caracteristicas estaticas

Características estáticas

Ing. Mario Urrutia E.

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Ing. Mario Urrutia Espinoza

AGENDA

Introducción Curva de calibración Errores: exactitud, veracidad y precisión Propagación de errores Calibración

Introducción

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• El comportamiento de un sensor o instrumento de medida se puede definir mediante la FT que indica su comportamiento en régimen estático y dinámico– Régimen estático: relación entre E/S cuando la entrada es

constante o ha alcanzado un estado permanente.– Régimen dinámico: indica la evolución del sistema hasta que la

salida alcanza el valor final o permanente ante una variación de la entrada.

• Una FT que recoja ambos comportamientos sería muy compleja por lo que se indican por separado mediante una serie de parámetros o características descritas a continuación

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Curva de calibración

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Curva de Calibración (Static Transfer Function)

• Es la relación entre la entrada y la salida en régimen estático.

Salida

Magnitud a medir

Salida

Magnitud a medir

(a) (b)

Ejemplos de curva de calibración: (a) lineal. (b) no lineal

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(Lectura del instrumento)

(Lectura del patrón)

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• Para definir la curva de calibración se necesita indicar su forma y sus límites.i. Los límites se especifican con los siguientes

parámetros• Campo de medida o rango: conjunto de valores comprendidos entre los

límites superior e inferior entre los que puede efectuarse la medida.• Alcance o fondo de escala: es la diferencia entre los límites superior e

inferior de medida.• Salida a fondo de escala: es la diferencia entre las salidas para los

extremos del campo de medida

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Salida,Y

YS

YI

Salida a fondo de escala

YS-YI

XI

límiteinferior

Xs

límitesuperior

Magnitud a medir, XCampo de medida

XS / XI

AlcanceXS – Xi

Curva de calibración

Representación de los parámetros de los límites

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(Lectura del instrumento)

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ii. En cuanto a la forma de la curva de calibración, muchos sensores presentan una respuesta que se aproxima a una recta por lo que se le define mediante 2 puntos o un punto y la pendiente añadiendo el error cometido en la aproximación (diferencia entre la curva real y la curva linealizada).Para definir la curva linealizada se utiliza:• Sensibilidad: es la pendiente de la curva de calibración• No linealidad: es la máxima desviación de la curva de calibración

respecto a la recta por la que se ha aproximado. Se expresa en % respecto al alcance y se le denomina linealidad o error de linealidad.

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Salida

Magnitud,X

XSXI

Curva real

Curva linealizada

h2

Salida

Magnitud,X

XSXI

Curva real

Curva linealizada

Desviaciónmáxima

(a) (b)

h1

Ejemplos de linealización de una curva de calibración(a) Ajuste de la recta efectuado mediante los extremos de medida. No linealidad = (b) Otra linealización con menor desviación. No linealidad =

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Ejemplo:Los siguientes valores indican la resistencia de un termómetro con resistencia de platino medidos en un intervalo de temperaturas. Determine la sensibilidad de la medición del instrumento.

Si se gráfica la tabla, resulta evidente la relación lineal entre la resistencia y la temperatura en el rango presentado.Para un cambio de temperatura de 30°C le corresponde 7 Ω. Luego, la sensibilidad sería:

Solución:

R (Ω) T (°C)

307314321328

200230260290

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Ejemplo:

Se dispone de un sensor cuya salida y en función de la magnitud a medir x es:

donde: . Si se linealiza la respuesta por la función: Cuál es el error de

linealidad?.

La máxima desviación de la respuesta linealizada respecto a la real se encuentra en x = 10. Para dicho valor, la respuesta real es:yr(10) = 0,46.Esta respuesta corresponde para la curva linealizada a un valor x = 9,09. Luego, la desviación h = 10 - 9,09 = 0,91. Entonces, el error de linealidad en % sobre el fondo de la escala es:

h10−0

∙100=9,1%

Solución:

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– Para las curvas no lineales la sensibilidad es insuficiente, aunque es de interés conocer las sensibilidades máxima y mínima.

– Estas curvas se definen mediante tablas o aproximándolas a una función matemática especificando siempre el error cometido.

• En algunos casos es necesario otros parámetros para definir una curva de calibración:– Zona muerta– Histéresis– Deriva– Saturación– Resolución

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ResistenciaT2-T3

360º0º

Zona muerta

Zona muertamα

Terminales

T1 T2 T3

α

(a) (b)

Ángulo de giro,

mα

Esquema de zona muerta(a) Potenciómetro de una vuelta donde se aprecia la zona muerta (αm)(b) Curva de calibración

Zona muerta: campo de valores de la variable que no hace variar la indicación

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Curva de calibración que presenta histéresis

Histéresis: diferencia en la medida dependiendo del sentido en el que se ha alcanzado

Salida,Y

Magnitud a medir,X

X

Y1

Y2

Ejemplo: Balanza con campo de medida 0-100 kg. Ante un cuerpo de 50 kg, si se realiza la medición incrementando el peso desde 0, se obtiene 49 kg. Si se realiza la medición desde 100 kg decrementando el peso, se obtiene 51 Kg. La histéresis sería de 2 Kg o expresado en % a fondo de escala sería 2%.

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Curva de calibración que comienza a saturarse por encima de Xsat

Saturación: nivel de entrada a partir del cual la sensibilidad disminuye de forma significativa

Salida

Magnitud a medir,X

Xsat

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Relación entra la salida y la tensión de entrada de un CA/D de 3 bits de 0-1 V.

Resolución: incremento mínimo de la variable de entrada que ofrece un cambio medible a la salida.

Una variación continua de la señal de entrada no da lugar a una variación continua en la salida, mas bien parece tener una forma escalonada

Salida

Tensión de entrada, (V)

000

001

010

011

100

101

110

111

0,500 1,000

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Deriva: Variación de algún aspecto de la curva de calibración respecto a algún parámetro ambiental (temperatura, humedad, etc) o al tiempo.

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Ejemplo:Una balanza de resorte se calibra a una temperatura ambiente de 20°C y tiene la característica de deflexión aguja/carga mostrada en la tabla 1. Posteriormente se usa una temperatura de 30°C y las mediciones obtenidas se muestran en la tabla 2. Determine la deriva de sensibilidad por °C de cambio en la temperatura.

A 20°C la característica de deflexión es una recta. La sensibilidad es 20 mm/kg.A 30°C la característica de deflexión es también una recta. La sensibilidad es 22 mm/kg.Luego:

• Deriva del cero sin carga: 5 mm – 0 mm = 5 mm.• Deriva de sensibilidad: 22 mm/kg – 20 mm/kg = 2 mm/kg• Deriva del cero /°C = 5 mm / (30°C – 20°C) = 0,5 mm/°C.• Deriva de sensibilidad / °C = 2 [mm/kg] / (30°C – 20°C) = 0,2 [mm/kg] / °C

Solución:

Carga (kg) Deflexión (mm)

0123

0204060

Carga (kg) Deflexión (mm)

0123

5274971

Tabla 1 Tabla 2

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Errores: exactitud,

veracidad y precisión

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• Principio básico en instrumentación: medir una magnitud con el menor error posible.

Siempre existe un grado de incertidumbre porque

es imposible realizar una medición sin

modificar aquello que se mide

No es necesario conocer las magnitudes con

exactitud absoluta: vivimos en un mundo de aproximaciones

Las variables incontroladas (ambiente, envejecimiento de

componentes, ruido, etc) añaden nuevos errores

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Clasificación de los errores

• Existen diferentes criterios.• A fin de cuantificar el error, se encuentran:

i. Error absoluto: Diferencia entre el valor medido y el valor exacto en valor absoluto

ii. Error relativo: Error absoluto dividido entre el valor exacto.

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• Según cómo se produzcan, los errores se clasifican en:– Errores sistemáticos: se mantienen constantes en valor

absoluto y signo después de repetidas medidas por lo que pueden ser evitados

– Errores aleatorios: permanecen aún después de haber sido corregidos los primeros

Ambos son independientes entre sí, por lo que el error total sería la suma de ambos:

𝑒=√(𝑘1𝑥 )2+(𝑘2𝑥 )2

x: magnitud medida

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• Según la norma UNE 82009, una mejor definición del comportamiento del sistema en lo referente al error exige cuantificar el error de forma que pueda detectarse el origen del mismo, por lo que se definen:

Veracidad (trueness): grado de concordancia entre el valor medio de una serie de resultados y el valor verdadero o aceptado como referencia. Se expresa en términos de sesgo o desviación (bias)

Precisión (precision): grado de concordancia entre los resultados. La precisión no implica necesariamente veracidad: varias medidas pueden ser similares pero diferentes del valor verdadero

Exactitud (accuracy): se refiere conjuntamente a la veracidad y a la precisión, es decir, a la correspondencia de los resultados entre sí, y, al valor verdadero

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• Para definir la variabilidad entre mediciones repetidas se utiliza la precisión.

• Existen diferentes factores que contribuyen a la variabilidad de un método de medición:– El operador que realiza la medición– Los equipos– La calibración de los equipos– El ambiente (temperatura, humedad, etc)– El intervalo entre mediciones

La precisión se cuantifica a partir de la repetibilidad y la reproducibilidad.

La medición de la repetibilidad se realiza manteniendo constantes los factores anteriores, mientras que, bajo condiciones de igual reproducibilidad, se varían

Ejemplo:Una persona que pesa 70 kg se ha pesado en dos básculas diferentes. Después de pesarse cinco veces con cada báscula, los resultados son:

La báscula 1 ofrece valores con buena concordancia en comparación con la báscula 2.La báscula 2 ofrece valores más cercanos al verdadero.Entonces, la báscula 1 es más precisa pero ofrece resultados menos veraces que la báscula 2.

Solución:

Báscula 1 (kg) Báscula 2 (kg)

65,065,164,965,165,0

70,072,068,071,173,0

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La báscula 1 parece presentar un error sistemático de 5 kg, el cual se puede eliminar sumando 5 kg a las mediciones. Pero sigue existiendo un error impredecible de 0,1 kg que puede considerarse como aleatorio

Cuál presenta mayor precisión?

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• La cuantificación de la exactitud, precisión, veracidad, repetibilidad y reproducibilidad se obtiene y expresa mediante procedimientos estadísticos

• Los fabricantes de instrumentos de medida suelen especificar estos aspectos en % sobre el fondo de escala de entrada o de salida o % sobre el valor de la lectura, para que sea un valor fácil de comprender.

Si un sensor de presión tiene un campo de medida de 0 – 1000 kPa, la salida está entre 0 – 1 V y la exactitud es del ±1% sobre el fondo de la escala, entonces, la presión medida en cualquier punto puede presentar un error de ±10 kPa

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• No obstante esto, una definición correcta se debería realizar en términos estadísticosSi por ejemplo, el fabricante encontró que el error seguía una distribución normal, la desviación típica (σ) debe indicar el margen de error en el que está comprendido el 68% de las lecturas. El 95% de las mismas estaría comprendida entre ±2σ, y aunque poco probable, es posible que alguna medida esté comprendida entre un margen mucho mayor.

Por tanto, al indicar el fabricante la exactitud en %, está diciendo el margen de error en el que están comprendidas la mayor parte de las lecturas (habitualmente el 95%) pero no todas.

Propagación de errores

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• Los sistemas están compuestos por subsistemas que presentan errores… y ¿cómo se cuantifica el error total?Si por ejemplo, se tienen dos resistencias en serie, una de 1000Ω ± 5% y otra de 100Ω ± 10%, cual sería el valor de la resistencia equivalente?

En principio, el valor máximo de la resistencia equivalente sería:

𝑅𝑒𝑞−𝑚𝑎𝑥=(1000+0,05 ∙1000 )+(100+0 ,1∙100 )=1100+60 [Ω ]

𝑅𝑒𝑞−𝑚𝑖𝑛=(1000−0,05 ∙1000 )+ (100−0 ,1∙100 )=1100−60 [Ω ]

Entonces, la resistencia equivalente: 1100 ± 60Ω ó 1100 Ω ± 5,5%

Sin embargo, es muy improbable que ambas resistencias presenten sus valores máximos y mínimos simultáneamente por lo que se estaría sobreestimando el error

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• El resultado debe cuantificarse en términos estadísticos• Por ejemplo, si se desea sumar 2 cantidades con error

a±k1a y b±k2b, puede usarse una aproximación teniendo en cuenta una distribución del error normal (a+b)±er donde el error er es:

• Aplicando la fórmula en el ejemplo anterior sería:1100 ± 51Ω ó 1100 Ω ± 4,64%

𝑒𝑟=√ (𝑘1𝑎 )2+(𝑘2𝑏)2

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Operación Resultado Resultado corregido

Suma

Diferencia

Producto

Cociente

Resultado de las operaciones básicas de números con error

Ejercicio 1:Se pretende determinar la potencia consumida por un equipo midiendo la corriente y la tensión. El amperímetro presenta un campo de medida de 0 – 50 A y un error sobre la lectura de ±2%. El voltímetro presenta un fondo campo de medida de 0 – 100 V y un error sobre la lectura del ±1%. Al efectuar la medición, el amperímetro indica 15 A y el voltímetro 60 V, por lo que la potencia consumida sería de 900 W.

¿Cuál es el error?

Sin corregir: 900 W ± 3%

Solución:

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Corregido: 900 W ± 2,24%

Calibración

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Definición

• Consiste en establecer, con la mayor exactitud posible, la correspondencia entre las indicaciones de un instrumento y los valores de la magnitud que se miden con él.

• Las tolerancias de los componentes y las no linealidades de los circuitos electrónicos provocan las diferencias de medición. Además, las curvas de calibración varían con el tiempo y uso.

• En sistemas con curvas de calibración lineales, las diferencias se centran en el nivel (offset) y la sensibilidad los que pueden conducir a errores sistemáticos que pueden minimizarse siempre que se puedan calibrar.

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Salida

Magnitud a medir

S1Δ

ΔS2

Instrumento 1

Instrumento ideal

Instrumento 2

iα

2α

Representación de la curva de calibración ideal y las que corresponden a dos instrumentos.El instrumento 1 proporciona una salida que siempre es un nivel ∆S1 mayor que el ideal.El instrumento 2, además de un nivel menor ∆S2 tiene sensibilidad (tg α2) diferente al ideal (tg α1 )

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• Los métodos de calibración más sencillos son:i. Calibración a un punto: consiste en actuar sobre el sistema

de medida de modo que para un punto en concreto, la salida sea lo más exacta posible.

ii. Calibración del cero y la sensibilidad: para un mejor ajuste se requieren dos puntos o un punto y la pendiente (sensibilidad). Muchos instrumentos incorporan esta posibilidad aunque solo sea accesible por el fabricante. Primero se debe ajustar el cero y luego la sensibilidad o ganancia.

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Salida

X

Salida

X

Salida

XXn

Yn

Respuestareal

Respuestabuscada

(a) (b) (c)

Calibración del cero y la ganancia(a) Situación original.(b) En el primer paso se ajusta el nivel cero.(c) Luego se mide a otro punto y se ajusta la ganancia hasta que la salida coincida con la esperada

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Ejemplo:Se dispone de una báscula industrial para medir entre 0 y 1000 kg. Después de un uso repetido se ha observado desviaciones en la medida (por ejemplo en ausencia de peso indica 10 kg) por lo que se ha decidido recalibrar el sistema. La báscula permite reajustar el cero y la ganancia. Es correcto ajustar primero la ganancia y luego el cero?

No. Por ejemplo, sea la situación original mostrada en (a). Si se ajusta primero la salida en un punto de medida Xn mediante la modificación de la ganancia (figura b), y luego se ajusta el nivel en cero, la curva de calibración resultante (c) presenta un error considerable.

Solución:

(a) (b) (c)

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• El uso de MP y MC permite técnicas de calibración más complejas como la calibración a varios puntos realizando el ajuste mediante mínimos cuadrados o mediante autoajuste usando dos puntos cualesquiera.

• No obstante, existe un problema inherente a todo proceso de calibración consistente en que para calibrar un equipo es necesario conocer el valor asumido como exacto de la variable de entrada.

• En ocasiones, algunos puntos son fáciles de determinar, pero en otros, debe usarse patrones o ensayos de referencia por lo que debe dejarse tal trabajo a empresas especializadas.

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caracteristicas estaticas

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