capitulo x a aplicada a la hidrologia

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1 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA CAPTULO X ESTADSTICA APLICADA A LA HIDROLOGIA 10.1INTRODUCCIN. Losestudioshidrolgicosrequierendelanlisisdeinformacinhidrometeorolgica,esta informacinpuedeserdedatosdeprecipitacin,caudales,temperatura,evaporacin, infiltracin, etc.Se cuenta con datos recopilados de un periodo disponible, si esta informacin es organizada y se analiza adecuadamente proporciona una herramienta muy til,para tomar decisiones sobre el diseo de estructuras hidrulicas y responder a innumerables dudas y parmetros de diseo, como se muestra en la Figura10.1 FIGURA No 10.1 APLICACIONES DE LA ESTADISTICA EN LA HIDROLOGIA. Enelanlisishidrolgicoseutilizanlosconceptosdeprobabilidadesyestadstica,porque generalmentesecuentaconescasainformacin,ycasitodoslosfenmenoshidrolgicos tienen una alta aleatoriedad, por esta razn se ve la necesidad de introducir este captulo para aclarar los conceptosy los mtodos ms utilizados en la hidrologa.

10.2CONCEPTOS FUNDAMENTALES PROBABILIDAD: Sea S un espacio muestral asociado a un experimento, y A cualquier suceso de S, tal que A es un subconjunto de S, se dice que la probabilidad de P(A) de un evento A, es un experimento aleatorioquetieneNsresultadosigualmenteposiblesyNaresultadosfavorables,estdado por: NsNaA P = ) ((Ec. 10.1) Este tiene que satisfacer los siguientes axiomas. 1.0P(A)1,paratodoAS(paratodoeventoAsuprobabilidadespositivaycerosiel evento es imposible). 2.P(S)=1 3.P(A1UA2UA3UUAN)=P(A1+A2+A3+.+AN)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+.P(AN).Si A1+A2+A3++AN, es una serie de sucesos mutuamente excluyentes. 2 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA FUNCIONES DE PROBABILIDAD: Unadelasformasderepresentarlasprobabilidadesdelasvariableshidrolgicassonlas funcionesdeprobabilidad(funcionesdedensidad),ylasfuncionesdeprobabilidad acumuladas que a continuacin se mencionan. a.Funciones de probabilidad discreta: Cuando el nmero n de valores que puede tomar una variable aleatoria X es finito, se dice que la variable aleatoria X es discreta. AlafuncinygrficaqueasociaunaprobabilidadadichavariablealeatoriaXsedenomina funcin de probabilidad discreta f(xi)EstafuncinrepresentalaprobabilidadquetomarlavariablealeatoriaX,generalmente serepresentaporungrficodebarrasparacadavalordelavariablealeatoriaX,ver Figura10.2. FIGURA No 10.2 FUNCION DE PROBABILIDAD DISCRETA b.Funciones de probabilidad continas. CuandoelnmerodevaloresnquepuedetomarunavariablealeatoriaXesinfinito,se dicequelavariablealeatoriaXescontinua.Estetipodevariablesesmsfrecuenteen hidrologa. Lafuncinqueasociaunaprobabilidadadichavariablesedenominafuncinde probabilidadcontinuaofuncindedensidadf(xi).Estafuncinrepresentalaprobabilidad que toma una variable aleatoria X, la representacin grfica se muestra en la Figura10.3 FIGURA No 10.3 3 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA FUNCION DE PROBABILIDAD CONTINUA c.Funcin de distribucin acumulada. SiXesunavariablealeatoriadiscretaocontinua,sedefinelafuncindedistribucin acumuladaF(x),comolaprobabilidaddequelavariablealeatoriaXtomecualquiervalor menor o igual a x y se designa por: F(x)=P(Xx) (Ec. 10.2) Que es conocida como probabilidad de no excedencia, o

1- F(x)= 1 - P(Xx) = P(Xx)(Ec. 10.3)

Que es conocido como probabilidad de excedencia, ver Figura10.4 FIGURA No 10.4 PROBABILIDAD EXCEDENCIA Y NO EXCEDENCIA Tal que: P(X x) + P(X x) = 1(Ec. 10.4)

En hidrologa la variable ms frecuente es una variable continua, se analizara la funcin dedistribucin acumulada de esta variable, que est representada por: } = s =xdx x f x X P x F ) ( ) ( ) ((Ec. 10.5) En caso que la funcin empiece en - De esto se deduce que: }= = s sbadx x f a F b F b x a P ) ( ) ( ) ( ) ((Ec. 10.6) Lo que significa que la probabilidad de un evento axb, es igual al rea que haybajo la curva de la funcin de densidad f(xi) entre x=a y x=b, ver Figura No 10.5 4 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA FIGURA No 10.5 PROBABILIDAD DE UN EVENTO axb Seconcluyequelaprobabilidadpuntualescero,porqueelreabajolacurvaescero., como se observa en la Figura10.6 FIGURA No 10.6 PROBABILIDAD PUNTUAL Por otro lado se tiene que el rango de F(x) es: 0F(x)1(Ec. 10.7) Es decir que la funcin de distribucin acumulada est en el rango de cero y la unidad o 100%, dependiendo si se trabaja en porcentajes o decimales.La funcin de distribucin acumulada se representa de la siguiente manera. FIGURA No 10.7 FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA LaFiguraNo10.7nospermiteverelporcentajedelasobservacionesqueestnpor encima (Fxi) o debajo (1-Fxi) del valor xi con respecto al total. 5 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA d.Funcin de distribucin acumulada. El Periodo de Retorno T, se define como el tiempo o lapso promedio entre la ocurrencia de uneventoigualomayoraunamagnituddada,dichodeotraforma,eselintervalode recurrencia promedio para un cierto evento.Estadsticamente el Periodo de Retorno es la inversa de la probabilidad de excedencia, es decir: ) (1x X PT>=(Ec. 10.8) O tambin puede ser representada por la probabilidad de no excedencia como se muestra a continuacin. ) ( 11x X PT> =(Ec. 10.9) Otra forma de definir Periodo de Retorno T es como sigue:Considerar por ejemplo la variable caudal mximo del ao, Q max para n aos.La grfica correspondiente para una serie de 41 aos ser: FIGURA No 10.8 CAUDALES DIARIOS MAXIMOS La media histrica de esta serie de 41 aos resulta 14.9 m3/s.Ahoraconsiderarporejemploelvalor20m3/s. Trazarunarectaa20m3/senelgrfico. Realizar el conteo de aos transcurridos entre eventos mayores a 20 m3/s:Una vez que se present el evento Q>20 m3/s en el segundo ao, transcurrieron 2 aos antesdequesevolvieraapresentardichoevento.Luegotranscurrieron5aos,luego2 aos, etc.Considerando varias centenas de aos, el periodo de retorno T ser el valor esperado de esos lapsos de tiempo. Entonces en el ejemplo descrito T puede ser estimado como sigue: aos T 80 . 3105 8 1 2 2 6 5 2 5 2=+ + + + + + + + += Lo que significa:Considerando varias centenas de aos, el valor de 20 m3/s es excedido en promedio una vez cada 3.8 aos, es decir, el periodo de retorno del valor de 20 m3/s es de 3.8 aos.6 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA Conotraspalabras,eneltranscursodeunaocualquierasetieneunaprobabilidadde uno en 3.8 (o sea 26%) de que Q max sea igual o mayor a 20 m3/s. El periodo de retorno a adoptar para el diseo de una estructura hidrulica debera ser el resultadodelanlisiscosto-beneficio.Amayorperiododeretornomayorlaobrayen consecuenciamscarayelbeneficiotambinpodrasermsgrande.Sinembargola evaluacindelosbeneficiosesfrecuentementemuydifcildeutilizar,porloqueenla prctica se adoptaran periodos de retorno en base a la prctica usual.EnlaTabla10.1,semuestraperiodosderetornorecomendadosparaelclculode caudales de diseo de estructuras menores. TABLA No 10.1 PERIODO DE RETORNO PARA ESTRUCTURAS MENORES FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 2002. Tambin se puede entender el periodo de retorno como un coeficiente de seguridad que se asigna a las distintas estructuras, a raz de la falta de informacin y conocimiento del comportamientodelasvariableshidrolgicas(Precipitacin,Caudales),siendounamedida de seguridad ante cualquier eventualidad. TABLA No 10.2 PERIODO DE RETORNO PARA ESTRUCTURAS CIVILES EN GENERAL FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987 . Sedanaconocerotrastablaspresentandoperiodosderetornosrecomendadospara diferentes tipos de estructuras civiles: La Tabla No 10.2 es de carcter general e incluye diversas obras, la Tabla 10.3 es exclusivo para obras hidrulicas en carreteras, laTabla 10.4estenfuncinaltipodereaaprotegerylaTabla10.5enparaeldiseode vertederos de embalses. 7 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA TABLA No 10.3 PERIODO DE RETORNO PARA OBRAS HIDRAULICAS EN CARRETERAS FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987 TABLA No 10.4 PERIODO DE RETORNO SEGN AREAS A PROTEGER /FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987 TABLA No 10.5 PERIODO DE RETORNO PARA VERTEDEROS DE EMBALSE FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987. e.Funcin de distribucin acumulada. Por lo comn el ingeniero disea una obra para resistir una avenida de cierta magnitud.Se define el riesgo de fallo R de un diseo como la probabilidad de que la avenida para la cual se disea la obra sea excedida en el transcurso de N aos, esto es considerado como unasituacinderiesgo,pueslaobrasediseaparasoportarciertaavenidamxima,y crecientesmayorespodranhacerledaooinclusodestruirla,poniendoenriesgovidas humanas e infraestructuras que estn aguas abajo. Deformamssencillaseentiendeporriesgodefalloalaprobabilidaddequeun evento con un periodo de retorno de T aos ocurra al menos una vez en N aos.El riesgo de fallo se puede escribir como: Nx X P aos N en vez una menos al x X P R )) ( 1 ( 1 ) . . . . . . . ( > = > = (Ec. 10.10) NTaos N en vez una menos al x X P R )11 ( 1 ) . . . . . . . ( = > =(Ec. 10.11) Dnde: T = Periodo de Retorno;8 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA N = Aos P( X x) = Probabilidad de excedenciaR = Riesgo de fallo o probabilidad de que un evento con periodo de retorno T aos ocurra al menos una vez en N aos. De la misma manera se puede definir la confiabilidad queviene a ser el complemento del riesgodefallo,quesedefinecomolaprobabilidaddequeuneventoconperiodode retorno de T aos no ocurra en N aos, la confiabilidad se puede expresar de la siguiente manera: Nx X P aos N durante ao cada x X P ) ( 1 ) . . . . . ( > = ((Ec. 10.12) N Nx FTN durante ao cada x X P R ) ( )11 ( ) . . . . ( = = ( =(Ec.10.13) Tambin es posible calcular el periodo de retorno a partir del riesgo de fallo y del nmero de aos, como sigue a continuacin: ((

=NRT1 . lnexp 11(Ec. 10.14) 10.3POSICION DE PLOTEO Y PAPEL DE PROBABILIDAD. a.Posicin de Ploteo. Tambindenominadaposicindegraficacin,oprobabilidadempricaoexperimental,o probabilidadasignada(probabilidadacumuladaexperimental)Laposicindeploteoesla ubicacindegraficacinenelpapeldeprobabilidadesdelosdatosdeunamuestra. Existenvariasfrmulasempricaspropuestaspordiferentesau

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