Chap01 - Circuits électriques et magnétiques

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<p>Haute Ecole dIngnierie et de Gestion du Canton de Vaud</p> <p>Systmes lectromcaniques</p> <p>___________ Chapitre 01</p> <p>CIRCUITS LECTRIQUES ET MAGNTIQUES RAPPEL</p> <p>CD\SEM\Cours \Chap01.doc</p> <p>M. Correvon</p> <p>T A B L E</p> <p>D E S</p> <p>M A T I E R E SPAGE</p> <p>1.</p> <p>CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNTIQUES..................................................................................................1 1.1 GNRALITS .............................................................................................................................................................1 1.2 EQUATIONS DE MAXWELL .........................................................................................................................................1 1.3 LE POTENTIEL VECTEUR MAGNTIQUE ......................................................................................................................2 1.3.1 Lquation vectorielle de Poisson ......................................................................................................... 2 1.3.2 Loi dAmpre pour le potentiel vecteur (loi exprimentale) ................................................................. 3 1.4 CHAMP DINDUCTION MAGNTIQUE B ......................................................................................................................3 1.4.1 Dfinition .............................................................................................................................................. 3 1.4.2 Exemple de calcul ................................................................................................................................. 4 1.5 CHAMP DEXCITATION MAGNTIQUE H ....................................................................................................................7 1.5.1 Dfinition .............................................................................................................................................. 7 1.5.2 Thorme dAmpre ............................................................................................................................. 7 1.6 FLUX MAGNTIQUE ....................................................................................................................................................8 1.6.1 Dfinition .............................................................................................................................................. 8 1.6.2 Proprit : loi de conservation du flux .................................................................................................. 9 1.7 FORCE DE LORENTZ .................................................................................................................................................10 1.7.1 Force magntique agissant sur un courant lectrique.......................................................................... 10 1.8 FORCE DE LAPLACE .................................................................................................................................................11 1.9 FORCE LECTROMOTRICE (TENSION INDUITE) ........................................................................................................12 1.10 CIRCUITS MAGNTIQUES .....................................................................................................................................13 1.10.1 Tube dinduction magntique.............................................................................................................. 13 1.10.2 Potentiel magntique scalaire.............................................................................................................. 13 1.10.3 Rluctance magntique ....................................................................................................................... 13 1.10.4 Inductance propre................................................................................................................................ 14 1.10.5 Inductance mutuelle ............................................................................................................................ 15 1.11 CIRCUITS LECTRIQUES .......................................................................................................................................16 1.11.1 Tension induite.................................................................................................................................... 16 1.11.2 Flux totalis......................................................................................................................................... 17 1.11.3 Tension gnralise ............................................................................................................................. 17 1.11.4 Circuits coupls................................................................................................................................... 18 1.11.5 Coefficient de couplage et coefficient de dispersion........................................................................... 19 1.12 PROPRITS DE LA MATIRE ................................................................................................................................20 1.12.1 Milieux magntiques isotropes............................................................................................................ 20 1.12.2 Classification des milieux magntiques .............................................................................................. 20 1.12.3 Loi comportementale des milieux ferromagntiques : courbes B=f(H) .............................................. 22 1.12.4 Classification des matriaux ferromagntiques................................................................................... 23 1.12.5 Pertes dans la matire.......................................................................................................................... 25 1.12.6 Circuits magntiques ........................................................................................................................... 27 1.12.7 Rluctance Loi dHopkinson............................................................................................................ 29 1.12.8 Analogie magntique Electrique ...................................................................................................... 30 1.12.9 Calcul de linductance propre dun circuit .......................................................................................... 31 1.13 LES AIMANTS........................................................................................................................................................32 1.13.1 Premire aimantation, dsaimantation................................................................................................. 32 1.13.2 Cycle d'hystrsis et temprature ........................................................................................................ 32 1.13.3 Caractristiques daimants de diverses natures ................................................................................... 34 1.13.4 Droite de recul et point de travail........................................................................................................ 35 1.13.5 Energie magntique externe ................................................................................................................ 39 1.13.6 Application aux actuateurs .................................................................................................................. 40</p> <p>Bibliographie</p> <p>CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES</p> <p>Page 1</p> <p>1. CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNTIQUES. 1.1 GNRALITS Le but de ce chapitre est de rappeler les notions principales des circuits lectriques et magntiques afin dassurer la comprhension du fonctionnement des systmes lectromcaniques faisant lobjet de ce cours. 1.2 EQUATIONS DE MAXWELL Les phnomnes lectriques et magntiques ont tout dabord t tudis sparment par plusieurs physiciens de renom, dont les principaux sont Franklin (1706 1790), Coulomb (1736 1806) Oested (1775 1851), Ampre (1775 1836), Gauss (1777 1855) et Faraday (1791 1867). Cest cependant Maxwell (1831 1879) que lon doit la formulation la plus complte des relations liant entre elles les grandeurs lectriques et magntiques. Les quations de Maxwell spcifient que toute variation spatiale dun champ lectrique ou magntique en un point de lespace entrane ou est due lexistence, ou la variation temporelle, dun autre champ au mme point de lespace. Il sagit l de leur forme locale, ou encore diffrentielle. Forme localeB = 0</p> <p>Forme globaleV</p> <p> BdV = n BdA = 0 : Conservation du flux magntiqueS</p> <p>H =</p> <p>D +J t</p> <p>E = D = </p> <p>B t</p> <p> D + J dA : Loi dampre S C S B n EdA = C E dl = n t dA : Loi dinduction de Faraday S S</p> <p> n HdA = H dl = n t </p> <p>V</p> <p> D dV = n D dA = 0 : Conservation de la chargeS</p> <p>avec :</p> <p>B = r 0H</p> <p>B: H: 0 : r : D: E: 0 : r :E: J: : : :</p> <p>Vecteur champ dinduction magntique [T] Vecteur champ magntique [A/m] Permabilit absolue du vide (410-7) [Vs/(Am)] Permabilit relative dun matriau [1] Vecteur dplacement lectrique [As/m2] Vecteur champ lectrique [V/m] Permittivit absolue du vide (8.85410-12) [As/(Vm)] Permittivit absolue du vide [1] Vecteur champ lectrique [V/m] Vecteur densit de courant [A/m2] Conductivit lectrique [A/(Vm)] Oprateur diffrentiel e xGradient e x</p> <p>D = r0E</p> <p>E = J</p> <p>grad f = fCD\SEM\Cours\Chap01.doc</p> <p> + ey + ez z x y</p> <p>f f f + ey + ez x y z</p> <p>CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES</p> <p>Page 2</p> <p>div F = F</p> <p>:</p> <p>Produit scalaire de loprateur diffrentiel Fx + Fy + F x x x z Produit vectoriel de loprateur diffrentiel F F F F F F e x z y + e y x z + e z y x z y z x x y</p> <p>rot F = F</p> <p>:</p> <p>V</p> <p> ...dV ...dAS</p> <p>: : :</p> <p>Intgrale sur un volume Intgrale sur une surface ferme Intgrale sur un contour ferm</p> <p>C</p> <p> ...dl</p> <p>Sachant que la divergence de linduction est nulle et que dautre part la divergence dun rotationnel est toujours identiquement nul, on peut en tout point de lespace identifier linduction avec le rotationnel dune grandeur vectorielle A [Vs/m] appele le potentiel vecteur magntiqueB = 0 B = A ( A) = 0 </p> <p>:</p> <p>On dit que linduction B drive de A. Il faut noter que B = A ne dfinit A qu un vecteur irrotationnel prs; en effet, on peut remplacer A par A=A+C avec C = 0 .</p> <p>1.3 1.3.1</p> <p>LE POTENTIEL VECTEUR MAGNTIQUE Lquation vectorielle de PoissonDans un milieu homogne, sans charge despace, on peut crireH = =</p> <p> 1</p> <p>1</p> <p>B =</p> <p>1</p> <p>A1.12</p> <p>(( A) A ) = J</p> <p>Le potentiel vecteur a t choisi uniquement en terme de son rotationnel. Il est encore possible de spcifier indpendamment sa divergence que lon choisit de faon avoir</p> <p>( A) = 0On obtient ainsi lquation de Poisson</p> <p>1.2</p> <p>2A = J</p> <p>1.3</p> <p>CD\SEM\Cours\Chap01.doc</p> <p>CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES</p> <p>Page 3</p> <p>1.3.2 Loi dAmpre pour le potentiel vecteur (loi exprimentale)On peut dmontrer que la reprsentation spatiale du potentiel vecteur, lorsque le milieu est uniformment rparti (permabilit indpendante de la position dans lespace)</p> <p>A(r) =</p> <p> 4</p> <p>C'</p> <p>Idl' r r'</p> <p>1.4</p> <p>o dl est llment du contour C sur lequel se porte lintgration.z H r'-r r r'I</p> <p>dl'</p> <p>C'</p> <p>y</p> <p>xFigure 1-1 : Dfinition des grandeurs utilises dans la loi dAmpre</p> <p>Connaissant le potentiel vecteur A, linduction B est obtenue en prenant son rotationnel, puis le champ magntique H en divisant par la permabilit .</p> <p>H=</p> <p>1</p> <p>A</p> <p>1.5</p> <p>Lintgrale de la relation 1.4 ne portant pas sur la mme variable que le rotationnel, il est possible scrire</p> <p>H(r) = = 1.4</p> <p>1</p> <p>r A(r) =</p> <p>1 4</p> <p>C'</p> <p>r</p> <p>I dl' r r'1.6</p> <p>1 4</p> <p>Idl'(r r' ) ' r r' 3 C</p> <p>CHAMP DINDUCTION MAGNTIQUE B</p> <p>1.4.1 DfinitionLe champ dinduction magntique B traduit leffet du dplacement des charges lectriques. Si un courant constant traverse un conducteur lectrique de longueur lmentaire dl, on crit localement la loi de Biot et SavartCD\SEM\Cours\Chap01.doc</p> <p>CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES</p> <p>Page 4</p> <p>dB = avec : dl r 0</p> <p>0 Idl u 4 r2</p> <p>1.7</p> <p>: longueur du circuit soumis au courant I, orient dans le sens de I ; : distance de llment dl au point dexpression de linduction dB, porte par le vecteur u (vecteur unit allant de dl vers le point dexpression de dB) ; : permabilit magntique du vide (o = 4.10-7). Linduction sexprime en Tesla ;z</p> <p>Idl r dB x uFigure 1-2 : Champ dinduction cre par un courant circulant dans un conducteur</p> <p>1.4.2 Exemple de calcul 1.4.2.1 Cas dun fil de longueur infini Le calcul seffectue en deux tapes. Nous allons dabord calculer le champ cr par une portion de fil de longueur dl puis nous intgrerons le long du fil pour obtenir le champ rsultant B. 1.4.2.2 Etude dun lment dl On reprend la loi de Biot et Savart. Le calcul du produit vectoriel dl u fait apparatre langle entre le vecteur dl et le vecteur u . Ainsi dl u = dl u sin( ) ). Si lon observe le triangle form par llment dl et le point de mesure de dB (Figure 1-3), on obtient les relations suivantes :</p> <p>OO' =</p> <p>dl d d sin() = r sin r 2 2 2</p> <p>1.8 1.9</p> <p>dl sin() rd</p> <p>Ainsi, le module du champ dinduction magntique cr par llment dl a pour expression :</p> <p>dB =</p> <p>0I d 4 r</p> <p>1.10</p> <p>CD\SEM\Cours\Chap01.doc</p> <p>CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES</p> <p>Page 5</p> <p>z dl o r d dB x uFigure 1-3 : Champ dinduction cre par un courant circulant dans un conducteur de longueur l</p> <p>o'</p> <p>Son orientation est donne par la rgle du tire-bouchon, ici rentrant dans la feuille (courant allant du bas vers le haut, champ calculer droite). 1.4.2.3 Etude pour un fil infini Dans ce cas, il faut intgrer la valeur du champ dB sur un angle allant de -/2 /2 :B= /2</p> <p>0I 0 I d = 2 4r 1 3 2d /2r= d cos()</p> <p>1.11</p> <p>o d est la petite distance du point de mesure au fil.</p> <p>z Lignes de champdl</p> <p>B1d</p> <p>B2</p> <p>B3</p> <p>Figure 1-4 : Champ dinduction cre par un courant circulant dans un conducteur de longueur infinie</p> <p>La valeur du champ diminue avec la distance. Par symtrie, les lignes de champ forment des cercles autour du fil.</p> <p>CD\SEM\Cours\Chap01.doc</p> <p>CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES</p> <p>Page 6</p> <p>1.4.2.4 Cas dune spire circulaire : calcul sur laxe de la spire La spire possde un rayon R. Le point de mesure est une distance r de la spire, la spire est vue sous un angle par rapport son axez Id lIdl z</p> <p>R</p> <p>rdB 1 dB dB 2 x</p> <p>rdB R x</p> <p>Figure 1-5 : Champ dinduction cre par un courant circulant dans une spire</p> <p>Avant deffectuer le calcul, il faut remarquer que la rsultante du champ B, par symtrie, est parallle laxe de la spire. En effet, deux points de la spire diamtralement opposs ajoutent leur composante axiale mais compensent leur composante radiale. Seule la composante sur laxe x est donc calculer :</p> <p>dBx = dB sin() =ordl u = dl dl = Rd R = r sin( )</p> <p>0I dl sin() 4 r2</p> <p>1.12</p> <p>1.13</p> <p>avec : angle de parcours de la spire vis vis du point de calcul de B. DoncB=2</p> <p>0</p> <p>0I R2 I R2 d = 0 3 4 r3 2 r</p> <p>1.14</p> <p>Au centre de la spir...</p>