centro estadual de educação supletiva de...

Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

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MÓDULO 7

OBJETIVOS:

- Adquirir conceitos de múltiplos, divisores e números primos; - Efetuar decomposição e mínimo múltiplo comum; - Conceituar, identificar e representar frações; - Associar fração como divisão de dois números; - Operar com frações (adição, subtração, multiplicação e divisão); - Aplicar as técnicas de operações com frações na resolução de situações -

problemas.

ROTEIRO DE ESTUDO:

- Leia com atenção e observe as resoluções dos exemplos; - Faça os exercícios do módulo no caderno seguindo a seqüência de

estudo; - Confira as respostas no gabarito.

NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCIOS EM SEU CADERNO.

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MÚLTIPLOS ( M ) E DIVISORES ( D )

Duas frases podem ter o mesmo significado apesar de utilizarem palavras diferentes. Por exemplo: “Gabriel é filho de Marcelo”.Significa que “Marcelo é pai de Gabriel “

Na matemática isto também acontece como você pode ver no exemplo acima.

Você sabe o que quer dizer divisível?

O conceito (idéia) de divisível vem da operação “divisão”

Ex.1: - 20 : 1 = 20 20 : 2 = 10 20 : 4 = 5 20 : 5 = 4

20 : 10 = 2 20 : 20 = 1

Ex. 2: - Quais são os divisores do nº 42?

É o conjunto D(42) = 1,2,3,6,7,14,21,42

Observe que nos dois exemplos o conjunto dos divisores começa com o nº 1 e termina no próprio nº.

EX. 3: – E os divisores de 7?

Conjunto D(7) = 1 , 7 pois 7 : 1 = 7 7 : 7 = 1

Você pode dizer que o nº 20 é divisível por 1,2,4,5,10,20,

pois em todas as divisões efetuadas o resto é zero

ou 1,2,4,5,10,20 são divisores de 20.

2 é divisor de 10

significa

10 é divisível por 2

é filho de

significa

é pai de


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Você reparou que no exemplo 3 os divisores são apenas dois: o nº 1 e o

próprio número?

O nº que tem apenas 2 divisores ( o nº 1 e o próprio número) é chamado de NÚMERO PRIMO.

A seqüência de números primos é infinita. São eles:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,...

Copie essa seqüência em seu caderno, pois você vai usá-la mais adiante.

MÚLTIPLOS

São determinados efetuando a multiplicação do nº pela seqüência dos números naturais 0,1,2,3,4,5...

EX. 1: - Múltiplos de 5 ( começa sempre pelo nº zero)

5 • 0 = 0 5 • 1 = 5 5 • 2 = 10 5 • 3 = 15 . . . . . . . . .

Portanto conjunto M5 = 0,5,10,15,20,... é infinito ( não tem fim)

EX. 2: – Qual o conjunto dos múltiplos de 3 ?

M3 = 0,3,6,9,12,15,18, ... seqüência de 3 em 3

EX. 3: – E o conjunto dos múltiplos de zero?

M0 = 0 pois todo nº multiplicado por zero é zero.


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EXEMPLO PRÁTICO:

Um bebê precisa mamar de 3 em 3 horas. Começa à zero hora. Quais serão os horários das mamadas do dia?

M3 = 0,3,6,9,12,15,18,21,24 Neste caso o conjunto dos múltiplos é finito pois o período foi pré determinado.

DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS

Decompor um número é escrever esse número em forma de multiplicação.

EX. 1: – decomponha o nº 12

12 = 1 . 12 ou 2 . 6 ou 3 . 4 ou 2 . 2 . 3

Você pode usar o método prático para efetuar a decomposição em fatores primos, dividindo o nº pela seqüência de nº primos já estudada anteriormente.

Seqüência de nº primos 2,3,5,7,11,13,17,19,13,...

EX. 1: – Decomponha o nº 12 em fatores primos:

Divide apenas por nº primos. 12 2 O resultado é escrito em forma de potência 6 2 3 3 R = 2² • 3 ( 2² porque é 2 • 2 ) 1

EX. 2: – decomponha o nº 60 em fatores primos. Método prático 60 2 30 2 15 3 5 5 R = 2² . 3 . 5

FATORES são os números que se multiplicam. . FATORES PRIMOS - multiplicação de números primos.

2² Divide o número por um número primo de modo que a divisão seja exata., O resultado da divisão escreve na linha debaixo, Divide novamente pelo mesmo número primo ou pelo próximo da seqüência.


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EX. 3: – decomponha o nº 108

108 2 54 2 27 3 9 3

3 3 R = 2² . 3³ 1 não esqueça de escrever a resposta.

Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C)

Menor múltiplo pertence a dois ou mais números

Dado dois ou mais números você pode determinar qual é o menor múltiplo que pertence aos conjuntos dos múltiplos dos números dados.

Qual é o mínimo múltiplo comum (m.m.c) dos números 12 e 4 ?

M12 = {0,12,24,36...} M4 = {0,4,8,12,16,20...}

m.m.c (4,12) = 12 ( múltiplo que pertence aos dois números )

Unindo o conceito de múltiplo com a decomposição em fatores primos você pode usar uma técnica prática para calcular o m.m.c.

EX.1: 4, 12 2 2, 6 2 1, 3 3 efetue a multiplicação 1, 1 12 = m.m.c

Ex. 2: m.m.c (4,5,15)

4, 15, 5 2 Você percebeu que a divisão tem que 2, 15, 5 2 ser exata. Quando não der para dividir 1,15, 5 3 “ abaixa” o número. 1, 5, 5 5

1, 1, 1 60 = m.m.c.

2²

3³


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APLICAÇÕES PRÁTICAS

1- Uma pessoa tem que tomar 3 remédios. Um de 2 em 2 horas; outro de 3 em 3 e o último de 4 em 4 horas. Após serem tomados à zero hora, depois de quanto tempo eles serão tomados novamente juntos? m.m.c (2,3,4) 2 , 3 , 4 2 1 , 3 , 2 2 1 , 3 , 1 3 1 , 1 , 1 12 Depois de 12 horas.

Copie e resolva em seu caderno:

1) Decomponha os números: a) 60 b) 150 c) 55

2) Calcule o m.m.c. dos números:

a) m.m.c. ( 12 , 8 ) c) m.mc.(6,3,9) e) m.m.c.( 8,5)

b) m.m.c. ( 6 , 10 , 12 ) d) m.m.c.(10,8,160) f) m.m.c.( 2,3,6)

3) Em um país as eleições para presidente são de 4 em 4 anos e para senadores de 6 em 6. Em 1990 houve eleição para os dois cargos. Depois de quanto tempo isto acontecerá novamente e em que ano?


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CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS - FRAÇÃO

INTRODUÇÃO

Até agora você estudou e trabalhou com os números inteiros positivos e negativos. Agora, neste módulo você conhecerá os números fracionários, utilizados para representar quantidades não inteiras.

O termo fração significa “pedaço” do inteiro dividido em partes iguais.

Observe o exemplo:

A figura abaixo representa um inteiro

Dividindo-a em 3 partes iguais, cada uma desses partes (pedaço)

representará a fração ( 3

1 ) do inteiro.

Observe os desenhos abaixo:

3

1 3

2 3

3

Observe que o número debaixo mostra em quantas partes o inteiro foi dividido. E o número de cima quantas partes foram consideradas (pintadas).

Cada número que compõe a fração recebe um nome especial.

Ex.: 2 numerador (quantas partes considerei) 3 denominador (quantas partes o inteiro foi dividido)


4) Veja a figura abaixo e responda::

É uma pizza dividida em 8 pedaços iguais. a) Qual a fração que representa 1 pedaço de pizza ?

b) Na fração 8

4 , quantas partes considerei?

c) Qual é a fração que corresponde a pizza inteira?

3

1

ou 1/3


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LEITURA:

Para ler uma fração você deve ler primeiro o numerador e depois o

denominador.

Observe: Ex.: 5

3 lê-se três quintos.

Se o denominador for 2, lê-se meio (s) Ex 2

3 três meios

Se o denominador for 3, lê-se terço (s) Ex 3

2 dois terços

Se o denominador for 4, lê-se quarto (s) Ex 4

1 um quarto

Se o denominador for 5, lê-se quinto (s) e assim por diante até o número 10 (décimo).

A partir do número 11 fala-se o número acrescido da palavra “avos”.

Exemplos: 4 = quatro onze avos b) 7 = sete treze avos 11 13

FRAÇÃO É DIVISÃO:

O traço de fração ou barra ( ) também significa “divisão” pois:

4

4 = 1 inteiro 4 4 2

10 = 5 inteiros 10 2

0 1 0 5

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES:

Você pode simplificar uma fração, isto é, deixar os números menores, dividindo sucessivamente os termos (numerador e denominador) por um mesmo número.

Observe: 48:2 = 24:2 = 12:2 = 6:3 = 2

fração irredutível 72:2 36:2 18:2 9:3 3

FRAÇÕES SIMPLIFICADAS

ou 48:12 = 4:2 = 2 ou 48:24 = 2

72:12 6:2 3 72:24 3

Quando não dá mais para simplificar.


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Observe que há várias maneiras de se fazer a simplificação. Você pode utilizar o número que achar mais adequado desde que use sempre o mesmo número para dividir o denominador e o numerador e que o resultado seja sempre exato, não sobre resto nas divisões.


5) Simplifique as frações até torná-las irredutíveis:

a) 12 b) 9 c) 15

16 18 20

REDUÇÃO A UM MESMO DENOMINADOR:

Há casos de frações cujos denominadores (n.º debaixo) são diferentes e precisam ser reduzidos (transformados) a um mesmo denominador.

Para isso é necessário que você:

1- Calcule o m.m.c. dos denominadores (você viu no início deste módulo );

2- O resultado do m.m.c. será o novo denominador;

3- Divida o novo denominador pelo denominador de cada fração;

4- Multiplique esse resultado pelos respectivos numeradores.

Observe o exemplo abaixo: Ex.: Reduza ao mesmo denominador as frações:

2 , 3 , 2

3 2 4

4º) Multiplica 2 , 3 , 2

3 2 4 3º) Divide 8 , 18 , 6

12 12 12

1º) m.m.c 3, 2, 4 2 3, 1, 2 2 3, 1,1 3 (multiplica)

1, 1, 1 12 novo denominador

Modo prático Divide o novo denominador pelo nº debaixo e multiplica o resultado pelo nº de cima. O resultado final será o novo numerador.




6) Reduza ao mesmo denominador ( nº debaixo) as frações:

a) 5 , 3 b) 7 , 2 , 5 c) 4 , 3 , 5

3 7 8 3 12 2 3

Comparação de frações

Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade ( igual ) ou de desigualdade entre esses números.

Para identificar a desigualdade você vai usar os símbolos:

< (menor) ou > (maior)

1º caso: os números fracionários têm o mesmo denominador:

Observe os desenhos e compare:o pedaço “a” é maior (>) do que o pedaço “b”

a) 7 > 3 leia: sete oitavos é maior do que

8 8 três oitavos b) Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem o maior numerador (nº de cima)..

2º caso: os números fracionários têm denominadores diferentes:

Para comparar é necessário que o inteiro esteja dividido na mesma quantidade de pedaços por isso, você deve reduzir ao mesmo denominador. 3 e 2 m.m.c de 6 e 3. = 6 6 , 3 3 3 6 3 2 , 1 2

6 1 6 3 , 4 então 3 < 4 6 6 6 6 2

3

Observação: no exercício letra c, coloque o n.º 1 embaixo do 4 como denominador para poder fazer a divisão

7

8

3

8




7) Usando o conceito de igual, maior ou menor responda reduzindo ao

mesmo denominador quando for necessário:

a) Maria comeu 3

2 de uma pizza e João comeu 8

5 . Quem comeu menos?

Para você responder com certeza terá que reduzir ao mesmo denominador as duas frações e depois compará-las.

b) Complete com os sinais de igual (=), maior (>) ou menor ( < ) :

I ) 3

___ 15 II ) 2

____ 1 III ) 2 ____

-7

6 30 4 3 3 5

Operações com frações:

Você já aprendeu que fração é um número que representa parte(s) do inteiro. Agora você vai aprender a resolver situações problemas que envolvem números fracionários. Para isso terá que saber operar (fazer conta) com esses números.

Adição e Subtração de Frações

Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações devemos considerar dois casos:

1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou seja, mesmo denominadores:

Exemplo:

Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços. Quanto sobrou? 3

- 2 = 1

3 3 3 CONSIDERE A PIZZA INTEIRA COMO = 3

3



Logo, sobrou 1 da pizza. 3

Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e manter o mesmo denominador.

2º caso – As frações têm denominadores diferentes:

TÉCNICA para ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO

1º) determine o m.m.c. dos denominadores (nºs debaixo) 2º) o resultado do m.m.c. será o novo denominador 3º) divida o novo denominador pelo nº debaixo e multiplique pelo nº de cima de cada fração 4º) efetue a adição ou subtração dos numeradores (nºs de cima).conservando o denominador.

Exemplo: Para fazer um trabalho escolar você usou dois terços de uma cartolina

e sua irmã usou três quartos. Que fração de cartolina vocês dois usaram juntos?

Resp: Usaram juntos 17 da cartolina ou 17 : 12 = 1,4 cartolinas. 12

Conclusão: Quando as frações têm denominadores diferentes, devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo denominador para depois efetuar a soma ou subtração.

Os dois exemplos a seguir mostram os dois casos e as maneiras diferentes de serem efetuados.

2 + 3 = 3 4

8 + 9 = 17

12 12 12

divide

multiplica Você deve encontrar o m.m.c.

dos denominadores 3 e 4 3,4 2 3,2 2 3,1 3 2 •2 •3 =• m.m.c. = 12 1,1 Observe as flechas ao lado. Elas mostram as operações que você deve fazer.



1-) Um agricultor tem um sítio e quer plantar 5

1 da área com feijão e 5

2 com

milho. Qual a fração que representará a área plantada? Se você pensou 1 + 2 = 3 acertou! 5 5 5 (Se têm denominadores iguais, conserva o denominador e soma os

numeradores.)

2-) Esse mesmo agricultor após a colheita vai novamente plantar 1/3 da área com feijão e 2/5 com milho. Qual a fração que representará a área plantada?

Agora complicou! Você percebeu que os denominadores são diferentes, portanto a área foi dividida em “pedaços de

tamanhos diferentes”. Pense. Você já aprendeu a fazer com que os denominadores fiquem iguais, então, calcule o m.m.c. dos denominadores.

1 + 2 = 3 5 para resolver reduza ao mesmo denominador: 3 , 5 3 5 + 6 = 11 1 , 5 5 x

15 15 15 1 , 1 15

Resposta. 15

11 é a fração que representará a área plantada.

A subtração é efetuada usando a mesma regra da adição.

3) Dos 5

4 da área destinada ao plantio o agricultor vai deixar 5

1 para plantar

mandioca. Quanto irá sobrar para as outras plantações? 4 – 1 = 3

5 5 5

Resposta. 5

3 da área sobrará para as outras plantações.

Área destinada ao plantio

Outras plantações



4) Dos 4

2 da área destinada ao plantio o agricultor vai reservar 5

1 para o pasto

de animais. Qual a fração que representa a área destinada a outras plantações? 2

– 1 = 4 , 5 2

4 5 2 , 5 2 1 , 5 5

10

– 4 = 6 1 , 1 20 20 20 20

Resposta: Deixará 20

6 ( simplificando por 2) a resposta será:

10

3 para outras plantações.

Para você fazer as adições e subtrações de frações negativas e positivas observe as regras dos sinais

I-) Mesmo denominador. a-) 1 + 3 = 4 c-) 4 – 6 = –2

6 6 6 5 5 5

b-) 6 – 5 = 1 d-) –2 – 1 = –3 = -1 7 7 7 3 3 3

II -) Denominadores diferentes ( não esqueça do m.m.c. para reduzir ao mesmo denominador):

a) 3 + 2 = b) -1 - 3 = 6 5 8 5

30

15 + 30

12 = 30

27 – 40

5 – 40

24 = – 40

29

c) – 7 + 1 = 9 5

– 45

35 + 45

9 = – 45

26

Não se esqueça! Denominadores diferentes, calcule o m.m.c.para reduzir ao mesmo denominador.

Observe os sinais das frações: o negativo é maior do que o positivo, portanto

“sobra” negativo.

O resultado foi negativo porque vale a regra de sinais onde o negativo é maior do que o positivo

Quando o numerador é igual ao denominador a fração representa o inteiro, pois fazemos a divisão de 3 por 3 = 1

“Juntando” duas frações negativas resulta negativo




8) De acordo com o que você aprendeu até agora, resolva as adições e

subtrações de frações:

a) 1 + 4 = c) 9

- 2 =

3 3 2 3

b) 7 + 2 = d) – 1

– 3 = 5 8 2 4

Multiplicação de frações

Regra Prática:

- multiplique os numeradores (nºs de cima); - multiplique os denominadores (nºs debaixo); - observe os sinais das frações para usar a regra.

Sinais iguais resulta positivo. Sinais diferentes resulta negativo.

1-) Um fazendeiro tem 5 fazendas. Dessas, 3 são produtivas. 7

Qual é a fração que representa toda a terra produtiva?

DICA IMPORTANTE! Quando aparece no problema a palavra “de”, “dessa”, a operação usada é a multiplicação e a resposta representa a fração em relação ao inteiro

7

3 de 5 então:

7

3 • 1

5 = 7

15 Resposta: 7

15 representa a parte produtiva das 5 fazendas.

Ex: 5

4 •

7

2 =

35

8

– 6

3 • –

5

8 = +

30

24

Nas operações com frações colocamos o n.º 1 embaixo do n.º inteiro.



2-) Um fazendeiro vai plantar 5

3 da área da fazenda. Já plantou 6

2 dessa

área com soja. Qual a fração que representa a área de plantação de soja em relação a área da fazenda?

3 • 2 = 6 multiplique os numeradores 5 6 30 multiplique os denominadores

Resposta:A fração que representa a parte plantada com soja em relação a

fazenda inteira é 30

6 ( ou simplificando por 6) apenas 5

1 .

Divisão de frações

Regra Prática:

- Copie a primeira fração; - Mude o sinal de divisão ( : ) para o de multiplicação (•); - Copie a segunda fração invertendo os lugares do numerador com o

denominador; - Multiplique os numeradores; - Multiplique os denominadores; - Observe os sinais das frações aplicando a regra de sinais que é a mesma

da multiplicação.

Exemplo:

1º) A metade (2

1 ) da área de uma fazenda vai ser dividida em 6 partes

iguais. Qual a fração que representa cada parte?

1

: 6 = 1 . 1 = 1

2 1 2 6 12

R. Cada parte é representada por 12

1 .

Observe que:

1-

a divisão foi transformada em multiplicação

2- a segunda fração foi invertida




9) Efetue as multiplicações e divisões de frações:

a) 2 • 5 = c) 2 : 1 = 3 8 5 3

b) 1• 3 • 5 = d) 7 : 4 = 2 4 7 10 6

Potenciação

(multiplicação com o mesmo número)

Regra prática:

- Efetue a potenciação do numerador, multiplicando pelo mesmo número tantas vezes quanto for o número do expoente;

- Efetue a potenciação do denominador.

1-) Qual é a área de um quadrado cujo lado é ½ m de lado? A área do quadrado é: A = L²

½ m A = (1/2)² = 1² = 1• 1= 1 m² 2² 2•2 4 Para efetuar a potenciação de fração você deve elevar o numerador e o denominador ao expoente dado e calcular o resultado:

Ex. 5 ³ = 5³ = 5 • 5• 5 = 125

4 4³ 4 • 4 •4 64



Radiciação de frações:

Regra prática:

- Determinar a raiz do numerador; - Determinar a raiz do denominador.

Exemplo: 16

9=

16

9 = 4

3 pois 4.4

3.3


10) Calcule: a) 2

5

2 = b) 3

10

7 =

c) 16

9 = d) 4

25 =

Usando o conceito de fração onde o denominador identifica em quantas partes está dividido o inteiro e o numerador quantas partes está sendo tomado. Pense no problema abaixo e veja como foi resolvido.

Uma granja tem 2400 aves. Destas 5

3 são galinhas.

a)Qual a quantidade de galinhas? b) Qual a fração que representa os frangos? c) Qual a quantidade de frangos?

Resolução: a) 2400 5 480

480 x 3 1440 galinhas

representa o inteiro

b) 5

5 - 5

3 = 5

2 representa os frangos

d) 2400 – 1440 = 960 frangos



Você percebeu que para cada tipo de operação com frações há uma técnica específica. No quadro a seguir você terá um resumo dessas técnicas para usar em cada operação usada para resolver os exercícios e problemas a seguir.

RESUMO DAS TÉCNICAS DE OPERAÇÕES DE FRAÇÕES

: Adição e subtração

(tem que ter o mesmo denominador) - M.m.c. dos denominadores; - O resultado do m.m.c. será o

novo denominador; - Divida

o novo denominador pelo nº debaixo e multiplique pelo nº de cima de cada fração;

- Efetue

a adição ou subtração dos numeradores conservando o nº do denominador.

Multiplicação

- Multiplique

os numeradores (nºs de cima);

- Multiplique

os denominadores (nºs debaixo).

-

Divisão

- Copie a primeira fração; - Transforme

a divisão em multiplicação;

- Inverta a segunda fração; - Multiplique os numeradores; - Multiplique os denominadores.

Potenciação

- Efetue a potenciação do numerador, multiplicando pelo mesmo número tantas vezes quanto for o número do expoente;

- Efetue

a potenciação do denominador.

Radiciação

- Determine a raiz do numerador;

- Determine

a raiz do denominador.




11) Resolva os problemas em seu caderno lembrando que cada operação

com fração tem uma regra própria. Confira as respostas no gabarito:

I) Um aluno já executou 7

4 da tarefa de matemática. Qual a fração da

tarefa que resta fazer? LEMBRE-SE!!

A fração que representa o inteiro tem denominador

igual ao numerador. Neste caso o inteiro é 7

7

II) Tenho uma divida de R$ 250,00. Já paguei 10

7 . Quanto estou devendo?

Observação: A dívida está dividida em 10 prestações

III) Em uma panela há 8

6 do Kg (quilograma) de pipoca estourada. Quero

repartir (dividir) em saquinhos de 4

1 do Kg. Quantos saquinhos devo

comprar?

IV) Em um pomar há três tipos de árvores frutíferas sendo que 4

1 são

laranjeiras, 5

2 são jabuticabeiras e 10

2 são limoeiros. Qual a fração que

corresponde ao total (soma) de árvores desse pomar?

v-) João Carlos é operário e ganha R$ 1400,00 por mês. Gasta 4

1 desse

dinheiro com aluguel e 5

2 (desse dinheiro) com a alimentação da família.

a) Qual é a fração que representa o total de gastos de João Carlos ?

b) Quanto dinheiro ela representa?

c) Qual o valor do aluguel? (4

1 desse dinheiro)?

d) Quanto gasta com a alimentação? ( 5

2 de R$1400,00)



GABARITO

1) a) 2² . 3 . 5

b) 2 . 3 . 5²

c) 5 . 11

2) a) 24 c) 18 e) 40 b) 60 d) 160 f) 6

3) 12 anos em 2002

4) a)1/8 b ) 4 partes c ) 8/8

5 ) a ) 3/4 b ) 1/2 c ) 3/4

6 ) a ) 35 , 9

b ) 21, 16, 10

c) 24, 9,10

21 21 24 24 24 6 6 6

7) a ) João

8) a) 3

5 b)40

66 c)6

23 d) -4

5

9) a)24

10 b) 56

15 c) 5

6 d) 40

42

10) a) 25

4 b) 1000

343 c) 4

3 d) 2

5

11) I ) 3/7 II ) R$ 75,00 III ) 3 saquinhos IV ) 17/20

V ) a ) 20

13 b) R$ 910,00 c) R$ 350,00 d) R$ 560,00



MÓDULO 8

OBJETIVOS:

No final desta Unidade de Ensino (U.E.), o aluno deverá :

Entender uma razão como o quociente de dois números racionais em que o segundo é diferente de zero;

Reconhecer se duas razões formam uma proporção;

Resolver problemas simples que envolvem escalas;

Resolver uma situação problema envolvendo grandezas proporcionais, utilizando a regra de três;

Resolver problemas simples de porcentagem e problemas que envolvem cálculo de juros simples.

ROTEIRO DE ESTUDO: - Leia com atenção observando e acompanhando as resoluções dos exemplos. - Faça os exercícios do módulo no caderno seguindo a seqüência de estudo, - Confira as respostas no gabarito.

NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCOS EM SEU CADERNO



Simplificando, isto é dividindo por um mesmo

número

RAZÃO, UMA GRANDE INVENÇÃO.

Dos 50 alunos de uma sala de computação, 20 são homens e 30 são mulheres. Qual é a relação entre o número de homens e o número de mulheres?

número de homens = 20 : 10 = 2 número de mulheres= 30 : 10 3

Você pode concluir que:

- para cada 2 homens há 3 mulheres que estão na sala,ou o número de homens (2) está para o número de mulheres (3) ou simplesmente 2 está para 3. .

A expressão 2 está para 3 é chamada de razão entre 2 e 3 e é indicada por

3

2 ou 2 : 3.

RAZÂO serve para comparar quantidades entre duas grandezas. No exemplo acima as duas grandezas são: HOMENS e MULHERES. Veja o exemplo abaixo:

Se você comparar as quantidades de gatos com as quantidade de cães, você têm as grandezas: GATOS e CÃES e a

razão 4

3 ou seja: três está para

quatro(para cada 3 gatos têm 4 cães)


1) Escreva a razão simplificando quando for possível: a) 20 para 50 b) 10 para 40

2) Em um hospital tem 16 pacientes para 2 enfermeiros. Qual a razão entre o número de pacientes e o número de enfermeiros?



RAZÕES INVERSAS

Para determinar a razão entre o número de homens (20) e o número de

mulheres (30) da sala de computação do primeiro exemplo, você fez 30

20 , que

depois de simplificado ficou a mesma coisa que 3

2 (dois está para três).

Se você quer determinar a razão entre o número de mulheres (30) e o

número de homens (20), é só fazer 20

30 , que simplificando por 10 é a mesma

coisa de 2

3 (três está para dois).

As razões 2

3 e 3

2 são chamadas de inversas entre si.

O produto (multiplicação) de duas razões inversas é igual a 1.

2

3 •3

2 = 6

6 = 1


3) Pedro fez uma prova que continha 10 questões de Português e 20 de Matemática. a) Qual a razão entre as questões de Português e Matemática? b) Qual a razão entre as questões de Matemática e Português?

4) Ache a razão inversa de: a) 3 b) 2 : 5 c) 4 : 1 4

ALGUMAS RAZÕES ESPECIAIS

Você já deve ter ouvido falar ou lido em algum lugar os termos velocidade média, densidade demográfica e escala.

Na verdade, elas são razões especiais, que utilizamos com freqüência no dia-a-dia. Vamos então ver qual o significado de cada uma.

VELOCIDADE MÉDIA Velocidade média de um móvel é a razão entre o espaço percorrido e

o tempo gasto para percorrê-lo.



EXEMPLO: A velocidade média de um carro que percorre 300 Km em 5 horas é dada

pela razão:

horas

km

5

300 = simplificando por 5 = hora

km

1

60 ou 60 Km/h (sessenta km por hora)


5) Calcule a velocidade média de um carro que percorreu 210 Km em 3 horas.

DENSIDADE DEMOGRÁFICA

Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região.

Exemplo: A cidade de Votorantim (SP) tem uma área aproximada de 177Km² e segundo os dados de 2003 do IBGE a população está aproximada em 110000 habitantes. Portanto, a densidade demográfica de Votorantim é dada por:

População = 110000 = 621 hab/Km² Área 177

110000 177 faça esta operação na calculadora


6) O censo de 2000 estimou a população do estado de São Paulo em 36351316 habitantes. Calcule a densidade demográfica desse estado da região Sudeste, sabendo que a área total é de 248811Km². Faça na calculadora.

Isto significa que têm 621 hab. em 1 Km²



ESCALA

Escala é a razão entre a medida do comprimento no desenho e a medida do comprimento real.

Exemplo: Se a planta ou croqui (desenho) de uma casa está na escala de 1:100 ou

100

1 (1 para 100), significa que para cada 1cm do desenho corresponde a 100

cm na dimensão real. Observe:

A planta a seguir foi desenhada na escala 1:100cm:

Agora, responda:

Quais são as dimensões reais (comprimento e largura) da cozinha, da sala e do quarto A dessa casa.

Se você respondeu que as dimensões reais da cozinha são 3m por 6m, da sala são 6m por 3,5m e do quarto são 3m por 2,5m, acertou!!!

quarto A banheiro

2,5cm

sala

2,5cm

cozinha

quarto B

3cm

Lembre-se!! 100cm=1m

6cm

1cm corredor

4,5cm

3,5cm

6cm

3cm 1,5cm



PROPORCIONALIDADE

A proporção no dia-a-dia:

Fernando e Alex apostaram juntos numa loteria esportiva e foram premiados. Como eles devem dividir o prêmio de R$ 500 000,00, se as importâncias que Fernando e Alex apostaram estão na razão 2 para 3?

Como as quantias que eles apostaram estão na razão de 3

2 é fácil

concluir que:

- Fernando vai receber 2 partes portanto R$ 200 000,00 - Alex vai receber 3 partes portanto R$ 300 000,00.

A igualdade entre as razões 3

2 = 300000

,200000 é uma proporção.

A proporção também pode ser indicada da seguinte maneira: 2 : 3 = 200000,00 : 300000,00

Veja um exemplo prático de proporção:

Você sabe que uma foto 3 X 4 tem 3cm de base (largura) e 4 cm de altura (comprimento) . Do mesmo modo, uma foto 6 X 8 tem 6 cm de base e 8 cm de altura.

Observe as fotos da figura abaixo:

Qual é a razão entre a base e a altura da foto menor? E entre a base e a altura da foto maior?

Base da foto menor = 3 = 0,75 (3 dividido por 4) Altura da foto menor 4

Base da foto maior = 6 = 0,75 Altura da base maior 8



Você observou que o resultado das divisões

(3:4 e

6:8) são iguais? Isto mostra que as fotos têm

tamanhos proporcionais.

Como

4

3 = 8

6 , ou seja, três está para quatro assim como seis está para

oito, podemos concluir que existe uma proporção entre as medidas das duas fotos.

A igualdade entre as razões 4

3 = 8

6 forma uma

proporção.

Na proporção 3 : 4 = 6 : 8, os números e 4 e 6 são chamados de meios: e 3 e 8 são chamados de extremos

DESAFIO: Medindo os lados das 2 fotos, verifique se elas são proporcionais (use a

régua) e responda as questões abaixo:

a) Os lados são proporcionais? . .........

b) ABCD é ampliação de EFGH? ....



Propriedade fundamental das proporções

Em toda proporção, o produto (multiplicação) dos meios é igual ao

produto dos extremos.

Exemplo:

3 = 6

4 8 O produto dos extremos é 3 • 8 = 24 O produto dos meios é 4 • 6 = 24

Os dois produtos são iguais portanto, formam uma proporção.


7) Verifique se as razões formam uma proporção. Utilize a propriedade fundamental das proporções:

a) 2 e 10 b) 2 = 3

5 25 8 4

CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO OU

APLICAÇÃO DA “ REGRA DE TRÊS”

Com a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos), tornou-se simples determinar o valor

desconhecido de um dos termos da proporção.

Veja qual o valor de X (termo desconhecido) nas proporções a seguir:

a) 3 = X

4 8 Pela propriedade fundamental: Produto dos meios

= produto dos extremos

4 . X = 3 . 8 (calculando o valor de X)

Então: 4 . X = 24 X = 24 : 4

X = 6

Use a operação inversa da multiplicação que é a divisão.

Multiplique cruzado




8) Copie e calcule em seu caderno o valor desconhecido (X) nas

proporções:

a) 2 = X c) 12 = 15

8 12 X 5

b) 5 = 25 d) X = 9

6 X 6 2

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

O que são grandezas diretamente proporcionais? Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ambas

aumentam ou diminuem seus valores ou quantidades.

1 º Exemplo:

Se um padeiro faz 60 pães com 5 Kg de farinha, quantos pães ele fará com 8 Kg de farinha?

É fácil perceber que, aumentando a quantidade de farinha (primeira grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também aumentará.

Logo, as duas grandezas:quantidade de farinha de trigo e quantidade de pães são diretamente proporcionais.

Para resolver esse problema você deve: - montar uma tabela com duas colunas correspondentes a cada grandeza; - escrever os números nas respectivas colunas; - analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais; - resolver para calcular o termo desconhecido. Veja a montagem:

Quantidade de pães Quantidade de farinha

60 5 Kg X terá que aumentar 8 Kg aumentou



Assim, podemos escrever a seguinte proporção:

X

60 = 8

5

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:

60 = 5 5• X = 60 • 8 X 8 5• X = 480 X = 480 X = 96 5

Com 5 Kg de farinha o padeiro fará 96 pães

2º Exemplo:

Um padeiro faz 80 pães com 20Kg de farinha de trigo. Quantos pães fará com 3 Kg de farinha?

Quantidade de pães Quantidade de farinha

80 20 Kg X terá que dimimuir

3 Kg diminuiu

É fácil perceber que diminuindo a quantidade de farinha (primeira grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também diminuirá.

As duas grandezas: quantidade de farinha de trigo e quantidade de pães são diretamente proporcionais.

Então: X

80 = 3

20 20 • X = 80 • 3

20 • X = 240

X = 20

240 X = 12

O padeiro fará 12 pães.

Observe que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando as duas aumentam ou as duas diminuem.




9) Resolva os problemas de acordo com os exemplos:

a) Roberto comprou 15 lápis por R$ 5,00. Se comprasse 36 lápis, quanto pagaria?

b) Uma torneira leva 5 horas para encher uma caixa d’água de 1000 litros de capacidade. Quantas horas levará essa torneira para encher uma caixa d’água de 3000 litros de capacidade?

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

O que são grandezas inversamente proporcionais? Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma

grandeza aumenta e a outra diminui ou vice-versa: uma diminui e a outra aumenta.

1º Exemplo: Mário fez uma viagem de carro em 20 horas com uma velocidade média

de 60Km/h. Qual será a velocidade média para fazer essa mesma viagem em 15 horas?

Tempo gasto (h) Velocidade média (Km/h)

20 60 15 diminuiu X terá que aumentar

Você percebeu que para diminuir o tempo de viagem (horas) a velocidade média do carro deve aumentar, portanto enquanto uma grandeza diminui a outra grandeza aumenta. Dizemos então, que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Para resolver o problema temos que inverter uma das razões correspondente a uma das grandezas. Pode ser a coluna do X ou a outra.

15

20 = X

60 invertendo uma das colunas

20

15 = X

60 = 15 • X = 20 • 60

15 • X = 1200

X = 15

1200 então X = 80

A velocidade média do carro será de 80Km/h.



2º Exemplo:

Para reformar a quadra de esportes de uma escola, 2 pedreiros vão trabalhar 24 dias. Em quantos dias 6 pedreiros poderão fazer esse mesmo serviço? Temos:

Número de pedreiros Tempo (dias) 2 24 6 X

aumentou diminuiu tem que inverter a razão

Se você aumentar a quantidade de pedreiros vai diminuir a quantidade de dias gastos na reforma. Uma grandeza (pedreiros) está aumentando enquanto que a outra (dias) está diminuindo.

Invertendo uma das razões da proporção 2 = 24

2 = X 6 X 6 24

6 • X = 2 • 24

6 • X = 48

X = 6

48 X = 8

Assim, 6 pedreiros podem fazer o mesmo serviço em 8 dias.

ATENÇÃO! DICA IMPORTANTE!

Quando uma das grandezas for o TEMPO (horas, dias, etc) geralmente é inversamente proporcional.

Uma grandeza é inversa da outra, logo são inversamente proporcionais.




10) Resolva os problemas em seu caderno de acordo com os exemplos:

a) 6 homens constroem uma casa em 90 dias. Quantos homens são necessários para construir essa casa em 60 dias, no mesmo ritmo de trabalho?

b) Um automóvel a 50Km/h vai de uma cidade a outra em 6 horas. Qual deve ser a velocidade do automóvel para percorrer a mesma distância em 4 horas?

PORCENTAGEM

A expressão por cento é familiar. Você a vê, praticamente em todos os dias nos jornais e na televisão. A expressão por cento quer dizer “por um cento ou cem”. Assim quando você lê ou escuta uma afirmação como “grande liquidação de verão com 40 por cento de desconto em todos os artigos”, significa que você tem um desconto de 40 reais para cada 100 reais do preço do artigo.

Isto nos leva então a estabelecer a razão 100

40 .

Assim: 40% é o mesmo que 100

40

Qual é o significado do símbolo %?

O símbolo % usado nas manchetes desse jornal, significa por cento. Acompanhando um número indica a centésima parte desse número.

Assim:

6 % ou 100

6 = 0,06

16,85% ou 100

85,16 = 0,1685

5,82% ou 100

82,5 = 0,0582



Qual é o valor de 80% de 60?

Veja o exemplo abaixo: Em uma partida de basquete Hortência acertou 80% dos 60 arremessos que efetuou. Quantos arremessos ela acertou?

Resolver esse problema significa responder a questão: Quanto vale 80% de 60?

Solução:

Como 80% = 100

80 ou 0,80 você pode calcular usando a fração ou o nº

decimal fazendo:

100

80 • 60 = 100

4800 = 48 ou 0,80 . 60 = 48

Você também pode usar a regra de três ou propriedade fundamental da proporção.

100

80 = 60

X

100 • X = 80 • 60 100 • X = 480

X = 100

480 X = 48

Hortência acertou 48 arremessos que correspondem aos 80%.


11) De acordo com o exemplo resolva os problemas de porcentagem:

a) 70% dos alunos da classe de Laura sabem nadar. Quantos alunos sabem nadar, se a classe de Laura tem 40 alunos?

b) De um total de 30 alunos, 20% foram reprovados. Quantos alunos foram reprovados?

c) O preço de um aparelho de som é R$500,00. Durante uma liquidação, a loja anunciou um desconto de 20%. Nessas condições:

I) Qual é a quantia que corresponde ao desconto? II) Qual é o preço do aparelho com o desconto?

Confira as respostas no final do módulo.



JUROS

Os juros fazem parte do nosso dia-a-dia.

Uma ótica está vendendo óculos nas seguintes condições: R$ 200,00 à vista ou em 4 parcelas de R$ 70,00. Desse modo o preço dessa mercadoria a prazo sobe. Por que isso acontece? O preço dessa mercadoria, à vista, é diferente do preço a prazo, porque estão sendo cobrados juros pelo parcelamento da dívida.

O juro é uma compensação em dinheiro que a empresa cobra por estar parcelando a dívida para o cliente.

No caso das aplicações financeiras (poupança), o cliente é que empresta dinheiro ao banco e, por esse empréstimo, recebe uma quantia de juros.

A dívida que uma pessoa contrai quando compra uma mercadoria a prazo ou, a quantia que investe quando faz uma aplicação financeira é chamada de capital.

A soma do capital e juros é chamada de montante.

Assim, podemos dizer que:

Juro (j) é uma compensação para mais ou para menos, em dinheiro, que se paga ou que se recebe.

O capital (c) é o dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado.

A taxa (i) é o índice de porcentagem que se paga ou que se recebe pelo aluguel do dinheiro. O tempo (t) é o tempo pelo qual o capital fica emprestado.

Exemplo:

Sérgio emprestou R$2 000,00 de um banco por 4 meses a uma taxa de 3% ao mês.

a) Qual a quantia que ele pagará de juros? b) Qual o total que terá de pagar no final do empréstimo?



Solução:

a) Vamos calcular quanto de juros por mês:

3% de 2000,00 = 3 = X ou 3 . 2000,00

100 2000,00 100

X = (3 . 2000,00) : 100

X = 60,00

Como o empréstimo foi feito em 4 meses, temos:

4 • 60,00 = 240,00

b) Ao todo irá pagar:

2000,00 + 240,00 = 2240,00

R.: Sérgio pagará R$240,00 de juros num total de R$2 240,00.


12) Resolva em seu caderno os problemas e confira as respostas no final deste módulo:

a) Qual o juro produzido por R$ 2800,00 em 3 meses da aplicação, a 7% ao mês?

b) Marcos comprou uma bicicleta por R$ 180,00. Pagará em 6 meses, por isso o vendedor cobrará juros à base de 3% ao mês. Quanto ele pagará de juros e qual o total que pagará pela bicicleta?



GABARITO:

1) a) 2 b) 1

5 4

2) 16 = 8 3) a) 10 = 1 b) 20 = 2 2 20 2 10

4) a) 4 b) 5 c) 1

3 2 4

5) 70 Km/h

6) 146,1 hab/Km²

7) a) Sim formam proporção, porque 50 = 50 b) Não formam proporção, porque 8 24

8) a) X = 3 c) X = 4 b) X = 30 d) X = 27

8) a) Pagaria R$12,00 b) Levará 15 horas 9) a) Pagaria R$12,00 b) Levará 15 horas

10) a) São necessários 9 homens.

b) A velocidade deve ser de 75Km/h.

11) a) Sabem nadar 28 alunos.

b) Foram reprovados 6 alunos.

c) I )desconto de R$100,00.

II ) Preço do aparelho R$ 400,00.

12) a) Juro de R$ 588,00. b)Pagará de juros R$ 32,40 e total de R$ 212,40.



Bibliografia:

Desenhos ilustrativos tirados dos livros:

BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.

IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999.

SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997.

ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:

- Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans

COLABORAÇÃO:

- Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos

DIREÇÃO:

- Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper

COORDENAÇÃO:

- Neiva Aparecida Ferraz Nunes

APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim


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