cellular automata workshop 1996

8/3/2019 Cellular Automata Workshop 1996

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C e l l u l a r A u t o m a t a W o r k s h o p 1 9 9 6

S c h l o R a u i s c h h o l z h a u s e n

M a r c h 2 5 { 2 7 , 1 9 9 6

M a r t i n K u t r i b , T h o m a s W o r s c h ( e d s . )

P r e p r o c e e d i n g s

J U S T U S L I E B I G

B

U N I V E R S I T

A T

G I E S S E N

U N I V E R S I T

A T

K A R L S R U H E ( T H )


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C o n t e n t s

P r o g r a m 1

J e a n - P a u l A l l o u c h e , G u e n t c h o S k o r d e v , C e l l u l a r a u t o m a t a , n i t e a u t o -

m a t a a n d t h e S c h u r p r o p e r t y f o r p o l y n o m i a l s 4

A n d r e B a r b e , S h i f t - a d d c o r r e l a t i o n p a t t e r n s o f l i n e a r c e l l u l a r a u t o m a t a a r e

p s e u d o c e l l u l a r a u t o m a t a 7

T i m B o y k e t t , A l g e b r a i c A s p e c t s o f O n e D i m e n s i o n a l R e v e r s i b l e C e l l u l a r A u t o -

m a t a 1 0

T h o m a s B u c h h o l z , M a r t i n K u t r i b , T i m e c o m p u t a b i l i t y o f f u n c t i o n s i n

( b o u n d e d ) o n e - w a y c e l l u l a r a u t o m a t a 1 2

B r u n o D u r a n d , G r o w i n g P a t t e r n s i n 1 D C e l l u l a r A u t o m a t a 1 3

J e r ^ o m e O l i v i e r D u r a n d - L o s e , S a n d D r i p p i n g i n L i n e a r S p a c e 1 4

R u d o l f F r e u n d , F r i t z T a l l , C e l l u l a r a u t o m a t a a n d a t t r i b u t e d p a r a l l e l a r r a y

g r a m m a r s 1 7

R o n B a r t l e t t , M a x G a r z o n , B i l i n e a r C e l l u l a r A u t o m a t a 1 9

F r e d e r i c G e u r t s , C A - l i k e e r r o r p r o p a g a t i o n i n f u z z y c e l l u l a r a u t o m a t a 2 0

F r i t z v o n H a e s e l e r , ( N o n ) - A u t o m a t i c i t y o f O r b i t s o f L i n e a r C e l l u l a r A u t o -

m a t a 2 1

P e t e r H a r t m a n n , C r i s t a l m e s h e s a n d s y m m e t r y r e l a t i o n s h i p s : A n a p p r o a c h

b a s e d o n c e l l u l a r h y p e r g r a p h s 2 5

O l i v i e r H e e n , C o n s t a n t s p e e d - u p o n o n e d i m e n s i o n a l c a l c u l a t o r s 2 8

C h r i s t i a n H o c h b e r g e r , C D L { A L a n g u a g e f o r C e l l u l a r P r o c e s s i n g 3 0

R o l f H o m a n n , K l a u s - P e t e r V o l k m a n n , A r c h i t e c t u r e s f o r C e l l u l a r P r o -

c e s s i n g 3 3

K a t s u n o b u I m a i , T a i c h i A d a c h i , S h i n i c h i F u r u s a k a , K e n i c h i M o r i t a ,

F i r i n g S q u a d S y n c h r o n i z a t i o n P r o b l e m i n O n e a n d T w o D i m e n s i o n a l R e -

v e r s i b l e C e l l u l a r A u t o m a t a 3 8

I v a n K o r e c , A l g e b r a i c a l c o n s t r u c t i o n s o f r e v e r s i b l e g e n e r a l i z e d P a s c a l t r i a n g l e s

a n d o n e - d i m e n s i o n a l c e l l u l a r a u t o m a t a 4 1

E h l e r L a n g e , L i n e a r C e l l u l a r A u t o m a t a o v e r F i e l d s a n d F a c t o r i z a t i o n o f P o l y -

n o m i a l s 4 2

i


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D a n u t a M a k o w i e c , C h a o s i n c e l l u l a r a u t o m a t a w i t h m a j o r i t y r u l e 4 3

M a u r i c e M a r g e n s t e r n , L i o u d m i l a P a v l o t s k a a , T o w a r d s a n e w a p p r o a c h

t o u n i v e r s a l i t y a b o u t T u r i n g m a c h i n e s 4 9

M a r i o M a r k u s , A n d r e C z a j k a , T o r s t e n S c h u l t e , W a v e s i n t h e B Z - r e a c t i o n :

e x p e r i m e n t s a n d C A s i m u l a t i o n s 5 1

I n g o K u s c h , M a r i o M a r k u s , P e d r o A l m e i d a , A n t o n i o R i b e i r o , C A s i m -

u l a t i o n s a n d o b s e r v a t i o n s o f b i o l o g i c a l a n d g e o l o g i c a l p r o c e s s e s . I s t h e r e

e v i d e n c e f o r c l a s s 4 i n n a t u r e ? 5 2

B r u n o M a r t i n , S p a t i a l M a c h i n e s a n d C e l l u l a r A u t o m a t a 5 4

K e n M i u r a , S o b e i H . O d a , K a n j i U e d a , Y a s u n o r i B a b a , T h e A p p l i c -

a t i o n o f C . A . t o E c o n o m i c s : S i m u l a t i o n o f E c o n o m i e s w i t h S n o b s a n d

C o n f o r m i s t s 5 8

A n t j e P e t e r s e n , A u t o m a t i c i t y o f r a t i o n a l f u n c t i o n s 6 0

R a l f S c h n e i d e r , A C L { B u i l d i n g C e l l u l a r P r o c e s s i n g K e r n e l s b a s e d o n A t t r i b -

u t e s 6 2

H i r o s h i U m e o , A N o t e o n F i r i n g S q u a d S y n c h r o n i z a t i o n A l g o r i t h m s 6 5

J o r g R i c h a r d W e i m a r , C e l l u l a r A u t o m a t a f o r R e a c t i o n - D i u s i o n S y s t e m s 6 6

T h o m a s W o r s c h , O n p a r a l l e l T u r i n g m a c h i n e s w i t h m u l t i - h e a d c o n t r o l u n i t s 6 9

L i s t o f P a r t i c i p a n t s 7 1

i i


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P r o g r a m

M o n d a y , 2 5 t h M a r c h 1 9 9 6

0 7 : 3 0 { 0 9 : 0 0 B r e a k f a s t

0 9 : 0 0 { 0 9 : 1 0 O p e n i n g A d d r e s s

0 9 : 1 0 { 0 9 : 4 5 R u d o l f F r e u n d ( T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t W i e n ) , C e l l u l a r a u t o -

m a t a a n d a t t r i b u t e d p a r a l l e l a r r a y g r a m m a r s

0 9 : 4 5 { 1 0 : 2 0 K a t s u n o b u I m a i ( H i r o s h i m a U n i v e r s i t y ) , F i r i n g S q u a d S y n -

c h r o n i z a t i o n P r o b l e m i n O n e a n d T w o D i m e n s i o n a l R e v e r s i b l e C e l l u l a r

A u t o m a t a

1 0 : 2 0 { 1 0 : 5 5 G i a n p i e r o C a t t a n e o ( U n i v e r s i t a d e g l i S t u d i d i M i l a n o ) , D y -

n a m i c a l C l a s s i c a t i o n o f C A : T o p o l o g i c a l C h a o s o r L y a p u n o v e x p o n e n t

1 0 : 5 5 { 1 1 : 2 0 C o e e B r e a k

1 1 : 2 0 { 1 1 : 5 5 A n d r e B a r b e ( K a t h o l i e k e U n i v e r s i t e i t L e u v e n ) , S h i f t - a d d c o r -

r e l a t i o n p a t t e r n s o f l i n e a r c e l l u l a r a u t o m a t a a r e p s e u d o c e l l u l a r a u t o m a t a

1 1 : 5 5 { 1 2 : 3 0 F r i t z v o n H a e s e l e r ( U n i v e r s i t a t B r e m e n ) , ( N o n ) - A u t o m a t i c i t y

o f O r b i t s o f L i n e a r C e l l u l a r A u t o m a t a

1 2 : 3 0 { 1 4 : 0 0 L u n c h

1 4 : 0 0 { 1 4 : 3 5 R o l f H o m a n n ( T e c h n i s c h e H o c h s c h u l e D a r m s t a d t ) , A r c h i t e c -

t u r e s f o r C e l l u l a r P r o c e s s i n g

1 4 : 3 5 { 1 5 : 1 0 R a l f S c h n e i d e r ( T e c h n i s c h e H o c h s c h u l e D a r m s t a d t ) , A C L {

B u i l d i n g C e l l u l a r P r o c e s s i n g K e r n e l s b a s e d o n A t t r i b u t e s

1 5 : 1 0 { 1 5 : 4 5 O l i v i e r H e e n ( U n i v e r s i t e P a r i s 7 ) , C o n s t a n t s p e e d - u p o n o n e

d i m e n s i o n a l c a l c u l a t o r s

1 5 : 4 5 { 1 6 : 1 0 C o e e B r e a k

1 6 : 1 0 { 1 6 : 4 5 B r u n o D u r a n d ( E c o l e N o r m a l e S u p e r i e u r e d e L y o n ) , G r o w i n g

P a t t e r n s i n 1 D C e l l u l a r A u t o m a t a

1 6 : 4 5 { 1 7 : 2 0 T h o m a s W o r s c h ( U n i v e r s i t a t K a r l s r u h e ) , O n p a r a l l e l T u r i n g

m a c h i n e s w i t h m u l t i - h e a d c o n t r o l u n i t s

1 8 : 0 0 { D i n n e r

1


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T u e s d a y , 2 6 t h M a r c h 1 9 9 6

0 7 : 3 0 { 0 9 : 0 0 B r e a k f a s t

0 9 : 0 0 { 0 9 : 3 5 H i r o s h i U m e o ( O s a k a E l e c t r o - C o m m u n i c a t i o n U n i v e r s i t y ) , A

N o t e o n F i r i n g S q u a d S y n c h r o n i z a t i o n A l g o r i t h m s

0 9 : 3 5 { 1 0 : 1 0 M a u r i c e M a r g e n s t e r n ( U n i v e r s i t e d e M e t z ) , T o w a r d s a n e w

a p p r o a c h t o u n i v e r s a l i t y a b o u t T u r i n g m a c h i n e s

1 0 : 1 0 { 1 0 : 4 5 T h o m a s B u c h h o l z ( U n i v e r s i t a t G i e e n ) , T i m e c o m p u t a b i l i t y o f

f u n c t i o n s i n ( b o u n d e d ) o n e - w a y c e l l u l a r a u t o m a t a

1 0 : 4 5 { 1 1 : 1 5 C o e e B r e a k

1 1 : 1 5 { 1 1 : 5 0 I v a n K o r e c ( S l o v a k A c a d e m y o f S c i e n c e s ) , A l g e b r a i c a l c o n s t r u c -

t i o n s o f r e v e r s i b l e g e n e r a l i z e d P a s c a l t r i a n g l e s a n d o n e - d i m e n s i o n a l c e l -

l u l a r a u t o m a t a

1 1 : 5 0 { 1 2 : 2 5 G u e n t c h o S k o r d e v ( U n i v e r s i t a t B r e m e n ) , L i n e a r C e l l u l a r A u t o -

m a t a o v e r F i e l d s a n d F a c t o r i z a t i o n o f P o l y n o m i a l s

1 2 : 3 0 { 1 4 : 0 0 L u n c h

1 4 : 0 0 { 1 4 : 3 5 G i a n c a r l o M a u r i ( U n i v e r s i t a d e g l i S t u d i d i M i l a n o ) , T r a n s -

f o r m a t i o n s o n t h e 1 D C e l l u l a r A u t o m a t a R u l e S p a c e

1 4 : 3 5 { 1 5 : 1 0 K e n M i u r a ( K o b e U n i v e r s i t y ) , T h e A p p l i c a t i o n o f C . A . t o E c o -

n o m i c s : S i m u l a t i o n o f E c o n o m i e s w i t h S n o b s a n d C o n f o r m i s t s

1 5 : 1 0 { 1 5 : 4 5 J e r ^ o m e O l i v i e r D u r a n d - L o s e ( U n i v e r s i t e B o r d e a u x I ) , S a n d

D r i p p i n g i n L i n e a r S p a c e

1 5 : 4 5 { 1 6 : 1 0 C o e e B r e a k

1 6 : 1 0 { 1 6 : 3 5 F r e d e r i c G e u r t s ( U n i v e r s i t e c a t h o l i q u e d e L o u v a i n ) , C A - l i k e

e r r o r p r o p a g a t i o n i n f u z z y c e l l u l a r a u t o m a t a

1 6 : 3 5 { 1 7 : 4 5 M a r i o M a r k u s ( M a x - P l a n c k - I n s t i t u t f u r m o l e k u l a r e P h y s i o l o -

g i e ) , a ) W a v e s i n t h e B Z - r e a c t i o n : e x p e r i m e n t s a n d C A s i m u l a t i o n s

b ) C A s i m u l a t i o n s a n d o b s e r v a t i o n s o f b i o l o g i c a l a n d g e o l o g i c a l p r o c e s s e s .

I s t h e r e e v i d e n c e f o r c l a s s 4 i n n a t u r e ?

1 8 : 0 0 { 1 9 : 3 0 D i n n e r

2


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W e d n e s d a y , 2 7 t h M a r c h 1 9 9 6

0 7 : 3 0 { 0 9 : 0 0 B r e a k f a s t

0 9 : 0 0 { 0 9 : 3 5 M a x G a r z o n ( T h e U n i v e r s i t y o f M e m p h i s ) , B i l i n e a r C e l l u l a r

A u t o m a t a

0 9 : 3 5 { 1 0 : 1 0 D a n u t a M a k o w i e c ( G d a n s k U n i v e r s i t y ) , C h a o s i n c e l l u l a r a u t o -

m a t a w i t h m a j o r i t y r u l e

1 0 : 1 0 { 1 0 : 4 5 B r u n o M a r t i n ( U n i v e r s i t e d e N i c e S o p h i a A n t i p o l i s ) , S p a t i a l

M a c h i n e s a n d C e l l u l a r A u t o m a t a

1 0 : 4 5 { 1 1 : 1 5 C o e e B r e a k

1 1 : 1 5 { 1 1 : 5 0 J o r g R i c h a r d W e i m a r ( T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t B r a u n s c h w e i g ) ,

C e l l u l a r A u t o m a t a f o r R e a c t i o n - D i u s i o n S y s t e m s

1 1 : 5 0 { 1 2 : 2 5 T i m B o y k e t t ( U n i v e r s i t a t L i n z ) , A l g e b r a i c A s p e c t s o f O n e D i -

m e n s i o n a l R e v e r s i b l e C e l l u l a r A u t o m a t a

1 2 : 3 0 { 1 4 : 0 0 L u n c h

1 4 : 0 0 { 1 4 : 3 5 P e t e r H a r t m a n n ( T e c h n i s c h e H o c h s c h u l e D a r m s t a d t ) , C r i s t a l

m e s h e s a n d s y m m e t r y r e l a t i o n s h i p s : A n a p p r o a c h b a s e d o n c e l l u l a r h y -

p e r g r a p h s

1 4 : 3 5 { 1 5 : 1 0 J e a n - P a u l A l l o u c h e ( U n i v e r s i t e P a r i s S u d ) , C e l l u l a r a u t o m a t a ,

n i t e a u t o m a t a a n d t h e S c h u r p r o p e r t y f o r p o l y n o m i a l s

1 5 : 1 0 { 1 5 : 3 0 C o e e B r e a k

1 5 : 3 0 { 1 6 : 0 5 A n t j e P e t e r s e n ( U n i v e r s i t a t B r e m e n ) , A u t o m a t i c i t y o f r a t i o n a l

f u n c t i o n s

1 6 : 0 5 { 1 6 : 4 0 C h r i s t i a n H o c h b e r g e r ( T e c h n i s c h e H o c h s c h u l e D a r m s t a d t ) ,

C D L { A L a n g u a g e f o r C e l l u l a r P r o c e s s i n g

1 6 : 4 0 { 1 6 : 4 5 C l o s i n g

1 8 : 0 0 { D i n n e r

3


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C e l l u l a r a u t o m a t a , n i t e a u t o m a t a a n d

t h e S c h u r p r o p e r t y f o r p o l y n o m i a l s

J . - P . A l l o u c h e a n d G . S k o r d e v

A l t h o u g h t h e y h a v e s i m i l a r n a m e s , n i t e a u t o m a t a a n d c e l l u l a r a u t o m a t a

a r e q u i t e d i e r e n t . I t i s n e v e r t h e l e s s i n t e r e s t i n g t o a s k w h e t h e r p a t t e r n s

g e n e r a t e d b y t h e t i m e e v o l u t i o n o f a o n e - d i m e n s i o n a l c e l l u l a r a u t o m a t o n

c a n b e a l s o g e n e r a t e d b y t w o - d i m e n s i o n a l n i t e a u t o m a t a . T h i s q u e s t i o n

h a s b e e n a d d r e s s e d i n t h e c a s e o f ( o n e - d i m e n s i o n a l ) l i n e a r c e l l u l a r a u t o m a t a

b y K o r e c 4 ] a n d b y F . v o n H a e s e l e r , H . - O . P e i t g e n , A . P e t e r s e n a n d t h e

a u t h o r s 1 , 2 ] . O n e u s e f u l t o o l i s t h e \ m - F e r m a t p r o p e r t y " : a p o l y n o m i a l

o n a r i n g R i s c a l l e d m - F e r m a t i f

P

m

( X ) = ( P ( X ) )

m

:

I n p a r t i c u l a r i f R = Z Z = p Z Z w i t h p p r i m e , e v e r y p o l y n o m i a l i s p - F e r m a t a n d ,

a s a c o n s e q u e n c e ,

8 t 0 ; 8 r 2 0 ; p ? 1 ] ; P

p t + r

( X ) = P

t

( X

p

) P

r

( X ) :

T h e g e n e r a l i z a t i o n w e s t u d y h e r e c o n s i s t s i n r e p l a c i n g t h e s e q u e n c e

( P

t

( X ) )

t 0

w h i c h r e p r e s e n t s t h e t i m e e v o l u t i o n o f a o n e - d i m e n s i o n a l l i n -

e a r c e l l u l a r a u t o m a t o n b y a s e q u e n c e o f p o l y n o m i a l s ( Q

t

( X ) )

t 0

v e r i f y i n g

w h a t w e c a l l \ t h e p - S c h u r p r o p e r t y " :

8 t 0 ; 8 r 2 0 ; p ? 1 ] ; Q

p t + r

= Q

t

( X

p

) Q

r

( X ) :

I f Q

t

( X ) =

P

a

t ; n

X

n

a n d d e g Q

t

t , t h i s i s e q u i v a l e n t t o s a y i n g t h a t :

( ) 8 t ; n 0 ; 8 i ; j 2 0 ; p ? 1 ] ; a

p t + i ; p n + j

= a

t ; n

a

i ; j

:

O f c o u r s e t h e s e q u e n c e o f p o l y n o m i a l s d e n e d b y Q

t

( X ) = ( 1 + X )

t

s a t -

i s e s t h e p - S c h u r p r o p e r t y o n t h e r i n g Z Z = p Z Z , t h e c o r r e s p o n d i n g s e q u e n c e

( a ( t ; n ) )

t ; n

i s n o t h i n g b u t t h e s e q u e n c e (

?

t

n

)

t ; n

a n d t h e p r o p e r t y ( ) i s t h e

L u c a s t h e o r e m . A n a l o g o u s l y t h e s e q u e n c e o f p o l y n o m i a l s Q

t

( X ) = B

t

( X )

4


8/81

w h e r e B i s a x e d p o l y n o m i a l h a s t h e p - S c h u r p r o p e r t y o n Z Z = p Z Z . W e c a n

h e n c e g e n e r a l i z e ( o n e - d i m e n s i o n a l ) l i n e a r c e l l u l a r a u t o m a t a b y t a k i n g a s e -

q u e n c e o f p o l y n o m i a l s h a v i n g t h e p - S c h u r p r o p e r y i n s t e a d o f t h e s e q u e n c e

B

t

( X ) . A n o t h e r ( l e s s e v i d e n t ) e x a m p l e o f a p - S c h u r s e q u e n c e o f p o l y n o m i -

a l s i s g i v e n b y t h e L e g e n d r e p o l y n o m i a l s : t h e L e g e n d r e p o l y n o m i a l s h a v e

t h e p - S c h u r p r o p e r t y f o r a n y o d d p r i m e p , t h i s h a s b e e n p r o v e d b y S c h u r

( a c c o r d i n g t o 3 , 6 ] ) . W e a l s o n o t e t h a t s e q u e n c e s ( a ( t ; n ) )

t ; n

h a v i n g t h e

p r o p e r t y ( ) h a v e b e e n s t u d i e d b y M c I n t o s h 5 ] .

W e h a v e o b t a i n e d r e s u l t s o n t h e L e g e n d r e , H e r m i t e a n d T s h e b i s h e v p o l y -

n o m i a l s u s i n g i n t e r a l i a r e s u l t s o f C a r l i t z . F o r e x a m p l e , f o r t h e L e g e n d r e

p o l y n o m i a l s , u s i n g t h e p - S c h u r p r o p e r t y a n d t h e r e l a t i o n ( s e e 7 ] f o r e x -

a m p l e )

X

t 0

P

t

( X ) Y

t

= ( 1 ? 2 X Y + Y

2

)

?

1

2

w e c a n p r o v e t h e f o l l o w i n g . D e n e t h e s e q u e n c e ( a ( t ; n ) )

t ; n

b y P

t

( X ) =

P

a

t ; n

X

n

w h e r e P

t

i s t h e t - t h L e g e n d r e p o l y n o m i a l . T h e n t h e s e q u e n c e

( a ( t ; n ) )

t ; n

m o d d i s p - a u t o m a t i c f o r d = p

s

w h e r e p i s a n o d d p r i m e a n d

n o t k - a u t o m a t i c i f d h a s t w o d i e r e n t o d d p r i m e d i v i s o r s .

R e f e r e n c e s

1 ] J . - P . A l l o u c h e , F . v . H a e s e l e r , H . - O . P e i t g e n , G . S k o r d e v , L i n e a r c e l l u l a r

a u t o m a t a , n i t e a u t o m a t a a n d P a s c a l ' s t r i a n g l e , D i s c r e t e A p p l . M a t h .

( t o a p p e a r ) .

2 ] J . - P . A l l o u c h e , F . v . H a e s e l e r , H . - O . P e i t g e n , A . P e t e r s e n , G . S k o r d e v ,

A u t o m a t i c i t y o f d o u b l e s e q u e n c e s g e n e r a t e d b y o n e - d i m e n s i o n a l l i n e a r

c e l l u l a r a u t o m a t a , I n s t . D y n . S y s t . , U n i v . B r e m e n , R e p . 3 4 6 ( 1 9 9 5 ) .

3 ] L . C a r l i t z , C o n g r u e n c e p r o p e r t i e s o f p o l y n o m i a l s o f H e r m i t e , L a g u e r r e

a n d L e g e n d r e , M a t h . Z e i t s c h r . , 5 9 ( 1 9 5 4 ) , 4 7 4 { 4 8 3 .

4 ] I . K o r e c , P a s c a l t r i a n g l e s m o d u l o n a n d m o d u l a r t r e l l i s e s , C o m p u t e r s

a n d A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e 9 ( 1 9 9 0 ) , 1 0 5 { 1 1 3 .

5 ] R . J . M c I n t o s h , A g e n e r a l i z a t i o n o f a c o n g r u e n t i a l p r o p e r t y o f L u c a s ,

A m e r . M a t h . M o n t h l y , 9 9 ( 1 9 9 2 ) , 2 3 1 { 2 3 8 .

6 ] J . W a h a b , N e w c a s e s o f i r r e d u c i b i l i t y f o r L e g e n d r e p o l y n o m i a l s , D u k e

M a t h . J . , 1 9 ( 1 9 5 2 ) , 1 6 5 { 1 7 6 .

5


9/81

7 ] E . T . W h i t t a k e r , G . N . W a t s o n , A c o u r s e o f m o d e r n a n a l y s i s , C a m -

b r i d g e U n i v . P r e s s , 1 9 6 5 , p . 3 0 2 .

J e a n - P a u l A l l o u c h e

C N R S , L R I , B ^ a t i m e n t 4 9 0

F - 9 1 4 0 5 O r s a y C e d e x

F r a n c e

a l l o u c h e @ l r i . l r i . f r

G e n c h o S k o r d e v

C e n t e r f o r C o m p l e x S y s t e m s a n d V i s u a l i z a t i o n

U n i v e r s i t y o f B r e m e n

D - 2 8 3 3 4 B r e m e n

G e r m a n y

s k o r d e v @ m a t h e m a t i k . u n i - b r e m e n . d e

6


10/81

S h i f t - a d d c o r r e l a t i o n p a t t e r n s o f l i n e a r c e l l u l a r

a u t o m a t a a r e p s e u d o c e l l u l a r a u t o m a t a

A n d r e B a r b e

K a t h o l i e k e U n i v e r s i t e i t L e u v e n

D e p t . o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g

K a r d . M e r c i e r l a a n , 9 4

B - 3 0 0 1 L e u v e n

B e l g i u m

E m a i l : A n d r e . B a r b e @ e s a t . k u l e u v e n . a c . b e

W e c o n s i d e r l i n e a r c e l l u l a r a u t o m a t a ( C A ) d e n e d o v e r a n i t e c o m m u t a t i v e r i n g R w i t h

m u l t i p l i c a t i v e u n i t y . S h i f t - a d d c o r r e l a t i o n p a t t e r n s w e r e i n t r o d u c e d i n 1 ] , 2 ] a s a m e a n s t o

d e t e c t h i d d e n s t r u c t u r e s i n c o a r s e - g r a i n i n g i n v a r i a n t o r b i t s o f c e l l u l a r a u t o m a t a w i t h a l i n e a r

r u l e i n Z

p

.

D u a l a r r a y s o f s h i f t - a d d c o r r e l a t i o n p a t t e r n s

L e t a ( r ; c )

d e f

= ( a ( r ; c ) )

( r ; c ) 2 N Z

b e a t w o - d i m e n s i o n a l C A - o r b i t o b t a i n e d f r o m t h e o n e - d i m e n s i o n a l

i n i t i a l c o n g u r a t i o n ( a ( 0 ; c ) )

c 2 Z

t h r o u g h t h e l i n e a r r e c u r s i o n

a ( r ; c ) =

X

j 2 R

1

( 1 ; j ) a ( r ? 1 ; c ? j ) ;

w i t h R

1

a n i t e s u b s e t o f Z , a n d x e d c o e c i e n t s ( 1 ; j ) 2 R

f o r a l l j 2 R

1

( R

i s t h e

s e t o f n o n z e r o e l e m e n t s i n R ) . L e t ( v ; h ) b e a x e d e l e m e n t o f N Z , a n d l e t a n d b e

x e d p a r a m e t e r s i n R

, t h e n t h e ( v ; h ) - s h i f t - a d d c o r r e l a t i o n p a t t e r n s

v ; h

( r ; c ) i s d e n e d a s t h e

t w o - d i m e n s i o n a l s e q u e n c e ( s

v ; h

( r ; c ) )

( r ; c ) 2 N Z

, w i t h

s

v ; h

( r ; c )

d e f

= a ( r ; c ) + a ( r + v ; c + h ) :

( a l l o p e r a t i o n s a r e i n R o f c o u r s e . )

T h e a r r a y

S ( v ; h ) o f s h i f t - a d d ( c o r r e l a t i o n ) p a t t e r n s i s n o w d e n e d a s t h e t w o - d i m e n s i o n a l

s e q u e n c e o f p a t t e r n s ( s

v ; h

( r ; c ) )

( v ; h ) 2 N Z

.

I n a s i m i l a r w a y , w i t h ( r ; c ) a x e d e l e m e n t i n N Z , w e c a n c o n s i d e r t h e d u a l ( r ; c ) - s h i f t -

a d d p a t t e r n a s t h e t w o - d i m e n s i o n a l s e q u e n c e

s

r ; c

( v ; h )

d e f

= ( s

r ; c

( v ; h )

d e f

= a ( r ; c ) + a ( r + v ; c + h ) )

( v ; h ) 2 N Z

:

A l s o , t h e a r r a y o f d u a l s h i f t - a d d p a t t e r n s

S

( r ; c ) i s d e n e d a s t h e t w o - d i m e n s i o n a l s e q u e n c e

o f p a t t e r n s s

r ; c

( v ; h ) )

( r ; c ) 2 N Z

.

7


11/81

W h e n r e p r e s e n t e d g r a p h i c a l l y a s a r r a y s o f p a t t e r n s , b o t h

S ( v ; h ) a n d

S

( r ; c ) c a n b e s e e n

a s a d u a l p a i r o f n a t u r a l v i s u a l i s a t i o n s o f t h e f o u r - d i m e n s i o n a l s e q u e n c e

( s ( v ; h ; r ; c )

d e f

= a ( r ; c ) + a ( r + v ; c + h ) )

( v ; h ; r ; c ) 2 N Z N Z

:

R e g u l a r C A a n d a s s o c i a t e d p s e u d o - C A

A ( o n e - d i m e n s i o n a l ) C A w i t h t h e r u l e ( i n p o l y n o m i a l r e p r e s e n t a t i o n ) R ( x ) =

P

j 2 R

1

( 1 ; j ) x

j

,

e v o l v e s a c c o r d i n g t o t h e r e c u r s i o n

a ( r ; c ) =

X

j 2 R

1

( 1 ; j ) a ( r ? 1 ; c ? j ) ;

s t a r t i n g w i t h s o m e i n i t i a l s t a t e c o n g u r a t i o n a ( 0 ; c ) .

T h e c o r r e s p o n d i n g p s e u d o - C A i s d e n e d a s a C A - l i k e s t r u c t u r e t h a t e v o l v e s a c c o r d i n g t o t h e

m o d i e d r e c u r s i o n

q ( r ; c ) =

X

j 2 R

1

( 1 ; j ) q ( r ? 1 ; c ? j ) + ( 1 ) ;

s t a r t i n g w i t h t h e i n i t i a l c o n g u r a t i o n q ( 0 ; c ) = a ( 0 ; c ) , a n d w h e r e i s a x e d e l e m e n t o f R

a n d

( 1 )

d e f

= 1 ?

X

j 2 R

1

( 1 ; j ) :

I t i s a n i n t e r e s t i n g p r o p e r t y t o o b s e r v e t h a t , w h e r e a s a r e g u l a r C A a l s o s a t i s e s t h e

r e l a t i o n s h i p

a ( r ; c ) =

X

j 2 R

v

( v ; j ) a ( r ? v ; c ? j )

w i t h ( v ; j ) =

P

i 2 R

1

( 1 ; j ) ( v ? 1 ; c ? j ) a n d w i t h R

v

d e f

= f j j ( v ; j ) 6= 0 g ( f o r a l l v 2 N ) , t h e

p s e u d o - C A s a t i e s a c o r r e s p o n d i n g r e l a t i o n s h i p

q ( r ; c ) =

X

j 2 R

v

( v ; j ) a ( r ? v ; c ? j ) + ( v ) ;

w h e r e ( v )

d e f

= 1 ?

P

j 2 R

v

( v ; j ) .

T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s h i f t - a d d c o r r e l a t i o n p a t t e r n s a n d p s e u d o - C A

C o n s i d e r a l i n e a r C A o v e r R , e v o l v i n g u n d e r a g i v e n r u l e R ( x ) . F o r t h e a s s o c i a t e d s h i f t - a d d

c o r r e l a t i o n s p a t t e r n s a n d t h e i r d u a l s , t h e f o l l o w i n g f a c t s h o l d :

- s

v ; h

( r ; c ) - p a t t e r n s a r e r e g u l a r C A - p a t t e r n s e v o l v i n g u n d e r t h e r u l e R ( x ) .

- t h e

S ( v ; h ) - a r r a y o f s

v ; h

( r ; c ) - p a t t e r n s h a s t h e s t r u c t u r e o f a p s e u d o - C A o r b i t e v o l v i n g u n d e r

t h e r u l e R ( x ) .

- t h e d u a l s

r ; c

( v ; h ) - p a t t e r n s a r e p s e u d o - C A p a t t e r n s e v o l v i n g u n d e r t h e r u l e R ( x ) .

- t h e d u a l

S

( r ; c ) - a r r a y o f s

r ; c

( v ; h ) - p a t t e r n s h a s t h e s t r u c t u r e o f a r e g u l a r C A o r b i t e v o l v i n g

u n d e r t h e r u l e R ( x ) .

R e f e r e n c e s

1 B a r b e , A . , v o n H a e s e l e r , F . , P e i t g e n , H . - O . , S k o r d e v , G . 1 9 9 5 ] \ C o a r s e - g r a i n i n g i n v a r i a n t

p a t t e r n s o f o n e - d i m e n s i o n a l t w o - s t a t e l i n e a r c e l l u l a r a u t o m a t a , " I n t . J . B i f u r c a t i o n a n d

C h a o s , 5 ( 6 ) , 1 6 1 1 - 1 6 3 1 .

8


12/81

2 B a r b e , A . 1 9 9 6 ] \ C o a r s e - g r a i n i n g i n v a r i a n t o r b i t s o f o n e - d i m e n s i o n a l Z

p

- l i n e a r c e l l u l a r

a u t o m a t a , " t o a p p e a r i n I n t . J . B i f u r c a t i o n a n d C h a o s .

3 B a r b e , A . 1 9 9 6 ] \ S h i f t - a d d c o r r e l a t i o n p a t t e r n s o f o r b i t s o f o n e - d i m e n s i o n a l l i n e a r c e l l u l a r

a u t o m a t a , " t o a p p e a r i n I n t . J . B i f u r c a t i o n a n d C h a o s .

9


13/81

A l g e b r a i c A s p e c t s o f O n e D i m e n s i o n a l

R e v e r s i b l e C e l l u l a r A u t o m a t a

T i m B o y k e t t , U n i v e r s i t a t L i n z .

t i m @ b r u c k n e r . s t o c h . u n i - l i n z . a c . a t

P e d e r s e n ' s b r e a k t h r o u g h w o r k i n P e d 9 2 ] h a s o p e n e d 1 D C A t o a l g e b -

r a i c a n a l y s i s . H i s w o r k i n v o l v e s l o o k i n g a t C A a s g r o u p o i d s , e x a m p l e s o f

w h i c h p e r m e a t e a b s t r a c t a l g e b r a . A f u r t h e r d e v e l o p m e n t o f h i s w o r k g i v e s

a s i m p l e a b s t r a c t a l g e b r a i c c h a r a c t e r i s a t i o n o f 1 D r e v e r s i b l e C A a s ( 2 ; 2 ) {

a l g e b r a ( S ; ; ) s a t i s f y i n g t h e a x i o m s

( a b ) ( b c ) = b ( 1 )

( a b ) ( b c ) = b ( 2 )

T h i s s t r u c t u r e i s k n o w n a s a s e m i c e n t r a l b i g r o u p o i d a s i t g e n e r a l i s e s t h e

c e n t r a l g r o u p o i d s o f T r e v o r E v a n s a n d D o n a l d K n u t h .

E l e m e n t a r y r e s u l t s , p u b l i s h e d i n B o y 9 5 ] s h o w a n e q u i v a l e n t c o m b i n a t -

o r i c f o r m u l a t i o n . T h e s e r e c t a n g u l a r s t r u c t u r e s a r e e a s i l y s e e n t o b e e q u i v a l -

e n t t o t h e t a b l e s o f D a v i d H i l l m a n i n H i l 9 1 ] . T h e y h a v e a n u m b e r o f o t h e r

i n t e r e s t i n g p r o p e r t i e s , h o w e v e r , r e l a t i n g t o s o m e q u e s t i o n s i n m a t r i x t h e o r y

a n d d i g r a p h t h e o r y .

R e c e n t w o r k h a s r e s u l t e d i n e c i e n t c o m b i n a t o r i c a l g o r i t h m s t o e x h a u s t -

i v e l y e n u m e r a t e e x a m p l e s , r e a c h i n g c u r r e n t l y u p t o o r d e r 1 0 . I n t h i s f o r -

m u l a t i o n , a l g e b r a i c c o n c e p t s o f p a r t i c l e { l i k e b e h a v i o u r c a n b e f o r m u l a t e d ,

r e s u l t i n g i n t h e d i s c o v e r y o f s i g n i c a n t a m o u n t s o f s u c h b e h a v i o u r i n t h e

e x a m p l e s c o n s t r u c t e d .

A s u r v e y o f t h e s e r e s u l t s w i l l b e p r e s e n t e d , a l o n g w i t h v a r i o u s i n t e r e s t i n g

o p e n q u e s t i o n s .

R e f e r e n c e s

B o y 9 5 ] T i m B o y k e t t . C o m b i n a t o r i a l c o n s t r u c t i o n o f o n e d i m e n s i o n a l r e -

v e r s i b l e c e l l u l a r a u t o m a t a . I n G . P i l z , e d i t o r , C o n t r i b u t i o n s t o

G e n e r a l A l g e b r a 9 , p a g e s 8 1 { 9 0 . H o l d e r { P i c h l e r { T e m p s k y , T e u b -

n e r , 1 9 9 5 .

H i l 9 1 ] D a v i d H i l l m a n . T h e s t r u c t u r e o f r e v e r s i b l e o n e { d i m e n s i o n a l c e l l u l a r

a u t o m a t a . P h y s i c a A , 5 2 : 2 7 7 { 2 9 2 , 1 9 9 1 .

1 0


14/81

P e d 9 2 ] J o h n P e d e r s o n . C e l l u l a r a u t o m a t a a s a l g e b r a i c s y s t e m s . C o m p l e x

S y s t e m s , 6 : 2 3 7 { 2 5 0 , 1 9 9 2 .

1 1


15/81

T i m e c o m p u t a b i l i t y o f f u n c t i o n s i n

( b o u n d e d ) o n e - w a y c e l l u l a r a u t o m a t a

T h o m a s B u c h h o l z a n d M a r t i n K u t r i b

A G I n f o r m a t i k

U n i v e r s i t a t G i e e n

A r n d t s t r . 2 , D { 3 5 3 9 2 G i e s s e n

f b u c h h o l z , k u t r i b g @ i n f o r m a t i k . u n i - g i e s s e n . d e

T h e c l a s s i c a l g r a m m a r - b a s e d l a n g u a g e t h e o r y c l a s s i e s l a n g u a g e s b y t h e i r s t r u c -

t u r a l c o m p l e x i t y . A n o t h e r c l a s s i c a t i o n ( c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y ) i s b a s e d o n

t h e a m o u n t o f t i m e , s p a c e , o r o t h e r r e s o u r c e s n e e d e d t o r e c o g n i z e a l a n g u a g e

o n s o m e d e v i c e , s u c h a s T u r i n g m a c h i n e s o r c e l l u l a r a u t o m a t a . T h a t i s , t h e

r e s o u r c e s a v a i l a b l e a r e b o u n d e d b y a f u n c t i o n f . I n o r d e r t o o b t a i n a i n n i t e

d e n s e h i e r a r c h y o n e w a y ( b y u s i n g d i a g o n a l i z a t i o n ) i s t o e n s u r e t h a t o n l y a s l i g h t

i n c r e a s e i n t h e g r o w t h r a t e o f f y i e l d s t o a n e w c o m p l e x i t y c l a s s . T h e r e f o r e

s o m e \ w e l l - b e h a v e d " c o m p l e x i t y f u n c t i o n s a r e u s e d , w h e r e t h e n o t i o n o f w e l l -

b e h a v i o u r i s c o n c r e t i z e d i n t e r m s o f c o n s t r u c t i b i l i t y o f f u n c t i o n s w i t h r e s p e c t

t o t h e i n v e s t i g a t e d r e s o u r c e s a n d d e v i c e s .

W e t r a n s f e r t h e n o t i o n o f t i m e - c o n s t r u c t i b i l i t y t o ( b o u n d e d ) o n e - w a y c e l l u l a r

a u t o m a t a ( w h e r e w e w i l l c a l l i t t i m e - c o m p u t a b i l i t y , t h e n ) . S u r e l y , w e c a n n o t

h o p e t o o b t a i n a n i n n i t e h i e r a r c h y o f c o m p l e x i t y c l a s s e s f o r O C A s u s i n g s u c h

f u n c t i o n s ( d i a g o n a l i z a t i o n d o e s n o t w o r k ) . H o w e v e r w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e

s p e c t r u m o f O C A - t i m e - c o m p u t a b l e f u n c t i o n s a s i s f o r u n d e r s t a n d i n g t h e c a p -

a b i l i t i e s o f o n e - w a y c e l l u l a r a u t o m a t a . I n t h e t a l k w e w i l l g i v e s o m e e x a m p l e s o f

O C A - t i m e - c o m p u t a b l e f u n c t i o n s a n d s h o w t h e e x i s t e n c e o f s e v e r a l g a p s i n t h e

s p e c t r u m . F u r t h e r w e w i l l c h a r a k t e r i z e O C A - t i m e - c o m p u t a b l e f u n c t i o n s b y a

s p e c i a l f a m i l y o f l a n g u a g e s e a c h o f w h i c h i s a c c e p t a b l e b y a n O C A i n r e a l - t i m e .

R e f e r e n c e s

1 ] T h o m a s B u c h h o l z a n d M a r t i n K u t r i b . O n t i m e c o m p u t a b i l i t y o f f u n c t i o n s

i n o n e - w a y c e l l u l a r a u t o m a t a . R e p o r t 9 5 0 2 , A G I n f o r m a t i k , U n i v e r s i t y

G i e s s e n , G i e s s e n , 1 9 9 5 .

2 ] J a c q u e s M a z o y e r a n d V e r o n i q u e T e r r i e r . S i g n a l s i n o n e d i m e n s i o n a l c e l l u l a r

a u t o m a t a . R e s e a r c h R e p o r t R R 9 4 - 5 0 , E c o l e N o r m a l e S u p e r i e u r e d e L y o n ,

L y o n , 1 9 9 4 .

3 ] R o l a n d V o l l m a r . A l g o r i t h m e n i n Z e l l u l a r a u t o m a t e n . T e u b n e r , S t u t t g a r t ,

1 9 7 9 .

1 2


16/81

G r o w i n g P a t t e r n s i n 1 D C e l l u l a r

A u t o m a t a

B r u n o D u r a n d

W e s t u d y l i m i t e v o l u t i o n s o f c e l l u l a r a u t o m a t a ( C A ) b o t h t h e o r e t i c a l l y

a n d e x p e r i m e n t a l l y . W e s h o w t h a t e i t h e r a l l o r b i t s e n t e r t h e l i m i t s e t a f t e r

l e s s t h a n a n i t e l y b o u n d e d n u m b e r o f s t a t e s , o r a l m o s t a l l o r b i t s n e v e r e n t e r

t h e l i m i t s e t . W e l i n k t h i s r e s u l t w i t h a c l a s s i c a t i o n o f C A s a c c o r d i n g t o

t h e i r l i m i t b e h a v i o r d u e t o

C u l i k e t a l : i n t h e r s t c a s e , t h e c o n s i d e r e d C A

b e l o n g s t o c l a s s 1 w h i l e i n t h e s e c o n d c a s e , i t b e l o n g s t o c l a s s 2 .

B y e x p e r i m e n t s , w e t r y t o m e a s u r e t h e c o n v e r g e n c e s p e e d o f o r b i t s t o

t h e i r a c c u m u l a t i o n p o i n t s . W e c o m p u t e t h e m a x i m u m n u m b e r o f n e s t e d

g r o w i n g s e g m e n t s i n a s p a c e - t i m e d i a g r a m r e p r e s e n t i n g a n i t e p o r t i o n o f

a n o r b i t . W e o b s e r v e t h a t , i n t h e a v e r a g e c a s e , t h i s c r i t e r i o n d e p e n d s o n l y

o n t h e C A a n d n o t o n t h e c o n g u r a t i o n . W e a l s o o b s e r v e t w o k i n d s o f

C A w r t o u r c r i t e r i o n w h i c h c o r r e s p o n d t o t h e i n t u i t i v e n o t i o n s o f c h a o s a n d

r e g u l a r i t y . W e d o f u r t h e r e x p e r i m e n t s t o e x p l a i n t h e f a c t t h a t t h e p r o p o r t i o n

o f c h a o t i c d i a g r a m s g r o w s w i t h t h e n u m b e r o f s t a t e s o f t h e c o n s i d e r e d C A .

1 3


17/81

S a n d D r i p p i n g i n L i n e a r S p a c e

J e r ^ o m e O l i v i e r D u r a n d - L o s e

y

L a B R I , u r a c n r s 1 3 0 4 ,

U n i v e r s i t e B o r d e a u x I ,

3 5 1 , c o u r s d e l a L i b e r a t i o n ,

3 3 4 0 5 T a l e n c e C e d e x ,

F r a n c e .

e - m a i l : j d u r a n d @ l a b r i . u - b o r d e a u x . f r

A b s t r a c t

W e s t u d y t h e e v o l u t i o n o f a n e m p t y l i n e a r s a n d p i l e s y s t e m w h i c h r e -

c e i v e s a s a n d g r a i n i n i t s r s t p i l e e a c h t i m e . W e e n c o d e i t w i t h a n o t h e r

c e l l u l a r a u t o m a t a , t h e C h i p F i r i n g G a m e . G e o m e t r i c a l o b s e r v a t i o n s l e a d

t o a s i g n a l e n c o d i n g o f c o n g u r a t i o n s . T h e i n t e r a c t i o n s o f s i g n a l s a r e s t u d -

i e d . C o n g u r a t i o n s a r e d i v i d e d i n t w o p a r t s o f s l o p e s 1 a n d 2 . W e m a k e

a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n s o f v a r i o u s p a r a m e t e r s d e n i n g t h e c o n g u r a -

t i o n s . E s p e c i a l l y , w e n d t h a t t h e c o n g u r a t i o n s a r e e x p a n d i n g r e g u l a r l y

i n t e r m s o f t h e s q u a r e r o o t o f t h e n u m b e r o f f a l l e n g r a i n s a n d t h e r a t i o o f

t h e w i d t h o f t h e t w o p a r t s o f t h e c o n g u r a t i o n s i s

p

2 .

S a n d P i l e s M o d e l ( s p m ) a n d C h i p F i r i n g G a m e s ( c f g ) a r e v e r y s i m p l e s y s t e m s

b a s e d o n l o c a l i n t e r a c t i o n s w h i c h c o n s e r v e t h e t o t a l n u m b e r o f g r a i n s . I n s p m ,

a g r a i n m o v e s t o a n e i g h b o r s i t e i f t h e n u m b e r o f g r a i n s i n t h e t w o p i l e s d i e r s

b y m o r e t h a n a g i v e n t h r e s h o l d , w h e r e a s i n c f g a s i t e g i v e s a c h i p t o e a c h o f i t s

n e i g h b o r s i f i t s n u m b e r o f c h i p s i s a b o v e t h e n u m b e r o f n e i g h b o r s . I n t h e l i n e a r

c a s e , b o t h g a m e s a r e 1 - D c e l l u l a r a u t o m a t a a n d a r e e q u i v a l e n t v i a a s i m p l e

e n c o d i n g 7 ] .

T h e s e m o d e l s w e r e r s t i n t r o d u c e d i n p h y s i c s t o s t u d y t h e s o c a l l e d ` 1 = f

p h e n o m e n o n ' a n d ` S e l f - O r g a n i z e d C r i t i c a l i t y ' i n a v a l a n c h e s , e a r t h q u a k e s , p l a s -

m a s , . . . 1 2 ] .

s p m a n d c f g , l i k e P e t r i N e t s 1 0 ] , a r e u s e d t o m o d e l p a r a l l e l c o m p u t i n g , i n

p a r t i c u l a r t h e o w s o f i n f o r m a t i o n s i n a s y s t e m . G r a i n s m o d e l d a t a o r t a s k s ,

a n d p i l e s , a p r o c e s s o r n e t w o r k 1 1 ] . T h e g o a l i s t o n d a s i m p l e , f a s t a n d c o s t l e s s

l o c a l r e o r g a n i z a t i o n w h i c h e n s u r e s t h a t a l l p r o c e s s o r s w i l l h a v e a l m o s t t h e s a m e

a m o u n t o f w o r k .

T h i s w o r k w a s p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y E C O S a n d t h e F r e n c h C o o p e r a t i o n i n C h i l e .

y

T h i s r e s e a r c h w a s d o n e w h i l e t h e a u t h o r w a s i n t h e D e p a r t a m e n t o d e I n g e n i e r a

M a t e m a t i c a , F a c u l t a d d e C i e n c i a s F s i c a s y M a t e m a t i c a s , U n i v e r s i d a d d e C h i l e , S a n t i a g o ,

C h i l e .

1 4


18/81

W e l i m i t t h e p r o b l e m t o l i n e a r s p a c e . G o l e s a n d K i w i h a v e w i d e l y s t u d i e d

t h e c a s e o f l i n e a r s p m a n d t h e r e l a t e d c f g 6 , 7 ] . T h e y h a v e d e t a i l e d t h e d y n a m i c

a s w e l l a s d e m o n s t r a t e d t h e u n i c i t y o f t h e n a l c o n g u r a t i o n w h a t e v e r t h e o r d e r

o f t h e i t e r a t i o n s i s f o r v a r i o u s s e q u e n t i a l c a s e s .

A n d e r s o n e t a l . s t u d i e d a s i m i l a r p r o b l e m i n 1 ] . T h e y a l s o f o u n d s i g n a l s i n

c f g , b u t t h e i r m o d e l a l l o w s t h a t m o r e t h a n o n e g r a i n t r a v e l b e t w e e n t w o p i l e s

a t t h e s a m e t i m e .

W e s t u d y t h e p a r a l l e l u p d a t i n g o f a s y s t e m w h i c h i s e m p t y a t s t a r t a n d

t h a t , w h i l e r e l a x i n g , r e c e i v e s g r a i n s i n i t s r s t s i t e . I t c a n b e u n d e r s t o o d a s

s a n d d r i p p i n g i n a t h i n b u t l o n g h o u r g l a s s .

T r i a n g l e s t r a p s a p p e a r o n 3 - D r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e e v o l u t i o n o f t h e s y s -

t e m . U s i n g a h e i g h t d i e r e n c e n o t a t i o n , w e s w i t c h t o t h e c f g m o d e l . A l l

c o n g u r a t i o n a r e t h e n o f t h e f o r m 2

( 1 3 )

( 0 2 )

1

. T h e y a r e m a d e o f t w o p a r t s

o f d i s t i n c t s l o p e s ( 2 f o r 2

( 1 3 )

t h e n 1 f o r ( 0 2 )

1

) . E a c h o n e i s i t s e l f c o m p o s e d

o f t w o s e c t i o n s o f d i e r e n t m o t i f s .

T h e c o n g u r a t i o n s a r e p a r t e d i n f o u r s e c t i o n s a m o u n t i n g t o t h e f o u r m o t i f s ,

d e l i m i t e d b y s i g n a l - l i k e f r o n t i e r s . T h e r s t s i g n a l s , b e t w e e n 2

a n d ( 1 3 )

, a n d

l a s t o n e , b e t w e e n ( 0 2 )

a n d 1

, a r e a l w a y s m o v i n g b e t w e e n t h e b o r d e r s o f t h e

c o n g u r a t i o n s a n d t h e s e c o n d o n e , b e t w e e n ( 1 3 )

a n d ( 0 2 )

. T h e s e c o n d s i g n a l

i s x e d , i t i s o n l y m o v e d b y t h e t w o o t h e r o n e s . I t s o m e h o w c o u n t s t h e c o m m i n g

a n d g o i n g o f t h e t w o o t h e r s .

W e g i v e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n s o f t h e d i e r e n t p a r a m e t e r s a n d g e o m e t -

r i c a l s h a p e . A s e x p e c t e d , s i n c e t h e g r a i n s m u s t l l a s u r f a c e , w e f o u n d t h a t t h e

h e i g h t a n d w i d t h o f t h e s y s t e m a r e g r o w i n g i n o (

p

n ) , w h e r e n i s t h e n u m b e r o f

f a l l e n g r a i n s . M o r e o v e r t h e r e l a t i v e l e n g t h o f t h e t w o p a r t s c o n v e r g e s t o w a r d s

p

2 .

R e f e r e n c e s

1 ] R . A n d e r s o n , L . L o v a s z , P . S h o r , J . S p e n c e r , E . T a r d o s , a n d S . W i n o g r a d . D i s k s ,

B a l l s a n d W a l l s : A n a l y s i s o f a C o m b i n a t o r i a l G a m e . A m e r i c a n M a t h e m a t i c s

M o n t h l y , ( 9 6 ) : 4 8 1 { 4 9 3 , 1 9 8 9 .

2 ] J . B i t a r a n d E . G o l e s . P a r a l l e l C h i p F i r i n g G a m e s o n G r a p h s . T h e o r e t i c a l C o m -

p u t e r S c i e n c e , 9 2 : 2 9 1 { 3 0 0 , 1 9 9 2 .

3 ] A . B j o n e r a n d L . L o v a s z . C h i p - F i r i n g G a m e s o n D i r e c t e d G r a p h s . J o u r n a l o f

A l g e b r a i c C o m b i n a t o r i c s , 1 : 3 0 5 { 3 2 8 , 1 9 9 2 .

4 ] A . B j o n e r , L . L o v a s z , a n d P . W . S h o r . C h i p - F i r i n g G a m e s o n G r a p h s . E u r o p . J .

C o m b i n a t o r i c s , 1 2 : 2 8 3 { 2 9 1 , 1 9 9 1 .

5 ] J . O . D u r a n d - L o s e . A u t o m a t e s C e l l u l a i r e s , A u t o m a t e s a P a r t i t i o n s e t T a s d e

S a b l e . P h D t h e s i s , l a b r i , 1 9 9 6 .

6 ] E . G o l e s a n d M . K i w i . D y n a m i c s o f s a n d - p i l e s g a m e s o n g r a p h s . I n L A T I N ' 9 2 .

L e c t . N o t e s i n C o m p . S c i . 5 8 3 , p a g e s 2 1 9 { 2 3 0 . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 2 .

7 ] E . G o l e s a n d M . K i w i . G a m e s O n L i n e G r a p h s a n d S a n d P i l e s . T h e o r e t i c a l

C o m p u t e r S c i e n c e , 1 1 5 : 3 2 1 { 3 4 9 , 1 9 9 3 .

8 ] P . G r a s s b e r g e r a n d S . M a n n a . S o m e M o r e S a n d p i l e s . 1 9 9 0 .

1 5


19/81

9 ] E . P r i s n e r . P a r a l l e l c h i p r i n g o n d i g r a p h s . C o m p l e x S y s t e m s , 1 9 9 3 .

1 0 ] C . R e u t e n a u e r . A s p e c t s M a t h e m a t i q u e s d e s R e s e a u x d e P e t r i . M a s s o n , 1 9 8 9 .

1 1 ] R . S u b r a m a n i a n a n d I . S c h e r s o n . A n A n a l i s y s o f D i u s i v e L o a d - B a l a n c i n g . I n

A C M S y m p o s i u m o n P a r a l l e l A l g o r i t h m s a n d A r c h i t e c t u r e , p a g e s 2 2 0 { 2 2 5 , 1 9 9 4 .

1 2 ] Y . - C . Z h a n g . S c a l i n g T h e o r y o f S e l f - O r g n i z e d C r i t i c a l i t y . P h y s i c a l R e v i e w L e t t e r s ,

6 3 ( 5 ) : 4 7 0 { 4 7 3 , 1 9 8 9 .

1 6


20/81

C e l l u l a r a u t o m a t a a n d a t t r i b u t e d p a r a l l e l

a r r a y g r a m m a r s

R u d o l f F R E U N D

T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t W i e n , I n s t i t u t f u r C o m p u t e r s p r a c h e n

R e s s e l g a s s e 3 , A - 1 0 4 0 W i e n , A u s t r i a

e m a i l : f r e u n d @ c s d e c 1 . t u w i e n . a c . a t

F r i t z T A F I L L

T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t W i e n , I n s t i t u t f u r E l e k t r o t e c h n i k u n d E l e k t r o n i k ,

A r b e i t s g r u p p e f u r N e u r o n a l e E l e k r o n i k

G u h a u s s t r a e 2 5 { 2 9 , A - 1 0 4 0 W i e n , A u s t r i a

e m a i l : f r i t z @ s y n a p s e . i a e e . t u w i e n . a c . a t

A B S T R A C T . T h e c o n c e p t o f n - d i m e n s i o n a l p a r a l l e l a r r a y g r a m m a r s

( e . g . s e e 1 ] ) i s a u s e f u l m e a n s f o r t h e f o r m a l s y n t a c t i c d e s c r i p t i o n o f n - d i m e n s i o n a l

c e l l u l a r a u t o m a t a ( 7 ] ) ; f o r t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e , a s u r v e y o f p o s s i b l e a p -

p l i c a t i o n s o f a r r a y a u t o m a t a l i k e p i c t u r e r e c o g n i t i o n i s g i v e n i n 5 ] . A s n -

d i m e n s i o n a l p a r a l l e l a r r a y g r a m m a r s a r e a m o r e g e n e r a l m o d e l t h a n n - d i m e n s i o n a l

c e l l u l a r a u t o m a t a , t h e y a l s o a l l o w f o r s i m p l e r s o l u t i o n s o f c o m p l e x p r o b l e m s .

A t t r i b u t e d p a r a l l e l a r r a y g r a m m a r s h a v e b e e n s h o w n t o b e a u s e f u l t o o l f o r t h e

f o r m a l d e s c r i p t i o n o f t h e s t a t i c a n d d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s o f n e u r a l n e t w o r k s ;

b e c a u s e o f t h e u n d e r l y i n g g r i d s t r u c t u r e , K o h o n e n ' s m o d e l o f s e l f - o r g a n i z i n g

f e a t u r e m a p s ( e . g . s e e 6 ] ) i s e s p e c i a l l y w e l l s u i t e d f o r b e i n g r e p r e s e n t e d b y

n - d i m e n s i o n a l p a r a l l e l a r r a y g r a m m a r s ( e . g . s e e 3 ] , 4 ] ) . U s i n g t h e c o n c e p t o f

d i e r e n t l e v e l s o f s c a l i n g l i k e i n 2 ] , e v e n h i e r a r c h i c a l n e t w o r k s c a n b e m o d e l l e d

b y a t t r i b u t e d p a r a l l e l a r r a y g r a m m a r s .

R e f e r e n c e s

1 ] R . F r e u n d , \ A s p e c t s o f n - d i m e n s i o n a l L i n d e n m a y e r s y s t e m s " , D e v e l o p m e n t s

i n L a n g u a g e T h e o r y , T u r k u , F i n l a n d , 1 9 9 3 .

2 ] R . F r e u n d , \ M u l t i - l e v e l e c o - a r r a y g r a m m a r s " , A r t i c i a l L i f e { G r a m m a t i c a l

M o d e l s ( G h . P a u n , e d . , B l a c k S e a U n i v e r s i t y P r e s s , B u c u r e s t i , 1 9 9 5 ) , p p .

1 6 6 { 1 7 4 .

3 ] R . F r e u n d , F . T a l l , \ M o d e l l i n g K o h o n e n n e t w o r k s b y a t t r i b u t e d p a r a l l e l

a r r a y s y s t e m s " , S P I E ' 9 3 , I n n s b r u c k , A u s t r i a , 1 9 9 3 .

4 ] R . F r e u n d , F . T a l l , \ F o r m a l r e p r e s e n t a t i o n o f n e u r a l n e t w o r k s " , I C -

A N N ' 9 4 , S o r r e n t o , I t a l y , 1 9 9 4 .

5 ] K . I n o u e , I . T a k a n a m i , \ A s u r v e y o f t w o - d i m e n s i o n a l a u t o m a t a t h e o r y " ,

I n f o r m a t i o n S c i e n c e s 5 5 ( 1 9 9 1 ) , p p . 9 9 { 1 2 1 .

1 7


21/81

6 ] H . R i t t e r , K . S c h u l t e n , T . M a r t i n e t z , N e u r o n a l e N e t z e ( A d d i s o n - W e s l e y ,

D e u t s c h l a n d , 1 9 9 0 ) .

7 ] S . W o l f r a m ( e d . ) , T h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s o f c e l l u l a r a u t o m a t a ( W o r l d S c i -

e n t i c P u b l . , S i n g a p o r e , 1 9 8 6 ) .

1 8


22/81

B i l i n e a r C e l l u l a r A u t o m a t a

R o n B a r t l e t t M a x G a r z o n

M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s

D e n i s o n U n i v e r s i t y T h e U n i v e r s i t y o f M e m p h i s

G r a n v i l l e , O h i o 4 3 0 2 3 U S A M e m p h i s , T e n n e s s e e 3 8 1 5 2 U S A

b a r t l e t t @ s u n s h i n e . m a t h s c i . d e n i s o n . e d u g a r z o n m @ h e r m e s . m s c i . u m e m . e d u

A b s t r a c t

B i l i n e a r c e l l u l a r a u t o m a t a ( C A ) a r e t h o s e w h o s e n e x t s t a t e m a y b e

e x p r e s s e d a s a b i l i n e a r f o r m ( a n i n n e r p r o d u c t ) o f t h e n e i g h b o r i n g s t a t e s .

I n t h i s p a p e r w e s h o w t h a t , u n l i k e l i n e a r C A , t h e b i l i n e a r C A o v e r Z

p

p

a r e

- u n i v e r s a l , i . e . c a p a b l e o f s i m u l a t i n g a n y C A o f t h e s a m e d i m e n s i o n , a n d

h e n c e a l s o c a p a b l e o f s i m u l a t i n g a n y ( u n i v e r s a l ) T u r i n g m a c h i n e . E v i d -

e n c e i s g i v e n t h a t t h e b i l i n e a r C A o v e r Z

m

, t h e i n t e g e r s m o d u l o m , m a y

b e u n i v e r s a l a s w e l l . ( A l t h o u g h , l i k e C o n w a y ' s G a m e o f L i f e , t h i s a p p e a r s

t o b e d i c u l t t o e s t a b l i s h , e v e n f o r a p r i m e n u m b e r o f s t a t e s ) . A s s u m i n g

t h a t t h e b i l i n e a r C A s o v e r Z

m

a r e T - u n i v e r s a l , w e a l s o g i v e a f a i r l y c o m -

p l e t e W o l f r a m t y p e c l a s s i c a t i o n o f t h e b i l i n e a r C A o v e r Z

m

a c c o r d i n g t o

p r o p e r t i e s o f t h e c o e c i e n t m a t r i x . A s f u r t h e r e v i d e n c e , w e s h o w b i l i n -

e a r a u t o m a t a a r e g o o d m o d e l s o f d i s c r e t e g r a v i t a t i o n a l e l d s ( m o n o m i a l

t y p e s ) , s o l i t o n s , b o u n d e d g r o w t h , e d g e d e t e c t i o n , a n d o t h e r a p p l i c a t i o n s .

1 9


23/81

C A - l i k e e r r o r p r o p a g a t i o n i n f u z z y c e l l u l a r

a u t o m a t a

F r e d e r i c G e u r t s

W e d e s c r i b e a n d a n a l y z e t h e s u r p r i s i n g e v o l u t i o n o f a n o v e r o w e r r o r E

w h i c h h a s s p o n t a n e o u s l y o c c u r r e d d u r i n g t h e s i m u l a t i o n o f a c l a s s o f c o n t i n u o u s

c o m p l e x s y s t e m s c a l l e d \ c e l l u l a r c o u p l e d m a p l a t t i c e s " ( ? C M L ) o r f u z z y C A .

I n f a c t , t h i s e r r o r e v o l v e s a s a b o o l e a n c e l l u l a r a u t o m a t o n ( C A ) , r e g a r d l e s s o f

a n d d e s t r o y i n g t h e u n d e r l y i n g s y s t e m e v o l u t i o n .

T h e e r r o r a n d i t s e v o l u t i o n a r e f u l l y r e p r o d u c i b l e , a n d i t s b e h a v i o r c a n b e

f u l l y c h a r a c t e r i z e d . A n i n t e r e s t i n g a n d i m p o r t a n t a s p e c t o f t h i s p h e n o m e n o n i s

t h a t i t s h o w s a q u a s i - n a t u r a l o c c u r r e n c e o f a n a r t i c i a l w o r l d .

2 0


24/81

( N o n ) - A u t o m a t i c i t y o f O r b i t s o f L i n e a r C e l l u l a r

A u t o m a t a

F r i t z v . H a e s e l e r

1

C e n t e r f o r C o m p l e x S y s t e m s a n d V i s u a l i z a t i o n

U n i v e r s i t y o f B r e m e n

D - 2 8 3 3 4 B r e m e n

T h i s i s a n a b r i d g e d v e r s i o n o f a j o i n t p a p e r , s e e 3 ] , o n t h e a u t o m a t i c t y o f o r b i t s o f

l i n e a r c e l l u l a r a u t o m a t a . W e p r e s e n t a n e x t e n s i o n o f r e s u l t s i n 2 , 6 ] .

1 P r e l i m i n a r i e s

L e t u s q u i c k l y r e c a l l w h a t k - a u t o m a t i c s e q u e n c e s a n d d o u b l e s e q u e n c e s a r e . F o r

m o r e d e t a i l s o n a u t o m a t i c s e q u e n c e s t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o e . g . 1 ] .

D e n i t i o n 1 L e t p 2 b e a n i n t e g e r . A s e q u e n c e f x ( n ) g

n 2 N

w i t h v a l u e s i n a n i t e

s e t i s c a l l e d p - a u t o m a t i c i f i t s p - k e r n e l , i . e . , t h e s e t o f s u b s e q u e n c e s

f n 7! x ( p

i

n + j ) j i 0 ; 0 j p

i

? 1 g ;

i s n i t e .

T h e d o u b l e s e q u e n c e f u ( n ; k ) g

n ; k 2 N

w i t h v a l u e s i n a n i t e s e t i s c a l l e d p - a u t o m a t i c

i f t h e p - k e r n e l , i . e . , t h e s e t

f n 7! u ( p

i

n + j ; p

i

k + l ) j i 0 ; 0 j ; l p

i

? 1 g ;

i s n i t e .

M o s t i m p o r t a n t f o r o u r c o n s i d e r a t i o n s i s t h e f o l l o w i n g v e r s i o n o f C o b h a m ' s T h e -

o r e m , s e e 4 ] .

T h e o r e m 2 ( C o b h a m )

L e t p

1

; p

2

b e d i e r e n t p r i m e n u m b e r s . A s e q u e n c e

f x ( n ) g i s p

1

- a u t o m a t i c a n d p

2

- a u t o m a t i c i f a n d o n l y i f f x ( n ) g i s e v e n t u a l l y

p e r i o d i c .

L e t p b e a p r i m e n u m b e r . I f f x ( n ) g i s n o t e v e n t u a l l y p e r i o d i c a n d p - a u t o m a t i c ,

t h e n f x ( n ) g i s k - a u t o m a t i c i f a n d o n l y i f k = p

a

f o r s o m e a 2 N .

L e t m b e a n a t u r a l n u m b e r . W e d e n o t e t h e s e t o f r e s i d u e c l a s s e s o f Z m o d u l o m

b y Z

m

. F u r t h e r m o r e , w e c o n s i d e r t h e s e t Z

m

a s a r i n g w i t h r i n g s t r u c t u r e i n d u c e d

1

s u p p o r t e d b y t h e D e u t s c h e F o r s c h u n g s g e m e i n s c h a f t F o r s c h u n g s g r u p p e \ D y n a m i s c h e S y s t e m e "

2 1


25/81

b y t h e r i n g s t r u c t u r e o f Z . A n y p o l y n o m i a l R ( x ) 2 Z

m

x ] i n d u c e s a l i n e a r c e l l u l a r

a u t o m a t o n o n t h e c o n g u r a t i o n s p a c e

( Z

m

) =

8


26/81

I f 2 , t h e r e i s n o v a l u e o f k 2 f o r w h i c h ( f ( n ; t ) m o d m ) i s k - a u t o m a t i c .

I f = 1 , t h e n ( f ( n ; t ) m o d m ) i s k - a u t o m a t i c i f a n d o n l y i f k = p

, w h e r e

2 a n d p i s t h e p r i m e d i v i s o r f o r w h i c h r ( x ) m o d m i s n o t a m o n o m i a l .

I f = 0 , t h e n ( f ( n ; t ) m o d m ) i s k - a u t o m a t i c f o r a l l k 2 .

T h e m a i n i n g r e d i e n t o f t h e p r o o f o f t h e a b o v e t h e o r e m i s t h e f o l l o w i n g l e m m a

L e m m a 7 ( S l i c e L e m m a ) L e t p b e a p r i m e n u m b e r a n d l e t r ( x ) m o d p b e n o t

a m o n o m i a l , l e t a ( x ) 2 Z

p

x ] . T h e n t h e r e e x i s t ; 2 N s u c h t h a t t h e s e q u e n c e

u

p

( n ) = f f ( n ; n ) m o d p g

n 2 N

i s n o t e v e n t u a l l y p e r i o d i c .

T h e p r o o f o f t h e l e m m a m a k e s u s e o f t h e g e o m e t r i c a l d e s c r i p t i o n , c f . 5 ] , o f t h e o r b i t .

W e a r e n o w a b l e t o s k e t c h t h e p r o o f o f t h e m a i n t h e o r e m .

L e t p ; q b e d i e r e n t p r i m e n u m b e r s s u c h t h a t r ( x ) m o d p ; r ( x ) m o d q a r e n o t

m o n o m i a l s , r e s p e c t i v e l y . N o w s u p p o s e ( f ( n ; m ) m o d m ) t o b e k - a u t o m a t i c ,

t h e n , b y t h e S l i c e L e m m a , t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e u

p

( n ) w h i c h i s k - a u t o m a t i c

a n d p - a u t o m a t i c . B y C o b h a m ' s T h e o r e m , i t f o l l o w s t h a t k = p

a

. O n t h e o t h e r

h a n d , t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e u

q

( n ) w h i c h i s k - a u t o m a t i c a n d q - a u t o m a t i c ,

t h e r e f o r e k = q

b

; w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n .

L e t p b e t h e o n l y p r i m e d i v i s o r o f m s u c h t h a t r ( x ) m o d p i s n o t a m o n o m i a l ,

l e t m = p

a

q

a

1

1

q

a

w

w

b e t h e p r i m e f a c t o r i s a t i o n o f m . T h e n t h e r e e x i s t

j

; j =

1 ; : : : ; w , s u c h t h a t g

j

( x ) = r ( x )

j

h a s t h e p r o p e r t y g

j

( x )

k

= g

j

( x

k

) m o d q

a

i

i

.

M o r e o v e r , t h e r e e x i s t s a n s u c h t h a t g ( x ) = r ( x )

h a s t h e p r o p e r t y g ( x )

p

=

g ( x

p

) m o d p

a

. T h e n G ( x ) = r ( x )

1

w

h a s t h e p r o p e r t y G ( x )

p

= G ( x

p

) m o d p .

H e n c e ( f ( n ; t ) m o d m ) i s p - a u t o m a t i c . B y t h e S l i c e L e m m a , w e o b t a i n t h a t

( f ( n ; t ) m o d m ) i s k - a u t o m a t i c i f a n o n l y i f k i s o f t h e f o r m k = p

.

A s i m i l a r r e a s o n i n g a s f o r t h e s e c o n d c a s e s h o w s t h a t t h e r e e x i s t s a n a t u r a l

n u m b e r M s u c h t h a t G ( x ) = r ( x )

M

h a s t h e p r o p e r t y G ( x )

k

= G ( x

k

) m o d m .

T h e r e f o r e t h e s e q u e n c e ( f ( n ; t ) m o d m ) i s k - a u t o m a t i c f o r a l l k 2

R e f e r e n c e s

1 ] J . - P . A l l o u c h e , A u t o m a t e s n i s e n t h e o r i e d e s n o m b r e s , E x p o . M a t h . 5

( 1 9 8 6 ) , 2 3 9 - 2 6 6

2 3


27/81

2 ] J . - P . A l l o u c h e , F . v . H a e s e l e r , H . - O . P e i t g e n , G . S k o r d e v , L i n e a r c e l l u l a r a u t o -

m a t a , n i t e a u t o m a t a , a n d P a s c a l ' s t r i a n g l e , D i s c r e t e A p p l . M a t h . ( t o a p -

p e a r )

3 ] J . - P . A l l o u c h e , F . v . H a e s e l e r , H . - O . P e i t g e n , A . P e t e r s e n , G . S k o r d e v , A u t o -

m a t i c i t y o f d o u b l e s e q u e n c e s g e n e r a t e d b y o n e - d i m e n s i o n a l l i n e a r c e l l u l a r

a u t o m a t a , s u b m i t t e d

4 ] A . C o b h a m , O n t h e b a s e - d e p e n d e n c e o f s e t s o f n u m b e r s r e c o g n i z a b l e b y

n i t e a u t o m a t a , M a t h . S y s t e m s T h e o r y 3 ( 1 9 6 9 ) , 1 8 6 - 1 9 2

5 ] F . v . H a e s e l e r , H . - O . P e i t g e n , G . S k o r d e v , O n t h e f r a c t a l s t r u c t u r e o f r e s c a l e d

e v o l u t i o n s e t s o f c e l l u l a r a u t o m a t a n d a t t r a c t o r s o f d y n a m i c a l s y s t e m s , I n s t .

D y n . S y s t . , U n i v e r s i t y o f B r e m e n , R e p o r t 2 7 8 , 1 9 9 2

6 ] I . K o r e c , P a s c a l ' s t r i a n g l e s m o d u l o n a n d m o d u l a r t r e l l i s e s , C o m p u t e r s a n d

A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e 9 ( 1 9 9 0 ) , 1 0 5 - 1 1 3

2 4


28/81

C r y s t a l m e s h e s a n d s y m m e t r y

r e l a t i o n s h i p s :

A n a p p r o a c h b a s e d o n c e l l u l a r

h y p e r g r a p h s

P e t e r H a r t m a n n

F a c h g e b i e t M i k r o p r o g r a m m i e r u n g

F a c h b e r e i c h I n f o r m a t i k

T H D a r m s t a d t

A l e x a n d e r s t r a e 1 0 , D - 6 4 2 8 3 D a r m s t a d t , G e r m a n y

T e l . : + 4 9 ] 6 1 5 1 / 1 6 - 3 4 7 4 F a x : + 4 9 ] 6 1 5 1 / 1 6 - 5 4 1 0

E . - M a i l : h a r t m a n n @ i s a . i n f o r m a t i k . t h - d a r m s t a d t . d e

A b s t r a c t

L i k e t h r e e - d i m e n s i o n a l c e l l u l a r a u t o m a t a , c r y s t a l s a r e b a s e d o n

r e g u l a r g r i d s , t o o . C o n s e q u e n t l y , i f w e d i s c u s s q u e s t i o n s a b o u t t h e

s y m m e t r y o f c e l l u l a r a u t o m a t a , w e c a n p r o t f r o m r e s u l t s o b t a i n e d i n

t h e e l d o f c r y s t a l l o g r a p h y . I n t h i s c o n t r i b u t i o n i t w i l l b e d e s c r i b e d

h o w t h e e l e m e n t a r y c e l l s o f a c r y s t a l c a n b e f o r m u l a t e d u s i n g t h r e e -

d i m e n s i o n a l c e l l u l a r h y p e r g r a p h s . T h e s e g r a p h s a l l o w u s t o m o d e l

t h e g e o m e t r i c a l p r o p e r t i e s o f t h e e l e m e n t a r y c e l l s ( e . g . d i s t a n c e s a n d

a n g l e s ) o n a h i g h l e v e l o f a b s t r a c t i o n . F u r t h e r m o r e , t h e s y m m e t r y

e l e m e n t s ( e . g . m i r r o r p l a n e s , s y m m e t r y a x e s , . . . ) c a n b e e x p r e s s e d

i n t e r m s o f c o n s t r a i n t s o n s o m e c e l l u l a r h y p e r g r a p h . F i n a l l y , i f t h e r e

i s g i v e n t h e g r a p h o f t h e e l e m e n t a r y c e l l a n d a s e t o f s y m m e t r y c o n -

s t r a i n t s , i t i s p o s s i b l e t o c o n s t r u c t t h e c o m p l e t e c r y s t a l m e s h f r o m

t h i s d a t a . T h i s a l l o w s u s t o b u i l d c e l l u l a r a u t o m a t a m o d e l s o f c r y s t a l s

w i t h a r b i t r a r y s y m m e t r y p r o p e r t i e s .

2 5


29/81

K e y w o r d s : S t r u c t u r e o f c e l l u l a r a u t o m a t a , c e l l u l a r a u t o m a t a a s m o d e l s f o r

r e a l p h e n o m e n a

E x t e n d e d a b s t r a c t

T h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n t h i s c o n t r i b u t i o n w e r e i n i t i a t e d b y a d i s c u s s i o n w h i c h

I h a d s e v e r a l y e a r s a g o w i t h a c o l l e a g u e o f m i n e : H e w a s w o r k i n g a t t h e

c l a s s i c a t i o n o f c e l l u l a r a u t o m a t a m o d e l s , a n d c o n s e q u e n t l y i t w a s n e c e s s a r y

t o c l a r i f y w h i c h r e p e t i t i v e r e g u l a r ( e . g . s y m m e t r i c ) s t r u c t u r e s c a n b e b u i l t i n

t h r e e - d i m e n s i o n a l s p a c e .

I t i s c l e a r t h a t w e c a n p r o t f r o m t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n c r y s t a l l o g r a p h y

w h e n d i s c u s s i n g t h i s q u e s t i o n , b e c a u s e t h i s d i s c i p l i n e p r o v i d e s u s w i t h a c a t a -

l o g u e o f a l l c o n c e i v a b l e s y m m e t r i c r e p e t i t i v e m e s h e s ( s e e e . g . t h e t e x t b o o k s

1 , 5 ] ) . O n t h e o t h e r h a n d , c r y s t a l l o g r a p h y c a n p r o t f r o m c e l l u l a r a u t o m a t a

m o d e l s , t o o , w h e n p h y s i c a l p r o c e s s e s w h i c h t a k e p l a c e i n a c r y s t a l n e e d t o

b e s i m u l a t e d . B u t t h i s r e q u i r e s t h a t w e a r e e q u i p p e d w i t h a d e s c r i p t i o n l a n -

g u a g e f o r c e l l u l a r s y s t e m s ( e . g . C D L , f o r a n i n t r o d u c t i o n s e e 4 ] ) w h i c h a l l o w s

u s t o d e a l w i t h a n y i m a g i n a b l e s y m m e t r y r e l a t i o n s h i p s ( f o r a c t u a l r e s e a r c h

f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f c r y s t a l l o g r a p h y , s e e e . g . 6 ] ) .

S o I r e s u m e d t h e r e s e a r c h m e n t i o n e d a b o v e b e c a u s e o f t h e n d i n g t h a t

c e l l u l a r h y p e r g r a p h s a r e w e l l s u i t e d f o r d e s c r i b i n g t h e e l e m e n t a r y c e l l s o f a

c r y s t a l a s w e l l a s h o w t h e e l e m e n t a r y c e l l s a r e c o m p o s e d t o f o r m t h e c o m p l e t e

c r y s t a l m e s h . I n i t i a l l y c e l l u l a r h y p e r g r a p h s h a v e b e e n d e v e l o p e d w i t h r e s p e c t

t o i n h o m o g e n e o u s a n d d y n a m i c a l l y c h a n g i n g s t r u c t u r e s 2 ] . B u t t h e y c a n b e

u s e d a s w e l l f o r d e s c r i b i n g s t r u c t u r e s h a v i n g s o m e l o c a l i n h o m o g e n e i t y i n

c o m b i n a t i o n w i t h a n o v e r a l l r e g u l a r c h a r a c t e r . A n d f u r t h e r m o r e , t h e r e l a t i v e

a d d r e s s i n g m e c h a n i s m s d e n e d f o r c e l l u l a r h y p e r g r a p h s ( s e e 3 ] ) a l l o w u s t o

f o r m u l a t e t h e c o n s t r a i n t s o n a n y s y m m e t r y e l e m e n t s o f a g i v e n c r y s t a l .

T h e t a l k w i l l c o n s i s t o f t h r e e m a j o r s e c t i o n s : T h e r s t s e c t i o n w i l l g i v e a n

o v e r v i e w a b o u t t h e e s s e n t i a l s o f c r y s t a l l o g r a p h y . B a s e d o n t h e d i e r e n t t y p e s

o f s y m m e t r y a x e s , t h e t e r m s c r y s t a l s y s t e m , p o i n t g r o u p a n d s p a c e g r o u p w i l l

b e i l l u s t r a t e d . I n t h e s e c o n d s e c t i o n t h e f u n d a m e n t a l s a b o u t c e l l u l a r h y p e r -

g r a p h s a n d a b o u t r e l a t i v e a d d r e s s i n g w i t h i n t h e s e g r a p h s w i l l b e r e c a l l e d . I n

t h e n a l s e c t i o n i t w i l l b e d e m o n s t r a t e d h o w t h e e l e m e n t a r y c e l l o f a s a m p l e

c r y s t a l c a n b e d e s c r i b e d u s i n g a c e l l u l a r h y p e r g r a p h . A n d i t w i l l b e s h o w n

h o w t h e d e s c r i p t i o n o f t h e e l e m e n t a r y c e l l c a n b e c o m b i n e d w i t h a d d i t i o n a l

2 6


30/81

s y m m e t r y c o n s t r a i n t s , s u c h t h a t a c o m p l e t e c r y s t a l m e s h c a n b e c o n s t r u c t e d .

O u r p r o j e c t i s g r a n t e d b y t h e D e u t s c h e F o r s c h u n g s g e m e i n s c h a f t .

R e f e r e n c e s

1 ] W . B o r c h a r d t - O t t . K r i s t a l l o g r a p h i e . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 3 .

2 ] P . H a r t m a n n . P a r a l l e l R e p l a c e m e n t S y s t e m s o n G e o m e t r i c H y p e r g r a p h s :

A M a t h e m a t i c a l T o o l f o r H a n d l i n g D y n a m i c G e o m e t r i c S c e n e r i e s . P r o -

c e e d i n g s o f t h e V I t h I n t e r n a t i o n a l W o r k s h o p o n P a r a l l e l P r o c e s s i n g b y

C e l l u l a r A u t o m a t a a n d A r r a y s , P A R C E L L A W o r k s h o p P o t s d a m , 1 2 : 8 1 {

9 0 , S e p t e m b e r 1 9 9 4 .

3 ] P . H a r t m a n n . M o d e l s o f I n f o r m a t i o n P r o c e s s i n g i n I n h o m o g e n e o u s C e l l u -

l a r S t r u c t u r e s . F i r s t I n t e r n a t i o n a l W o r k s h o p o n I n f o r m a t i o n P r o c e s s i n g

i n C e l l s a n d T i s s u e s , L i v e r p o o l , 1 9 9 5 .

4 ] C h r i s t i a n H o c h b e r g e r , R o l f H o m a n n , a n d S . W a l d s c h m i d t . C o m p i l a t i o n

o f C D L f o r d i e r e n t T a r g e t A r c h i t e c t u r e s . P r o c e e d i n g s o f t h e t h i r d I n t e r -

n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n P a r a l l e l C o m p u t i n g T e c h n o l o g i e s ( P a C T - 9 5 ) , S t .

P e t e r s b u r g , R u s s i a , 1 9 9 5 .

5 ] D . M c K i e a n d C . M c K i e . E s s e n t i a l s o f C r i s t a l l o g r a p h y . B l a c k w e l l S c i -

e n t i c P u b l i c a t i o n s , 1 9 8 6 .

6 ] I . S e n s . H e r l e i t u n g m o g l i c h e r K r i s t a l l s t r u k t u r t y p e n . D i s s e r t a t i o n a m

F a c h b e r e i c h C h e m i e d e r P h i l i p p s - U n i v e r s i t a t M a r b u r g , 1 9 9 3 .

2 7


31/81

C o n s t a n t s p e e d - u p o n o n e

d i m e n s i o n a l c a l c u l a t o r s

O l i v i e r H e e n

L I T P - I B P , U n i v e r s i t e P a r i s 7 ,

2 P l a c e J u s s i e u , 7 5 2 5 1 P a r i s , F R A N C E .

1 R e c o g n i z e r s a n d c a l c u l a t o r s

A s i m p l e c e l l u l a r a u t o m a t o n i s a n i t e l i n e o f c e l l s w i t h n e a r e s t n e i g h b o r h o o d

a n d a q u i e s c e n t s t a t e ] . L a n g u a g e r e c o g n i z e r s s t o p w h e n t h e l e f t m o s t c e l l

e n t e r s a s p e c i a l s t a t e ( e i t h e r a c c e p t i n g o r r e j e c t i n g ) w h i c h i s t h e r e s u l t o f

t h e c o m p u t a t i o n . F u n c t i o n c a l c u l a t o r s s t o p w h e n t h e l e f t m o s t c e l l e n t e r s a

t e r m i n a t i n g s t a t e , a n d t h e r e s u l t i s t h e w h o l e c o n g u r a t i o n . I n t h i s c a s e , t h e

o u t p u t c a n b e s t a b l e o r s y n c h r o n i z e d .

2 E l e m e n t a r y c o m p l e x i t y r e s u l t s

T h e r e i s a l a r g e p a n e l o f c o m p l e x i t y r e s u l t s f o r r e c o g n i z e r s s u c h a s c o n s t a n t

o r l i n e a r s p e e d - u p t h e o r e m s .

T h e o r e m 1 ( s p e e d - u p f o r r e c o g n i z e r s I K M 8 5 , M R 9 2 , H e e 9 5 ] )

A n y r e c o g n i z e r w i t h s s t a t e s w o r k i n g i n t i m e u 7! j u j + t ( u ) c a n b e s i m u l a t e d

b y a r e c o g n i z e r w i t h O ( s

k + 1

) s t a t e s w o r k i n g i n t i m e u 7! j u j + s u p f t ( u ) ? k ; 0 g

a n d b y a r e c o g n i z e r w i t h O ( s

k

) s t a t e s w o r k i n g i n t i m e u 7! j u j + d t ( u ) = k e

( w h e r e k i s a p o s i t i v e i n t e g e r ) .

F o r c a l c u l a t o r s , h o w e v e r , t h e r e i s n o g e n e r a l l i n e a r s p e e d - u p t e c h n i q u e

( a l t h o u g h t h e r e m i g h t b e s o m e f o r \ s l o w e n o u g h " s y n c h r o n i z e d c a l c u l a t o r s ) .

C o n s t a n t s p e e d - u p i s p o s s i b l e C C 8 4 ] b u t r e q u i r e s a n e x p o n e n t i a l g r o w t h o f

t h e s e t o f s t a t e s .

2 8


32/81

3 N e w s p e e d - u p m e t h o d s f o r c a l c u l a t o r s

W e d i s c u s s n e w t e c h n i q u e s t o a c h i e v e t h e s p e e d - u p w i t h a p o l y n o m i a l i n -

c r e a s i n g o f t h e s e t o f s t a t e s ( a s i t i s t h e c a s e f o r r e c o g n i z e r s ) .

F r o m a c a l c u l a t o r w i t h s s t a t e s w o r k i n g i n t i m e u 7! j u j + 1 + t ( u ) w e

b u i l d a n e w c a l c u l a t o r w i t h O ( s

2 k + 1

) s t a t e s w o r k i n g i n t i m e u 7! j u j + 1 +

s u p f t ( u ) ? k ; 0 g , b y u s i n g t h e s o c a l l e d r e d u n d i n g m e t h o d a n d a m i n i m a l t i m e

s y n c h r o n i z a t i o n f r o m b o t h e n d s o f t h e l i n e .

T h e n w e p r e s e n t a b e t t e r m e t h o d l e a d i n g t o O ( s

k + 1

) s t a t e s , w i t h o u t s y n -

c h r o n i z a t i o n . T h e g u r e b e l o w i l l u s t r a t e s t h i s m e t h o d w i t h t h e c o n v e n t i o n s

t h a t c t i s t h e s t a t e o f t h e c

t h

c e l l a t t i m e t i n t h e i n i t i a l c o m p u t a t i o n a n d

t h a t a = 1 0 .

] 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 ]

] ] 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 0 ] ]

] ] 0 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 7 2 ] ]

] ] ] 0 3 1 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 6 3 7 3 ] ] ]

] $ 0 5 0 4 1 4 2 4 2 4 3 4 4 4 5 4 5 4 6 4 7 4 7 5 $ ]

] $ 0 6 1 6 1 5 + 2 5 3 5 4 5 5 5 + 6 5 6 6 7 6 $ ]

] $ 0 7 + 1 7 2 6 2 7 3 7 4 7 5 7 5 6 6 7 + 7 7 $ ]

] $ + 0 8 1 7 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 6 7 6 7 + $ ]

] + ] 0 8 0 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 8 ] + ]

] + ] 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a ] + ]

F r o m a n i n f o r m a t i o n t h e o r e t i c a l p o i n t o f v i e w , t h e r e s e e m s t o b e n o

o b s t a c l e t o c o n s t a n t s p e e d - u p w i t h l e s s t h a n a p o l y n o m i a l g r o w t h o f t h e

s e t o f s t a t e s . A l t h o u g t h o u r m e t h o d u s e s p r o d u c t s t a t e s , t h e y a p p e a r v e r y

s p a r s e l y i n t h e s p a c e - t i m e d i a g r a m ( t h a t i s w i t h d e n s i t y O ( j u j ) ) .

R e f e r e n c e s

C C 8 4 ] C . C h o r u t a n d K . C u l i k . O n r e a l - t i m e c e l l u l a r a u t o m a t a a n d

t r e i l l i s a u t o m a t a . A c t a I n f o r m a t i c a , 2 1 : 3 9 3 { 4 0 7 , 1 9 8 4 .

H e e 9 5 ] O . H e e n . L i n e a r s p e e d - u p w i t h o u t s y n c h r o n i z a t i o n . R a p p o r t

L I T P 5 7 , I n s t i t u t B l a i s e P a s c a l , 1 9 9 5 .

I K M 8 5 ] O . H . I b a r r a , S . M . K i m , a n d S . M o r a n . S e q u e n t i a l m a c h i n e c a r a c -

t e r i z a t i o n o f t r e i l l i s a n d c e l l u l a r a u t o m a t a a n d a p p l i c a t i o n . S I A M

J . C o m p u t . , 1 4 : 4 2 6 { 4 2 7 , 1 9 8 5 .

M R 9 2 ] J . M a z o y e r a n d N . R e i m e n . A l i n e a r s p e e d - u p t h e o r e m f o r c e l l u l a r

a u t o m a t a . T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , 1 0 1 : 5 9 { 9 8 , 1 9 9 2 .

2 9


33/81

C D L { A L a n g u a g e f o r C e l l u l a r P r o c e s s i n g

C h r i s t i a n H o c h b e r g e r ( h o c h b e r g @ i n f o r m a t i k . t h - d a r m s t a d t . d e )

F a c h g e b i e t M i k r o p r o g r a m m i e r u n g , I n s t i t u t f u r S y s t e m a r c h i t e k t u r ,

T e c h n i s c h e H o c h s c h u l e D a r m s t a d t

A l e x a n d e r s t r a e 1 0 , D - 6 4 2 8 3 D a r m s t a d t , G e r m a n y

1 W h y A n o t h e r L a n g u a g e ?

O u r g o a l i s t o d e s c r i b e c o m p l e x c e l l u l a r a u t o m a t a i n a c o n c i s e a n d r e a d a b l e w a y .

T h e d e s c r i p t i o n o f c o m p l e x c e l l u l a r a u t o m a t a m o d e l s r e q u i r e s t w o s u p p o r t i n g

l a n g u a g e e l e m e n t s :

1 . T h e c e l l s t a t e m u s t b e a r e c o r d o f a r b i t r a r y t y p e s l i k e e n u m e r a t i o n s ,

i n t e g e r , s u b r a n g e s o f b o t h a n d m a y b e e v e n o a t i n g p o p i n t v a l u e s . I t

m i g h t a l s o b e d e s i r a b l e t o h a v e u n i o n s , t o r e d u c e t h e m e m o r y c o m p l e x i t y

o f t h e c e l l s t a t e .

2 . T e s t i n g o f c o m p l e x c o n d i t i o n s r e q u i r e s d e e p l y n e s t e d i f { t h e n { e l s e o r c a s e

s t a t e m e n t s . S u p p o r t f o r c o m p l e x a u t o m a t a m u s t i n c l u d e s p e c i a l l a n g u a g e

e l e m e n t s t h a t s i m p l i f y t h e t e s t i n g o f c o m p l e x c o n d i t i o n s .

T h e d e s c r i p t i o n s s h a l l b e u s a b l e o n a r b i t r a r y t a r g e t a r c h i t e c t u r e s i n c l u d i n g s p e -

c i a l h a r d w a r e s i m u l a t o r s . C l a s s i c a l p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s a n d a l r e a d y e x i s t -

i n g c e l l u l a r p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s f a i l t o o v e r c o m e t h e s e c o n s t r a i n t s , t h u s w e

c r e a t e d t h e l a n g u a g e C D L . S o m e r e f e r e n c e s t o c e l l u l a r p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s :

C e l l a n g 1 ] , C A L 2 ] , C e p r o l 3 ]

2 F e a t u r e s o f C D L

O u r l a n g u a g e h a s t h e f o l l o w i n g f e a t u r e s :

T h e c e l l s t a t e c a n b e a r e c o r d o r u n i o n o f a r b i t r a r y t y p e s . T h e b a s i c

t y p e s s u p p o r t e d a r e : e n u m e r a t i o n , i n t e g e r , o a t ( m a y n o t b e a v a i l a b l e i n

a l l i m p l e m e n t a t i o n s ) a n d t h e s p e c i a l t y p e c e l l a d d r e s s .

T h r o u g h e n u m e r a t i o n s t h e C D L p r o v i d e s s y m b o l i c s t a t e n a m e s . T h e c o m -

p i l e r d o e s n o t n e c e s s a r i l y h a v e t o e n c o d e t h e s y m b o l i c s t a t e n a m e s a s t h e y

a r e o r d e r e d i n t h e e n u m e r a t i o n . T h i s g i v e s t h e c o m p i l e r t h e o p p o r t u n i t y

t o o p t i m i z e t h e c o d e .

S p e c i a l s t a t e m e n t s ( a l l , o n e , n u m ) a r e p r o v i d e d , w h i c h m a k e t h e t e s t i n g

o f c o m p l e x c o n d i t i o n s e a s y .

3 0


34/81

I n C D L a l l l o o p s a r e u n r o l l a b l e a t c o m p i l e t i m e . T h i s m a k e s i t e a s y t o

t r a n s l a t e t h e l a n g u a g e i n t o c o m b i n a t i o n a l l o g i c .

C D L c o n t a i n s a v e r y s i m p l e y e t p o w e r f u l v i s u a l i z a t i o n c o n c e p t . A c o l o u r

c a n b e a s s i g n e d t o c e l l s f u l l l i n g c e r t a i n c o n d i t i o n s .

3 T a r g e t A r c h i t e c t u r e s f o r C D L

T h r e e t a r g e t a r c h i t e c t u r e s a r e c u r r e n t l y s u p p o r t e d b y C D L :

1 . A s o f t w a r e s i m u l a t o r , w h i c h i s b a s e d o n X 1 1 a n d U n i x . T h u s i t i s v e r y

p o r t a b l e . T h e C D L c o m p i l e r t r a n s l a t e s t h e r u l e d e s c r i p t i o n i n t o a C {

f u n c t i o n w h i c h i s t h e n c o m p i l e d b y t h e s y s t e m c o m p i l e r . A d d i t i o n a l l y t h e

c o m p i l e r g e n e r a t e s c o n t r o l i n f o r m a t i o n f o r t h e v i s u a l i z e r . D e t a i l s o n t h e

t r a n s f o r m a t i o n p r o c e s s c a n b e f o u n d a t 4 ] .

T h i s s i m u l a t o r h a s s e v e r a l d r a w b a c k s , s o w e a r e i n t h e p r o c e s s o f r e i m -

p l e m e n t i n g i t .

2 . T h e C E P R A 8 { L m a c h i n e 5 ] . T h i s i s a s p e c i a l i z e d h a r d w a r e f o r t h e s i m -

u l a t i o n o f c e l l u l a r a u t o m a t a . I t i s c a p a b l e o f s i m u l a t i n g a p p r o x i m a t e l y

5 m i l l i o n c e l l s p e r s e c o n d . T h e m e m o r y c o m p l e x i t y o f a c e l l i s l i m i t e d

t o e i g h t b i t . T h e v i s u a l i z a t i o n o f t h e e n t i r e e l d i s d o n e c o n c u r r e n t l y

w i t h t h e c o m p u t a t i o n o f t h e n e x t g e n e r a t i o n . T h e n e x t s t a t e i s e v a l u a t e d

t h r o u g h a F P G A . E i g h t F P G A s w o r k i n p a r a l l e l .

T h e C D L c o m p i l e r g e n e r a t e s l o g i c e q u a t i o n s f r o m t h e d e s c r i p t i o n . T h e s e

e q u a t i o n s a r e t h e n p r o c e s s e d b y a s e t o f c o m m e r c i a l t o o l s . T h e r e s u l t i n g

d e s i g n d a t a c a n b e d o w n l o a d e d i n t o t h e F P G A s t o l o a d a n e w r u l e . F o r

f u r t h e r i n f o r m a t i o n 6 ] m a y b e r e f e r e n c e d .

3 . T h e C E P R A 1 { L m a c h i n e . I t u s e s a F P G A t o c o m p u t e t h e n e x t s t a t e l i k e

t h e C E P R A 8 { L m a c h i n e . T h e c e l l u l a r e l d o f t h e C E P R A 1 { L i s s t o r e d i n

t h e h o s t s y s t e m s m e m o r y . T h i s a l l o w s a r b i t r a r y s i z e d e l d s , b u t i m p l i e s

t h e u s a g e o f t h e h o s t s y s t e m s g r a p h i c a d a p t o r f o r t h e v i s u a l i z a t i o n .

4 F u t u r e E n h a n c e m e n t s

T h e r e a r e s e v e r a l p l a n s t o e n h a n c e C D L :

C D L w i l l s u p p o r t m u l t i p l e r u l e s t h a t a r e b a s e d o n t h e s a m e c e l l s t r u c -

t u r e . T h i s i s e s p e c i a l l y u s e f u l f o r s i m u l a t o r s w h i c h t r y t o o p t i m i z e t h e

c o m p u t a t i o n o f t h e e l d . M o r e d e t a i l s o n t h i s s u b j e c t w i l l b e p r e s e n t e d

a t t h e w o r k s h o p b y R . S c h n e i d e r .

C D L w i l l b e e n h a n c e d t o s u p p o r t m o r e c o m p l e x v i s u a l i z a t i o n c o n c e p t s ,

e . g . b u i l d i n g p a t t e r n s f r o m c e l l c l u s t e r s .

C D L w i l l i n c l u d e n e w e l e m e n t s t o d e s c r i b e m o v i n g o b j e c t s . T h e u s e r w i l l

o n l y n e e d t o s p e c i f y t h e d i r e c t i o n f o r a n o b j e c t a n d h o w c o n i c t s s h a l l b e

r e s o l v e d , i f o b j e c t s w o u l d c o l l i d e .

3 1


35/81

R e f e r e n c e s

1 ] E c k a r t , J . D . : A C e l l u l a r A u t o m a t a S i m u l a t i o n S y s t e m , S I G P L A N N o t i c e s

2 6 ( A u g u s t 1 9 9 1 ) 8 0 { 8 5

2 ] P a l m e r , I . J . : S c a m p e r , a v a i l a b l e b y a n o n y m o u s f t p f r o m f t p . u u . n e t .

3 ] S e u t t e r , F . : C E P R O L { E i n e z e l l u l a r e P r o g r a m m i e r s p r a c h e , D i s s e r t a t i o n

T U { B r a u n s c h w e i g 1 9 8 5

4 ] H o c h b e r g e r , C . , H o m a n n , R . , W a l d s c h m i d t , S . : C o m p i l a t i o n o f C D L f o r

D i e r e n t T a r g e t A r c h i t e c t u r e s , I n P a r a l l e l C o m p u t i n g T e c h n o l o g i e s ( L N C S

9 6 4 ) , S p r i n g e r V e r l a g , E d i t o r : M a l y s h k i n , V .

5 ] H o m a n n , R . , V o l k m a n n , K . - P . , S o b o l e w s k i , M . : T h e C e l l u l a r P r o c e s s i n g

M a c h i n e C E P R A - 8 L , i n P a r c e l l a 9 4 , 1 7 9 - 1 8 8 , M a t h e m a t i c a l R e s e a r c h V o l .

8 1 , A k a d e m i e V e r l a g 1 9 9 4 E d i t o r s : J e s s h o p e , J o s s i f o v , W i l h e l m i

6 ] W a l d s c h m i d t , S . , H o c h b e r g e r , C . : F P G A S y n t h e s i s f o r C e l l u l a r P r o c e s s i n g ,

I n P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 5 I E E E / A C M I n t e r n a t i o n a l W o r k s h o p o n L o g i c

S y n t h e s i s

3 2


36/81

A r c h i t e c t u r e s f o r C e l l u l a r P r o c e s s i n g

R o l f H o m a n n a n d K l a u s - P e t e r V o l k m a n n

M i c r o p r o g r a m m i n g a n d C o m p u t e r A r c h i t e c t u r e

T e c h n i c a l U n i v e r s i t y o f D a r m s t a d t

A l e x a n d e r s t r . 1 0 , D - 6 4 2 8 3 D a r m s t a d t

f h o m a n n , v o e l k m a n n g @ i n f o r m a t i k . t h - d a r m s t a d t . d e

1 M o t i v a t i o n

W i t h C e l l u l a r P r o c e s s i n g ( C P ) w e m e a n t h e m a p p i n g o f a p p l i c a t i o n s o n t o t h e

C A m o d e l , t h e i m p l e m e n t a t i o n a n d t h e e x e c u t i o n / s i m u l a t i o n o n a s y s t e m w i t h

a n a p p r o p r i a t e e n v i r o n m e n t ( c o m p i l e r , s i m u l a t o r , c o n t r o l , v i z u a l i s a t i o n , a n a -

l y s i s ) . E s p e c i a l l y w e w a n t t o s u p p o r t a p p l i c a t i o n s , w h e r e t h e c e l l s a r e c o m p l e x

( a d a t a r e c o r d ) a n d t h e a r r a y c o n s i s t s o f a l a r g e n u m b e r o f c e l l s o r t h e C A e l d

i s 3 - d i m e n s i o n a l .

S o f t w a r e s i m u l a t i o n s t a k e a l o n g t i m e , e . g . i f o n e c e l l o p e r a t i o n t a k e s 1 0 m i c r o -

s e c o n d s a n d t h e e l d i s c o n s i s t s o f 5 1 2

3

c e l l s , t h e t i m e t o c o m p u t e o n e g e n e r a t i o n

w i l l b e 2 2 m i n u t e s . 1 0 0 g e n e r a t i o n s w i l l t h e n n e e d 4 0 h o u r s . F

cellular automata workshop 1996

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