chapitre 2 - iard

7/25/2019 chapitre 2 - IARD

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Fonctions dcrivant une variable alatoireMesures caractrisant une variable alatoire

Classification des distributions

ACT 2284 - Cours 2

Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A.

Universit de Montral

11 janvier 2016

Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 1 / 25


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1 Fonctions dcrivant une variable alatoire

2 Mesures caractrisant une variable alatoire

3 Classification des distributions



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Variable alatoire

Exemples en assurance IARD

La perte lie une assurance automobile.La rclamation lie une assurance automobile.Le nombre dannes que le client sera assur avec lacompagnie.etc.



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Fonctions dcrivant une variable alatoire

Fonction de rpartition

X : une variable alatoire.FX(x) =P(X x) : fonction de rpartition.

Proprits

Non-dcroissante.Continue droite.limx FX(x) =0 et limx FX(x) =1.



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Exemples de fonctions de rpartition

!0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.2

0.4

0

.6

0.8

1.0

x

F(x)

!3

!2

!1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0

.6

0.8

1.0

x

F(x)

Figure 1 : Exemple de fonctions de rpartition.


i d i i bl l i


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Fonctions dcrivant une variable alatoire (suite)

Fonction de survie

X : une variable alatoire.SX(x) =P(X>x) : fonction de survie.

Proprits

Non-croissante.Continue droite.limx SX(x) =1 et limx SX(x) =0.


F i d i i bl l i


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Fonction de densit

X : une variable alatoire.fX(x) =

ddxFX(x) : fonction de densit.

Pour queltypede variables alatoires cette fonction est utile ?Proprits

Positive (fX 0).

P(a X b) =Rba f(x)dx(Si la variable alatoire est discrte

FX(x) = Pyx

P(X =y)).

Dmontrez que FX estnon-dcroissanteen considrant que Xest une v.a.continue.


F ti d i t i bl l t i


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!3

!2

!1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0

.6

0.8

1.0

x

F(x)etf(x)

Figure 2 :Fonction de rpartition et de densit dune loi normale.




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Taux de panne

X : une variable alatoire.hX(x) =

fX(x)SX(x)

: taux de panne.

Proprit

hX(x) = S0X(x)SX(x)

= (log SX(x))0.

SX(x) =expRx

hX(y)dy

( dmontrer).

Thorme fondamental de calcul

Si f(x) =F0(x) est une fonction continue sur lensemble[a, b],alors Z b

a

f(x)dx=F(b) F(a).




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Mesures caractrisant une variable alatoire

ModeValeur quimaximisela fonction de probabilit (fX(x) si la v.a.estcontinueou P(X =x) si elle estdiscrte).

MdianeMesure de tendancecentrale(la valeur m telle queP(X m) = P(X m)).

Qui a-t-il de particulier lorsque Xest une v.a. continue ?Esprance

Mesure de tendancecentrale(E[X] =R

xfX(x)dxsi la v.a.estcontinueou E[X] =

PxxP(X =x) si elle estdiscrte).

Variance

Mesure devariabilit(Var[X] = E[(X E[X])2] = E[X2] E[X]2).

RemarquesE[g(X)] =

R

g(x)fX(x)dxsi la v.a. estcontinueouE[g(X)] =

Pxg(x)P(X =x) si elle estdiscrte.

Lintgrale ou la sommene converge pas lesprance decette v.a.nexiste pas.Philippe Gagnon, M.Sc., A.S.A. (UdeM) 11 janvier 2016 11 / 25



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Mesures caractrisant une variable alatoire (suite)

k-ime moment(k N)E[Xk]

Coefficient de variation

Mesure devariabilit standardis(pVar[X]/E[X]).

Coefficient dasymtrie

Mesure dasymtrie (E[(X E[X])3]/(pVar[X])3).

Si gal 0 distributionsymtrique, si >0 distributionasymtrique droite.E[(X E[X])3] = E[X3] 3E[X2]E[X] +2E[X]3 ( vrifier enexercice).

Coefficient daplatissement

Mesure daplatissement (paisseur desailes)(E[(X E[X])4]/Var[X]2).E[(XE[X])4] = E[X4]4E[X3]E[X]+6E[X2]E[X]23E[X]4

( vrifier enexercice).




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Mesures caractrisant une variable alatoireClassification des distributions

Illustration laide de la loi normale et exponentielle

!3 !2 !1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

densitnormaleetexponentielle

Figure 3 :Pour la loi normale(0,1), le coefficient dasymtrie est 0 et lecoefficient daplatissement est de 3. Pour la loi exponentielle(1), lecoefficient dasymtrie est de 2 et le coefficient daplatissement est de 9.




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Exemple

Tableau.




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Percentile

Variable alatoirecontinue

fX>0 sur son domaine FX eststrictementcroissante, doncadmet une fonctionrciproque. Alors, pour 0< p


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Percentile (suite)

!0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x)

!3 !2 !1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x)

Figure 4 :Quel le 20-ime et le 50-ime percentile dans ces deuxsituations ?


Fonctions dcrivant une variable alatoireM t i t i bl l t i


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Fonction gnratrice des moments

Lafonction gnratrice des moments(fgm) dune v.a. X,note MX(t), est donne par

MX(t) = E[etX],

pour tout tpour lesquels cette esprance existe.Fonction gnratrice bien dfinie + existence du k-imemoment

E[Xk

] =

dk

dtkMX(t)t=0 , k {1, 2, . . .}.

Pourquoi ?

MX(t) = E[etX] = E

hPn=0

tnXn

n!

i=P

n=0tnE[Xn]

n! .




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Fonction gnratrice des moments - Loi de Poisson

Si Xa une distributionPoissonde paramtre > 0, alors

P(X =x) = e x

x! .

Quelle est la fonction gnratrice des moments ?

Calculez lesprance.




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Fonction gnratrice des moments - Loi Gamma

Si Xa une distributionGammade paramtre >0,>0,alors

fX(x) =

() x

1 ex, x 0,

o () = ( 1)!si {1, 2, . . .}.

Quelle est la fonction gnratrice des moments ?

Calculez lesprance.




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Fonction gnratrice des moments - Proposition

Proposition

Si X1, . . . , Xn sont des v.a. indpendantestelles que MXi(t) existepour tout i, alors

MYn(t) =nY

i=1

MXi(t),

o Yn =

Pn

i=1Xi.

Dmonstration.




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Introduction

Pourquoiclassifier ?

Ensemble de distributions trsvaste. Fonctionpositivecontinue ou non + normalisation fonction de probabilit.

Quest-ce quon veut dire par normalisation ?Lobjectif?

Critresde classification :

Complexitdu modle (Combien dlments doit-onspcifier ?).

Formede la distribution (asymtrie, paisseur des ailes, etc.).Etc.




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Complexit

Arguments en faveur dun modlesimple:

Peudlments spcifier ?Modle plusstabledans le temps et dans des situationssimilaires.

Quest-ce quon veut dire ?

Argument en faveur dun modlecomplexe:

Meilleur ajustement aux donnes.

Principe deparsimonie: le modle le plus simple qui reflte

adquatement la ralit devrait tre utilis.Tous les modles sont faux, mais certains sont utiles. -George E.P. Box.




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Classe des distributions paramtriques

Dfinition

Ensemblede distributions dont chaque membre est spcifi parun ou plusieursparamtres.

Exemples ?Le nombre de paramtres estfixetfini.

Proprit

Si les valeurs des paramtres sont spcifis, la distribution estcompltementconnue.

Quest-ce qui caractrise les distributionssimples ?



Cl ifi i d di ib i


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Famille dchelle

Dfinition

Une variable alatoire multiplie par uneconstantepositive la nouvelle variable alatoire a une distribution dans la mmefamille de distributions.

On dit : la famille est ferme sous une transformation dchelle.

Propositions ( dmontrer)

Si X N(,2), alors aX N(a, a22).Si X Exp(), alors aX Exp(a).

Proposition( dmontrer)Si Xest une variable alatoire avec une densit fX, alorsY =aX (a> 0) a une densit donne par fX(y/a) (1/a).


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