chapitre 4 fonctions de référencehgurgey.free.fr/img/pdf/chap_4_hyp_sec.pdfchapitre 4 - fonctions...

■

38

CHAPITRE

2 Objectifs

• Connaître le sens de variation des fonctions et

.

• Représenter graphiquement les fonctions et

.

• Connaître les propriétés de symétrie des courbes repré-

sentant les fonctions et .

• Comparer des carrés, des inverses.• Obtenir à partir du graphique, des inégalités vérifiées par

, par .

• Savoir placer l’image d’un nombre réel sur un cercle trigo-nométrique.• Calculer la longueur d’un arc intercepté par des anglesremarquables.• Savoir mesurer un angle simple en radians.• Convertir des degrés en radians et des radians en degrés.• Connaître la définition du sinus, du cosinus d’un nombreréel et savoir les lire sur un cercle trigonométrique.• Calculer le sinus, le cosinus de nombres remarquables.

• Connaître les représentations graphiques des fonctionssinus et cosinus.• Connaître les propriétés de périodicité et de parité desfonctions sinus et cosinus.• Identifier l’enchaînement de fonctions de référence per-mettant de décrire à partir de

x

, lorsque

f

est donnéepar une expression algébrique.

3 Difficultés et erreurs

3.1 Construction des courbes représentatives

• Représenter graphiquement les fonctions , ,

sin et cos comme si elles étaient affines par morceaux.

• Représenter graphiquement la fonction en reliant

par un trait continu les morceaux obtenus sur et sur.

3.2 Propriétés des fonctions

• Utiliser de façon « spontanée » et abusive la croissance, sur

un intervalle quelconque, des fonctions , , sin,

cos et affines.

x � x2

x �1x---

x � x2

x �1x---

x � x2 x �1x---

x2 1x---

f x( )

x � x2 x �1x---

x �1x---

] ∞– ; 0[]0 ; + ∞[

x � x2 x �1x---

4

Fonctions de référence

Exercice Prérequis testés Réponses

1

Reconnaître, à partir de leurs coordonnéesrespectives, que deux points sont symétri-ques par rapport à l’origine, ou l’axe desabscisses, ou l’axe des ordonnées d’unrepère orthogonal.

a)

M et N sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

b)

M et P sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

c)

M et Q sont symétriques par rapport à O.

2

Connaître la définition de l’inverse d’unréel non nul.

Les propositions

b)

et

d)

définissent l’inverse de

x

.

3

Connaître la définition du sinus et du cosi-nus d’un angle aigu dans un triangle rec-tangle.

a)

; .

4

Déterminer la longueur d’un arc de cercle.

a)

La longueur de

�

est 2

π

.

b)

L’arc est un quart de cercle donc sa longueur est , soit

.

5

Connaître les priorités de calcul. L’arrondi au centième de est 3,01 (on a même).

L’arrondi au centième de est 3,02 (on a même).

L’arrondi au centième de est 0,02.

lsin M NPMN----------= lcos M MP

MN----------=

�AB2π4

------π2---

f 5( )f 5( ) 3,01=

g 5( )g 5( ) 3,02=

h 5( )

1 Les prérequis : « Vérifier les acquis de 3

e

»

Chapitre 4 -

Fonctions de référence

39

■

• Affirmer que est décroissante sur .

• Appliquer des propriétés de linéarité aux fonctions ,

, sin, cos. Par exemple, écrire :

et

et , …

• Comparer

x

, et sans envisager différents cas.

• Omettre la solution négative de l’équation (avec).

3.3 Autres erreurs fréquentes

• Commettre des erreurs de calcul, avoir des difficultés delectures graphiques.• Confondre inverse et opposé.

• Confondre

π

et (

π

est la longueur d’un demi-cercle trigo-

nométrique alors que est la longueur d’un quart du cer-

cle trigonométrique).• Mauvais usage des touches ou , ou

de la calculatrice ; ne pas interpréter correctement lesrésultats fournis.• Difficultés à prévoir l’importance et donc le rôle des paren-thèses, y compris lors de calculs effectués à la calculatrice.Ceci entraîne des difficultés pour distinguer l’enchaînementde fonctions conduisant de

x

à , et celui conduisant de

x

à (par exemple).

4 Activités d’approche

4.1 Vers la fonction carré

1. Aire d’un carré

a)

b)

c)

�

contient tous les points de coordonnées .La courbe ne coïncide pas avec les segments , et sur chacun des intervalles proposés.Argument : raisonnement par l’absurde. Si

�

coïncide avec sur alors

�

contient le point , ce quiest faux car .

d)

Voir dessin du

b)

.Attention, ne pas tracer à la règle ! (à cause du

c)

).

e)

a pour équation : .Les points d’intersection de

�

et de ont pour coor-données vérifiant le système :

On en tire

ou . coupe

�

en les points et et unique-ment en ces points.

2. La fonction carré

�

est la réunion de

�

et de la courbe symétrique de

�

parrapport à l’axe des coordonnées.

4.2 Vers la fonction inverse

�

contient les points tels que , soit .

�

est donc la courbe représentative de la fonction .

1.

a)

Elles sont fausses car :• celle de Claude passe par O ; or donc le point On’appartient pas à

�

.• celle de Dominique coupe l’axe des abscisses au pointd’abscisse 3,5.Or donc la courbe ne peut pas couper l’axe desabscisses (car ).

b)

• ou

Les points de

�

dont l’abscisse est supérieure à 10 ouinférieure à – 10 sont situés à moins de 1 mm de l’axe desabscisses.

• ou .

Les points de

�

situés à moins de 1 mm de l’axe des abscissessont ceux dont l’ordonnée est supérieure à 10 ou inférieureà – 10.Pour les points situés à moins de de chaque axe,remplacer 10 par 10 000.

2.

Point

O A B C D E F G

x

0 0,2 0,5 0,8 1 2 3 4

x

2

0 0,04 0,25 0,64 1 4 9 16

x �1x--- ] ∞– ; 0[ ]0 ; + ∞[∪

x � x2

x �1x---

a b+( )2 a2 b2+= 1a b+------------ 1

a--- 1

b---+=

2xsin 2 xsin= a b+( )cos acos bcos+=

x2 1x---

x2 a=a 0�

π2---

12--- π

1–sin Asn 1–cosAcs

3x2

3x( )2

10

1

1

3 4

AC D

E

F

G

B

0 2

�

x ; x2( )OA[ ] AB[ ]

DE[ ]

DE[ ] 1 ; 2[ ] 1,5 ; 2,5( )1,5( )2 2,5≠

MN( ) y b a+( ) x ab–=MN( )

x ; y( )y x2=

y b a+( ) x ab.–=

x2 b a+( ) x– ab+ 0=x a–( ) x b–( ) 0=

x a= x b=MN( ) M a ; a2( ) N b ; b2( )

� '

M x ; y( ) xy 1= y 1x---=

x �1x---

0 0× 1≠

3,5 0× 1≠x 0× 1≠

1x--- 0,1� x 10�⇔ x 10–�

x 0,1�1y--- 0,1� y 10�⇔ ⇔ y 10–�

10 3– mm

1

1

O

�

�

■ 40

4.3 Le radian1. Longueur d’un arc de cercle

a) a pour longueur , soit .

a pour longueur , soit .

a pour longueur , soit .

a pour longueur .

b) a pour longueur � telle que , soit .

2. Le radiana) Un angle de mesure 180° mesure π rad.

Un angle de mesure 90° mesure rad.




b) Un angle de mesure rad mesure 120°.

Un angle de mesure rad mesure 270°.

Les résultats seront trouvés par le calcul et gagneront à êtreillustrés en plaçant les points correspondants sur le cerclede centre O et de rayon 1.

4.4 Cercle trigonométrique de centre O1. Enroulement de la droite des réels autour de Le point d’abscisse π vient se positionner en Le point d’abscisse 2π vient se positionner en A

Le point d’abscisse vient se positionner en B

Le point d’abscisse vient se positionner en



2. Cosinus et sinus d’un réel ; (point A)

; (point B)

; (point )

; (point ) ; (point A)

; (point )

; (point B)

◗ Pour aller plus loin• On peut proposer aux élèves de placer les points , ,

, , de � sur lesquels viendront se positionner les

points de la droite d d’abscisses , , , , .

• On peut proposer aux élèves de déterminer les valeurs

exactes des cosinus et sinus de , , .

5 Activités supplémentaires1. Pour le cours : « Cosinus et sinus d’un réel »

➜ page 92A. Énoncé

est un repère orthonormal. OAMB est un rectangle : , , .A se déplace sur à partir de I jusqu’à ce que le triangleOAB soit isocèle.Quelle est la distance parcourue par M ?

B. Raisons du choix et objectifsOn est amené à s’intéresser aux points M du premier cadrandont les projetés orthogonaux A et B sur les axes de coor-données vérifient . Réaliser la constructionconduit à placer A, puis B avec un compas, et enfin Mcomme intersection des perpendiculaires aux axes passantrespectivement par A et B. Si on a déjà remarqué que M estsur le cercle de centre O et de rayon 1, la connaissance de Apourra suffire. Ce qui est sous-jacent est la construction surun cercle trigonométrique de l’image d’un réel dont onconnaît le sinus et le cosinus. La fin de l’exercice conduira àutiliser la caractérisation du carré comme rectangle ayantdeux côtés consécutifs égaux, puis à mettre en œuvre la pro-portionnalité et la formule donnant le périmètre d’un cercle.Voir que et donc que M est sur le cercle de centreO et de rayon 1 peut ne pas être immédiat pour beaucoupd’élèves.

C. CorrigéOAMB est un rectangle donc . M se déplacesur le cercle de centre de O et de rayon 1. Lorsque le triangle

OAB est isocèle, OAMB est un carré et donc .M est au milieu du petit arc . La distance parcourue par

M est : .

D. Scénario possible de mise en œuvre (env. 1 h)À la suite d’une recherche individuelle d’environ 10 minutes,les élèves se seront appropriés le problème. Le professeuraura pu, au préalable, mieux l’expliciter au moyen d’un logi-ciel de géométrie (Cabri Géomètre ou GeoplanW). Ensuite,les élèves travailleront par groupes (accès souhaitable à unordinateur ou à une calculatrice Voyage 2000). Après 20 à30 min, un groupe exposera une solution au tableau. Ellesera soumise à débat, éventuellement corrigée et validée.Un prolongement possible (pour les groupes les plus rapidesou pour chercher à la maison) : pour quelle position de A,l’aire du rectangle OAMB est-elle maximale ? (Mêmequestion avec le périmètre de OAMB). On pourra exploiterl’affichage numérique de grandeurs géométriques, offert parcertains logiciels de géométrie.

�AN2π8

------ π4---

�AP2π6

------ π3---

�AQ2π12------ π

6---

�AR2π3

------�AM

�2π------ a

360---------= �

πa180---------=

π2---

π4---

π3---

π6---

2π3

------

3π2

------

�

A'

π2---

3π2

------ B '

π2---– B '

π– A'

0( )cos 1= 0( )sin 0=π2---

cos 0=π2---

sin 1=

3π2

------ cos 0=

3π2

------ sin 1–= B '

π( )cos 1–= π( )sin 0= A'2π( )cos 1= 2π( )sin 0=

π–( )cos 1–= π–( )sin 0= A'

3π2

------– cos 0=

3π2

------– sin 1–=

M1 M2M3 M4 M5

π3--- π

6--- 2π

3------ 2π

3------–

π6---–

π4--- π

3--- π

6---

M

O I

J

A

B1

O , I , J( )A OI[ ]∈ B OJ[ ]∈ AB 1=

OI[ ]

OA2 OB2+ 1=

OM 1=

OM AB 1= =

mAOM 45°=�IJ

18--- 2π× π

4---=

Chapitre 4 - Fonctions de référence 41 ■

2. Pour le cours « Les fonctions cosinus et sinus »➜ page 94

A. ÉnoncéUn point M est mobile sur un cercle trigonométrique derayon 1 cm.Il part de I, image du réel 0 sur ce cercle, et tourne dans lesens direct. Il s’arrête lorsqu’il a parcouru 2 000 cm.Combien de fois est-il passé par un point image d’un réel xtel que ?Combien de fois est-il passé par un point image d’un réel x

tel que ?

B. Raisons du choix et objectifsL’objectif est de s’habituer à « se déplacer » sur un cercle tri-gonométrique et à identifier le ou les points images de réelsdont le sinus ou le cosinus est donné. Par exemple, la déter-mination, par division du nombre de tours effectués pourraconstituer un retour sur certaines activités en rapport avecle contenu de la page 92. Cette approche pourra aussi servirà illustrer la périodicité des fonctions cosinus et sinus.

C. CorrigéEn effectuant un tour complet, M passe exactement une foispar le point image d’un réel x tel que et deux

fois par un point image d’un réel x tel que . Le

périmètre du cercle est 2π cm.En parcourant 2 000 cm, le point M effectue 318 tours et unnombre de centimètres compris entre 1,9 et 2. Après avoireffectué les 318 tours, M ne passe donc plus au point imaged’un réel x tel que et il ne passe qu’une fois par

un point image d’un réel x tel que car :

.

ConclusionM est passé :• 318 fois par le point image d’un réel x tel que :

;• 637 fois par un point image d’un réel x tel que :

.

D. Scénario possible de mise en œuvre (en classe 20 min)On pourra faire effectuer une recherche individuelled’environ 15 min après la synthèse de cours sur la définitiondu cosinus et du sinus d’un nombre réel. Cette recherchesera à mettre au point (éventuellement à rédiger) pour laséance suivante. Elle sera alors corrigée (environ 5 min) etles conclusions seront exploitées dans tout le chapitre surles fonctions cosinus et sinus. Ces conclusions seront illus-trées graphiquement lorsque les courbes représentatives decos et sin auront été tracées.

ProlongementRechercher le nombre de solutions d’équations du type :

ou , avec a et b donnés dans un intervalledonné (situations simples).

6 Travaux dirigés6.1 La fonction cubeA. Notions utilisées• distinction entre conjecture et démonstration• calcul littéral• études de signe• sens de variation d’une fonction sur un intervalle• centre de symétrie d’une courbe.

B. Corrigé1. On peut émettre les conjectures suivantes :a) � est au-dessus de l’axe des abscisses pour et au-dessous de l’axe des abscisses pour .b) � est symétrique par rapport au point O.c) f est croissante sur �.2. a) donc, comme , a le même signeque x.Si alors : pour � est au-dessus del’axe des abscisses.Si alors : pour � est au-dessous del’axe des abscisses.b) .

et sont donc symétriques parrapport à O.� est symétrique par rapport à O.c) • si u et v sont positifs, alors :[1] (car la fonction carré est croissante sur )[2] En multipliant membre à membre les inégalités [1] et [2]dont tous les membres sont positifs, on obtient : .• Si u et v sont négatifs, alors :[3] (car la fonction carré est décroissante

sur ) équivaut à [4] (de plus – u et – v sont positifs).

En multipliant membre à membre les inégalités [3] et [4]dont tous les membres sont positifs on obtient : ,soit .Bilan : f est croissante sur �.

6.2 La fonction racine carréeA. Notions utilisées• régionnement du plan• conjecture à la calculatrice• sens de variation d’une fonction sur un intervalle• étude de signe

B. Corrigé1. � contient tous les points avec ; or

donc � est comprise dans le quart de plan ensembledes points tels que x et y sont positifs.2. a) f semble croissante sur b) .

et donc ,

c’est-à-dire , soit .f est donc croissante sur .

xcos 1–=

xsin 12---=

xcos 1–=

xsin 12---=

xcos 1–=

xsin 12---=

π6--- 1,9 1 5π

6------� � �

xcos 1–=

xsin 12---=

xsin a= xcos b=

x 0[ ; + ∞[∈x ] ∞– ; 0 ]∈

x3 x2 x×= x2 0� x3

x 0� x3 0� x 0[ ; + ∞[∈

x 0� x3 0� x ] ∞– ; 0 ]∈

f x–( ) x–( )3 x3– f– x( )= = =M x ; f x( )( ) M ' x– ; f x–( )( )

u2 v2� 0[ ; + ∞[u v�

u3 v3�

u2 v2�

] ∞– ; 0 ]u v� u– v–�

u3– v3–�

u3 v3�

M x ; x( ) x 0�

x 0�

0[ ; + ∞[u v�

v u–

v u+-------------------- v( )2 u( )2–

v u+---------------------------------- v u–( ) v u+( )

v u+------------------------------------------------- v u– .= = =

v u– 0� v u+ 0�v u–

v u+-------------------- 0�

v u– 0� u v�

0[ ; + ∞[

■ 42

6.3 Comparer des nombres dans des cadres différents1. Cadre numérique

Il semble que :

• si ou , x et sont équidistants de 1 ;

• si soit plus près de 1 que x ;

• si x soit plus près de 1 que .

2. Cadre graphique

Notations : D : : � : Sur le graphique, on voit que :

• si , � est entre D et , donc est plus près de 1que x.

• si , � et D se coupent donc x et sont équidistantsde 1.• si , est entre � et D donc x est plus près de

1 que .

• si , on voit que x est plus proche de 1 que .

• si , � et D se coupent donc x et sont équidistantsde 1.

• si , on voit que est plus proche de 1 que x.

3. Cadre algébrique

1. a) Si , alors . Or, n’est possible

que si , donc . Ainsi, .

b) Si , alors .

2. a) Si : et car en

raisonnant comme au 1.

Donc .

b) Si , alors : .

3. • Si , alors donc est plusprès de 1 que x.

• Si , x et sont équidistants de 1.

• Si , alors x est plus près de 1 que .

• Si , alors donc : x

est plus près de 1 que .

• Si , alors , x et sont équidistants de 1.

• Si , alors donc : est

plus près de 1 que x.

6.4 Études de fonctions x � ax2

A. Notions utilisées• Sens de variation de et de avec .• Construction de courbe.• Lecture graphique d’un antécédent.• Étude du sens de variation d’une fonction sur un intervalle.

B. Corrigé1. a)

.b) Quels que soient les réels a et b tels que

, , .

Donc f est croissante sur .

x d

– 5 – 0,2 6 1,2

– 2 – 0,5 3 1,5

– 1 – 1 2 2

– 0,8 – 1,25 1,8 2,25

– 0,5 – 2 1,5 3

– 0,2 – 5 1,2 6

– 0,1 – 10 1,1 11

0,1 10 0,9 9

0,2 5 0,8 4

0,5 2 0,5 1

0,8 1,25 0,2 0,25

1 1 0 0

2 0,5 1 0,5

5 0,2 4 0,8

1x--- d '

x 1–= x 1=1x---

x ] ∞– ; 1– [ ]1 ; + ∞[∪∈ 1x---

x ] 1– ; 0[ ]0 ; 1[∪∈ 1x---

y 1= D ' y x= y 1x---=

x 1–� D '1x---

x 1–=1x---

1– x 0� � D '1x---

0 x 1� �1x---

x 1=1x---

x 1�1x---

x 1–�1x--- 1–�

1x--- 1–=

x 1–=1x--- 1–� 0 1

x--- 1–� �

1– x 0� �1x--- 1–�

0 x 1� � d 1 x–= d ' 1x--- 1–=

1x--- 1�

d d '– 1 x– 1x---– 1+

x 1–( )2

x-------------------–= =

x 1� d d '– x 1– 1– 1x---+ x 1–( )2

x-------------------= =

x 1–� x 1–1x--- 0 1� � � �

1x---

x 1–=1x---

1– x 0� �1x---

0 x 1� � d d '–x 1–( )2

x-------------------–= 0� d d '�

1x---

x 1= 1x--- 1=

1x---

x 1� d d '–x 1–( )2

x------------------- 0�= d d '�

1x---

x � x2 x � ax a 0�

R 0,65 0,34× 1,5× v2×=R 0,3315 v2=

x 0 36

0429,624f x( )0 a b 36� � � a2 b2�

0,3315a2 0,3315b2�

0 , 36[ ]

N

300

100

3020 3610

R = f(v)

m.s–1


c) Pour , on peut estimer v à .

équivaut à donc à

près.

2. GénéralisationSi , alors car est décroissante sur

.Si : ; f est décroissante sur .Si : ; f est croissante sur .Si , alors , car est croissante sur

.Si : ; f est croissante sur .Si : ; f est décroissante sur .

6.5 Étude de fonctions x � + bA. Notions utilisées• Calcul numérique.• Fonction affine : sens de variation et représentation gra-phique.• Sens de variation de la fonction .

• Construction de courbe.• Étude du sens de variation d’une fonction sur un intervalle.

B. Corrigé1. Formule de Halsey-Williamsa) Un ouvrier qui finit cette tâche en 8 h gagne :

, soit 63 euros.

b)

c) •

• Quels que soient les réels uet v tels que ,

, .

Donc f est décroissante sur.

2. Généralisation

Quels que soient u et v tels que , .

Si : .

Si : .

Quels que soient les réels u et v tels que ,

Si : .

Si : .

Conclusion :si , f est décroissante sur et sur ,si , f est croissante sur et sur .

6.6 Réfléchir avec l’ordinateurA. Notions utilisées• Utilisation d’un tableur.• Ensemble de définition d’une fonction.• Enchaînement de fonctions conduisant de x à .

B. Corrigé

1. a)

À partir de x, on enchaîne la fonction , suivie dela fonction , suivie de la fonction racine carrée :

.b) Lorsque x prend les valeurs 2 ; 2,5 ; 3 ; 3,5 alors est négatif et donc la racine carrée de n’existe pas.

L’ensemble de définition de f est

2. c) Dans , taper la formule :

Dans , taper la formule :

Dans , taper la formule :

Prolongement possibleOn peut demander aux élèves de faire construire la courbede f au tableur (utiliser nuage de points).

7 Corrigé des exercices et problèmesExercice d’application

1 - a) 144 b) 121 c) d) 2,89

e) 8 f) 2 g) h) i)

2 - a)

b)

3 - a) – 0,3 et – 0,093 sont tous deux négatifs. Leurs carréssont donc rangés dans l’ordre contraire de celui de cesnombres.

donc .b) 5,314 et 5,8 sont positifs. Leurs carrés sont donc rangésdans le même ordre que celui de ces deux nombres.

donc .

R 300 N= 30 m.s 1–

f v( ) 300= v2 3000,3315----------------= v 30,1≈ 10 1–

u v 0� � u2 v2� x � x2

] ∞– ; 0 ]a 0� au2 av2� ] ∞– ; 0 ]a 0� au2 av2� ] ∞– ; 0 ]0 u v� � u2 v2� x � x2

0[ ; + ∞[a 0� au2 av2� 0[ ; + ∞[a 0� au2 av2� 0[ ; + ∞[

ax----

x �1x---

7 8× 7 10 8–( )×2

-----------------------------+

0 1 10

10

35

70S t( ) 7t12--- 7 10 t–( )[ ]+=

72--- t 35+=

0 1 10

10

f t( ) 35t

------ 72---+=

0 u� v 10� �

1u--- 1

v---�

35u------ 7

2---+ 35

v------ 7

2---+�

]0 ; 10 ]

0 u� v�1u--- 1

v---�

a 0�au--- b+ a

v--- b+�

a 0�au--- b+ a

v--- b+�

u v� 0�

a 0�au--- b+ a

v--- b+�

a 0�au--- b+ a

v--- b+�

a 0� ] ∞– ; 0[ ]0 ; + ∞[a 0� ] ∞– ; 0[ ]0 ; + ∞[

f x( )

x � 3x– � 3x– 5+ � 3x– 5+

t � t 5+

X � Xx � 3x–

t � t 5+X � X

3x– 5+3x– 5+

∞– ; 53---

B2 A2 3–( )×=

C2 B2 5+=

D2 RACINE C2( )=

49---

10 6– 10 6 6 2 5+

–1 1

1

0

y = x2

–1000 10000

y = x2

y = x2106

–0,3 0,3

0,09

0

0,3– 0,093–� 0,3–( )2 0,093–( )2�

5,314 5,8� 5,3142 5,82�

■ 44

c) et sont deux réels négatifs.Leurs carrés sont donc rangés dans l’ordre contraire decelui de ces deux nombres.

et .Par conséquent, et .

4 - a) 19 et sont deux réels positifs.

et Par conséquent, .

b) et .Comparons les carrés de ces deux réels :

Par conséquent :

5 - L’équation équivaut à ,

soit .

On obtient donc deux solutions et .

6 - 1.

2. a) 2 b) 0 c) 1 d) 2 e) 2 f) 23. a) Les solutions sont et .b) n’a pas de solution.c) a pour seule solution 0.

d) Les solutions sont et .

e) Les solutions sont – 0,5 et 0,5.

f) Les solutions sont et .

7 - a) Résolution de .

Les réels qui ont pourcarré 5 sont et .Sur la courbe représen-tant la fonction carré,on lit que les réels dontle carré est supérieur à 5sont les réels inférieursà , ou les réels supé-rieurs à .L’ensemble des solu-tions de est :

.b) .

est un réel positif, et – 1 est négatif. Par conséquent iln’existe aucune valeur de x telle que .L’inéquation n’a pas de solution.c) .– 2 est négatif, et est un réel positif. Tous les réels x véri-fient . L’inéquation a pour solution �.

8 - a) donc car est croissante sur.

b) .c) .

9 - a) car est croissante sur .b) c) d) e) f)

10 -

a) b) c) d) e) f)

1 π– 2– 1–

1 π– 2,14–≈ 2– 1– 2,4–≈2– 1– 1 π–� 2– 1–( )2 1 π–( )2�

11 3192 20 1–( )2 400 1 40–+ 361= = =

11 3( )2 121 3× 363= =19 11 3�

2 7– 0� 11 2 14–– 0�

2 7–( )2 9 2 14–=

11 2 14––( )2

11 2 14–=

2 7–( )2 11 2 14––( )2

�

2 7– 11 2 14–�

x2 34---= x2 3

4---– 0=

x 32

-------– x 3

2-------+

0=

32

------- 32

-------–

1

1O–œ32

œ32

34

–1

1

1

5

0

0,25

94

103

y = x2

5– 5x2 3–=x2 0=

32---–

32---

103------– 10

3------

1

1

5

O

y = x2

œ5–œ5

x2 5�

5 5–

5–5

x2 5�

] ∞– ; 5– ] 5 ; + ∞[ [∪x2 1–�

x2

x2 1–�

x2 1–�

2– x2�

x2

2– x2� 2– x2�

x 3� x2 9� x � x2

0 ; + ∞[ [x2 1�

4 x2 25� �

1 x2 9� � x � x2 0 ; + ∞[ [4 x2 16� � x2 0 ; 4[ ]∈ 9 x2 0� �

x2 4 ; 64[ ]∈ x2 ]1 ; 25[∈

0 x2 9� �

1

1

5

9

0–3 œ5

4 x2 16� �

1 x2 9� �

0 x2 4� �

0 x2 16� �

0 x2 16� �

0 x2 64� �

1 2 4 5

4

9

16

64

0

y = x2

–1–2–3–4–8

11 -


12 - a) , .b) , .c) , .

13 - a) .b) équivaut à donc les solu-tions dans � sont et et sa seule solution dans

est .

14 - a) 0,1 b) – 0,01 c) 2d) 4 e) f)

g) h) i)

15 - a)

b)

c)

16 - a) et – 3 sont négatifs et donc

.

b) et 3 sont positifs et donc . Donc :

.

17 - a) , donc car si et

est décroissante sur .

b) . c) .

18 - a) b)

c) d) ou

e) ou f) ou

19 - a) est positif.

L’inverse de 2 est , de est x, de 3 est .

donc , soit .

b) est négatif.

donc c’est-à-dire : .

20 - 1.

2. a) 1 b) 1 c) 0 d) 1 e) 1 f) 1

3. a) b) d) e) f)

21 - On résout d’abord

. Cette équation

a pour solution .

Sur la courbe représen-tant la fonction inverse,on lit que les réels dontl’inverse est inférieur à

sont les réels négatifs

et supérieurs à .

L’ensemble des solutions

de l’inéquation est .

22 - a) , soit .

b) . c) .

23 - et ces trois réels – 10, x et – 2 sont stric-tement négatifs.

• Donc c’est-à-dire , d’où

[1].

M 400= m 100=M 8 100= m 3 600=M 36= m 0=

3 2–( )2 3 4 3– 4+ 7 4 3–= =

x2 7 4 3–= x2 3 2–( )2=3 2– 2 3–

0 ; + ∞[ [ 2 3–

3 103

10 –3–45--- 12

13------–

2

1

0

y = 1x1

2–

12

–5

–2

– 0,2

10

1

0 1110

y = 1x

200010000

5.10–4

10–3

1 π– 3– 1 π–�

13–

------- 1π---�

2 2 2 1,5� 2 2 3�

1

2 2---------- 1

3---�

x 3� 0 1x---�

13---�

1x--- 0� x 0� x �

1x---

]0 ; + ∞[

1–1x---� 0�

12---–

1x--- 1

5---–� �

13--- 1

x--- 1� � x

12---–�

13--- x�

1x--- 1

2---–�

1x--- 1

4---�

1x--- 1

3---–�

1x--- 1

10------�

1x--- 5

6---�

1x--- 2–�

1x---

12--- 1

x--- 1

3---

2 1x--- 3� �

12--- x

13---� �

13--- x

12---� �

1x---

6–1x--- 1

4---–� �

16---– x 4–� � 4– x

16---–� �

1

1

2

–3

0

y = 1x

34

–œ22

12--- 1

3---–

43--- 2– 107

1

1

–2

O

12

–

1x--- 2–=

x12---–=

– 212---–

1x--- 2–�

12---– ; 0 x ] ∞– ; 0[ 1

3--- ; + ∞∪∈

0 x110------� � 0 ; 1

10------

x ∞– ; 14---– ]0 ; + ∞[∪∈ x ] ∞– ; 0[ 1

3--- ; + ∞∪∈

10– x 2–� �

110–

---------- 1x--- 1

2–-------� � 0,1–

1x--- 0,5–� �

5–10x------ 1–� �

■ 46

• D’autre part, , c’est-à-dire d’où [2].

Par addition membre à membre des encadrements [1] et [2]on obtient : .

24 - donc x est un réel positif. Les réels positifssont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses, donc

en multipliant par 3 (qui est positif) on obtient

des inégalités de même sens : .

En multipliant par – 1 on obtient des inégalités de sens con-

traire :

et

Donc :

25 - a) On note α la mesure en radians de cet angle. De

on déduit que : .

Cet angle mesure donc rad.

b) On note d la mesure en degrés de cet angle.

De on déduit que .

Cet angle mesure donc 195°.

26 - a) 180° b) 60° c) 135° d)

27 - a) b) c) d)

28 -

29 -

30 - a)

Donc la différence entre et n’est pas un multiple

de 2π.

Les réels et n’ont pas la même image sur le cercle

trigonométrique.

b)

La différence entre et est un multiple de 2π, donc

les réels et ont la même image sur le cercle trigono-

métrique.

31 - ; ; et ont la même image.

0 ; 2π et – 8π ont la même image.π ; – 7π et 9π ont la même image.

et ont la même image.

32 - a) et b) et c) et d) et e) et f) et

33 - a) 1 et 0 b) – 1 et 0 c) 0 et 1 d) 0 et 1

34 - a) Sur le cercle trigono-métrique ci-contre le point

est l’image du réel π. est l’abscisse de ,

donc .b) Le point J est l’image du

réel ; est l’ordonnée

de J, donc .

c) Avec les notations de la figure ci-dessus, le point B est

l’image du réel . Donc , soit .

Par conséquent , et le triangle OBH est undemi-triangle équilatéral de côté 1.

Donc , c’est-à-dire .

35 - a)

36 - a)

37 - a)

b)

10–( )2 x2 2–( )2� �

100 x2 4� � 2 0,5x2 50� �

3– f x( ) 49� �

1 x 5� �

15--- 1

x--- 1� �

35--- 3

x--- 3� �

3–3x---–

35---–� �

1 x 5� �

2– f x( ) 225------� �

180π

--------- 20α------= α 20π

180--------- π

9---= =

π9---

180π

--------- d13π12

------------------= d

180π

--------- 13π12

---------× 195= =

270π

--------- °

π6--- rad π

2--- rad π

4--- rad 107π

60------------ rad

2π3

3π2

10π3

7π6

5π –6π

7π4

–

5π2

–

π4

–

π3

11π12

π12

11π65π

4

5π6

π6

π4

18 π5

---------- 3π5

------– 15π5

--------- 3π= =

3π5

------ 18 π5

----------

3π5

------ 18 π5

----------

5π3

------– 7π

3------– 5π– 7π–

3----------------------- 12π–

3------------ 4π– 2π 2–( )×= = = =

5π3

------–7π3

------

5π3

------–7π3

------

π3--- 5π

3------–

14π6

--------- 19π3

---------

23π6

---------–π6---

xcos 0� xsin 0� xcos 0� xsin 0�



J

I'HO I

BI ' 1– ; 0( )π( )cos I '

π( )cos 1–=

π2--- π

2---

sin

π2---

sin 1=

π3--- mHOB π

3--- rad= mHOB 60°=

mOBH 30°=

OH 12---=

π3---

cos 12---=

M

π

π2

23

b) ,

donc

car

donc .

cos2x sin2x+ 1=

cos2x 59---=

xcos 0� xπ2--- ; π∈

xcos 53

-------–=

M

0– π

15

–

b) ,

donc

car

donc .

cos2x sin2x+ 1=

sin2x 2425------=

xsin 0� x π– ; 0[ ]∈

xsin 245

----------–=

π4---–

cos π4---cos 2

2-------= =

π4---–

sin π4---sin–

22

-------–= =

9π4

------ cos π

4--- 2π+

cos π4---cos 2

2-------= = =

9π4

------ sin π

4--- 2π+

sin π4---sin 2

2-------= = =


38 - a)

b)

c)

39 - a) On tape suivant les calculatrice

0.3 ou 0.3

Affichage

Donc .b) donc .Or .On tape suivant les calculatrices

(–) 0.4 ou (–) 0.4

Affichage

Donc et .

40 - a) b) c) d)

41 - a)

b)

c)

d)

42 - Lorsque x varie de 0 à , le

point M image de x décrit lequart de cercle rouge et sin xcroît de 0 à 1.

Lorsque x varie de à π, le

point M décrit le quart de cerclebleu et décroît de 1 à 0.

43 - a) , et la fonction sinus est crois-

sante sur ; par conséquent, comme alors on

en déduit : .

b) La fonction cosinus est décroissante sur donc

.

44 -

et . La fonction sin étant croissante sur

et décroissante sur , le sens de variation de sin

ne permet donc pas d’affirmer que .

À la calculatrice : etPar conséquent .Le raisonnement et le résultat sont donc faux tous les deux.

45 -

46 - 1. a) b) c)

2. a)

b)

On enchaîne la fonction carrée, suivie de la fonction

linéaire suivie de la fonction affine .

47 - a) suivie de

b) suivie de

c) suivie de

d) suivie de

e) suivie de la fonction carré.f) suivie de la fonction sin.

48 - • donc h est une fonction affine.

• donc k est la fonction inverse.

• g est la fonction carré.• (fonction affine).

49 - a)

b)

50 - , suivie de la fonction carré, suivie de.

51 - a) , suivie de la fonction inverse, suivie de.

b) La fonction carrée, suivie de , suivie de lafonction racine carrée.c) La fonction carré, suivie de , suivie de la fonc-tion inverse, suivie de la fonction cosinus.

52 - • , suivie de la fonction racine carrée, suiviede .• , suivie de la fonction racine carrée, suivie de

.

53 - (2) et (4) définissent la même fonction, car : .

11π6

--------- cos 2π π

6---–

cos π6---–

cos 32

-------= = =

11π6

--------- sin 2π π

6---–

sin π6---–

sin 12---–= = =

7π3

------– cos 7π

3------– 2π+

cos π3---–

cos 12---= = =

7π3

------– sin π

3---–

sin π3---sin–

32

-------–= = =

7π2

------ cos π

2---– 4π+

cos π2---–

cos 0= = =

7π2

------ sin π

2---–

sin π2---sin– 1–= = =

sin –1 ENTER Asn EXE

sin –1 0.30.304 692 654

x 0,30≈y π– ; 0[ ]∈ y– 0 ; π[ ]∈

y–( )cos y( )cos 0,4–= =

cos –1 ENTER Acs EXE

cos –1 0.4–1.982 313 173

y– 1,98≈ y – 1,98≈

x 0,4≈ x 2,4≈ x 2,3≈ x 5≈

x cos –1 45---

sin –1 35---

= = 0,6≈

x cos –1 0,71–( )= 2,6≈

x sin –1 0,63–( )= 0,9–≈

x cos –1– 0,14–( )= 2–≈

M

0O0

1sin x

π

π2

π2---

π2---

x( )sin

π12------ 0 ; π

2---∈ π

7--- 0 ; π

2---∈

0 ; π2--- π

12------ π

7---�

π12------

sin π7---

sin�

0 ; π2---

π12------

cos π7---

cos�

x 0 1 3 π

01

0

π2---

x( )sin

1 0 ; π2---∈ 3 π

2--- ; π∈

0 ; π2--- π

2--- ; π

1( )sin 3( )sin�

1( )sin 0,84≈ 3( )sin 0,14≈1( )sin 3( )sin�

x – π 2π

0– 1

1– 1

0

π2---–

π2--- 3π

2------

x( )sin

x – π 0 π 2π

– 11

– 11

x( )sin

2 � 103------ 9– �

73312--------- 7

6--- �

6548------

f x( ) 34---x2 1

3---+=

x � x2

X � X

43---

------34---X=

t � t 13---+

X � 34---X t � t 1

3---+

x � x2 t � 3t 1–

x � x 3– X � 1X----

x � xcos t � 2t 3–

x � 1x--- X � 4X 2–

x � 3x 1–x � 2x π+

h X( ) X 1+=X � X 1+

h

k y( ) 1y---=

m : u � u 3–

f x( ) 2 y2( )2 5–=f x( ) 2 x– 4+( )4 5–=

f x( ) 11 xcos–----------------------=

x � 3x 1–x � 2x– 5+

x � x 1+t � 2 t–

X � X 4+

X � X 1+

x � x 1–t � 2t 5+

x � 4x 4–x � x 5+

x– 2+( )2 x 2–( )2=

■ 48

54 - a) et l’enchaînement proposé donne – 8comme image de 1. L’affirmation est donc fausse.

b) .

c) On passe de x à en enchaînant , suivie dela fonction inverse, suivie de .

55 - Donc on passe de x à en enchaînant , suiviede la fonction carrée.

56 - a) b) c)

QCM57 - c 58 - a 59 - c 60 - c 61 - c62 - a 63 - b 64 - a 65 - a

Vrai ou faux66 - F 67 - F 68 - F 69 - V 70 - F 71 - F72 - F 73 - F 74 - F 75 - V 76 - F 77 - F

Exercices d’approfondissement78 - a)

b) Si x et y sont de même signe, alors donc.

Sinon : .

79 - a)

b)

: sur le dessin M est au-dessous de N.

80 - a) et .Donc .b)

Donc .c) et donc , et .d) et

et .Donc .e)

Donc (car les deux réels sont négatifs).

81 - • On peut conjecturer que est lecarré de 1 002, car 2 003 est le 1 003e nombre impair.

• Le graphique montre que :.

Pour tout entier n : .Généralisons :

82 - a) Si M est dans la zone , alors , , donc .

Si M est dans , alors , et donc.

Si M est dans , alors . Si M est dans , alors.

Si M est dans , alors . Si M est dans , alors.

b)

quels que soient les réels x et y.

c) .

Or quels que soient les réels x et y tels

que , et .

Si M est dans ou ou : .

Si M est dans ou ou : .

83 - 1. a) x varie de à 0.

b) .

Donc x varie de à .

c) x varie de à .

2. a) cos x croît de à 1 puis décroît de 1 à 0 pendant que

sin x décroît de à – 1 puis croît de – 1 à 1.

b) cos croît de à 1, décroît de 1 à – 1, puis croît de – 1 à

0 pendant que sin x décroît de à – 1 puis croît de – 1 à 1.

f 1( ) 6=

1 5x 2–------------– x 2– 5–

x 2–--------------------- x 7–

x 2–------------ f x( )= = =

f x( ) x � x 2–x � 5x– 1+

f x( ) x 1+( )2=f x( ) x � x 1+

f y 1–( ) y 1–( )2 1– y2 2y–= =f 6y( ) 6y( )2 1– 36y2 1–= =f 2 y( ) 2 y( )2 1– 4y 1–= = y 0�( )

x y+( )2 x2 y2+( )– x2 2xy y2 x2– y2–+ +=2xy=

2xy 0�

x y+( )2 x2 y2+�

x y+( )2 x2 y2+�

MN

a2

b2

a + b2

a b

m n–a b+

2------------

2 a2 b2+2

-----------------–a b–( )2

4-------------------–= = 0�

m n�

5 13×( )2 65= 82 64=

5 13× 8�

2 5+( )2 27 10 2+=

2 5+ 25 10 2+�

a 0� b 0� 2 ab 0� a b+ a b+�

17 3 2+( )2 35 6 34+= 6 34( )2 1 224=

4 19+( )2 35 8 19+= 8 19( )2 1 216=

4 19+ 17 3 2+�

29–( )2 29=

3 2 5–( )2 29 12 2–=

3 2 5–( )2 29–( )2�

3 2 5– 29–�

1 3 5 … 2 003+ + + +

1 3 5+ + 12 22 12–( ) 32 22–( )+ + 32= =n 1+( )2 n2– 2n 1+=

1 3 5 … 2 001 2 003+ + + + +12 22 12–( ) 32 22–( ) … 1 0012 1 0002–( )+ + + +=

1 0022 1 0012–( )+1 0022= 1 004 004=

1 x 0� y 0�

x y+ 0� xy x y+( ) 0�2 x 0� y 0� y x–�

xy x y+( ) 0�3 xy x y+( ) 0� 4

xy x y+( ) 0�5 xy x y+( ) 0� 6

xy x y+( ) 0�

x y2---+

2 3y2

4--------+ x2 xy y2

4----- 3y2

4--------+ + + x2 y2 xy+ += =

1x y+------------ 1

x--- 1

y---+

–

x y2---+

2 3y2

4--------+

xy x y+( )-----------------------------------–=

x y2---+

2 3y2

4--------+ 0�

y 0≠ x 0≠ x y+ 0≠

1 3 51

x y+------------ 1

x--- 1

y---+�

2 4 61

x y+------------ 1

x--- 1

y---+�

M(x)

00

π3

œ32

12

π3---

M(x)0

π3

3π3

œ32

12

x 0 ; 2π[ ]∈π3--- 3π

2------

05π6

–π3

–

–œ32

12

12

–

5π6

------–π3---–

22

-------–

22

-------–

32

-------

12---


84 - a)

• On cherche à construire le point B sur l’axe des ordon-nées, ayant pour ordonnées .

et .

donc .

Il reste donc à construire :• le point sur l’axe des ordonnées, d’ordonnée x.

• donc la parallèle à passant par A

coupe l’axe des ordonnées en B.• M est l’intersection de la perpendiculaire à passantpar A, et de la perpendiculaire à passant par B.

85 - a) .

b) .86 - 1. • fausse• fausse• vraie2.

et a) donc est vraie

b)

Par conséquent :

est fausse.

87 - La copie 2 contient un raisonnement faux :

si alors et .

On ne peut pas en conclure que .

Contre-exemple : avec .

88 - Le carré d’un entier x ne présente un zéro commechiffre des unités que si zéro est le chiffre des unités de x.Or, dans ce cas, le carré de x a une écriture décimale qui setermine par un nombre pair de zéros. Le nombre proposéne peut donc pas être le carré d’un entier.

89 - On cherche, en particulier, un entier n tel que :

c’est-à-dire .

Si : .

Si : .Si : .Si : .Donc, pour tout entier naturel n non nul :

.

90 - Si x est une solution, alors avec et .

car , , et

.

Si , et

donc

d’où : cela est

impossible. Donc ou .

Réciproquement, pour tout entier relatif k

et .

Donc les solutions sont les nombres de la forme et ceux

de la forme où k décrit �.

91 -

« Pour tout x, » équivaut à « »soit .

Problèmes de synthèse92 - 1.

2. a) , , , , .

b) D’après le théorème de Thalès, on obtient : ,

soit , soit . L’ordonnée de M est .

c) � a pour équation . La courbe est tracée en poin-tillés sur le dessin de 1.

93 - a)

AIO

J

B'

B M

x

x2

OB x2= OA x=

x2

x----- x

1---= OB

OA---------- OA

OI----------=

B '

OBOB '----------- OA

OI----------= IB '( )

OI( )OJ( )

rsin 70°sin1,33

----------------= r 45°≈

isin 1,33 30°sin×= i 41,7°≈1,87 x2 2,01� �

1,88 x2 2,02� �

1,87 x2 2,02� �

1,52– x 1,51–� �

1,52–( )2 2,3104= 1,51–( )2 2,2801=2,2801 x2 2,3104� � 2,28 x2 2,32� �

11,52–

-------------- 1x--- 1

1,51–--------------� �

11,52–

-------------- 0,657 894…–≈

11,51–

-------------- 0,662 2…–≈

0,66–1x--- 0,65–� �

x 1� x12--- 1

2---�– x 1

2---–

2 14---�

x 12---–

2x 1

2---–�

x 1,25=

1n--- 1

n 1+------------– 1

2 000-------------= n n 1+( ) 2 000=

n 44= n n 1+( ) 2 000�

t 0,1 1,5 5 10

0,05 11,25 125 500

n 45= n n 1+( ) 2 000�

n 44� n n 1+( ) 44 45×�

n 45� n n 1+( ) 45 46×�

1n--- 1

n 1+------------–

12 000-------------≠

x x0 2kπ+=x0 0 ; 2π[ ]∈ k �∈

x0 0 ; π2---∈ xsin 0� cos x 0� xsin x0sin=

cos x cos x0=

x0

0 ; π

2---

∈ x0sin ]0 ; 1 [∈ cos x0 ]0 ; 1[∈

x0sin x0sin sin2 x0� �

cos x0 cos x0 cos2 x0� �

x0sin cos x0 sin2 x0 cos2 x0+�+ 1=

x0 0= x0π2---=

sin 2kπ cos 2kπ+ 1=

π2--- 2kπ+

sin π2--- 2kπ+

cos 1=+

2kππ2--- 2kπ+

h x( ) p mx n+( ) q+ pmx pn q+ += =k x( ) m px q+( ) n+ mpx mq n+ += =

h x( ) k x( )= mq n+ pn q+=n p 1–( ) q m 1–( )=

A B

J

C E

M

N G F

B 0 ; 0( ) C 1 ; 0( ) A 1 ;– 0( )E x ; 0( ) G 0 ; x–( ) N 1– ; x–( )

EMAN---------- BE

BA---------=

EMx

---------- x1---= EM x2= x2

y x2=

f t( )

■ 50

b) Si et , alors .

c) et donc .

d) respecte l’ordre sur : ainsi que sur �, donc respecte l’ordre sur : f est crois-sante sur .e) La vitesse moyenne entre les instants 0 et 1 est :

soit 5 m/s.Entre 0 et 2 : 10 m/s.Entre 0 et 4 : 20 m/s.Entre 0 et t : .f) est le coefficientdirecteur de la droite

.v est une fonction linéaire.g) équivautà , soit .

94 - A. Avec la géométrie1. a) et b)

2. a) Le repère étant orthonormal, et. De plus, . Donc le quadrila-

tère OQMP est un rectangle..

b) et et OINP est un rectangle, donc.

c) • Lorsque , le rectangle OINP contient le rec-tangle OQMP, donc , c’est-à-dire

.• Lorsque , le rectangle OINP est contenuedans le rectangle OQMP, donc ,c’est-à-dire .L’animation sur Géoplan ou Cabri illustre ces deux cas.A. Avec l’algèbrea) .b) est positif pour tout réel x.

a donc le même signe que .Par conséquent : • si , donc , et .• si , donc , et .

95 - a) •

•

b) On passe de x à en enchaînant la fonction (affine), suivie de la fonction carré, suivie de la

fonction (affine).c) Pour tout , donc donc .On obtient donc : Pour tout : et .Ceci signifie que le bénéfice maximal est atteint pour uneproduction de 34 objets par jour, et que ce bénéfice maximalvaut 286,8 €.

96 - 1. car est la lon-

gueur de la hauteur issue de B dans le triangle OIB. .

Donc ;

.

2. Le triangle OIB est isocèle en O. est la bissectricede donc un axe de symétrie pour OIB. OIH et OHBsont donc rectangles et isométriques. Ils ont ainsi des aireségales.3. Les triangles rectangles OIH et OAP sont tels que

et . Donc ils sont isométriques etont même aire.

4.

5.

97 - 1. Si ,

Si , .

2. .3. a) Pour tout réel x, donc � est symétriquepar rapport à l’axe des ordonnées.b)

c)

5t2 300= t 0� t 7,7 s≈

d t2= t 0� t d5---=

t � 5t2 0 ; + ∞[[ x � 5xt � 5t2 0 ; + ∞[[

0 ; + ∞[[

10

M

�

10 4t

80

f 1( ) f 0( )–1 0–

---------------------------- m/s

5t m/sv t( )

OM( )

v t( ) 18 m/s=5t 18= t 3,6=

I

x2

xQO

J

y = x2

P N

d

M

O,I,J( ) MP( ) OP( )⊥OQ( ) MQ( )⊥ OP( ) OQ( )⊥

� OQMP( ) OQ OP× x x2× x3= = =OI 1= OP x2=

� OINP( ) x2=x ]0 ; 1[∈

� OINP( ) � OQMP( )�

x2 x3�

x ]1 ; + ∞[∈� OINP( ) � OQMP( )�

x2 x3�

x3 x2– x2 x 1–( )=x2

x3 x2– x 1–

x ]0 ; 1[∈ x 1 0�– x3 x2– 0� x3 x2�

x ]1 ; + ∞[∈ x 1– 0� x3 x2– 0� x3 x2�

B x( ) R x( ) C x( )–=B x( ) 20,1x 0,3x2– 60 0,3x+–=B x( ) 0,3–( )x2 20,4x 60–+=

0,3– x 34–( )2 286,8+ 0,3– x2 68x 1 156+–( ) 286,8+=0,3x2– 20,4x 60–+=

B x( )=B x( )

x � x 34–x � 0,3x– 286,8+

x 0 ; 50[ ]∈ x 34–( )2 0�

0,3– x 3–( )2 0� 0,3– x 3–( )2 286,8+ 286,8�

x 0 ; 50[ ]∈ B x( ) 286,8� 286,8 B 34( )=

aire OIB( ) 12--- OI 2xsin××= 2xsin

OI 1=

aire OIB( ) 12--- 2xsin=

aire OAP( ) 12---AP OP× 1

2--- x xcossin= =

OH( )mIOB

OI OA= mAOP mIOH=

aire OIB( ) aire OIH( ) aire OHB( )+=2 aire OIH( )= 2 aire OAP( )=

2xsin 2 aire OIB( ) 4 aire OAP( )= =2 x xcossin=

x 3= aire OMNJ( ) OM OJ× 3 cm2= =

x 2–= aire OMNJ( ) OM OJ× 2 cm2= =

aire OMNJ( ) OM OJ× x 1 cm2× x cm2= = =

f x–( ) f x( )=

x – ∞ 0 + ∞

0f x( )

1

1

3

3

– 3 7

7

– 7


4. a) équivaut à soit

. L’ensemble cherché est .

b) équivaut à soit .L’ensemble cherché est .

98 - 1. de x à …a) b) Entrer les données dans la colonne A. Dans la cellule B1,taper la formule : Dans la cellule C1, taper : .Dans la cellule D1, taper : .Sélectionner les cellules A1 à A8, B1 à B8, C1 à C8, D1 àD8 ; puis Édition, Recopier, Vers le bas.

2. Différentes écritures d’une même expressiona)

b) f :

c) f :

d) Les contenus des cellules E1 à E5 sont respectivementégaux à ceux de D7 à D11, car :

3. Résolution d’équations avec un tableurb) Dans B2, on tape : .Dans C1, on tape : .Dans B6, on tape : .Dans C5, on tape : .Applications

L’aire totale des faces est au moins égale à 12 cm2 ; il estdonc impossible d’avoir une aire égale à 7,25 cm2.Le résultat – 0,475 correspond à la solution dans � del’équation : .Puisque par hypothèse, cette valeur ne sera pas rete-nue.

A B C D1 – 2 – 4 4 0

2 – 1 – 2 1 – 1

3 0 0 0 0

4 1 2 1 3

5 2 4 4 8

6 3 6 9 15

7 4 8 16 24

8 5 10 25 35

A B C D E

1 – 2 – 6 – 0,16666667 – 2,33333333 0,66666667

2 – 1 – 5 – 0,2 – 2,8 0,2

3 0 – 4 – 0,25 – 3,5 – 0,5

4 1 – 3 – 0,33333333 – 4,66666667 – 1,66666667

5 2 – 2 – 0,5 – 7 – 4

6

7 – 2 – 4 – 6 0,66666667

8 – 1 – 1 – 5 0,2

9 0 2 – 4 – 0,5

10 1 5 – 3 – 1,66666667

11 2 8 – 2 – 4

aire OMNJ( ) 3 cm2� f x( ) 3�

x 3� 3– ; 3[ ]aire OMNJ( ) 7 cm2� f x( ) 7� x 7�

] ∞– ; 7 [– ]7 ; + ∞[∪

f x( )f x( ) 2x x2+=

2 A1×=A1 A1×=B1= C1+

x 2,75 0,53 1,06 0,534 1,36 – 0,475

Volume (en cm3)

16,5 3,18 6,36 3,204 8,16 – 2,85

Aire (en cm2)

39,5 17,3 22,6 17,34 25,6 7,25

x � f x( ) 14x 4–------------ 3+=

x � 3x 2+x 4–

---------------

14x 4–------------ 3+ 14 3 x 4–( )+

x 4–-------------------------------- 2 3x+

x 4–---------------= =

B1 6×=C2= ÷ 612 10 B5×+=C6 12–( ) ÷ 10=

12 10x+ 7,25=x 0�

chapitre 4 fonctions de référencehgurgey.free.fr/img/pdf/chap_4_hyp_sec.pdfchapitre 4 - fonctions...

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