capitulo3 electrotecnia

1

APUNTES DE CLASE DE TEORÍA DE CIRCUITOS. PROF. ANTONIO BARRAGÁN E.

CAPITULO 3

3.1 FUNCIONES SINGULARES .................................................................................. 2

3.1.1. Función Escalón Unitario ................................................................................................ 2

3.1.2. Función Rampa Unitaria ................................................................................................. 5

3.1.3. Función Impulso Unitario ................................................................................................ 6

3.2. CONDICIONES INICIALES .................................................................................. 8

3.2.1. Condiciones iniciales en un Capacitor ....................................................................... 8

3.2.2. Condiciones iniciales en un Inductor........................................................................... 9

3.3 RESPUESTA LIBRE ................................................................................................ 11

3.3.1. Circuito RC ..................................................................................................................... 11

3.3.2. Circuito RL ...................................................................................................................... 12

3.4. COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS EN CORRIENTE CONTINUA .................... 13

3.4.1. Capacitor ....................................................................................................................... 13

3.4.2. Inductor .......................................................................................................................... 14

3.5. RESPUESTA DE FUNCIONES SINGULARES ......................................................... 14

3.5.1. Respuesta escalón de un circuito. ............................................................................. 15

3.6. RESPUESTA COMPLETA DE UNA RED ................................................................ 18

3.7. CIRCUITOS RL Y RC ........................................................................................... 21

3.7.1 Circuito RL sin fuente: ..................................................................................................... 21

3.7.2. Circuito RC sin Fuente..................................................................................................... 25

3.7.3 Accionamiento de Circuitos RL .................................................................................... 29

3.7.4. Accionamiento de Circuito RC ..................................................................................... 31

3.8 CIRCUITOS RLC .................................................................................................... 32

3.8.1 Circuito RLC en Paralelo................................................................................................. 32

3.8.1.1 Circuito RLC en Paralelo Sobreamortiguado............................................................. 34

3.8.1.2 Amortiguamiento Crítico ............................................................................................. 35

3.8.1.3 Circuito RLC en Paralelo Subamortiguado ............................................................... 37

3.8.2 Circuito RLC en Serie ...................................................................................................... 40

3.9. CONCLUSIONES ................................................................................................ 42

3.10. RECOMENDACIONES ...................................................................................... 42

3.11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 42

2


CAPITULO 3

Respuesta Libre y Completa

ResumenEl objeto de este documento es estudiar los conceptos de la respuesta

libre y completa de los circuitos eléctricos, estudiaremos las funciones singulares,

determinaremos las condiciones iniciales, analizaremos las respuestas de los circuitos

tanto como la respuesta libre, respuesta de funciones singulares, respuesta completa

de una red, y por último veremos el comportamiento de circuitos RC y RL.

INTRODUCCIÓN

Una vez consideramos individualmente los tres elementos pasivos (Resistores,

Capacitores, Inductores) y un elemento activo (Fuente), se está preparando para

considerar circuitos que contienen diversas combinaciones de dos o tres elementos

pasivos. En este tema se analizara dos tipos de circuitos simples: un circuito que

comprende un resistor y un inductor se llama circuito RL y un circuito que comprende

un resistor y un capacitor se llama circuito RC. Como se verá, tan simple como son,

estos circuitos tienen aplicaciones como en la electrónica las comunicaciones y

sistemas de control.

Utilizaremos las ecuaciones diferenciales que son el resultado del análisis de circuitos

tanto RC y RL que son de primer orden.

Además que hay dos tipos de circuitos de primer orden (RC y RL), hay dos maneras

de excitarlos. La primera es mediante las condiciones iniciales de los elementos

almacenamiento de los circuitos y se los conoce como circuitos sin fuente. La

segunda forma de excitar circuitos de primer orden es mediante fuentes

independientes.

Puede haber una combinación de todos los tres elementos pasivos y se llama

circuitos RLC y su manera de excitar es parecida a los RC o RL, pero análisis da como

resultado ecuaciones de segundo orden que iremos resolviendo el transcurso del

informe.

3.1 FUNCIONES SINGULARES

Las funciones singulares son aproximaciones de formas de onda de la acción de

un interruptor. La dificultad matemática de la idealización de estas funciones entra en

la idea de que la interrupción ocurre en el tiempo cero. Así se el interruptor se cierra

en el tiempo cero será conveniente comparar este instante en dos partes; 0-, el

instante justo antes que se cierre el interruptor; y 0+ en el instante justo después de que

se cierra el interruptor. Existen tres funciones singulares más ampliamente utilizadas en

el análisis de circuitos: función escalón unitario, función impulso unitario y la función

rampa unitaria.

3.1.1. Función Escalón Unitario

La función escalón unitario ( )es 0 para los valores negativos de t y 1 para los

valores positivos de t. La función escalón unitario está definida por t=0, donde cambia

abruptamente de 0 a 1 ahí es indeterminada. No tiene dimensión, comparado con las

funciones matemáticas seno y coseno. Utilizamos la función escalón unitario para

representar un cambio brusco en la corriente o la tensión, similar a los cambios que

ocurren en circuitos de sistemas de control. Su grafica se aprecia en la siguiente Fig.1

( )

Ecuacion.1

3


1

tu

-1 (

t)

Figura 1: Función Escalón Unitario

Puede resultar conveniente y trabajar a veces, con funciones escalón desplazados

del tiempo t=0 en este caso tendremos como se ve en la Fig.2.

( )

Ecuacion.2

t

u-1 (

t)

a

Figura 2: Función escalón desplazada

Mediante el uso del cambio de la amplitud y del desplazamiento de esta función se

puede construir otras formas de ondas pulsatorias.

Ejemplo.3.1.1 El pulso rectangular de la Fig.3a.

g(t

)

t1 2

4

Figura 3(a)

4


g(t)

t1

-4

2

Figura 3(b)

El pulso rectangular se puede obtener mediante la suma de dos funciones

escalón según se visualiza en la Fig. 3b, donde la función se escribe como:

( ) ( ) ( ) ( )

También se puede ver el comportamiento de esta función simulando en pspiece

como veremos en la Fig. 4.

10Vdc 1K

Figura 4 (a): Circuito Simulado

Figura 4(b): Grafica de la simulación

5


3.1.2. Función Rampa Unitaria

Si integramos la función escalón unitario obtenemos la función rampa unitaria, esta

función es cero para todos los valores negativos de t y tiene una pendiente unitaria

para los valores positivos de t como se ve en la fig. 5

( ) ∫ ( )

Ecuacion.3

( )

Ecuacion.4

t

u-1 (

t)

Figura 5: Función Rampa Unitaria

Puede resultar conveniente y trabajar a veces, con funciones rampa desplazados

del tiempo t=0 en este caso tendremos como se ve en la Fig. 6.

( )

Ecuacion.5

t

u-1 (

t)

a Figura 6: Funcion Rampa Trasladada t=a

6


3.1.3. Función Impulso Unitario

Es la derivada de la función escalón unitario.

( )

( ( ))Ecuacion.6

Donde: δ (t) es cero en todas partes excepto en t=0, donde esta indefinida.

t

uo

(t)

t

uo

(t)

Δ

1

Figura 7(a): Función Rampa Unitaria Figura 7(b): Función Rampa

Derivando la función escalón es:

( )

Ecuacion.7

Podemos sacar la ecuación de la recta de la Fig. 3b. y obtenemos:

(x) Ecuacion.8

Ecuacion.9

Si Δ =0, y=∞ y el área del rectángulo de la Fig.4 siempre va a ser 1.

t

uo

(t)

Δ

1

Figura 8: Demostracion de la Funcion Impulso

7


Un impulso unitario que ocurre en t= a como se ve en la Fig.9 se describe por:

( ) Ecuacion.10

t

uo

(t)

a

Figura 9: Funcion Impulso

Un impulso de valor A para t = a se describe por:

( ) Ecuacion.11

También se puede analizar esta función simulando en pSpiece como se ve en

la Fig.10 a y Fig.10b.

Impulso

V=9v

C

1uF

R

1K

Figura 10 (a)

Figura 10(b)

8


3.2. CONDICIONES INICIALES

Las condiciones iniciales de un circuito nos ayudan a encontrar la solución de las

ecuaciones diferenciales que se dan al resolver los distintos circuitos transitorios, esto

conlleva a dar un análisis profundo del circuito dado en un tiempo t=0s, en

consecuencia encontraremos dichas condiciones iniciales, para esto existen dos

posibilidades de obtenerlas, mediante:

A través de la ecuación diferencial que describe la red.

A través del conocimiento del comportamiento físico de los elementos R, L y C.

Ahora si utilizamos cualquiera de los dos medios debemos analizar las

condiciones iniciales que se pueden dar en los distintos elementos y analizar con dos

distintos tipos de vista una antes y otro después del tiempo en t=0 que tomaría los

valores de y respectivamente.

3.2.1. Condiciones iniciales en un Capacitor

En un circuito con capacitor la relación voltamperímetrica en t=0 es

( )

∫ ( ) (

)

Ecuacion.12

Observamos si la corriente del circuito dado tiene o no impulsos para poder definir

las condiciones iniciales respectivas, para ello tenemos dos posibilidades:

Si la corriente del circuito tiene impulsos el voltaje antes de 0 no sería igual al voltaje

después de 0.

( ) ( )

Por otro lado si la corriente del circuito no tieneimpulsos el voltaje antes de 0 es igual

al voltaje después de 0.

( ) ( )

Ahora cuando no existe carga inicial en el capacitor ( ) concluimos que su

circuito equivalente para t=0 es un cortocircuito. Si analizamos el comportamiento del

capacitor con el principio de conservación de carga, que si existe un cambio brusco

de voltaje en el capacitor implica un cambio instantáneo de la carga, por lo tanto su

corriente sería infinita, pero como no existe corriente infinita el voltaje no puede cambiar instantáneamente, por lo que en t=0 al capacitor podemos cambiar por una

fuente de voltaje si existe una carga inicial o por un cortocircuito si no existe la carga

inicial.

Ejemplo.3.1.2. Considerar la red RC el interruptor se cierra en t=0 y asumimos que no

existe carga inicial en el capacitor. Hallar las condiciones iniciales ( ) para la

ecuación diferencial del circuito.

DC

C

S

i(t)

R RDC io(t)

Figura 11(a): Red RC para ( ) Figura 11(b): Red equivalente para ( )

9


En la figura 11a tenemos que la ( ) , en cambio en la figura 11bla corriente nos

queda ( )

Ecuacion.13

Por lo tanto la condición final o solución permanente se obtiene de nuestros

conocimientos sobre circuitos de corriente continua.

( ) ( ) Ecuacion.14

En la figura 12a y 12b podemos observar la variación del voltaje y la corriente

respectivamente del circuito. La única diferencia es la escala de la una con la otra.

Figura 12(a): Variación del Voltaje antes y después de t=0.

Figura 12(b): Variación de la Corriente antes y después de t=0.

3.2.2. Condiciones iniciales en un Inductor

En un circuito con capacitor la relación voltamperímetrica en t=0 es:

( )

∫ ( ) (

)

Observamos siel voltaje del circuito dado tiene o no impulsos para poder definir las

condiciones iniciales respectivas, para ello tenemos dos posibilidades:

Si el voltaje del circuito tiene impulsos la corriente antes de 0 no sería igual a la

corriente después de 0

( ) ( )

Por otro lado si el voltaje del circuito no tieneimpulsos la corriente antes de 0 es igual

a la corriente después de 0

( ) ( )

Ahora cuando no existe corriente inicial en el inductor ( ) concluimos que su

circuito corresponde a un circuito abierto al tiempo , deduciendo del hecho que

la corriente a través del inductor no puede cambiar instantáneamente por los flujos

concatenados.

10


Ejemplo.3.2.1. En el siguiente circuito el interruptor cierra al tiempo t=0. Hallar las

condiciones iniciales.

DC

S

L

R

DC i(0+) L

R

Figura 13(a): Red RL para ( ) Figura 13(b): Red equivalente para ( )

En la figura 13b tenemos que la

( )

Por lo tanto la condición final o solución permanente se obtiene de nuestros

conocimientos sobre circuitos de corriente continua y nos quedaría

( ) ( )

En la figura 14a y 14b podemos observar la variación del voltaje y la corriente

respectivamente del circuito. La única diferencia es la escala de la una con la otra.

Figura 14(a): Variación del Voltaje antes y después de t=0.

Figura 14(b): Variación de la Corriente antes y después de t=0.

11


3.3 RESPUESTA LIBRE

Respuesta libre es el comportamiento natural o transitorio de un circuito, es la

respuesta de la red excitada por la energía inicial almacenada en sus elementos,

debido a que sus corrientes y voltajes decrecen a 0 después de un cierto tiempo.

3.3.1. Circuito RC

S

CR i(t) Eo

Figura 15: Respuesta Libre Circuito RC

Para observar la respuesta libre de este circuito suponemos que el capacitor ha sido

cargado anteriormente a un voltaje .

( )

Ahora la ecuación diferencial que describe el comportamiento de este circuito es:

∫ ( )

Ecuacion.15

Si derivamos la variable i (corriente) de la ecuación anterior con respecto al tiempo

nos queda de la siguiente forma

Ecuacion.16

Ahora si separamos las variables i(t) y (t) tenemos

∫

∫

Para obtener una respuesta más simple sacamos el exponencial de cada parte de

la ecuación y nos debe quedar:

( )

Ecuacion.17

12


A la ecuación que llegamos tiene la forma decreciente de la siguiente figura.

Figura 16: Grafica Respuesta Libre Circuito RC

Para graficar pusimos una corriente inicial de 10 con una resistencia de con un

capacitor de 2F.

El valor de la corriente inicial de la corriente se calcula para t=0. En este instante el

voltaje sobre el capacitor es y aparece a través de la resistencia con un valor

inicial.

Quedando

( )

Entonces el voltaje de la resistencia será:

( )

Ecuacion.18

3.3.2. Circuito RL

S

LR Io

Figura 17: Respuesta Libre Circuito RL

La ecuación diferencial del circuito dado es:

Ecuacion.19

Ahora si separamos las variables tenemos

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50

Series1

13


∫

∫

Para obtener una respuesta más simple sacamos el exponencial de cada parte de

la ecuación y nos debe quedar

( )

Ecuacion.20

A la ecuación que llegamos es aparente a la anterior, pero con la diferencia de la

constante que multiplica al tiempo (t). Por lo tanto la gráfica de esta ecuación va a

tener la misma forma que la anterior, pero no los mismos datos.

3.4. COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS EN CORRIENTE CONTINUA

El comportamiento de los diferentes componentes en corriente continua varía con

respecto a la corriente alterna ya que en casos específicos como el capacitor y el

inductor se les pueden tomar como cortocircuito o circuito abierto dependiendo el

estado en el que se encuentra el circuito para esto vamos a observar los casos del

capacitor y del inductor.

3.4.1. Capacitor

En un circuito de corriente continua con capacitor se les puede considerar como

circuito abierto ya que al estar cagados completamente el voltaje se vuelve

constante por lo que la corriente se hace cero, entonces no se les toma en cuenta

para el análisis del circuito.

Ejemplo.3.4.1. En el siguiente ejemplo vamos a observar cómo se debe tomar al

capacitor en un circuito con corriente continua.

C2R1

DC

C1

R2

R3

Figura 18: Circuito con Capacitor en Corriente Continua

Entonces después de un cierto tiempo los capacitores están cargados

completamente se les puede tomar como circuitos abiertos, entonces el circuito nos

quedará de la siguiente forma.

R1

DC

R2

Figura 19: Circuito en Corriente Continua

14


En consecuencia como el capacitor 1 (C1) estaba en serie con la resistencia 3 (R3)

desaparece esa rama y no se toma en cuenta el capacitor 2 (C2) ya que estaba en

paralelo con la resistencia 2 (2), por lo tanto nos quedan en seria las resistencias 1 y 2

(R1) y (R2).

3.4.2. Inductor

En un circuito de corriente continua con inductor al contrario de los capacitores al

inductor se le toma como cortocircuito ya que cuando el inductor se carga

completamente la corriente se hace una constante y el voltaje se hace cero,

entonces el inductor se le puede tomar como un alambre que conecta los elementos

que están a su lado.

Ejemplo.3.4.2. En el siguiente ejemplo vamos a observar cómo se debe tomar al

inductor en un circuito con corriente continua.

DC

L1

R1 R3

R2

Figura 20: Circuito con Inductor en Corriente Continua

Entonces después de un cierto tiempo los inductores están cargados

completamente se les puede tomar como cortocircuitos, entonces el circuito nos

quedará de la siguiente forma.

DC R1

R2

Figura 21: Circuito en Corriente Continua

En consecuencia como el inductor 1 (L1) estaba en serie con la resistencia 2 (R2) se

elimina el inductor y solo nos queda la resistencia ya que el inductor se cortocircuito,

en cambio la resistencia 3 (R3) desaparece ya que el inductor 2 (L2) está en paralelo

con esta y como se cortocircuita va a quedar una línea conectada directamente a la

resistencia 1 (R1), en consecuencia la corriente va a pasar por está en vez de pasar

por la resistencia 3 (R3), porque hay menos resistencia.

3.5. RESPUESTA DE FUNCIONES SINGULARES

Con las ideas y reglas establecidas en los numerales anteriores, podemos empezar

a definir una serie de funciones muy sencillas (por eso se llaman singulares), que

nosservirán para representar todas las otras funciones físicamente realizables. Como

fue posible observar, en las funciones singulares el valor es cero desde hasta un

dado; esta característica nos permite simular cambios en las condiciones de los

circuitos, cambios ocurridos precisamente en ese dado.

15


3.5.1. Respuesta escalón de un circuito.

En la Fig.1 se muestra un circuito elemental con un interruptor que se cierra en . Sabemos que si el interruptor está abierto, i = 0, y que cuando se cierra . ¿Pero

sí cambia la corriente instantáneamente de 0 a ? No, la naturaleza no permite esos

cambios bruscos; lo seguro es que el circuito contiene algunas pequeñas

inductanciasque retardan el cambio de la corriente y hacen suave la transición de su

valor entre 0y . Pero como esta transición es tan rápida, la podemosasumir

instantáneamente en este caso y representarla por la función escalón unitario (Fig. 2).

El circuito puede representarse,entonces, como se muestra en la Fig. 3, en la cual seha

reemplazado la fuente y el interruptor por una fuente devoltaje escalón.

E R

S

Figura 22: Circuito con cierre de interruptor.

i

tt0

i= E/R

Figura 23: Función Escalón que representa el fenómeno.

Es muy importante tener una imagen “física”ó “práctica” de las cosas que se

presenta en los circuitoseléctricos, por lo tanto, obsérvese como se logra en la

prácticauna fuente de voltaje escalón, utilizando una fuente devoltaje constante (una

batería, por ejemplo) y un interruptor.

U(t-t0) R

S

Figura 24: Circuito equivalente con la función escalón.

En el caso de que se tenga una fuente de corriente y no una de tensión, el

respectivo interruptor se colocaría en paralelo con dicha fuente y no en serie como en

el caso descrito anteriormente.

16


Ejemplo.3.5.1. Encontrar la respuesta al impulso del circuito de la Fig. 4.

U-1(t)

i(t)

Figura 25.

El capacitor al no tener energía almacenada se comporta como un circuito abierto al

aplicar el escalón. La corriente i(t)completa del circuito tendrá un respuesta natural

debida al inductor y otra forzada debida a la fuente.

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Como ( ) , y reemplazando en ( ), tenemos:

( )

Por lo tanto la corriente completa:

( ) ( )

( )

( ) ( )

(

)

Ejemplo.3.5.2. Encontrar ( ), del circuito de la Fig. 26.

50 V

50 µ-1(t) 2Ω

6Ω 3H

i(t)

Figura 26: circuito RL.

17


Para , solo la fuente de 50V entra en funcionamiento. Si el circuito ha

estado alimentado permanentemente por dicha fuente el inductor de 3H se comporta

como un corto circuito hasta que entre en funcionamiento la segunda fuente escalón.

Con este análisis podemos hallar la corriente por el inductor y por ende por la

resistencia de 2Ω. Por lo tanto:

( ) ( )

Una vez que entra en funcionamiento la segunda fuente, el voltaje toma la forma de

la Fig. 26. Por lo tanto, para , tendremos una respuesta natural debido a que el

inductor quedó cargado anteriormente, y una respuesta forzada debida a la suma de

las dos fuentes de 50V.

V

t

50

100

0

Figura 27: respuesta escalón del circuito.

La corriente forzada se da por:

( )

La corriente natural está dada por:

( )

Donde

, de la Fig. 7.

3/2Ω 3H

Figura 28: circuito equivalente sin fuentes.

Por lo tanto la respuesta completa del circuito se encuentra sumando ambas

respuestas:

( )

( )

Por lo tanto:

( )

18


3.6. RESPUESTA COMPLETA DE UNA RED

La respuesta completa de una red está compuesta por dos partes: una forzada y

otra natural. La respuesta forzada es aquella que presenta el circuito debida a la

presencia de fuentes y que va a ser permanente. La respuesta natural es aquella que

presenta el circuito debido a elementos capacitivos o inductivos; y que va a ser

temporal o transitoria.

La respuesta naturalpor ser dependiente de elementos transitorios como

capacitores e inductores, tendrá la forma de una exponencial.

Donde es la constante de tiempo dependiendo si el circuito es RC o RL.

La respuesta forzada es la que dominará el circuito una vez que el efecto de los

elementos transitorios desaparezca, es decir, cuando . Para este tipo de

respuesta el circuito dependerá únicamente de las fuentes, recordando el

comportamiento de los capacitores e inductores para un estado permanente: el

capacitor se comporta como un circuito abierto y el inductor como un corto circuito.

Para hallar la respuesta total del circuito solo es necesario sumar la respuesta

natural y la respuesta forzada. Para ello podemos utilizar la siguiente fórmula:

( ) ( ) [ ( ) ( )] Ecuación.21

Donde ( ) es la tensión inicial en , y ( ) es el valor final o estado

permanente del circuito. Por lo tanto, para obtener la respuesta de escalón de un

circuito RC se requieren tres datos:

- La tensión inicial del capacitor ( ) - La tensión final del capacitor ( ).

- La constante de tiempo.

Es importante recordar que si el interruptor cambia de posición en , en vez de

, hay un retraso en la respuesta, de modo que la Ec.1 se convierte en:

( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) Ecuación. 22

La Ec.1 y Ec.2 solo se aplica a respuestas de escalón; es decir, cuando la excitación

de entrada es constante. A continuación se mostrará el siguiente ejemplo para

esclarecer los conceptos.

Ejemplo.3.6.1.El interruptor de la Fig.8 ha estado mucho tiempo en la posición A. En

, se mueve a B. Determinar ( )del capacitor para y calcule su valor en

y .

24 V 30V

A B

t=03kΩ

5kΩ

4kΩ

0.5mF

Figura 29: circuito RC con fuentes.

19


Para , el interruptor está en la posición A. El capacitor actúa como un circuito

abierto en cd, pero es igual a la tensión a lo largo del resistor de . Por lo tanto, la

tensión del capacitor justo antes de se obtiene por una división de tensión como

sigue:

( )

( )

Con base en el hecho de que la tensión del capacitor no puede cambiar

instantáneamente de valor, se tiene:

( ) ( ) ( )

Para , el interruptor está en la posición B. La resistencia de equivalente conectada

al capacitor es de , y la constante de tiempo es:

.

Dado que el capacitor actúa como un circuito abierto en cd en estado estable,

( ) V. Por consiguiente,

( ) ( ) [ ( ) ( )]

( ) [ ]

V

En ,

( ) V

En

( ) V

Cuando se hable de circuitos RL, la respuesta completa estará dada en función de

la corriente que esta atravesando al inductor L. Esta respuesta esta dada por la

siguiente expresión que se asemeja a la Ec.1 anteriormente mencionada:

( ) ( ) [ ( ) ( )] Ecuación.23

Donde ( ) e ( ) son los valores inicial y final de ; y . Así, para hallar la

respuesta escalón de un circuito de un circuito RL se requieren tres datos:

- La corriente inicial de inductor.

- La corriente final del inductor.

- La constante de tiempo .

Para la resolución de circuitos RL se procederá de manera similar como cuando

teníamos circuitos RC pero considerando el comportamiento de los inductores. A

continuación se realizará un ejemplo ilustrativo de cómo resolver este tipo de

problemas.

Ejemplo.3.6.2.Halle ( ) en el circuito de la Fig.30 para . Suponga que el interruptor

ha estado cerrado por mucho tiempo.

20


10V

2Ω 3Ω

1/3 H

i

t=0

Figura 30: circuito RL con interruptor.

Cuando , el resistor de está en cortocircuito y el inductor actúa como un

cortocircuito. La corriente que circula por el inductor en es:

( )

Como la corriente del inductor no puede cambiar drásticamente,

( ) ( ) ( )

Cuando , el interruptor está abierto. Los resistores de 2 y están en serie, por

tanto,

( )

La resistencia equivalente por las terminales del inductor es:

En cuanto a la constante de tiempo,

Al aplicar la Ec.23 tenemos,

( ) ( ) [ ( ) ( )]

( ) [ ]

( ) , .

Como comprobación de la respuesta podemos aplicar la LTK para , en la

FIg.30; lo que nos daría:

[ ] [

( )( ) ]

Esto confirma el resultado.

21


3.7. CIRCUITOS RL Y RC

3.7.1 Circuito RL sin fuente:

Los circuitos RL son aquellos que contienen una resistencia y un inductor, sea en

serie o paralelo.

Considerando el circuito RL en serie que se muestra en la figura 31, se designa la

corriente variable en el tiempo como )(ti en 0t como 0I .

R L+

VR

-

+

VL

-

i(t)

Figura 31: Circuito RL en Serie

De acuerdo con la Ley de Voltajes de Kirchhoff:

0.

0

L

LR

VRi

VV

Reemplazando el voltaje en el inductor nos da la siguiente ecuación

diferencial:

0. dt

diLRi

En razón de que la corriente es 0I en 0t e )(ti en el tiempo t , se igualarían

las dos integrales definidas que se obtienen al integrar cada miembro entre los

límites correspondientes:

)(

)ln())(ln(

ln

)ln(

0

)(

0

)(

0

0

0

0

tie

ItitL

R

itL

R

i

didt

L

R

ItL

R

ti

I

t

ti

I

t

Resolviendo la ecuación diferencial la corriente t nos resulta:

t

L

R

eIti

0)( Ecuación.24

22


Ejemplo3.7.1. Si el inductor de la figura 32 tiene una corriente AiL 2 en 0t

encontrar )(tiL para toda 0t en nst 200 con 200R y mHL 50 .

200 Ω 50mH

Figura 32: Circuito RL simple en el que la energía se almacena en el inductor en 0t

De la ecuación.1 la corriente que circula por el inductor es de la forma:

tL

R

L eIti

0)(

Reemplazando valores:

mAnsi

Aensi

L

mHL

65,898)200(

2)200(610x200

50

200

Ejemplo 3.7.2. En el circuito de la figura 33 calcular la tensión marcada como V en

mst 200 .

40 Ω

10 Ω

5H

24V

t=0iL

+

V

-

(a)

40 Ω

10 Ω

5H24ViL

+

V

-

t<0

(b)

40 Ω

10 Ω

5H iL

+

V

-

t>0

(c)

Figura 33: (a) Circuito RL simple con un interruptor disparado en t=0.

(b) El circuito como se encuentra antes de t =0.

(c) El circuito después de que es activado y se ha quitado la fuente de 24V.

23


El Vv 24

debido a que se encuentra un inductor.

Puesto que el inductor actúa como un cortocircuito ante una corriente directa:

Ai

vi

Riv

L

L

4,20

10

240

.

Por lo tanto en el circuito de la figura 33c:

VV

AV

Ai

eIi

eIti

L

R

tL

R

96

404,2

4,2)0(

)0(

)(

0.

0

0

Con referencia en el circuito de la figura 33c, aplicando LVK:

010. dt

diLiV L

Resolviendo la ecuación diferencial:

)(.

)ln()ln(10

5

40.

4

5

..4

5

.4

5

0.10.40

10

0

0

tVeV

VVt

V

dVdt

H

V

dVdt

L

R

dt

dv

R

LV

dt

dv

R

LVV

t

El voltaje en la resistencia t nos resulta:

VetV t1096)(

24


Ejemplo 3.7.2 Simulado en PSpice.

(a)

(b)

(c)

Figura 34: (a) Circuito a simular en PSpice.

(b)Voltaje en la resistencia de 10Ω.

(c) Corriente en el inductor

405H

1

2V-

0

U1

01

2

10

V1

24

V+

25


3.7.2. Circuito RC sin Fuente

Estudiaremos el circuito de la figura 35, es decir, un condensador de valor C

conectado a una resistencia de valor R.

R C

+

V

-

i

Figura 35: Circuito RC sin fuente

La corriente total que sale del nodo de la parte superior del esquema de

circuito debe ser cero, por lo que se escribe:

R

Vti

dt

dvCti

R

C

)(

)(

0R

v

dt

dvC Ecuación.25

Dividiendo para C la ecuación 25 no queda:

)ln(

0

0

0

)(

0

0

)(

)ln()(ln

)ln()(ln

1

VRC

t

ttv

V

eetv

VRC

ttv

RC

tVtv

dtRC

dv

RC

t

eVtv

0)( Ecuación. 26

Ejemplo 3.7.3. Encontrar la tensión marcada v en nst 200 del circuito de la figura

36.a.

2 Ω+

V

-

4 Ω

9V

t=010uF

(a)

26


2 Ω

4 Ω

9V 10uF

t<0

+

V

-

(b)

2 Ω

4 Ω

10uF

+

V

-

t>0

(c)

Figura 36: (a) Circuito RC simple con un interruptor disparado en t=0.



Se supone que cualquier transitorio en ese circuito desapareció hace mucho

tiempo y quedó en un circuito CC puro.

Vv 9)0( Ecuación. 27

La tensión en el capacitor debe ser igual en ambos circuitos en 0t y

aplicando la Ecuación 24: y reemplazando la Ecuación. 27:

mVv

Vev

eVtv RC

t

1,321)10x200(

9)10x200(

)(

6

10x10.6

10x200

6

0

6

6

Ejemplo 3.7.4. Determinar i y v en el circuito de la figura para 0t .

+

V

-

100V 150 Ω

50 Ω

75 Ω

i

t=0

10H

(a)

27


+

V

-

100V 75 Ω50 Ω150 Ω

i

t<0

(b)

t>0

+

V

-

150 Ω

50 Ω

75 Ω

10Hi

(c)

Figura 37: (a) Circuito RC simple con un interruptor disparado en t=0.



Por medio del circuito 37.b hallamos la corriente:

Ai

i

2)0(

50

100)0(

100Re

75150

75.15050Re

q

q

Analizando el circuito 37.c hallamos el voltaje que pasa por el inductor y la

resistencia de 50 Ω:

t

t

tL

R

eti

eti

eIti

10

10

100

0

2)(

2)(

)(

tt

tt

eetV

eetV

dt

diLiRtV

1010

1010

200100)(

)10)(10(2)50(2)(

)(

El voltaje en la rama del inductor t es:

tetV 10100)(

Ejemplo 3.7.5. Determinar en la figura 38.a 1i e 2i 0t .

DC

120 Ω

60 Ω

90 Ω

50 Ω

2 mH 3 mH18 V

t=0

1 mH

i1

iL

(a)

28


120 Ω

60 Ω

90 Ω

50 Ω

2 mH 3 mH1 mH

i1

iL

(b)

Figura 38: (a) Circuito con resistencias e inductores múltiples.

(b) Después de t =0, el circuito se simplifica a una resistencia equivalente de 110Ω en serie con

Leq=2,2mH.

Después de t=0 cuando la fuente de tensión se desconecta como se muestra en la

figura 38b , secalcula con facilidad una resistencia e inductancia equivalente:

mH2,2132

3x2

eqL

11050

18090

1206090eqR

Antes de la apertura del interruptor en 0t :

mAiL 36050

18

En razón de que 00 LL ii entonces:

0360

036050000 tmAe

tmAi

tL

Mediante un divisor de corriente hallamos 01i :

mAii L 240

180

1

90

190

1

001

Por consiguiente:

0240

024050000 tmAe

tmAi

tL

29


3.7.3 Accionamiento de Circuitos RL

Un circuito compuesto por una batería cuya tensión es V0 en serie con un

interruptor, una resistencia R y un inductor L, se puede sustituir la batería y el interruptor por una función forzada de escalón de tensión Vou(t), siendo los dos circuitos idénticos.

Vo

R t=0

L

i (t)

(a)

V0u(t)

R

L

i (t)

(b)

Figura 39: (a) Circuito dado.

(b) Circuito equivalent6e que posee la misma res puesta i(t) para cualquier tiempo.

Al aplicar la LKV en el circuito de la figura 39b, se tiene:

KtiRVR

L

dtiRV

Ldi

dtiRV

Ldi

iRVdt

diL

tuVdt

diLiR

i t

.ln

.

.

.

.

0

0 00

0

0

0

Para evaluar K, debe referirse a una condición inicial. Antes 0t , i(t) es cero, y

por ello 00 i . Puesto que no se puede cambiar la corriente en un inductor

por una cantidad finita en el tiempo cero sin que se asocie una tensión infinita,

se debe tener 00

Li . Dejando 0i en 0t , se obtiene:

30


L

Rt

L

Rt

L

Rt

eR

V

R

Vi

eR

Vi

eV

iRV

tViRVR

L

VR

LtiRV

R

L

VR

LK

it

00

0

0

0

00

00

0

1

.

ln.ln

ln.ln

ln

00

Ecuación. 28

Respuesta Forzada Respuesta Natural

R

V0 L

Rt

eR

V 0

Ejemplo 3.7.6. Determinar para todos los valores de tiempo en el circuito de la figura

40.

50u(t)V

50V

2Ω

6Ω 3H

i(t)

Figura 40: Circuito dado.

Hallamos la constante de tiempo:

sR

L

eq

25,1

3

Y si se recuerda que:

nf iii

La respuesta natural es:

Akei t

n

2/

0t

El inductor actúa como un cortocircuito, de modo que:

Ai f 502

100

Por lo tanto:

AKei t5,050 0t

31


Para K se debe establecer el valor inicial de la corriente es igual a 25 y no

puede cambiar en forma instantánea; en consecuencia:

K 5025 o

25K Por consiguiente,

Aei t5,02550 0t

Se completa la solución al establecer también

Ai 25 0t

O escribiendo una expresión simple válida para cualquier t,

Atuei t5,012525

3.7.4. Accionamiento de Circuito RC

La respuesta completa de cualquier circuito RC también se obtiene como la

suma de las respuestas natural y forzada.

Esta etapa será mostrada mediante el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.7.7. Determinar la expresión de )(tv en el circuito de la figura que sea válida

en 0t .

22uF

10Ω

4,7Ω)(5 2000 tue t

+

V

-

Figura 41: Circuito RC simple controlado por una función forzada.

La respuesta completa es de la forma:

nf vvtv )(

Hallamos la resistencia equivalente:

7,14107,4eqR

La constante de tiempo es:

usCReq 4,323 1310092,31 sx

Mediante la LVK para t>0 se tiene que:

tvtie t 7,145,23 2000

32


Con un poco de simplificación:

dttvedv

tvdt

dve

tvdt

dvxe

tvdt

dvCe

t

t

t

t

14,309245.72665

14,309245,72665

41023,35,23

7,145,23

2000

2000

2000

2000

La siguiente ecuación permite hallar la respuesta completa:

PtPtPt AedtQeetv )(

Donde

310x092,31

P y VAedteetQ ttt 14,309214,3092200045,72665)(

Por lo tanto:

VAedteeetv tttt 14,309214,309220003092 45,72665)( Ecuación.29

La única fuente está controlada por una función escalón con un valor de cero

para 0t , por lo que se sabe que 0)0( v . Puesto que v es una tensión del

capacitor, )0()0( vv , y por lo que se encuentra de manera muy sencilla la

condición inicial 0)0( v .Sustituyendo esta expresión en la ecuación 29 se

encuentra que VA 55.66 , por lo que:

,55.66)( 30922000 Veetv tt 0t

3.8 CIRCUITOS RLC

3.8.1 Circuito RLC en Paralelo

Para este análisis se supone que, inicialmente, se podría almacenar la energía

en el inductor y en el capacitor, es decir, se presentarían valores iniciales distintos de

cero tanto en la corriente del inductor como en la tensión del capacitor.

R L C

v

i

Figura 42: Circuito RLC en paralelo sin fuente.

33


La siguiente ecuación representa la figura42:

01

dt

dvCvdt

LR

V

Ecuación.30

Cuando ambos lados de la ecuación 30 se diferencian una vez con respecto al

tiempo, el resultado consiste en una ecuación diferencial, lineal homogénea

de segundo orden.

01

01

2

2

2

2

L

V

dt

dv

Rdt

vdC

dt

vdC

L

V

dt

dv

R


011

0

2

2

Ls

RCsAe

L

Ae

R

AseeAsC

st

ststst

0stAe No es solución porque se supone que hay condiciones iniciales.

LCRCRCs

C

LC

RRs

Ls

RCs

1

2

1

2

1

2

14

11

011

2

2,1

2

2,1

2

Respuesta Natural: tsts

eAeA 21

21v

Frecuencia Resonante:

LC

10

Ecuación. 31

Frecuencia de Neper

RC2

1 Ecuación. 32

1s , 2s son cantidades denominadas frecuencias complejas.

2

0

2

2

2

0

2

1

s

s

34


3.8.1.1 Circuito RLC en Paralelo Sobreamortiguado

Cuando la Frecuencia de Neper es mayor a la frecuencia resonante.

0

Ejemplo 3.7.8. Para el circuito de la figura 43 determinar las constantes arbitrarias 1A y

2A , según las condiciones iniciales.

6Ω 7H 1/42 F

v

iiR iC

Figura 43: Circuito RLC en paralelo sobreamortiguado.

Dados los valores de R=6Ω, L=7H y C=1/42 F y reemplazando valores en las

ecuaciones 31 y 32 se encuentra:

1

5,3

1

s

6

6

2

0

s

Y de inmediato se escribiría la forma general de la respuesta natural:

6

2

1

1)( eAeAtv

Para determinar los valores de A1 y A2 consideramos que:

0)0( v

Y por lo tanto:

210 AA Ecuación. 33

Se toma la derivada de v(t) con respecto al tiempo de la ecuación, se

determina el valor inicial de la derivada mediante el uso de la condición inicial restante v(0)=0 y se igualan los resultados.

tt eAeAdt

dv 6

21 6

Y al evaluar la deriva da en t=0:

21

0

6AAdt

dv

t

La LCK debe cumplirse en cualquier instante de tiempo, de modo que:

0)0()0()0( RC iii

Al sustituir nuestra expresión para la corriente del capacitor y al dividir entre C se

obtiene:

sVC

i

C

ii

C

i

dt

dv RC

t

/420)0()0()0()0(

0

35


Puesto que la tensión inicial cero en la resistencia requiere de una corriente

inicial cero a través de ella. En consecuencia se obtiene la siguiente ecuación:

21 6420 AA Ecuación. 34

Y la solución simultánea de las ecuaciones 10 y 11 proporciona do amplitudes A1=84 y A2= -84. Por lo tanto la respuesta natural del circuito es:

Veetv tt )(84)( 6 Ecuación. 35

Gráfica de la respuesta subreamortiguada:

Hallamos el tiempo máximo al derivar Ecuación. 35 e igualando a cero:

stm

ee

Veedt

dv

tmtm

tt

358.0

60

)6(84

6

6

Su gráfica del voltaje con respecto al tiempo de la ecuación 35 es:

Figura 44: Respuesta sobreamortiguada.

3.8.1.2 Amortiguamiento Crítico

El amortiguamiento crítico es obtiene cuando:

CríticoientoAmortiguam

CRL

CRLC

2

22

0

4

4

36


Ejemplo 3.7.8. Del ejemplo 3.8.1 se elegirá R y se aumentará su valor hasta que se

obtenga el amortiguamiento crítico, y luego, se dejará a 0 inalterada.

8.57Ω 7H 1/42 F

v

iiR iC

+

V

-

Figura 45: Circuito RLC con amortiguamiento crítico.

Con HLR 7,2

67 y

42

1C :

Se tiene que:

1

21

1

0

6

6

sss

s

Y con condiciones iniciales 0)0( v y Ai 10)0( .

La respuesta críticamente amortiguada debido a las condiciones iniciales es:

tt eAeAtv 6

2

6

1)(

Por las LCK:

CLR iii


02

011

01

2

2

2

2

2

vsdt

dvs

dt

vd

vLdt

dv

Rdt

vdC

dt

dvCdtv

LR

V

Para hallar el valor de A1 y A2 reemplazamos las condiciones iniciales:

0

)0(0)0(

)()(

2

2

21

A

AV

AtAetv st

37


Entonces para hallar A1:

420

10

)0(10

)0(

1

1

A

AC

dt

dvC

R

v

Reemplazando valores en la ecuación:

Vetv t6420)( Ecuación. 36

Gráfica de la respuesta críticamente amortiguada:

Hallamos el tiempo máximo al aplicar Hopital debido a que la Ecuación. 36 es Una

forma indeterminada:

stm

e

t

e

ttv

ttttt

408,0

045,2

lim420lim420)(lim45.245.2


Figura 45: Respuesta críticamente amortiguado.

3.8.1.3 Circuito RLC en Paralelo Subamortiguado

Para obtener este tipo de circuito se incrementara R una vez más para obtener

lo que se denominará una respuesta subamortiguada.

Se comienza de la forma exponencial:

))( 21

21 teAeAtvtsts

38


Donde

2

0

2

2,1 s

Y en ese caso, sea

22

0

22

0

2

0

2 1 j

Donde 1j

Se considera ahora el nuevo radical, que es real para el caso subamortiguado,

pero se denominará d la frecuencia resonante natural:

22

0 d

La respuesta se escribiría ahora como:

tsenBtBetv

tsenAAjtAAetv

j

eeAAj

eeAAetv

eAeAetv

dd

t

dd

t

tjtjtjtjt

tjtjt

dddd

dd

21

2121

2121

21

cos)(

cos)(

22)(

)()(

Ecuación.37

Ejemplo 3.7.10. Ahora con los valores de HLR 7,6 y FC42

1 :

10.5Ω 7H 1/42 F

v

iiR iC

+

V

-

Figura 47: Circuito RLC subamortiguado.

122

1 sRC

1

0 61 sLC

sradd /222

0

La ecuación respuesta sería:

tsenBtBetv t 22cos)( 21

2

Para el cálculo de las constantes se aplican las condiciones iniciales 0)0( v e

10)0( i :

tsenBetv t 2)( 2

2

39


La derivada es:

tseneBteBdt

dv tt 222cos2 2

2

2

2

Y en t=0 se convierte en

420)0(

2 2

0

C

iB

dt

dv C

t

Donde iC se define en la figura 43. Por lo tanto:

tsenetv t 22210)( 2

Gráfica de la respuesta subamortiguada:

Hallamos el tiempo máximo y mínimo al derivar Ecuación. 37 e igualando a cero:

st

st

Vtsenedt

dv

mx

t

66.2

435.0

22210

min

2


Figura 46: Respuesta subamortiguado.

40


3.8.2 Circuito RLC en Serie

Se determinará la respuesta natural de un modelo de circuito compuesto por una

resistencia ideal, un inductor ideal y un capacitor ideal conectados en serie.

0)(1

0

'

0

tvidtC

Ridt

diL C

t

t

El circuito RLC e serie es dual del circuito RLC en paralelo, así que este simple hecho

resulta suficiente para hacer que su análisis sea un asunto trivial.

La ecuación integro diferencial fundamental es:

0)(11

0

'

0

tivdtL

vRdt

dvC L

t

t

Y debe compararse con la ecuación análoga del circuito RLC en paralelo:

Las respectivas ecuaciones de segundo orden que se obtienen diferenciando estas

dos ecuaciones con respecto al tiempo también son duales:

011

011

2

2

2

2

vLdt

dv

Rdt

idC

iCdt

di

Rdt

idL

El análisis completo del circuito RLC en paralelo se aplica de manera directa al circuito

RLC en serie; las condiciones iniciales sobre la tensión en el capacitor y la corriente en

el inductor son equivalentes a las condiciones iniciales en la corriente en el inductor y

la tensión en el capacitor; la respuesta de tensión consiste en una respuesta de

corriente.

La respuesta sobre amortiguada es: tsts

eAeAti 21

21)(

Donde:

LCL

R

L

Rs

1

22

2

2,1

2

0

2

2,1 s

Y por ello:

L

R

2

LC

10

La forma de la respuesta críticamente amortiguada es:

)()( 21 AtAeti t

Y la respuesta subamortiguada se escribiría como:

)coscos()( 21 tBtBeti dd

t

41


Ejemplo 3.7.11 Dado el circuito RLC de la figura 47, en el que KRHL 2,1 y

uFC 401 mAi 2)0( , y VvC 2)0( encontrar 0),( tti .

R

C

L

i

+ vC -

+

vL

-

Figura 47: Circuito RLC sin fuente con energía almacenada en el inductor y capacitor en t=0

Se obtiene sradLCsLR /02520110002 0

1 y

sradd /00020 lo cual indica una respuesta subamortiguada.

La respuesta sin el valor de las constantes sería:

)0002000020cos()( 21

10000 tsenBtBeti t

Puesto que se sabe que mAi 2)0( , se sustituirán este valor en )(ti obteniendo

así:

AB 002,01

Por lo cual

AtsenBteti t )0002000020cos002,0()( 2

1000

La condición inicial restante a la derivada; en consecuencia,

sA

L

Riv

L

vB

dt

di

tsenBt

AtBtsenedt

di

C

L

t

t

/2)002,0(20002

)0()0(

)0(22000

20000100020000cos

)00020cos000200002040(

2

0

2

2

1000

Por lo que

02 B

La respuesta es:

mAteti t 20000cos2)( 1000

42


3.9. CONCLUSIONES

Cada día se muestran muchos avances a nivel de la tecnología, productos que quizá

sabemos utilizar pero no muy bien cómo funcionan. Los que estudiamos esta rama de

la ciencia estamos involucrados cada vez más en buscar soluciones a problemas de

nivel tecnológico para el progreso y desarrollo de la humanidad.

Es por esto que la compresión de este capítulo es fundamental para poder hallar

soluciones posteriores.

Los circuitos transitorios se muestran de diferentes maneras, por lo que hay que tener

en cuenta muchos parámetros y condiciones. Su solución puede ser hallada mediante

varios métodos pero lo importante es entender cómo se comportan cada elemento

en el circuito, antes, durante y después de un cierto tiempo.

En este capítulo se han desarrollado detalladamente varios ejemplos para su mejor

comprensión.

3.10. RECOMENDACIONES

El presente trabajo ha sido realizado de una manera muy cuidosa para evitar errores,

sobre todo en los ejemplos. Una manera de entender cómo funciona los diferentes

circuitos transitorios, se encuentra en las demostraciones de los mismos.

Las recomendaciones en el caso de la solución de circuitos hay que tener en cuenta

que:

- La respuesta de un circuito con fuentes que se activan desactivan en forma

repentina de un circuito en el que hay capacitores e inductores siempre estará

compuesta por dos partes: una respuesta natural y una forzada.

- Los circuitos con dos dispositivos de almacenamiento de energía que no

pueden combinarse mediante técnicas de combinación serie paralelo se

describen mediante una ecuación diferencial de segundo orden.

- Los circuitos transitorios suelen ser difíciles de entender por lo que se recomienda

analizar, separar los circuitos antes y después de t=0 y hallar la solución.

Este trabajo tiene como objetivo enseñar al lector los circuitos transitorios, pero esta no

es la única fuente, es por ello que se recomienda tener en cuenta otros libros de

circuitos ya que solo la práctica le llevará a mejorar su desempeño en este capítulo.

3.11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] W.H. Hayt. JRy J.E. Kemmerly, Análisis de Circuitos en Ingeniería, Ediciones

delCastillo; capítulos 8 y 9.

[2] J.A. Edminister, M. Nahvi, Circuitos Eléctricos (Problemas resueltos) McGraw

Hill, Madrid 1997. Capítulo 7.

capitulo3 electrotecnia

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