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CHAPITRE 1

EQUATIONS ET INEQUATIONS

1- EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE

La forme générale d'une équation du premier degré à une inconnue est Ax = B où A et B

sont des constantes et x l'inconnue.

Si A 0 : L'équation A x =B admet une solution unique x= B/A

Si A=0 et B0 : L'équation est impossible (n'a pas de solutions)

Si A=0 et B=0 : L'équation est indéterminée (infinité de solutions)

Exemple 1.1 : Résoudre l’équation : 2(x + 5) - 3(x-2) = 5x -2

Dans un premier temps, on développera et on mettra cette équation sous sa forme générale

2(x + 5) - 3(x-2) = 5x -2

2x +10 - 3x +6 = +5x - 2

2x - 3x - 5x = -2-10-6 ( On rappelle que lorsque l’on transpose un terme d’un membre

d’une équation ou d’une inéquation vers l’autre , on change le signe de ce terme )

On trouve -6x = -18 ( forme générale avec A = - 6 et B= -18) . La solution de cette

équation est alors : x = 3

Exemple 1.2 : Résoudre l’équation : 2x + 6 - 3(2x-2) + 4(x + 3) = 0

En développant, on trouve : 2x + 6 - 6x + 6 + 4x +12 = 0 soit 0 x +24= 0

ou encore 0 x= -24 ( impossible) . Cette équation est impossible

Exemple 1.3 : Résoudre : 10x + 6 - 2(3x-3) - 4(x + 3) = 0

En développant, on trouve : 10x + 6 - 6x + 6 - 4x -12 = 0 soit 0x = 0 ( indéterminée) .

Cette équation est indéterminée.

2- INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE

Une inéquation du premier degré à une inconnue a pour forme générale l'une des formes

suivantes : A x > B ; A x B ; A x < B ; A x B où A , B, sont des

constantes et x l'inconnue à rechercher.

La précaution à prendre dans la résolution des inéquations du premier degré à une inconnue

est l'inversion du sens de l'inéquation lorsque A est négatif

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Règle : Lorsque l'on multiplie ou l’on divise les deux membres d'une inéquation par un

nombre négatif , on change le sens de l'inéquation.

5 x > 10 x > 5 et - 5 x > 10 x < -2

Exemple 2.1 : Résoudre l'inéquation : 2(2x-4)+ 3(2x+7) < 5(x+3)

Comme pour une équation, on développe pour mettre cette inéquation sous la forme générale.

4 x - 8 + 6 x + 21 < 5 x + 15

4 x + 6 x - 5 x < 15 + 8 - 21

5 x < 2 soit x < 2/5

On écrit : S = ] - ; 2/5[

( la solution est représentée par l’intervalle non hachuré)

Exemple 2.2 : Résoudre l'inéquation: 3(1-x) – 2(3+2x) 2(3+2x)

Le développement de cette inéquation donne :

3 - 3 x – 6 – 4 x 6 + 4 x

soit - 3 x – 4x - 4 x 6 - 3 + 6 ou encore - 11 x 9 ce qui donne 11

9x

( A étant négatif , on change le sens de l’inéquation )

La solution de cette inéquation s’écrit : S = [- 9/11 ; + [

Exemple 2.3 : Résoudre l'inéquation : 4(1-3x) – 2(5x – 2) > 5

On développe : 4 - 12 x – 10 x + 4 > 5

- 12 x – 10 x > 5 – 4 – 4 ou encore - 22 x > - 3 soit x < -3 / -22 = 3/22

S = ] - ; 3/22 [

Exemple 2.4 : Résoudre l'inéquation: 5(2x + 3) – 4(1– x) > 7(2x +3)

On obtient en développant : 10 x + 15 – 4 + 4x > 14x + 21

10x + 4x – 14x > 21 – 15 + 4 ou encore 0 x > 10

Cette inéquation est impossible car 0x=0 et 0 n’est pas supérieur à 10.

On écrit S = (ensemble vide )

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Exemple 2.5 : Résoudre l'inéquation : 6(x+2) + 8(1– 2x) > -5(2x+4)

En développant, cette inéquation devient : 6 x + 12 + 8 – 16 x > -10 x - 20

6x – 16x + 10x > - 20 – 12 - 8 ou encore 0 x > - 40

Cette inéquation est indéterminée car 0 x =0 et 0 est toujours supérieur au nombre négatif

– 40. On écrit S = R = ]- ; + [ ( ensemble des nombres réels)

3- SYSTEMES D’INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE

INCONNUE

Pour résoudre un système d’inéquations du premier degré à une inconnue :

1- On résout chaque inéquation séparément

2- On détermine la solution commune (à partir de la droite réelle)

Exemple 3.1 : Résoudre le système d’inéquations

)1x2(6)6x2(5)2x3(4

10)x31(4)3x2(5)4x3(2

On résout chacune des inéquations séparément :

Première inéquation : 2(3x –4) –5(2x+3) > 4(1- 3x) – 10

6x – 8 – 10x – 15 > 4 –12x - 10 ou encore 6x – 10x + 12x > 4 – 10 + 8 + 15

soit 8 x > 17 d’où x > 17/8

Deuxième inéquation : 4(3x + 2) – 5(2x - 6) 6( 2x + 1)

12 x + 8 – 10 x + 30 ≥ 12 x + 6

12 x – 10 x – 12 x ≥ 6 - 8 – 30 ou encore -10 x - 32 soit x 32/10

Solution commune : On reprend les deux droites précédentes sur la même droite réelle

La solution du système est : S = ] 17/8 ; 32/10 ]

4- INEQUATIONS SIMULTANEES

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Les inéquations simultanées se ramènent à un système classique d’inéquations.

Exemple 4.1 : Résoudre 3(x-5) + 2(1-2x) < 5x –3 < 3(x-2) + 2( 2x –5)

Ces inéquations peuvent s’écrire sous la forme du système suivant :

10x46x33x5

3x5x4215x3 ou

3106x4x3x5

1523x5x4x3

soit

13x2

10x6 c'est-à-dire

2/13x

6/10x

d’où la solution commune : x > 13/2 ou encore ]13/2 ; +[

5- SYSTEME DE DEUX EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A DEUX

INCONNUES

La forme générale d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues est :

'cy'bx'a

cbyax où a, b, c ,a’, b’ ; et c’ sont des constantes, x et y sont les inconnues

On peut résoudre ce système par la méthode de substitution ou d’addition.

On exposera ces deux méthodes à travers le même exemple.

Exemple 5.1 : Résoudre le système suivant :

3y2x5

1y3x2

Méthode de substitution

Elle consiste à exprimer à partir d’une des deux équations, une inconnue en fonction de

l’autre et ensuite remplacer dans l’autre équation pour aboutir alors à une équation à une

seule inconnue.

De la première équation, exprimons x en fonction de y : 2x +3y = -1 implique

2

y31x

On remplace dans la deuxième équation par x ainsi trouvé en fonction de y

3y22

y315

soit

2

6y

2

4

2

y315

ou encore 6y4)y31(5

Ce qui donne 6y4y155y4)y31(5 soit : 1y

On trouve alors la valeur de x : 12

31

2

y31x

La solution du système est : )1,1()y,x(

Méthode d’addition

Elle consiste à multiplier une ou les deux équations par des constantes de telle manière que les

termes en x ou en y soient opposés. On additionne alors membre à membre les nouvelles

équations pour aboutir à une inconnue uniquement.

Reprenons le système précédent et multiplions la première équation par 2 et la deuxième

équation par -3. On obtient :

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9y6x15

2y6x4

L’addition membre à membre donne : 11x11 soit 1x

On remplace dans une des deux équations x par sa valeur pour trouver la valeur de y. On

trouve 1y

La solution du système est alors (x,y) = (1,-1)

Remarque : La solution d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues

représente géométriquement les coordonnées du point d’intersection des deux droites formées

par les deux équations.

6- SYSTEME DE DEUX INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE A

DEUX INCONNUES

La résolution d’un système d’inéquations du premier degré à deux inconnues ne peut se faire

que graphiquement. On rappelle qu’une équation du premier degré de la forme ax+by=c

représente une droite du plan et que l’inéquation ax+by>0 est une partie du plan. Ainsi

l’inéquation 2x + 5y > 10 est la partie non hachurée de la représentation ci-dessous :

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La résolution d’un système d’inéquations consiste donc à trouver la partie du plan qui vérifie

chacune des inéquations.

Exemple 6.1 : Résoudre graphiquement le système suivant

3y3x

6y3x2

7- EQUATIONS ET INEQUATIONS DU SECOND DEGRE A UNE

INCONNUE.

Une équation du second degré à une inconnue a pour forme générale 0CBxAx 2 où

A, B et C sont des constantes ( A 0) et x l’inconnue

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Une inéquation du second degré à une inconnue se présente sous l’une des formes générales

suivantes : 0CBxAx 2 ; 0CBxAx 2 ; 0CBxAx 2 ou

0CBxAx 2

L’expression CBxAx 2 est appelée trinôme du second degré en x (A 0).

Résoudre une équation ou une inéquation du second degré à une inconnue x revient

pratiquement à étudier le trinôme CBxAx 2 et pour cela, on utilise le théorème

fondamental suivant :

Théorème fondamental : Pour étudier le trinôme T(x) = CBxAx 2 , on détermine

tout d’abord le discriminant que l’on notera, sauf avis contraire, par et qui est égal à

AC4B 2 .

Trois cas peuvent se présenter :

> 0

a) L’équation 0CBxAx 2 admet deux solutions données par :

1 2x

B

A

et 2 2

xB

A

x1 et x2 sont appelées racines du trinôme T(x)

b) Le trinôme T(x) est du signe de A à l’extérieur des racines et du signe contraire à

celui de A à l’intérieur des racines.

c) Le trinôme T(x) se factorise sous la forme )xx)(xx(A)x(T 21

= 0

a) L’équation 0CBxAx 2 admet une solution double ( les deux

solutions x1 et x2 sont égales) : 1x = 2 2x

BA

b) Le trinôme T(x) est du signe de A quelque soit x différent de – B/2A

c) Le trinôme T(x) se factorise sous la forme 2

2

2

1 )xx(A)xx(A)x(T

< 0

a) L’équation 0CBxAx 2 n’admet pas de solutions réelles.

b) Le trinôme T(x) est du signe de A quelque soit x

c) Le trinôme T(x) ne peut pas se factoriser en produit de facteurs du premier degré.

Exemple 7.1 : Etudier les trinômes suivants :

2 2 3 5x x

3 2 4 4x x

4 2 20 25x x

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2 3 5x x

Le Trinôme 2 2 3 5x x est sous la forme générale A x Bx C2 avec A=2 B=3 et

C= - 5

Le discriminant est donné par = 2B 4AC = 9 – 4(2)(-5) = 49

a) Ce trinôme admet donc deux racines 1 2x

B

A

3 49

2 2104

52( )

et 2 2x

B

A

3 49

2 244

1( )

b) Ce trinôme se factorise sous la forme A (x - x1)( x - x2) = 2[ x -( 52

)] ( x-1) = 2 (x+ 52

) (x -1) ou encore 2x2+3x-5= (2x+5)(x-1)

c) Ce trinôme est du signe de A donc positif à l’extérieur des racines et négatif à l’intérieur

des racines c’est dire :

2x2+3x-5 0 pour x ]- ; -5/2] [1 ; +[ et

2x2+3x-5 0 pour x [ -5/2 ; 1]

Le Trinôme 3 2 4 4x x est sous la forme générale A x Bx C2 avec A= - 3

B=4 et C=4

Le discriminant est donné par = 2B 4AC = 16 – 4(-3)(4) = 64

a) Ce trinôme admet donc deux racines 1 2x

B

A

4 64

2 3126

2( )

et 2 2x

B

A

4 64

2 346

23( )

b) Ce trinôme se factorise sous la forme

A (x - x1)( x - x2) = -3 (x-2) ( x - ( 23

) ) = -3 (x-2)(x+ 23

)

ou encore -3x2+4x+4 = - (x-2) (3x+2)

c) Ce trinôme est du signe de A donc négatif à l’extérieur des racines et positif à l’intérieur

des racines c’est dire -3x2+4x+4 0 pour

x ]- ; -2/3] [2 ; +[ et -3x2+4x+4 0 pour x [ -2/3 ; 2]

Le Trinôme 4 2 20 25x x est sous la forme générale A x Bx C2 avec A=4 B=

-20 et C= 25

Le discriminant est donné par = 2B 4AC = 400 – 4(4)(25) = 0

a) Ce trinôme admet donc une racine double 1x 2 2

20

2 4

208

5

2x

BA

( )

( )

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b) Ce trinôme se factorise sous la forme 2

2

2

1 5x22

5x4)xx(A

c) Ce trinôme est du signe de A donc positif quelque soit x différent de 5/2

Le Trinôme 2 3 5x x est sous la forme générale A x Bx C2 avec A=1 B= 3 et

C= 5

Le discriminant est donné par = 2B 4AC = 9 – 4(1)(5) = -11

a) Ce trinôme n’admet pas de racine

b) Ce trinôme ne se factorise pas sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré

c) Ce trinôme est du signe de A donc positif quelque soit x c’est à dire x2+3x+5 0

pour x R.

Pour résoudre des équations et inéquations du second degré, on applique ce théorème

fondamental.

Exemple 7.2 : Résoudre l’équation suivante :

2(x - 2)(x- 3) - (1- x)(4- 2x) = 3(x – 2) ( x – 5)

On commence par développer cette expression, puis on l’écrira sous la forme générale

d’une équation du second degré.

(2x – 4)(x - 3) –(4 - 2x- 4x+2 x2 ) = (3 x –6)(x – 5)

(2x2- 4x –6x + 12) –( 4-6x+2 x2 ) = (3x

2-6x-15x +30)

2x2- 4x –6x + 12 – 4+6x-2x

2- 3x

2+6x+15x –30 = 0

- 3x2 + 17x - 22 = 0

Résoudre l’équation donnée consiste donc à trouver les racines du trinôme - 3 x2+17x

-22

= 2B 4AC = 289 - 4(- 3)(- 22) = 25

1 2x

B

A

= 11/3 et 2 2

2xB

A

On dira que l’équation proposée admet deux solutions 11/3 et 2 : S = 11/3 ; 2

Exemple 7.3 : Résoudre l’inéquation suivante :

3(x-1)(x-3) – 2(3-x)(4-2x) < 0

De la même manière que pour l’équation, on développe et on aboutit à la forme générale de

cette inéquation.

(3x-3)(x-3) –(6-2x)(4-2x) < 0

3 x2 - 9x – 3x + 9 – 24 + 12 x + 8x – 4 x

2 < 0

- x2 + 8 x – 15 < 0 (forme générale d’une inéquation du second degré)

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L’étude du trinôme - x2 + 8 x – 15 donne 2B 4AC = 64 – 4(-1)(-15) = 4

Ce trinôme admet donc racines qui sont : 1 2x

B

A

= 5 et 2 2

xB

A

= 3

Ce trinôme est du signe de A donc négatif à l’extérieur des racines et du signe contraire

(positif) à l’intérieur de ces racines.

La solution de l’inéquation -x2 + 8x –15< 0 est alors : x ]- ; 3[ ]5 ; +[

Exemple 7.4 : Résoudre l’inéquation suivante :

2(x-1)(1-2x)+(x-2)(x-4) (x-3)(2-x)

Le développement et la réduction de cette inéquation aboutissent à la forme générale

-2x2- 5x+12 0 .

Le trinôme -2x2

- 5x + 12 admet pour discriminant 2B 4AC = 121 . Les 2 racines de ce

trinôme sont égales à - 4 et 3/2 .

D’après le théorème, -2x2-5x+12 est du signe de A c’est à dire négatif à l’extérieur des

racines et du signe contraire donc positif à l’intérieur des racines. La solution de l’inéquation

proposée est alors : S = [- 4 ; 3/2]

Exemple 7.5 : Résoudre - 3 x2 + 4x - 5 < 0

Le discriminant de ce trinôme est 2B 4AC = 16-4(-3)(-5) = - 44 ( négatif). Le trinôme –

3x2 + 4x - 5 n’a pas de racines et il est du signe de A c’est à dire négatif quel que soit x R.

La solution de l’inéquation proposée est alors

S= R = ]- ; +[ .

Exemple 7.6 : Résoudre - 3x2 + 4x - 5 > 0

Il s’agit du même trinôme que précédemment. Le discriminant étant négatif, le trinôme - 3x2

+ 4x - 5 n’a pas de racines et il est du signe de A c’est à dire négatif quel que soit x R.

L’inéquation proposée n’a alors pas de solutions.

Exemple 7.7 : Résoudre 25x2 - 20x + 4 > 0

Le discriminant du trinôme 25x2 - 20x + 4 est nul. L’application du théorème permet de

conclure que ce trinôme admet une racine double égale à -B/2A = 2/5

Il est du signe de A donc strictement positif quel que soit x différent de 2/5.

La solution de l’inéquation proposée est alors :

S = R– {2/5} =]- ; 2/5[ ] 2/5 ; + [

Remarques :

La solution de l’inéquation 25x2- 20x + 4 0 est R =] - ; +[

La solution de l’inéquation 25x2 - 20x + 4 < 0 est l’ensemble vide ( )

La solution de l’inéquation 25x2 - 20x + 4 0 est S = {2/5}

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Exemple 7.8 : Résoudre 12x

3

1x

4

Cette inéquation est définie lorsque x-1 0 et x-2 0 soit x 1 et x 2.

La réduction au même dénominateur donne :

0)1x)(2x(

)1x)(2x(

)1x)(2x(

)1x(3

2x)(1x(

)2x(4

soit : 02x)(1x(

2xx2x3x38x4 2

ou encore

02x)(1x(

3x2x2

La résolution de cette inéquation (signe d’une fraction rationnelle) se fait en 3 étapes :

- déterminer le signe du numérateur et du dénominateur

- déterminer le signe de la fraction par le tableau des signes

- Déduire la solution de l’inéquation.

Signe du numérateur x2-2x-3 :

= 4 –4(1)(-3) = 16 . Il existe deux racines -1 et 3

x2-2x-3 > 0 pour x ]- ; -1 [ ] 3 ; + [

x2-2x-3 < 0 pour x ]-1 ; 3 [

Signe du dénominateur

Le dénominateur est un produit de deux facteurs, on détermine le signe de chacun des facteurs

Tableau des signes :

La solution de l’inéquation proposée est alors S = ]-1 ; 1 [ ]2 ; 3[

Exemple 7.9 : Résoudre le système suivant :

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09x3x2

02xx

05x3x2

2

2

2

Comme dans le cas d’un système du premier degré, on résout séparément chacune des

inéquations, et à partir de la droite réelle, on détermine la solution commune.

Première inéquation : = 9 – 4(2)(-5) = 49 . Il existe deux racines du trinôme x1 = -5/2

et x2=1. Le trinôme 2x2+ 3x- 5 est du signe de A donc positif à l’extérieur des racines et du

signe contraire (négatif) à l’intérieur des racines.

L’inéquation 2x2+ 3x - 5 > 0 a donc pour solution S1 = ]- ; - 5/2 [ ]1; + [ .

Deuxième inéquation : = 1 – 4(-1)(2) = 9 . Il existe deux racines du trinôme x1 = -1 et

x2=2. Le trinôme -x2+x+2 est du signe de A donc négatif à l’extérieur des racines et du

signe contraire ( positif) à l’intérieur des racines. L’inéquation –x2+x+2 0 a donc pour

solution S2 = ]- ; - 1 ] [2; + [

Troisième inéquation : = 9 – 4(2)(-9) = 81 . Il existe deux racines du trinôme x1 = -

3/2 et x2=3. Le trinôme 2x2- 3x - 9 est du signe de A donc positif à l’extérieur des racines

et du signe contraire (négatif) à l’intérieur des racines.

L’inéquation 2x2- 3x - 9 0 a donc pour solution S3 = ]- ; - 3/2] [3; + [ .

La solution commune donc solution du système est : S = ]- ; - 5/2[ [3; +[ .

8-- SOMME ET PRODUIT DES RACINES

Lorsque le discriminant du trinôme 2Ax Bx C est positif, les racines de ce trinôme

sont données par 1 2x

B

A

et 2 2

xB

A

. La somme de ces racines alors égale à

S = - B/ A et le produit P = C/A.

Deux applications particulières peuvent être déduites de ce qui précède :

Application 1 : Détermination de la deuxième racine d’un trinôme connaissant déjà la

première.

L’équation 3x2- 2x – 1 admet comme racine 1 (3–2–1=0) . La deuxième racine est alors

C/A= -1/3.

L’équation x2+ x – 6 admet comme racine 2 (4+2–6=0) . La deuxième racine est alors

C/2A= - 6/2= -3 (P = x1 x2 = C/A soit 2x2 = -6/1 d’où x2= - 6/2 = -3)

Application 2 :

Recherche de 2 nombres connaissant leur somme S et leur produit P.

Exemple 8.1 : Trouver 2 nombres admettant pour somme 5 et pour produit 6.

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En posant x1 et x2 ces deux nombres. On a le système suivant :

x1 + x2 = 5

x1 x2 = 6

La résolution par la méthode de substitution donne : x1 ( 5 – x1) = 6 soit

- (x1)2 + 5 x1 – 6 = 0 , équation du second degré dont le déterminant est égal à 25 – 4(-1)(-

6) = 1 . Les solutions de cette équation du second degré sont x11 = 3 et x12 = 4.

Les nombres cherchés sont x1 = 3 et x2 = 4 ou encore x1= 4 et x2 = 3

Théorème :

Deux nombres réels ont pour somme S et pour produit P si et seulement s’ils sont

solutions de l’équation du second degré X2– SX+P= 0 .

Exemple 8.2 : Déterminer les dimensions des côtés d’un rectangle dont la surface vaut

150 cm2 et le périmètre 50 cm.

En notant x et y respectivement la longueur et la largeur de ce rectangle, on peut

écrire : Surface = x y = 150 et Périmètre = 2( x+y ) = 50

Il s ‘agit donc de trouver 2 nombres réels x et y dont la somme S = 25 ( demi-périmètre) et

dont le produit est P=150 ( surface).

En utilisant le théorème précédent, x et y sont solutions de l’équation

x2 – 25 x + 150 = 0 .

Cette équation du second degré admet pour discriminant 625-4(1)(150) = 25 et donc pour

solutions x1 = 10 et x2 = 15 .

Les dimensions du rectangle sont donc : 10 cm et 15 cm.

Longueur = 15 cm et largeur = 10 cm ou Longueur= 10 cm et largeur = 15 cm

9- EQUATIONS ET INEQUATIONS POUVANT SE RAMENER A DES

EQUATIONS OU INEQUATIONS DE DEGRE INFERIEUR

9-1- Quelques rappels utiles :

a) La forme générale d’un polynôme de degré n est donnée par :

P(x) = An xn + An-1 xn-1 + An-2 xn-2 + ………+ A1 x + A0

où An , An-1 , An-2 ,………, A1 , A0 sont des constantes que l’on appelle coefficients du

polynôme .

Les éléments An xn , An-1 xn-1, An-2 xn-2 , ………, A1 x, A0 sont appelés les termes

du polynôme ou encore des monômes.

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An xn es le monôme de degré n .

On notera par la suite un polynôme du 3° degré (x) =A3 x3+ A2 x2 + A1 x +A0 et un

polynôme du 4° degré par P(x) = A4 x4 + A3 x3 + A2 x2 + A1 x + A0

b) Un polynôme est dit nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

P(x) = 0 An = An-1 = An-2 = ………= A1 =A0 = 0

c) Deux polynômes non nuls sont dits égaux si set seulement si :

- ils ont même degré

- les coefficients des termes de même degré sont égaux.

Ainsi les polynômes suivants :

P(x) = An xn + An-1 xn-1 + An-2 xn-2 + ………+ A1 x + A0

Q(x) = Bn xn + Bn-1 xn-1 + Bn-2 xn-2 + ………+ B1 x + B0

sont égaux si et seulement si : Ak = Bk quel que soit k variant de 0 à n.

9-2- Factorisation d’un polynôme du 3° degré admettant une racine :

a) On appelle racine d’un polynôme P, tout nombre réel xo tel que P(xo)=0 .

b) Un polynôme du 3° degré admettant une racine x0 peut se factoriser sous la forme (x-

xo) ( A x2 + B x + C) où les coefficients A,B, C du trinôme du 2° degré peuvent être

déterminés par identification ou par division.

Nous allons traiter ces deux méthodes de détermination des coefficients A, B et C à partir

d’un exemple.

Exemple 9.1 : Considérons le polynôme P(x) = 2x3 + 3x2 – 4x - 1

Le nombre xo =1 est racine de P(x) puisque P(1) = 0 . Le polynôme P(x) se factorise alors

sous la forme P(x) = (x-1) (( A x2 + B x + C).

Détermination de A, B, C par identification :

L’identification consiste à comparer d’un côté les coefficients de 2x3+3x

2– 4x–1 et de l’autre

côté les coefficients du polynôme développé (x-1) ( A x2 + B x + C).

En développant (x-1) ( A x2 + B x + C) on obtient :

A x3 + B x

2 + C x - A x

2 – B x – C = A x

3 + (B – A) x

2 + ( C – B) x - C

L’égalité des deux polynômes s’écrit :

2x3 + 3x

2 – 4x – 1 = A x

3 + (B – A) x

2 + (C – B) x - C

soit : 2 = A 3 = B-A - 4 = (C-B) - 1 = - C

(égalité des coefficients des termes de même degré)

K.REDJDAL

ou encore A =2 B=5 C= 1

P(x) = 2x3 + 3x

2 – 4x – 1 = (x-1)( 2x2 + 5x + 1)

Détermination de A, B, C par division

Si P(x) s’écrit sous la forme P(x) =(x-1) ( A x2 + B x + C) , ce trinôme du second degré n’et

autre que le quotient de P(x) par (x-1).

1ére étape :

- On divise le coefficient du monôme du plus haut degré du dividende

(2x3 + 3x

2 – 4x –1) soit 2x

3 par le coefficient du plus haut degré du diviseur (x-1) soit x .

Le résultat de cette division est de 2x2

- On multiplie ensuite ce résultat 2x2 par le quotient et on place le résultat obtenu soit 2x

3 -

2x2 sous le dividende en changeant de signe à ses coefficients.

- On additionne alors les éléments de la colonne du dividende. Logiquement, les coefficients

des termes du plus haut degré s’annulent.

2éme étape : On reprend exactement la même procédure décrite précédemment avec comme

nouveau dividende 5x2 – 4x –1

3éme étape : On reprend exactement la même procédure décrite précédemment avec comme

nouveau dividende x –1

K.REDJDAL

Sauf erreur dans la division, le reste obtenu après ces trois étapes doit être égal à 0.

On a donc bien : P(x) = 2x3 + 3x

2 – 4x – 1 = (x-1)( 2x

2 + 5x + 1)

9-3- Applications à la résolution d’équations et d’inéquations du

troisième degré:

Un polynôme du 3° degré admettant une racine xo peut donc se factoriser donc sous la forme

d’un produit de deux facteurs, l’un du premier degré (x-xo) et l’autre du second degré ( A x2

+B x+C).

Résoudre une équation du 3° degré (connaissant une racine) consiste donc à trouver les

racines éventuelles du trinôme ( A x2 +B x+C) .

Résoudre une inéquation du 3° degré consiste à déterminer le signe d’un produit de facteurs.

Exemple 9.2 : Résoudre x3+ 3x

2 – x – 3 = 0

Ce polynôme se factorise sous la forme (x-1)( x2 + 4x + 3). Ce produit de facteurs est

nul si et seulement si x-1 = 0 ou x2+ 4x + 3= 0. Outre la racine évidente x0 = 1, il y a

lieu de chercher les racines du trinôme x2 + 4x + 3

Le discriminant de ce trinôme est : B2 – 4AC = 16 – 4(1)(3) = 4. Il admet donc deux racines

x1= -3 et x2 = -1

L’équation proposée admet donc 3 solutions -3 , -1 et 1.

Exemple 9.3 : Soit P(x) = x3 – 4 x

2 + x + 6

a) Calculer P( - 1) . En déduire une factorisation de P(x)

b) Résoudre P(x) < 0.

a) P( -1) = -1- 4 – 1 + 6 = 0. On déduit que P(x) se factorise sous la forme

(x-(-1)) ( A x2 +B x+C) soit (x+1) ( Ax

2 +B x+C) . Par identification ou division, on

trouve A x2 +B x+C = x

2 – 5x+ 6. Le polynôme du 3

ème degré P(x) se factorise alors somme

suit : P(x) = x3 – 4 x2 + x + 6 = (x+1)( x2 – 5x+ 6)

b) Le signe du produit (x+1)( x2 – 5x+ 6) est déterminé par le tableau des

K.REDJDAL

signes suivant :

La solution de P(x) < 0 est alors S = ] - ; -1[ ]2 ; 3[

Exemple 9.4 : Résoudre x3 - x2 - x – 2 0 . ( x0 = 2 est racine évidente)

x3 - x2 - x –2 se factorise sous la forme (x-2)(x2 + x +1).

Le signe de x3- x2- x -2 dépend à la fois du signe de (x-2) qui est positif si x>2 et négatif

si x<2 et du signe de x2 + x +1 qui est toujours positif car ce trinôme admet un

discriminant négatif. Le polynôme x3 - x2- x –2 est alors du même signe que (x-2) .

Ainsi , la solution de l’inéquation x3 -x2-x– 2 0 est alors S= [ 2 ; + [

10- EQUATIONS ET D’INEQUATIONS DU 4° DEGRE:

Le raisonnement établi précédemment pour factoriser un polynôme du 3° degré sachant une

racine peut être généralisé pour les polynômes de 4° degré si l’on connaît deux racines.

Un polynôme du 4° degré de forme générale A4x4 + A3x

3+ A2x

2 + A1x +A0

qui admet comme racines xo et x

1 peut se factoriser sous la forme

( x-x0 )(x-x1) ( Ax2+Bx+C) où les constantes A, B, C peuvent déterminées par

identification ou par division.

Exemple 10.1 : Soit le polynôme P(x) = x4 - 10 x

3 + 35 x

2 – 50 x + 24

On a : P(1) = 1 –10 + 35- 50 + 24 = 0 et P(2) = 16-80+140-100+24 = 0

Le polynôme P(x) = x4 - 10 x

3 + 35 x

2 – 50 x + 24 se factorise sous la forme

P(x) = (x-1)(x-2) (A x2 +B x+C) .

Par identification ou par division, on trouve A =1 B = -7 et C = 12

P(x) = x4- 10 x

3+35x

2– 50x+24 = (x-1)(x-2) (x

2-7x+12) = (x

2- 3x+2) (x

2-7x+12).

On peut déduire de la factorisation de P(x) les solutions de l’équation ou des inéquations

formées à partir de ce polynôme.

11- EQUATIONS ET D’INEQUATIONS BICARREES

K.REDJDAL

On appelle expression bicarrée toute expression de la forme Ax2n

+ Bxn

+ C

Cette expression se ramène au trinôme du second degré AX2 + BX + C par le changement

de variable X= xn

Une expression bicarrée (du quatrième degré) toute expression de la forme Ax4 + Bx

2 + C où

A, B et C sont des constantes réelles.

Une expression bicarrée du 6ème

degré est de la forme Ax6 + Bx

3 + C

Exemple 11.1 : Résoudre l’équation x4 - 5x

2 + 4 = 0

En posant X= x2 , cette équation bicarrée se réduit à l’équation suivante du second degré :

X2 - 5X + 4 = 0.

La résolution de cette équation du second degré donne comme solutions X1 = 1 et X2 = 4

Les solutions de l’équation du 4° degré sont alors : x1 = -1 ; x2=+1 ; x3 = -2 et x4 = +2

Par ailleurs l’expression bicarrée peut se factoriser sous la forme :

)2x)(2x)(1x)(1x()4x)(1x( 22

Exemple 11.2 Résoudre l’inéquation x6 -7x

3 - 8 > 0

Posons X =x3. L’inéquation du 6

ème degré ( bicarrée) s’écrit alors X

2 -7X –8 > 0

Le trinôme du second degré X2 - 7X – 8 admet deux solutions X = -1 et X = 8 et se

factorise sous la forme X2 - 7X – 8 = ( X +1) (X -8)

L’inéquation donnée s’écrit alors : (x3+1) (x

3-8) > 0 ou encore

(x+1) (x2 -x +1) (x-2) ( x

2 +2x +4) > 0

Comme les trinômes du second degré (x2 -x +1) et ( x

2 +2x +4) sont toujours positifs (

leurs discriminants respectifs sont de -3 et -12 ) , le polynôme du sixième degré x6 -7x

3

- 8 admet le même signe que le produit (x+1)(x-2) soit positif pour x appartenant à

l’intervalle ]-∞; -1[ ] 2 ; +∞[ et négatif pour x appartenant à l’intervalle ]-1 ; 2[.

La solution de l’inéquation x6 -7x

3 - 8 > 0 est donc ]-∞ ; -1[ ] 2 ; +∞[

12- Signe de produits et de fractions rationnelles

Signe d’un produit : Pour étudier le signe d’un produit de facteur, on étudie séparément le

signe de chacun des produits et on détermine le signe du produit à partir d’un tableau des

signes en appliquant la règle des signes.

Exemple 12.1 : Etudier le signe du produit P(x) = ( x-1) (x2-2x-3)

(x-1) est un facteur du premier degré. Il a une racine x=1, il est strictement positif pour x>1

et est strictement négatif pour x<1.

(x2-2x-3) est du second degré. Il a deux racines x= -1 et x=3 ; il est strictement positif dans

l’intervalle ]-∞ , -1[]3 ; +∞[ et strictement négatif sur ]-1 ; 3[

K.REDJDAL

Le tableau des signes se présente comme suit :

Exemple 12.2 : Etudier le signe de 6xx

2x3x)x(F

2

2

Cette fraction est définie lorsque x2+x-6 est non nul soit sur R-{ -3 ; 2}

Chaque terme de cette fraction est du second degré. Le numérateur a pour racines -2 et 1 et

le dénominateur a pour racines -3 et 1.

Le tableau des signes se présente sous la forme suivante :

La résolution d’inéquations faisant intervenir des produits ou des fractions rationnelles,

consiste dans un premier temps à étudier le signe et ensuite choisir le domaine des solutions.

Exemple 12.3 : Les solutions de l’inéquation 06xx

2x3x2

2

sont déduites du tableau

précédent et sont : ] -3 ; -2] [1 ; 2[

EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1

Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes

a) 2(1– x) + 3(3–2x) = - 3(3 + x) – 5(4 – 3x)

b) 3( x –2) – 4(2 – 3x) = - 5(2 – 2x) – 14

c) –2 - 2(2 – 3x) = 3(2 + 4x) - 2(1 + x)

d) x – 3(1 –3x) – 2(4 – 5x) = -11

e) 2( 3-2x) + 4(1+x) = 15

f) 3(-2 – x) – 2(- 2 – 3x) = 4(2 – 3x) – 5( -3x + 2)

K.REDJDAL

g) x43x6

1

3

x5

5

x

4

1x31x

3

2

Exercice 2 : Résoudre les inéquations suivantes

a) 2 (-5x – 3) – 3(4x –2) < - 4(1 + 2x) – 3(6x –5) + 1

b) 3(- x – 1) – 2(x – 3) < -2(2 + x) - 2

c) 4 (x – 2) – 3(1- 2x) > 5(2x - 3)

d) 5(2 – 3x) – 2(1 - 5x) < - 5(1 + 2x)

e) )5

1x(3

30

1x)x21(

3

2)1x(

2

1

Exercice 3 : Résoudre les systèmes d’équations suivants :

a)

10y4x3

1y3x2

b) 3 5 8

6 10 1

x y

x y

c) 2 3 1

4 6 2

x y

x y

Exercice 4 : Résoudre les systèmes d’inéquations suivants :

a)

20)x2(5)x1(3)4x(32

x23)x2(2)x1(

b) 2(x-3) – 3( 2-x) ≤ 4( 1-3x) +18 < 5 ( - 2+3x) +5

Exercice 5 : a) En résolvant l’équation (2x – 3) ( x – 1) = (x – 1) ( x – 4) , un de vos

collègues a écrit 2x – 3 = x – 4 soit 2x-x = - 4+3 ou encore x = -1.

Cette méthode de résolution est-elle exacte ? si non, quelle est l’erreur commise ?

Résoudre alors cette équation.

b) De la même manière, pour résoudre l’inéquation suivante 3 4

12

x

x

, ce même

collègue a écrit : 3x – 4 < 2 ( x-1) soit 3x-4 < 2x-2

ou encore 3x-2x < - 2 + 4 ce qui lui a donné x < 2.

Votre collègue a fait une erreur. Expliquez-lui son erreur en lui proposant une méthode

correcte.

Exercice 6 : Deux frères A et B possèdent respectivement 8000 euros et 3000 euros.

Ils économisent chacun 1000 euros par an. Dans combien d’années la fortune de

A sera-t-elle le double de celle de B ?

K.REDJDAL

Exercice 7 : Un théâtre propose 2 formules de tarification :

Formule 1 : la séance coûte 7 euros

Formule 2 : une carte de fidélité de 12 euros et 4 euros la séance.

Dans quelles conditions une formule est plus avantageuse qu’une autre ?

Exercice 8 : Pour équiper la salle informatique, un établissement achète 5

ordinateurs et 2 imprimantes pour un coût total de 3730 euros. Pour compléter ce

matériel, cet établissement achète, aux mêmes tarifs, 3 ordinateurs et une imprimante

pour un coût total de 2190 euros. Quel est le prix d’un ordinateur et le prix d’une

imprimante ?

Exercice 9 : Trois amis A, B et C discutent. A dit à B « Quand j’avais ton âge,

C était un petit garçon de 10 ans ». B répond à A : « Mais quand j’aurais le tien, C

sera un homme de 26 ans » ; C ajoute : « quand je suis né, la somme de vos âges était le

double de mon âge actuel ». Calculer les âges respectifs de A, B et C.

Exercice 10 :

a) (x + 3) (x –2) = - 2( x + 2 ) (1– x) + 2 x

b) – 2(x +5) (2 –x) + 21 = 2(1-x) (x – 6) + 4(1 + x )

c) 3(x +4) (2- 3 x) = - 2(x – 7) (x+6)

d) 04

7x

2

3x

4

1 2

Exercice 11 : Factoriser si possible chacun des trinômes suivants

a) 2 x2 - 3x - 5

b) – 4x2 + 20x –25

c) 3x2 - 4x + 9

d) 22x4x22

EXERCICE 12 : Résoudre les inéquations suivantes

a) (x-1) (x –2) - 2 (x+2) (x –3) > 2(1 - x)

b) - 2 (x – 3) (1 – 2x) 3(x –2 ) (x-1)

c) (x –3) (2 + x) (2x –1) (x – 4) + 6

d) 3x2 + 5x + 7 > 0

e) - 2 x2 - 3x - 5 > 0

f) 4x2 – 4x + 1 0

g) 4x2 – 4x + 1 > 0

h) 4x2 – 4x + 1 0

K.REDJDAL

Exercice 14 : Résoudre les équations et inéquations suivantes

a) 1

2

1

3

3

40

x x

b) )3x)(2x(

x5

3x

3

2x

8xx2

c) x

x x

4

1

5

d) 3x

2x

2x

4x

Exercice 15 : Résoudre les systèmes d’équations suivants

a)

0)6x7x)(14x9x(

0)8x10x2)(3x4x(

22

22

b)

2 2 0

2 2 3 0

2 2 6 0

2 16 0

x x

x x

x x

x

Exercice 16 : Déterminer le nombre réel m tel que l’équation

5x2 +2x+m-3=0 admette une solution double ; calculer alors cette solution.

Exercice 17 : Etudier suivant les valeurs du paramètre réel m le nombre et le signe

des solutions de l’équations suivante : (m-3) x2 – 2m x + ( m+1)=0

Exercice 18 : Dans une division euclidienne, le quotient (q) est le quart du diviseur

( d), le reste (r ) est le tiers du diviseur (d) et le dixième du dividende.

Calculer D, d, q et r.

( On rappelle que dans une division euclidienne : D = dq + r ( d 0 et r < d)

Exercice 19 : On considère un triangle ABC rectangle en A. Le côté AC mesure 4

cm de moins que l’hypoténuse BC et le côté AB mesure 2 cm de plus que AC. Calculer

les mesures des côtés du triangle.

(On rappelle que dans un triangle ABC rectangle en A : AB2

+ AC2 = BC

2 (Théorème de

Pythagore )

K.REDJDAL

Exercice 20 : Vous placez un capital de 12 000 euros pendant 2 ans à un taux annuel

de x %. Les intérêts sont ajoutés au capital à la fin de cette période. Après ces deux

années, vous retirez les intérêts et vous replacer à nouveau le capital de 12000 euros

pendant encore 1 an au même taux. Sur les 3 années, vous avez cumulé 1830 euros

d’intérêts. Calculer le taux de placement x%.

Exercice 21 : Résoudre

a)

x y

x y

3

1 1 1

6

b)

xy

x y

3

4 2 2 25( )

Exercice 22 : Deux villes sont reliées par une autoroute. Une voiture quitte la ville B à 13

heures et roule à la vitesse constante de 40 km/h vers la ville C. Trente minutes plus tard, une

autre voiture quitte B et roule vers C à la vitesse constante de 55 km/h. Si l’on ne tient pas

compte de la longueur des voitures, à quel moment la seconde voiture rejoindra-t-elle la

première?

Exercice 23 : Déterminer un polynôme du 3°degré P(x) tel que P(1) = -14, P(-1) =

36 , P(2) = 0 et P(-2) = 28. Résoudre alors P(x) 0.

Exercice 24 : On considère le polynôme du 3° degré P(x) = x3 – 7x+6

a) Calculer P(2) puis factoriser P(x) sous forme d’un produit de 3 facteurs du 1° degré.

b) En déduire les solutions de l’inéquation P(x) > 0.

Exercice 25 : On considère le polynôme P(x) = x3 +2x2 +2x +1 .

a) Calculer P(-1)

b) Résoudre alors l’inéquation x3 +2x2 +2x +1 0

Exercice 26 : Soit P(x) le polynôme du 4°degré suivant

P(x) = x4

–x3–7x

2 +x+6

a) Vérifier que P(x) peut se factoriser sous forme d’un produit de 2 facteurs du 2°

degré dont l’un est (x2 –1)

b) Résoudre P(x) 0 .

Exercice 27 : Résoudre les équations et inéquations bicarrées suivantes

a) x4 – 5x2 + 4 = 0

b) 3 x4 – 2x2 + 1 = 0

c) x4 – 10x2 + 9 < 0

Exercice 28 : Après avoir décelé une racine évidente, factoriser chacun des

polynômes suivants sous forme de produits de facteurs du 1° et 2° degré :

K.REDJDAL

a) x5 – 5x3 + 4x

b) - x4 + 4x2 + x – 2

Exercice 29 : Soit P(x) = x4 – 20 x2 + 64

a) Vérifier que P(x) = (x2 –8)2 - 4 x2 et en déduire une factorisation de P(x) sous la

forme Q(x) R(x) où Q et R sont des polynômes du 2° degré.

b) Retrouver ce résultat en traitant P(x) comme une expression bicarrée.

REPONSES AUX EXERCICES DU CHAPITRE 1

Exercice 1 :

a) x = 2

g) x= -2

h) x= -5/2

i) x=0

j) Pas de solutions

k) Indéterminée

g) x= -25/2

Exercice 2 :

a) x < 3

b) x > 3

c) Infinité de solutions

d) x< -13/5

K.REDJDAL

e) x < 2/5

Exercice 3 :

a) (x , y)=( 2 , -1)

b) Pas de solutions (impossible)

c) Indéterminé (infinité de solutions)

Exercice 4 :

a) 6/5 < x < 9/5

b) 1 < x ≤ 2

Exercice 5 :

a) La simplification par (x-1) n’est possible que si x≠0. L’équation proposée a deux

solutions x= 1 et x= -1

b) Ce qui a été fait est complétement faux car on ne peut multiplier les deux membres

par (x-1) tel que cela a été fait que si x-1>0.

Il aurait fallu écrire :

Soit après réduction au même dénominateur

La solution est alors 1<x<2

Exercice 6 : 2 ans

Exercice 7 : La première formule est moins avantageuse que la seconde lorsque le

nombre de séances est supérieur à 4.

Exercice 8 : Imprimante : 240 € Ordinateur : 650 €

Exercice 9 : Les âges de A, B , C sont respectivement de 40 , 32 et 18 ans.

Exercice 10 :

a) x1= -1 et x2= -2

b) x1 =x2 = 3/2

c) Pas de solutions réelles

d) x1= 1 et x2= -7

Exercice 11 :

a) (x+1)(2x-5)

d)

2

2

5x4

= - (2x-5)

2

K.REDJDAL

e) Pas de factorisation

d) 2

2x2

EXERCICE 12 :

a) -3 < x< 4

b) ]-∞ ; 0] [5 ; +∞[

c) ]-∞ ; +∞[

d) ]-∞ ; +∞[

e) Pas de solutions

f) x= 1/2

g) ]-∞ ; 1/2 [ ]1/2 ; +∞[

h) ]-∞ ; +∞[

Exercice 14 :

a) L’expression est définie sur R- { -2 ; 3} et a deux solutions -11/3 et 2

b) L’expression est définie sur R- { -2 ; 3} et a pour solutions -2 et 3 (double)

c) L’expression est définie sur R- { -5 ; 4} et a pour solutions ]-5 ; 4[

d) L’expression est définie sur R- {2 ; 3} et a pour solutions ] 2 ; 3[

[8 ; +∞[

Exercice 15 :

a) ]1 ; 2] [ 6 ; 7]

b) [-4 ; -2] [3 ; 4]

Exercice 16 : m = 16/5 et x = -1/5

Exercice 17 :

On peut déjà distinguer le cas m=3 qui donne une équation du 1er

degré dont la

solution est x= 2/3

Si m est différent de 3 , l’équation est du second degré . Le discriminant de l’équation est

alors 2m+3

Si m > -3/2 2 solutions de même signe lorsque m ]-3/2 ; -1[ ]3 ; + [ et de signes

contraires si -1 < m < 3

Si m = -3/2 une solution double x=1/3

Si m < -3/2 pas de solutions réelles

K.REDJDAL

Exercice 18 : D=40 d=12 q=3 r=4

Exercice 19 : AC=6 AB=8 et BC =10 cm

Exercice 20 : 5%

Exercice 21

a) (x,y)=(6 , -3 ) ou (x,y)=(-3 , 6 )

b) (x,y)=(2, -3/2) ou (x,y)= (-3/2 , 2) ou (x,y)=( -2 , 3/2) ou (x,y) =( 3/2 , -2)

Exercice 22 : La première voiture rejoint la seconde à 14h50

Exercice 23 : P(x) = 6x3 +x

2-31x+10 et P(x) ≤ 0 a pour solutions ]-∞; -

5/2][1/3 ; 2 ] )

Exercice 24 : P(x)= (x-2)(x-1)(x+3) et P(x) > 0 a pour solutions ]-

3;1[]2 ;+∞[ )

Exercice 25 : Les solutions de l’inéquation sont [-1 ; +∞[

Exercice 26 : Les solutions de l’inéquation P(x) ≤ 0 sont [-2 ; -1][1 ; 3]

Exercice 27 :

a) { -2 ; -1 ; 1 ; 2 }

b) Pas de solutions réelles

c) ]-3 ; -1[]1 ; 3[

Exercice 28 :

a) x(x2-1)(x

2-4)

b) (x2-x-2)(-x

2-x+1)

Exercice 29 :

a) Le polynôme P(x)= x4 -20x

2 +64 peut s’écrire

P(x)= x4-16x

2+64 -4x2 et alors P(x) = (x

2 -8

)2 -4x

2

On a alors une différence de deux carrés d’où P(x)=(x2-8+2x)(x

2-8-2x)

b) En considérant P(x) comme expression bicarrée on trouve comme racines -4 ; -2 ;

2 ; 4 et P(x) = [(x+4)(x-2)] [ (x+2)(x-4) ] d’où le résultat trouvé en a)