capítulo 2 series de números reales · 6 capÍtulo2. seriesdenÚmerosreales una serie convergente...

Capítulo 2

Series de números reales

Definición 2.0.1 Dada una sucesión a1, a2, a3, · · · , an, · · · de números reales, la su-

cesión S1, S2, S3, · · · , Sn, · · · donde:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

· · · · · · · · · · · ·Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

se dice que es la serie asociada a la sucesión de partida: a1, a2, a3, · · · , an, · · ·

Término general de la serie: an.

Representación de la serie :∞∑

n=1

an.

2.1 Convergencia de una serie de números reales.

Dada la serie∞∑

n=1

an, diremos que es convergente si ∃ l ∈ R finito tal que limn→∞

Sn = l.

Si limn→∞

Sn = ±∞ , diremos que la serie∞∑

n=1

an es divergente.

Si no existe limn→∞

Sn , diremos que la serie∞∑

n=1

an es oscilante.

5

Ingeniero en Electrónica Industrial y Automática - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL- M. Díaz Gabela

6 CAPÍTULO 2. SERIES DE NÚMEROS REALES

Una serie convergente se dice que es sumable y su suma es precisamente

limn→∞

Sn = l ≡ S.

Resto de orden k de una serie, es la suma Rk =∞∑

n=k+1

an.

2.2 Propiedades de las series numéricas.

1. El carácter de una serie no varía si se suprimen un número finito de términos.

2. El carácter de una serie no varía al dividir o multiplicar todos los términos por

una constante k �= 0.

3. La suma o diferencia de series convergentes es convergente.

4. Si los términos son positivos, la suma de dos series divergentes es divergente,

de la diferencia no se puede decir nada.

5. Si la serie es convergente, su carácter no varía y su suma tampoco, si se

sustituye un grupo de términos consecutivos por su suma.

6. Si la serie es divergente, su carácter no varía si se sustituye un grupo de

términos consecutivos por su suma.

7. Si la serie es oscilante, en general no es cierta la propiedad asociativa señalada

en 5) y6).

Lo vemos en la serie:∞∑

n=1

(−1)n ⇒{

−1 + (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + · · · → −1

(−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · → 0

2.2.1 Serie geométrica. Carácter y suma.

Una serie geométrica, representa la suma de los términos de una progresión geo-

métrica indefinida:

a+ a · r + a · r2 + a · r3 + · · ·+ a · rn + · · · =∞∑

n=1

a · rn−1


2.3. CONDICIÓN NECESARIA DE CONVERGENCIA DE UNA SERIE. 7

Carácter de una serie geométrica:

Se tiene que:

Sn = a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · ·+ a · rn−1

r · Sn = a · r + a · r2 + a · r3 + · · ·+ a · rn−1 + a · rn

(1− r)Sn = a− a · rn = a (1− rn)

Sn =a− a · rn1− r

= a · 1− rn

1− r

Tomando límites:

limn→∞

Sn = limn→∞

a− a · rn1− r

= limn→∞

a · 1− rn

1− r=

a

1− r− limn→∞

a · rn1− r

El valor de este límite depende del valor de r :

Si |r| < 1 ⇒ limn→∞

rn = 0 ⇒ limn→∞

Sn =a

1− r⇒ Convergente, S =

a

1− rSi |r| > 1 ⇒ lim

n→∞rn = ∞ ⇒ lim

n→∞Sn = ∞ ⇒ Divergente

Si |r| = 1 :

r = 1 ⇒∞∑

n=1

a · rn−1 =∞∑

n=1

a ⇒ Sn = a · n⇒ limn→∞

Sn = ∞ ⇒ Divergente

r = −1 ⇒∞∑

n=1

a · rn−1 = a− a+ a− a + a− · · · ⇒ Oscilante

Luego la serie geométrica, sólo converge cuando |r| < 1

y su suma es:

S =a

1− r

2.3 Condición necesaria de convergencia de una

serie.

Para que la serie∞∑

n=1

an sea convergente es condición necesaria (que no suficiente)

que limn→∞

an = 0.



En efecto.

Si la serie∞∑

n=1

an es convergente, quiere decir que ∃ limn→∞

Sn = S , finito, por tanto:

Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

Sn−1 = a1 + a2 + · · ·+ an−1

Sn − Sn−1 = an

por lo que tomando límites :

limn→∞

(Sn − Sn−1) = limn→∞

an = 0

Como hemos dicho, esta condición no es suficiente para que la serie converja, así

por ejemplo, la serie armónica∞∑

n=1

1

ncumple la condición necesaria: lim

n→∞

1

n= 0 y

sin embargo no es convergente ya que :

∞∑

n=1

1

n= 1 +

1

2︸︷︷︸

+1

3+

1

4︸︷︷︸

+1

5+

1

6+

1

7+

1

8︸︷︷︸

+1

9+

1

10+ · · · >

>

(1

2+

1

2

)

+

(1

4+

1

4

)

+

(1

8+

1

8+

1

8+

1

8

)

+ · · ·

por lo que∞∑

n=1

1

n> 1 +

1

2+

1

2+ · · ·

es decir que Sn > 1 + 1

2· p

Tomando límites:

limn→∞

Sn ≥ 1+ limn→∞p→∞

1

2· p = ∞ ⇒

∞∑

n=1

1

nes una serie Divergente.

2.4 Criterio general de convergencia de Cauchy.

La condición necesaria y suficiente para que la serie∞∑

n=1

an sea convergente es que

∀ε > 0, ∃ν (ε) ∈ N/∀p, q > ν ⇒ |Sp − Sq| < ε ; con p > q”


2.5. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 9

Es decir que

∀p, q > ν ⇒ |aq+1 + aq+2 + aq+3 + ap| < ε

como ha de ser ∀p, q ⇒ lo será cuando p → ∞ y por tanto

|aq+1 + aq+2 + aq+3 + ap + ap+1 + · · ·| < ε

es decir que ∣∣∣∣∣

∞∑

n=q+1

an

∣∣∣∣∣< ε ⇒ |Rq| < ε

Lo que nos permite enunciar el criterio de Cauchy de la forma:

“La condición necesaria y suficiente para que la serie∞∑

n=1

an sea convergente es

que

∀ε > 0, ∃ν (ε) ∈ N /∀n > ν ⇒ |Rn| < ε

es decir limn→∞

Rn = 0”.

2.5 Series de términos positivos.

Son series∞∑

n=1

an , donde an ≥ 0 , ∀n ∈ N. Se observa como una serie de términos po-

sitivos, sólo puede ser convergente o divergente, ya que la sucesión S1, S2, S3, · · · , Sn, · · ·es monótona creciente: S1 ≤ S2 ≤ S3 ≤ · · · ≤ Sn ≤ · · · que tendrá límite (conver-

gente) si está acotada superiormente y será divergente si no lo está.

Debemos destacar que en las series de términos positivos, es condición suficiente

de divergencia, el hecho de que limn→∞

an �= 0. Pues en estas series la no convergencia

⇒divergencia.

2.6 Criterios de convergencia (términos positivos).

Para una serie de términos positivos veamos los criterios siguientes:

2.6.1 Criterios de comparación:

1. Criterio de la mayorante.



Si∞∑

n=1

an es mayorante de∞∑

n=1

bn , es decir que a partir de un n se verifica que

an ≥ bn, entonces si∞∑

n=1

an es convergente ⇒∞∑

n=1

bn es convergente.

2. Criterio de la minorante.

Si∞∑

n=1

bn es divergente y es minorante de∞∑

n=1

an entonces∞∑

n=1

an es divergente.

3. Criterio del límite del cociente.

Si limn→∞

anbn

= ∞ y∞∑

n=1

bn divergente ⇒∞∑

n=1

an divergente.

Si limn→∞

anbn

= 0 y∞∑

n=1

bn convergente ⇒∞∑

n=1

an convergente.

Si limn→∞

anbn

= k

{

�= 0

�= ∞⇒

∞∑

n=1

an y∞∑

n=1

bn tienen el mismo carácter.

2.6.2 Criterio de la raíz o de Cauchy.

Una serie∞∑

n=1

an tal que a partir de un n verifica:

n

√an < r < 1 o bién lim

n→∞n

√an < 1 ⇒ es convergente.

n

√an > r > 1 o bién lim

n→∞n

√an > 1 ⇒ es divergente.

n

√an > 1 y lim

n→∞n

√an = 1 ⇒ es divergente.

En cualquier otro caso el criterio no decide → carácter dudoso

Efectivamente:

- Si desde un n en adelante se conserva n

√an < r < 1 ⇒ an < rn y por tanto

∞∑

n=1

an <∞∑

n=1

rn con r < 1, por tanto∞∑

n=1

an convergente.

- Si desde un n en adelante se conserva n

√an > r > 1 ⇒ an > rn y por tanto

∞∑

n=1

an >∞∑

n=1

rn con r > 1, por tanto∞∑

n=1

an diververgente.

- Si n

√an > 1 y lim

n→∞n

√an = 1 ⇒ an > 1 ⇒ lim

n→∞an �= 0 ⇒

∞∑

n=1

an divergente.


2.6. CRITERIOS DE CONVERGENCIA (TÉRMINOS POSITIVOS). 11

Ejemplo 2.6.1 Estudiar el carácter de la serie

∞∑

n=1

n2e−n

––

Aplicamos el criterio de la raiz:

limn→∞

n

√an = lim

n→∞

n

√n2e−n =

1

elimn→∞

n

√n2 =

1

elimn→∞

n2

(n− 1)2=

1

e< 1

luego Convergente

2.6.3 Criterio de D’Alembert o del cociente.

Una serie∞∑

n=1


anan−1

< r < 1 o bién limn→∞

anan−1

< 1 ⇒ es convergente.

anan−1

> r > 1 o bién limn→∞

anan−1

> 1 ⇒ es divergente.

anan−1

> 1 y limn→∞

anan−1

= 1 ⇒ es divergente.


Efectivamente:

- Si desde un n en adelante se conserva

anan−1

< r < 1

entonces:

an < r · an−1

an+1 < r · an < r2 · an−1

an+2 < r · an+1 < r3 · an−1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

∞∑

i=n

ai < an−1

(r + r2 + r3 + r4 + · · ·

)

︸︷︷︸

serie geometrica conv.

= an−1

(r

1− r

)



por tanto∞∑

i=n

ai es un valor finito yn−1∑

i=1

ai es suma de un número finito de términos,

por tanto también valor finito, con lo que∞∑

i=1

ai será convergente.

- Si desde un n en adelante se conserva

anan−1

> r > 1

an > r · an−1

an+1 > r · an > r2 · an−1

an+2 > r · an+1 > r3 · an−1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

∞∑

i=n

ai > an−1

(r + r2 + r3 + r4 + · · ·

)

︸︷︷︸

serie geometrica diverg.

⇒∞∑

i=1

ai es divergente

- Sianan−1

> 1 y limn→∞

anan−1

= 1 ⇒ a partir de un n se tiene que an > an−1,

por tanto {an} sucesión creciente de números positivos ⇒ limn→∞

an �= 0 y∞∑

n=1

an

divergente.


∞∑

n=1

nn

3nn!

––

Aplicando criterio del cociente:

limn→∞

anan−1

= limn→∞

nn

3nn!(n− 1)n−1

3n−1 (n− 1)!

=1

3limn→∞

(n

n− 1

)n−1

=e

3< 1 ⇒ Convergente

.


2.6. CRITERIOS DE CONVERGENCIA (TÉRMINOS POSITIVOS). 13

2.6.4 Serie armónica. Carácter.

Corresponde a una serie de la forma∞∑

n=1

1

np, donde p ∈ R+.

Estudiamos su carácter, según valores de p:

Si p > 1:

∞∑

n=1

1

np= 1 +

1

2p+

1

3p+

1

4p+

1

5p+

1

6p+

1

7p+

1

8p+

1

9p+ · · · <

< 1 +

(1

2p+

1

2p

)

+

(1

4p+

1

4p+

1

4p+

1

4p

)

+

(1

8p+

1

8p+ · · ·

)

+ · · ·

= 1 +2

2p+

4

4p+

8

8p+ · · · = 1 +

1

2p−1+

1

4p−1+

1

8p−1+ · · ·

serie geométrica de razón :1

2p−1< 1 y por tanto convergente.

Por tanto para p > 1, la serie∞∑

n=1

1

npes convergente.

Si p < 1 :

np < n ya que np = n1−q (q > 0) =n

nq< n

por lo que∞∑

n=1

1

np>

∞∑

n=1

1

n, que sabemos es divergente ⇒

∞∑

n=1

1

npdivergente.

Por tanto para p < 1, la serie∞∑

n=1

1

npes divergente.

Si p = 1:

Se tiene que la serie∞∑

n=1

1

np≡

∞∑

n=1

1

nque es diververgente.

2.6.5 Criterio de Pringsheim.

Se plantea el limn→∞

nα.an = l

{

Si α > 1 y l �= ∞ ⇒ Serie convergente.

Si α ≤ 1 y l �= 0 ⇒ Serie divergente.

- Si desde un n en adelante nα · an < 1 , con α > 1, se tiene que an <1

nαy por

tanto∞∑

n=1

an <∞∑

n=1

1

nα(armónica convergente)

luego∞∑

n=1

an convergente.



- Si desde un n en adelante nα · an > 1 , con α ≤ 1, se tiene que an >1

nαy por

tanto∞∑

n=1

an >∞∑

n=1

1

nα(armónica divergente)

luego∞∑

n=1

an divergente.


∞∑

n=1

1√n+ 1

Aplicando el criterio de Pringsheim:

limn→∞

nα.an = limn→∞

nα.1√n+ 1

α=1/2= 1 ⇒ Divergente.

2.7 Criterio logarítmico.

Una serie∞∑

n=1


L

(1

an

)

Ln> α > 1 o bién lim

n→∞

L

(1

an

)

Ln> 1 ⇒ La serie es convergente.

L

(1

an

)

Ln< α < 1 o bién lim

n→∞

L

(1

an

)

Ln< 1 ⇒ La serie es divergente.

L

(1

an

)

Ln< 1 y lim

n→∞

L

(1

an

)

Ln= 1 ⇒ es divergente.


En efecto:

- Si

L

(1

an

)

Ln> α > 1 se tiene que

L

(1

an

)

> αLn = L (nα) ⇒ 1

an> nα ⇒

∞∑

n=1

an <∞∑

n=1

1

nα, que es convergente


2.7. CRITERIO LOGARÍTMICO. 15

por tanto∞∑

n=1

an es convergente.

- Si

L

(1

an

)

Ln< α < 1 se tiene que

L

(1

an

)

< αLn = L (nα) ⇒ 1

an< nα ⇒

∞∑

n=1

an >∞∑

n=1

1

nα, que es divergente

por tanto∞∑

n=1

an es divergente.

- Si limn→∞

L

(1

an

)

Ln= 1, pero a partir de un n se tiene que

L

(1

an

)

Ln< 1

entonces

L

(1

an

)

< Ln ⇒ 1

an< n⇒ an >

1

n⇒

∞∑

n=1

an ≥∞∑

n=1

1

n, que es divergente

por tanto∞∑

n=1

an es divergente.


∞∑

n=2

1

LnLn

––

Aplicamos el criterio del logaritmo:

limn→∞

L

(1

an

)

Ln= limn→∞

L[LnLn

]

Ln= limn→∞

Ln · L [Ln]

Ln= limn→∞

Ln · L [Ln]

Ln= ∞ > 1

por tanto la serie es Convergente.



2.7.1 Criterio de Raabe.

Cuando al aplicar el criterio del cociente, se llega al caso dudoso de

limn→∞

anan−1

= 1 , se aplica este criterio, que dice:

Si limn→∞

n

(

1− anan−1

)

=

l < 1 ⇒ Serie divergente.

l > 1 ⇒ Serie convergente

l = 1 ⇒ Caso dudoso


∞∑

n=1

21+1

2+

1

3+···+ 1

n

––

Aplicamos el criterio del cociente:

limn→∞

anan−1

= limn→∞

21+1

2+

1

3+···+ 1

n

21+1

2+

1

3+···+ 1

n−1

= limn→∞

21

n = 1 ⇒ Dudoso

Aplicamos a continuación Raabe:

limn→∞

n

(

1− anan−1

)

= limn→∞

n(

1− 21

n

)

= − limn→∞

n(

21

n − 1)

= − limn→∞

nL[

21

n

]

= −L2 < 1

por tanto la serie es Divergente.

2.8 Suma de series de términos positivos.

Sabemos que la suma de una serie∞∑

n=1

an , si existe, es S = limn→∞

Sn. Sin embargo,

el trabajo de obtención de esta suma se puede simplificar notablemente cuando la

serie es de un determinado tipo.

Estudiaremos el cálculo de la suma para distintos tipos de series de términos

positivos.

2.8.1 Series aritmético-geométricas.

Una serie∞∑

n=1

an es aritmético-geométrica, si su término general es de la forma:

an = bn · cn


2.8. SUMA DE SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 17

donde:

- bn es el término general de una progresión aritmética.

- cn es el término general de una progresión geométrica de razón r.

Probada la convergencia, generalmente mediante el criterio del cociente, se pro-

cede de la siguiente forma:

Sn = b1c1 + b2c2 + b3c3 + · · ·+ bn−1cn−1 + bncn

rSn = rb1c1 + rb2c2 + rb3c3 + · · ·+ rbn−1cn−1 + rbncn

(1− r)Sn = (1− r) b1c1 + (1− r) b2c2 + · · ·+ (1− r) bncn

Sn =1

1− r[(1− r) b1c1 + (1− r) b2c2 + · · ·+ (1− r) bncn]︸︷︷︸

no finito términos prog. geométrica razón r,± algo

La suma de la serie será: S = limn→∞

Sn

Si :

bn = an + b→ aritmética de primer orden.

bn = an2 + bn+ c → aritmética de segundo orden.

bn = an3 + bn2 + cn + d→ aritmética de tercer orden.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·En estos casos se repite el proceso tantas veces como indica el orden de la arit-

mética.

Ejemplo 2.8.1 Sumar si procede la serie

∞∑

n=1

n + 2

2n+2

Se trata de una serie aritmético-geométrica, convergente (basta aplicar criterio

del cociente).

Se tiene que:

Sn =3

23+

4

24+

5

25+

6

26+ · · ·+ n+ 1

2n+1+n + 2

2n+2

1

2Sn =

3

24+

4

25+

5

26+

6

27+ · · ·+ n+ 1

2n+2+n + 2

2n+3

1

2Sn =

3

23+

[1

24+

1

25+

1

26+ · · ·+ 1

2n+2

]

− n+ 2

2n+3



Sumando y tomando límites:

1

2limn→∞

Sn =3

23+ limn→∞

[1

24− 1

2n+3

1− 1

2

]

− limn→∞

n + 2

2n+3=

3

23+

1

8=

1

2

Por cuanto limn→∞

Sn ≡ S = 1

2.8.2 Series hipergeométricas.

Son series∞∑

n=1

an tal quean+1

an=αn+ β

αn + γcon α, β y γ ∈ R

Cuando α = 0 , tenemos una serie geométrica de razón r =β

γConvergencia

Aplicando el criterio del cociente:

limn→∞

an+1

an= limn→∞

αn + β

αn + γ= 1

aplicando Raabe tenemos:

limn→∞

n

(

1− an+1

an

)

= limn→∞

n

(

1− αn + β

αn+ γ

)

= limn→∞

n

(αn+ γ − αn− β

αn + γ

)

= limn→∞

n (γ − β)

αn+ γ=γ − β

α

por tanto la serie será convergente cuandoγ − β

α> 1 , es decir cuando γ > α + β.

Suma

La relación que se verifica en la serie hipergeométrica nos permite escribir:

a2a1

=α + β

α + γ⇒ (α + β) a1 = (α+ γ) a2

a3a2

=2α + β

2α+ γ⇒ (2α + β) a2 = (2α + γ) a3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·an−1

an−2

=(n− 2)α + β

(n− 2)α + γ⇒ ((n− 2)α + β) an−2 = ((n− 2)α + γ) an−1

anan−1

=(n− 1)α + β

(n− 1)α + γ⇒ ((n− 1)α + β) an−1 = ((n− 1)α + γ) an

sumando a derecha e izquierda de las segundas igualdades:

αa1 + 2αa2 + · · ·+ (n− 1)αan−1 + β (a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1) =

= αa2 + 2αa3 + · · ·+ (n− 1)αan + γ (a2 + a3 + · · ·+ an−1 + an)



esto es:

αa1 + αa2 + αa3 + · · ·+ αan−1 − nαan + αan =

= γ (a2 + a3 + · · ·+ an−1 + an)− β (a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1)

por lo que

αSn − nαan = γ (Sn − a1)− β (Sn − an) = (γ − β)Sn − γa1 + βan

(α− γ + β)Sn = nαan − γa1 + βan = β (an + nα)− γa1

por tanto

Sn =an (β + nα)− γa1

α− γ + β=γa1 − an (β + nα)

γ − (α + β)

tomando límites:

limn→∞

Sn = limn→∞

γa1 − an (β + nα)

γ − (α + β)

pero tenemos en cuenta que limn→∞

an = 0, ya que esta es la condición necesaria de

convergencia, y que limn→∞

n · an = 0, puesto que si limn→∞

n · an �= 0, tendríamos por el

criterio de Pringsehim (α = 1), que la serie sería divergente.

Por tanto

limn→∞

Sn ≡ S =γa1

γ − (α + β)

Ejemplo 2.8.2 Probar si es hipergeométrica la serie

∞∑

n=1

1

(n+ 1) (n + 3)

––

Planteamos el cociente

an+1

an=

[1

(n+ 2) (n+ 4)÷ 1

(n + 1) (n+ 3)

]

=n2 + 4n + 3

n2 + 6n + 8�= αn + β

αn+ γ

por tanto esta serie no es hipergeométrica.


∞∑

n=1

1

(n+ 2) (n + 3)

––



Planteamos el cociente

an+1

an=

[1

(n + 3) (n+ 4)÷ 1

(n+ 2) (n + 3)

]

=n+ 2

n+ 4⇒

α = 1

β = 2

γ = 4

Por lo que la serie es hipergeométrica.

Es además convergente, pues γ > α + β

Su suma será:

S =γ · a1

γ − (α+ β)=

4 · 1

3·44− 3

=1

3

2.8.3 Series no hipergeométricas reducibles a suma de hi-

pergeométricas.

• Series∞∑

n=1

an , con an =P (n)

Q (n), donde:

P (n) es un polinomio en n de grado p.

Q (n) es un polinomio en n de grado q.

q ≥ p+ 2.

Q (n) formado por q factores en progresión aritmética de razón r = 1.

La suma de la serie se obtiene como suma de las series, ya hipergeométricas, que

se obtienen al descomponer el término general an en suma de p+1 sumandos que son

fracciones, con numerador constante a determinar y con denominador el producto

de q − p factores, que conservan la progresión aritmética.


∞∑

n=1

3n+ 1

(n+ 1) (n + 2) (n+ 3)

No es hipergeométrica y vemos que cumple las condiciones que exponemos arriba,

por tanto descomponemos el término general de la forma:

3n + 1

(n + 1) (n+ 2) (n+ 3)=

A

(n+ 1) (n + 2)+

B

(n + 2) (n+ 3)



identificando coeficientes:

3n + 1 = (n+ 3)A+ (n+ 1)B = n (A+B) + 3A+B

A+B = 3

3A +B = 1

}

⇒ A = −1, B = 4

por lo que:

∞∑

n=1

3n+ 1

(n+ 1) (n + 2) (n+ 3)= −

∞∑

n=1

1

(n+ 1) (n + 2)︸︷︷︸

S1:HIPERGEOMETRICA

+4∞∑

n=1

1

(n+ 2) (n + 3)︸︷︷︸

S2:HIPERGEOMETRICA

Para la serie S1:

an+1

an=

[1

(n+ 2) (n+ 3)÷ 1

(n + 1) (n+ 2)

]

=n+ 1

n+ 3⇒

α = 1

β = 1

γ = 3

⇒ S1 =1

2

Para la serie S2:

an+1

an=

[1

(n+ 3) (n+ 4)÷ 1

(n + 2) (n+ 3)

]

=n+ 2

n+ 4⇒

α = 1

β = 2

γ = 4

⇒ S2 =1

3

Luego

S = −S1 + 4S2 = −1

2+

4

3=

5

6

• Series∞∑

n=1

an , con an =P (n)

Q (n), donde:

P (n) es un polinomio en n de grado p.

Q (n) es un polinomio en n de grado q.

q ≥ p+ 2.

Q (n) formado por q factores en progresión aritmética de razón r �= 1.

En este caso, se desarrolla la serie y a la vista de sus términos, se descompone

en suma de series que serán hipergeométricas.


∞∑

n=1

1

n (n+ 3)



Es fácil comprobar que no es hipergeométrica, escribimos unos cuantos términos:

∞∑

n=1

1

n (n+ 3)=

1

1 · 4 +1

2 · 5 +1

3 · 6 +1

4 · 7 +1

5 · 8 +1

6 · 9 +1

7 · 10 +1

8 · 11 + · · ·

Agrupando términos:

∞∑

n=1

1

n (n + 3)=

[1

1 · 4 +1

4 · 7 +1

7 · 10 + · · ·]

+

[1

2 · 5 +1

5 · 8 +1

8 · 11 + · · ·]

+

+

[1

3 · 6 +1

6 · 9 +1

9 · 12 + · · ·]

=

=∞∑

n=1

1

(3n− 2) (3n+ 1)+

∞∑

n=1

1

(3n− 1) (3n+ 2)+

∞∑

n=1

1

(3n) (3n + 3)

La suma de la serie será por tanto la suma de estas tres series que sí son hiper-

geométricas.

2.8.4 Series de Stirling.

Son series∞∑

n=1

an , tal que an =P (n)

Q (n), donde:

P (n) es un polinomio de grado p.

Q (n) = (n+ b1) (n + b1 + b2) (n + b1 + b3) · · · (n+ b1 + bq)con b1 ∈ R y b2, b3, · · · , bq ∈Z

El grado de Q (n) es q ≥ p+ 2.

Se resuelven descomponiendo el término general en fracciones simples, obtenién-

dose la suma de la serie como suma algebraica de series divergentes.

Ejemplo 2.8.6 La serie∞∑

n=1

1

(n− 1)(n+ 1

3

)

no es de Stirling, pues b2 =4

3/∈ Z

Ejemplo 2.8.7 La serie∞∑

n=1

1(n− 1

3

) (n+ 2

3

)

si es de Stirling, pues b1 =1

3∈ R y b2 = 1 ∈ Z



Ejemplo 2.8.8 Sumar, si procede, la serie

∞∑

n=1

1

n2 + 5n+ 4

––

La serie ∞∑

n=1

1

n2 + 5n+ 4=

∞∑

n=1

1

(n + 1) (n+ 4)

es una serie de Stirling y la sumamos descomponiendo el término general:

1

(n+ 1) (n + 4)=

A

n + 1+

B

n+ 4

identificando coeficientes: A = 1

3;B = −1

3

∞∑

n=1

1

n2 + 5n+ 4=

∞∑

n=1

1

(n+ 1) (n + 4)=

1

3

∞∑

n=1

1

n + 1− 1

3

∞∑

n=1

1

n+ 4

=1

3

[1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+

1

7+ · · ·

]

− 1

3

[1

5+

1

6+

1

7+ · · ·

]

=1

3

[1

2+

1

3+

1

4

]

=13

36

2.8.5 Series cuyo término general es de la forma an =P (n)

n!.

Para obtener la suma, se descompone el término general en la suma de p + 1 frac-

ciones, siendo p el grado de P (n):

P (n)

n!=A1

n!+

A2

(n− 1)!+

A3

(n− 2)!+ · · ·+ Ap+1

(n− p)!

La suma de cada serie∞∑

n=1

Ai(n− (i− 1))!

se calcula sabiendo que ek =∞∑

n=0

kn

n!.


∞∑

n=1

n + 3

n!



––n+ 3

n!=A

n!+

B

(n− 1)!

identificando coeficientes: A = 3 ; B = 1

∞∑

n=1

n+ 3

n!=

∞∑

n=1

3

n!+

∞∑

n=1

1

(n− 1)!= 3 (e− 1) + e = 4e− 1


∞∑

n=1

32n

3

n!

––

32n

3

n!=

(

32

3

)n

n!=

(3√9)n

n!⇒

∞∑

n=1

32n

3

n!=

∞∑

n=1

(3√9)n

n!= e

3√9 − 1

2.9 Series alternadas.

Una serie alternada es la que tiene sus téminos alternativamente positivos y negati-

vos, es de la forma∞∑

n=1

(−1)n−1 an donde an > 0 ;∀n = 1, 2, 3, · · · .

2.9.1 Teorema de Leibniz.

Toda serie alternada que verifique las condiciones:

a) Sus términos decrecen en valor absoluto: an > an+1 ,∀n = 1, 2, 3, · · · .b) limn→∞

an = 0.

Es una serie convergente.

Demostración

Basándose en la condición a) podemos formar dos sucesiones: la de las sumas

parciales de orden impar y la de las sumas parciales de orden par.

- Sumas parciales de orden impar:

S1 = a1

S3 = a1 − a2 + a3 = a1− (a2 − a3)︸︷︷︸

>0

⇒ S3 < S1


2.9. SERIES ALTERNADAS. 25

S5 = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 = S3− (a4 − a5)︸︷︷︸

>0

⇒ S5 < S3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·S2n+1 = a1 − a2 + · · ·+ a2n+1 = S2n−1− (a2n − a2n+1)

︸︷︷︸

>0

⇒ S2n+1 < S2n−1

por lo que la sucesión de sumas parciales de orden impar será monótona decreciente:

S1 > S3 > S5 > S6 > · · · > S2n+1 > · · ·

- Sumas parciales de orden par:

S2 = a1 − a2

S4 = a1 − a2 + a3 − a4 = S2+ (a3 − a4)︸︷︷︸

>0

⇒ S4 > S2

S6 = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − a6 = S4+ (a5 − a6)︸︷︷︸

>0

⇒ S6 > S4

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·S2n = a1 − a2 + · · ·+ a2n = S2n−2+ (a2n−1 + a2n)

︸︷︷︸

>0

⇒ S2n > S2n−2

por lo que la sucesión de sumas parciales de orden par será monótona creciente:

S2 < S4 < S6 < S8 < · · · < S2n < · · ·

Además vemos que cada sucesión{

S1 > S3 > S5 > · · · > S2n+1 > · · ·S2 < S4 < S6 < · · · < S2n < · · ·

está acotada

{

inferiormente

superiormentepor

{

S2

S1

por lo que ambas series son convergentes.

Efectivamente

La sucesión: S1 > S3 > S5 > S7 > · · · > S2n+1 > · · · está acotada inferiormente

por S2 :

S1 = a1 > a1 − a2 ⇒ S1 > S2

S3 = (a1 − a2) + a3 = S2 + a3 ⇒ S3 > S2

S5 = (a1 − a2) + (a3 − a4) + a5 = S5 + a5 ⇒ S5 > S2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·S2n+1 = (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · ·+ a2n+1 = S2n−1 + a2n+1 ⇒ S2n+1 > S2



por lo que la sucesión tendrá un límite: l1.

Análogamente

La sucesión S2 < S4 < S6 < S8 < · · · < S2n < · · · está acotada superiormente

por S1 :

S2 = a1 − a2 = S1 − a2 ⇒ S2 < S1

S4 = a1 − (a2 − a3)− a4 ⇒ S4 < S1

S6 = a1 − (a2 − a3)− (a4 − a5)− a6 ⇒ S6 < S1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·S2n = a1 − (a2 − a3)− · · · − a2n ⇒ S2n < S1

por lo que la sucesión tendrá un límite: l2.

Teniendo en cuenta que limn→∞

an = 0 se tiene que

limn→∞

(Sn − Sn−1) = 0

por lo que l1 = l2 = l ≡ S (suma de la serie). �

Resultado 2.9.1 El error que se comete cuando se considera como suma de la

serie, la de los n primeros términos (Sn), es menor que el valor absoluto del primer

término que se desprecia : |an+1| .

Demostración

Teniendo en cuenta la ordenación de las sumas parciales:

S1 > S3 > S5 > S7 > · · · > S2n+1 > · · ·S2n > · · · > S6 > S4 > S2

el límite común de ambas sucesiones, es decir S, estará entre cada dos sumas parciales

consecutivas, esto es:

Sn < S < Sn+1 y |Sn − S| < |Sn+1 − Sn| = |an+1|

�

Por ejemplo en la serie∞∑

n=1

(−1)n−1 1

n2

cuando se considera como suma de la serie, la de los 5 primeros términos:

1

12− 1

22+

1

32− 1

42+

1

52= 0, 8386

el error que se comete es menor que∣∣− 1

62

∣∣ = 1

36= 0, 0277


2.10. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS. 27

Resultado 2.9.2 Si una serie alternada no es convergente porque limn→∞

an �= 0 ,

entonces la serie es oscilante.

Resultado 2.9.3 Cuando una serie alternada no es convergente porque

an ≯ an+1, aunque limn→∞

an = 0, entonces la serie puede ser divergente u oscilante.

2.10 Series de términos positivos y negativos.

En general, una serie de términos positivos y negativos es aquella que tiene estos

signos distribuidos de forma arbitraria, si bien para que sea considerada como tal,

el número de términos de cada signo debe ser infinito.

2.10.1 Convergencia absoluta.

Una serie∞∑

n=1

an de términos positivos y negativos, se dice que converge absoluta-

mente si lo hace la serie∞∑

n=1

|an| .


∞∑

n=2

(−1)nn

(n− 1)!

––

Se trata de una serie alternada:

∞∑

n=2

(−1)nn

(n− 1)!=

2

1!− 3

2!+

4

3!− 5

4!+

6

5!− · · ·

Esta serie cumple las hipótesis del teorema de Leibniz:

(a) |an| > |an+1|, puesn

(n− 1)!>n + 1

n!, ya que n2 > n+ 1, ∀n ≥ 2

(b) limn→∞

|an| = limn→∞

n

(n− 1)!= limn→∞

n

(n− 1) (n− 2)!= limn→∞

1(n−1

n

)(n− 2)!

=

= limn→∞

1

(n− 2)!= 0.



Luego la serie es convergente y además se observa que es absolutamente conver-

gente ya que la serie∞∑

n=2

|an| ≡∞∑

n=2

n

(n− 1)!

se comprueba facilmente que es convergente.

Resultado 2.10.2 Toda serie que converge absolutamente es convergente.

Demostración

Cierto, ya que∞∑

n=1

an absolutamente convergente ⇒∞∑

n=1

|an| convergente.

Por otra parte

− |an| ≤ an ≤ |an| ⇒ 0 ≤ an + |an| ≤ 2 |an|

por lo que∞∑

n=1

(an + |an|) ≤∞∑

n=1

2 |an| que es convergente

por tanto∞∑

n=1

(an + |an|) convergente.

Luego la serie∞∑

n=1

an =∞∑

n=1

(an + |an|)−∞∑

n=1

|an|

como diferencia de dos series convergentes, también será convergente, como queria-

mos ver. �

2.10.2 Convergencia condicional.

Una serie∞∑

n=1

an se dice que es condicionalmente convergente (ó semiconvergente),

cuando∞∑

n=1

an es convergente y∞∑

n=1

|an| es divergente.


∞∑

n=2

(−1)n+1 1

L (Ln)

––


2.10. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS. 29

Se trata de una serie alternada en la que se cumplen las condiciones del teorema

de Leibniz, por tanto serie convergente.

Sin embargo, no converge absolutamente, pues:

∞∑

n=2

1

L (Ln)>

∞∑

n=2

1

Ln>

∞∑

n=2

1

n(divergente)

Por tanto la serie∞∑

n=2

1

L (Ln)es divergente y la serie de partida será condicional-

mente convergente.

Cuando∞∑

n=1

an es convergente y∞∑

n=1

|an| también , se dice que la serie es incondi-

cionalmente convergente.

Un ejemplo de serie que converge incondicionalmente es la serie estudiada ante-

riormente:∞∑

n=2

(−1)nn

(n− 1)!

2.10.3 Teorema de Dirichlet

Toda serie absolutamente convergente es incondicionalmente convergente y vicever-

sa.

�

2.10.4 Teorema de Riemann

Si la serie∞∑

n=1

an contiene infinitos términos positivos e infinitos negativos, consi-

deradas las series∞∑

n=1

bn de términos (+) y∞∑

n=1

cn de términos (-), entonces para

∞∑

n=1

an se tiene que :

a) Si ambas series son convergentes ⇒∞∑

n=1

an es convergente.

b) Si una converge y otra diverge ⇒∞∑

n=1

an es divergente.

c) Si ambas series son divergentes, nada se puede asegurar de la serie∞∑

n=1

an.

�


capítulo 2 series de números reales · 6 capÍtulo2. seriesdenÚmerosreales una serie convergente...

Documents