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折り紙でひらめく補助線の幾何加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校)
第56回数学教育実践研究会2006年 1月 28日於:ニッセイMKビル
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はじめに (お読みいただければ‥‥)数学セミナー(日本評論社)2006年1月号より特 集:代数方程式とガロア理論 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ものさしとコンパスとおりがみ小特集:折り紙 ・折り紙の科学 ・折り紙による曲面近似 ・ピタゴラスの三角形と折り紙 (一昨年の私のレポートと同テーマですが
証明等がスマートです)エレガントな解答求む
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はじめに
実験:3角形の内角の和=180◦=以下、資料を参照してご覧ください=
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実験:3角形の内角の和=180◦
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実験:3角形の内角の和=180◦1©
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実験:3角形の内角の和=180◦2©
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実験:3角形の内角の和=180◦3©
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実験:3角形の内角の和=180◦4©
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目次 (私の持ちネタ) ★印今回のテーマ
1© 折り方の基本2© 折り線の数理★3© 三角形の五心4© 規格用紙の数理5© 正多角形を折る6© 折り紙のパズル★7© 多面体をつくる8© 立体の切断9© 紙を切る10© 折り紙と方程式
1© 折鶴の幾何2© 任意角の3等分3© 三角形の作図★4© 三等分物語5© 図形の移動★6© なわばりの幾何7© 平面幾何について★8© 折り紙と入試問題9© 整角四角形問題★10© 関連図書の紹介★
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折り線の数理角の二等分線(今回)
紙コップの秘密折り線の秘密
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角の二等分線の性質 資料 P18 参照
◦◦A B
C角を2等分する折り目をつけ
ることは折り紙では煩雑に用いられます。
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
BAとBCを合わせて折る
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角の二等分線の性質 資料 P18 参照
◦◦A B
C
D
角Aの2等分とBCの交点をDとすると、
AD : DC = BA : BC
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
この性質を折り紙で説明(証明)してみます
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角の二等分線の性質 資料 P18 参照
◦◦A B
C
D
角Aの2等分とBCの交点をDとすると、
AD : DC = BA : BC
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
頂点Bが点Dに重なるように折る。
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角の二等分線の性質 資料 P18 参照
◦◦
◦◦
A B
C
D E
F
AD : DC = BA : BC
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
頂点Bが点Dに重なるように折る。四角形DEBFは菱形DE // AB, FD // BC
4CDE∽4DAF∽4CAB
ED = FD であるからAD : DC = FA : ED
= FA : FD = BA : BC
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外角の二等分線 資料 P18 参照
内角と同様に‥(イメージで折る!)
AD : DC = BA : BC
◦◦
C
A B
D
F
◦◦E
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三角形の作図三角形の作図(1)(今回)
三角形の作図(2)ピタゴラス三角形
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数学セミナー2005年1月号より
三角形の作図問題
一辺aの正方形用紙で三辺がa, b, c(> 0)と
なる三角形を折って作図して下さい。
ただし、三辺は次の条件を満たします。
a = b = c, a < b + c
もちろん証明も添えて下さい。
資料 P23 参照16
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A
B C
D
a
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A
B C
D
E F
G H
b
a
c
18
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B C
E F
G H
|
|
I
◦
◦b
a
c
19
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A
B C
D
E F
G H
I
J
b
a
c
20
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A
B C
D
G H
I
J
G′
||
||
b
a
c
21
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A
B C
D
E F
I
J
F′
||
||
b
a
c
22
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B CI
K
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折り紙のパズル折り紙のパズル折り紙分度器正方形の分割(今回)
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数学セミナー2006年1月号より
正方形の分割 正方形を6本の直線で分割してください。折り紙の幾何ですか
ら、6回折るということです。このとき以下の条件を満たすには、どのような折り筋をつければよいでしょうか。1) できた三角形、四角形の面積が、初めの正方形の面積を1とすると自然数のみで表記できる分数になる。
2) また、合同なものが、それぞれ4つずつできる(つまり折り筋が点対称になる)。
3) 最小の三角形の面積は 180になるので、切り離してつなぎ直す
ことで、 180から 79
80の面積を作ることができる。
以上の条件は答えのヒントにもなっています。
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数学セミナー2006年1月号より
正方形の分割
省 略2006年4月号を参照して下さい
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平面幾何について
高校での代数的な表現方法に出会う前に
図形そのものの
平行移動、対称移動、回転移動等にどれだけ生徒はなじんでいるだろうか?
図形を鑑賞する、鑑賞する目を養うことの重要性
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平面幾何について
平面幾何:探偵小説と同じ「幾何学再発見」瀬山士郎先生
同感!一見何の関係もなさそうな点・線が
補助線を引くことによってその関係が浮かび上がる。
まさに、「点と線」(松本清張)の世界
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平面幾何について
小学生:対称性を基本に、正三角形、二等辺三角形、円等中・(高校)生:それに、
内心・外心、相似形等を加える
入試で受験生が自分で補助線を引くことはない(ある予備校講師)
与えられる?発見する喜び⇐⇒ 与えられた補助線は楽しくない
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平面幾何について
補助線感覚を養う(練習)を折り紙の発想(筋肉作業?)で!
折り紙の数理や発想を通して幾何を楽しんでみましょう!
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![Page 32: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/32.jpg)
図形の移動「切り取り」と「折り返し」の移動 (今回)
対称移動(今回)
対称移動(折り返し) (今回)
切り取り移動
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「折り返し」と「切り取り」移動問 三角形ABCがあり、ABとCDの長さが等しく、∠CABが
30◦、∠ABCが40◦のとき、∠CDAをもとめなさい。(算数オリンピック1993年決勝問4) 資料 P4 参照✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
A
B C D
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模範解答
A
B C D
E
||
||
AB = CD
∠CAB = 30◦
∠ABC = 40◦
∠CDA =?
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
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解答2
A
BC
DE
||
40◦
30◦
AB = CD
∠CAB = 30◦
∠ABC = 40◦
∠CDA =?
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
34
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解答3
A
B C D
||
||40◦
30◦
AB = CD
∠CAB = 30◦
∠ABC = 40◦
∠CDA =?
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
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解答3
A
B C D
E
||
||
||
40◦
30◦
AB = CD
∠CAB = 30◦
∠ABC = 40◦
∠CDA =?
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解答3
A
B C D
E
F||
||
||
40◦
40◦
30◦30◦
AB = CD
∠CAB = 30◦
∠ABC = 40◦
∠CDA =?
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
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解答3
A
B C D
E
F||
||
||
40◦
40◦
30◦30◦
AB = CD
∠CAB = 30◦
∠ABC = 40◦
∠CDA =?
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
38
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対称移動
PQ
RS
39
![Page 41: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/41.jpg)
対称移動
PQ
RS
40
![Page 42: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/42.jpg)
対称移動
PQ
RS
41
![Page 43: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/43.jpg)
対称移動
PQ
RS
42
![Page 44: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/44.jpg)
対称移動
43
![Page 45: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/45.jpg)
対称移動
44
![Page 46: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/46.jpg)
対称移動
45
![Page 47: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/47.jpg)
対称移動
46
![Page 48: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/48.jpg)
対称移動
四角形PQRSを写しとって開きます
O
47
![Page 49: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/49.jpg)
対称移動
PQ
RS
O
48
![Page 50: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/50.jpg)
折り返し(1)
A B
49
![Page 51: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/51.jpg)
折り返し(1)
A B
50
![Page 52: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/52.jpg)
折り返し(1)
|
|
||
||
◦
◦
A B
C
B′
E
51
![Page 53: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/53.jpg)
例えばABの垂直2等分線に対して‥
| |A B
52
![Page 54: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/54.jpg)
例えばABの垂直2等分線に対して‥
| |A B
B′
53
![Page 55: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/55.jpg)
折り返し(2)
54
![Page 56: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/56.jpg)
折り返し(2)
••|
|
||
||
◦
◦55
![Page 57: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/57.jpg)
折り返し(3)
56
![Page 58: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/58.jpg)
折り返し(3)
••
|
|
||
||
◦◦
57
![Page 59: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/59.jpg)
折り返し(4)
| |
||||
58
![Page 60: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/60.jpg)
折り返し(4)
• •| |
||||
59
![Page 61: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/61.jpg)
整角四角形問題整角四角形問題(清宮氏)
整角四角形問題(池野氏)
角度の問題既知の問題を利用してラングレイの問題いろいろな解法(資料P14-16 参照)
60
![Page 62: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/62.jpg)
例1:整角四角形 直角2等辺三角形ABCについて
||
||
A
B C
D
E
AB = AC,
BD = BC,
AD // BC のとき、CD = CEを示せ✜✜✜✜
資料 P19 参照61
![Page 63: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/63.jpg)
例1:整角四角形 直角2等辺三角形ABCについて
||
||
A
B C
D
E
D′||
AB = AC,
BD = BC,
AD // BC のとき、CD = CEを示せ
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
4ABDをABで折り返す。
資料 P19 参照62
![Page 64: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/64.jpg)
例1:整角四角形 直角2等辺三角形ABCについて
||
||
A
B C
D
E
D′||
AB = AC,
BD = BC,
AD // BC のとき、CD = CEを示せ
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
4ABDをABで折り返す。
4BD′Cは正三角形
資料 P19 参照63
![Page 65: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/65.jpg)
例1:整角四角形 直角2等辺三角形ABCについて
||
||
A
B C
D
E
D′||
AB = AC,
BD = BC,
AD // BC のとき、CD = CEを示せ
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
4ABDをABで折り返す。
4BD′Cは正三角形Bは4CDD′の外心
資料 P19 参照64
![Page 66: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/66.jpg)
例1:整角四角形 直角2等辺三角形ABCについて
||
||
A
B C
D
E
D′||
AB = AC,
BD = BC,
AD // BC のとき、CD = CEを示せ
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
4ABDをABで折り返す。
4BD′Cは正三角形Bは4CDD′の外心
ED⊥ CD′
CD = CE
65
![Page 67: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/67.jpg)
例2:整角四角形 直角2等辺三角形ABCについて
||
||
A
B C
D
E
AB = AC,
BD = BC,
AD // BC のとき、CD = CEを示せ
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
資料 P19 参照66
![Page 68: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/68.jpg)
例2:整角四角形 直角2等辺三角形ABCについて
D′
||
||
||
A
B C
D
E
AB = AC,
BD = BC,
AD // BC のとき、CD = CEを示せ
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
4BDCをBCで折り返す。
資料 P19 参照
67
![Page 69: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/69.jpg)
例2:整角四角形 直角2等辺三角形ABCについて
D′
||||
||
|
| |
|
|
A
B C
D
E
AB = AC,
BD = BC,
AD // BC のとき、CD = CEを示せ
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
4BDCをBCで折り返す。
4DBD′は正三角形· · · · · ·
資料 P19 参照
68
![Page 70: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/70.jpg)
例2:整角四角形 直角2等辺三角形ABCについて
しかし!他にも補助線のヒントが!そのヒントになる正三角形を折り紙で折ってみましょう
69
![Page 71: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/71.jpg)
正三角形の作図
A B
CD
一辺aの正方形用紙で三辺がaとなる正三角形を折って作図して下さい。✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
70
![Page 72: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/72.jpg)
正三角形の作図
A B
CD
一辺aの正方形用紙で三辺がaとなる正三角形を折って作図して下さい。✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
図のように半分に折ります
71
![Page 73: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/73.jpg)
正三角形の作図
A B
CD
P 一辺aの正方形用紙で三辺がaとなる正三角形を折って作図して下さい。✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
図のように半分に折りますAを軸にDがこの折り目上(P)にのるように折る
72
![Page 74: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/74.jpg)
正三角形の作図
A B
CD
P
一辺aの正方形用紙で三辺がaとなる正三角形を折って作図して下さい。✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
図のように半分に折りますAを軸にDがこの折り目上(P)にのるように折るBも同様4APBは正三角形そこで‥‥
73
![Page 75: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/75.jpg)
整角四角形
A B
CD
P 正方形の対角線を引くとこの中に先程の四角形が潜んでいます
||
||
74
![Page 76: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/76.jpg)
整角四角形
A B
CD
P✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
正方形の対角線を引くとこの中に先程の四角形が潜んでいます
||
||
そこで‥‥
75
![Page 77: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/77.jpg)
例3:整角四角形 直角2等辺三角形ABCについて
||
||
A
B C
D
E
F
AB = AC,
BD = BC,
AD // BC のとき、CD = CEを示せ
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
補助線をこのように引くと‥たちどころに
∠CED = ∠CDE
資料 P13 参照
76
![Page 78: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/78.jpg)
その他
A B
CD
P
F
E
O G
この折り図の構造の一部はパズル等としても多くの本に出題されています。(資料 P13 参照)
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
77
![Page 79: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/79.jpg)
例えば‥
A B
CD
P 正方形ABCDの内部に∠PDC = ∠PCD = 15◦
となるように点Pをとり、図のように結びます。すると、∠APBは何度になるか。✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
資料 P13 参照
78
![Page 80: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/80.jpg)
整角四角形問題(数学セミナー1984.8 池野信一氏)
A B
CD
θ4θ3
θ5
θ6θ8
θ1θ2
θ7
θ1 + θ2 + θ3 + θ8 = 180◦
θ2 + θ3 + θ4 + θ5 = 180◦
θ6 + θ7 = θ2 + θ3 資料 P14 参照
sin θ1 sin θ3 sin θ5 sin θ7 = sin θ2 sin θ4 sin θ6 sin θ8
79
![Page 81: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/81.jpg)
整角四角形問題(数学セミナー1984.8 池野信一氏)
整角四角形問題とは
θ1~θ8の8つの角のうち、
いくつかが与えられたり
あるいは
角の間の関係式が与えられたとき、
残りの角を求める問題(これら8つの角の比は整数比)
80
![Page 82: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/82.jpg)
整角四角形問題(数学セミナー1984.8 池野信一氏)
マイコンを使用して、180◦
nを単位として、
n = 8~n = 36(nは偶数)
について、すべての場合を調べあげた。
その結果、
81
![Page 83: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/83.jpg)
整角四角形問題(数学セミナー1984.8 池野信一氏)
例えば、n = 18(10◦単位)の場合について総数 724個A型(円に内接するもの) 372
B型(対称型) 152(A型100個を含む)
C型(1頂点が残りの3点でできる三角形の外心) 48
D型(1頂点が残りの3点でできる三角形の傍心) 48
E型(正三角形と2つの2等辺三角形) 24
(C、D型共通なもの 12個を含む)
A,B型を除くと300個
資料 P22 参照82
![Page 84: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/84.jpg)
整角四角形問題(数学セミナー1984.8 池野信一氏)
A B
CD
θ4θ3
x
θ1θ2
この300個の問題を「折り返し」で解いてみました
83
![Page 85: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/85.jpg)
整角四角形問題その結果は、
➀ 辺を対称軸として折り返す およそ50題➁ 対角線を対称軸として折り返す およそ125題➂ 辺の2等分線を折る(外心を含む) およそ50題➃ 角の2等分線を折る 数題(ただし、全て他のパターンで解ける)
➄ 補助線不要 48題(1頂点が他の3頂点でできる3角形の外心である場合)
➅ 不可能 26題(ただし、上記1~3の折り返しで既知の問題に変換できる)資料 P17 参照
84
![Page 86: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/86.jpg)
角度の問題(具体例)A
B C
D
b◦a◦
c◦
d◦
x◦
➀ 40, 30, 80, 20
外心・合同➁ 10, 10, 40, 110
内接・内心➂ 40, 60, 30, 70
内接・外心➃ 10, 20, 40, 40
内心・合同➄ 20, 30, 70, 40
4通り
85
![Page 87: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/87.jpg)
20◦, 60◦, 50◦, 30◦✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
資料 P20 参照
86
![Page 88: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/88.jpg)
A
B C
D
30◦40◦
80◦
20◦
x◦
40◦, 30◦, 80◦, 20◦
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
87
![Page 89: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/89.jpg)
A
B C
D
30◦40◦
80◦
20◦
x◦
C′
|
|
||
|| ||
40◦, 30◦, 80◦, 20◦
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
BDに関して4BCDを対称移動
4BCC′は正三角形
88
![Page 90: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/90.jpg)
A
B C
D
30◦40◦
80◦
20◦
x◦
C′
|
|
||
|| ||
40◦, 30◦, 80◦, 20◦
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
BDに関して4BCDを対称移動
4BCC′は正三角形C′は4ABCの外心
89
![Page 91: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/91.jpg)
A
B C
D
30◦40◦
80◦
20◦
x◦
C′
|
|
||
|| ||||
40◦, 30◦, 80◦, 20◦
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
BDに関して4BCDを対称移動
4BCC′は正三角形C′は4ABCの外心
C′A を結ぶ
90
![Page 92: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/92.jpg)
A
B C
D
30◦40◦
80◦
20◦
x◦
C′
|
|
||
|| ||||
|||
|||
40◦, 30◦, 80◦, 20◦
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
BDに関して4BCDを対称移動
4BCC′は正三角形C′は4ABCの外心
C′A を結ぶ4DC′B≡ 4DC′A∠ADB = 50◦ × 2
= 100◦
91
![Page 93: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/93.jpg)
10◦, 10◦, 40◦, 110◦✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
92
![Page 94: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/94.jpg)
整角四角形= 10◦, 10◦, 40◦, 110◦
A
B C
D
10◦10◦
40◦110◦
x◦
93
![Page 95: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/95.jpg)
ACに関して4ABCを対称移動
A
B C
D
10◦10◦
40◦110◦
x◦
B′
94
![Page 96: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/96.jpg)
B′AとBDの交点をN:4ABCの内心
A
B C
D
10◦10◦
40◦110◦
x◦
B′
N
95
![Page 97: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/97.jpg)
CN ,DB′:四角形B′NCD は円に内接
A
B C
D
10◦10◦
40◦110◦
x◦
B′
N
96
![Page 98: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/98.jpg)
∠NDB’ = ∠NCB′ = 60◦ = ∠NAC
A
B C
D
10◦10◦
40◦110◦
x◦
B′
N
97
![Page 99: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/99.jpg)
四角形B′AOD は円に内接
A
B C
D
10◦10◦
40◦110◦
x◦
B′
ON
98
![Page 100: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/100.jpg)
40◦, 60◦, 30◦, 70◦✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
99
![Page 101: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/101.jpg)
A
B C
D
60◦40◦
30◦70◦
x◦
B′
N
M
40◦, 60◦, 30◦, 70◦
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
ACに関して4ABCを対称移動
BAとCB′の交点をN
NとDを結ぶ四角形BNDC は円に内接
Nは4AB′Dの外心x = 10◦
100
![Page 102: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/102.jpg)
10◦, 20◦, 40◦, 40◦✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
101
![Page 103: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/103.jpg)
整角四角形= 10◦, 20◦, 40◦, 40◦
A
B C
D
20◦10◦
40◦40◦
x◦
A′
E
BDに関して4ABDを対称移動
Aの対称点をA′
A′は4EBCの内心4DBA′≡ 4CBA′
∠ADB = ∠A′DB
x = 20◦
102
![Page 104: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/104.jpg)
20◦, 30◦, 70◦, 40◦✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
103
![Page 105: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/105.jpg)
整角四角形= 20◦,30◦,70◦,40◦A
B C
D
30◦20◦
70◦40◦
x◦
(その1)✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
資料 P9 参照
104
![Page 106: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/106.jpg)
整角四角形= 20◦,30◦,70◦,40◦A
B C
D
30◦20◦
70◦40◦
x◦
E
(その1)✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
4BDCをBCで折り返す
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
105
![Page 107: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/107.jpg)
整角四角形= 20◦,30◦,70◦,40◦A
B C
D
30◦20◦
70◦40◦
x◦
資料 P9 参照
(その2)✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
106
![Page 108: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/108.jpg)
整角四角形= 20◦,30◦,70◦,40◦A
B C
D
30◦20◦
70◦40◦
x◦
資料 P9 参照
(その2)✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
4BCDについてBCの垂直2等分線で折り
返す✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
107
![Page 109: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/109.jpg)
整角四角形= 20◦,30◦,70◦,40◦A
B C
D
30◦20◦
70◦40◦
x◦
O
資料 P9 参照
(その2)✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
4BCDについてBCの垂直2等分線で折り
返す✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
∠BAC = 12
∠BOC
Oは4ABCの外心✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
108
![Page 110: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/110.jpg)
整角四角形= 20◦,30◦,70◦,40◦A
B C
D
30◦20◦
70◦40◦
x◦
資料 P9 参照
(その3)✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
109
![Page 111: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/111.jpg)
整角四角形= 20◦,30◦,70◦,40◦A
B C
D
30◦20◦
70◦40◦
x◦
資料 P9 参照
(その3)✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
4BACについてBCの垂直2等分線で折り
返す✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
110
![Page 112: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/112.jpg)
整角四角形= 20◦,30◦,70◦,40◦A
B C
D
30◦20◦
70◦40◦
x◦
G
E
F
資料 P9 参照
(その3)✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
4BACについてBCの垂直2等分線で折り
返す✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
Eは4BCDの外心✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
四角形EGCD,AECDは円に内接
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
111
![Page 113: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/113.jpg)
証明を考えて下さいA
B C
D
α 2α
(その4)✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
左図で、∠ACD = 2∠ABD
BCは4ACDの外角の2等分線であるとき、Bは4ACD
の傍心✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
これで36題(300題中)が解けます。
112
![Page 114: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/114.jpg)
10◦, 20◦, 100◦, 20◦✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
=既知の問題を利用して=まず、整角四角形= 10◦,30◦,70◦,30◦
を解き、これを利用します
113
![Page 115: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/115.jpg)
整角四角形= 10◦,30◦,70◦,30◦
A
B C
D
30◦10◦
70◦30◦
x◦
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
114
![Page 116: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/116.jpg)
整角四角形= 10◦,30◦,70◦,30◦
A
B C
D
30◦10◦
70◦30◦
x◦
E
F
BCの垂直2等分線を折る∠BEC = 2∠FEC
= 2∠BDC
Eは4BCDの外心✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
115
![Page 117: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/117.jpg)
整角四角形= 10◦,30◦,70◦,30◦
A
B C
D
30◦10◦
70◦30◦
x◦
E
F◦ ◦
◦
BCの垂直2等分線を折る∠BEC = 2∠FEC
= 2∠BDC
Eは4BCDの外心✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
四角形EFCDは円に内接
116
![Page 118: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/118.jpg)
整角四角形= 10◦,30◦,70◦,30◦
A
B C
D
30◦10◦
70◦30◦
x◦
E
F◦ ◦
◦
◦
BCの垂直2等分線を折る∠BEC = 2∠FEC
= 2∠BDC
Eは4BCDの外心✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
四角形EFCDは円に内接✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
4CDEは正三角形4ACE≡4ACD
x◦ = 30◦
117
![Page 119: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/119.jpg)
整角四角形= 10◦,20◦,100◦,20◦既知の問題(整角四角形= 10◦,30◦,70◦,30◦)を利用
A
B C
D
20◦10◦ 100◦
20◦
x◦
✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
118
![Page 120: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/120.jpg)
整角四角形= 10◦,20◦,100◦,20◦既知の問題(整角四角形= 10◦,30◦,70◦,30◦)を利用
A
B C
D
20◦10◦ 100◦
20◦
x◦
E
BDで4BCDを折り返す✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
119
![Page 121: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/121.jpg)
整角四角形= 10◦,20◦,100◦,20◦既知の問題(整角四角形= 10◦,30◦,70◦,30◦)を利用
A
B C
D
30◦10◦
70◦30◦
30◦
x◦
E
BDで4BCDを折り返す✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜✜
既知の問題=10◦,30◦,70◦,30◦
となる四角形AECDは円に内接
120
![Page 122: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/122.jpg)
20◦, 60◦, 50◦, 30◦langleyの問題
✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏
121
![Page 123: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/123.jpg)
A
B C
D
E
20◦
60◦ 50◦
x◦
B′C′30◦30◦
20◦, 60◦, 50◦, 30◦
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚
図のような2等辺三角形において、
∠DBC = 60◦
∠ECB = 50◦
のとき、∠EDBを求めよ。
122
![Page 124: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/124.jpg)
A
B C
D
E
20◦
60◦ 50◦
x◦
F
20◦, 60◦, 50◦, 30◦
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚
一般的な解き方AC上に4BEFが正三角形になるように点Fをとる。
123
![Page 125: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/125.jpg)
B C
D
A
60◦ 50◦
x◦
20◦, 60◦, 50◦, 30◦
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚
問題の図を書き直します。等脚台形をつくるやり方もありますが、それを折り返しで
考えて見ます。
124
![Page 126: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/126.jpg)
B C
D
A
60◦ 50◦
x◦
20◦, 60◦, 50◦, 30◦
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚
∠DBCの2等分線を折る
125
![Page 127: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/127.jpg)
B C
D
A
60◦ 50◦
x◦
E
F
G
20◦, 60◦, 50◦, 30◦
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚
∠DBCの2等分線を折るCFとBAとの交点をG
126
![Page 128: 折り紙でひらめく補助線の幾何izumi-math.jp/K_Katou/hojyogeo/hojyogeo.pdf折り紙でひらめく補助線の幾何 加藤 渾一(北海道岩見沢西高等学校) 第56回数学教育実践研究会](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042115/5e91dc7195b86e011476bf6f/html5/thumbnails/128.jpg)
B C
D
A
60◦ 50◦
x◦
E
F
G
◦
◦ ◦ ◦|
|
||
||||
||
||
20◦, 60◦, 50◦, 30◦
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚
∠DBCの2等分線を折るCFとBAとの交点をG
FとA,GとDを結ぶ4AFGは2等辺3角形4GFDは正3角形
ADは2等分線
127
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A
B C
D
E
20◦
60◦ 50◦
x◦
B′C′30◦30◦
20◦, 60◦, 50◦, 30◦
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚
折り返しを利用して(2)
128
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A
B C
D
E
20◦
60◦ 50◦
x◦
B′C′30◦30◦
20◦, 60◦, 50◦, 30◦
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚
辺ACに関して4ABC
を対称移動
129
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A
B C
D
E
20◦
60◦ 50◦
x◦
B′C′30◦30◦
20◦, 60◦, 50◦, 30◦
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚
辺ABに関して4ABC
を対称移動
130
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A
B C
D
E
20◦
60◦ 50◦
x◦
B′C′30◦30◦
20◦, 60◦, 50◦, 30◦
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚
C′B′を結びDからAB′に垂線をおろす
131
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関連図書
関連図書の紹介
資料 P3 参照
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おわり
133