuC^N^=\v¨� =H;©G�MR;¤r¨CFVPJG�N^=@hªr¨IL;>=@?BA ¦ EBGUVRN>GUW «!xw«O¬�CFV­a�N^=_C^G�� � ®�¯L°|±²MO?LS£T³EBGUT]�!=H?BA­CFE*MuC°�¯ �L´ ® ± SBGjik?BGU;�M�AO�2=@?sP[GUN^;nG[µ

�t� � � � ®|¯L° ± ��°�¯ �L´ ® ± �¤®�¯L° ±� ®|¯�¶9¯ �L´ ¶9¯L° ±� ®|¯�¯ �L´ ¯L°¸·� ®|¯L° ±� �

Page 44: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

¹]º »B¼.½�¾À¿!Á*Â�Ã�Ä�ÅBÁ#»#¿QÆ3Â'ÇU¾O½�»BÁkÇ�½�È�É'Ê<½�¿!Â#Ë2»BÁkÇÌ ÍOÎ2Ï@ÐsÑ[ÒUÓ^ÔnÒ¸ÕR֧ײØ�×uÙ^Ó^Ï\ÚÛÏHÔ�Ø�Õ[Ô¤Ù�ÜLÔ>Ò�ÖpÜLÝ�ÏHÐÞÔ>Õ[Ý_Ñ+ÏHÐBÍßÔ¤à+ÔnÙ^ÒUØ�ÔtÕRÖ§Ý@ÏHÐBÒ�×OÓÒUá!Ü*×uÙFÏ@Õ[ÐLÔ�âã�ä ÜBåLåQÕ[ÔnÒ¸Ù]æ*×çÙ�×£ÑJÒUèjÙFÕRÓté êpë�ì ídî�Ï@Ô|ÏHÐïÙFæBÒ¨Ônåk×RèjÒðÔ>åk×OÐLÐBÒ�ñóò0àÛÙ]æBÒè�Õ[ÝHÜLØYÐLÔ�ÕRÖ§×mØ�×uÙ^ÓFÏwÚõô ×RÐLñÞöbÒ�ö�ÏHÔ>æïÙFÕmÕOòBÙ³×OÏHÐ÷×ßÔ>Õ[Ý@Ü+ÙFÏHÕ[ÐõÙFÕ5Ù]æBÒÒUá!Ü*×çÙ]Ï@Õ[ÐLÔfô�ø�ùóé�âã�ú Ö3Ù]æBÒ<è�Õ[ÝHÜLØ�ÐLÔcÕRÖ.ô ×OÓ>Ò�ÝHÏ@ÐBÒd×uÓFÝ\à�ÏHÐLñBÒ�åQÒUÐLñBÒ�ÐJÙ�ûsÙFæBÒUÐYöDÒ�ü+ÐLÕdöýÙ]æ*×çÙ�Ù]æBÒè�Õ[ÝHÜLØYÐLÔÿþuô������������� ô�� ÖpÕRÓ^Ø ×�òk×RÔ>ÏHÔ�ÖpÕRÓ��� ê ô������������� ô�� îq×RÐLñ­ÙFæBÒ©ÒUÝ@Ò9ÎØYÒUÐJÙ]Ô3ÕOÖsø�×OÓ>Ò Ù]æBÒcÜLÐLÏHá0ÜBÒ�Ý\àÿñBÒ��kÐBÒUñ�è�Õ0ÕRÓ^ñLÏHÐ*×uÙ^ÒUÔ3ÕRÖsé����� ê ô��� ��������� ô�� îÓ>ÒUÝ%×uÙFÏ_Ñ[Ò<ÙFÕ�ÙFæLÏ@ÔDòk×RÔ>ÏHÔ�âã�� æBÒ Ô>Õ[Ý@Ü+Ù]Ï@Õ[Ð�Ù]Õ ÙFæBÒ Ò�á0Ü*×uÙFÏHÕ[ÐLÔ�ö�ÏHÝ@ÝQÙ]æBÒUÐ|ò�Ò ÜLÐLÏ@á!ÜBÒRâã�ú Ö�þuô � ����������� ô � ×OÓ>Ò�Ý@ÏHÐBÒ�×OÓ^Ý_à�ñBÒUå�Ò�ÐLñBÒUÐsÙ�û!ÙFæBÒ�Ó^Ò�×OÓ>Ò ×RÐtÏHÐ��kÐLÏ_Ù^Ò�Ð0ÜLØ òQÒ�ÓÕRÖÀÔ^ÕRÝHÜ+ÙFÏHÕ[ÐLÔ�ÙFÕ�ÙFæBÒUÔ>Ò ÒUá!Ü*×çÙ]Ï@Õ[ÐLÔ�â

Page 45: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

����������� �"!$#&%('*),+�#.-�#/�0#213- 45� - '6137,),!$� �0#213- 4 8�9:*;=<?>@;BA CEDGF�HI<�JK<?;MLON�PQHO;MRSP�;TPQ>GUVU�W"N,JXPQHO;MR@<YC�Z�[\F�]^;`_�J`Rbadce>@;MHIc�Uf;`]

C Dhg AiUjRGU�U�kS;MR@Lla=R@;mPnUoP�>,JpPqCSC D CrZ([sCrZ(tua�P�>GUjkGU�vwR@HIRGxzy@_n;`y{U�_|P/aK;`] Jxm}2HORu~MU�_n<|UM��:Y>@HI<�HO�=y,LIHlU�<�P�>,JpP

F�[sC�Z�[sCSC D CrZ�[\CdC D F�[sC���C D F����H���UM� g C D F�HO<5J�c�J`R@k@HIk,JXP�U�]�;m_qP�>GUV~MU�c�P�;`_iZ�A�>@HOce>�<nJpP�HI<�v,U�<i� [\CrZ*�e�� <�R@;mPnU�kKJpt�;B~bU g A�>GU�Rz_�J`RG����CE��[6��PQ>GU�R�C D F�HI<*P�>GU�N@R@HOW"NGUq<n;`LIN�P�HI;MR g HO]

_�J`RG����CE������P�>GU�R�C D F�]^;`_�J�xbH�~bU�R�ce>@;MHOc�Uo;`]�C D HO<�;MR@Lla=;MRGUj;m] JmRrHIR�vwR@HlPnUR0N@�Tt�U�_q;`]*<?;MLON�PQHO;MR@<��

� U J`LI<?;TR@;mPnU�P�>,JpPYJzx`U�RGU�_�J`L3<?;MLIN�P�HI;`R=PQ;zP�>GU�c�;MR@<?HI<�PnU�RbPY<�a�<|PnU�� ;`]¡U�W"N,J¢}P�HI;MR@<iF�[\CrZ£HO<

¤ Z£¥`Z�[sC D F�¦s��§q¨�C D CE�/©,ª«©�¬®­=¯b°<?HIR@c�UV_QJmRG����C��±[²_�J`RG����C D C��±[³_QJmRG�K��CdC D �iJ`R@k´��§�¨µC D CE�/©KHI<YHIR�Cd¶ �

Page 46: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

·e¸ ¹Gº�» ¼¡½"¾,¿®À�Á®ÂG¾$¹$½{Ã3¿(Ä�¼m»�¹G¾wÄ�» Å Æ(Ço» ½"¿$È2¹G¾wÄÉ�ÊbË�Ì*Í&΢Í.Ï�Ì�Ð�ѲÒ?Ó"Ô,ÕpÖn×qØrÕpÙnÖnÚ�ÛzÜ Ý^Þ=ß Þ à*ÚOÒ±ÒnÕ`ÚIázÙ�â�ã{×5ÚIáG×�Ø=ä{âmÙn×�åbÙ�ÚOæ3ÜSÜ çÜ®è

éêáG×�Ø=ä{âmÙn×�åbÙTØrÕXÙ�ÖnÚOë�×�ÒìÕmÖ?×dÚIåbÙ�ÚIØrÕpÙn×�ílî�Ön×�í&ÕXÙ�×�á´Ù�â(ä@Önâmï/×�ë�Ù�ÚIâMå@Ò�â`æYðb×�ë�Ù�â`ÖnÒâMåbÙ�â�ÒnÔGã,Ò|äwÕ`ë�×�Ò�è�ñYòG×ræ^âMíIíOâBó�ÚIåGô�ä@Önâ`ä{âMÒ?ÚlÙ�ÚIâ`å@Ò ë�âMå@ë�×�Önå@ÚIåGô�ÚOáG×�ØKä�âmÙn×�åuÙ ØrÕXõÙnÖnÚIë�×�ÒYÕpÖn×Vâmæ*ÚIåbÙn×�Ö?×�Ò|Ù�è

Ý|öBàfé÷æ�Ü ÚIÒYÚOáG×�Ø=ä{âmÙn×�åbÙ�ÙQòG×�åÝ�ÕuàVøiùµÜ ÚIÒYÚOáG×�ØKä�âmÙn×�åuÙÝ^ã{à�Ö�Õ`åGú�Ý�ÜEà�ç³ÙnÖ�Ý�Ü�àÝ�ëBà�Þ®ç²Ö�Õ`åGú�Ý�Ü�àhûµÖ�Õ`åGúTÝ�øiù6Ü�à

Ý÷üMà�ý"ÔGä@ä{âMÒ|×�ÜEþ�ÿ�������ÿQÜ ÕpÖn×VÒ?Ó0Ô,ÕmÖ?×�Ý^Þ�ß�Þ à�ØrÕpÙnÖnÚIë�×�Ò�è�éêæ

Ü � Ü���ç �� � Ü � ç�� � ç�Ù�òG×�å������� þ Ü � ÚIÒYÚOáG×�ØKä�âmÙn×�åuÙ�Õ`å@ádÖ�Õ`åGú�Ý������� þ Ü � à«ç������� þ Ö�Õ`åGúKÝ�Ü � àeè

ñYòG×Eë�âMå@åG×�ë�Ù�ÚOâMå6ã{×�Ù/ói×�×�å ÚIáG×�Ø=ä�âpÙ�×�åbÙ�ØrÕpÙnÖnÚIë�×�ÒzÕmå@á ä@Önâmï/×�ë�Ù�ÚIâMå@ÒìÚOÒ=áG×�õÒ?ë�ÖnÚlã{×�áEÚIå�ÙQòG×Væ^âMíOíIâBó�ÚIåGôìä@Önâ`ä{âMÒ?ÚlÙ�ÚIâ`å��

Page 47: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

������� ��!#"%$'&)(+*-,/.0&213&4"5&7681#9:!#1#*;68</,/$'!#"5&7681#9 =?>@BADCFEHGIC%J K8L)KNM3OQP�R�SUT VWRYXBZ\[NV/Z^]HX`_aRcbed f X`dhg ijX`dkXml\V/b�SnloXml^pBqrR�_sS?tmlubvdfjwxzy|{ R�d V5p y|{ R�t`l\R�} ~%w)���N�ri { X`Z�S { R�[hdhbe�%[NR�gNR�_�t�}�]�t�Z\b�Sobet�d�i���i-�0��i'�� b�S { i-�u��T Xmdhg�i'�|�zT �Dwx P�R�SU���5� � gNR�dhtmSnR��z����}�X�Snlnbv_aR�Z�t`�'_�t5t`lnghbvd/X�SnR�Z�t`��i��%i � l\R�Z^]WR�_sS?b�qrR���pl\R��)X�SnR�g�Sot�X`dFp�VHXmZnbeZ|t`�Dfjwxzy|{ Rk}�Xm]h]/bedN�¡ ¢�£[hdh_sSobvt�d¥¤Y¦ S { X�S�S?Xm§`R�Z¨� bedFSot��+�© �_�X`�e�eR�g�S { R�]hlot«ª¬ R�_aSobvt`d¡t`��� t�drSot­T ¤�beZ�_�X`�e�eR�g®S { R¯]hlnt ¬ R�_aSobet�d®t`]¥R�loX�Sot`l�tm��� t�drS?tT w

Page 48: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

°o± ²N³3´#µD¶%·/¸�¹�º�»N·'²'¶W¼8¸+½�µm´¾²N·H½�´#¿#À+Á�´#¶%¸'Â7²N·H½Ã Ä/Å`ÆÈÇoÄNÉYÊ£Ë�ÌvÌeËIÍ�ÎeÏNÐ�ÑhÒnË`ÑWÉ�Ò^Ç?Î�É�Æ�ÓÔ^Õ×Ö Ã�ÎvÆØÅcÌvÎvÏNÉ�ÅmÒ-ÇnÒoÅ`ÏhÆ^Ê¢ËmÒoÙ Å�ÇoÎvË�ÏÚÅ`ÏhÛ�Æ\ËYÙ�Å�ÜÚÝWÉÈÒ\É�ÑhÒ\É�Æ^É�ÏFÇnÉ�Û�ÝFÜ�Å Ô¢Þ ÏhÎeß Þ É ÖÙ�Å«ÇoÒnÎáàÔãâ�Ö Ã ÎvÆQÅ`ÏäÎvÛNÉ�Ù©ÑWËmÇnÉ�ÏrÇQÙ Å�ÇnÒoÎáàÔ�åFÖçæéè à ÎvÆÈÇoÄNÉYÑhÒnËmêëÉ�ìsÇ?ÎeË�Ï�Ë`ÑWÉ�ÒoÅ�ÇoË`ÒQË`ϯí îÔ£ï%Öçð Ù�Å�ÇnÒnÎ�àäà ÎvÆYÅ�ÑhÒnËmêëÉ�ìsÇ?ÎeË�ÏzË`ÑWÉ�ÒoÅ�ÇoË`Ò Ô ÎeÏFÇoË©ÇoÄNÉñÆ^ÑHÅ`ì�É�Æ^ÑHÅ`ÏhÏNÉ�Û­ÝFÜ�Î�ÇoÆì�Ë�Ì Þ Ù©Ï�òrÉ�ìsÇ?ËmÒoÆ Ö ÎeʾÅ`ÏhÛ¯Ë�ÏhÌ�ÜkÎ�Êóà ÎvÆ|ÎeÛNÉ�Ù©ÑWËmÇnÉ�ÏrÇQÅ`ÏhÛäÆëÜN٩٩É�ÇnÒnÎvìmôÔãõ�ÖÚö É�Ç�÷×øóù?ú�û�û�ûsú\ø�ürý�Ý¥É�Å®Æ^ÉaÇäË`ÊYòrÉ�ìsÇ?ËmÒoÆ�ÎeÏÿþ ÏhËmǯÏNÉ�ì�É�Æ\ÆoÅ�ÒoÎeÌ�Ü ÌvÎeÏNÉ×Å�ÒoÌ�ÜÎeÏhÛNÉ�Ñ¥É�ÏhÛNÉ�ÏFÇ�ô � ÄNÉ�ÏäÇoÄNɨÑhÒnËmê4É�ìsÇoÎvË�ϯË`ÑWÉ�ÒoÅ�ÇoË`Ò|Ë�ÏrÇoË���� Ô øóùoú�û�û�ûaú\ø�ü Ö Ä/Å`ÆÅ`ÏkÉaà0Ñ/ÌvÎeì�Î�ÇQÊ£Ë`ÒnÙ ÐrÎ�ò�É�Ï�Ý5Ü

Ã���� Ô �� Ö�� �Í�ÄhÎeì ÄjÎvÆ Þ ÏhÎeß Þ É Ê£Ë`Ò Å`ÏrÜjì ÄhË�Îeì�É©Ë`ÊÈÐ��7ÎvÏròrÉ�ÒoÆ^É��3Í�ÄNÉ�Ò\É� ÎvÆÚÇoÄNÉ�Ù�Å«ÇoÒnÎáàÍ�Î�Ç?įì�Ë`Ì Þ Ù Ï òrÉ�ìaÇoË`ÒnÆ Ô ø ù ú�û�û�ûaú\ø Ö ô

Page 49: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

�����������! #"%$'&)(+*-,�$/.�$0 1$324.!56�!.!(7248-*-"%�! 1$324.!5 9:9;=<?>#>A@B>�@DCFEHGIKJ#LNMPO�Q

R�S-R TUR�S-RVCWR�SPRXG?YPR�SPR TUR�S-RVZ[C\R�SPRXG�Y1][SPR S-R^ Q`_-a�bcQ Z[C\R S RXG Y ] S a�d6afe�ghLNMibcQ < djQ >�@+R S RKklnm _PLNdpo�a�qsr�_tQuMwvxQ�yPdjQ�zwr > d{_ > ^}|w| S T�~ ^ _tQ < Q

| T�RVC\R S R�G Y R S R �7Rl aAMPzX_tQ�MPO�Q�r�_-a�r

| TU~ L k Q k�R�C\R S RXG Y R S R TURI m _PLNdDL[M�r�y < Mwo�a�qsvxQ�yPdjQ�z�r > d{_ > ^ r�_-a�r6��� S T�~ ^ _tQ < Q

� T�R�C\R�SPRXG�Y�tR S��7RVC\R StR�G?Y� R Sa�MPz C\R S RXG Y�4� C\R S R�G Y� a < Q7a�MiqUr ^ > eHQuMtQ < aA�[LN��Quz}L[McbcQ < djQud >�@sR S R^ _PLNO:_wLNos�-�[L�Q�d R�C\R S RXG Y R S L[d�yPMPL[�1ytQ k

I m _1yPdDL�rpL[d6a��Nd > d�qtososQ�r < L[O kI���ztQ�o�� > r?QuMPO�q @�> �[� > ^ d @/<�> o r�_tQ @ aAO�r�r�_-a�r C\R S R�G Y R S RVC\R S R�G Y L[dfaeAg�L[McbcQ < djQ >�@BR S R a�MPz�d >

RVC\R S R�G Y R S T R �[C\R S R�G Y R S RVC\R S R�G Y1� R ST � RVC\R S R�G Y R S�� � R�C\R S RXG Y R S1�

I m _1yPd RVC\R S R�G Y R S L[d�yPMPL[�1ytQ � d�q�o�osQ�r < LNO6a�MPz�L[ztQuos� > r?QuMir�aAMPz�_tQuMPO�QLNd6a�� <?>A� Q�O�r�L > M > � Q < a�r >�<uk

Page 50: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

¡£¢ ¤t¥�¦!§B¨#©-ª�«�¬�­t©%¤%¨x®4ª)¯u§A¦°¤t©±¯�¦!²!³)´µ¦!¨#ª%¶3¤t©±¯·w¸c¹°º+»'¼½»/¾ ºh¿wÀ%Á�ÂXÃ/ÄÆÅ�Ç�ÈuÈ�È�Ç{ÄÊÉ�ËÍÌxÁ�ÎÐÏjÁ�ÂÒÑ�ÓDÔÖÕcÁ�×�Â�Ñ�Ø?ÏÚÙNÛÜ ÉÞÝ�ß à ÎAáPá-Ù[ÛtâÓ/Ø?Ñ à £ãtÁ Ôxä�Ó�ÑHåNæÖç�ÎAØjÂ?ÁuÏ?Ù[Î�Û�áPØ�Ñ1æPèP×�Â�Ñ�Ó6Ü É ætÁuÛPÑAÂ?Á�æéÌ1êætÁ�ÂëÃ�ÄÆÅ�ÇuÈ�È�È�ÇjÄ%É�Ë�Ñ�ØætÁ�Â�Ã\ìXËpÃ/í�ãtÁuØ{Á6ì Ù[Ï=Â�ãtÁ6Ô�îfÔ à Î�Â?Ø?ÙðïÚí�Ù�Â�ãfÄÆÅ£Ç�ÈuÈ�È�Ç{ÄÊÉ�Î�ÏhÙ�Â�Ïh×�ÑHå[è à ÛPÏ£Ë!í�Ù�Â�ãÂ�ãtÁ`Ó\Ñ�å[å[Ñ�í�ÙNÛtâÒÓ�ÑHètØDáPØ?Ñ�áxÁ�ØjÂ�ÙNÁuÏ�Á�ïPÙNÏjÂ�ÏpÎAÛPæXÙ[ÏDèPÛPÙNñ#ètÁ Ý

Ãjò�Ë`ætÁ�½Ã/Ä Å ÇuÈ�È�È�ÇjÄ É Ëôó�õ}Ù�Ó ÄÊö4ó�Ä ÷øÓ�Ñ�Ø6Î�Ûcê ùµúóüû ÝÃFýHË`ætÁ�½Ã/Ä°Å£ÇuÈ�È�È�Ç�þ ö ÇjÄ ö�ÿ Å?Ç�ÈuÈ�È�Ç{ÄÊÉ�Ëôó�þ ætÁ�½Ã/ÄÆÅ�Ç�ÈuÈ�È�Ç{ÄÊÉ�Ëà � Ë

ætÁ�½Ã/Ä°Å£ÇuÈ�È�È�ÇjÄ ö�� Å�Ç{Ä ö����4ö Ç{Ä ö�ÿ Å{Ç�È�ÈuÈ�Ç{ÄÊÉAË ó ætÁ�½Ã/ÄÆÅ£Ç�È�ÈuÈ�Ç{Ä ö�� Å�ÇjÄ ö Ç{Ä ö�ÿ Å{Ç�È�ÈuÈ�Ç{ÄÊÉAË� ætÁ�½Ã/ÄÆÅ:ÇuÈ�ÈuÈ�Ç{Ä ö�� Å�Ç �4ö Ç{Ä ö�ÿ Å?ÇuÈ�ÈuÈ�ÇjÄÊÉAË

Ã�#Ë`ætÁ�½Ã\¸PÅ£ÇuÈ�È�È�Ç?¸cÉAË=ó òµí�ãtÁuØ{Á`¸ ö ÙNÏ�Â�ãtÁ�ù Â�ã�Ïj£Î�ÛPæ-Î�Ø�æ�èPÛPÙ�ÂDÕHÁ�×�Â�Ñ�Ø�Ó�Ñ�ØpÜ ÉiÝ

Page 51: Chapter 2 Vector Spaces and atrices 2.1 Definitions Definition: A

��� �������������������� �"!#�$�%�'&(!�)*��!���&(+��������%�'&(!�) ,.-/10325476983:<;>=�?�@476BA�4C=ED�F :<8HGI2J:<;IKMLIKN:9KO69=�8HG�P7GQ:<?R4S@T?VU%F�PS6VKM=WPX:9698YANKO?�Z�8Y0Y0�G>4S:[ K\D>6VKO?VKOG5:<KOL];IK�6VKC^`_a;IKb@4C0H0Y4cZ�8YGI2d6VKO?VF>03:<?aP [ 4CF :aLIKN:9KO69=�8HG�P7GQ:<?ePS6VK\F>?fKO@F>0hgi KN:�j [ KkP7Gmlonplq=WPX:9698sr�Z�8s:<;tA�4C0YF>=EGvu5KOAw:x4S6<?ejmyz<{O|�|O|�{9jmy} ^`_a;IKOG~ LIKN:���jp������83@�P7G>L�4CG>0s�m8H@�j y z {�|O|�|N{<j y} PS6VK\0Y8YGIK�PS6903�WLIKOD�K�G>LIKOGQ:�^~ :<;IKbD�PS6<P70H0HKO0HK�D�8HDTKOLmLIK�:9K�6<=E8YGIKOL [ �tjmyz<{O|�|O|w{<jvy}Q��� � }��s� zS� � j y� g���� � � � �5� ��;�P7?�u54C0YF>=EKJK�U%F�P70�:<4�LIKN:���jp�

~ LIKN:���jp����� }�3� zI� � Z�;IK�6VK :x;IK�� �¢¡ ?MPS6VK :x;IK\KO8H2CKOG5uSP70YFIKO?�47@�j�^B_a;IK/1G�KwrIA�KO0Y03K�G5:d6VKO@"K�6VK�G>ANKm4CG£LIK�:9K�69=�8YG�P7G5:<?¤8H?¦¥*P74 � /1L uSPSG>A�KOL¨§Q:xPX:<8Y?©:<8YAOP70ª K�:<;>4%L>?a8YG¬«­8Y4C=�K�:9698YA1¥aKO?fKcPX6<Ax; �>® 4C;>Gt¯°8Y03K��C^