(cd)amperes

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«(CD)Ampères », une recherche INRP/ADIREM pour dynamiser l'enseignement des mathématiques dans le

secondaire.

Présentation de quelques travaux et résultats

Robert Noirfalise

IREM de CLERMONT-FERRAND

(CD)AMPERES

(Conception et Diffusion)Apprentissages Mathématiques et Parcours d'Études et de Recherches pour l'Enseignement Secondaire

Initiée par la Commission inter-IREM Didactique et financée par l’INRP IREM d’Aix-Marseille, Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Dijon, Montpellier, Nice, Poitiers, l’IUFM Midi-Pyrénées, INRP Marseille (UMR ADEF)Des collaborations avec des équipes belges, espagnoles et italiennes.

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Un constat

• Un enseignement des mathématiques globalement immotivé dans le second degré.

• On enseigne les mathématiques en tant qu’éléments de réponses à des questions trop souvent oubliées. [ Pourquoi s’intéresser autant aux triangles et à leurs propriétés ?]

• Des activités introductives trop souvent faites de problèmes dérisoires ou de simples échauffements mettant en scène des pré-requis pour le cours à venir.

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Vers un autre type de processus d'étude et d’enseignement

• Ce que nous donne à voir l'enseignement actuel des mathématiques est le plus souvent une étude non motivée d'objets mathématiques. Comme le dit Y. Chevallard l'enseignement "tend à prendre la forme d'une visite guidée de savoirs qu'on visite à la hâte, à l'instar de vestiges monumentaux autrefois vivants mais dont les raisons d'être, les fonctions vitales ont cessées d'être comprises"

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Objectifs de la recherche

• Restaurer des raisons d’être de l’étude d’objets mathématiques.

• Partir de questions problématiques et n'introduire l'étude d'objets que parce que celle-ci peut contribuer à l'élaboration de réponses, éventuellement partielles, aux questions posées.

• Construire des propositions pour un enseignement des mathématiques basé sur une dynamique de questionnement: l’étude d’une question en appelle d’autres -> parcours d’études et de recherches.

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Un exemple Un exemple Enseigner de façon dynamique le produit Enseigner de façon dynamique le produit

scalaire en première S ? scalaire en première S ? (Clermont-Ferrand)(Clermont-Ferrand)

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Partir de Questions

• Comment trouver des questions ?La TAD nous invite à examiner ce à quoi sert le produit scalaire en 1re S (types de tâches).

• Il sert à :* Démontrer que deux droites ou deux directions sont orthogonales.* Déterminer un angle géométrique (via son cosinus).* Etablir le théorème de Al Kashi (Pythagore généralisé), lequel sert à calculer des longueurs.

Q1. Peut-on, par le calcul, montrer que deux droites sont perpendiculaires ?

• Nous avons :Nous avons :

D D D'D'

OAB OAB triangle triangle rectangle en rectangle en OO

ABAB2 2 = = OAOA22 + + OBOB22

2(2(x'x x'x + + y'yy'y) = 0) = 0

x'x x'x + + y'yy'y = 0 = 0

Un bilan intermédiaire pour relancer l’étude

• A quoi peut servir le produit scalaire?Il peut servir :* Pour démontrer, un repère orthonormé étant choisi, une orthogonalité,* pour déterminer un angle géométrique, avec le calcul de son cosinus.

• On peut alors se demander s’il pourrait être d’une autre utilité:

Q4 : Le produit scalaire peut-il être d’une autre utilité?

Q4 : Le produit scalaire peut-il être d’une autre utilité?

• Une clé : Si le carré d’une longueur !

• Q5. Soit OAB, un triangle et supposons que l’on connaisse OA, OB, et l’angle en O. Peut-on calculer AB ?

• Comment ? Calculer

• Q6: le produit scalaire est-il distributif par rapport à la somme ?Réponse : OUI; il est aussi commutatif

• On obtient le théorème d’Al Kashi…

2. alors OAOAOAOBOA

)).((2

2 OBAOOBAOABAB

Des difficultés à développer des parcours d’études et de recherches dans

l’enseignement secondaire français

Tension entre grandes questions génératrices d’études et de recherches et dévolution aux élèves de l’étude des

questions

Les praxéologies professorales entre contraintes et conditions et leurs incidences sur les

praxéologies d’étude des élèves

Yves Chevallard définit (séminaire TAD/IDD du 14 novembre 2009) la didactique comme la science qui étudie les conditions et contraintes gouvernant (favorisant, gênant,…) la diffusion des systèmes praxéologiques dans les institutions de la société.

La tyrannie de l’heure

• Tout problème posé en début d’heure doit être rapidement résolu : problème de faible portée, souvent insignifiant.

• Les élèves ne s’engagent pas dans l’étude, ils attendent la solution que « docilement » ils essaieront d ’appliquer dans les exercices proposés…

• Une condition vécue souvent comme contrainte qui peut être levée!

Une contrainte qui gêne le développement de PER

L’organisation des programmes(nécrose des objets d’enseignement

et monumentalisation)

Une partie de programme étant donné, comment en rendre l'étude dynamique? Comment répondre à une telle question de façon quelque peu générique?

Rechercher des questions à fort pouvoir générateur d’étude et de recherche permettant de motiver et produire des recouvrements partiels du (des) programme(s) sur un

ou plusieurs niveaux scolaires

Un schéma :PROF

Rechercher des QFPGE

en remontant aux niveaux

des secteurs et domaines

ELEVELa dynamique de l’étude de la

question entraîne vers des

sous-questions

PROFNon pas morceler

le savoir en le découpant dans

une recherche de sujets

ELEVEDoit remonter par lui-même

pour établir des liens, trouver du

sens au savoir enseigné18

Recherche des raisons d’être :

Un exemple:l’étude des triangles

Détermination de longueurs et distances (inaccessibles)

Mesure des aires

Un problème introductif

B

A

C

arbre

bureau

Fentre

tracˇs au sol

Des questions pour traiter « construction de triangles et inégalité triangulaire »

• 1 – Sur une feuille posée sur le bureau, j’ai dessiné un triangle dont les côtés mesurent 9,5 cm - 8 cm et 6,5 cm. Sans te déplacer, peux-tu trouver combien mesurent les angles de ce triangle ?

• 2 – Sur une deuxième feuille posée sur le bureau, j’ai dessiné un triangle dont les angles mesurent 59° , 74° et 47°. Sans te déplacer, peux-tu trouver combien mesurent les côtés de ce triangle ?

• 3 – Est-ce que 2 données suffisent pour déterminer un triangle ?• Est-ce que 3 données suffisent pour déterminer un triangle ?• Est-ce que 4 données suffisent pour déterminer un triangle ?

Cas de deux côtés et un angle

A B

C

A=53

AB=4,7

BC =5,2

A B

D

C

A=53

AB=4,7

BC =4,2

A B

A=53

AB=5,7

BC =4,2

Avec deux ou trois angles--> Thalès

A B

C

E

F

L’apprenant aux mains nues

• Une question posée doit être telle que l’ élève puisse y répondre avec son seul répertoire praxéologique et avec ce qui vient d’être vu en classe.

• Pas d’étude de réponses existantes R.

Tyrannie de l’évaluation et du contrôle

• Contrôler pour homogénéiser le parcours cognitif des élèves?

• Contrôler la façon de penser des élèves?

La noblesse de la pensée/ l’insignifiance de l’utile

• Former les esprits!• L’exemple du latin :« Au delà d’acquis d’ordre linguistique, l’étude du latin fut considéré comme extrêmement bénéfique pour le développement des facultés intellectuelles de l’enfant, sa mémoire aussi bien que sa raison »« L’objectif était moins d’enseigner l’art de lire le latin aisément que de faire acquérir une discipline intellectuelle »

(F. Waquet 1998, Le latin ou l’empire d’un signe Ed A Michel)

Perspectives : Pédagogie de l’enquête

• Un projet de formation : Former des citoyens qui s’autorisent à se poser des questions et à en faire l’étude!

• Q : Comment concrètement engager les élèves dans des processus d'études et de recherches ne faisant pas d'eux de simples exécutants ?

Lyon Ampères 2011 27

Un changement de contrat

L’élève: un exécutant sous étroite surveillance

• Contrat où l’’élève serait libre de se poser des questions et de les étudier avec tous les moyens accessibles grâce aux techniques modernes ?


Partir de questions ?

OUI, mais en les prenant aux sérieux!


Premier exemple

• Les escaliers



Enquête A la lecture de l’énoncé, une question peut se poser : Est-il vrai qu’une norme spécifie que la hauteur d’une marche doit être comprise entre 17cm et 20 cm ? Et, si oui, pourquoi cette norme ?

3.1 Eléments de réponses dans Wikipédia

Adresse consultée : http://fr.wikipedia.org/wiki/Escalier

On peut découvrir dans cette page de Wikipédia qu’en 1675, François Blondel, un architecte, donne un cours dans lequel il énonce la règle suivante (règle qui encore aujourd’hui porte son nom) : " M=2h +g"

M est la longueur d’un pas ou d’une foulée ; h la hauteur de la marche et g le giron (voir la figure empruntée au site ci-contre).La longueur d’un pas est estimée à 2 pieds soit environ 64,8cm.

Pourquoi cette règle ? Blondel , nous dit-on, « mesure le pas (au sens de distance franchie par le pied lors d'une marche normale sur un plan horizontal) et constate qu'« à chaque fois qu'on s'élève d'un pouce, la valeur de la partie horizontale se trouve réduite de deux pouces et que la somme de la hauteur doublée de la marche et de son giron doit demeurer constante et être de deux pieds », l’idée directrice étant que la personne qui monte doit faire un effort constant.

Figure 1

Deuxième exemple Les battements de cœur

Extrait du BrevetLe cœur humain effectue environ 5000 battements par heure.•a. Écrire 5 000 en notation scientifique.•b. Calculer le nombre de battements effectués en un jour, sachant qu'un jour dure 24 heures.•c. Calculer le nombre de battements effectués pendant une vie de 80 ans. On considère qu'une année correspond à 365 jours. Donner la réponse en notation scientifique.

• Caroline est invitée à fêter les 80 ans de sa grand-mère. Comme elle s'ennuie un peu, elle demande à regarder la télévision dans le salon, l'émission en cours est un magazine sur la santé dont le thème du jour est " le rythme cardiaque". Caroline se demande alors combien de battements le cœur de sa grand-mère a effectué dans toute sa vie.


Changement de contrat

Extrait du BrevetLe cœur humain effectue environ 5 000 battements par heure.•a. Écrire 5 000 en notation scientifique.•b. Calculer le nombre de battements effectués en un jour, sachant qu'un jour dure 24 heures.•c. Calculer le nombre de battements effectués pendant une vie de 80 ans. On considère qu'une année correspond à 365 jours. Donner la réponse en notation scientifique

Contrat ordinaire de travail : Quelques termes du contrat :•Toutes les données utiles et seulement celles-là sont mentionnées dans le texte de l’exercice (y compris le fait qu’il y ait 24 heures dans une journée!) et sont à prendre comme hypothèses supposées vraies.•L’ordonnancement du travail est pris en charge par l’ordre des questions posées.•Les techniques à mettre en œuvre sont appelées par le texte Note: Hypothèses supposées vraies . Typique d’une façon de concevoir le travail du mathématicien : faire des déductions à partir d’hypothèses qui sont considérées comme vraies, le travail de vérifications des hypothèses étant dévolus à d’autres secteurs de pratiques sociales (sciences expérimentales…)


Vers un nouveau contrat• Caroline est invitée à fêter les 80

ans de sa grand-mère. Comme elle s'ennuie un peu, elle demande à regarder la télévision dans le salon, l'émission en cours est un magazine sur la santé dont le thème du jour est " le rythme cardiaque". Caroline se demande alors combien de battements le cœur de sa grand-mère a effectué dans toute sa vie.

• Complexification du travail et modification du contrat

La complexification du travail va se faire en modifiant les

termes du contrat de travail• C1 Toutes les données ne sont pas nécessairement

dans le texte et il appartient donc à l’élève de se donner les moyens de rechercher des données manquantes pour l’étude de la question posée.

• (C2 S’interroger sur la pertinence des informations délivrées dans le texte : est-il vrai que l’on peut raisonnablement supposer qu’un cœur humain bat environ 5000 fois en une heure ? Est-il vrai qu’on peut négliger comme le suggère le texte les années bissextiles ? )

• C3 Laisser à l’élève la charge de travail consistant à ordonnancer le travail en étapes et à mobiliser les techniques adéquates (ou pour être plus juste, les organisations mathématiques) pour répondre à la question soumise à l’étude.


Conclusion sous forme de question• Poudrait-on créer des conditions

qui feraient que, contractuellement les élèves seraient autorisés à se poser des questions et à en faire l’étude?

• « C'est une ardente obligation d'une démocratie accomplie, où chaque citoyen ou collectif de citoyens doit pouvoir enquêter sur toute question qui lui plaira…en usant notamment d'un équipement praxéologique de base dont la formation scolaire l'aura doté. » Y. Chevallard


(cd)amperes

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