carga y descarga de un condensador
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CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR1. RESUMEN
Es este laboratorio se realizara los procesos de carga y descarga de un condensador posteriormente
se comparara los datos experimentales con los datos teóricos; los datos teóricos se obtendrán
aplicando las leyes de Kirchoff la cual resuelta da como resultado para la carga:
y para la descarga .
Posteriormente se realizara la regresión lineal transformando los datos a la forma lineal:
ln Vc = ln E’ + (-1/RC) t
y = a + b xFinalmente se obtiene el valor de C mediante la ecuación: C = -1/ Rb
2. INTRODUCCIÓN
OBJETIVO.
Verificar los procesos de carga y descarga de un capacitor en un circuito RC serie excitado por un voltaje constante. Comprobar la relación de la constante de tiempo y la resistencia.
ANTECEDENTES.
Para este laboratorio se contaba con conocimientos sobre resistencias, voltajes y sobre regresión lineal.
FUNDAMENTO TEÓRICO.
Condensador
Es un dispositivo que almacena carga eléctrica. En su forma más sencilla, un condensador está formado por dos placas metálicas (armaduras) separadas por una lámina no conductora o dieléctrico. Al conectar una de las placas a un generador, ésta se carga e induce una carga de signo opuesto en la otra placa. La botella de Leyden es un condensador simple en el que las dos placas conductoras son finos revestimientos metálicos dentro y fuera del cristal de la botella, que a su vez es el dieléctrico. La magnitud que caracteriza a un condensador es su capacidad, cantidad de carga eléctrica que puede almacenar a una diferencia de potencial determinado.
Los condensadores tienen un límite para la carga eléctrica que pueden almacenar, pasado el cual se perforan. Pueden conducir corriente continua durante sólo un instante, aunque funcionan bien como conductores en circuitos de corriente alterna. Esta propiedad los convierte en dispositivos muy útiles cuando debe impedirse que la corriente continua entre a determinada parte de un circuito eléctrico. Los condensadores de capacidad fija y
capacidad variable se utilizan junto con las bobinas, formando circuitos en resonancia, en las radios y otros equipos electrónicos. Además, en los tendidos eléctricos se utilizan grandes condensadores para producir resonancia eléctrica en el cable y permitir la transmisión de más potencia.
C = Q / Vc (1)
Los condensadores se fabrican en gran variedad de formas. El aire, la mica, la cerámica, el papel, el aceite y el vacío se usan como dieléctricos, según la utilidad que se pretenda dar al dispositivo.
Carga de un condensador
Considérese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador está descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que el condensador adquiere la carga máxima, la corriente cesa en el circuito.
En el circuito de la figura tendremos que la suma
Vab+Vbc+Vca=0
El extremo a tiene un potencial mayor que el extremo b de la resistencia R ya que la corriente fluye de a a b. De acuerdo a la ley de Ohm Vab=iR
La placa positiva del condensador b tiene mayor potencial que la placa negativa c, de modo que Vbc=q/C.
El terminal positivo de la batería a tiene mayor potencial que el terminal negativo c, de modo que Vca=-V , donde V es la fem de la batería
Figura 1.
La ecuación del circuito es iR+q/C-V =0
Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la sección del circuito en la unidad de tiempo, i=dq/dt, tendremos la siguiente ecuación para integrar
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en función del tiempo
La carga tiende hacia un valor máximo C·V al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito.
La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta que se hace cero cuando el condensador adquiere la carga máxima.
La cantidad RC que aparece en el denominador de t se denomina constante de tiempo del circuito. Este representa el tiempo que tomará a la corriente para decrecer hasta 1/e de su valor inicial.
Un tubo-capilar alimentado por un flujo constante producido por un frasco de Mariotte es la analogía hidráulica de la carga de un condensador.
Para la carga de un condensador utilizaremos el circuito de la fig. 1
Aplicando las leyes de Kirchoff para mallas se tiene que:
Vc + VR = Eo (2)
Donde VR es el voltaje en la resistencia y Eo es el voltaje de la fuente.Sabemos que:
VR = IR y Q = ∫ I dt (3)
Donde I es la corriente que circula por el circuito.Reemplazando los valores de (3) en (2) tenemos que:
(4)
La cual resuelta da como resultado:
(5)
Descarga de un condensador
Consideremos ahora el circuito que consta de un condensador, inicialmente cargado con carga Q, y una resistencia R, y se cierra el interruptor I.
La ecuación del circuito será la siguiente. Vab+Vba=0
Como la corriente va de a hacia b, el potencial de a es más alto que el potencial de b. Por la ley de Ohm Vab=iR.
En el condensador la placa positiva a tiene más potencial que la negativa b, de modo que Vba=-q/C.
Figura 2
La ecuación del circuito es iR-q/C=0
Como la carga disminuye con el tiempo i=-dq/dt. La ecuación a integrar es
La carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo. Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la intensidad, en el sentido indicado en la figura.
que disminuye exponencialmente con el tiempo.La descarga tubo-capilar es la analogía hidráulica de la descarga del condensador.Para la descarga del condensador utilizaremos el circuito de la fig 2.Aplicando las leyes de Kirchoff para mallas tenemos que:
Vc + VR = 0 (6)
La cual resuelta nos entrega:
(7)
A partir de esta ecuación se puede determinar el tiempo para el cual la carga del condensador es la mitad de la carga inicial, es decir:
T1/2 = RC ln (2) (8)
3. MÉTODO EXPERIMENTAL
MATERIAL
- Fuente de corriente continua- Cables de conexión- Voltímetro (o Multímetro)- Una resistencia- Un condensador
PROCEDIMIENTO
1. Instalar los circuitos de carga y descarga utilizando los valores determinados para la resistencia y el condensador, para que el tiempote carga y descarga no sea muy corto
2. Instalar el circuito para la carga. 3. Tomar 10 medidas del voltaje en relación al tiempo, este en intervalos de 15
segundos 4. Instalar el circuito para el modo de descarga.5. Tomar 15 datos del voltaje en intervalos de 15 segundos.
CIRCUITOS
Carga Descarga
4. TRATAMIENTO DE DATOS
E = 11.15 vC = 3300μFPara encontrar la resistencia despejamos la ecuación (8) de lo cual obtenemos:R = T/ C ln (2) (9)Reemplazando datos para un T =70s tenemos:R = 30.6KΩE' = 8.46 v
CARGA
Tabla 1. Datos de Carga
Vc : Voltaje medido experimentalmente.Vct: Voltaje hallado teóricamente mediante la ecuación (5)
Nº Tiempo(t) Vc Vct
1. 0 0 02. 15 1,64 1,543. 30 2,98 2,874. 45 4,05 4,015. 60 5,02 4,996. 75 5,83 5,847. 90 6,54 6,588. 105 7,13 7,219. 120 7,64 7,7510. 135 8,09 8,2211. 150 8,46 8,62
DESCARGA
Nº Tiempo(t) Vc Vct ln Vc ln Vct
1. 0 8,46 8.46 2.14 2.142. 15 7,66 7.29 2.04 2.003. 30 6,64 6.29 1.89 1.844. 45 5,70 5.41 1.74 1.695. 60 4,90 4.67 1.59 1.546. 75 4,23 4.02 1.44 1.397. 90 3,66 3.46 1.30 1.248. 105 3,19 2.99 1.16 1.099. 120 2,71 2.58 1.00 0.9510. 135 2,35 2.22 0.85 0.7811. 150 2,04 1.92 0.71 0.6512. 165 1,77 1.65 0.57 0.5013. 180 1,55 1.42 0.44 0.3514. 195 1,34 1.23 0.29 0.2115. 210 1,15 1.06 0.14 0.06
Tabla 2 Datos de descarga
Vc : Voltaje medido experimentalmenteVct : Voltaje hallado teóricamente mediante la ecuación (7)
REGRESIÓN LINEAL
A partir de las gráficas de descarga del condensador y al obtener los logaritmos de los ejes verticales (tabla 2), se realizara una regresión lineal para calcular el valor de C utilizando el valor de la resistencia.
Llevando a la forma lineal aplicando ln:
ln Vc = ln E’ + (-1/RC) t (10)
y = a + b x
a = ln E’ (11) b = -1/RC (12)
Despejando C de la ecuación (12) tenemos:
C = -1/ Rb (13)
Regresión lineal (Experimental)
a = 2.17 b = -0.0097 r = - 0.9998
Δa = Δb =
Aplicando estos datos a la ecuación (13) tenemos:
C = 3400 ± μF
Regresión lineal (Teórica)
a = 2.14 b = -0.0099 r = - 0.9999
Δ a = Δb =
Aplicando estos datos a la ecuación (13) tenemos:
C = 3300 ± μF
5. RESULTADOS
- Resultados experimentalesa = 2.17 b = -0.0097 r = - 0.9998Δa= Δb=C = 3400 ± μF
- Resultados teóricos.a = 2.14 b = -0.0099 r = - 0.9999Δa = Δb =C = 3300 ± μF
6. CONCLUSIONES.
- Al comparar los datos tanto experimentales como teóricos, en la carga y la descarga se observa una leve diferencia que quizás se deba a una falla en la realización del experimento
- El resultado experimental del condensador es mayor al real por 100 μF, en cambio el resultado teórico es exactamente el mismo.
7. BIBLIOGRAFÍA.
- Medidas y errores Alvares-Huayta
- Física experimental 2º Edición Manuel R. Soria
- Biblioteca de Consulta Microsoft ® Encarta ® 2005. © 1993-2004 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
Balance energético
La energía aportada por la batería hasta el instante t es
La energía disipada en la resistencia hasta el instante t es
La energía almacenada en el condensador en forma de campo eléctrico es
Comprobamos que Eb=ER+EC. Parte de la energía suministrada en la batería se disipa en la resistencia, y otra parte se acumula en el condensador.
Cuando se completa el proceso de carga t→∞, la mitad de la energía suministrad por la batería se disipa en la resistencia y la otra mitad se acumula en el condensador.
Ejemplo:
Sea un condensador de capacidad C=1.5 F en serie con una resistencia de R=58 ky una batería de Vє=30 V. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t=60 ms
La carga del condensador es
La intensidad es
La energía suministrada por la batería es
La energía disipada en la resistencia es
La energía acumulada en el condensador es
Cuando se completa el proceso de carga t→∞,
La carga del condensador es
q=CVє=1.5·10-6·30=45μC
La energía suministrada por la batería es
Eb=13.5·10-4 J
La energía acumulada en el condensador es
Ec=6.75·10-4 J
La energía total disipada en la resistencia es
ER=6.75·10-4 J
:
Actividades
Se introduce
La capacidad C del condensador, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Condensador
La resistencia R, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Resistencia La fem Vde la batería está fijada en el valor de 10
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa la carga del condensador, su color pasa gradualmente de blanco (sin carga) a rojo (carga positiva) y azul (carga negativa). A la derecha del applet, se traza la gráfica de la carga q y de la intensidad i en función del tiempo.
Observar
que la carga máxima no depende de la resistencia R, que la intensidad máxima no depende de la capacidad C
Elegir dos valores de la resistencia R1 y R2 y dos valores de la capacidad C1 y C2 de modo que R1·C1=R2·C2.
Balance energético
La energía inicial del condensador es
La energía disipada en la resistencia hasta el instante t es
La energía almacenada en el condensador en forma de campo eléctrico en el instante t es
Comprobamos que Ec=E0-ER. La energía en el condensador se disipa en la resistencia. Cuando se completa el proceso de descarga t→∞, toda la energía almacenada en el condensador se ha disipado en la resistencia
Ejemplo:
Sea un condensador de capacidad C=1.5 F en serie con una resistencia de R=58 kcargado inicialmente con Q=45μC. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t=60 ms
La carga del condensador es
La intensidad es
La energía almacenada inicialmente en el condensador es
La energía disipada en la resistencia es
La energía acumulada en el condensador es
Actividades
Se introduce
La capacidad C del condensador, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Condensador
La resistencia R, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Resistencia La carga inicial Q del condensador se ha fijado en el programa
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa la descarga del condensador, su color pasa gradualmente de rojo (carga positiva) y azul (carga negativa) a blanco (descargado) . A la derecha del applet, se traza la gráfica de la carga q y de la intensidad i en función del tiempo.
Elegir dos valores de la resistencia R1 y R2 y dos valores de la capacidad C1 y C2 de modo que R1·C1=R2·C2. Observar como decrece la carga y la intensidad.
Actividades
La carga y descarga del condensador la podemos observar, introduciendo una señal cuadrada en el circuito RC, y haciendo llegar la señal resultante a un osciloscopio.
Se introducen los siguientes datos
La resistencia R en La capacidad C en F (10-6 F) La fem V , en V La frecuencia f en Hz de la señal cuadrada. El periodo P es la inversa de la frecuencia,
P=1/f . Por ejemplo, si la frecuencia es 2000 Hz el periodo es 0.0005 s ó 0.5 ms (milisegundos)
Carga y descarga de un condensador
Cuando el circuito RC se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos observar en un osciloscopio el proceso de carga y descarga.
Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal la fem tiene un valor constante e igual a V0. El condensador se carga durante un tiempo P/2.
La carga q1 final del condensador en el instante t=P/2 se calcula a partir de la fórmula
En el instante t=P/2 la fem se hace cero, el condensador se descarga. La carga del condensador q2 en el instante t=P se calcula a partir de la fórmula,
En el siguiente proceso de carga, la integración no es entre los límites 0 y q, sino entre la carga remanente q2 y q.
Calculamos la carga final q3 en el instante t=P+P/2. Y así, sucesivamente.