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  • lectromagntisme

    Chapitre 1

    Approche globale du champ ( ~E, ~B)

  • PCSI1, Fabert (Metz) I Sources et structure fondamentale du champ lectromagntique

    Approche globale du champ ( ~E, ~B)

    Llectromagntisme est un phnomne trs prsent : lumire, lectricit, . . . Ces phnomnessont dcrits par ce que nous appellerons un champ lectromagntique ~E, ~B compos dun champlectrique ~E et dun champ magntique ~B. Les deux champs sont fondamentalement indissociables :lun ne va pas sans lautre. Nous parlons de champ lectrique ou magntique car les sourcescrent un effet lectrique et magntique dans une grande zone de lespace : il y aura un vecteur ~Eet un vecteur ~B calculable en chaque point de lespace et lensemble de ces vecteurs constituerale champ lectromagntique.

    Le but de ce chapitre est de dcrire quelles sont les sources du champ lectromagntique etdapprendre les dterminer. Nous verrons dans une premire partie quelles sont les sources dechamp lectromagntique et comment les dcrire de manire pertinente afin den dduire quelquescaractristiques du champ engendr. Dans les deux parties suivantes, nous nous intresserons plusparticulirement au champ lectrique puis au champ magntique.

    Nous nous limiterons dans ce premier aperu des champs statiques, ie. indpendant du temps.

    I Sources et structure fondamentale du champ lec-

    tromagntique

    I1 Sources de champ

    I1i des champs vectoriels

    Un champ est dit vectoriel si, dans une certaine zone de lespace, chaque point estassoci une grandeur vectorielle.

    Le champ lectrique ~E(M) et le champ magntique ~B(M) sont des champs vectoriels.

    Autrement dit, contrairement au champ de pression o il suffisait de calculer une valeur P (x,y,z) pourchaque point de la zone considre, maintenant il faudra calculer trois composantes de chaquechamp :

    ~E(M) = Ex(x,y,z) ~ux + Ey(x,y,z) ~uy + Ez(x,y,z) ~uz et ~B(M) = Bx(x,y,z) ~ux + By(x,y,z) ~uy + Bz(x,y,z) ~uz

    I1ii sources du champ lectrostatique

    Les sources du champ lectrostatique sont les charges quelles soient immobiles ou enmouvement.

    La matire est globalement neutre, donc pour obtenir des charges au niveau macroscopique, il faut travailler la matire, par exemple par frottement (cf. lectricit statique).

    Matthieu Rigaut 1 / 49 Version du 1 aot 2011

  • PCSI1, Fabert (Metz) I1 Sources de champ

    Les charges (ions, lectrons, . . . ) sont, en toute gnralit, rparties dans un volume, nous devonsalors dfinir la densit volumique de charge.

    La densit volumique de charge au point P note (M) est dfinie par :

    dq = (P ) dV o :

    dV est un volume infinitsimal autour de P ; dq est la charge contenue dans dV .

    sexprime en C.m3.

    K Remarque : il ny a aucune raison a priori pour que cette densit soit uniforme.

    Nous pouvons aussi crire : =dq

    dV, ce qui fait penser une drive. Il sagit bien dune drive

    au sens o est la manire dont varie q lorsque V varie, mais nous nutiliserons jamais loprationtecnique calculatoire de drivation pour calculer 1.

    Le champ lectrique est dfini au sein dune rpartition volumique de charges.

    I1iii sources du champ magntostatique

    Les courants lectriques sont des sources de champ magntique.

    Les aimants permanents sont aussi sources de champ magntique, mais cela dpasse le cadre duprogramme.

    De manire un peu plus gnrale, tout ensemble de charges qui bouge engendre un champ magntique.K Remarque : les lois que nous verront sont valables dans lARQS, ie. tant que les courants lectriques

    sont lentement variables (jusquau Mhz, il ny a pas de problme). Lorsque nous reprsentons le circuit source de champ magntique, nous ne reprsentons pas le gn-

    rateur ncessaire pour quun courant circule car l ne sera pas le but de ltude. Toutefois nous remarquerons que les circuits doivent toujours tre ferms.

    Le champ magntique nest pas dfini sur un fil parcouru par un courant.

    I1iv couplage entre champ magntique et champ lectrique

    Dans le cadre de champ statique, nous admettrons le rsultats suivant :

    Les champs lectrostatique et magntostatique sont dcoupls au sens o ils nontaucune influence directe lun sur lautre.

    Ainsi : un ensemble non globalement neutre de charges engendre uniquement un champ lectrosta-

    tique

    1Le lecteur est invit rerflchir sur la manire dont il se reprsentait la drive pour comprendre quici il sagit

    bien de la mme chose au sens physique, ce nest que laspect technique qui change.

    Matthieu Rigaut 2 / 49 Version du 1 aot 2011

  • PCSI1, Fabert (Metz) I2 Reprsenter les champs

    un ensemble globalement neutre de charges dont seule une partie bouge engendre uniquementun champ magntostatique

    Nous voyons donc quil est possible, avec un ensemble globalement non neutre qui bouge, de crersimultanment un champ lectrostatique et un champ magntostatique.

    En 2e anne, le lecteur constatera que les variations temporelles suffisamment rapides (ie. hors ARQS)de ~E engendrent un champ ~B et rciproquement.

    I1v principe de superposition

    La disposition et la rpartition des sources est appele distribution.

    Lorsquune distribution peut se voir comme la runion de deux distributions et , lechamp en un point M quelconque est la superposition du champ cr par comme si

    nexistait pas et du champ cr par comme si nexistait pas :~E(M0) = ~E1(M0) + ~E2(M0) et ~B(M0) = ~B1(M0) + ~B2(M0)

    M ~E1

    M

    ~E2

    M

    ~Etot

    Cest un principe fondamental : cest sur ce principe que seront fondes les mthodes permettant dedterminer les champs.

    Dans le vide et les milieux linaires, les champs lectriques et magntiques obissent auprincipe de superposition.

    Sauf indication contraire, tous les milieux sont a priori linaires. Pour quun milieu soit non linaire, il faut quil y ait des interactions entre le milieu et le champ et

    que ces interactions soient non linaires. En dehors des milieux spcialement prvus pour ou desmilieux utiliss dans des conditions extrmes, le seul milieu furieusement non linaire usuel est unmilieu dit ferromagntique : ce sont les aimants permanents que nous ntudierons pas.

    I2 Reprsenter les champs

    I2i champ de vecteurs

    Sur lillustration prcdente, nous avons reprsent le champ ~E quen un seul point de lespace cequi peut prter confusion tant donn que le champ est a priori dfini partout dans lespace.

    Pour reprsenter lensemble du champ, nous pouvons reprsenter directement les vecteurs en pleinde points diffrents.

    Matthieu Rigaut 3 / 49 Version du 1 aot 2011

  • PCSI1, Fabert (Metz) I2 Reprsenter les champs

    Graphique 1 Graphique 2

    2

    1

    0

    1

    2

    y

    3 2 1 0 1 2 3

    x

    2

    1

    0

    1

    2

    y

    3 2 1 0 1 2 3

    x

    Lgende :

    graphique 1 : champ lectrostatique cr par une petite sphre positive ; graphique 2 : champ lectrostatique cr par une petite sphre ngative.

    Dans une zone vide de lespace, le champ ~E a tendance pointer vers les zones decharge ngative et pointer dans le sens oppos des zones de charge positive.

    Dans une zone vide de lespace, le champ ~E en un point M est dautant plus intense quele point M est proche dune zone non vide de charge.

    Le champ lectrique ne varie notablement entre un point et son voisin qu proximitimmdiate des sources.

    Nous pouvons remarquer que cette reprsentation nest pas trs pratique parce que trs lourde raliser en en plus assez confuse cause de la grande variabilit de la taille des flches reprsentatives.

    I2ii lignes de champs

    Une ligne de champ est une ligne oriente de lespace tangente en chacun de ses pointsau champ quelle reprsente.

    Il ne semble a priori pas possible de lire lintensit dun champ sur une ligne, pourtant nous verronsplus tard que pour des lignes traces dans une zone vide, avec tout un rseau de lignes de champs,nous pourrons le faire.

    Matthieu Rigaut 4 / 49 Version du 1 aot 2011

  • PCSI1, Fabert (Metz) I2 Reprsenter les champs

    Graphique 3 Graphique 4

    2

    1

    0

    1

    2

    y

    3 2 1 0 1 2 3

    x

    2

    1

    0

    1

    2

    3 2 1 0 1 2 3

    Lgende :

    graphique 3 : dabord toutes les flches reprsentant le champ sont mises la mme taille(charge positive) ;

    graphique 4 : ensuite les lignes sont traces et il faut rajouter le sens des lignes

    Graphique 5 Graphique 6

    2

    1

    0

    1

    2

    y

    3 2 1 0 1 2 3

    x

    2

    1

    0

    1

    2

    3 2 1 0 1 2 3

    Lgende :

    graphique 5 : dabord toutes les flches reprsentant le champ sont mises la mme taille(charge positive) ;

    graphique 6 : ensuite les lignes sont traces et il faut rajouter le sens des lignes

    Dans une zone vide de lespace, les lignes de champs lectriques sortent des zones decharges positives et rentrent dans les zones de charges ngatives.

    Reprsentons maintenant quelques lignes de champ magntique cr par des boucles circulaire decourant.

    Dans les schmas suivant les traits horizontaux reprsentent les petits circuits lectriques circulairesvu de profil.

    Matthieu Rigaut 5 / 49 Version du 1 aot 2011

  • PCSI1, Fabert (Metz) I2 Reprsenter les champs

    Graphique 7 Graphique 8

    2

    1

    0

    1

    2

    3 2 1 0 1 2 3 2

    1

    0

    1

    2

    3 2 1 0 1 2 3

    Lgende : graphique 7 : champ cr par une boucle de courant graphique 8 : champ cr par deux boucles de courant de mme sens (dessiner quelques flches

    et faire constater les symtries).

    Dessiner quelques flches sur les lignes de champ du graphique 7.

    Le sens du champ magntique cr par une boucle de courant lintrieur d

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