chap01 - circuits électriques et magnétiques

Haute Ecole dIngnierie et de Gestion du Canton de Vaud

Systmes lectromcaniques

___________ Chapitre 01

CIRCUITS LECTRIQUES ET MAGNTIQUES RAPPEL

CD\SEM\Cours \Chap01.doc

M. Correvon

T A B L E

D E S

M A T I E R E SPAGE

1.

CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNTIQUES..................................................................................................1 1.1 GNRALITS .............................................................................................................................................................1 1.2 EQUATIONS DE MAXWELL .........................................................................................................................................1 1.3 LE POTENTIEL VECTEUR MAGNTIQUE ......................................................................................................................2 1.3.1 Lquation vectorielle de Poisson ......................................................................................................... 2 1.3.2 Loi dAmpre pour le potentiel vecteur (loi exprimentale) ................................................................. 3 1.4 CHAMP DINDUCTION MAGNTIQUE B ......................................................................................................................3 1.4.1 Dfinition .............................................................................................................................................. 3 1.4.2 Exemple de calcul ................................................................................................................................. 4 1.5 CHAMP DEXCITATION MAGNTIQUE H ....................................................................................................................7 1.5.1 Dfinition .............................................................................................................................................. 7 1.5.2 Thorme dAmpre ............................................................................................................................. 7 1.6 FLUX MAGNTIQUE ....................................................................................................................................................8 1.6.1 Dfinition .............................................................................................................................................. 8 1.6.2 Proprit : loi de conservation du flux .................................................................................................. 9 1.7 FORCE DE LORENTZ .................................................................................................................................................10 1.7.1 Force magntique agissant sur un courant lectrique.......................................................................... 10 1.8 FORCE DE LAPLACE .................................................................................................................................................11 1.9 FORCE LECTROMOTRICE (TENSION INDUITE) ........................................................................................................12 1.10 CIRCUITS MAGNTIQUES .....................................................................................................................................13 1.10.1 Tube dinduction magntique.............................................................................................................. 13 1.10.2 Potentiel magntique scalaire.............................................................................................................. 13 1.10.3 Rluctance magntique ....................................................................................................................... 13 1.10.4 Inductance propre................................................................................................................................ 14 1.10.5 Inductance mutuelle ............................................................................................................................ 15 1.11 CIRCUITS LECTRIQUES .......................................................................................................................................16 1.11.1 Tension induite.................................................................................................................................... 16 1.11.2 Flux totalis......................................................................................................................................... 17 1.11.3 Tension gnralise ............................................................................................................................. 17 1.11.4 Circuits coupls................................................................................................................................... 18 1.11.5 Coefficient de couplage et coefficient de dispersion........................................................................... 19 1.12 PROPRITS DE LA MATIRE ................................................................................................................................20 1.12.1 Milieux magntiques isotropes............................................................................................................ 20 1.12.2 Classification des milieux magntiques .............................................................................................. 20 1.12.3 Loi comportementale des milieux ferromagntiques : courbes B=f(H) .............................................. 22 1.12.4 Classification des matriaux ferromagntiques................................................................................... 23 1.12.5 Pertes dans la matire.......................................................................................................................... 25 1.12.6 Circuits magntiques ........................................................................................................................... 27 1.12.7 Rluctance Loi dHopkinson............................................................................................................ 29 1.12.8 Analogie magntique Electrique ...................................................................................................... 30 1.12.9 Calcul de linductance propre dun circuit .......................................................................................... 31 1.13 LES AIMANTS........................................................................................................................................................32 1.13.1 Premire aimantation, dsaimantation................................................................................................. 32 1.13.2 Cycle d'hystrsis et temprature ........................................................................................................ 32 1.13.3 Caractristiques daimants de diverses natures ................................................................................... 34 1.13.4 Droite de recul et point de travail........................................................................................................ 35 1.13.5 Energie magntique externe ................................................................................................................ 39 1.13.6 Application aux actuateurs .................................................................................................................. 40

Bibliographie

CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES

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1. CIRCUITS ELECTRIQUES ET MAGNTIQUES. 1.1 GNRALITS Le but de ce chapitre est de rappeler les notions principales des circuits lectriques et magntiques afin dassurer la comprhension du fonctionnement des systmes lectromcaniques faisant lobjet de ce cours. 1.2 EQUATIONS DE MAXWELL Les phnomnes lectriques et magntiques ont tout dabord t tudis sparment par plusieurs physiciens de renom, dont les principaux sont Franklin (1706 1790), Coulomb (1736 1806) Oested (1775 1851), Ampre (1775 1836), Gauss (1777 1855) et Faraday (1791 1867). Cest cependant Maxwell (1831 1879) que lon doit la formulation la plus complte des relations liant entre elles les grandeurs lectriques et magntiques. Les quations de Maxwell spcifient que toute variation spatiale dun champ lectrique ou magntique en un point de lespace entrane ou est due lexistence, ou la variation temporelle, dun autre champ au mme point de lespace. Il sagit l de leur forme locale, ou encore diffrentielle. Forme localeB = 0

Forme globaleV

BdV = n BdA = 0 : Conservation du flux magntiqueS

H =

D +J t

E = D =

B t

D + J dA : Loi dampre S C S B n EdA = C E dl = n t dA : Loi dinduction de Faraday S S

n HdA = H dl = n t

V

D dV = n D dA = 0 : Conservation de la chargeS

avec :

B = r 0H

B: H: 0 : r : D: E: 0 : r :E: J: : : :

Vecteur champ dinduction magntique [T] Vecteur champ magntique [A/m] Permabilit absolue du vide (410-7) [Vs/(Am)] Permabilit relative dun matriau [1] Vecteur dplacement lectrique [As/m2] Vecteur champ lectrique [V/m] Permittivit absolue du vide (8.85410-12) [As/(Vm)] Permittivit absolue du vide [1] Vecteur champ lectrique [V/m] Vecteur densit de courant [A/m2] Conductivit lectrique [A/(Vm)] Oprateur diffrentiel e xGradient e x

D = r0E

E = J

grad f = fCD\SEM\Cours\Chap01.doc

+ ey + ez z x y

f f f + ey + ez x y z


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div F = F

:

Produit scalaire de loprateur diffrentiel Fx + Fy + F x x x z Produit vectoriel de loprateur diffrentiel F F F F F F e x z y + e y x z + e z y x z y z x x y

rot F = F

:

V

...dV ...dAS

: : :

Intgrale sur un volume Intgrale sur une surface ferme Intgrale sur un contour ferm

C

...dl

Sachant que la divergence de linduction est nulle et que dautre part la divergence dun rotationnel est toujours identiquement nul, on peut en tout point de lespace identifier linduction avec le rotationnel dune grandeur vectorielle A [Vs/m] appele le potentiel vecteur magntiqueB = 0 B = A ( A) = 0

:

On dit que linduction B drive de A. Il faut noter que B = A ne dfinit A qu un vecteur irrotationnel prs; en effet, on peut remplacer A par A=A+C avec C = 0 .

1.3 1.3.1

LE POTENTIEL VECTEUR MAGNTIQUE Lquation vectorielle de PoissonDans un milieu homogne, sans charge despace, on peut crireH = =

1

1

B =

1

A1.12

(( A) A ) = J

Le potentiel vecteur a t choisi uniquement en terme de son rotationnel. Il est encore possible de spcifier indpendamment sa divergence que lon choisit de faon avoir

( A) = 0On obtient ainsi lquation de Poisson

1.2

2A = J

1.3

CD\SEM\Cours\Chap01.doc


Page 3

1.3.2 Loi dAmpre pour le potentiel vecteur (loi exprimentale)On peut dmontrer que la reprsentation spatiale du potentiel vecteur, lorsque le milieu est uniformment rparti (permabilit indpendante de la position dans lespace)

A(r) =

4

C'

Idl' r r'

1.4

o dl est llment du contour C sur lequel se porte lintgration.z H r'-r r r'I

dl'

C'

y

xFigure 1-1 : Dfinition des grandeurs utilises dans la loi dAmpre

Connaissant le potentiel vecteur A, linduction B est obtenue en prenant son rotationnel, puis le champ magntique H en divisant par la permabilit .

H=

1

A

1.5

Lintgrale de la relation 1.4 ne portant pas sur la mme variable que le rotationnel, il est possible scrire

H(r) = = 1.4

1

r A(r) =

1 4

C'

r

I dl' r r'1.6

1 4

Idl'(r r' ) ' r r' 3 C

CHAMP DINDUCTION MAGNTIQUE B

1.4.1 DfinitionLe champ dinduction magntique B traduit leffet du dplacement des charges lectriques. Si un courant constant traverse un conducteur lectrique de longueur lmentaire dl, on crit localement la loi de Biot et SavartCD\SEM\Cours\Chap01.doc


Page 4

dB = avec : dl r 0

0 Idl u 4 r2

1.7

: longueur du circuit soumis au courant I, orient dans le sens de I ; : distance de llment dl au point dexpression de linduction dB, porte par le vecteur u (vecteur unit allant de dl vers le point dexpression de dB) ; : permabilit magntique du vide (o = 4.10-7). Linduction sexprime en Tesla ;z

Idl r dB x uFigure 1-2 : Champ dinduction cre par un courant circulant dans un conducteur

1.4.2 Exemple de calcul 1.4.2.1 Cas dun fil de longueur infini Le calcul seffectue en deux tapes. Nous allons dabord calculer le champ cr par une portion de fil de longueur dl puis nous intgrerons le long du fil pour obtenir le champ rsultant B. 1.4.2.2 Etude dun lment dl On reprend la loi de Biot et Savart. Le calcul du produit vectoriel dl u fait apparatre langle entre le vecteur dl et le vecteur u . Ainsi dl u = dl u sin( ) ). Si lon observe le triangle form par llment dl et le point de mesure de dB (Figure 1-3), on obtient les relations suivantes :

OO' =

dl d d sin() = r sin r 2 2 2

1.8 1.9

dl sin() rd

Ainsi, le module du champ dinduction magntique cr par llment dl a pour expression :

dB =

0I d 4 r

1.10



Page 5

z dl o r d dB x uFigure 1-3 : Champ dinduction cre par un courant circulant dans un conducteur de longueur l

o'

Son orientation est donne par la rgle du tire-bouchon, ici rentrant dans la feuille (courant allant du bas vers le haut, champ calculer droite). 1.4.2.3 Etude pour un fil infini Dans ce cas, il faut intgrer la valeur du champ dB sur un angle allant de -/2 /2 :B= /2

0I 0 I d = 2 4r 1 3 2d /2r= d cos()

1.11

o d est la petite distance du point de mesure au fil.

z Lignes de champdl

B1d

B2

B3

Figure 1-4 : Champ dinduction cre par un courant circulant dans un conducteur de longueur infinie

La valeur du champ diminue avec la distance. Par symtrie, les lignes de champ forment des cercles autour du fil.



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1.4.2.4 Cas dune spire circulaire : calcul sur laxe de la spire La spire possde un rayon R. Le point de mesure est une distance r de la spire, la spire est vue sous un angle par rapport son axez Id lIdl z

R

rdB 1 dB dB 2 x

rdB R x

Figure 1-5 : Champ dinduction cre par un courant circulant dans une spire

Avant deffectuer le calcul, il faut remarquer que la rsultante du champ B, par symtrie, est parallle laxe de la spire. En effet, deux points de la spire diamtralement opposs ajoutent leur composante axiale mais compensent leur composante radiale. Seule la composante sur laxe x est donc calculer :

dBx = dB sin() =ordl u = dl dl = Rd R = r sin( )

0I dl sin() 4 r2

1.12

1.13

avec : angle de parcours de la spire vis vis du point de calcul de B. DoncB=2

0

0I R2 I R2 d = 0 3 4 r3 2 r

1.14

Au centre de la spire le champ dinduction B a pour module :

B=

0 I2R

1.15

Par la suite, dans le domaine de llectrotechnique, linduction magntique ne sera pas dterminer par la relation de Biot et Savart car les calculs qui en dcoulent sont trop complexes. Nous utiliserons le vecteur dexcitation magntique H.



Page 7

1.5

CHAMP DEXCITATION MAGNTIQUE H

1.5.1 Dfinition

Le champ dexcitation H rend compte de linfluence du milieu magntique sur les grandeurs. Il sexprime en Ampres par mtre. Dans le vide ou dans lair : linduction et lexcitation magntique sont colinaires :

B = 0H

1.16

Au sein dun matriau magntique : il en est de mme. Mais on fait intervenir la permabilit relative du matriau r:

B = 0rH1.5.2 Thorme dAmpre

1.17

La circulation du vecteur H le long dune courbe ferme (C) quelconque est gale la somme algbrique des courants traversant la surface sappuyant sur le contour (C).

C

H dl = Ik

k

1.18

Le courant sera pris positivement sil est dans le sens de la normale la surface (rgle du tirebouchon par rapport au sens de parcours du contour C). Le courant sera pris ngativement sil est dans le sens contraire de la normale la surface (rgle du tire-bouchon par rapport au sens de parcours du contour C). 1.5.2.1 Exemple de calcul 1.5.2.1.1 Cas gnral Soit la configuration de la figure ci-dessous

I1 I2 I3

I4

I5

(C)

Figure 1-6 : Thorme dAmpre



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Le courant I2 nintervient pas dans le calcul. Lapplication du thorme dampre donne :

C

H dl = I

1

I 3 + I 4 I5

1.19

1.5.2.2 Cas du fil de longueur infinie Les lignes de champ des vecteurs B et H sont des cercles dont laxe normal est le conducteur lectrique. Nous allons prendre comme contour ferm une ligne de champ situe une distance R. Sur ce contour, le champ est constant.

zI H R

Figure 1-7 : Champ magntique cre par un courant circulant dans un conducteur de longueur infinie

C

H dl = I = H 2R

H =

I 2R

1.20

On retrouve le rsultat calcul en 1.4.2.3 (B=oH).1.6 FLUX MAGNTIQUE

1.6.1 Dfinition

Le flux du vecteur dinduction magntique B travers une surface ferme (S) est dfinie par : S =

B n ds(S)

1.21

Bn

(S)

Figure 1-8 : Flux au travers dune surface quelconque

Avec n vecteur normal la surface S. Le flux magntique sexprime en Weber [Wb].CD\SEM\Cours\Chap01.doc


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1.6.1.1 Cas dune spire incline On supposera le champ dinduction constant au travers de la spire S. On appellera langle entre la normale la spire et le champ dinduction B :S = 1.6.2

B n ds = B cos() ds = B cos() ds = BS cos()(S ) (S ) (S)

1.22

Proprit : loi de conservation du flux

1.6.2.1 Notion de tube dinduction Un tube dinduction (ou de champ) est un morceau despace ferm sappuyant sur deux contours ferms C1 et C2, o chaque point de C1 est reli un point de C2 par une ligne de champ magntique (le champ y est tangentiel). 1.6.2.2 Proprit Le flux magntique est conserv au sein dun tube de champ.

B2

(S 2) B1 (S 1 )Figure 1-9 : Tube de flux

S1 = S2 B1 S1 = B2 S2

1.23

On peut gnraliser ce principe en disant quau sein dun volume ferm, le flux rentrant est gal au flux sortant. 1.6.2.3 Exemple Soit la Figure 1-10, en appliquant la loi de conservation du flux on obtient comme relation

B1S1 = B2S2 + B3S3

1.24



Page 10

B2S2

B 1S 1

B 3S 3

Figure 1-10 : Tube de flux avec embranchements

1.7

FORCE DE LORENTZ Quand la particule se dplace dans une rgion o il y a un champ lectrique et magntique, la force totale est la somme de la force lectrique qE et de la force magntique qvB. On a donc :

F = q(E + v B )

1.25

F B = vxBz

E By

F = FE+ F B

x

vF E =q E

Figure 1-11 : Forces appliques une charge en mouvement dans un milieu lectromagntique

1.7.1

Force magntique agissant sur un courant lectrique Le courant lectrique est un coulement de charges lectriques dans le vide ou travers un milieu conducteur. Lintensit du courant lectrique a t dfinie comme la charge passant par unit de temps au travers une section du conducteur. Considrons une section dorientation quelconque du conducteur dans lequel se dplacent, avec une vitesse v, des particules de charge q. Sil y a n particules par unit de volume, le nombre total de particules traversant une surface unit par unit de temps est nv, et la densit de courant dfinie comme la charge passant par unit de temps travers la surface unit est le vecteur

J = nqv

1.26



Page 11

n : densit volumique de charge

q

S

v

d x= vdtFigure 1-12 : Dplacement de charge dans un conducteur

Si S est l'aire de la section considre du conducteur, le courant est le produit vectoriel I = J S = nqv S1.27

Supposons maintenant que le conducteur soit dans un champ magntique. La force agissant sur chaque charge est donne par la relation 1.25 et comme il y a n particules par unit de volume la force f par unit de volume est f = nqv B = J B1.28

et la force totale sur un volume fini s'obtient par intgration de cette expression sur tout le volume, soit F=

J BdVVolume

1.29

Considrons maintenant le cas o le courant s'coule travers un conducteur. L'lment de volume dV est donn par S dl et par consquent la relation 1.29 donne F=

J BSdl = SJ Bdl = Iu BdlConducteur Conducteur Conducteur

1.30

Avec u : vecteur unit normal la surface S SJ=I, et le courant I qui parcourt le fil est le mme en tous points du conducteur en raison de la loi de conservation des charges lectriques. Par consquent la relation 1.30 pour la force agissant sur un conducteur parcouru par un courant devient F=I 1.8

u BdlConducteur

1.31

FORCE DE LAPLACE Lquation de Laplace dcoule de la force de Lorentz. Elle est lexpression de la force sexerant sur un conducteur idal plac dans un champ dinduction magntique :dF = idl B1.32



Page 12

Cette relation peut tre exprime sous forme locale. Soit f la force par unit de volumef = l F il B = = J B = JB { Al V lJ // l

1.33

BdF id l

Figure 1-13 : Force exerce sur un conducteur travers par un courant et soumis un champ dinduction

1.9

FORCE LECTROMOTRICE (TENSION INDUITE) Soit un barreau se dplaant dans un circuit champ dinduction magntique B la vitesse v. Sous leffet de deux forces antagonistes, les lectrons libres vont se dplacer lextrmit du barreau en laissant des charges positives lautre extrmit. Un tat dquilibre est rapidement atteint avec cration lintrieur du barreau dun champ lectrique induit Eem.

Ba

E em F E=q E em F B =q vx Bb q0 : Milieux ferromagntiques Dans les milieux ferromagntiques la susceptibilit est grande. Ces matriaux sont essentiels pour llectrotechnique. Ils se basent sur lutilisation du Fer, Cobalt, Nickel et leurs alliages. La courbe de la Figure 1-21 donne un ordre de grandeur et lvolution de la permabilit relative pour trois matriaux ferromagntiques en fonction du champ magntique B qui les traversent. =1+ r 5000Acier au silicium

4000

3000

2000Acier doux ordinaire

1000Fonte

0.5

1.0

1.5

B [T]

Figure 1-21 : Permabilit relative r = 1 + en fonction de B pour trois matriaux courants

Il est noter que la valeur de la susceptibilit dpend la fois de la temprature mais surtout de la valeur du champ dexcitation qui est applique au matriau. Cela implique que la relation entre B et H peut non linaire B = (H) H . La Figure 1-22 rsume le comportement des 3 catgories de matriaux.CD\SEM\Cours\Chap01.doc


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MH et M de mme sensFerromagntique Paramagntique

HH et M de sens oppossDiamagntique

Figure 1-22 : Illustration des comportements magntiques

1.12.3 Loi comportementale des milieux ferromagntiques : courbes B=f(H)

1.12.3.1 Courbe de premire aimantation et cycle dhystrsis Ces courbes montrent comment un corps ferromagntique ragit lexcitation magntique H : Courbe de premire aimantation : courbe B = f(H) lorsque le corps ferromagntique ne possde aucune aimantation. Cycle dhystrsis : courbe B = f(H) lorsque le corps ferromagntique possde dj une aimantation.B [T]BZone de saturationCourbe de premire aimantation

BrCoude de saturation

-H c Hc

H [A/m]

Zone linaire

-B rCourbe d'hystrsis

H

Dcomposition de la courbe de premire aimantation

Courbe B = f(H)

Figure 1-23 : Caractristique de matriau ferromagntique



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On dfinit plusieurs zones dans la courbe B=f(H).Zone linaire

: Dans cette zone, B = .H avec constante. Cest cette zone qui est gnralement exploite pour les transformateurs et les machines tournantes. : Lorsque H devient trop grand, B ne varie presque plus. Le matriau magntique est dit satur. On a toujours B = .H, mais nest plus constant ( il scroule ). B tend vers le champ de saturation Bsat. : Champ qui subsiste lorsque H = 0 (i = 0).

Saturation du milieu ferromagntique

Champ rmanent Br

Excitation coercitive HC : Excitation H ncessaire pour annuler le champ rmanent Br. Hystrsis

: Cest le ddoublement de la caractristique B(H) du matriau magntique. Donc B dpend non seulement de H, mais aussi de laimantation antrieure. Les substances ferromagntiques sont donc doues de mmoire.

Le cycle dhystrsis a pour consquence quil subsiste une induction rmanente Br lorsque lon annule lexcitation. Si lon souhaite annuler B, il faut inverser le champ dexcitation H, on appelle la valeur de ce champ le champ coercitif HC. La Figure 1-24 montre lvolution de la courbe B=f(H) pour diffrentes amplitudes dexcitation.B [T]0.3

B [T]1

B [T]

0.05 -2

0.5

H [A/m]2 -0.05

-8

H [A/m]8

-40

H [A/m]40

-0.3-1

Amplitude faible

Amplitude moyenne

Saturation atteinte

Figure 1-24 : Cycle dhystrsis du mme matriau pour diffrentes amplitudes de linduction

1.12.4 Classification des matriaux ferromagntiques

On spare les matriaux magntiques en deux familles qui se distinguent par leur courbe B=f(H). 1.12.4.1 Matriaux durs Les matriaux durs sont des matriaux qui prsentent une forte aimantation rmanente et difficile annuler (HC est grand). Ils sont utiliss pour faire des aimants permanents (ex : acier). Ce sont des matriaux qui prsentent un cycle dhystrsis trs large ( 104 A/m < HC < 106 A/m ). Ils sont utiliss en gnral comme aimant. On les utilise dans le 2me quadrant ( B>0 et H40000@50Hz

Toute variation dinduction dans une matire magntique gnre des pertes sous forme dchauffement. On distingue les pertes par hystrsis, par courant de Foucault et des pertes rsiduelles ou par tranage dues au retard du champ linduction magntique (B) par rapport au champ magntique (H). Les pertes par hystrsis sont proportionnelles la surface du cycle et donc la frquence de parcours, pour une valeur Bmax donne. Les pertes par courants de Foucault rsultent des courants crs dans la matire conductrice par un flux variable dans le temps. Pour rduire les pertes par hystrsis, il faut agir sur la composition des alliages et le contrle des impurets, tout en procdant parfois des traitements thermiques appropris. On vise un cycle le plus troit possible et une permabilit maximum si lon veut conduire le flux sur un parcours donn avec un rendement maximum. Le fer ordinaire ou fer doux a des proprits moyennes dans ce domaine, en raison des impurets quil contient (rmax = 5000, pertes 10 12 W/Kg 1.5T et 50Hz). Sa purification (fer pur Armco), associe un traitement coteux, haute temprature en atmosphre dhydrogne, apporte des amliorations spectaculaires ((rmax > 105) tout en rduisant les caractristiques mcaniques. La permabilit relative r peut tre augmente par adjonction de quelques % de silicium. Le champ coercitif HC diminue considrablement et la rsistivit augmente. La baisse de 10% 20% de linduction de saturation est largement compense par la diminution des pertes. Il existe toute une srie dalliages de Fe-Ni prsentant, selon le taux de Ni (env. 30% 80%), les traitements thermiques et mcaniques appliqus, des permabilits relatives r trs leves, des champs coercitifs minimum, etc On pense notamment des alliages spciaux base de Cobalt, aux ferrites haute permabilit et faibles pertes haute frquence utilises en lectronique. Dans dautres applications ou types de moteurs, on a faire des flux constants. Le problme des pertes est alors tout diffrent et on peut employer un matriau magntique massif ; cest le cas pour certains moteurs courant continu.1.12.5 Pertes dans la matire

1.12.5.1 Energie magntisante Pour obtenir un champ magntique au sein dun matriau, cela ncessite lapport dune nergie W dite magntisante. Elle est proportionnelle au volume du matriau :CD\SEM\Cours\Chap01.doc


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W = H dB v 0B

[J / m ]

3

1.76

Lnergie stockable dans un milieu de permabilit (caractristique linaire) est:W 1 B2 1 = = BH v 2 2 [J / m3]1.77

Ainsi dans le cas dun circuit avec un entrefer, lessentiel de lnergie viendra se placer dans celui-ci. Les matriaux magntiques ont un rle essentiellement de circuit de transit. Un transformateur naura pas dentrefer, alors quune inductance de lissage aura trs certainement un entrefer pour faire office de stockage dnergie afin de ne pas saturer le circuit.B [T]

W mag V

H [A/m]

Figure 1-27 : Energie magntique emmagasine dans un matriau

1.12.5.2 Pertes par hystrsis Ce type de pertes est li au cycle dhystrsis du matriau. Le parcours du cycle B(H) fait apparatre une perte dnergie qui correspond alors un chauffement de la matire. Les pertes par hystrsis sont donc proportionnelles la frquence et sont lies la structure du matriau.

Ph = BM f2

1.78B [T]

W cycle_hyst V

H [A/m]

Figure 1-28 : Pertes par hystrsis



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Dans le cadre de transformateur, on utilise des matriaux doux pour cette simple raison. 1.12.5.3 Pertes par courants de Foucault Les variations du champ magntique dans la matire gnrent par induction des courants induits qui se rebouclent sur eux-mmes. Il y a donc chauffement par effet joule. Cette foisci ces pertes sont proportionnelles au carr de la frquence.

Pf = BM f2

2

1.79BB J

J

Figure 1-29 : Pertes par courant de Foucault

Afin de les limiter, on cherche rduire le parcours des courants induits, cest pour cette raison que lon utilise des circuits magntiques feuillets isols.1.12.6 Circuits magntiques

Ils sont bass sur lutilisation de matriaux ferromagntiques avec comme but dobtenir un champ dinduction B dans une zone prcise (entrefer). Pour ce faire, on cre un champ dexcitation H laide de bobinage puis on le canalise vers la zone dutilisation (entrefer). 1.12.6.1 Constitution On peut rsumer un circuit magntique cette gomtrieI

N spires

Cration de H

Canalisation

Utilisation (entrefer)

Figure 1-30 : Circuit magntique classique

On retrouve trois lments : 1. le bobinage qui gnre lexcitation et donc le champ ; 2. la culasse qui dirige le champ H vers la zone utile. La culasse impose le parcours du champ magntique de part sa grande permabilit par rapport lair. Le matriau qui compose la culasse se comporte comme un tube de champ ;CD\SEM\Cours\Chap01.doc


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3. lentrefer o lon souhaite utiliser le champ. Lentrefer est la zone dinteraction avec lextrieur. 1.12.6.2 Mise en quation : cas parfait La mise en quation se base sur les trois lois fondamentales que nous avons tablies :Conservation du Flux Thorme dAmpre Loi des matriaux

Dans le cas parfait, le circuit magntique se confond avec un tube de champ. Tout le flux est canalis par le circuit. De plus, il a un comportement linaire en tout point : B=H (=0r). Il en est de mme dans lentrefer : B=0H. 1.12.6.2.1 Exemple de calcul 1.12.6.2.1.1 Cas dun circuit magntique sans entrefer

Daprs le thorme dAmpre

HL = NILa valeur du champ magntique est donc :

1.80

B=

0r NILH

1.81

i

N

L : longueur moyenne des lignes de champ [m] (L=2R) N : nombre de spires de la bobine I : courant dans la bobine [A] H : excitation magntique [A/m]

Figure 1-31 : Circuit magntique (Tore) sans entrefer

1.12.6.2.2 Circuit magntique avec entrefer Daprs le thorme dAmpre

H(L ) + H0 = NIH

1.82 L : longueur moyenne des lignes de champ [m] : longueur de lentrefer [m] N : nombre de spires de la bobine I : courant dans la bobine [A] H : excitation magntique dans la matire [A/m] H0 : excitation magntique dans lentrefer [A/m]

i

N

H0

Figure 1-32 : Circuit magntique (Tore) avec entrefer



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En considrant le circuit magntique parfait, on peut considrer que les lignes de champ restent dans lalignement du matriau magntique.B B

Figure 1-33 : Hypothse simplificatrice sur les lignes de champ

De plus, si 200KJ/m3 avec Br > 1T.

Figure 1-40 : Courbe de dsaimantation

1.13.4 Droite de recul et point de travail

1.13.4.1 Droite de charge Considrons un circuit magntique dans lequel et insr un aimant permanent. Le thorme dAmpre permet dcrire, sur un contour ferm :



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r r H dl =

i

1.94

Appliqu un circuit passif dans lequel on fait lhypothse, dune absence de saturation, on a i = 0 ;

Hala +

0r

B fer

l fer +

B

0

=0lfer : longueur moyenne dans le fer : longueur dans lair (entrefer) la : paisseur de laimant

1.95

lfer

la

Figure 1-41 : Circuit passif avec aimant

En admettant les flux de fuites ngligeables, la densit de flux est la mme sur tout le parcours, donc : B fer S fer = B S = Ba Sa do S l fer Ha B = la S + S a 0 r fer 0 a S 1 1 = a + la fer 1.97 1.96

H H Lexpression 0 a scrit souvent 0 . On peut donc crire : B Ba

0S 0Ha B = l a a a avec

1 1 + fer

1.98

fer e =

: permance de la partie fer : permance de lentrefer

fer fer +

: rluctance externe quivalente

Les courbes de dsaimantation donnes par les fabricants donnent des repres de la forme B / 0 H (voir Figure 1-38). Ces repres correspondent la tangente de la droite de charge dfinie comme :



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tan() =

Ba l = a e 0 H a 0Sa

1.99

Le point de travail du circuit magntique ainsi dcrit se trouve lintersection de la droite de pente tan() et de la caractristique de laimant.

1.13.4.2 Droite de reculCette droite est appele droite de recul ou droite de dsaimantation. Elle est caractrise par une abscisse lorigine H0 et une ordonne lorigine B0. La pente de la droite de recul est dfinie comme

d =

B0 B H 0 H

1.100

Et par consquent, lquation de la droite de recul est donne par lexpression

B = B0 + d H1.13.4.3 Point de fonctionnement

1.101

Le point de fonctionnement est dfini comme le point dintersection entre les droites de charge et de recul.Ba = B0 e e +

d Sala

1.102

d SaH a = H 0 la e +

d Sala

1.103

Laimant fonctionne donc toujours dans sa zone de dsaimantation 2me quadrant do limportance de connatre la forme de ce graphique. Sur la Figure 1-42, le point de fonctionnement {0, B0} correspond une droite de charge avec un entrefer nul et une permabilit relative du circuit magntique infinie ( r = ) (permance externe infinie). Dans un systme dynamique comme un moteur, le point de travail peut se dplacer le long de la caractristique de laimant pour deux raisons, soit la dformation de circuit magntique, soit la contribution des courants embrasss par le flux.



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minDroite de charge Zone de fonctionnement

B [T]B0Br 1.0

maxDroite de recul

0.8 Point de fonctionnement 0.6

-H0HC

0.4

B

-500 -400 -300 -200 -100

H [kA/m]

Figure 1-42 : Droite de recul et point de fonctionnement

Dans tous les cas, lexcursion sur la courbe de dmagntisation doit tre telle quon ne franchisse jamais le coude, faute de quoi on a une perte irrversible dinduction. On noubliera pas non plus de considrer leffet de la temprature. Certains graphiques daimants permanents sont gradus avec une chelle des B/H ou B/0H, ou leur inverse, permettant la dtermination du point de fonctionnement de laimant ds que le circuit magntique est dimensionn.

1.13.4.4 Dfinition de la permance interne de laimantOn dfinit la permance interne de laimant commei =

d Sala

1.104

ou de manire plus gnrale

i =

S

dla

dSa

1.105

Les coordonnes du point de fonctionnement deviennent ainsiBa = B0 e e + i i B i = 0 e + i d e + i1.106

H a = H 0

1.107

1.13.4.5 Schma magntique quivalentLe schma magntique quivalent de la Figure 1-43 conduit aux mmes rsultats que les relations 1.106 et 1.107, en posanta0 = H 0la =

d

B0

la =

i

0

1.108

On vrifie lquivalence de la manire suivanteCD\SEM\Cours\Chap01.doc


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=

i e e a0 = i + e 0 i + e

1.109

fer

i

a0Figure 1-43 : Schma magntique quivalent

1.13.5 Energie magntique externeLnergie magntique externe est donne par la relation 1.77. Dans un milieu linaire, on peut crireWmag = =

V 0

H dBdV

B

=

1 1 B H V = (B H V + B fer H ferV fer ) 2 e e e 2 1.110

1 (B S H l + B ferS ferH ferl fer ) = 1 (H l + H ferl fer ) 2 2 1 1 1 = ( H ala ) = Ba Sa H ala = Ba H aVa 2 2 2 On peut donc crire pour le volume de laimant Va = 2Wmag Ba Ha

1.111

B [T]1.4Courbes (BH)=cte

1.2 1.0

(BH) max

0.8 0.6 0.4 0.2

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

H [kA/m]

Figure 1-44 : Energie BH maximumCD\SEM\Cours\Chap01.doc


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Lorsquon peut se dplacer sur une courbe jusquau point o BH est maximum, on a la plus grande variation possible dnergie magntique dans le circuit (BH correspond une densit volumique dnergie [J/m3]). Pour les nuances daimants dont la courbe dans le 2me quadrant est rectiligne, ce point se trouve Br/2. Pour une nergie magntique externe donne, le volume de laimant sera minimum lorsque la valeur BH sera maximale.

1.13.6 Application aux actuateursLes nouveaux matriaux magntiques durs base de terres rares, samarium-cobalt ou nodyme-fer qui sont utiliss dans certains moteurs prsentent le grand intrt : dune part de possder un BHmax trs lev dautre part davoir un coude de dsaimantation dans le troisime quadrant. La courbe de dmagntisation dans le 2me quadrant est une droite de pente voisine de 0 (ur1). Il sensuit que le rapport q/la du circuit magntique peut tre grand sans inconvnient. Il faut toutefois faire attention la temprature. En effet la Figure 1-38 montre que si la courbe est une droite dans le 2me quadrant 20C, ce nest plus le cas 100c et audessus. Consquence pour les moteurs : une grande excursion possible sur la courbe BH ; un grand entrefer pouvant amener de nouveaux concepts de circuits magntiques ; des performances amliores dans un volume donn. Consquence pour la fabrication : laimant peut tre aimant hors de son circuit dfinitif, pas de restriction dentrefer dans le transport ultrieur et la manipulation. En pratique, lpaisseur minimum de laimant est limite par la fragilit des ferrites qui supportent trs mal la flexion. Les autres difficults rencontres sont le champ de saturation trs lev et les prcautions prendre avec des aimants pour les empcher de se coller lun lautre.



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Bibliographie[1] TRAITE D ELECTRICITE

ELECTROMECANIQUEVolume IX Auteur : Prof. Marcel Jufer ISBN 2-88074-285-4 [2] TRAITE D ELECTRICITE

ELECTROMAGNETISMEVolume III Auteur : Prof. Fred Gardiol ISBN 2-604-00005-9 [3] COURS DE SYSTEMES ELECTROMECANIQUES EIVD Auteur : Prof. Georges Vuffray OXFORD UNIVERSITY PRESS BRUSHLESS PERMANENT-MAGNET AND RELUCTANCE MOTOR DRIVES Auteur : Tje Miller ISBN 0-19-859369-4

[4]


chap01 - circuits électriques et magnétiques

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