chapitre 1 fonctions d’une variable...
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Section technicien supérieurCours de mathématiques
Chapitre 1Fonctions d’une variable réelle
Calvin and Hobbes, by Bill Waterson
Le mot fon tion est emprunté sous la forme simpli�ée fun ion (1370) au latin fun tio"a omplissement, exé ution" , en français ourant.Au 18ème Euler (1707-1783) propose l'idée qu'une suite de ourbes, don d'expressions,représentait une fon tion.C'est Leibniz (1646-1716) qui utilise le mot fon tion pour la première fois en mathéma-tiques en 1673, mais la première dé�nition fut donnée par J.Bernouilli (1654-1705).Pour le symbole f(.), il a été introduit par Euler en 1734 dans Commentarii A ademiaeS ientiarum Petropolitanae.Aymar de Saint-Seine
Année scolaire 2010–2011
Cours de mathématiques STS1. Rappels1.1. GénéralitésDéfinition 1 : Fonction
Une fonction f d’un ensemble I dans un ensemble J est un objet mathématique quià tout élément de I associe un unique élément de J , noté f(x).• L’ensemble I est l’ensemble de définition de f .• Le nombre f(x) est l’image de x par la fonction f . C’est un élément de J .• Le nombre x est un antécédent de f(x) par f .
Définition 2 : Domaine de définition
Soit f une fonction. Le domaine de définition est l’ensemble des éléments de R pourlesquel la fonction f admet une image.
Théorème 1 : Ensemble de définition des fonctions usuelles
Polynômes R1x
R⋆ =]−∞, 0[⋃
]0,+∞[√x R+ = [0,+∞[
sinx Rcos x Rtan x
⋃
k∈Z]− π2 + kπ, π2 + kπ[
lnx R+⋆ =]0,+∞[
ex R1.2. LimitesThéorème 2 : Limites des fonctions de référence
Fonction xk 1x
√x ln exp
0 0 ±∞ 0 −∞ 1
+∞ +∞ 0 +∞ +∞ +∞−∞ ±∞ 0 0
Théorème 3 : Opérations sur les limites
Soient f et g deux fonctions réelles à une variable. On peut souvent déterminer lalimite des fonction f + g, fg et 1
gen fonction des limites de f et g en un point ou en
l’infini. Dans le tableau ci-dessous, l et l′ sont deux nombres réels. Les cas où l’onne peut pas déterminer ainsi la limite de la nouvelle fonction sont indiqués par lamention F.I. qui signifie “forme indéterminée”.Dans le second tableau, le signe s’obtient en utilisant les règles du signe d’un produitde nombre relatifs.
1
Cours de mathématiques STSLimite de f Limite de g Limite de f + g
l l′ l + l′
l ou +∞ +∞ +∞l ou −∞ −∞ −∞
+∞ −∞ F.I.Limite de f Limite de g Limite de fg
l l′ ll′
l 6= 0 ∞ ∞∞ ∞ ∞0 ∞ F.I.
Théorème 4 : Limite d’un polynôme en l’infini
Un polynôme a même limite en l’infini que son terme de plus haut degré.Une fonction rationnelle (quotient de polynômes) a même limite en l’infini que lequotient des termes de plus haut degré.Exer i e résolu 1 :Déterminer la limite en +∞ de f(x) = x3 − x2 et de g(x) =
x3 + 2x
−2x2 + 1.Solution : lim
x 7→+∞f(x) = lim
x 7→+∞x3 = +∞.
limx 7→+∞
g(x) = limx 7→+∞
x3
x2= lim
x 7→+∞
x
−2 = −∞.Remarque : On peut aussi on lure sans le théorème. Il faut alors fa toriser le terme deplus haut degré. Cela fait seulement plus de al uls.Exer i e résolu 2 :Déterminer la limite en l'in�ni de la fon tion f dé�nie par f(x) = 3x2+5x7x3+2x−7
.Solution : Sa hant que limx→+∞
3x2+5x = limx→+∞
7x3+2x−7 = +∞, on obtient a prioriune forme indéterminée. Pour lever l'indétermination, on va fa toriser le numérateur etle dénominateur par leur terme de plus haut degré. Pour x 6= 0,f(x) =
3x2(1 + 53x)
7x3(1 + 27x− 1
x2 )=
3
7x× 1 + 5
3x
1 + 27x− 1
x2
.On onstate alors quelim
x→+∞1 +
5
3x= 1
limx→+∞
1 +2
7x− 1
x2= 1
limx→+∞
3
7x= 0et on en déduit que lim
x→+∞f(x) = 0. 2
Cours de mathématiques STSThéorème 5 : Croissances comparées de ln à l’infini
Toute fonction puissance l’emporte sur la fonction logarithme népérien en l’infini eten zéro. Plus précisément,
limx→+∞
xn
lnx= +∞ ; lim
x→0xn lnx = 0
Théorème 6 : Croissances comparées de exp à l’infini
La fonction exponentielle l’emporte sur toute fontion puissance en l’infini. Plus pré-cisément,
limx→+∞
ex
xn= +∞ ; lim
x→+∞
xn
ex= 0 ; lim
x→−∞xnex = 0
1.3. DérivationThéorème 7 : Fonctions dérivées usuelles
Les dérivées des fonctions usuelles sont données dans le tableau ci-dessous.
Fonction Dérivée Fonction Dérivéek 1 ex ex
xn nxn−1 sinx cos x√x 1
2√x
cos x − sinx
lnx 1x
tan x 1cos2 x
Théorème 8 : Dérivées et opérations
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de R, k un nombre réel.Alors
(u+ v)′ = u′ + v′
(ku)′ = ku′ (uv)′ = u′v + uv′(
uv
)′= u′v−uv′
v2
(
1u
)′= − u′
u2Exer i e résolu 3 :Dériver ha une des fon tions suivantes :1. f(x) = x3 + 5x2 + 6x+ 3.2. g(x) =
1
x2+
5
x3.
3. h(x) =3x+ 2
x2 + 4.
4. i(x) = (2x+ 3)× cos x.Solution :1. f est une somme. On dérive ha un des termes de la fon tion f .
f ′(x) = 3x2 + 5× (2x) + 6× 1 + 0 = 3x2 + 10x+ 6.3
Cours de mathématiques STSSuite de la solution :2. On rée rit la fon tion g sous une forme plus lassique.
g(x) =1
x2+
5
x3= x−2 + 5x−3.On dérive ha un des termes de la somme puis on rée rit la fon tion g sous laforme donnée.
g′(x) = −2x−3 + 5× (−3)x−4
g′(x) =−2x3
+−15x4
3. h est de la forme uvave u(x) = 3x+ 2 u′(x) = 3
v(x) = x2 + 4 v′(x) = 2xComme uv= u′v−v′u
v2, on obtient :h′(x) =
3× (x2 + 4)− (2x)(3x+ 2)
(x2 + 4)2
h′(x) =3x2 + 12− 6x2 − 4x
(x2 + 4)2
h′(x) =−3x2 + 8x
(x2 + 4)2
h′(x) =x(−3x+ 8)
(x2 + 4)2
4. i est de la forme u× v ave u(x) = 2x+ 3 u′(x) = 2v(x) = cosx v′(x) = − sin xComme u× v = u′v + v′u, on obtient :
i′(x) = (2)(cosx) + (2x+ 3)(− sin x)
i′(x) = 2 cosx− (2x+ 3) sin x
Théorème 9 : Dérivées et fonctions composées
Soient f et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de R, k un nombre réel.Alors
(un)′ = nun−1 · u′ (√u)′ =
u′
2√u
cos(u)′ = −u′ sin(u) sin(u)′ = u′ cos(u)
(eu)′ = u′eu (lnu)′ = u′
u
4
Cours de mathématiques STSExer i e résolu 4 :Dériver ha une des fon tions suivantes :1. f(x) = (3x+ 1)5
2. g(x) = 1(2x+1)3
3. h(x) = cos (7x+ 2)
4. i(x) =√3x2 + 1Solution :
1. f est de la forme un ave n = 5, u(x) = 3x+ 1, u′(x) = 3.Comme (un)′ = nun−1u′, on a f ′(x) = 5× (3x+ 1)4 × 3 = 15(3x+ 1)4.
2. g est de la forme un ave n = −3 , u(x) = 2x+ 1, u′(x) = 2.Comme (un)′ = nun−1u′, on a g′(x) = −3 × (2x+ 1)−4 × 2 = −6(2x+1)4
.
3. h est de la forme cosu ave u(x) = 7x+ 2, u′(x) = 7.Comme [cos(u)]′ = −u′ sin(u), on a h′(x) = −7 sin(7x− 2).4. i est de la forme √u ave u(x) = 3x2 + 1, u′(x) = 6x.Comme (√u)′ = u′
2√u, on a i′(x) =
6x
2√3x2 + 1
.Théorème 10 : Dérivées et sens de variations
Soient f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R et f ′ sa fonctiondérivée. Alors• si f ′ > 0 sur I alors f est croissante sur I ;• si f ′ 6 0 sur I alors f est décroissante sur I.Ainsi, pour étudier les variations d'une fon tion f , il su�t d'étudier le signe de sa dérivée.Théorème 11 : extremum et dérivée
Soient f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R et f ′ sa fonctiondérivée.f admet un extremum en x0 si et seulement si f ′ s’annulle et change de signe en x0.1.4. Droites remarquablesDéfinition 3 : Tangente à une courbe
Soit f une fonction dérivable en un point a. La tangente à la courbe représentativede f en a est la droite qui approxime le mieux la courbe au voisinage de ce point.
Théorème 12 : Coefficient directeur de la tangente
Si une fonction f est dérivable en un point a alors la tangente en a admet f ′(a) pourcoefficient directeur au point d’abscisse a.
5
Cours de mathématiques STSExer i e résolu 5 :Soit f la fon tion dé�nie par f(x) = x2.Déterminer l'équation de la tangente au point d'abs isse 3.Solution : L'équation de la tangente est de la forme y = ax+ b.• Cal ul de a :f ′(x) = 2x d'où f ′(3) = 6 d'où a = 6 et y = 6x+ b.• Cal ul de b :f(3) = 32 = 9. Les oordonnées (3; 9) véri�ent l'équation de la tangente, on a don 9 = 6× 3 + b soit b = −9L'équation de la tangente est y = 6x− 9.
Théorème 13 : Équation de la tangente
Si une fonction f est dérivable en un point a alors la tangente en a admet pouréquation :
y = f ′(a)(x − a) + f(a)Exer i e résolu 6 :Déterminer l'équation de la tangente en x = 3 à la ourbe réprésentative de la fon tionf(x) = x2.Solution : f(x) = x2 don f(3) = 9. f ′(x) = 2x don f ′(3) = 6.L'équation de la tangente en x = 3 à la ourbe réprésentative de f est
y = f ′(3)(x− 3) + f(3)
y = 6(x− 3) + 9
y = 6x− 18 + 9
y = 6x− 9Pour la suite, f est une fon tion dé�nie sur R ou sur un intervalle I de R et C est sa ourbe représentative.Définition 4 : Asymptote verticale
Si il existe un nombre a dans I tel que
limx→a
f(x) = ±∞
alors on dit que la droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbeC .
6
Cours de mathématiques STSIllustration :
aGraphiquement, on observe que la ourbe ne roise jamais ette droite, elle la� ontourne� par l'in�ni.Définition 5 : Asymptote horizontale
Si il existe un nombre réel b tel que
limx→±∞
f(x) = b
alors on dit que la droite d’équation y = b est une asymptote horizontale à la courbeC.
Illustration :
Cfb
Graphiquement, on observe qu'au voisinage de l'in�ni, la ourbe se rappro he de ettedroite.7
Cours de mathématiques STSDéfinition 6 : Asymptote oblique
Si il existe deux nombres réels m et p tels que
limx→±∞
(
f(x)− (mx+ p))
= 0
alors on dit que la droite d’équation y = mx + p est une asymptote oblique à lacourbe C. Graphiquement, on observe qu’au voisinage de l’infini, la courbe se rap-proche de cette droite.Remarque : On peut onsidérer une asymptote horizontale omme une asymptote obliqueave un oe� ient dire teur nul.Exer i e résolu 7 :Montrer que la droite d'équation y = x + 2 est asymptote oblique à la ourbe de lafon tion f dé�nie sur R∗ par f(x) = x+ 2 + 1
x2Solution : limx 7→±∞
f(x) − y = limx 7→±∞
1
x2= 0 don Cf admet une asymptote obliqued'équation y = x+ 2 au voisinage de +∞ et au voisinage de −∞.5
2 4−2−4−6
1.5. Positions relatives de deux ourbesDéfinition 7 : Positions relatives
Etudier les positions relatives de deux courbes Cf et Cg de deux fonctions f et g, c’estindiquer sur quels intervalles :• la courbe Cf est au-dessus de la courbe Cg ;• la courbe Cf est en dessous de la courbe Cg ;
Méthode : Position relative
Pour étudier les positions relatives de deux courbes Cf et Cg de deux fonctions f et g,on étudie le signe de f(x)− g(x).Si f(x) > g(x) alors Cf est au dessus de Cg.
8
Cours de mathématiques STSExer i e résolu 8 :Etudier les positions relatives des ourbes asso iées aux fon tions f(x) = x3 et g(x) = x.Solution : On étudie le signe de f(x)− g(x).f(x)− g(x) = x3 − x = x(x2 − 1) = x(x− 1)(x+ 1).
x
x
x − 1
x + 1
f(x)− g(x)
−∞ −1 0 1 +∞− − 0 + +
− − − 0 +
− 0 + + +
− 0 + 0 − 0 +Don Cf est au dessus de Cg sur [−1, 0] ∪ [1; +∞[ et en dessous sinon.On peut véri�er e résultat en tra ant les représentations graphiques des deux ourbesdans un repère.1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
1.6. Parité et périodi itéDéfinition 8 : Fonction paire
f est une fonction paire si pour tout x ∈ Df , on a −x ∈ Df et f(−x) = f(x).Conséquen e : La ourbe représentative de la fon tion f est symétrique par rapport àl'axe des ordonnées 9
Cours de mathématiques STSIllustration :
Définition 9 : Fonction impaire
f est une fonction impaire si pour tout x ∈ Df , on a −x ∈ Df et f(−x) = −f(x).Conséquen e : La ourbe représentative de la fon tion f est symétrique par rapport aupoint O(0; 0)
Illustration :
Exer i e résolu 9 :On onsidère la fon tion f dé�nie sur R par f(x) = x3
x2 + 1. Etudier la parité de f .Solution : Le domaine de dé�nition est R qui est symétrique par rapport à 0.
f(−x) = (−x)3(−x)2 + 1
=−x3
x2 + 1= −f(x).Comme pour tout x ∈ Df , on a −x ∈ Df et f(−x) = −f(x) alors la fon tion estimpaire.
10
Cours de mathématiques STSDéfinition 10 : Fonctions périodiques
On dit qu’une fonction f définie sur D est périodique de période T si
∀x ∈ D, x+ T ∈ D et f(x+ T ) = f(x)
Toutes les périodes sont des multiples de la plus petite période qui est appelée lapériode.
Théorème 14 : Périodes des fonctions périodiques les plus usuelles
Fonction Période
sinωx 2πω
cosωx 2πω
tanωx πω2. Fon tions ontinues2.1. Dé�nition
Définition 11 : Continuité en un point
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.On dit que f est continue en x0, si f est définie sur un intervalle ouvert contenant x0et si lim
x 7→x0
f(x) = f(x0)Remarque : Pour la plupart des ourbes onnues, on a ontinuité en tout les points. Les as qui posent problème sont eux pour lesquels la limite de la fon tion en x0 n'est pas lamême à gau he qu'à droite.Graphiquement, la ontinuité d'une fon tion se ara térise par une ourbe ontinue, 'està dire que l'on n'a pas à lever le rayon pour la tra er.Illustration :
x0
f(x0)
b
x0f ontinue en x0 f non ontinue en x0 ar limx → x0
x < x0
f(x) 6= limx → x0
x > x0
f(x)
11
Cours de mathématiques STSDéfinition 12 : Continuité à droite, à gauche
On dit que la fonction du deuxième exemple est continue à droite en x0,car lim
x → x0
x > x0
f(x) = f(x0). Cette fonction n’est pas continue à gauche puisque
limx → x0
x < x0
f(x) 6= f(x0)Analytiquement, ( 'est à dire par le al ul), pour montrer la ontinuité d'une fon tion enun point x0, il faut montrer l'égalité de la limite à gau he en x0 et la limite à droite enx0.Exer i e résolu 10 :Soit f la fon tion dé�nie par f :
{ x
2x− 1si x > 1
x si x < 1
1. Tra er la prepésentation graphique de f .2. f est-elle ontinue en 1 ?Solution :1.
1
2
3
4
−1−2−3−4−5
1 2 3 4−1−2−3−4−5
2. • limx → 1
x > 1
f(x) = limx → 1
x > 1
x
2x− 1= lim
x → 1
x < 1
1
2× 1− 1= 1
• limx → 1
x < 1
f(x) = limx → 1
x < 1
x = 1La fon tion est ontinue puisque limx → 1
x < 1
f(x) = limx → 1
x > 1
f(x) = f(1)
Définition 13 : Continuité sur un intervalle
On dit que f est continue sur I si elle est continue en chaque point de I.On dit que f est continue par morceaux sur I si elle est admet en chaque point oùelle est discontinue une limite finie à gauche et une limite finie à droite.
12
Cours de mathématiques STSIllustration :
10 2
x0f ontinue par mor eaux sur [0; 2[f :
{
cosx si x ∈ [0; 1[cos(x− 1) si x ∈ [1; 2[
f non ontinue par mor eaux sur[a; b] ar n'admet pas de limite�nie à gau he en x0.Exemples :La fon tion partie entière est ontinue par mor eaux sur R.La fon tion pop- orn est dis ontinue en tout point de R.f :
{
1 si x = p
q
0 sinon x ∈ [1; 2[2.2. PropriétésThéorème 15 : Opération sur les fonctions continues
Si f et g sont deux fonctions continues sur I, alors :• f + g, fg, λf sont continues sur I.• 1
gest continue en tout point de I où g ne s’annulle pas.Remarque : Les fon tions polynomes, ln, exp, cos, sin, tan, ainsi que toutes elles obtenuespar +,−,× à partir de elles- i, sont ontinues sur leur domaine de dé�nition.Exer i e résolu 11 :Montrer que la fon tion f dé�nie par f(x) = (2x+ 1)e6x+2 est ontinue.Solution : f est obtenue par omposition des fon tions 2x+1, exp, et 6x+2 qui sont ontinues, don f est ontinue.
Théorème 16 : théorème des valeurs intermédiaires
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.Autrement dit, si une fonction f est continue sur un intervalle contenant les deuxvaleurs a et b, elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) (elle peutévidemment en prendre d’autres)
13
Cours de mathématiques STSIllustration :
a
f(a)
b
f(b)
λ
f est ontinue sur [a; b] don f prend au moins toutes les valeurs omprises entre f(a)et f(b).Autrement dit, pour tout λ variant dans [f(a); f(b)], l'équation f(x) = λ admet aumoins une solution.Dans l'exemple, la fon tion prend même d'autres valeurs (partie située en dessous dela droite d'équation y = f(a).Mais si la fon tion n'est pas ontinue, on peut avoir le as suivant pour lequelλ ∈ [f(a); f(b)] sans que l'équation f(x) = λ n'admette de solution :
a
f(a)
b
f(b)
x0
λ
Remarques :• e théorème assure l'existen e d'une solution sans en donner sa valeur. On verra aupro hain hapitre des méthodes algorithmiques permettant d'obtenir une approxiationaussi �ne que l'on veut de la solution.• L'image par une fon tion ontinue d'un intervalle fermé est un intervalle fermé. Par ontre, l'image d'un intervalle ouvert n'est pas for ément un intervalle ouvert. (Parexemple, l'image de ]0, 2π[ par sinus est [−1, 1])
14
Cours de mathématiques STSThéorème 17 : Cas particulier :
Si une fonction continue change de signe dans un intervalle, elle s’annule sur cetintervalle.Dit autrement, si f est continue sur [a; b] et si f(a)f(b) < 0 alors l’équation f(x) = 0admet au moins une solution dans [a; b].Remarque : Si la fon tion est stri tement monotone sur l'intervalle, alors ette solutionest unique.2.3. Appli ation : Résolution d'une équation par di hotomieRemarque : En algorithmique, la di hotomie (" ouper en deux" en gre ) est un pro essusitératif ou ré ursif de re her he où, à haque étape, l'espa e de re her he est restreint àl'une des deux parties.Méthode : Dichotomie
Si une fonction continue est telle que f(a)f(b) < 0, cela signifie qu’elle s’annule entrea et b.Dans ce cas, on calcule l’image de c = a+b
2 . Si f(c)f(a) < 0, alors la fonction s’annuleentre a et c et on remplace b par c, sinon on remplace a par c.On réitère le procédé jusqu’a obtenir un encadrement assez fin.
Illustration : Résolution d'une équation par di hotomie.
a b-1012345
c1 =a + b
2c2 =
a + c1
2On présente les résultats sous la forme suivante :f est ontinue sur [a; b]f(a)f(b) < 0
}
T.V.I=⇒ f s'annule entre a et bEn réitérant le pro édé, on obtient su essivement :
15
Cours de mathématiques STSa f(a) b f(b) a+b
2f(a+b
2) . . . 6 α 6 . . .Etape 1Etape 2... ... ... ... ... ... ... ...Remarque : Le plus di� ile dans e genre de problème est de trouver un test d'arrêt (onpeut toujours au début a� her les résultats intermédiaires et arrêter manuellement). Lavitesse de et algorithme très simple est meilleure que l'on pourrait roire ar l'intervallediminuant de moitié à haque passage, il divise environ par 1000 en 10 passages puisque
210 = 1024, e qui fait que si on veut une pré ision de 10 hi�res, une trentaine d'opérationsseulement est né essaire.L'algorithme asso ié à ette méthode est très ourt :Data : f : fun tion,a, b, pré ision : c real numberbeginInput : f, a, b,pré isionwhile (b− a) > pré ision doif f(a)f(c) < 0 thenb← c;elsea← c;endifendwhileOutput : aOutput : bend3. Fon tion ré iproques3.1. Généralités
Définition 14 : Bijection
soit I et J deux intervalles.on dit qu’une application f définit une bijection de I sur J lorsque f vérifie les deuxconditions suivantes :• pour tout réel x de I, le réel f(x) ∈ J .• pour tout réel y ∈ J , l’équation f(x) = y admet une et une seule solution.Remarque : Dans la pratique, on ne her he pas à savoir si l'équation f(x) = y admet uneunique solution pour tout y de J . On utilise le théorème suivant :Théorème 18 :
Soit f une fonction.Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors f(I) est un intervalleet f réalise une bijection de I sur f(I) 16
Cours de mathématiques STSRemarque : Ce théorème, omme le Théorèmes des valeurs intermédiaires, assure l'exis-ten e d'une solution mais e qu'il fait de mieux, 'est qu'il indique le nombre de solutions :une seule.Définition 15 : fonction réciproque
soit f une bijection de I sur J .A tout y de J , on peut associer le x de J tel que f(x) = y. on définit ainsi une nouvellefonction de J sur I appellée fonction réciproque de f et notée f−1Exemples :• f : x 7→ x2 réalise une bije tion de I = [0;+∞[ sur J = [0;+∞[ don f admetune fon tion ré iproque dé�nie de J = [0;+∞[ sur I = [0;+∞[. C'est la fon tionf−1 : x 7→ √x.• f : x 7→ ln x réalise une bije tion de I = [0;+∞[ sur J =] − ∞; +∞[ don f admetune fon tion ré iproque dé�nie de J =] −∞; +∞[ sur I = [0;+∞[. C'est la fon tionf−1 : x 7→ exp x.Remarque : Graphiquement, la ourbe de la fon tion ré iproque f−1 d'une fon tion fs'obtient en appliquant une symétrie d'axe la droite d'équation y = x. C'est le as, parexemple, pour les fon tions logarithme et exponentielle surR, où en ore pour les fon tions arré et ra ine arrée sur [0; +∞[.
Illustration :
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3−1−2−3
y=x
y = ex
y=
lnx
0
1
0 1
y=
x
y =x2
y =√ x
fon tion exp et ln fon tion x2 et ln x3.2. Fon tion ir ulaire ré iproqueDéfinition 16 : Arccos
La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0;π]. Elleadmet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1]. Cette fonc-tion est appelée arc cosinus et notée arccos ou parfois cos−1.17
Cours de mathématiques STS1
2
3
−1
1 2 3−1
y=x
y =cosx
y=arccos
x
Définition 17 : Arcsin
La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle [−π2 ;
π2 ]. Elle ad-
met donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [−1; 1]. Cette fonctionest appelée arc sinus et notée arcsin ou parfois sin−1.
1
−1
1−1
y=x
y =sin
x
y=arcsinx
Définition 18 : Arctan
La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]− π2 ;
π2 [. Elle
admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur R. Cette fonctionest appelée arc tangente et notée arctan ou parfois tan−1.
18
Cours de mathématiques STS1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4
y=x
y=
tanx
y = arctan
x
Ces trois fon tions sont souvent utiles lors des re her hes de primitives. Il est don im-portant de onnaitre leurs dérivées.Théorème 19 : Dérivées des fonctions trigonométriques circulaires
Les dérivées des fonctions circulaires réciproques sontpour tout x ∈]− 1; 1[, (arccos x)′ = − 1√1− x2pour tout x ∈]− 1; 1[, (arcsin x)′ =1√
1− x2pour tout x ∈ R, (arctan x)′ =1
1 + x2Preuve. Pour tout x de [−1; 1], on a sin(arcsin(x)) = x.En dérivant les deux membres, on obtient :arcsin(x)′ × cos(arcsin(x)) = 1 d'où arcsin(x)′ =
1
cos(arcsin(x)).Comme cos(arcsin(x)) =
√
1− sin2(arcsin(x)) =√1− x2, on obtient le résultat her hé.Les démonstrations sont similaires pour arccos(x)′ et arctan(x)′ �
Théorème 20 : Dérivées composées des fonctions trigonométriques circulaires
La formule générale sur les dérivées de fonctions composées implique que :
[arccos(u(x))]′ =−u′(x)
√
1− u2(x)
[arcsin(u(x))]′ =u′(x)
√
1− u2(x)
[arctan(u(x))]′ =u′(x)
1 + u2(x)
19
Cours de mathématiques STSExer i e résolu 12 :Déterminer la dérivée de ha une des fon tions suivantes :1. f(x) = arccos(5x+ 2)
2. g(x) = arctan(x3)Solution :1. f est de la forme arccos(u) ave u(x) = 5x+ 2
u′(x) = 5Comme [arccos(u(x))]′ = − u′(x)√
1− u2(x), on obtient :
f ′(x) =−5
√
1− (5x+ 2)2
2. g est de la forme arctan(u) ave u(x) = x3
u′(x) = 3x2Comme [arctan(u(x))]′ = u′(x)
1 + u2(x), on obtient :
g′(x) =3x2
1 + x6
20
Cours de mathématiques STS4. Exer i esRévisions sur les fonctions
1.1 On onsidère la fon tion f dé�nie sur R par f(x) = 1
x2 + x+ 1.
1. a. Résoudre l'équation x2 + x+ 1 = 0.b. Expliquer l'intervalle de dé�nition de f .
2. a. Déterminer les limites de f en +∞ et −∞.b. Quelle(s) asymptote(s) peut-on en déduire pour la ourbe ?
3. a. Cal uler la dérivée f ′ de la fon tion f .b. Etudier le signe de f ′.c. En déduire le tableau de variation de f .
4. Justi�er que la fon tion f admet un extremum. Pré iser le.5. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abs isse 0.
1.2 Soit f la fon tion dé�nie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = (ln x)2 − 3 lnx+ 2.
1. a. Montrer que : f ′(x) =2 lnx− 3
xoù f ′ désigne la fon tion dérivée de f .
b. Étudier le signe de f ′(x) selon les valeurs de x.c. Dresser le tableau de variations de f sur ]0 ; +∞[.(On ne demande pas lavaleur des limites en 0 et +∞).
2. Cal uler une équation de la tangente à la ourbe de f au point d'abs isse 1.3. a. Résoudre dans R l'équation d'in onnue X : X2 − 3X + 2 = 0.
b. En déduire les solutions exa tes dans ]0 ; +∞[ de l'équation : f(x) = 0.c. Déduire, des questions pré édentes, le signe de f(x) lorsque x varie dans l'in-tervalle ]0 ; +∞[.
1.3 On onsidère la fon tion f dé�nie pour tout nombre réel x par f(x) = −e2x + x+3.On appelle (C ) la ourbe représentative de la fon tion f dans un repère orthogonal (O;~i,~j),unités graphiques : 3 m sur l'axe des abs isses et 1 m sur l'axe des ordonnées.1. a. Étudier la limite de la fon tion f en +∞.
b. Étudier la limite de la fon tion f en −∞.c. Montrer que la droite ∆ d'équation y = x + 3 est asymptote à la ourbe (C)en −∞.d. Étudier la position de la ourbe (C) par rapport à la droite ∆.
2. a. Cal uler f ′(x) pour tout nombre réel x.b. Étudier le signe de f ′(x) pour tout nombre réel x.c. Dresser le tableau de variations de la fon tion f . (Donner la valeur exa te deson maximum.)
21
Cours de mathématiques STS1.4 Ba , problème, juin 2007, 11 points.Soit f la fon tion dé�nie sur l'intervalle ] 0 ; +∞ [ par
f(x) = ex ln x+exx.On appelle C la ourbe représentative de la fon tion f dans un repère orthogonal (O;~i,~j)d'unités graphiques 4 m sur l'axe des abs isses et 1 m sur l'axe des ordonnées.
Partie A – Étude aux bornes de l’intervalle
1. Déterminer la limite de f en +∞.2. a. Montrer que pour tout nombre réel stri tement positif x, f(x) = ex
x(x ln x+1).On rappelle que lim
x→0x ln x = 0. En déduire la limite de f en 0.
b. Montrer que la ourbe C admet une asymptote D dont on donnera une équa-tion.Partie B – Étude d’une fonction auxiliaireSoit g la fon tion dé�nie sur l'intervalle ] 0 ; +∞ [ par
g(x) = ln x+2
x− 1
x2
1. a. On désigne par g′ la dérivée de la fon tion g.Montrer que, pour tout nombre réel stri tement positif x, g′(x) = x2 − 2x+ 2
x3.
b. Étudier le signe de g′(x). En déduire que la fon tion g est stri tement roissantesur l'intervalle ] 0 ; +∞ [. L'étude des limites n'est pas demandée.2. a. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique α dans l'inter-valle [ 1
2; 1
].b. Donner un en adrement d'amplitude 10−2 de α.
3. Déduire des questions B1 et B2 le signe de g(x), pour x appartenant à l'intervalle] 0 ; +∞ [.
Partie C – Variations de f et courbe associée
1. a. f ′ désignant la dérivée de f , al uler f ′(x) et montrer que f ′(x) = exg(x), pourtout nombre x appartenant à l'intervalle ] 0 ; +∞ [.b. En déduire le signe de f ′(x) sur l'intervalle ] 0 ; +∞ [.
2. a. Dresser le tableau de variations de la fon tion f .b. Cal uler une valeur appro hée à 10−1 près de f(α), en prenant 0, 6 pour valeurappro hée de α.
3. a. Reproduire et ompléter le tableau i-dessous.x 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5
f(x) à10−1 près 22
Cours de mathématiques STSb. Construire l'asymptote D et la ourbe C pour x appartenant à l'intervalle
] 0 ; 2, 5 ].1.5 On onsidère la fon tion f dé�nie sur [0; 2π] par f : x 7→ 2 cos2 x− 2 cosx− 1.
Partie A – Étude de la fonction f
1. a. Montrer que la dérivée de cos2 x est −2 sin x cosx.b. Déterminer la dérivée f ′ de la fon tion f .
2. a. Véri�er que f ′(x) = 2 sinx(1 − 2 cosx).
b. Etudier le signe de f ′ et en déduire le tableau de variation de la fon tion f .Partie B – Représentation graphique
1. Montrer que f est 2π périodique. Qu'en déduit-on pour la ourbe de f ?2. Montrer que f est paire. Qu'en déduit-on pour la ourbe de f ?3. a. Déterminer les abs isses des points d'interse tion de Cf ave l'axe (Ox) sur
[−π; +π].b. En déduire toutes les abs isses des points où Cf re oupe (Ox).
4. Tra er Cf dans un repère orthonormal (O;~i,~j) d'unité 1 m.1.6 On onsidère la fon tion f dé�nie sur [0; 2π] par f(x) = 3 sin2 x+ 4 cos3 x.1. a. Déterminer la dérivée de sin2 x.
b. Déterminer la dérivée de cos3 x.c. En déduire la dérivée de f .d. Véri�er que f ′(x) = 6 sinx cos x(1− 2 cosx).
2. Étudier le signe de f ′ sur l'intervalle [0; 2π].3. Tra er le tableau de variation de f sur [0; 2π].4. Pré iser et justi�er les extremums que f admet.5. Tra er la représentation graphique de la fon tion f sur l'intervalle [0; 2π]. (Unitésgraphiques : 2 m pour une unité sur haque axe).
Continuité
1.7 Soit f la fon tion dé�nie par { f(x) = x2 si x ∈ [0; 1[f périodique de période 11. Représenter f graphiquement dans un repère (O;~i,~j) orthonormal d'unité 1 m pour
x ∈ [−3; 3].2. f est-elle ontinue en 1 ? Justi�er.3. Donner toutes les valeurs en lesquelle f n'est pas ontinue.4. Donner le plus grand intervalle sur lequel f est ontinue.5. f est-elle ontinue par mor eaux ? Justi�er.
1.8 Représenter graphiquement le signal u, fon tion de la variable t, dé�ni par :23
Cours de mathématiques STS
u(t) = t si 0 6 t < 1u(t) = 2− t si 1 6 t 6 2u(t) = 0 si 2 < t < 3u est périodique de période 3La fon tion u est -elle ontinue sur [0; +∞[ ? justi�er.
1.9 On appelle fon tion é helon unité ou fon tion de Heaviside la fon tion U dé�nie parU (x) :
{
U (x) = 0 si x < 0U (x) = 1 si x ≥ 0
1. Représenter graphiquement la fon tion U .2. Est-elle ontinue sur R ? Justi�er.3. Représenter graphiquement la fon tion dé�nie par f(t) = (t2 − 1)U (t) pour tout
t ∈ R4. Étudier la ontinuité de f en t = 0.
1.10 Soit f la fon tion dé�nie par f(x) = xU (x)− xU (x− 1)−U (x− 2).1. Déterminer expli itement f pour ha un des intervalles ] − ∞; 0[ , [0; 1[ , [1; 2[,
[2; +∞[.2. Représenter graphiquement la fon tion f dans un repère (O;~i,~j) orthonormal d'unité1 m.3. Étudier la ontinuité de f en 0, 1, 2.4. Que peut-on dire de f sur R ?
1.11 Soit f la fon tion dé�nie par f(x) = xU (x)−2(x−1)U (x−1)+ (x−2)U (x−2).1. Déterminer expli itement f pour ha un des intervalles ] − ∞; 0[ , [0; 1[ , [1; 2[,
[2; +∞[.2. Représenter graphiquement la fon tion f dans un repère (O;~i,~j) orthonormal d'unité1 m.3. Étudier la ontinuité de f en 0, 1, 2.4. Que peut-on dire de f sur R ?
1.12 on onsidère la fon tion f dé�nie sur R, paire, périodique de période π, telle quef(t) =
2
πt pour tout t ∈ [
0;π
2
].1. Tra er sa représentation graphique dans un repère orthogonal sur [−2π; +2π] (unité1 m pour π
2en abs isse, et 1 m pour une unité en ordonnée).
2. Étudier la ontinuité de f en 0 et en π
2.
1.13 Soit f la fon tion dé�nie par { f(x) = x− 1 + e−x si 0 6 x 6 1f(x) = x− 3 + e−x(1 + 2e) pour x > 1Étudier la ontinuité de f en 1. 24
Cours de mathématiques STS1.14 Soit f la fon tion numérique dé�nie sur R par { f(x) = x− 1 si x ≤ 1
f(x) = x2 − 2x+ a pour x > 1Déterminer la valeur de a pour que la fon tion soit ontinue pour x = 1.Théorème des valeurs intermédiaires
1.15 On s'interresse à l'équation ln x+ x = 0.1. Justi�er que la fon tion f : x 7→ ln x + x est ontinue sur un intervalle que l'ondéterminera.2. Montrer que l'équation ln x + x = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle
[1
e; 1].
3. Étudier les variations de la fon tion f dé�nie par f(x) = ln x + x sur [1
e; 1] et endéduire que ette solution est unique.
1.16 On veut étudier le signe de f(t) = ln(3e−t− 1) sur l'intervalle ]−∞; 1]. pour ela :1. Justi�er que f est ontinue sur I.2. Résoudre dans I l'équation f(t) = 0.3. Cal uler f(0) et on lure en justi�ant.
1.17 On se propose de résoudre par di hotomie l'équation 2x3 − 3x2 + 6x+ 17 = 0.1. On désigne par f la fon tion dé�nie sur R par f(x) = 2x3 − 3x2 + 6x+ 17.Étudier les variations de f . (limites, dérivée, tableau.)2. En déduire que l'équation 2x3 − 3x2 + 6x+ 17 = 0 admet une unique solution (quel'on notera α) dans l'intervalle ]− 2;−1[.3. a. Déterminer le entre, noté c, de l'intervalle [−2;−1].
b. Cal uler f(c).c. α appartient-il à [−2; c] ou [c;−1].
4. Reprendre la question pré édente ave l'intervalle obtenu et en déduire un nouvelen adrement de α.5. Répeter la méthode jusqu'a obtenir un en adrement de α à 10−3 près.On présentera les résultats sous la forme d'un tableau :intervalle de départ : [a; b] = [−2;−1]
a f(a) b f(b) a+b2
f(a+b2) . . . 6 α 6 . . .Etape 1 −2 −1Etape 2... ... ... ... ... ... ... ...
6. E rire un algorithme du pro édé.1.18 On onsidère la fon tion f dé�nie sur R par f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x− 6.1. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution sur l'intervalle [2; 3].2. Déterminer par di hotomie une approximation à 10−2 près de la solution.25
Cours de mathématiques STS1.19 Résoudre par di hotomie ha une des équations suivantes.On her hera graphiquement une approximation entre deux entiers onsé utifs de la so-lution et on présentera les étapes sous la forme d'un tableau.On donnera une approximation à 10−2 près de la solution.
x3 − 3x2 + 3x− 6 = 0 ;1
3x3 − x− 1 = 0
Fonction réciproque
1.20 Pour tout x > 0, on pose f(x) = 4 + ln x− 2x2.1. Etudier les variations de f .2. f admet-elle une fon tion ré iproque sur ]0; +∞[ ? Justi�er.3. Prouver que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique sur ]0 ;
1
2].
4. Donner une valeur appro hée à 10−2 près de ette solution. (Indiquer les étapes dansun tableau).1.21 Soit f la fon tion dé�nie sur R par f(x) = ex2−1.1. Etudier les variations de f .2. Tra er sa ourbe représentative Cf .3. f admet-elle une fon tion ré iproque sur R ? justi�er.4. Trouver un intervalle où f admette une fon tion ré iproque notée f−1.5. Tra er sur le même graphique la ourbe de f−1 et exprimer f−1(x) en fon tion de
x.1.22 Soit f la fon tion dé�nie sur Df = R− {5} par f(x) = x+ 1
x− 5.
1. Montrer que f réalise des bije tions que l'on pré isera.2. Déterminer la fon tion ré iproque de f .3. f réalise-t-elle une bije tion de Df = R− {5} sur ]1; +∞[ ? Justi�er.
1.23 On onsidère la fon tion dé�nie par f(x) = ln(1− ln x).1. Déterminer l'ensemble Df de la fon tion f .2. Étudier les variations de f .3. Montrer que f est une bije tion de Df sur une partie de R que l'on déterminera.4. Expli iter l'appli ation ré iproque de f .
1.24 On onsidère la fon tion dé�nie par f(x) = ex + e−x
21. Déterminer l'ensemble de dé�nition Df de la fon tion f .2. Étudier les variations de f .3. Donner les limites de f aux bornes de son intervalle.4. Donner le plus grand intervalle sur lequel f admette une fon tion ré iproque.26
Cours de mathématiques STS5. Tra er sur l'intervalle déterminé, la représentation graphique de f−1, fon tion ré- iproque de f .
1.25 Soit f la fon tion dé�nie sur ]1; +∞[ par f(x) = x
ln x.
1. Étudier les variations de f .2. Tra er la ourbe de f dans un repère orthonormal.3. Donner le plus grand intervalle sur lequel f admette une fon tion ré iproque. Quelest l'ensemble de dé�nition de f−1 ?4. Tra er sur l'intervalle déterminé, la représentation graphique de f−1, fon tion ré- iproque de f .
Fonction réciproque circulaire
1.26 Attention à ne pas aller trop vite dans les réponses !1. Cal uler sin(arcsin x) pour x =
1
2, pour x = −
√3
2, pour x = 2.
2. Cal uler arcsin(sin x) pour x = −π3, pour x =
3π
4, pour x =
7π
4.
3. a. A-t'on sin(arcsin x) = x pour tout réel x ?b. A-t'on arcsin(sin x) = x pour tout réel x ?
1.27 On veut montrer que pour tout x de [−1; 1], on a cos(arcsin x) =√1− x2.
1. Exprimer cos y en fon tion de sin2 y.2. On pose y = arcsin x.En remplaçant alors y par son expression, répondre au problème.3. En déduire que pour tout x de [−1; 1], on a tan(arcsin x) =
x√1− x2
.1.28 En s'inspirant de e qui a été fait pré édemment, montrer que sin(arccosx) =√1− x2 et en déduire que tan(arccos x) =
√1− x2
x
1.29 Soit f la fon tion dé�nie par f(x) = arcsin(sin x).1. Donner le domaine de dé�nition de f .2. Montrer que f est périodique de période 2π.3. Etude de f sur l'intervalle [−π; +π].
a. Pour ha une des �gures suivantes, pla er un angle x appartenant l'intervalledonné puis la valeur de sin x orrespondante et en�n elle de arcsin(sin x).x ∈ [−π
2;π
2] x ∈ [
π
2; π] x ∈ [−π;−π
2]27
Cours de mathématiques STSb. En déduire l'expression de arcsin(sin x) en fon tion de x sur ha un des inter-valles donnés.
4. Déduire de la question pré édente le tra é de f sur [−π; +π]
5. En déduire le tra é de la ourbe de f sur R.6. f est-elle ontinue sur [−π; +π] ? sur R ?
1.30 on onsidère la fon tion f dé�nie sur [−1; 1] par f(x) = arcsin(2x√1− x2).
1. On pose x = cos a ave a ∈ [0; π]. Montrer que f(x) = arcsin(sin 2a).
2. Donner suivant les valeurs de a, l'expression de f .3. En déduire l'expression de f suivant les valeurs de x dans [−1, 1].4. Construire la ourbe représentative de f dans un repère (O;~i,~j) orthogonal d'unité4 m en abs isse et 1 m en ordonnée.
1.31 Cal uler la dérivée de ha une des fon tions suivantes :1. x arccos x
2. arctan(2x)
3. arctan(x2)
4. x arcsin(x) +√1− x2
5. arccos
(
1− x2
1 + x2
)
1.32 Soit f la fon tion dé�nie sur [−1; 1] par f(x) = arcsin x+ arccosx.1. Cal uler la dérivée de f sur ]− 1; 1[.2. Cal uler f(0).3. a. Montrer que pour tout x de ]− 1; 1[, on a arcsin x+ arccosx =
π
2.
b. Montrer que pour tout x de [−1; 1], on a arcsin x+ arccosx =π
2.
1.33 Soit f la fon tion dé�nie sur [−1; 1] par f(x) = arcsin(x2).1. Cal uler f ′(x).2. Étudier les variations de f .3. Tra er la représentation graphique de f .
1.34 Soit f la fon tion de la variable réelle x dé�nie sur R par f(x) = 2x
x2 + 1−arctan x.On note C sa ourbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 1,5 m en abs isseet 3 m en ordonnée).
1. Déterminer la limite de f lorsque x tend vers +∞.2. Montrer que la dérivée de f est dé�nie par f ′(x) =
1− 3x2
(x2 + 1)2.
3. Dresser le tableau de variation de f .4. Donner une équation de la tangente au point d'abs isse 0.5. Soit φ la fon tion numérique dé�ne sur R par φ(x) = x−f(x). Étudier les variationsde la fon tion φ (les limites ne sont pas demandées). Cal uler φ(0). Donner le signede φ(x). En déduire la position de la ourbe C par rapport à sa tangente (T ).28
Cours de mathématiques STS1.35 Soit f la fon tion numérique de la variable x dé�nie par f(x) = arctan
(
x
1− x2
).1. Donner le domaine de dé�nition de f .2. Montrer que f est une fon tion impaire. En déduire le domaine d'étude de la fon tion
f .3. a. Étudier les limites de f lorsque x tend vers 1. Donner les oordonnées despoints d'arrêt de la ourbe C représentative de f .
b. Étudier la limite de f quand x tend vers +∞. Que peut-on en déduire pour la ourbe C ?4. Cal uler f ′(x) et dresser le tableau de variation de f .5. Donner une équation de la tangente (T ) à la ourbe C au point d'abs isse 0.6. Dans un repère orthonormal,(unité graphique 2 m), onstruire (T ) et C . On pla erales demi-tangentes aux points d'arrêt.
1.36 Soit f la fon tion dé�nie par f(x) = arcsin
(
1
1 + x2
).1. a. Justi�er que pour tout réel x, on a 0 6
1
1 + x26 1.
b. Sur quel ensemble f est-elle dé�nie ?2. a. Étudier les variations de f et tra er la ourbe Cf . On donnera les limites auxbornes.
b. Montrer que l'équation arcsin
(
1
1 + x2
)
= 1 admet une seule solution positive.En donner une valeur appro hée à 10−2 près.1.37 On onsidère l'équation arcsin x =
x+ 1
2.On note f la fon tion dé�nie sur [−1; 1] par f(x) = arcsin x− x+ 1
2.
1. Étudier les variations de la fon tion f .2. Démontrer que l'équation admet une unique solution puis donner un en adrementde ette solution d'amplitude 0.01.
1.38 Fon tions ré iproques ir ulairesOn onsidère la fon tion f dé�nie sur [−1; 1] parf(x) = x arccosx.
1. Déterminer la fon tion dérivée première f ′ de la fon tion f sur ]− 1; 1[.2. Si f ′′ désigne la dérivée se onde de la fon tion f sur ]− 1; 1[, montrer que l'on a
f ′′(x) =x2 − 2
(1− x2)√1− x2
.
3. Etudier le signe de f ′′ et en déduire le tableau de variation de f ′.4. Démontrer que la fon tion f ′ s'annule pour une unique valeur α sur ]0; 1[.29
Cours de mathématiques STS5. Donner une valeur appro hée de α à 10−2 près. (On indiquera les étapes dans untableau).6. Déduire 1 de l'étude pré édente les variations de la fon tion f et montrer que fadmet un extremum égal à :
α2
√1− α2
1. Indi ation : On utilisera l'égalité f ′(α) = 0 pour obtenir une expression de arccosα en fon tion deα. 30
5. Table des matières1 Rappels 11.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Droites remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Positions relatives de deux ourbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Parité et périodi ité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Fon tions ontinues 112.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Appli ation : Résolution d'une équation par di hotomie . . . . . . . . . . . 153 Fon tion ré iproques 163.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Fon tion ir ulaire ré iproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Exer i es 214.1 Révisions sur les fon tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Fon tion ré iproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Fon tion ré iproque ir ulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27