carpeta taller de estructuras algebraicas

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PEAMS- Componente de Especialización Taller de estructuras algebraicas/trigonométricas (Documento de Trabajo) CARPETA DE TRABAJO TALLER DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS/TRIGONOMÉTRICAS (Documento de Trabajo) Carpetas de Formación Continua (FE-TEAT) Ámbito: Formación Especialidad Cuatrimestre: Tercero Especialidad: Matemáticas Bolivia 2012

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CARPETA DE TRABAJO

TALLER DE ESTRUCTURAS

ALGEBRAICAS/TRIGONOMÉTRICAS

(Documento de Trabajo)

Carpetas de Formación Continua

(FE-TEAT)

Ámbito: Formación Especialidad Cuatrimestre: Tercero Especialidad: Matemáticas

Bolivia – 2012

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MINISTERIO DE EDUCACIÓN

© De la presente edición: Colección: CARPETAS DE FORMACIÓN CONTINUA TALLER DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS/TRIGONOMÉTRICAS

CARPETA DE TRABAJO Coordinación Viceministerio de Educación Superior de Formación Profesional /Dirección General de Formación de Maestros / Equipo de Formación Docente Continua

Equipo de Redacción y Dirección Unidad Especializada de Formación Continua – UNEFCO Av. Víctor Paz Estensoro Nº 227 Tarija-Bolivia Telf.: 66-44416 Fax: 66-42805

www.minedu.gob.bo www.unefco.edu.bo

Cómo citar este documento: Ministerio de Educación (2010). Taller de estructuras algebraicas/trigonométricas. Carpeta de Trabajo. UNEFCO. Tarija Diseño & Impresión UNEFCO

La venta de este documento está prohibida. Denuncie al vendedor a la Dirección General de Formación de Maestros, Telf. 2440815 o a la Unidad Especializada de Formación Continua, [email protected].

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PRESENTACIÓN El Ministerio de Educación, en el marco de la Constitución Política del Estado, la Ley de la Educación 070 “Avelino Siñani - Elizardo Pérez” y el Sistema Plurinacional de Formación de Maestros, ha priorizado la implementación de acciones formativas para maestras/os normalistas del Nivel Secundario del Sistema Educativo Plurinacional, para mejorar la calidad de la educación en dicho nivel, que por mucho tiempo no se benefició con formación continua; en este sentido, el Programa de Especialización y Actualización de Maestros de Secundaria (PEAMS) ha sido estructurado con dos componentes: especialización y actualización.

La “especialización” es una formación intensiva que tiene como objetivo el de “Brindar formación especializada a maestras/os normalistas que habiendo sido formados para primaria o inicial ejercen como docentes en áreas del nivel de educación secundaria, mediante procesos de formación centrados en aspectos disciplinares y de didácticas específicas, tomando en cuenta las necesidades reales del Sistema Educativo Plurinacional así como las nuevas políticas sociales y educativas del país que prevén la universalización de la educación secundaria, con el fin de garantizar la solvencia profesional de estos maestros/as y la calidad de la educación de todos los estudiantes de este nivel”.

Este componente es de régimen especial y transitorio. Los/as docentes que accedan a los cursos de especialización recibirán una certificación para el ejercicio de las especialidades del nivel secundario, según una normativa especial indicada en la Resolución Ministerial Nº 121/2010. El programa es financiado por el Ministerio de Educación y ejecutado por la Unidad Especializada de Formación Continua (UNEFCO), bajo la modalidad semipresencial.

El PEAMS, tiene previsto el desarrollo de materiales de apoyo en una Colección denominada “Carpetas de Formación Continua”, la misma que contempla una “Carpeta de Trabajo” y un “Cuadernillo de Actividades” para cada uno de los módulos de las 6 especialidades contempladas. Dicho material está organizado en unidades temáticas que siguen una secuencia sistemática para favorecer el proceso de aprendizaje de las/los participantes, cuyo contenido no sólo es un recurso para fortalecer conocimientos y orientaciones pedagógico-didácticas sino una forma de ampliar la conciencia sobre el mundo y la sociedad.

Sobre la base de estos Documentos de Trabajo (versiones en construcción colectiva), tutores/as del PEAMS podrán añadir y/o adecuar contenidos y estrategias formativas de acuerdo a cada contexto. Invitamos a tutores y participantes de todo el país a contribuir con observaciones y sugerencias para mejorar y enriquecer posteriores ediciones ([email protected]).

María Eugenia Hurtado. - Directora General a.i. UNEFCO

“Compromiso social y vocación de servicio: Maestras/os

forjadores de la Revolución Educativa”

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ÍNDICE GENERAL PRESENTACIÓN. ÍNDICE GENERAL DATOS GENERALES DE LA CARPETA. Introducción. Objetivo holístico de área/especialidad. Objetivo holístico de la carpeta. UNIDAD 1: LAS GENERALIZACIONES EN LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA. OBJETIVOS DE LA UNIDAD 1.1. Orígenes del álgebra ....................................................................................................... 8 1.2. La aritmética y el álgebra ................................................................................................. 8 1.3. Notación algebraica. ........................................................................................................ 9 1.4. Operaciones algebraicas. .............................................................................................. 10 1.5. Signos de agrupación. ................................................................................................... 10 1.6. Nomenclatura. ............................................................................................................... 12 1.6.1. Expresión algebraica. .............................................................................................. 12 1.6.2. Término. .................................................................................................................. 12 1.7. Clasificación de expresiones algebraicas. ...................................................................... 13 1.7.1. Monomio. ................................................................................................................ 13 1.7.2. Polinomio. ............................................................................................................... 13 1.8. Nociones del álgebra. .................................................................................................... 14 1.8.1. Suma algebraica. .................................................................................................... 14 1.8.2. Multiplicación de polinomios. ................................................................................... 14 1.8.3. División de polinomios. ............................................................................................ 15 1.9. Productos notables. ....................................................................................................... 15 1.9.1. Cuadrado de un binomio. ........................................................................................ 15 1.9.2. Diferencia de cuadrados perfectos. ......................................................................... 17 1.9.3. Cubo de un binomio. ............................................................................................... 19 1.9.4. Cubo perfecto de binomios. ..................................................................................... 19

1.10. Estrategias para la aplicación práctica del álgebra…………......................................20 Resumen de la unidad........................................................................................22 UNIDAD 2: LAS ECUACIONES OBJETIVOS DE LA UNIDAD 2.1. Ecuaciones. ................................................................................................................... 23 2.2.1. Miembros. ............................................................................................................... 23 2.2.2. Términos. ................................................................................................................ 23 2.2.3. Grado de la ecuación. ............................................................................................. 23 2.3. Resolución de ecuaciones. ............................................................................................ 24 2.3.1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. ...................................................... 24 2.3.2. Despeje de expresiones algebraicas. ...................................................................... 27 2.3.3. Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas. ................................. 29 2.4. Ecuaciones de segundo grado. ...................................................................................... 34 2.5. El lenguaje algebraico. ................................................................................................... 36 2.5.1. Interpretación para el lenguaje algebraico. .............................................................. 37 2.6. La construccion de ecuaciones. ..................................................................................... 37 2.7. Estrategias para la aplicación práctica de las ecuaciones. ............................................. 39 Resumen de la unidad........................................................................................43

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UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA OBJETIVOS DE LA UNIDAD 3.1. Trigonometría. ............................................................................................................... 44 3.2. Elementos de la trigonometría. ...................................................................................... 44 3.3. Clasificación de ángulos. ............................................................................................... 44 3.4.1. Clasificación por lados. ............................................................................................ 45 3.4.2. Clasificación por ángulos. ........................................................................................ 46 3.5. Razones trigonométricas. .............................................................................................. 47 3.5.1. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. .............................................. 47 3.6. Unidades angulares ....................................................................................................... 50 3.6.1. Radiánico. ............................................................................................................... 50 3.6.2. Sexagesimal. ........................................................................................................... 50 3.6.3. Centesimal. ............................................................................................................. 50 3.7. Equivalencia entre unidades de medidas angulares. ..................................................... 50 3.8. Triángulos oblicuángulos. .............................................................................................. 51 3.9. Resolución de triángulos oblicuángulos. ........................................................................ 51 3.9.1. Teorema de los senos. ............................................................................................ 51 3.9.2. Teorema de los cosenos. ........................................................................................ 52 3.10. Estrategias para la aplicación práctica de la trigonometría. .......................................... 55 3.10.1. Triangulación. ........................................................................................................ 55 3.10.1.1. Sistemas de coordenadas. ................................................................................. 55 3.10.2. Sistema de posicionamiento global (gps) .............................................................. 55 3.11. Aplicaciones de la trigonometría. ................................................................................. 57 Resumen de la unidad........................................................................................60 UNIDAD 4: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS OBJETIVOS DE LA UNIDAD 4.1. Identidades trigonométricas. .......................................................................................... 61 4.2. Relaciones fundamentales. ............................................................................................ 61 4.3. Resolución de identidades trigonométricas. ................................................................... 62 4.4. Ecuaciones trigonométricas. .......................................................................................... 64 4.6. Solución de ecuaciones trigonométricas. ....................................................................... 65 4.7. Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos. .............................. 66 4.7.1. Razones trigonométricas de la suma de ángulos. ................................................... 66 4.7.2. Razones trigonométricas de la diferencia de ángulos. ............................................. 66 4.8. Estrategias para la enseñanza práctica de las matematicas. ......................................... 67 Resumen de la unidad........................................................................................71

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................... 73

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DATOS GENERALES DE LA CARPETA

INTRODUCCIÓN

Con el horizonte definido por los cambios realizados en el mundo en los diferentes aspectos del quehacer cotidiano, producto principalmente del desarrollo tecnológico que tuvo altos impactos en el transcurso del último siglo principalmente, se desarrolló la presente Carpeta de trabajo para el Taller de estructuras algebraicas/trigonométricas, orientada para que los maestros/as de esta especialidad mejoren sus competencias profesionales en el marco del Programa de Especialización y Actualización de Maestros de Secundaria (PEAMS), a fin de proporcionar herramientas y puedan aplicar las mismas en aula, contribuyendo así al mejoramiento de la calidad educativa en el país.

Bajo esta perspectiva, la actual realidad boliviana requiere la aplicación de tendencias afines al proceso de cambio a implementarse en todas las regiones bolivianas, en función de sus vocaciones productivas, como manda la Ley Educativa “Avelino Siñani – Elizardo Pérez”; en este contexto, se comprenderá que la columna vertebral del Sistema Educativo Plurinacional es el tema productivo y como tal las ciencias exactas, donde se encuentran el álgebra y la trigonometría que serán parte de las futuras ciencias protagonistas del desarrollo nacional planificado en el marco del desarrollo productivo como está estipulado en el Plan Nacional de Desarrollo (PND); de esta manera, quienes se desempeñan como docentes tienen enfrente muchos desafíos a vencer para preparar las futuras generaciones que tendrán por misión generar entornos de paz y prosperidad.

Con este horizonte, la carpeta de trabajo es una herramienta que acompañará al participante durante las interacciones que realice junto a su cuadernillo de trabajo; de esta manera, se lograrán los objetivos propuestos para este proceso. Asimismo, el docente irá adquiriendo las competencias suficientes para mejorar su capacidad de respuesta, frente a los desafíos del presente y también frente a los que con seguridad presentarán los estudiantes, por el actual proceso de globalización del conocimiento existente en nuestro planeta. En este entendido es una realidad que las fronteras del conocimiento, sólo están limitadas por cada persona; entonces, es la voluntad orientada hacia el aprendizaje constante la que finalmente permitirá el desarrollo de la educación boliviana, como es necesario entender el nuevo rumbo que está adoptando el país.

El desarrollo de la presente carpeta de trabajo, se inicia repasando los conceptos que hacen a la ciencia algebraica, para luego conocer los elementos que la componen de tal manera que el proceso sea gradual y vaya introduciendo otros conceptos, que al mismo tiempo refuerzan los conocimientos desarrollados. Posteriormente, se trata de la trigonometría otra ciencia que tiene múltiples aplicaciones, mostradas de una forma práctica para que los estudiantes en su momento puedan comprender en su verdadera dimensión, esta ciencia muy aplicable especialmente en el plano tecnológico.

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OBJETIVO HOLÍSTICO DE ÁREA

Caracterizamos y conceptualizamos el Área de Especialidad de Educación en Matemática, como la ciencia exacta que en el marco del Sistema Educativo Plurinacional (SEP), se constituye en una herramienta de vital importancia para el proceso de enseñanza aprendizaje, en las áreas productivas tecnológicas. Mediante el posicionamiento teórico y práctico de elementos de la geometría, cálculo, estadística, las estructuras algebraicas y las matemáticas aplicadas, para su eficaz comprensión y posterior impacto en la capacidad de razonamiento, bajo los lineamientos de la Ley Educativa “Avelino Siñani – Elizardo Pérez”.

OBJETIVO HOLÍSTICO DE LA CARPETA

Comprendemos e internalizamos procesos de enseñanza aprendizaje, para su aplicación en la educación secundaria, posicionando conceptos y procedimientos de manera práctica; para dotar de herramientas al trabajo docente y de esa forma contribuir al mejoramiento de la didáctica aplicada a las estructuras algebraicas y trigonométricas.

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UNIDAD 1: LAS GENERALIZACIONES EN LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Conocemos que la ciencia de los números generaliza cantidades, rigiéndose ésta a través de la sintaxis simbólica literal.

Deducimos y operamos problemas con notación algebraica.

Concretizamos en un ambiente comunitario la aplicación productiva del álgebra y la trigonometría.

1.1 ORÍGENES DEL ÁLGEBRA En forma genérica el álgebra es la rama de las matemáticas, que tiene por objeto de estudio la generalización del cálculo aritmético mediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras). Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes „muqabala‟ y „abr‟), que significan reducción. El álgebra tuvo sus orígenes en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estos pueblos aplicaban el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Continuando su desarrollo en la antigua Grecia, donde se usaba el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, el ejemplo más conocido es el teorema de Pitágoras. En este sentido, es aceptado que los matemáticos más destacados de ese tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofante. Arquímedes se basó en las matemáticas para elaborar su tratado de física y geometría del espacio. Asimismo, se afirma que Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento, entre sus principales trabajos se tienen al análisis diofántico y la obra de Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra desarrollado hasta esos días. Como es posible apreciar, el álgebra tiene orígenes muy remotos y al presente es una de las herramientas matemáticas, que hizo posible el desarrollo de la humanidad, especialmente en el campo tecnológico. Partiendo de la última afirmación y dado que la columna vertebral de Ley Educativa “Avelino Siñani – Elizardo Pérez”, es precisamente el tema productivo; conviene inducir al estudio de esta rama matemática, a objeto de generar condiciones para la generación de talento humano con altas capacidades de respuesta a las nuevas exigencias del entorno, en pos de generar espacios de paz y prosperidad, para beneficio del pueblo boliviano.

1.2 LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA En tiempos inmemoriales, la matemática inició sus pasos en el desarrollo de la aritmética, ciencia en la cual las cantidades se expresan en números y estos expresan valores específicos. De esta manera, 30 expresa un solo valor: treinta; para enunciar un valor menor o mayor que éste, es necesario escribir un número distinto de 30. Por lo tanto, el cálculo aritmético es particular y el resultado depende de modo específico de las cifras que se encuentran involucradas.

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Por su parte, como el álgebra tiene por objeto de estudio la generalización del cálculo aritmético, entonces las cantidades se significan por medio de letras, las cuales pueden representar ‘n’ valores o citado de otra forma, todos los valores. Consecutivamente, ‘a’ representa cualquier valor que se le asigne, y consiguientemente puede representar 30 o más de 30 o también, menos de 30, según sea la elección determinada. En este punto, es bueno aclarar que cuando en un problema se asigne a una letra un valor determinado, esa letra no puede expresar en el mismo problema, otro valor diferente del que se le asignó. En este sentido, el álgebra es la rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas y de la misma manera que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son: adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. De lo citado líneas arriba, se llega a la conclusión que el concepto de la cantidad en álgebra, es mucho más amplio que en aritmética.

1.3 NOTACIÓN ALGEBRAICA.

signos y símbolos. En el álgebra se utilizan signos y símbolos que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. donde las letras son llamadas variables, ya que puede usarse esa misma letra en otros problemas y su valor va variando. En este contexto, los símbolos aplicados en álgebra parar representar cantidades, son los números y las letras. Como en la aritmética, los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Por su parte, las letras se emplean para expresar cualquier clase de cantidades, sean éstas conocidas o desconocidas. De esta manera, las cantidades conocidas son expresadas por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … Las cantidades desconocidas, son representadas por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Asimismo, una misma letra puede expresar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo: a‟, a‟‟, a‟‟‟, que se leen como a prima, a segunda, a tercera. De la misma manera, pueden utilizarse también subíndices; ejemplificando: a1, a2, a3, cuya lectura es: a subuno, a subdos y a subtres. A objeto de posicionar lo precedente, una tabla resumen de lo citado, es mostrada a continuación:

EXPRESION USO

Primeras letras del abecedario a, b, c, ……

Se aplican para enunciar cantidades conocidas.

Últimas letras del abecedario …., x, y, z

Se aplican para enunciar incógnitas.

N Enunciar cualquier número (1, 2, 3, …., n)

Exponentes y subíndices

a‟, a‟‟, a‟‟‟; a1, a2, a3 Enunciar cantidades de la misma especie, pero

de diferente magnitud.

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1.4 OPERACIONES ALGEBRAICAS

De la misma manera que en la aritmética, en álgebra se realizan las mismas operaciones de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces, como se aprecia en la siguiente tabla.

OPERACIÓN REPRESENTACIÓN

LITERAL VALORES

NUMÉRICOS USO DE NÚMEROS NATURALES

Y PARTE LITERAL

ADICIÓN

SUSTRACCIÓN

MULTIPLICACIÓN

POTENCIACIÓN

DIVISIÓN

1.5 SIGNOS DE AGRUPACIÓN

A objeto de facilitar las operaciones algebraicas, se utilizan los siguientes signos de agrupación.

SIGNO NOMBRE

( ) Paréntesis

[ ] Corchetes

{ } Llaves

En forma general, los signos citados indican que la operación entre ellos debe realizarse en primera instancia. Por ejemplo, (a + b)c expresa que la suma de a y b luego deberá ser multiplicada por c.

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Ejemplos de notación algebraica:

EJEMPLOS APLICACIÓN DE REGLAS CASO NUMÉRICO

La expresión nos dice que es una multiplicación de tres factores: 9, a, b.

Primeramente se efectúa las multiplicaciones por separados y los resultados se suman de acuerdo a sus cantidades.

Se efectúa la multiplicación de 3m y luego se suma el coeficiente que es 2.

Se resta 5 al valor de xy y este resultado se multiplica por 12.

Se efectúa la multiplicación de 13a; se resta el valor de x; se multiplica el resultado anterior por 4.

Se calcula la potencia de a2; luego multiplicamos el valor por 3.

Se multiplica primeramente el producto de 2ª y este resultado se eleva al cuadrado.

Se calcula primeramente las potencias y los resultados se restan.

Se efectúa la diferencia y luego se eleva al cuadrado.

Se calcula la potencia respectiva de x2 y se multiplica por 3 (primer resultado); se efectúa la multiplicación 4x; y se agrega +5 (segundo resultado), se dividen ambos resultados.

1.6 NOMENCLATURA

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Como en muchos campos de la ciencia, el álgebra también posee una forma de expresarse, como se detalla inmediatamente. 1.6.1 Expresión algebraica Se conoce como expresión algebraica, a la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones de tipo algebraico. Ejemplos:

2)103(),(,10, xyxbaxb

A = ax P = 2n + 3m + 2n + 3m

P = 4n + 6m

Expresión algebraica Expresión algebraica

Ejemplo: De las siguientes expresiones ¿Cuáles son expresiones algebraicas?

4a + x – y → …………………………………………….

→ …………………………………………….

a + 1 → …………………………………………….

4 → ……………………………………………. √x–3y²+1 → …………………………………………….

a → …………………………………………….

1.6.2 TÉRMINO

Los términos son expresiones algebraicas, que constan de uno o varios símbolos que no están separados por el signo + o -. Ejemplos:

y

bxyab

6

5,3,5,

ELEMENTOS DE UN TÉRMINO.

x

a

3m

2n

2n

3m

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TÉRMINO SIGNO EXPONENTE COEFICIENTE NUMÉRICO

PARTE LITERAL

- 12 a³b²c - 3, 2, 1 12 a³b²c

- √2 x²yz5

a³bc²

- 8 m5n

4

1.7 CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas, se clasifican en monomios y polinomios.

1.7.2 Monomio

Es aquella expresión algebraica constituida por un solo término. Ejemplos:

b

5a

3xy 1.7.2 Polinomio Es la expresión algebraica, constituida por más de un término. Ejemplos:

a – b

c - x + y

y3 + 3y2 + y + 10 Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), Dos expresiones algebraicas separadas por un signo = se llama „ecuación’. Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.

CLASES EJEMPLO ESPECIFICACIÓN ESCRIBE EJEMPLOS

Monomio 5x³y Un solo término

Binomio 3x² - 2 y Dos términos

Trinomio 2x – 3y² - 3z² Tres términos

Polinomio 7x² - 4y – 3z – xy Varios términos

1.8 NOCIONES DEL ÁLGEBRA

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El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades utilizando símbolos (letras) denominadas „incógnitas‟. 1.8.1 Suma algebraica Ejemplo:

Obteniendo las áreas de cada figura (sumando)

a² + a² + ab + ab + 4 + 4 + 4

2a² + 2ab + 12

1.81.2 Multiplicación de polinomios Para multiplica polinomios se multiplica todos los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de signos, luego se suman los términos semejantes.

Ejemplo:

a) A(x) = 3x² + 4x – 6

B(x) = 5x² - 3x + 8

A(x) × B(x) = (3x² + 4x – 6) × (5x² - 3x + 8)

= 15x4 – 9x³ + 24x² + 20x³ - 12x + 32x – 30x² + 18x – 48

= 15x4 – 9x³ + 20x³ + 24x² - 30x² - 12x + 32x + 18x – 48

A(x) × B(x) = 15x + 11x³ - 6x² + 38x – 48

b) P(x) = 5x² + 2x + 6 Q(x) = 2x² - x

Podemos también multiplicar en una tabla de doble entrada donde primero se multiplican los términos uno a uno y luego sumamos o restamos los resultados.

Q(x)

P(x)

2x² -x

a a2

w 2

2 a a2

w

a

ab b

a

ab b

a a

Page 15: Carpeta Taller de Estructuras Algebraicas

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5x² 10x4 -5x³

2x 4x³ -2x²

6 12x² -6x

Ahora ordenamos y operamos:

P(x) × Q(x) = 10x4 – 5x³ + 4x³ - 2x² + 12x² - 6x

P(x) × Q(x) = 10x4 – x³ + 10x² - 6x

1.8.3 División de polinomios Para dividir polinomios debemos seguir la siguiente regla:

Ordenar el dividendo y el divisor. Dividir el primer término del dividendo por el primer término del divisor para obtener el

primer cociente. El cociente multiplica con cada uno de los divisores. Se operan los residuos, si son menores al divisor bajamos el otro dividendo.

En primer lugar ordenamos con relación a la misma letra, el divisor como el dividendo, luego dividimos sólo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente, el cual multiplicamos por todo el divisor dicho producto se resta del dividendo para ello cambiamos de signo, de la misma manera se procede hasta que el residuo sea cero o en algunos casos sea inferior al divisor.

1.9 PRODUCTOS NOTABLES Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. 1.9.1 Cuadrado de un binomio

2)( ba

Donde: ))(()( 2 bababa

))(()( 2 bababa

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Realizando la operación:

22

2

2

2 baba

bab

aba

ba

ba

Entonces: 222 2)( bababa

„El cuadrado de un binomio, es igual al cuadrado del primer término más o menos el duplo del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término‟. Podemos utilizar la geometría mediante las áreas de los cuadrados de los rectángulos. Procedimiento: Graficamos cada figura geométrica, hallamos el área y luego graficamos las mismas figuras en la concretización del algebra con la geometría. Materiales:

Tijeras Carpicola Regla Cartulina de colores

Procedimiento: Graficamos las figuras geométricas y aplicamos el concepto de área. Hallamos el área. Construimos el trinomio cuadrado.

Obteniendo el área de Hallando el área el cuadrado a² del cuadrado, multiplicando el rectángulo ax los extremos el rectángulo ax el cuadrado x² (x + a) × (x + a) = (x + a)² a² + ax + ax + x² = (x + a)² ¡Perfecto!

x a

x

a ax

x2

a2

a

ax x x

x+a

a

x+a

a2 + 2ax + x2 = (x+a)2

Trinomio cuadrado perfecto

(Factorización) Cuadrado de un binomio

(Producto Notable)

a2 - 2ax + x2 = (x-a)2

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Diferencia de cuadrados

(factorización)

Producto de la suma por la diferencia (factorización)

Los productos notables, responden a reglas fijas. Dadas estas características, el resultado puede ser escrito en forma mecánica, sin necesidad de ninguna comprobación. 1.9.2 Diferencia de cuadrados perfectos Se llama diferencia de cuadrados cuando dos términos están elevados al cuadrado y tienen raíz cuadrada exacta, separados con el signo (-) Demostración: Procedimiento: En cartulina:

Grafica un cuadrado de 5cm En el mismo cuadrado graficar un rectángulo de 2cm Dentro del rectángulo forma el cuadrado de 2cm Recorta las tres figuras y resta el cuadrado de área 2² Forma el rectángulo de A1 y A2

Materiales: Cartulina de colores Carpicola Tijera Estuche geométrico

Formamos un rectángulo con A1 y A2 Sumando A1 y A2 que forman el rectángulo Se tiene:

5(5 – 2) + 2(5 – 2) = 25 = 10 + 10 – 4 =

25 – 4 =

Ahora el área tomando en cuenta los lados

(5 + 2)(5 – 2) = Como es la misma figura se tiene:

25 – 4 = (5 + 2) (5 – 2)

21 = 21 Si a = 5 y b = 2 Se tiene: a2 – b2 = (a+b)(a-b)

5 - 2

5 5

5 + 2

25 – 4 = (5 + 2)(5 – 2)

52 – 22 = (5 + 2)(5 – 2)

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18

Observemos la relación que existe entre la factorización y los productos notables. Ejemplos:

ACTIVIDADES: Ahora practiquemos resolviendo directamente:

a) 36 – 49a² =

b) 1 x² _ 144y² =

1.9.3 Cubo de un binomio 3)( ba

Realizando las operaciones, se tiene: 32233 33)( babbaaba

Entonces el cubo de un binomio, es igual al cubo del primer término más o menos el triplo del primer término al cuadrado por el segundo término, más el triplo del primer término por el segundo término al cuadrado, más o menos el cubo del segundo término.

1.9.4 Cubo perfecto de binomios

Para reconocer este caso debemos observar que se cumpla que:

Tiene cuatro términos. El primero y el último término tienen raíz cúbica exacta. El 2º término es el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado

por la raíz cúbica del último término. El 3º término es el triple de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz

cúbica del último término. De forma gráfica se tiene: Recuerda: el volumen es una medida cúbica; multiplicamos el Largo × Ancho × Alto

V = (a + b)³

b

b

a

ab2 (1)

b

a

a

a2b (I)

b

a ab2 (II)

a

b a

a2b (3)

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Los cuerpos I, II , III Los cuerpos 1, 2, 3

ab² + ab² + ab² a² b + a²b + a²b

3ab² 3a²b

El cubo mayor El cubo menor

b³ a³

Forman el cubo de lados (a + b) y el volumen es (a + b)³ Sumando los volúmenes del cubo Obteniendo el volumen del cubo (a + b)

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

Analicemos en forma Analítica:

a) 8x³ + 12x² + 6x + 1 Obtenemos la raíz cúbica de los extremos ↓ ↓ Aplicamos la propiedad multiplicando por el triple

2x 1 y por el cuadrado de la primera raíz.

3 (2x)² (1) = 3(4x²)(1) = 12x² Multiplicando por el triple y el cuadrado de la 2º raíz

3 (2x) (1)² = 6x Si los resultados son el 2º, 3º término respectivamente

Colocamos las raíces cúbicas elevadas al cubo.

8x³ + 12x² + 6x + 1 = (2x + 1)³

b) 125a³ - 150a²b + 60ab² - 8b³ = (5a – 2b)³

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↓ ↓

5a 2b

3 (5a)² (2b) = 3(25a²)(2b) = 150a²

3 (5a) (2b)² = 3(5a)(4b²) = 60ab²

1.10 ESTRATEGIAS PARA LA APLICACIÓN PRÁCTICA DEL ÁLGEBRA

Es común escuchar en todos los círculos sociales, que quién domina el álgebra e implícitamente las matemáticas, con seguridad tienen inclinación hacia el campo de las ingenierías. Sin embargo, es necesario aclarar que esta forma de pensar no es necesariamente cierta; por el contrario, genera una especie de aversión hacia las matemáticas en general y consiguientemente, el atraso en el que se desenvuelve el país respecto al desarrollo tecnológico y productivo tan necesarios para el desarrollo de entornos productivos que posean la capacidad de generar entornos de prosperidad en bien de la paz social. En este sentido, la matemática y por supuesto el álgebra, deben ser consideradas como herramientas para el desarrollo de las sociedades; quienes tengan inclinación por estas ciencias, en el futuro decidirán por el estudio de las mismas en su forma pura. Considerando que la Ley Educativa “Avelino Siñani – Elizardo Pérez”, tiene como columna vertebral el tema productivo, conviene entonces desarrollar las temáticas generando marcos prácticos para de esa manera asegurar la calidad de la enseñanza que repercutirán posteriormente en todas las dimensiones del ámbito educativo. Los objetivos del área de matemática contemplan las dimensiones del: Ser, Hacer, Saber, Decidir y se integran cíclicamente en los procesos educativos con las diferentes áreas productivas, tomando como referencia las estrategias metodológicas que se proponen.

ESTRATEGIAS

METODOLÓGICAS

Valoración Práctica Teoría

Producción

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La aplicación de estrategias metodológicas conlleva la utilización de recursos didácticos y soportes tecnológicos estrechamente vinculados a los contenidos curriculares, utilizándolos como mediadores que facilitan la comprensión en la educación matemática, considerando los procesos cognitivos, afectivos, prácticos y de decisión, que se generan en los estudiantes.

RESUMEN DE LA UNIDAD

En esta unidad, reflexionamos sobre los límites de la Aritmética y la necesidad de conocer otros campos de la matemática, en este caso el Álgebra para el desarrollo de mayores conocimientos. De esta manera, se introducen conceptos básicos del álgebra para su efectivo dominio, previo al desarrollo de procedimientos algebraicos comúnmente aplicados en el progreso de las naciones.

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UNIDAD 2: LAS ECUACIONES

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Conocemos y comprendemos los elementos componentes de las ecuaciones algebraicas

Aplicamos procedimientos de resolución de ecuaciones algebraicas.

Aprendemos a construir ecuaciones

2.1. ECUACIONES

Las ecuaciones son igualdades donde existen una o más incógnitas; es decir, existen una o más cantidades con valores desconocidos, en el marco de las operaciones descritas en la igualdad. A continuación describimos los elementos que son parte de una ecuación:

2.1.1. Miembros Son aquellas expresiones que se encuentran a cada lado del signo =

Ejemplo: 3253 xx

2.1.2. Términos

Se refiere a los monomios presentes en cada miembro.

Ejemplo: 8365 xx

Los términos son: 328,3,6,5 xxx

Son aquellas letras, que aparecen en una ecuación.

Ejemplo: 1236 yx

Donde se encuentran la incógnita x, así como la incógnita y.

2.1.3. Grado de la ecuación

El grado de una ecuación, está determinado por el mayor exponente presente entre las incógnitas.

Ejemplo: 02452 xx

Entonces, dado que el mayor exponente presente en la ecuación es 2, la ecuación es de segundo grado.

Soluciones

Son aquellos valores que asignados a las incógnitas, generan igualdad entre los miembros.

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23

Ejemplo: 1234 xx

Cuya solución es 2x

Porque sustituyendo: 1234 xx

1)2(23)2(3

1438

55

Cumpliéndose así la igualdad.

2.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

2.2.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Como se indicó una ecuación de primer grado es aquella, en la cual la incógnita tiene como mayor exponente al 1. Ejemplo:

3592 xx

Para resolver esta ecuación, se aplicará la técnica de la balanza; técnica aplicable a aquellas ecuaciones cuyos términos son positivos.

Considerando la ecuación: 3592 xx , con todos los términos positivos; se asume que

cada platillo de la balanza contiene a ambas expresiones que conforman la ecuación. Para representar esta igualdad y con el fin de facilitar la comprensión de este método, se adopta que la incógnita mantenga su simbología; es decir, se mantiene la letra x y los valores numéricos son representados por círculos negros.

De esta manera, la balanza toma la siguiente configuración:

3592 xx A continuación se reducen incógnitas en ambos platillos, tomando como referencia el lado que contenga el menor número de ellas; en este caso 2x. Quedando la balanza, como sigue:

X X X X X X X

X X X

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24

Posteriormente, se procede de la misma manera, pero esta vez con los círculos negros; en el ejemplo, tomando como base el lado donde aún quedan incógnitas; es decir, quitando 3 círculos negros y la balanza toma la siguiente configuración:

En equilibrio la balanza, se procede a ordenar los elementos contenidos:

Del gráfico se deduce que cada x = 2.

Para comprobar, se sustituye el valor encontrado en la ecuación ejemplificada.

3592 xx

Sustituyendo la incógnita con el valor encontrado: 3)2(59)2(2

31094

La igualdad se cumple. 1313

Por lo tanto, el valor de la incógnita x es igual a 2.

Si la ecuación contiene términos negativos, como se muestra en el siguiente ejemplo:

8365 xx

Primeramente, se realiza la transposición de términos; que consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro, cambiando su signo. Entonces la ecuación queda como sigue:

6835 xx

Realizando operaciones: 1435 xx

X X X

X

X

X

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Con los términos positivos y aplicando la técnica de la balanza, se tiene: Entonces, restando 3x: Ordenando: De donde x = 7.

Realizando la sustitución con el valor encontrado, en la ecuación original:

8365 xx

8)7(36)7(5

821635

2929

Cumplida la igualdad, entonces se comprueba que el valor de la incógnita x = 7.

Una vez comprendida la forma de solucionar ecuaciones de primer grado de una forma no convencional; es decir, mecanicista podemos llevar a cabo el procedimiento convencional de resolución de ecuaciones de este tipo, como se procede a continuación:

En este sentido, en la existencia de una determinada ecuación, mediante la ciencia algebraica se procede a encontrar la solución pertinente en conocimiento y también al mismo tiempo aprovechando el concepto de identidad donde se cumple que a = a.

Asimismo, de la teoría algebraica se conoce que aplicadas operaciones aritméticas o algebraicas del mismo tipo, en uno y otro lado de la ecuación, la igualdad de ésta no cambia.

X X X X X X X X

X X

X

X

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En función de estas características comprobadas en la ciencia algebraica, para la resolución de ecuaciones de primer grado, consiste esencialmente en despejar la incógnita y la solución se irá develando paulatinamente, como se vaya realizando las operaciones pertinentes.

Si se tiene la siguiente ecuación: 12365 xx

El procedimiento recomienda, despejar aquellos términos que contienen la variable; para ello se despejarán estos términos hacia la izquierda de la igualdad y las constantes hacia el lado derecho: 61235 xx

Entonces para obtener la igualdad precedente se pasaron los términos, con el signo cambiado para mantener la igualdad; en otras palabras, el término 3x pasó como -3x hacia el lado derecho y la constante 6, pasó como -6 al lado izquierdo de la ecuación. Una vez realizado y comprendido este paso, se realizan las operaciones necesarias en la ecuación; en este caso se requiere restar en ambos lados, obteniéndose entonces lo siguiente:

62x

Luego, para despejar plenamente a la incógnita y conocer su valor, se despeja la constante 2 y en este caso, la constante que está multiplicando por la incógnita x, pasa al otro lado de la ecuación como divisor; entonces se tiene:

2

6x

Finalmente, realizando la operación de división:

3x

Entonces, el procedimiento indica que el valor de la incógnita x es 3. Para probar lo citado, se procede a sustituir con este valor en la ecuación planteada:

12365 xx

Sustituyendo: 12)3(3)3(5

Realizando operaciones: 129615

Nuevamente, realizando operaciones: 2121

Dado que se cumple la igualdad, entonces el valor de la incógnita encontrada de x = 3, es la solución exacta.

2.2.2 Despeje de expresiones algebraicas

Hasta aquí se llevaron a cabo algunos movimientos de expresiones algebraicas, por ejemplo la de transposición y conocidos en forma genérica en el mundo de las matemáticas como despeje; que consiste básicamente en dejar sola a una expresión algebraica, para determinar su valor.

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Para realizar despejes es importante tomar en cuenta lo siguiente:

Si la expresión es positiva, pasa al otro lado de la ecuación como negativa. Si la expresión es negativa, para al otro lado de la ecuación como positiva. Si la expresión algebraica está multiplicando, pasa al otro lado de la ecuación como

divisora. Si la expresión algebraica está dividiendo, pasa al otro lado de la ecuación como

multiplicadora. Si la expresión algebraica está elevada a una potencia, pasa al otro lado de la

ecuación como raíz, determinada por la potencia a la que está elevada. Si la expresión algebraica está como raíz, pasa al otro lado de la ecuación elevada a

la potencia definida por el valor de la raíz.

A fin de posicionar estas reglas, se realizan algunos ejercicios:

De la expresión abajo escrita, despejar M:

M

AT

Como nos interesa despejar M y en función de las reglas descritas líneas arriba, como M está dividiendo, entonces pasa al otro lado de la ecuación como multiplicador:

AMT

Luego, para despejar finalmente M, como T está multiplicando pasa como divisor:

T

AM

Con lo cual, queda despejada la incógnita M.

Sigamos con otro ejemplo, de la ecuación siguiente, despejar Q:

LQ

PW

Entonces, primero despejamos L, como ésta es negativa pasa al otro lado con signo positivo:

Q

PLW

Posteriormente, como Q está dividiendo, pasa como multiplicador:

PLWQ )(

Finalmente, como la expresión entre paréntesis está multiplicando con Q, entonces pasa como divisor al otro lado de la ecuación:

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28

)( LW

PQ

Con lo cual, queda despejado Q.

Realizamos un último ejemplo; de la ecuación dada, despejar L:

F

LAT

2

Comenzamos primero despejando F, pasando éste como multiplicador, porque en primera instancia está como cociente:

LAFT 2

Luego, despejamos las expresiones que multiplican, pasando éstas como divisoras:

LA

FT

2

A continuación, despejando la raíz, ésta pasa como potencia al otro lado de la ecuación:

LA

FT2

2

Ordenando:

2

2A

FTL

Quedando entonces despejada L.

2.2.3 Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas

Las ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas, son denominadas así porque en su estructura se encuentran dos incógnitas que se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.

Así, las ecuaciones:

1

5

yx

yx

Son simultáneas porque 2,3 yx satisfacen ambas ecuaciones.

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29

Otro ejemplo:

54

1332

yx

yx

También son simultáneas dado que 3,2 yx ; satisfacen las ecuaciones.

Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas, existen varios métodos:

Método 1: Eliminación por igualación.

Mediante este método, se despeja en ambas ecuaciones una de las incógnitas y se igualan sus valores.

Teniendo las ecuaciones:

42

753

yx

yx

Primero se despeja x en ambas ecuaciones; entonces en la primera ecuación, 5y pasa como negativo y luego 3 que está como multiplicador, pasa como divisor:

3

57 yx

En la segunda ecuación, - y pasa como positivo y 2 pasa como divisor:

2

4yx

A continuación, despejadas en ambas ecuaciones x, se procede a igualar valores:

3

57 yx

2

4yx

Entonces tenemos:

2

4

3

57 yy

Realizando operaciones: )4(3)57(2 yy

1231014 yy

yy 1031214

y1326

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30

Despejando y: y13

26

Entonces: y2

Ordenando: 2y

Reemplazando el valor de y en la primera ecuación:

753 yx

7)2(53x

Realizando operaciones, tenemos: 7103x

1073x

33x

3

3x

1x

Entonces la solución para el sistema de ecuaciones, es:

2;1 yx

Método 2: Eliminación por sustitución.

En este método, se despeja en una de las ecuaciones una incógnita y se sustituye el valor hallado, en la otra ecuación.

Con el ejemplo anterior:

42

753

yx

yx

Despejando de la segunda ecuación la incógnita x:

2

4yx

Luego sustituyendo el valor de x, en la primera ecuación:

752

43 y

y

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31

Realizando operaciones: 752

123y

y

yy

572

123

)57(2123 yy

yy 1014123

Ordenando: 1214103 yy

Realizando operaciones: 2613y

13

26y

Entonces: 2y

Hallado y, se sustituye este valor en la primera ecuación:

42 yx

422x

Realizando operaciones: 242x

2

2x

Entonces: 1x

Por lo tanto, la solución es: 2;1 yx

Que son los mismos valores encontrados con el método 1 o de eliminación por igualación; demostrándose así, la validez del método de eliminación por sustitución.

Método 3: De reducción.

La solución mediante este método, se consigue eliminando una de las incógnitas, multiplicando ambas ecuaciones por números tales que la incógnita elegida pueda cancelarse:

Nuevamente, con el ejemplo anterior:

42

753

yx

yx

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32

Definiendo a la incógnita y, como la incógnita a eliminarse, se procede como aconseja el método; es decir, multiplicar por números que provoquen la eliminación de la variable elegida:

Entonces, la primera ecuación se multiplica por 5 y la segunda ecuación por 25:

)4(5)2(5

)7(1)53(1

yx

yx

Realizando operaciones: 20510

753

yx

yx

Sumando ambas ecuaciones:

1313

20510

753

x

yx

yx

Despejando x: 13

13x

Entonces: 1x

Finalmente, para hallar el valor de y, se despeja esta incógnita en la primera ecuación, como sigue:

753 yx

xy 375

5

37 xy

Luego, reemplazando el valor de x encontrado y realizando operaciones:

5

)1(37y

5

37y

5

10y

2y

Por lo tanto, la solución del sistema es: 2;1 yx

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33

Nuevamente, las incógnitas son las mismas encontradas por los métodos explicadas anteriormente. En función de lo realizado hasta el presente, se puede afirmar lo siguiente:

Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.

Afirmaciones que también son conocidas, como „artificios matemáticos‟.

2.3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Como se indicó líneas arriba, el grado de una ecuación está determinado por el mayor exponente presente entre las incógnitas. En consecuencia, para que una ecuación sea considerada de segundo grado, el mayor exponente presente entre sus incógnitas debe ser igual a 2, este tipo de ecuaciones son también denominadas cuadráticas y responden a la forma general:

02 cbxax

Donde: a, b y c son diferentes de 0.

Ejemplo: 02452 xx

Para resolver este tipo de ecuaciones, se aplica la fórmula:

a

acbbx

2

42

En función de la fórmula descrita, este tipo de ecuaciones tienen dos soluciones que no son siempre distintas y denominadas raíces.

La primera solución es: a

acbbx

2

42

1

La segunda solución, viene determinada por:

a

acbbx

2

42

2

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Para comprender en su verdadera dimensión la procedencia de la fórmula para solucionar ecuaciones de segundo grado, se realiza a continuación la deducción en todos sus pasos.

Tomando como punto de partida la ecuación:

02 cbxax

Además, teniendo como condición que: 0a

Entonces, es posible dividir entre a todos los términos de la ecuación, como sigue:

02

a

cx

a

bx

a

a

Entonces: 02

a

cx

a

bx

Despejando el término independiente:

a

cx

a

bx 2

Luego completando el cuadrado en el miembro izquierdo, mediante la suma en ambos miembros de:

2

2a

b

Se tiene: a

c

a

b

a

bx

a

bx

22

2

22

Factorizando el lado izquierdo y efectuando las operaciones en el lado derecho, la ecuación toma la forma:

a

c

a

b

a

bx

2

22

42

Realizando operaciones en el lado derecho:

2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

Despejando la potencia 2, del miembro izquierdo; entonces pasa al miembro derecho como raíz cuadrada:

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35

2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

Como existe la posibilidad de simplificar la fracción del lado derecho, se tiene:

2

2

2

4

2 a

acb

a

bx

Simplificando el radical: a

acb

a

bx

2

4

2

2

Luego despejando la incógnita:

a

acb

a

bx

2

4

2

2

Aplicando común denominador:

a

acbbx

2

42

Con lo cual, queda deducida la fórmula general para la solución de ecuaciones de segundo grado.

2.4 EL LENGUAJE ALGEBRAICO Como en toda forma de comunicarse del ser humano, en las matemáticas también existen lenguajes de comunicación; por ejemplo cuando se utilizan números en las operaciones de la aritmética, entonces se llama lenguaje numérico. Por su parte, cuando se utilizan letras así como números y signos, tratadas como números para realizar operaciones de tipo matemático, entonces se denomina lenguaje algebraico. Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico. Ejemplo: El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros.

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36

Esta información podría expresarse de otra forma: Llamamos x al ancho del campo. Las dimensiones de nuestro

El doble será x2 campo, expresadas en forma

Y el doble más 10m: 102x algebraica, es:

102x Expresa el largo del campo de fútbol.

2.4.1 Interpretación para el lenguaje algebraico

Para la construcción de ecuaciones algebraicas, existen formas de interpretar los enunciados como se muestra en algunos ejemplos a continuación:

FRASE EXPRESIÓN ALGEBRAICA

La suma de 2 y un número. 2 + d (la "d" representa la cantidad

desconocida)

3 más que un número x + 3

La diferencia entre un número y 5 a - 5

Un número aumentado en 1 k + 1

Un número disminuido en 10 z – 10

El producto de dos números a • b

Dos veces la suma de dos números 2 ( a + b)

Dos veces un número sumado a otro 2a + b

Cinco veces un número 5x

Ene veces (desconocida) un número

conocido n multiplicado por el número conocido

El cociente de dos números a

b

La suma de dos números x + y

10 más que n n + 10

Un número aumentado en 3 a + 3

Un número disminuido en 2 a – 2

El producto de p y q p • q

Uno restado a un número n – 1

El antecesor de un número cualquiera x – 1

El sucesor de un número cualquiera x + 1

3 veces la diferencia de dos números 3(a – b)

10 más que 3 veces un número 10 + 3b

La diferencia de dos números a – b

2.5 LA CONSTRUCCION DE ECUACIONES En función de lo citado, se afirma que el idioma del álgebra es la ecuación; entonces, para lograr comprender en su verdadera dimensión esta parte de la ciencia matemática, es necesario desarrollar destrezas que permitan luego encontrar la solución precisa a la ecuación planteada.

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37

Es una realidad, que la solución de una ecuación una vez conocidos los procedimientos correspondientes es, normalmente, tarea no muy complicada; sin embargo, plantear la ecuación en función de los datos expresados en el idioma corriente, sea el inglés, español u otro idioma, es para la mayoría una tarea muchas veces muy complicada. Es conocido que Isaac Newton en su manual de álgebra titulado “Aritmética Universal” escribió: “Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua, al idioma algebraico”. Una forma de plantear ecuaciones, se muestra a continuación: Sea el enunciado: La suma de las edades de A y B es 84 años, y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades. Procediéndose luego, de la siguiente manera:

LENGUAJE COMÚN LENGUAJE ALGEBRAICO

A tiene una determinada edad. A = x

B tiene 8 años menos que A B = x – 8

La suma de las edades de A y B es 84

años.

A + B = 84

Reemplazando A y B:

x + (x – 8) = 84

Entonces, para determinar cuál es la edad de A y B, se debe resolver la ecuación inscrita:

x + (x – 8) = 84

x + x – 8 = 84

2x = 84 + 8

2x = 92

2x = 92

x = 92/2

x = 46

Por lo tanto, A tiene la edad de 46 años.

Para conocer la edad de B, conociendo que A + B = 84; entonces reemplazamos la edad de A

y despejamos B, como sigue:

A + B = 84

46 + B = 84

B = 84 - 46

B = 38

Finalmente, para comprobar si están correctas las soluciones encontradas, reemplazamos los

valores, por ejemplo, en la ecuación construida:

x + (x – 8) = 84

46 + (46 – 8) = 84

46 + 38 = 84

84 = 84

Con lo que queda demostrada la validez de las soluciones encontradas.

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38

Como se puede apreciar, el plantear ecuaciones es todo un arte, difícil de comprender en primera instancia y en esencia consiste en “traducir”, desde el lenguaje común al lenguaje algebraico.

Silvia gasta la mitad del dinero de su recreo en una porción de torta y un sexto en un refresco de maracuyá. Si aún le quedan 4 Bs, ¿cuánto le han dado de dinero para su recreo? SOLUCIÓN: Recreo de Silvia = x x/2 + x/6 + 4 = x ;

x = 12 Bs.

Un grupo de estudiantes de la ciudadela La Pampa de la Isla y junto a cemento Warnes, realizan un proyecto de forestación, plantarán entre sauces, palmeras y pinos, 91 árboles. Si el número de palmeras es el doble que el de sauces y el de pinos el doble que el de palmeras, ¿cuántos árboles hay de cada clase? SOLUCIÓN: Nº de sauces = x

Nº de palmeras = 2x

Nº de pinos = 4x

x + 2x + 4x = 91

x = 13

Sauces: 13; Palmeras: 26; Pinos; 52

2.6 ESTRATEGIAS PARA LA APLICACIÓN PRÁCTICA DE LAS ECUACIONES

El proceso de resolución de un problema. Para George Polya (1945), la resolución de un problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases bien definidas: Comprender el problema.

¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? Concebir un plan.

¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿Conoce un problema relacionado con este? ¿Podría enunciar el problema de otra forma? ¿Ha empleado todos los datos?

Ejecutar el plan.

¿Son correctos los pasos dados?

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Examinar la solución obtenida.

¿Puede verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento?

Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal, competente. Cada fase se acompaña de una serie de preguntas, al puro estilo socrático, cuya intención clara es actuar como guía para la acción. Los trabajos de Polya, se pueden considerar por lo tanto, como un intento de describir la manera de actuar de un resolutor ideal. Una pregunta, ¿Por qué es tan difícil entonces, para la mayoría de los humanos, la resolución de problemas en matemáticas? Los trabajos de Schoenfeld (1985), son por otro lado, la búsqueda inagotable de explicaciones para la conducta de los resolutores reales de problemas. Propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la complejidad del comportamiento en la resolución de problemas. Recursos congnitivos: Es un conjunto de hechos y procedimientos a disposición del resolutor. Heurísticas: Reglas para progresar en situaciones dificultosas. Control: Aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles. Sistema de creencias: Nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de la matemática y como trabajar en ella. Cada uno de tales componentes explica las carencias, y por lo tanto, el poco éxito en la resolución de problemas de los resolutores reales. Así, cuando a pesar de conocer las heurísticas no se sabe cuál utilizar o cómo utilizarla se señala la ausencia de un buen control o gestor de los recursos disponibles. Pero las heurísticas y un buen control no son suficientes, pues puede que el resolutor no conozca un hecho, algoritmo o procedimiento específico del dominio matemático del problema en cuestión. En este caso se señala la carencia de recursos cognitivos como explicación al intento fallido en la resolución. Por otro lado, puede que todo lo anterior esté presente en la mente del resolutor, pero sus creencias de lo que es resolver problemas en matemáticas o de la propia concepción sobre la matemática haga que no progrese en la resolución. La explicación, para este fallo, la contempla Schoenfeld en el cuarto elemento del marco teórico, las creencias. Por último están las heurísticas. La mayor parte de las veces se carece de ellas. Se dispone de conocimientos específicos del tema o dominio matemático del problema, incluso de un buen control pero falla el conocimiento de reglas para superar las dificultades en la tarea de resolución. Las heurísticas son las operaciones mentales típicamente útiles en la resolución de problemas, son como reglas o modos de comportamiento que favorecen el éxito en el proceso de resolución, sugerencias generales que ayudan al individuo o grupo a comprender mejor el problema y a hacer progresos hacia su solución. Existe una amplia, posiblemente incompleta, lista de heurísticas. Entre las más importantes cabría citar:

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Buscar un problema relacionado. Resolver un problema similar más sencillo. Dividir el problema en partes. Considerar un caso particular. Hacer una tabla. Buscar regularidades. Empezar el problema desde atrás. Variar las condiciones del problema.

Sin embargo, como bien ha señalado Puig (1996), en la lista anterior aparecen demasiadas cosas juntas, que son, por otro lado, diferentes si las sometemos a un detenido análisis. Buscar un problema relacionado es una sugerencia heurística pues se señala una dirección de trabajo, y sobre todo se recurre a la memoria del resolutor, y no a un procedimiento concreto para buscar tal problema. Considerar un caso sí se refiere a un procedimiento en concreto que permite, a partir del problema dado, formular un problema relacionado con él. Puig (1996) denomina a este tipo de procedimientos, independientes del contenido y que permiten transformar el problema dado en otro, con el nombre de herramientas heurísticas. Por último, hacer una tabla, se podría considerar como una destreza al no poseer el carácter de transformar el problema ni al recurso de la memoria como en el caso de las sugerencias heurísticas. La característica más importante del proceso de resolución de un problema es que, por lo general, no es un proceso paso-a-paso sino más bien un proceso titubeante. En el proceso de resolución, Schoenfeld ha señalado que tan importante como las heurísticas es el control de tal proceso, a través de decisiones ejecutivas. Tales decisiones son acerca de qué hacer en un problema. La característica más importante que define a las decisiones ejecutivas y a las acciones de control, es que tienen consecuencias globales para la evolución del proceso de resolución de un problema. Las decisiones ejecutivas determinan la eficiencia de los conocimientos y recursos de todo tipo puestos al servicio para la resolución del problema. Son decisiones ejecutivas:

Hacer un plan. Seleccionar objetivos centrales y subobjetivos. Buscar los recursos conceptuales y heurísticos que parecen adecuados para el

problema. Evaluar el proceso de resolución a medida que evoluciona. Revisar o abandonar planes cuando su evaluación indica que hay que hacerlo.

Las anteriores son decisiones ejecutivas tal y como se usa ese término en Inteligencia Artificial, son equivalentes a las decisiones de gestión en el campo de los negocios, o decisiones de táctica y estrategia en el campo militar. El término metacognición se ha usado en la literatura psicológica en la discusión de fenómenos relacionados con el que aquí tratamos. Son por tanto, decisiones acerca de qué caminos tomar, pero también acerca de qué caminos no tomar. Cuanto más precisas sean las respuestas a las preguntas:

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¿Qué estoy haciendo?

¿Por qué lo hago?

¿Para qué lo hago?

¿Cómo lo usaré después? Mejor será el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solución. La ausencia de decisiones ejecutivas y de control suele tener efectos desastrosos en el proceso de resolución de un problema. La mayor parte de las veces en que se fracasa en la resolución de un problema es debido a que, la persona que afronta el problema, no dispone de un plan de solución. Pero hay otras actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de resolución. Entre ellas cabe destacar:

Inflexibilidad para considerar alternativas. Cuando una y otra vez fallan los procedimientos empleados no hay más salida que cambiar de perspectiva para salir del bloqueo.

Rigidez en la ejecución de procedimientos. Más de una vez intentaremos encajar un procedimiento conocido en una situación en la que no es aplicable. Nuestra obstinación es debida al simple hecho de que nos parece apropiado a primera vista, o porque la situación, aunque distinta, se parece a aquella en que el procedimiento fue eficaz.

Incapacidad de anticipar las consecuencias de una acción. Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una acción pensada: Cuando haya ejecutado lo que pienso ¿qué consecuencias tendrá para la resolución del problema?

El efecto "túnel". Se produce cuando la ejecución de una tarea es tan absorbente que no hay energías disponibles para la evaluación de lo que se está realizando. Suele darse más fácilmente cuanto más embebido se está en la ejecución de una acción. Miguel de Guzmán partiendo de las ideas de Polya, Mason et al. (Mason, Burton y Stacey, 1988) y de los trabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupación con problemas, donde se incluyen tanto las decisiones ejecutivas y de control como las heurísticas. La finalidad de tal modelo es que la persona examine y remodele sus propios métodos de pensamiento de forma sistemática a fin de eliminar obstáculos y de llegar a establecer hábitos mentales eficaces, en otras palabras, lo que Polya denominó como pensamiento productivo.

Un modelo para la ocupación con problema. Familiarízate con el problema Trata de entender a fondo la situación. Con paz, con tranquilidad a tu ritmo. Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del problema, piérdele

el miedo.

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Búsqueda de estrategias

Empieza por lo fácil.

Experimenta.

Hazte un esquema, una figura, un diagrama.

Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada.

Busca un problema semejante.

Inducción.

Supongamos el problema resuelto.

Supongamos que no.

Lleva adelante tu estrategia

Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior

Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una idea. Si las cosas se complican demasiado hay otra vía.

¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.

Revisa el proceso y saca consecuencias de él

Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? O bien, ¿por qué no llegaste?

Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona.

Mira si encuentras un camino más simple.

Mira hasta dónde llega el método.

Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro.

RESUMEN DE LA UNIDAD En la presente unidad, conocemos y aplicamos las características de las ecuaciones algebraicas, desde un punto de vista práctico y detallado con el fin de facilitar su estudio y de esa manera agradar al participante del proceso de enseñanza aprendizaje. En este contexto, conocemos acerca de los procedimientos de resolución de ecuaciones y también los pasos necesarios para construir las mismas.

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UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Reflexionamos sobre la trigonometría y los elementos que la componen

Desarrollamos los conceptos esenciales de la trigonometría

Aplicamos los conceptos esenciales de la trigonometría

3.1 TRIGONOMETRÍA En forma general, la trigonometría es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de los ángulos inscritos en las formas triangulares.

3.2 ELEMENTOS DE LA TRIGONOMETRÍA La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. En este sentido, la trigonometría es una ciencia que tiene orígenes en el pasado remoto.

3.3 CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS Los ángulos se clasifican en: Agudos. Son aquellos ángulos que miden más de 0º pero menos de 90º. Son característicos de los triángulos acutángulos.

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Rectos Son aquellos ángulos que miden 90º. Son característicos de los triángulos rectángulos. Llanos. Se denomina como ángulo llano, a aquel formado por 180º Obtusos. Son aquellos ángulos que miden más de 90º pero menos de 180º. Son característicos de los triángulos obtusángulos.

3.4 CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS Los triángulos se clasifican en: 3.4.1 Clasificación por lados Isósceles. Se llama triángulo isósceles al que tiene dos lados iguales; el tercer lado se llama base. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales; recíprocamente, si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a dichos ángulos también serán iguales.

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Equilátero. Se llama triángulo equilátero al que tiene los tres lados iguales. Como un triángulo equilátero es isósceles para cualquier par de lados, resulta que los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales; recíprocamente, si los tres ángulos de un triángulo son iguales, el triángulo es equilátero. Cabe mencionar que al triángulo que tiene los tres ángulos iguales se llaman, como se acaba de mencionar, triángulo equilátero, pero también es llamado equiángulo. Escaleno. Cuando un triángulo tiene sus tres lados distintos entre sí se llama escaleno.

3.4.2 Clasificación por ángulos

Acutángulo. Un triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (mayor que 0º pero menor que 90º) se llama acutángulo. Rectángulo. Cuando uno de los ángulos es recto (igual a 90º), se llama rectángulo.

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Obtusángulo. Cuando uno de los ángulos es obtuso (mayor que 90º pero menor que 180º), el triángulo se llama obtusángulo.

3.5 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Conociendo qué razón, es la relación o comparación de una cantidad con respecto a otra de la misma especie; entonces, razón trigonométrica es la relación o comparación de las medidas de los lados de un triángulo. 3.5.1 Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Se denomina triángulo rectángulo, a aquel triángulo que tiene un ángulo de 90º. Los elementos que componen a un triángulo rectángulo son:

Donde: c es la hipotenusa. a es el cateto opuesto. b es el cateto adyacente. α es el ángulo de referencia. Entonces, en el triángulo rectángulo descrito, se encuentran las siguientes relaciones:

a c

b A C

B

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Auxiliándonos de la siguiente figura: Las razones mostradas, quedan definidas como razones directas en referencia al ángulo α, cuyos nombres son:

Las razones expuestas, se denominan directas y existen otras 3 razones llamadas complementarias, porque la suma del ángulo α y otro ángulo complementario, ahora denominado β, cumplen la siguiente condición:

A + B = 90º En el triángulo de referencia: Así las razones complementarias son:

B

A

a = cateto opuesto c = hipotenusa

b = cateto adyacente

a = cateto opuesto c = hipotenusa

b = cateto adyacente A

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Para efectos de abreviación, las razones encontradas, se abrevian como sigue:

seno A = sen A

coseno A = cos A

tangente A = tan A

cotangente A = cot A

secante A = sec A

cosecante A = csc A

Es claro que en la deducción realizada, sen A = cos B como se demuestra a continuación:

En el triángulo de abajo, para el ángulo de referencia A, la función sen es: Conociendo que:

Entonces:

Luego, para el ángulo de referencia β, la función cos es:

A

a = cateto opuesto

c = hipotenusa

b = cateto adyacente

A

a = cateto adyacente c = hipotenusa

b = cateto opuesto

B

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Con los valores encontrados:

Dado que en ambas razones, un lado de ellas tiene los mismos valores e igualando, se tiene:

sen A = cos B Por lo tanto, en un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es igual al coseno de su complemento. 3.6 UNIDADES ANGULARES Existen tres sistemas y por lo mismo, tres unidades que emplea la trigonometría para la medición de ángulos: 3.6.1 Radiánico El radián, es considerado como la unidad angular natural de la trigonometría, establece que una circunferencia completa puede dividirse en 2π radianes. 3.6.2 Sexagesimal Es un sistema de procedencia inglesa y es de uso generalizado al presente, en diversas aplicaciones científicas. La unidad es el grado sexagesimal (1º), cuyo origen se encuentra en la división de un círculo en 360 arcos y por tanto, un ángulo recto tiene 90º. A su vez, un grado sexagesimal, está dividido en 60 partes iguales denominados minutos y cada minuto está compuesto por 60 segundos. 3.6.3 Centesimal El grado centesimal tiene procedencia francesa y tiene como particularidad que su unidad corresponde a 1/400 parte de una circunferencia; es decir, una circunferencia contiene 400 grados centesimales (400g) y por tanto un ángulo recto 100g. Al presente no es común su aplicación práctica.

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3.7 EQUIVALENCIA ENTRE UNIDADES DE MEDIDAS ANGULARES Un resumen de equivalencias entre sistemas de medidas se muestra a continuación:

ÁNGULO SEXAGESIMAL CENTESIMAL RADIÁNICO

Completo 360º 400g 2π rad

Llano 180º 200g π rad

Recto 90º 100g π/2 rad

De la tabla, se deduce que la equivalencia notable se tiene en el ángulo llano, donde:

180º = π rad

180º = 200g o 9º = 10

g

200g = π rad

Entonces, si el número de grados sexagesimales, grados centesimales y radianes de un ángulo son S, C y R, entonces se tiene:

Asimismo:

De las relaciones encontradas, para convertir a radianes el factor de conversión es:

Para convertir de radianes a grados sexagesimales, aplicar:

Ejemplo: Teniendo un ángulo de 3 radianes, convertir al sistema sexagesimal. Aplicando el factor de conversión:

Para convertir la parte decimal a minutos, se debe multiplicar por 60; porque 1 grado sexagesimal tiene 60 minutos:

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Minutos = 0.8873 (60) = 53.238’ Luego, para convertir nuevamente la parte decimal a segundos, nuevamente multiplicar por 60; porque 1 minuto tiene 60 segundos:

Segundos = 0.238 (60) = 14.28’ Entonces:

De esta manera: el ángulo de 3 radianes es igual a: 171º 53‟ 14.28‟‟

3.8 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Se denominan triángulos oblicuángulos o también escalenos, a aquellos cuyas medidas de sus lados son diferentes; por lo tanto, ninguno de sus ángulos es recto o de 90º.

3.9 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Para resolver este tipo de triángulos se aplican los siguientes teoremas: 3.9.1 Teorema de los senos Indica la relación que existe entre los lados y los ángulos opuestos. En este sentido, las razones de cada lado y el seno del ángulo opuesto, son proporcionales. Dado el siguiente triángulo: En el triángulo formado por ADB, se tiene que:

BD = c senA En el triángulo formado por BDC, se tiene que:

BD = a senB Igualando en función de la recta BD, entonces:

c senA = a senB De esta manera:

También denominada la ley de los senos. 3.9.2 Teorema de los cosenos En el teorema de los cosenos, se relacionan los lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Entonces, el teorema de los cosenos indica: “en un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo opuesto al primero”.

c a

A

B

C D b

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Dado el siguiente triángulo: En los triángulos rectángulos CBD y ABD, aplicando el teorema de Pitágoras:

a2 = h

2 + x

2

c2 = h

2 + (b – x)

2 = h

2 + (b

2 – 2bx + x

2) = h

2 + b

2 – 2bx + x

2

Restando m/m, se tiene:

a2 - c

2 = b

2 – 2bx

Aplicando razón coseno en el triángulo rectángulo ABD:

Entonces:

Despejando a y reemplazando x en:

a2 - c

2 = b

2 – 2bx

Entonces:

a2 = b

2 + c

2 – 2bc cosa

Concluyendo el teorema de los cosenos, indica:

a2 = b

2 + c

2 – 2bc cosA

b2 = a

2 + c

2 – 2ac cosB

c2 = a

2 + b

2 – 2ab cosC

Finalmente, para la resolución de triángulos oblicuángulos, es importante tomar en cuenta que la suma de los ángulos es igual a 180º; es decir:

A + B + C = 180º

Dados los elementos necesarios para la resolución de triángulos oblicuángulos, trabajemos con el siguiente enunciado: Se encuentran tres personas en distintos puntos. La primera dista de la segunda 1 Km, la segunda de la tercera 1,5 Km y ésta de la primera 2 Km. Hallar los ángulos que forman entre si dichas personas. Para encontrar las soluciones requeridas, en primera instancia es conveniente graficar el enunciado, como sigue:

D

c a

A

B

C

b

h

x

A

B

C

c = 1

a = 2

b = 1.5

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Dado que no se conoce ninguno de los ángulos, pero si los lados a, b y c; entonces aplicamos el teorema de los cosenos, para encontrar el ángulo C. Para ello, de la ecuación despejando cosC:

c2 = a

2 + b

2 – 2ab cosC

Se tiene:

Reemplazando valores en la ecuación:

Obtenido el valor del ángulo C, ahora procedemos con el ángulo B, aplicando la ley de los senos:

Despejando senB:

Reemplazando valores:

senB = 0,726618

B = arcsen(0,726618) = 46,56746º Encontrados C y B, hallamos A, conociendo que la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera es igual a 180º. Entonces, como:

A + B + C = 180º

Despejando A:

A = 180º - (B + C)

Reemplazando valores y realizando operaciones:

A = 180º - (46.56746º + 28.955º)

A = 180º - 75.5224º

A = 104.4775º

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Convirtiendo las partes decimales a minutos y segundos, multiplicando por 60’ y luego por 60’’, se tienen las respuestas solicitadas.

A = 104º 28’ 39’’

B = 46º 34’ 3’’

C = 28º 57’ 18’’

3.10 ESTRATEGIAS PARA LA APLICACIÓN PRÁCTICA DE LA TRIGONOMETRÍA

La trigonometría tuvo su origen en actividades prácticas relacionadas con la observación y estudio de fenómenos periódicos, en especial la observación del comportamiento de objetos en el cielo. Eso explica porque se desarrolló primero la trigonometría esférica que la trigonometría plana. Luego las aplicaciones de este campo de las matemáticas se extendieron a muchas otras actividades humanas. En particular se destacó la aplicación de la trigonometría a problemas de levantamiento de terrenos y de la posición de un objeto sobre la superficie terrestre (sobre todo en el mar). Desde los tiempos de los primeros navegantes hasta la era de los grandes descubrimientos geográficos, uno de los problemas más importantes para los matemáticos fue la localización precisa de un barco en el océano. La trigonometría ofrecía las herramientas adecuadas para resolver este problema. Actualmente, el problema de la localización de un objeto en la atmósfera terrestre, en tierra o en el mar fue resuelto con el Sistema de Posicionamiento Global (GPS, siglas en inglés). El Sistema de Posicionamiento Global es uno de los inventos recientes que ha tenido un tremendo impacto en muchas actividades diarias, deportivas y profesionales. Indudablemente que uno de los campos donde más influencia ha tenido ha sido el de la topografía. Sin embargo, el campo donde ha sido usado con mayor intensidad y efectividad ha sido el de las aplicaciones militares. Sobre esto último volveremos más adelante. El GPS está basado en algunas ideas básicas de matemática y física. Es un sistema muy ingenioso donde también se hace uso de muchos adelantos tecnológicos y científicos. Primero nos ocuparemos de las ideas matemáticas básicas, estas son: triangulación y sistemas de coordenadas. 3.10.1 Triangulación Una de las ideas matemáticas básicas que se usa en el diseño del Sistema de Posicionamiento Global es la triangulación. ¿En qué consiste la triangulación? Como su nombre lo indica debe tener algo que ver con el uso de triángulos. A continuación vemos un ejemplo de triangulación utilizando AB como línea de base. Suponemos que la distancia AB se puede medir con precisión. A partir de esa medición, las distancias entre los otros puntos pueden calcularse utilizando además la medición angular.

Sistemas de Coordenadas La idea de establecer un sistema de coordenadas para determinar la posición de un punto en el plano y en el espacio cambio considerablemente la manera de hacer matemáticas. Esta idea fue muy importante para el desarrollo del cálculo diferencial e integral. El establecimiento de un sistema de coordenadas en el plano permitió asociarle una ecuación o

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expresión algebraica a una curva. Esto a su vez permito que manipuláramos la ecuación y descubriéramos propiedades de la curva correspondiente. En otras palabras, permitió la algebrización de la geometría. Esta es una muestra de otra idea sencilla de gran impacto. 3.10.2 Sistema de Posicionamiento Global (GPS El sistema de posicionamiento global (GPS, siglas en inglés) fue desarrollado por exigencia del Departamento de la Defensa de los Estados Unidos. Los militares estadounidenses necesitaban, al igual que los soldados y comerciantes de imperios anteriores, de un sistema que les permitiera determinar con precisión la ubicación de naves, tropa, recursos, etc. propios y de sus potenciales enemigos. Estudiaremos el problema de localizar un objeto que capta una señal enviada por un satélite a una cierta distancia r del objeto y en un tiempo t. Un satélite en el espacio está enviando constantemente señales. Si un receptor capta la señal del satélite a una distancia r del mismo, entonces el receptor R podría encontrarse en la circunferencia de radio r y con centro en el satélite, tal como se muestra en la figura. r = 20 500 km Si tenemos dos satélites en lugar de uno, tales que el satélite S1 se encuentra a una distancia r1 del receptor R y el S2 se encuentra a una distancia r2 del receptor R. Entonces, el receptor R se encontrará en alguno de los dos puntos de intersección de la circunferencia con centro en el satélite S1 y la circunferencia con centro en el satélite S2. Es decir todavía no logramos determinar de manera completamente precisa la posición del receptor R. r1 = 20 500 km, r2 = 20 000 km

Fig. 1

Fig. 2

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Si incorporamos al sistema anterior un tercer satélite S3, tendremos la situación que se muestra en la Figura 3. La circunferencia de radio r3 con centro en el satélite S3 interseca en dos puntos a cada una de las circunferencia con centros en S1 y S2 respectivamente. Estas tres circunferencias tienen un único punto común de intersección, y ese sería precisamente el punto donde se encuentra localizado el receptor R. r1 = 20 500 km, r2 = 20 000 km, r3 = 17 000 km

3.11 APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA ASTRONOMÍA: Para medir distancias a estrellas próximas. MEDICIÓN: De distancias entre puntos geográficos. En sistema de navegación por satélites. Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas, ciclos biológicos, etc. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] El período de la función: seno es 2 π. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=senx es 1.

y=senx

Fig. 3

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FUNCION COSENO Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] Período : 2 π. La gráfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: X = 2π+n π, para todo número entero n. El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo es -1. La amplitud de la función:

y=cosx es1.

FUNCION TANGENTE Dominio: Recorrido: IR La función tangente es una función periódica, y su período es π. La gráfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π , para todo número entero n.

Ejemplo: Movimiento armónico simple Un cuerpo está vibrando verticalmente de acuerdo con la ecuación

, donde centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición

central (el origen) a los t segundos, considerando como sentido positivo hacia arriba.

Como la amplitud es 8, el máximo desplazamiento es 8cm.

• El período:

Es decir P=6. Por lo tanto, se requieren 6 segundos para una vibración completa del Cuerpo.

Inicialmente, el cuerpo se encuentra 8 cm por arriba del origen, la posición central. En el

primer ½ segundo el cuerpo baja 1.1 cm, es decir, se encuentra situado a 6.9 cm arriba del

origen, etc.

La gráfica de la función y=f(t)

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se muestra en la siguiente figura: Ejemplo. Gráfica de la función y = 2cos(3x+ π ) -1. Amplitud = 2, Período =3 Ejemplos del uso de la gráfica de la función SENO MOVIMIENTO ONDULATORIO. Oscilación, movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central. Frecuencia natural, es la frecuencia con la que tiende a vibrar. Flameo. Un tipo peligroso de vibración es la oscilación repentina y violenta. El sonido y su propagación, Como consecuencia de una compresión longitudinal de ondas mecánicas Sonido físico y sensación sonora. No todas las ondas sonoras pueden ser percibidas por el oído humano, el cual es sensible únicamente a aquellas cuya frecuencia está comprendida entre los 20 y los 20 000 H, la luz y el radio Sismo o Terremoto Vibraciones producidas en la corteza terrestre cuando las rocas que se han ido tensando Se rompen de forma súbita y rebotan. Las vibraciones pueden oscilar desde las que apenas son apreciables hasta las que alcanzan carácter catastrófico. Frecuencia Percibimos la frecuencia de los sonidos como tonos más graves o más agudos. La frecuencia es el número de ciclos (oscilaciones) que una onda sonora efectúa en un tiempo dado; se mide en hercios (ciclos por segundo).

La ecuación de onda

El movimiento ondulatorio puede expresarse en forma matemática Mediante una ecuación que describa un movimiento vibratorio avanzando por un medio. Para ello es preciso partir de la ecuación que define la oscilación del foco u origen de la perturbación. Si el movimiento es armónico simple su ecuación correspondiente será:

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Y = A · sen ð t Y = A · sen (2ðft)

RESUMEN DE LA UNIDAD

Esta unidad se empieza, describiendo los aspectos más esenciales de la trigonometría y también describiendo los elementos que la componen. Posteriormente se obtienen las razones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo; de esta manera y de una forma práctica se conoce en detalle la procedencia de las razones trigonométricas. Finalmente, se trata el tema de los triángulos oblicuángulos; es decir, de aquellos triángulos donde ninguno de sus ángulos es recto o de 90º.

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UNIDAD 4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Conocemos las características de las identidades trigonométricas.

Aplicamos procesos de resolución de identidades trigonométricas

Conceptualizamos las ecuaciones trigonométricas y desarrollamos la forma de resolverlos

4.1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene razones trigonométricas y que es verdadera para todos los ángulos definidos.

4.2. RELACIONES FUNDAMENTALES Una relación fundamental es una expresión notable que permite la simplificación de expresiones, demostración de identidades, resolver ecuaciones y aplicaciones trigonométricas; estas relaciones fundamentales son:

a) Relaciones de cociente:

b) Relaciones recíprocas

c) Relaciones pitagóricas

sen2α + cos

2α = 1 sen

2α = 1 - cos

tan2α + 1 = sec

2α tan

2α = sec

2α - 1

1 + cot2α = csc

2α cot

2α = csc

2α - 1

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4.3 RESOLUCIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Transformar la siguiente expresión en otra equivalente que contenga solamente senos y cosenos.

tanα + cotα Aplicando la relación de cocientes:

Como: sen2α + cos2α = 1, entonces:

Que es la expresión solicitada. Sigamos con otro ejercicio, demostrar la siguiente identidad:

Aplicando operaciones:

Simplificando:

Entonces:

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Quedando así la identidad verificada. Realicemos otro ejercicio, demostrar que:

Transformando el segundo miembro:

Simplificando:

Dado que tanα = tanα, la identidad queda demostrada. Para finalizar, demostrar la siguiente identidad:

Llevando a funciones de seno y coseno:

Realizando operaciones:

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Conociendo que el seno de un ángulo negativo cumple: sen(-2α) = sen2α, entonces:

Aplicando común denominador:

Aplicando cotangente:

Demostrándose así la identidad.

4.4 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es una igualdad de expresiones en la que intervienen razones trigonométricas y donde la incógnita es el ángulo; siendo la solución de la ecuación determinados ángulos para la variable o incógnita. Debido a que las razones trigonométricas son iguales para varios ángulos, hace que las ecuaciones trigonométricas tengan un conjunto de soluciones.

4.5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Las ecuaciones básicas se refieren a la resolución de ecuaciones simples del seno, coseno y tangente.

Solución de senx = a

La solución de senx = a, está dada por la inversa o arco:

x = arc sen a

Solución de cosx = b

La solución de cosx = b, está dada por la inversa o arco:

x = arc cos b Solución de tanx = a La solución de tanx = a, está dada por la inversa o araco:

x = arc tan a

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4.6 SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica que se puede reducir respecto de los argumentos: senx, cosx,

tanx y cotx, puede ser reducida a la ecuación racional respecto de la incógnita:

Mediante las fórmulas de sustitución universal; en función de lo citado, las razones son:

Resolver la ecuación y hallar el valor principal:

2senx – 1 = 0 Despejando la razón seno:

Aplicando arc seno, se tiene:

Entonces el valor de x es de 30º. Otro ejercicio, hallar el valor principal en la ecuación:

senx + csc x = 2 Como la cosecante es la inversa del seno, tenemos:

sen2x + 1 = 2senx

sen2x - 2senx + 1 = 0

(senx – 1)2 = 0

Entonces:

senx = 1

Aplicando arc sen:

x = arc sen(1)

Entonces:

x = 90º Verificando, puesto que en ocasiones la raíz encontrada no satisface la ecuación:

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Como 2 = 2, entonces el valor hallado para x igual a 90º, es verdadero.

4.7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

Razones trigonométricas de la suma de ángulos

Las razones trigonométricas de la suma de ángulos son:

sen(x + y) = senx cosy + cosx seny

cos(x + y) = cosx cosy – senx seny

4.7.1 Razones trigonométricas de la diferencia de ángulos Las razones trigonométricas de la diferencia de ángulos son:

sen(x - y= senx cosy - cosx seny

cos(x - y) = cosx cosy + senx seny

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Hallar el seno de 255º En primera instancia se determina que:

sen 255º = sen(180º + 75º)

En este contexto, también es cierto que:

sen 75º = sen(45º + 30º) Entonces:

sen 75º = sen45º cos30º + cos45º sen30º Reemplazando:

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Reemplazando en la ecuación:

sen 255º = sen180º cos75º + cos180º sen75º Se tiene:

sen 255º = 0 cos75º + (-1) sen75º

Con lo que se da respuesta al problema planteado.

4.8 ESTRATEGIAS PARA LA ENSEÑANZA PRÁCTICA DE LAS MATEMATICAS

El significado de la enseñanza de la matemática. La escuela normalmente otorga a los estudiantes la responsabilidad de su aprendizaje y la aplicación de una determinada disciplina. Actualmente sabemos que el aprendizaje no es un asunto exclusivo de quien aprende, sino también de quien tiene la tarea de enseñar, en la mayoría de los casos los docentes. A los estudiantes se les ha asignado el papel y la responsabilidad de aprender, lo cual predisponía a que se le prestara, en el pasado reciente, muy poca importancia al aprendizaje frente a las ideas generales sobre la enseñanza ampliamente tratadas en la literatura relacionada con la pedagogía y la didáctica. Consideramos que los estudiantes pueden aprender de manera independiente solamente si entran en contacto directo y activo con el objeto que desean aprender, en nuestro caso con el objeto intra y extramatemático, de esta manera podrían asumir cierta responsabilidad por su aprendizaje, puesto que el mismo no es un hecho desligado de los métodos de enseñanza. Consideramos, en tal sentido, que aún debemos profundizar sobre algunos aspectos fundamentales relacionados con la enseñanza de las matemáticas, lo cual influirá considerablemente en el proceso de aprendizaje. Ambos aspectos de la educación matemática se relacionan mutuamente. Igualmente, ellos están estrechamente ligados con el concepto de evaluación escolar, lo cual trataremos con mayor detalle en otra oportunidad, puesto que percibimos la necesidad de hacer algunas reflexiones y precisiones teóricas y prácticas en relación con las características y tendencias actuales de la educación matemática. Aprender y enseñar matemáticas significa desarrollar, casi siempre, conocimientos matemáticos, aunque ellos se hayan creado o inventado hace más de cuatro mil años (Wussing, 1998). Los docentes de matemáticas hacen matemática con sus estudiantes en el momento mismo de construir definiciones y conceptos matemáticos, así sean muy elementales. Aquí encontramos buena parte de la fascinación y el mito de las matemáticas. Ellas pueden ser cada vez reinventadas. Los estudiantes, más que aprenderse de memoria

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fórmulas o demostraciones, están interesados y motivados por la construcción de esas fórmulas y la demostración de proposiciones o teoremas, preferiblemente si éstos son significativamente importantes para ellos. El temor de los docentes por la elaboración de los conocimientos matemáticos ha permitido actualmente que se valore más el trabajo algorítmico que la construcción de los conceptos matemáticos. Debemos abandonar la idea de que los conceptos matemáticos duraderos son aquellos que se aprenden de memoria; por el contrario, el ser humano recuerda con mayor frecuencia y facilidad las ideas que él ha elaborado por sus propios medios y recursos. Las ideas fundamentales son las que constituyen el centro del aprendizaje matemático significativo (Bruner 1980; Mora, 2003d). Estas ideas pueden ser construidas por los estudiantes con la ayuda de métodos y la presencia permanente de los docentes. Podríamos señalar, por ejemplo, la presentación de la Whipala y muchos animales como las mariposas o los murciélagos para iniciar el tema sobre simetría; descubrir la ley que explica el comportamiento de una determinada sucesión de números; la elaboración de un problema matemático a partir de la descripción de una situación real compleja, tal como lo proponen, por ejemplo, Skovsmose (1994) o Blum (1985); lectura de una historia o un texto relacionado con alguna temática que contenga ideas y conceptos matemáticos, lo cual podría generar preguntas por parte de los estudiantes y, a partir de las respectivas discusiones, generar entonces las actividades de aprendizaje y enseñanza; se puede iniciar el trabajo matemático introduciendo problemas y situaciones propuestas en los libros de texto; discutir ejemplos resueltos en ellos u otros medios de aprendizaje y enseñanza con la finalidad de empezar nuevos contenidos matemáticos; etc. Tal como lo hemos expuesto en otras oportunidades, es recomendable desarrollar tareas auténticas y problemas realistas, ya que las situaciones ficticias, también en matemática, producen cierta aversión y rechazo por parte de los estudiantes. La preparación de las unidades de enseñanza en el campo de las matemáticas exige adecuados conocimientos didácticos y especiales de las disciplinas que podrían intervenir en los problemas y situaciones intra o extramatemáticas. La solución de tales problemas debe estar comprendida siempre en el marco de los correspondientes conocimientos matemáticos, lo cual facilita considerablemente el aprendizaje, sin provocar frustraciones o rechazos didácticos. Esto no significa que no podamos recurrir a soluciones generales y modelos previamente establecidos, lo cual facilita la solución de los problemas generados por la temática correspondiente. Hay que tomar en cuenta además que cada situación nueva lleva a soluciones obviamente inesperadas o desconocidas. Es tarea del docente prever, en cierta forma, los acontecimientos didácticos que puedan presentarse durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje y enseñanza. En tal sentido, los docentes requieren no solamente preparación y conocimientos disciplinarios, didácticos y pedagógicos, sino fundamentalmente suficiente tiempo y recursos didácticos. Esta es una de las grandes dificultades por las cuales atraviesan nuestros sistemas educativos. No es suficiente una buena formación profesional si los docentes carecen de medios adecuados, espacios y tiempo para la preparación y desarrollo adecuado de las respectivas actividades de enseñanza, especialmente dentro del marco de los conceptos e innovaciones didácticas fomentadas en la actualidad. De esta manera los docentes no podrán obviamente realizar un buen trabajo didáctico y pedagógico tal como lo proponen, cada vez más, tanto los diseñadores del currículo como los pedagogos y didactas. Una buena enseñanza de las matemáticas exige una alta responsabilidad por parte de los estudiantes, pero también buenas condiciones ambientales y didácticas en las respectivas instituciones escolares. El aprendizaje de las matemáticas necesita paciencia, tiempo y recursos.

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Etapas básicas del proceso de enseñanza Diferentes estudios relacionados con las interacciones sociomatemáticas en el aula (Yackel y Cobb, 1996; Mora, 1998), aplicando la observación como método básico de investigación, han mostrado que las clases de matemática, en diferentes países, se pueden caracterizar por la existencia de siete fases claramente diferenciadas. En algunos casos unas de ellas tienen mayor peso o relevancia en la enseñanza que en otros. Todas están vinculadas con la visión que tienen los docentes de esta disciplina sobre la didáctica de las matemáticas y la práctica concreta de aula. A continuación describiremos brevemente cada uno de estos momentos didácticos reportados en muchos estudios internacionales sobre el desarrollo de las clases de matemática. Además de hacer mención y describir algunos de los elementos que caracterizan a estas siete fases, trataremos de incorporar algunas ideas que podrían contribuir con la realización de una enseñanza matemática útil y significativamente importante para todos los estudiantes. Hemos tomado en consideración, para el presente análisis, el esquema que muestra los dos modelos más comunes aplicados en las clases de matemáticas, reportados por diferentes estudios como el TIMSS (Third International Science and Mathematics Study), PISA (Programme for International Student Assessment), PIRLS (Progress in International Reading Literacy Study) y LLECE (Laboratorio Latinoamericano para la Evaluación de la Calidad de la Educación) durante los últimos diez años. Introducción didáctica Esta fase se refiere, además del ritual inicial de toda hora de clases de matemáticas u otra área, a la mención breve de la temática que se trabajará durante el tiempo que dure la unidad de enseñanza. Hay diferentes formas de iniciar este proceso. En algunos casos se describen cortamente los contenidos que serán tratados, en otros se recuerda el tema trabajado en las clases anteriores o sencillamente se plantea a los estudiantes algunas preguntas preliminares con la finalidad de empezar la discusión y la reflexión alrededor de un determinado problema matemático o extramatemático. En otros casos los docentes de matemáticas se ayudan con historias concretas, informaciones de prensa recientes relacionadas con el tema, fenómenos naturales o sociales, situaciones conocidas por los estudiantes, juegos o temas propios de otras asignaturas. La vida cotidiana está llena de fenómenos que pueden servir para introducir diversos temas matemáticos en diferentes grados, desde el primer ciclo hasta el bachillerato e inclusive en las denominadas matemáticas universitarias. Hemos observado cómo los docentes usan diferentes estrategias de este tipo, tales como medidas de peso, longitud y tiempo. Es importante señalar que el tema de los alimentos aparece con mucha frecuencia como estrategia didáctica, sobre todo cuando se trata de introducir las fracciones. Prácticamente en todos los libros de texto de matemáticas aparece la idea de la torta o la tabla de chocolate, con lo cual se desea familiarizar a los estudiantes con el concepto de repartir y fraccionar. Desarrollo de los contenidos matemáticos Normalmente los docentes de matemática asumen el control total de la clase y desarrollan los nuevos contenidos matemáticos mediante el método de preguntas y respuestas (en muchos casos estas respuestas no surgen directamente de los integrantes del curso), sin mucha participación de los estudiantes durante esta fase fundamental del proceso. En otros casos, aunque muy escasos, surgen a partir de las denominadas situaciones problemáticas uno o más problemas, cuyas soluciones son encontradas mediante diferentes estrategias didácticas. Una de ellas, la más común hasta el presente, es la sugerida por los mismos docentes, quienes le brindan muy poco espacio y tiempo a los estudiantes para que reflexionen sobre las posibles soluciones. Durante este proceso de búsqueda de las

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respectivas soluciones se incorporarán nuevos términos matemáticos, se estimarán algunas posibilidades explicativas y se formularán reglas o proposiciones que podrían solucionar definitiva y adecuadamente los respectivos problemas. Se trabajará, entonces, un conjunto importante de contenidos intra o extramatemáticos que deben ser dominados, según los objetivos de la enseñanza, por todos los alumnos del curso. La meta central de esta fase es, casi siempre, hacer que los estudiantes aprendan nuevos conocimientos o dominen nuevos procedimientos matemáticos. Lamentablemente, en nuestra realidad educativa se logra que los estudiantes asimilen escasamente algunos algoritmos, sin llegar a comprender realmente sus significados y menos aún su construcción, lo cual debe ser una de las responsabilidades de la matemática escolar. Vinculación con otros conocimientos matemáticos Aunque esta fase es poco frecuente en los reportes de los estudios como el TIMSS y el PISA, ella está presente, en muchos casos, de manera implícita durante el desarrollo de las demás fases. Las matemáticas por excelencia constituyen un mundo compuesto por una infinidad de partículas estrechamente conectadas unas a otras, lo cual podría ser representado por un árbol con infinitas ramas. Se ha observado que los docentes tratan, de manera intencional o automática, de conectar diferentes ideas matemáticas, independientemente de su complejidad, cuando están explicando un determinado concepto matemático. Esta idea de la conectividad de los conocimientos matemáticos está asociada con el concepto de ideas fundamentales en educación matemática (Bruner, 1980; Mora, 2003e; Schweiger, 1992). En el marco del concepto de triángulo, por ejemplo, pueden ser trabajadas muchas ideas de la geometría hasta ver, inclusive, los contenidos de geometría y trigonometría de los sólidos u otros conceptos matemáticos de mayor envergadura. Consolidación de los nuevos conocimientos matemáticos La mayor parte de los conceptos matemáticos puede ser aprendida, además del esfuerzo que los docentes hagan en cuanto a las estrategias didácticas, la importancia y el significado de los contenidos matemáticos y el interés que muestren los estudiantes hacia la asignatura, consolidando mediante la repetición y ejercitación de los procedimientos y reglas trabajados durante las respectivas clases de matemáticas. El aprendizaje de las matemáticas requiere paciencia, ejercitación y repetición permanente. Es probable que otras asignaturas puedan ser dominadas mediante una corta preparación, como la que practican los estudiantes antes de asistir a una evaluación. En matemáticas no es suficiente y parece ser que el gran fracaso que se reporta continuamente con el aprendizaje de las matemáticas se debe precisamente a la poca o casi nula consolidación de los nuevos y viejos conocimientos matemáticos. Es ampliamente conocido que tanto las niñas(os) como los jóvenes y adultos pierden lo aprendido con cierta rapidez si se deja pasar mucho tiempo sin ejercitar, repetir o aplicar tales conocimientos. Con frecuencia señalamos que es muy importante tomar en consideración para el inicio de nuevos contenidos escolares los conocimientos previos que tienen los estudiantes. Resulta, sin embargo, que prácticamente todas las pruebas diagnósticas indican que tales conocimientos previos no son suficientes, de acuerdo con los objetivos que se han pretendido alcanzar como parte de la formación básica de la población estudiantil. La razón de esta deficiencia está precisamente en la poca o escasa consolidación de los contenidos matemáticos trabajados durante el proceso de escolarización. Muchas veces los docentes o la población en general insisten en decir que la repetición y ejercitación son la clave del aprendizaje. Por esta razón aparecen en los libros de texto grandes cantidades de ejercicios, muchos de ellos repetitivos. Sin embargo, no es suficiente hacer una lista de 500 ejercicios sobre solución de sistemas de ecuaciones, si los

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estudiantes realmente no entienden el sentido de esos ejercicios y su importancia. La comprensión y la reflexión del trabajo matemático constituyen la clave de la consolidación de los conocimientos. Es preferible trabajar razonada y profundamente 5 ó 6 ejercicios de resolución de una ecuación de segundo grado que resolver 30 ó 40 ecuaciones mecánicamente. La calidad de los problemas y ejercicios de consolidación incide considerablemente en un buen aprendizaje de las matemáticas. Profundización de los conocimientos matemáticos Después de la fase de consolidación se encuentra la de profundización de cada nuevo conocimiento adquirido en la escuela. No solamente los estudiantes con una alta capacidad para las matemáticas u otras asignaturas requieren profundizar en los conocimientos matemáticos trabajados durante cada unidad de enseñanza. Por el contrario, los estudiantes con mayores dificultades necesitan profundizar en algunos aspectos básicos y necesarios, siempre en correspondencia con sus inquietudes e intereses. Hay estudiantes a quienes no siempre les gusta trabajar todos los contenidos matemáticos tratados en las respectivas clases de matemáticas; sin embargo, los docentes tenemos la responsabilidad y la tarea de indagar sobre cuáles podrían ser los estudiantes que necesitan una mayor profundización de algunos contenidos matemáticos. Además, debemos seleccionar aquellos temas matemáticos que pueden interesar a unos u otros estudiantes, lo cual facilitaría la profundización de acuerdo con las diferencias individuales de cada uno de ellos (Krippner, 1992). No sería en algunos casos suficiente, por ejemplo, que los estudiantes comprendan, a través de algunas estrategias concretas de aprendizaje, que 2/5 es menor que 7/4. Habría que profundizar haciendo otro tiempo de argumentaciones, como por ejemplo realizar algunas operaciones aritméticas con ambas fracciones para probar que en efecto una fracción es menor o mayor que la otra (Mora, 2003e). También se pueden convertir ambas fracciones en decimales y verificar claramente las diferencias entre ellas. Se podría profundizar aún más, determinando por ejemplo la existencia de otras fracciones entre 2/5 y 7/4. Esta actividad tendría un nivel de exigencia mucho mayor, tal vez para aquellos estudiantes con mayor interés por las matemáticas. Inspección de los nuevos conocimientos matemáticos Todos sabemos que el objetivo básico de la enseñanza es el aprendizaje. ¿Cómo determinar si los estudiantes realmente han alcanzado las metas establecidas en los planes de enseñanza? Esta es una tarea altamente compleja, para la cual la didáctica de las matemáticas aún no tiene una respuesta completamente satisfactoria. Hay algunas ideas e indicaciones (Salinas, 2002; Mosquera y Quintero, 1997; Amigues y Zerbato-Poudou, 1999; Leuders, 2002; Mora, 2003f), las cuales, sin embargo, aún están lejos de una solución definitiva al problema de la evaluación de los aprendizajes matemáticos en los diferentes ámbitos del sistema educativo. La realidad es que actualmente los docentes siguen aplicando como estrategia las evaluaciones cortas, parciales, trimestrales, etc., existiendo inclusive una variedad amplia de tipos de evaluaciones, la mayoría desarrolladas en el aula de manera individual y escrita. El control o la inspección durante el proceso de aprendizaje y enseñanza suministran, según la tradición de la evaluación de los aprendizajes, información a los docentes sobre la efectividad de la enseñanza. Lamentablemente, en nuestros países latinoamericanos este control no cumple solamente este objetivo, por el contrario él pretende seleccionar y diferenciar a los estudiantes de acuerdo con las condiciones y las exigencias de los respectivos sistemas educativos.

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La inspección de los conocimientos matemáticos adquiridos por los estudiantes se puede lograr a través de preguntas hechas antes, durante y después del desarrollo de la enseñanza. La evaluación de las respuestas suministradas por los estudiantes otorga inmediatamente información precisa sobre el logro de los aprendizajes. La verificación del proceso y los resultados de actividades complejas de enseñanza permite enfocar de otra manera la ayuda o las sugerencias para la continuación del trabajo individual o colectivo. También podemos inspeccionar los aprendizajes mediante la observación independiente del trabajo grupal de los estudiantes. Los docentes pueden determinar, además, el logro de los aprendizajes mediante tareas de investigación, exposiciones, discusiones colectivas, etc., disminuyendo de esta manera la presentación de pruebas escritas, cuya concepción por parte de los docentes, elaboración por parte de los estudiantes y corrección requiere mucho tiempo y esfuerzos, lo cual no siempre refleja un mejor y mayor logro de los aprendizajes matemáticos. Corrección, eliminación de errores y concepciones erróneas Lamentablemente la concepción de una enseñanza matemática centrada en el formalismo matemático ha disminuido la construcción del conocimiento matemático y, en consecuencia, ha eliminado prácticamente el error como un elemento básico del aprendizaje de las matemáticas escolares. La tradición didáctica insiste en que los estudiantes deben responder siempre de manera correcta tanto a las preguntas orales realizadas por los docentes durante el desarrollo del proceso de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas en el aula como en las evaluaciones escritas presentadas por éstos. El error y las concepciones erróneas previas de los estudiantes no son aprovechados como punto de partida para una buena enseñanza; más bien, por el contrario, se penalizan fuertemente generando frustración, rechazo e impotencia en los estudiantes. Es ampliamente conocido (Radatz, 1980) que todos los seres humanos cometemos diaria y continuamente muchos errores, pero, por otra parte, también hemos construido una cultura de penalización de los errores. Tal vez esta actitud esté relacionada con la necesidad de justicia que necesitan los seres humanos; sólo que el error desde el punto de vista didáctico no tiene la misma connotación que desde el punto de vista judicial o jurídico. Los errores en matemática, aparentemente, son cometidos solamente por los estudiantes y no por los docentes o matemáticos profesionales. Ésta equivocada percepción en cuanto a quién comete errores o no durante el quehacer matemático ha contribuido con la mistificación del aprendizaje matemático. Saber matemáticas, se dice con frecuencia, es resolver los problemas o ejercicios matemáticos de manera independiente sin compartir con otros y cometer errores. Esta posición extrema asumida cotidianamente por muchos matemáticos y educadores matemáticos limita considerablemente el aprendizaje y provoca en los estudiantes un amplio rechazo hacia esta disciplina.

RESUMEN DE LA UNIDAD La unidad se inicia detallando las identidades trigonométricas, para luego desarrollar el proceso de resolución de las mismas. Inmediatamente, se procede a definir las ecuaciones trigonométricas y también el proceso de resolución de las mismas.

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Colombia. Editorial Cultural.

Baldor, Aurelio. (1995) Álgebra. Bogotá - Colombia. Editorial Cultural.

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