Chap. 6 PROBLEMES D'ELECTROMAGNETISME

Problème 1 Condensateur en régime variable

(extrait de l'examen S3SMPE 2002-2003) On considère un condensateur plan à armatures circulaires, de rayon a, distantes de d, alimenté par une tension sinusoïdale u(t)=u0cos(ωt), de fréquence 50Hz. Le champ électrique créé par cette tension entre les armatures est uniforme et dirigé suivant z , sa valeur est :

E = E0 cos(ωt) . Dans ce problème, on néglige les effets de bord.

a

d

z

u

1- Exprimer la relation entre u0 et E0 donnée par l’électrostatique. 2- Exprimer l’énergie électrique Ue emmagasinée par le condensateur, sachant que

l’énergie électrique par unité de volume est égale à 202

1 Eε . Donner la valeur

moyenne Ue de Ue dans le temps. 3- Le caractère sinusoïdal de la tension d’alimentation conduit à l’existence d’un

champ magnétique entre les armatures. * Montrer par des arguments de symétrie que ce champ

r B est dirigé suivant le

vecteur unitaire ; on utilisera les coordonnées cylindriques (r,θ,z) autour de l’axe Oz .

r e θ

* De quelle(s) variable(s) (r,θ,z) dépend-il à priori ?

* En utilisant l’équation Rot

r B = εoµo

∂r E

∂t que l’on justifiera, montrer que le champ

magnétique r B vaut θωωµε etErB rr

)sin(2 0

00−= .

On donne :

Rot→ r

B =

(Rot→ r

B )r =1r

∂Bz

∂θ−

∂Bθ

∂z(Rot

→ r B )θ =

∂Br

∂z−

∂Bz

∂r(Rot

→ r B )z =

1r

∂(rBθ )∂r

− 1r

∂Br

∂θ

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

4- Exprimer l’énergie magnétique U emmagasinée dans le condensateur sachant que

l’énergie magnétique par unité de volume est égale à 12

1µ0

B2 .

Montrer que : Um =a2ω 2

8c2 Ue .

Montrer qu’à la fréquence de 50Hz l’énergie électromagnétique totale se réduit à l’énergie électrique. On prendra a=10cm. 5- Rappeler la définition du vecteur de Poynting et exprimer le. 6- Exprimer son flux à travers la surface latérale du condensateur (bande cylindrique

de hauteur d)

Ondes OEM 6-1

7- Montrer que ce flux est égal à −∂Ue∂t

.

8- Ce champ magnétique variable peut lui aussi induire un champ électrique induit E’ dirigé suivant z dont nous n’avons pas tenu compte dans ce qui précède. En

utilisant l’équation Rot

r E = −

∂r B

∂t, montrer que le champ induit E’ est tel que :

E ' =r 2ω 2

4c2 E et qu’il est bien négligeable dans un condensateur usuel à 50 Hz.

A quelles fréquences n’est-il plus négligeable ? (on prendra a=10cm).

***** Problème 2

Un solénoïde de longueur b très grande devant son rayon comporte n spires jointives par unité de longueur.

1- Il est parcouru par un courant continu d’intensité I. 2- Quel est le champ magnétique en tout point de l’espace ? le champ électrique ? 3- Quel est le coefficient d’auto-induction par unité de longueur du solénoïde ?

On place une petite bobine de rayon r comportant N spires à l’intérieur du solénoïde de façon à ce que les axes du solénoïde et de la bobine soient parallèles.

4- Quel est le flux du champ magnétique à travers la bobine ? 5- Quel est le coefficient de mutuelle induction solénoïde-bobine ? 6- Le solénoïde est maintenant parcouru par un courant sinusoïdal de pulsation ω et

d’amplitude Io. On suppose que l’expression du champ magnétique statique reste valable.

7- Exprimer le f.e.m. induite dans la bobine ainsi que le courant qui parcourt sachant que sa résistance est R.

8- Quel est le champ électrique induit dans la bobine ? 9- On va retrouver cette expression à partir de l’une des équations de Maxwell , celle

de Maxwell.Faraday 10- Par des considérations de symétrie, indiquer dans quelle direction est le champ

électrique induit ? De quelles variables dépend-il ? 11- En utilisant les coordonnées cylindriques (r,θ,z) et :

Rot→ r

E =

1r

∂Ez

∂θ−

∂Eθ

∂z∂Er

∂z−

∂Ez

∂r1r

∂(rEθ )∂r

− 1r

∂Er

∂θ

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

, montrer que Eθ = −r2

∂B∂t

.

12- On place un barreau métallique de longueur L, de rayon b, de conductivité γ le long de l’axe du solénoïde, les axes du cylindre et du solénoïde étant confondus. Montrer qu’il apparaît un courant induit dont la densité est notée

r . j

13- La puissance électrique par unité de volume dissipée dans le barreau étant

12

r j .

r E =

12

γE2 , en déduire la puissance électrique n moyenne dans le temps

dissipée dans le barreau. Ces courants s’appellent des courants de Foucault. AN : L=10cm, R=1cm, ν=50Hz, γ=5.8 107 Ω-1m-1, Bo=10 mT

Ondes OEM 6-2

14- Qu’en est-il des courants induits dans le cylindre quand l’axe de celui-ci ne coïncide plus avec l’axe du solénoïde ?

15- On remplace le cylindre plein par des tiges de diamètre 10 fois plus petits recouvertes d’une pellicule isolante, serrées les unes contres les autres, la section totale étant la même que celle du cylindre. Quel est le nombre de tiges ? Que devient la puissance dissipée par les courants de Foucault?

16- On considère toujours le même solénoïde et on place dedans un autre solénoïde de même longueur, avec le même nombre de spires par unité de longueur mais de diamètre d plus petit. Les extrémités de ce deuxième solénoïde dont on négligera la résistance sont reliées par une résistance R.

17- Rappeler l’expression du champ magnétique Be créé par le premier solénoïde. Il va circuler dans le second solénoïde un courant I’. Quel est le champ magnétique Bi créé par ce courant ?

18- Exprimer le champ magnétique total Be+Bi. En déduire la f.e.m. induite dans le

second solénoïde en fonction notamment de dI'dt

. En appliquant la loi d’Ohm au

second solénoïde, établir l’équation différentielle à laquelle satisfait I’. La résoudre en régime permanent.

19- Que vaut le champ magnétique total au sein du second solénoïde ? Dans quelle condition, ce solénoïde peut-il jouer le rôle d’une cage de Faraday magnétique ?

*****

Problème 3: Propagation d’onde dans une ligne coaxiale

z

r2

r1

I-I

Dans ce problème, on étudie la propagation d’ondes dans une ligne coaxiale cylindrique d’axe Oz constitué d’un conducteur central plein de rayon r1, l’âme, séparé par le vide d’un conducteur creux de rayon r2 (la gaine). On utilisera les coordonnées cylindrique (ρ,θ,z) et le repère local associé. L’âme est parcourue par un courant I(z,t) et la gaine par –I(z,t). Au courant I(z,t) on associe une charge Λ(z,t) par unité de longueur du conducteur. La loi de conservation de la charge se traduit par une relation entre I et Λ.

1. Montrer que : ∂Λ∂t

= −∂I∂z

2. Montrer par des considérations de symétrie que le champ magnétique est dirigé suivant eθ et que le champ électrique est dans le plan (ρ,z). De quelles variables dépendent-ils ?

3. On admet que la composante du champ électrique suivant z est nulle. 17- Tracer les lignes de champ électrique et magnétique dans un plan z=constante. 18- Déterminer la valeur du champ électrique entre les conducteurs (on utilisera le

théorème de Gauss). 19- Enoncer le théorème d’Ampère généralisé et déterminer B.

4. Rappeler l’équation locale de l’induction (Maxwell Faraday). Ecrire l’équation reliant E et B. en déduire une seconde relation entre I et Λ.

5. A partir des résultats précédents, établir l’équation de propagation du courant dans la ligne .

Ondes OEM 6-3

Donner la forme générale de la fonction I(z,t) et la valeur de la vitesse de propogation c de l’onde de courant. Vérifier que Λ, E et B vérifient la même équation. Calculer le rapport E/B pour une onde progressive. Montrer que E et B correspondent aux champs électrique et magnétique d’une onde plane se propageant dans le vide. Est-elle homogène .

6) On étudie une solution de la forme I(z,t)=Iocos(ωt)cos(kz). Préciser la signification de ω et k. Est-ce une onde progressive ? Si non, quelle est sa nature ? Calculer Λ(z,t), donner l’expression de E et B. Déterminer le vecteur de Poynting

r P (ρ,z,t) ainsi que sa valeur moyenne dans le temps.

Conclusion ? Calculer la densité d’énergie électromagnétique ainsi que sa valeur moyenne dans le temps. En déduire l’énergie moyenne emmagasinée par unité de longueur entre l’âme et la gaine. AN : Io=0.15 A et r2/r1=10.

******* 4- Problème 4: Détection d’une onde radio (extrait du partiel SM nov 2000)

Une onde électromagnétique sinusoïdale générée par un émetteur radio a une pulsation ω. On l’assimilera à une onde plane progressive homogène dans ce problème se propageant dans la direction Oz. Cette onde est polarisée rectilignement dans la direction Ox. Au point origine O, le champ électrique est Eocos(ωt). On supposera que la propagation dans l’air est semblable à celle dans le vide.

9- Donner l’expression réelle du champ électrique et du champ magnétique au cours du temps en un point (x,y,z) quelconque. Les représenter sur un schéma.

10- Exprimer la densité d’énergie associée à l’onde ainsi que sa valeur moyenne dans le temps, le vecteur de Poinyting associé ainsi que l’intensité de l’onde.

Calculer l’intensité de l’onde pour Eo=5 10-3Vm-1. Rappel : 910361

πε =o .

11- Cette onde est détectée à l’aide d’une bobine plate comportant N spires circulaires de rayon r. Cette bobine centrée en O est perpendiculaire à l’axe Oy. Le sens de parcours positif est le sens direct autour de Oy. Quelle est la f.e.m. induite par l’onde radio dans cette bobine?

Calculer l’amplitude de variation de cette f.e.m. pour : ν=1MHz, N=30,r=10cm. Que devient cette f.e.m. si on incline la bobine d’un angle θ vers la direction Oz ? Pour

quelle valeur de θ , la f.e.m. est-elle maximale ? Montrer qu’en plaçant une plaque métallique plane conductrice de façon judicieuse, il est

possible d’accroître le niveau du signal dans la bobine. 12- Cette bobine fait partie d’un circuit dans laquelle la f.e.m. fait circuler un courant

i(t). Ce courant génère dans la bobine un champ magnétique r B . Calculer ce champ

au point O, centre de la bobine, en supposant que toutes les spires sont situées dans le même plan. Quel est le flux de ce champ à travers la bobine en supposant que le champ magnétique a la même valeur en tout point du disque limité par la spire que celle calculée en O ? Quel est le coefficient d’auto-induction de la bobine ? (µo=4π10-7 SI)

Ondes OEM 6-4

13- Pour détecter le signal de l’onde radio, la bobine est fermée sur un condensateur dont la capacité est C. le circuit ainsi constitué est un circuit RLC : R est la résistance de la bobine, L son inductance. Le signal détecté est maximal quand : LCω2 = 1. Tout se passe alors comme si on pouvait négliger l’auto-induction et le condensateur : ceci revient à dire que seule la résistance R compte. Que vaut alors l’amplitude Io des oscillations du courant dans le circuit ?

14- Quelle est la valeur de C pour que le circuit soit accordé ? Que vaut Io si C=10Ω?

Ondes OEM 6-5