chain ladder excel caritat

7/21/2019 Chain Ladder Excel Caritat

1/108

Fortis Bank InsuranceCorporate Actuarial Control

The chain ladder method

Calculation of the proportionality factors.

The cumulative run-off triangle

Development year

Year of origin 0 1 2 3 4 5 6

0

&')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&)

2 &',$ .'&+. .'&* .'+)3 +'&* .'*$, /'))

4 +'** /',*+

5 .'$,6

Development year

Year of origin 0 1 2 3 4 5 60 $&/ $))* $))+ $)) $)).1 $&+ $)) $)). $))2 $&$ $)$) $))+3 $&*/ $)$,4 $&,5

6

01I!2)3 01I!2)3 )**., )**$ )**.&

$))+&+ $))$/ $))+,+ 1E!EL45**$+8 **$+8 **$+8 **&++8 **.*8 1E!EL4**$+8 ))))8 ))))8 )+&)8 )$.8 1E!EL4

The drun-off triangle

p:


2/108


0 &')* +'&,)) +'+$$)) +'+)) +'+&.)) +'+./)) 4,456.00

1 &'&/, +'/.*)) +'/*/)) +',))) +',&))) 4,752.40 4,752.40

2 &',$ .'&+.)) .'&*)) .'+))) 5,40.07 5,455.7! 5,455.7! 3 +'&* .'*$,)) /')))) /')+/$. 0.00 0.00

4 +'** /',*+)) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5 .'$, 0.00 0.00 0.00 0.00 6

Development yearYear of origin 0 1 2 3 4 5 6

0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./ 4,456.00

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&) 4,752.40 4,752.40

2 &',$ .'&+. .'&* .'+) 5,40.07 5,455.7! 5,455.7!

3 +'&* .'*$, /')) 6,046.15 6,057.! 6,0!6.06 6,0!6.06

4 +'** /',*+ 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 .'$, 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

6

Development year


0 &')* $'$/& &* $, , $ "

1 &'&/, $'* &, + $) 22.40 "

2 &',$ $'+,+ .& 10.07 25.71 "

3 +'&* $'/, $)& 26.15 11.24 2!.6! "

4 +'** $'/. ### " " " "

5 .'$, (5,217.00) " " " " "6

Method 2 (using the proportionality factors p

1,i)

The incrementalrun-off triangle


3/108


Development year


0 $&/ $))* $))+ $)) $)). $)))1 $&+ $)) $)). $)) $)). $)))

2 $&$ $)$) $))+ $)) $)). $)))

3 $&*/ $)$, $))+ - 01I!2)3 01I!2)3

4 $&, - 01I!2)3 01I!2)3 01I!2)3 01I!2)35 - 01I!2)3 01I!2)3 01I!2)3 01I!2)3 01I!2)36


4/108


6ENT FACT4R7 6ENT RATI47

6ENT 5ERCENTA9E7


5/108



6/108



7/108


The %old& chain ladder method

Here the proportionality factors are the mean of empirical proportionality factors.



Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&)

2 &',$ .'&+. .'&* .'+)

3 +'&* .'*$, /'))

4 +'** /',*+

5 .'$,6

Development year



&'))) &'.)) +'))) +'.)) .'))) .'.))

+')))

+'.))

.')))

.'.))

/')))

/'.))

,')))

f(;# < $&$+*,&)$;f(;# < $+)&*.&); - *)&$),*$,*

+'))) +'.)) .'))) .'.)) /'))) /'.))

+'.)

+'+.)

+'/.)

+'.)

.').)

.'.)

.'+.)

.'/.)

.'.)

/').)

/'.)

f(;# < $)$$&.++;f(;# < $)+)+/$$*; - $+,/*,,&/&*,


8/108


Completion of the cumulative run-off triangle

Development year


0 &')* +'&,)) +'+$$)) +'+)) +'+&.)) +'+./)) 4,456.00

1 &'&/, +'/.*)) +'/*/)) +',))) +',&))) 4,752.40 4,752.40

2 &',$ .'&+.)) .'&*)) .'+))) 5,40.0 5,455.74 5,455.74

3 +'&* .'*$,)) /')))) /')+/$, 6,057.5 6,0!6.0 6,0!6.0

4 +'** /',*+)) 0.00 0.00 0.00 0.00

5 .'$, 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6

Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./ 4,456.00

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&) 4,752.40 4,752.402 &',$ .'&+. .'&* .'+) 5,40.0 5,455.74 5,455.74

3 +'&* .'*$, /')) 6,046.17 6,057.5 6,0!6.0 6,0!6.0

4 +'** /',*+ 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 .'$, 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6


0 &')* $'$/& &* $, , $ "

1 &'&/, $'* &, + $) 22.40 "

Method 1 (using the proportionality factors p i,i+1)

Method 2 (using the proportionality factors p1,i)



9/108


Development year


0 $&/ $))* $))+ $)) $)). $)))1 $&+ $)) $)). $)) $)). $)))

2 $&$ $)$) $))+ $)) $)). $)))

3 $&*/ $)$, $))+ $)) $)). $)))

4 $&, - 01I!2)3 01I!2)3 01I!2)3 01I!2)35 - 01I!2)3 01I!2)3 01I!2)3 01I!2)3 01I!2)36


10/108



11/108



12/108



13/108


The %old& chain ladder method

Here the proportionality factors are the mean of empirical proportionality factors.



Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&)

2 &',$ .'&+. .'&* .'+)

3 +'&* .'*$, /'))

4 +'** /',*+

5 .'$,

6

$&)*& $)$$+& $))+&+ $))$/ $))+,+


Development year


0 &')* +'&,)) +'+$$)) +'+)) +'+&.)) +'+./)) 4,456.00

1 &'&/, +'/.*)) +'/*/)) +',))) +',&))) 4,752.40 4,752.402 &',$ .'&+.)) .'&*)) .'+))) 5,40.07 5,455.7! 5,455.7! 3 +'&* .'*$,)) /')))) 6,046.15 6,057.! 6,0!6.06 6,0!6.06 4 +'** /',*+)) 6,!71.67 6,$01.52 6,$14.4 6,$47.0! 6,$47.0! 5 . $, 7 204 7 2!6 6$ 7 1! 4 7 1 $4 7 66 66 7 66 66

&')))

.')))

+')))

+'.))

.')))

.'.))

/')))

/'.))

,')))

f(;#


14/108


5RE6I>6

+.*$ +'+./))

+/, +',.+)

+/& .'+..,

.$,. /')/)/

./,& /'*+,)

/+&$ ,'&////

L477 RATI4 &.')/&**&$+).

$$$/.8

5RE6I>6) +'.*$ )) )

)))+,$& +'/, ) .)))/..* +'/& &$* &/))$).. .'$,. ./ /&)))&/ .'/,& $.) $+)) *$)* / +&$ $,/ / )*.


15/108





Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&)

2 &',$ .'&+. .'&* .'+)

3 +'&* .'*$, /'))

4 +'** /',*+

5 .'$,6

Development year


0 $&/ $))* $))+ $)) $)).1 $&,& $)) $)). $))

2 $&,/ $))* $))+

3 $& $)$$

4 $&$

5

6


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&.

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) 4,727


16/108


4

5

6

Development year


0 &')* +'&,

1 &'&/, 4,5!72

3

45

6

Development year


0 &')* 0REF3 0REF3 0REF3 0REF3 0REF3 #%&'

1 &'&/, 0REF3 0REF3 0REF3 0REF3 #%&' #%&'

2 &',$ 0REF3 0REF3 0REF3 #%&' #%&' #%&' 3 +'&* 0REF3 0REF3 #%&' #%&' #%&' #%&' 4 +'** 0REF3 #%&' #%&' #%&' #%&' #%&'

5revious esti%ation (?ithout an@ correction for @ear )#Development year


0 &')* 0REF3 0REF3 0REF3 0REF3 #%&' #%&'

1 &'&/, 0REF3 0REF3 0REF3 #%&' #%&' #%&' 2 &',$ 0REF3 0REF3 #%&' #%&' #%&' #%&' 3 +'&* 0REF3 #%&' #%&' #%&' #%&' #%&' 4 +'** 6,!11 6,!71.$7 6,$02.$1 6,$1.!2 6,$1.!2 6,$1.!2


17/108


Development year

Year of ori 0 1 2 3 4 5 6

0 &')* $'$/& &* $, , $

1 &'&/, $'* &, + $)

2 &',$ $'+,+ .&

3 +'&* $'/, $)&

4 +'** $'/.

5 .'$,6

Development yearYear of ori 0 1 2 3 4 5 6

0 &')* $'$/& &* $, ,

1 &'&/, $'* &, + 7


18/108


4

5

6

Development year

Year of ori 0 1 2 3 4 5 6

0 &')* $'$/&

1 &'&/, 1,2202

3

45

6

0REF30REF30REF3 #%&'


19/108


1ifference

&

(#

.)

$,

&,

1ifference

/


20/108



21/108

For%ation Caritat' ))

The chain ladder method' *verage co!t

Number of claims

Development year


0 $')+&+ $')+.. $')+,. $')+,, $')+,, $')+,,

1 $')+&) $'),$ $'), $')* $'),

2 */.$ */,* */, *,)$

3 *,,) *+, */

4 $')**) $'$$.

5 $'),/&6

$))&$/ $))$&* $)))* )****) $)))))

Development year


0 $')+& $')+..) $')+,.) $')+,,) $')+,,) $')+,,) 1,047.701 $')+& $'),$) $'),) $')*) $'),) 1,02!.70 1,02!.702 */. */,*) */,) *,)$) $70.01 $70.01 $70.013 *,, *+,) */) $!7.6! $!7.5! $!7.5! $!7.5! 4 $')** $'$$.) 1,120.06 1,121.05 1,120.$4 1,120.$4 1,120.$45 $'),/ 1,07$.70 1,0!1.20 1,0!2.16 1,0!2.06 1,0!2.06 1,0!2.066

Paid losses

Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&)


22/108


2 &',$ .'&+.)) .'&*)) .'+))) 5,40.07 5,455.7! 5,455.7!3 +'&* .'*$,)) /')))) 6,046.15 6,057.! 6,0!6.06 6,0!6.064 +'** /',*+)) 6,!71.67 6,$01.52 6,$14.4 6,$47.0! 6,$47.0!

5 .'$, 7,204. 7,2!6.6$ 7,1!.4 7,1.$4 7,66.66 7,66.666

Incurred losses

Development year


0 +'*,. +'/* +'+*, +'+,) +'+./ +'+./

1 .'$&. +'*+* +',& +',/) +',.)

2 .'/$ .'/&$ .'+* .'+,)3 /', /'$* /'$&$

4 ,'&/ ,'),

5 ,'&.&6

)*/*.. )*,/+/ )**.$& )**,+) $)))))

Development year


0 +'*,. +'/*)) +'+*,)) +'+,))) +'+./)) +'+./)) 4,456.001 .'$&. +'*+*)) +',&)) +',/))) +',.))) 4,750.00 4,750.002 .'/$ .'/&$)) .'+*)) .'+,))) 5,455.7! 5,455.7! 5,455.7!3 /', /'$*)) /'$&$)) 6,101.12 6,0!5.25 6,0!5.25 6,0!5.254 ,'&/ ,'),)) 6,$20.15 6,!!6.42 6,!6!.51 6,!6!.51 6,!6!.515 ,'&.& 7,12$.07 6,$61.2 6,$27.0 6,$0$.2$ 6,$0$.2$ 6,$0$.2$6

N>6BER A! C47T (I# A! C47T T4T C47 T4T C47 LATE7T RE7 (I#) $')+,,) +. +. ++./ ++./ +'+./ -$ $ ) ,) + / + / +,.) +,. + ,&) )


23/108


Development year

Year of ori 0 1 2 3 4 5 6

0 &) +$ +$ +& +& +.

1 && +.+ +./ +.* +/)

AERA!E Paid losses


24/108


2 +)$ .. .. ..* 5.60 5.62 5.62 3 +&+ /)$ /$) 6.12 6.1 6.16 6.16 4 ++ /), 6.14 6.16 6.17 6.20 6.20

5 +. 6.67 6.7 6.76 6.77 6.!0 6.!0 6

Development year

Year of ori 0 1 2 3 4 5 6

0 +,, ++& +* +, +. +.

1 +* + +/. +/& +/

2 .* . ./, ./+3 /+ /* /$

4 //, /&+

5 /&6

)*//$ )*,.&) )**+$ )**,.$ $)))))

Development yearYear of ori 0 1 2 3 4 5 6

0 +,, ++& +* +, +. +. 4.251 +* + +/. +/& +/ 4.62 4.62 2 .* . ./, ./+ 5.62 5.62 5.62 3 /+ /* /$ 6.1! 6.16 6.16 6.16 4 //, /&+ 6.1! 6.14 6.1 6.1 6.15 /& 6.60 6.44 6.40 6.! 6.! 6.! 6

RE7 (5# -

AERA!E Incurred losses


25/108


The chain ladder method' +ariant "

Estimation of the linear least s"uare parameters

Development year

Year of origin 0 1 2 3 4 5

0 $&/ $))* $))+ $)) $)).

1 $&+ $)) $)). $))

2 $&$ $)$) $))+

3 $&*/ $)$,

4 $&,5

6

Method 1 (using &cel functions)

colu%n )= )))++

$&,$+

colu%n $= ))),$))/*

colu%n = ))))$

$))+

colu%n &= )))).

$))$/colu%n += $ (no least square regression nee"e"#

Method 2 (using for*ulas)

colu%n )= n .)

10.0

The d-triangle

a)

)

a$

$

a

a&

&

xi


26/108


1.0

)

$)$)

)))).$))$/

colu%n += $))+, (no least square regression nee"e"#

Completion of the d-triangle

Method 1 (using &cel functions)

Development yearYear of origin 0 1 2 3 4 5

0 $&/+ $))* $))&* $))$/ $))+, $))))1 $&&, $)),* $)).$ $))$ 1.0047 $))))2 $&) $))** $))+$ 1.0027 1.0047 $))))3 $&*. $)$,+ 1.0046 1.002 1.0047 $))))4 $&,+ 1.0047 1.007 1.0047 $))))5 1.$4 1.0206 1.004! 1.004 1.0047 $))))

6

Method 2 (using for*ulas)

Development year


0 $&/+ $))* $))&* $))$/ $))+, $))))1 $&&, $)),* $)).$ $))$ 1.0047 $))))2 $&) $))** $))+$ 1.0027 1.0047 $))))

3 $&*. $)$,+ 1.0046 1.002 1.0047 $))))4 $&,+ 1.017$ 1.0047 1.007 1.0047 $))))5 1.$4 1.0206 1.004! 1.004 1.0047 $))))6

xi

yi

xiyi(x

i)

a&

&


27/108


6

Estimated Reserves

Year of origin #e!erve

) )$ +)& ,/+ -/',*+. '&)/

Total$ -4'350


28/108


6


29/108


6

6


30/108



31/108


The chain ladder method' +ariant ""

Development year


0 )*&) )*,$ )**+ )**, $)))

1 )*/+ )*// )**. )**

2 )**$ )*,. )**/

3 )* )**4 )*/,5

6

t-: 5

: )i

) $ )*&). )*&)+.$ )*/& $*,../ & )**$ *,&.*/& + )* &*.)/+ . )*/,+ +&/

)*,+,.&

t-: .

: $

i

Calculation of the #eighted average of each column $#i%&$ i'%'()*)

The d-triangle

alculation d0

?i)

"i)

?i)"

i)

")

alculation d1

? " ? "


32/108


i) + )**/* &*,+,$ . )**,* +**+*/

)**,++$

t-: : +

i) . $)))) .

$

Completion of the d-triangle

)*,+

)*,,

)**.

)**,+

$))))

". $))))

Development year


0 )*&) )*,$ )**+ )**, $))) $)))

1 )*/+ )*// )**. )** 1.000 $)))

2 )**$ )*,. )**/ 0.$$7 1.000 $)))

3 )* )** " 0.$$7 1.000 $)))

4 )*/, 0.$7! " 0.$$7 1.000 $)))

5 0.$75 0.$7! 0.$$7 1.000 $)))6

?i&

"i&

?i&"

i&

"&

alculation d4

?i+

"i+

?i$"

i+

"+

")

"$

"

"&

"+


33/108


6


34/108


Estimated Reserves


) )$ ) -$+& -/'))+ -/',*+. -.'$,

Total$ -1('045

F ti B k I


35/108


The chain ladder method' +ariant """

The logarithm of the cumulative run-off triangle.The cumulative run-off triangle

Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&)

2 &',$ .'&+. .'&* .'+)

3 +'&* .'*$, /'))

4 +'** /',*+5 .'$,6

ln%,umulative triangle&

Development year


0 ), & &* +) +) +)

1 $ +. +. +/ +/2 / . .* /)3 &. /* ,)4 .) 5 ./6

Estimation of the lineair least s"uare parameters

Method 1 (using &cel functions)colu%n )= )$)+/+*&

).)$*,)*

colu%n $= ) $$)//,&&

0

a)

1

Fortis Bank Insurance


36/108


Cost level ad%ustment of the incremental run-off triangle

The incremental run-off triangle

Development year


0 &')* $'$/& &* $, , $

1 &'&/, $'* &, + $)

2 &',$ $'+,+ .&

3 +'&* $'/, $)&

4 +'** $'/.

5 .'$,

6 -

n-%i& (n < /#Development year


0 .)) +)) &)) )) $)) )))1 +)) &)) )) $)) )))2 &)) )) $)) )))3 )) $)) )))4 $)) )))5 )))6

The /-run-off triangle

Development year


0 .'+$/$+ $'),* .&) )$ ,+, Err=.)+1 .'$$,** $')&$ +.. /.. $)))2 .'**/ $'++& .*)) ))3 .'/, $',/** $)&))4 . +, *, $ /. ))



37/108


colu*n 1

$n-: .

i

) $'),* &/+$.,$ & $')&$ .++*+ + $'++& ,&,,**& . $',/** *&+*+*+ / $'/.)) $$$*). , ))) )

, &,)$,.

$&,$)/+colu*n 2

n-: +

i

) & .&) $/$&*.&$ + +.. $&&**/ . .*)) *+**+,& / $)&)) /$+ , ))) )

. $.,,*

.)&$$.$colu*n

&n-: &

i ) + )$ &&&*,$ . /.. $&,/& / )) $&

i'01 ;Di'$ i'0 /i'1

;D$

i'2

;Di'

i'2

/i'2

;D

i'3;D

i'& i'3 /i'3



38/108


colu*n 6

/n-: )

i

) , ))) ), )

)

The completed +,-run-off triangle

Development year


0 .'+$/$+ $'),* .&) )$ ,+, Err=.)+ )))1 .'$$,** $')&$ +.. /.. $))) &rr504 0.00 2 .'**/ $'++& .*)) )) 5.41 &rr504 0.00 3 .'/, $',/** $)&)) 15.!2 5.41 &rr504 0.00 4 .'+,*, $'/.)) 50.1 15.!2 5.41 &rr504 0.00 5 .'$,)) 1,71.06 50.1 15.!2 5.41 &rr504 0.00 6

Reversion of the cost level ad%ustmenti-n

Development year


0 -.)) -+)) -&)) -)) -$)) )))1 -+)) -&)) -)) -$)) ))) $))2 -&)) -)) -$)) ))) $)) ))3 -)) -$)) ))) $)) )) &))

4 -$)) ))) $)) )) &)) +))5 ))) $)) )) &)) +)) .))6

i'6 ;Di'/ i'6 /i'6

;D/



39/108


Estimated Reserves


) Err=.)+

$ Err=.)+ Err=.)+& Err=.)++ Err=.)+. Err=.)+

Total$ rr$504



40/108

Corporate Actuarial Control

The chain ladder method' +ariant "+

The logarithm of the cumulative run-off triangle.The cumulative run-off triangle

Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&)

2 &',$ .'&+. .'&* .'+)

3 +'&* .'*$, /'))

4 +'** /',*+5 .'$,6

ln%,umulative triangle&

Development year


0 ), & &* +) +) +)

1 $ +. +. +/ +/2 / . .* /)3 &. /* ,)4 .) 5 ./6

Estimation of the lineair least s"uare parameters

Method 1 (using &cel functions)colu%n )= )$)+/+*&

).)$*,)*

l $ ) $$)//,&&

a)

)

a



41/108


5 ) Err=.)+su% .. Err=.)+

)$)+/+* Err=.)+ ,,.*)

)$$)//, Err=.)+ $,*,+

)$),,. Err=.)+ $))$/*)$)$),&* Err=.)+ ++.+&+

))/+&*,/ Err=.)+ $)//.$/

Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+su% Err=.)+

Cost level ad%ustment of the incremental run-off triangle


Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&)2 &',$ .'&+. .'&* .'+)

3 +'&* .'*$, /'))4 +'** /',*+5 .'$,6

n-%i& (n < .#Development year


0 . + & $ )1 + & $ )2 & $ )3 $ )

?.

5

0

'0

?)01

'1

?$1

2

'2

?2

3

3?

&3

4

'4

?+4

5

'5

?.5



42/108


colu*n 0

)n-: /

i

) $ Err=.)+ Err=.)+$ Err=.)+ Err=.)+ & Err=.)+ Err=.)+& + Err=.)+ Err=.)++ . Err=.)+ Err=.)+. / Err=.)+ Err=.)+/ , Err=.)+ Err=.)+

Err=.)+Err=.)+

colu*n 1

$n-: .

i

) Err=.)+ Err=.)+$ & Err=.)+ Err=.)+ + Err=.)+ Err=.)+& . Err=.)+ Err=.)++ / Err=.)+ Err=.)+. , Err=.)+ Err=.)+

, Err=.)+

Err=.)+colu*n 2

n-: +

i

) & Err=.)+ Err=.)+

i'0 ;Di') i'0 /i'0

;D)

i'01

;Di'$

i'0

/i'1

;D$

i'2

;Di'

i'2

/i'2

Fortis Bank InsuranceC t A t i l C t l


43/108


+n-:

i

) . Err=.)+ Err=.)+$ / Err=.)+ Err=.)+ , Err=.)+ Err=.)+

$ Err=.)+

Err=.)+colu*n 5

.n-: $

i

) / Err=.)+ Err=.)+$ , Err=.)+ Err=.)+

$& Err=.)+

Err=.)+colu*n 6

/

n-: )i

) , 0!AL>E3 0!AL>E3, 0!AL>E3

0!AL>E3

The completed +,-run-off triangle

Development year

Year of origin 0 1 2 3 4 5 60 Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ 0!AL>E31 Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ #-/&2 Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ &rr504 #-/&

i'4

;Di'+

i'4

/i'4

;D+

i'5 ;Di'. i'5 /i'5

;D.

i'6

;Di'/

i'6

/i'6

;D/

Fortis Bank InsuranceC t A t i l C t l


44/108


Development year


0 Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ 0!AL>E3

1 Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ #-/&2 Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ &rr504 #-/&3 Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ &rr504 &rr504 #-/& 4 Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ &rr504 &rr504 &rr504 #-/& 5 Err=.)+ Err=.)+ &rr504 &rr504 &rr504 &rr504 #-/& 6 Err=.)+ &rr504 &rr504 &rr504 &rr504 &rr504 #-/&

The completed cumulative run-off triangle


0 ')/)) Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+1 ')&$)) Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ &rr5042 '$/+)) Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ &rr504 &rr5043 '&))) Err=.)+ Err=.)+ Err=.)+ &rr504 &rr504 &rr5044 '+/)) Err=.)+ Err=.)+ &rr504 &rr504 &rr504 &rr5045 '/.$)) Err=.)+ &rr504 &rr504 &rr504 &rr504 &rr504

6 &')+)) &rr504 &rr504 &rr504 &rr504 &rr504 &rr504

Estimated Reserves


) ))$ Err=.)+ Err=.)+& Err=.)++ Err=.)+. Err=.)+/ Err=.)+

Total$ rr$504



45/108




The final lo!! run-off triangle

Development year


0 +'*,. +'/* +'+*, +'+,) +'+./ +'+./

1 .'$&. +'*+* +',& +',/) +',.)

2 .'/$ .'/&$ .'+* .'+,)

3 /', /'$* /'$&$4 ,'&/ ,'),

5 ,'&.&6

$)&$+ $)+$ $))+* $))/ $))))

)*/*.. )*,/+/ )**.$& )**,+) $))))) 1E!EL45


Development year


0 +'*,. +'/*)) +'+*,)) +'+,))) +'+./)) +'+./)) 4,456.00

1 .'$&. +'*+*)) +',&)) +',/))) +',.))) 4,750.00 4,750.00

2 .'/$ .'/&$)) .'+*)) .'+,))) 5,455.7! 5,455.7! 5,455.7!

3 /', /'$*)) /'$&$)) /'$)$$ 6,0!5.25 6,0!5.25 6,0!5.25 4 ,'&/ ,'),)) 6,$20.15 6,!!6.42 6,!6!.51 6,!6!.51 6,!6!.515 ,'&.& 7,12$.07 6,$61.2 6,$27.0 6,$0$.2$ 6,$0$.2$ 6,$0$.2$6

p:

Method 1 (using the proportionality factors pi,i+1

)



46/108



The final lo!! run-off triangle

Development year

Year of ori 0 1 2 3 4 5 6

0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&)

2 &',$ .'&+. .'&* .'+)

3 +'&* .'*$, /'))4 +'** /',*+

5 .'$,6

),+$ )*, )**., )**$ )**.&

6ENT FAC $&)*& $)$$+& $))+&+ $))$/ $))+,+ 1E!EL45


Development year

Year of ori 0 1 2 3 4 5 6

0 &')* +'&,)) +'+$$)) +'+)) +'+&.)) +'+./)) 4,456.00

1 &'&/, +'/.*)) +'/*/)) +',))) +',&))) 4,752.40 4,752.40

2 &',$ .'&+.)) .'&*)) .'+))) 5,40.07 5,455.7! 5,455.7!

3 +'&* .'*$,)) /')))) 6,046.15 6,057.! 6,0!6.06 6,0!6.064 +'** /',*+)) 6,!71.67 6,$01.52 6,$14.4 6,$47.0! 6,$47.0!5 .'$, 7,204. 7,2!6.6$ 7,1!.4 7,1.$4 7,66.66 7,66.66 6

p:

Method 1 (using the proportionality factors pi,i+1

)



47/108


6ENT FACT4R7



48/108


The +ylder! ea!t uare ethod.



Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&)

2 &',$ .'&+. .'&* .'+)

3 +'&* .'*$, /'))4 +'** /',*+

5 .'$,6

Development year

Year of origin 0 1 2 3 4 5 60 &')* $'$/& &* $, , $

1 &'&/, $'* &, + $)

2 &',$ $'+,+ .&

3 +'&* $'/, $)&

4 +'** $'/.

5 .'$,6

The regression "ataset ) $ & line colu%n L) L$ L L&

& )* ) ) $ ) ) )




49/108

p

tatistiues de la r3gression

Coefficient "e )**..+)&.

Coefficient " )**$$)).+)&Coefficient " )*)$))/

Erreur-t@pe +&*,+&,.+

4servations $

ANALG7E 1E !ARIANCE

egr3 de liert3 **e des carryenne des car ' aleur critiue de '

RHgression $) //*$&$ //*$&$ $$$&//&, /,+*E-))*

RHsi"us $) .*.&+,. .*.&+,.Total ) //+&///

oefficients &rreur"type tatistiue t roailit3 e pour seuil de c pour seuil de

Constante $/.. &,,../* ++/.+.,/ )))$). ++/+.&+$, .,))+//

L) -$//+. $))* -.,,/$/ ))))$,), -&)/,.&*,+ -$)*/)$

L$ -$/).. $))* -..,&/* ))))&/$& -+,,.&*,+ -*/&*/)$&

L -$+&. *)/,), -+*&*$. ))))/+/$ -),$+,/ -,,/$/,&

L& -$$/*. */&).,*$ -&*+)&/ ))),&* -$&))&.++ -.)*/$+..,L+ -/)., &)/)./ -$*//*, )),).,+ -$*&&$//. $*$//.

C) &.&$$,. $))* $./,/, &*&.E-)), *+/)$. +$,&$)&**

C$ $$).,. $))* &,)+&.+ )))&&&+*+ +/)/+/)$.,, $,++.)&**

C -$/$,. *)/,), -)../+/* ).*)$+, -)*+),,/$* +.*),,/

C& -$)) */&).,*$ -)&&,+*$ ),+,.$* -,/)$)++,. ./)$)++&

C+ -+ &)/)./ -)$&/)*.*+ )*+++/$ -,*/$//+ /+./$//

ANALG7E 1E7 R7I1>7 R5ARTITI4N 1E7 5R4BABILIT7



50/108

The incured proected run-off triangle

Development year

Year of origin 0 1 2 3 4 5 60 &'.. $'$+ ($+$# (,*# ($# $

1 &'/$$ $'$& (# ()# & )

2 &',*& $'&/. $)) $/ ) /

3 +')+, $'/$* &.+ +$/ +,+ .$/

4 +'/$$ '$& *$ *) $')& $'))

5 .'$, ', $'.+ $'./ $'/++ $'//6

&'.&$ $$).,. -$/$,. ($))# (+# -

Estimated Reserves


) )$ ) +&+ +)$,. *

Total$

#e!idual!

Development year


0 (&+ &* $) */ -1 (++# $)* $$* ++ (#2 , $)* (+,# ($+)#3 $* .* (.$#



51/108

+ ) $ & + .L+ C) C$ C C& C+ C.

) $ ) ) ) ) )



52/108

our seuil de c our seuil de confiance $5,08

++/+.&+ .,))+//

-&)/,.&** -$)*/)$

-+,,.&** -*/&*/)$&

-),$+,, -,,/$/,&

-$&))&.++ -.)*/$+..,-$*&&$//& $*$//.

*+/)$ +$,&$)&**

+/)/+/)$& $,++.)&**

-)*+),,/ +.*),,/

-,/)$)++& ./)$)++&

-,*/$// /+./$//



53/108

($'//.#

($'/)/#

($'++#

($'$,)#

(/)/#

-

$'//

FortisCorporate


54/108

The +ylder! ea!t uare ethod.

Estimation of the parameters

The triangle of the model


0

1

2

3

4

5

6


Development year


0 &')* $'$/& &* $, , $

1 &'&/, $'* &, + $)

2 &',$ $'+,+ .&

3 +'&* $'/, $)&

4 +'** $'/.

5 .'$,6

"teration

1. ).)))) )&)))) ))))) )$)))) )).))) ))+))) +*+ .&)& /)*) /*., *+2. )./,& )*&) ))$)&& )))&+ )))$// )))+$ ..,+ .* /,/, ,+.$ /$)3. ).,)/, )$$, )))*&+ )))&+. )))$+* )))&,, ../ .*) /,) ,+/& //4. ).,), )$,, )))*&& )))&++ )))$+* )))&,/ ../ .*)& /,) ,+/& //5. ).,), )$,,, )))*&& )))&++ )))$+* )))&,/ ../ .*)& /,) ,+/& //

))/.,re!caled ),),/, ),))) ))$$./ )))+, )))$+ )))+// +.). .+/ /)$* /*./ /+&.

The resulting parameters

) ,),/, + .). +,.$

p)7

)p

$7

)p

7

)p

&7

)p

+7

)p

.7

)p

/7

)

p)7

$p

$7

$p

7

$p

&7

$p

+7

$p

.7

$

p)7

p

$7

p

7

p

&7

p

+7

p)7

&p

$7

&p

7

&p

&7

&

p)7

+p

$7

+p

7

+

p)7

.p

$7

.

p)7

/

p0

p1

p2

p3

p4

p5

70

71

72

73

74

su% p:

p r 7 r

FortCorporat


55/108

),))) .'+/+,

))$$./ /')$*$.

)))+, /'*./)&)

)))$+ /'+&.&.&

)))+// ,'&,$&

The completed incremental run-off triangle

Development year


0 &'$&, $'$/+/ .$) $*+ &) $))1 &'/*/ $'+,/+, /&+ &&. $)), 25.4$2 +'.*.. $'/.$. /*/$ .,) 11.0$ 2!.06 3 +'*/, $',$. )++ 2$.70 12.!1 2.42 4 +'..+) $',&,. 74.42 27.4! 11.!5 0.00 5 .'$,)) 1,$$0.45 !5.25 1.4! 1.5! 4.6 6


Development year


0 &'$&, +'+)+& +'+./*+ +'+,/$ +'+++ +'.).+1 &'/*/ .'&+/&& .'+)*., .'+&* .'++** 5,46!.4!2 +'.*.. .'+,$ .'*.+&$ .'*)) 5,$$1.10 6,01$.163 +'*/, /')) /'$/ 6,$10.$7 6,$2.7! 6,$56.204 +'..+) /'*$/) 6,66.02 6,$.50 6,405.6 6,45.5 5 .'$,)) 7,207.45 7,2$2.70 7,24.1! 7,7.76 7,72.12 6

p1

r 71

r

p2

r 72

r

p3

r 73

r

p4

r 74

r

p5r 75

r



56/108

The linear *rithmetic eparation ethod



Development year


0

1

2

3

4

5

6


Development year

Year of origin 0 1 2 3 4 50 &')* $'$/& &* $, , $

1 &'&/, $'* &, + $)

2 &',$ $'+,+ .&

3 +'&* $'/, $)&

4 +'** $'/.

5 .'$,6

,'&))

In this e;a%ple the seperation %etho" starts fro% the non-cu%ulative triangle e assu%e therefotriangle that ?as given al?a@s has an esti%ate of one acci"ent at the en" of @ear )

r00

r11

r22

r33

r44

r55

r01

r12

r23

r34

r45

r02

r13

r24

r35

r03

r14

r25

r04

r15

r05

alculation of r5and

5

5



57/108

Estimation of the parameters corresponding to the future calender years.

) +'&*$ +'$./

$ +'/)/ +',.*

.'+) .'&/$

& .',*$ .'*/+

+ /',$) /'./,. ,'& ,'$,)

/ 7,77

, !,75

!,$7!

* $,5!1

$) 10,1!4

$$ 10,7!7$ 11,$0


58/108

6



59/108


Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&) 4,752 &',$ .'&+. .'&* .'+) 5,42$ 5,4543 +'&* .'*$, /')) 6,045 6,055 6,0!14 +'** /',*+ 6,!66 6,!$ 6,$04 6,$2 5 .'$, 7,1!0 7,25! 7,2!6 7,2$! 7,2! 6



60/108

6

6

re that the



61/108

,&)+*...$

)*,./



62/108



63/108

6



64/108

The linear *rithmetic eparation ethod



Development year


0

12

3

4

5

6


Development year


0 &')* $'$/& &* $, , $

1 &'&/, $'* &, + $)

2 &',$ $'+,+ .&

3 +'&* $'/, $)&

4 +'** $'/.

5 .'$,6

In this e;a%ple the seperation %etho" starts fro% the non-cu%ulative triangle e assu%e therefore thatthe triangle that ?as given al?a@s has an esti%ate of one acci"ent at the en" of @ear )

r00

r11

r22

r33

r44

r55

r01 r12 r23 r34 r45r02

r13

r24

r35

r03

r14

r25

r04

r15

r05

alculation of r and


E ti ti f th t di t th f t l d


65/108


) +'&*$ +//,).$&

$ +'/)/ +,+/$,,/

.'+) .,*/)*

& .',*$ .,*/*$.

+ /',$) /.&&))$&,

. ,'& ,/,$$$.

/ !0!.$4$2, !$$2.446

1000.05$$

* 11127.251

$) 1277.7!4!

$$ 176!.!5$2

$ 1516.26$1


66/108


Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&) 4,752 &',$ .'&+. .'&* .'+) 5,40 5,456 3 +'&* .'*$, /')) 6,046 6,057 6,0!6 4 +'** /',*+ 6,!6$ 6,!$! 6,$10 6,$42 5 .'$, 7,25$ 7,42 7,74 7,!! 7,4246



67/108

The inear 9eometric eparation ethod



Development year


0

1

2

3

4

5

6



0 &')* $'$/& &* $, , $

1 &'&/, $'* &, + $)

2 &',$ $'+,+ .&

3 +'&* $'/, $)&

4 +'** $'/.

5 .'$,

6

In this e;a%ple the seperation %etho" starts fro% the non-cu%ulative triangle e assu%e therefore that

the triangle that ?as given al?a@s has an esti%ate of one acci"ent at the en" of @ear )

r00

r11

r22

r33

r44

r55

r01

r12

r23

r34

r45

r02 r13 r24 r35r03

r14

r25

r04

r15

r05

alculation of r5and

5


Estimation of the parameters corresponding to the future calender years


68/108


) /$ .*/

$ ,$. ,$

,,& *

& . *+.

+ $)&, $)/$. $*$ $$,,

/ 12$.4

, 141.0

152.6

* 164.

$) 175.$

$$ 1!7.5

$ 1$$.2


69/108

6




70/108

The completed cumulative run off triangle

Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&) 4,7512 &',$ .'&+. .'&* .'+) 5,42$ 5,452 3 +'&* .'*$, /')) 6,046 6,056 6,0!14 +'** /',*+ 6,!65 6,!$4 6,$05 6,$15 .'$, 7,21 7,$$ 7,42$ 7,441 7,470 6


The /ponential 9eometric eparation ethod


71/108

The /ponential 9eometric eparation ethod



Development year


0

1

23

4

5

6


Development year

Year of origin 0 1 2 3 4 5 60 &')* $'$/& &* $, , $

1 &'&/, $'* &, + $)

2 &',$ $'+,+ .&

3 +'&* $'/, $)&

4 +'** $'/.

5 .'$,

6

$* $)

In this e;a%ple the seperation %etho" starts fro% the non-cu%ulative triangle e assu%e therefore thatthe triangle that ?as given al?a@s has an esti%ate of one acci"ent at the en" of @ear )

r00

r11

r22

r33

r44

r55

r01

r12

r23

r34

r45

r0

2

r1

3

r2

4

r3

5

r03

r14

r25

r04

r15

r05

alculation of r5and

5




72/108

p p g y

) /$ /&$+/

$ ,$. ,$./*

,,& $$$,

& . *$*&

+ $)&, $)+). $*$ $$$)&

/ 1.!57

, 151.714

171.$5

* 1$4.!$1

$) 220.!$0

$$ 250.56

$ 2!.754


73/108




74/108

Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&) 4,7522 &',$ .'&+. .'&* .'+) 5,40 5,4543 +'&* .'*$, /')) 6,047 6,05! 6,0!6 4 +'** /',*+ 6,!6! 6,!$! 6,$11 6,$42 5 .'$, 7,$4 7,477 7,512 7,526 7,562 6


The chain ladder method %ac: e!timation&


75/108




Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&)

2 &',$ .'&+. .'&* .'+)

3 +'&* .'*$, /'))

4 +'** /',*+

5 .'$,6

$&)*& $)$$+& $))+&+ $))$/ $))+,+$+$). $).& $)$)*, $))//) $))+,+ $)))))

!um! +'& ,'), )'.. $+'./ *'$/. +'+./ -$*'/$. ,'), )'.. $+'./ *'$/. +'+./ -

The d-triangle

Development year


0 $&/ $))* $))+ $)) $)).

1 $&+ $)) $)). $))2 $&$ $)$) $))+

3 $&*/ $)$,

p:


Reserve )))))$ )))))) )))))) )))))) ))))))


76/108

atri/ of !timation rror


77/108

1iagonal L1F Reserves >lti%ate 5roc 6ult 5roc 7"ev 5ara% 7"

+'+./ $))))) ) +'+./

+',&) $))+,+ +',. ))))$ )** ++8 )/,

.'+) $))//) &/ .'+./ )))), $ /)*8 $&

/')) $)$)*, // /')/ )))* +/ /++8 &

/',*+ $).& $.& /'*+, )$)../ ,) $,/*8 $$.

.'$, $+$). '$.) ,'&/, )+*+/ /)&/ $8 .,.

&'/&, '+,

//&+ ,&8 &+$/

++./ +,.&*, .+..,+ /)/)/. /*+,)+++./ )++&)& )+,/+ ).+/++ )/).&&& )/*)*,+,.&*, )+,/+ $.$)/+ $,+,+ $*++),* $*$$..+..,+ ).+/++ $,+,+ +**&& ..,)),+ /&.)*&/)/)/. )/).&&& $*++),* ..,)),+ $+)&$, $/)+/*+,)+ )/*)*, $*$$. /&.)*& $/)+ //&)),.



78/108



79/108

v Total 7"ev

*,8 $$* .&&8

&++8 .) /**8

&&8 +$ ,8

,,+8 *./ $*&$8

$)8 /./& &).8

$+$8 ,. &)8



80/108




81/108



Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./

1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&)

2 &',$ .'&+. .'&* .'+)

3 +'&* .'*$, /'))

4 +'** /',*+5 .'$,6

The (d-triangle

Development year


0 ),&+ )**$ )**/ )** )**.

1 ),& )** )**. )**2 ),+ )**) )**/

3 ),$/ )*&

4 ),.5

6

%e"ian ),+ )**$ )**/ )** )**.

The (d-triangle

Development year



82/108

Fortis Bank InsuranceCoporate Actuarial Control

,hri!tophide! linear model

The incremental run off triangle


83/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre#

Christophi"es (lin regr# &


Development year


0 &')* $'$/& &* $, , $1 &'&/, $'* &, + $)

2 &',$ $'+,+ .&

3 +'&* $'/, $)&

4 +'** $'/.

5 .'$,6

og %incremental run-off triangle

Development year


0 ), ,)/ &// & $*. &)+1 $ ,$/ &/$ &$ &)2 / ,&) &*, &)*3 &. ,+& +/&4 .) ,.&5 ./6


) $ & + . $ & + .

Gear of origin 1evelop%ent @ear 5i: Gi: a) a$ a a& a+ a. $ & + .


84/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# +

) ) &')* ),+ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) $ $'$/& ,).* 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

) &* &//+ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0) & $, && 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0) + , $*+/ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0) . $ &)+. 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1$ ) &'&/, $ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0$ $ $'* ,$/+ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0$ &, &/$$ 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0$ & + &$, 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0$ + $) &)& 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ) &',$ /$ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

$ $'+,+ ,*/ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 .& &*,) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 & &)*$ 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0& ) +'&* &. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0& $ $'/, ,+. 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0& $)& +/&. 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0+ ) +'** .)& 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0+ $ $'/. ,.&$ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0. ) .'$, ./) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0


RA554RT 1TAILL

tatistiues de la r3gression

Coefficient "e " )**,.$&,


85/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life

(E !an "en Borre#Christophi"es (lin regr# .

Coefficient "e " )**,+.&.$Coefficient "e " )*+*)/.)

Erreur-t@pe )$,.,*,4servations $

ANALG7E 1E !ARIANCEegr3 de liert3 *e des ca nne des c ' ur critiue de '

RHgression $$ $)&+) $)*+)) &*$/., $E-)$)RHsi"us $) )&),.* ))&),/Total $ $)/+,.

oefficients &rreur"type tatistiue roailit ur seuil d our seuil ur seuil de our seuil de confiance $5,08

Constante .))/+..+ )$&.,,, //),$ &E-)$+ $*$$ )&$,, $*$$. )&$,/**a) -)..&.)&,&& )$./&, -&.+ ))).&& -)*)$/+ -)).+ -)*)$/& -)).+)/a$ -)&*&)*.,, )$./&, -.$/) ))&)/ -),+$$ -))++* -),+$$+ -))++*,a -)$,$//* )$./,/ -$,,.+ )$)/$ -)/&., )),$&/ -)/&./* )),$&/),a& ))&/&,/&/$ )$/&*/, )+//. )/,/ -)&. )+)$,* -)&.)& )+)$,/.a+ ) ) /..&. 0N>63 ) ) ) )a. )).*)&$*$,/ )$,+ )//+$ ),*.+/ -)+&. )..&)/& -)+&+*** )..&)/&$+$ -)*/,&+)& )$$)/ -,/)& .E-))/ -$$++ -),)&, -$$++ -),)&/+ -+&*/*., )$))* -&.)& *E-)$ -+.)) -&*/&, -+.)),/ -&*/&,$& -.).,)*+$$ )$&+$*, -&,/+ +E-)$ -.&./$$ -+,.)* -.&./$) -+,.)*&+ -.*)&)*)$*$, )$./&, -&,,* +E-)$ -/.$$ -...+*, -/.$) -...+*,+

. -+*)/)&),++ ))/** -&/. +E-)$) -.&/&$ -+++$+ -.&/&)* -+++$&*,

ANALG7E 1E7 R7I1>7

9ser:ation r3:isions ?i@ %3sidus


$ ,*+,$..$$ )$/.* /*,*,+$+)$ )),*)$,& &,$+./+ -)).)//,+ *)),)*+ -))./$+


86/108


(E !an "en Borre#Christophi"es (lin regr# /

. )++)&.&)+ -))*$./ &)++.+&,, -+E-)$/

, $),..)$$&+ ))$+, ,$+)$//)$+ ))&,$* &,+/.&$,, -)/&,&.

$) &).)+.$/*.& )$,/)$$ )++.**$, ))*$.$ $**./. ))+&&*$& ,.$.+.+. ))++$*$+ &*/)&,) -))$.,+$. &$/$&)&+ -)),),$/ .&,+&.$. -)$.+)$$, ,.,))**+*+ -)$++,+

$ +&)+./.&., )&&)$+$* .))/+..+ )))+/) ,.&&/$.&+ -)))+/$ ..*/,,)& )


,alculation of the variance-covariance matri/

The future design matri+

) $ & + . $ & + .


87/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre#

Christophi"es (lin regr# ,

Gear of origin i 1evelop%ent @ear :

$ . 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

+ 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

& & 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

& + 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

& . 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

+ & 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

+ + 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

+ . 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

. 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

. & 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

. + 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

. . 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

5i: a) a$ a a& a+ a. & + .ln(K

$'.

#

ln(K'+#

ln(K'.#

ln(K+'

ln(K+'+#

ln(K+'.#

ln(K+'&

#

ln(K+'+#

ln(K+'.

#

ln(K.'#

ln(K.'

ln(K.'+#

ln(K.'.#


1 2 4 5 6 7 ! $ 10

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1

2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 0 0 0 1

4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0

>?


88/108


(E !an "en Borre#

Christophi"es (lin regr#

4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0

5 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0

6 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

7 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0

! 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

$ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

10 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0

11 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0

12 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

14 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

>?


89/108


(E !an "en Borre#

Christophi"es (lin regr# *

4 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

! 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0

$ 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0

10 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

1 2 4 5 6 7 ! $ 10

%>>&? 1 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0002 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0004 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0005 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0006 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0007 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000! 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000$ 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000

10 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000

1 2 4 5 6 7 ! $ 10

1 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0002 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0004 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0005 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0006 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0007 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000

%>T>&-1?


! 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000$ 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000

10 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000


90/108


(E !an "en Borre#

Christophi"es (lin regr# *)


1 2 4 5 6 7 ! $ 10

1 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0002 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0004 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000

> %>>&-1?


91/108


(E !an "en Borre#

Christophi"es (lin regr# *$

4 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0005 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000

6 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0007 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000! 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000$ 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000

10 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 00011 #-/& #-/& ### ### #-/& #-/& #-/& 000 000 00012 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0001 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 00014 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 00015 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000


1 2 4 5 6 7 ! $ 10 11 12 1 14 15

1 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 0002 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 0004 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 000

> %>>&-1>?


92/108


(E !an "en Borre#

Christophi"es (lin regr# *

5 0!AL>E3 #-/& ### ### #-/& #-/& 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 000

6 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 0007 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 000! 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 000$ 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 000

10 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 00011 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 00012 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 0001 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 00014 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 00015 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 0!AL>E3 0!AL>E3 000 000 000 000 000 000 000 000

0.00725!7!7(result of the regression anal@sis#2


@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

2> %>T >&-1>?


93/108


(E !an "en Borre#

Christophi"es (lin regr# *&

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

@+*AB @+*AB @@@ @@@ @+*AB @+*AB @+*AB @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@ @@@

) $ & + . $ & +.))/+.* -$ ) ) ) ) )$ -$ -+ -. -/


i Constante a) a$ a a& a+ a. $ & +$ . &) 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) + & 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) ) ) ) ) -/ . && 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) ) ) ) ) )& & &+ 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) ) ) ) -. )

Yi':

var%Yi':# %/

i':# var%/

i':# (x

i,j)


94/108


(E !an "en Borre#Christophi"es (lin regr# *+

& & & 0 > 000 000 0 > .))/ .* ) ) ) ) ) ) ) ) . )& + /& 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) ) ) ) ) -/

& . &/& 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) ) ) ) ) )+ +, 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) ) ) -+ ) )+ & &++ 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) ) ) ) -. )+ + /) 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) ) ) ) ) -/+ . &/) 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). $ ,.* 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) )$ -$ ) ) ). +&& 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) )$ ) -+ ) ). & &.) 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) )$ ) ) -. ). + // 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) )$ ) ) ) -/. . &// 0!AL>E3 000 000 0!AL>E3 .))/+.* ) ) ) ) ) )$ ) ) ) )


The completed incremental run-off triangle

Development year


0

&')* $'$/& &* $, , $

1 &'&/, $'* &, + $) #-/&


95/108


(E !an "en Borre#

Christophi"es (lin regr# *.

2 &',$ $'+,+ .& ### #-/&

3 +'&* $'/, $)& ### ### #-/& 4 +'** $'/. #-/& ### ### #-/& 5 .'$, #-/& #-/& ### ### #-/& 6


Development year


0 &')* +'&, +'+$$ +'+ +'+&. +'+./1 &'&/, +'/.* +'/*/ +',) +',&) #-/&

2 &',$ .'&+. .'&* .'+) ### #-/&3 +'&* .'*$, /')) ### ### #-/& 4 +'** /',*+ #-/& ### ### #-/& 5 .'$, #-/& #-/& ### ### #-/& 6



96/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# */



97/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# *,



98/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# *



99/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# **



100/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# $))



101/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# $)$



102/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# $)



103/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# $)&



104/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# $)+



105/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# $).



106/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# $)/

.-.


.-.)

-.)).


107/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# $),

-.)))

-.))))

-.



108/108

Loss Reserving Techniques in Non-Life(E !an "en Borre# Christophi"es (lin regr# $)

chain ladder excel caritat

Documents