CAPÍTULO 8. POLIGONALES Y POLÍ ?· Designemos por Poligonal ; ... Dada la poligonal . A la figura…

Download CAPÍTULO 8. POLIGONALES Y POLÍ ?· Designemos por Poligonal ; ... Dada la poligonal . A la figura…

Post on 21-Aug-2018

212 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    CAPTULO 8. POLIGONALES Y POLGONOS

    Introduccin.

    Aprovecho este tema para realimentar el proceso constructivo desarrollado hasta el momento.

    Especficamente las clasificaciones que se crean desde la nocin de poligonal, polgono, su

    clasificacin en simples y no simples, y luego la clasificacin de los simples en cncavos y

    convexos, para solamente sealar las taxonomas iniciales, permiten abrir el espacio de

    preguntas sobre estas figuras como ningn otro tema, contando con elementos aparentemente

    sencillos de la teora. As se logra presentar como polgonos, una gama muy amplia que

    normalmente el estudiante nunca ha considerado y que le permiten reflexionar sobre sus

    caractersticas y propiedades, muchas de las cuales rien posiblemente con su intuicin sobre

    este tipo de figuras, enriqueciendo su conocimiento.

    La introduccin posterior en los polgonos convexos de los cuadrilteros y las clasificaciones que

    all se establecen, potencializan la aplicacin de los ltimos resultados trabajados en las

    relaciones de paralelismo y perpendicularidad.

    Objetivos Especficos.

    1. Presentar un cuadro sinptico de todas las clasificaciones que se presentan en la

    teora desde la definicin de poligonal hasta terminar en el cuadrado, para

    facilitar una buena comprensin por parte del estudiante, de los conceptos y

    propiedades que se estudiarn durante todo el desarrollo de los temas.

    2. Hacer nfasis en las cadenas de inclusiones que se presentan y aprovecharlas

    para realimentar el trabajo del lenguaje de la lgica en las proposiciones

    correspondientes al condicional y sus recprocas

    3. Destacar en particular las propiedades del tringulo como el polgono convexo

    del menor nmero de lados y como se inscribe como caso particular en este tipo

    de figuras.

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    4. Sealar el paralelogramo con sus propiedades por equivalencia como una figura

    importante en la Geometra Euclidiana y en particular en la geometra vectorial.

    5. Presentar el rectngulo, el rombo y el cuadrado como casos particulares del

    paralelogramo, aprovechando sus propiedades para desplegar en su mejor

    ejercicio, las herramientas consolidadas en la teora reciente, mostrndole como

    el dominio de los ltimos resultados estudiados lo proveen de herramientas ms

    refinadas que le permiten abordar los problemas propuestos con mayores

    facilidades para llegar a su solucin y con argumentos cada vez ms cortos.

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.1 POLIGONAL

    Definicin 33.

    Sean en el plano los puntos ; , con la condicin de que tres puntos

    consecutivos cualesquiera no son colineales.

    La unin de los segmentos se llama POLIGONAL. (Figura 123 a).

    Los puntos se llaman VERTICES DE LA POLIGONAL.

    Los segmentos se llaman LADOS DE LA POLIGONAL.

    Notacin: Designemos por Poligonal ; la poligonal de vrtices en los puntos

    .

    Dada la poligonal .

    A la figura correspondiente a: Poligonal se le denomina una poligonal

    cerrada o POLGONO (Figura 123 b,....g).

    Los lados del polgono constituyen EL CONTORNO LA FRONTERA DEL POLGONO.

    Los ngulos se llaman ANGULOS DEL POLGONO.

    La suma de las medidas de los lados del polgono se llama PERMETRO DEL POLGONO.

    Notacin: Designaremos por polgono ; el polgono de vrtices en los puntos

    .

    Figura 123 a. Figura 123 b.

    nAAA ,....,, 21 3n

    nn AAAAAA 13221 ,....,,

    nAAA ,....,, 21

    nn AAAAAA 13221 ,....,,

    nAAA ....21

    nAAA ....,, 21

    nAAA ....21

    nAAA ....21 1AAn

    21321,...., AAAAAA n

    nAAA ....21

    nAAA ....,, 21Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    Figura 123 c. Figura 123 d.

    Figura 123 e. Figura 123 f.

    Figura 123 g.

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.2 POLGONO SIMPLE

    Definicin 33

    Un polgono se llama SIMPLE si:

    i). Todos los vrtices son distintos. (La Figura 123 d no lo es).

    ii). Los lados se intersectan solamente en los vrtices. (La Figura 123 c no lo es).

    iii). Ningn vrtice est en el interior de un lado. (La Figura 123 b no lo es).

    Nota: A no ser que se especifique la contrario, en adelante usar la palabra polgono en

    lugar de polgono simple.

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.3 DIAGONAL DE UN POLGONO

    Definicin 34

    i). Al segmento que une dos vrtices no consecutivos de un polgono se le llama

    DIAGONAL DEL POLGONO.

    ii). Los ngulos que forman un par lineal con los ngulos de un polgono se llaman

    NGULOS EXTERIORES DEL POLGONO. As, en la Figura 124, y son

    diagonales; , , , , son ngulos exteriores.

    Figura 124.

    AD EC

    KAE DCT FAB HDE

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.4 INTERIOR Y EXTERIOR DE UN POLGONO

    Definicin 35

    i). Un punto P no perteneciente al polgono y coplanario con l se denomina PUNTO

    INTERIOR de un polgono de n vrtices si toda semirrecta con origen en P y contenida

    en el plano del polgono, intersecta al polgono. (Figura 125).

    Figura 125.

    ii). El conjunto de puntos interiores se llama EL INTERIOR DEL POLGONO.

    iii). Un punto Q se denomina PUNTO EXTERIOR DEL POLGONO si siendo coplanario

    con l no pertenece al polgono y si existe al menos una semirrecta de origen en Q

    contenida el plano del polgono y que no intersecta al polgono. (Figura 126).

    Figura 126.

    iv). El conjunto de puntos exteriores se llama EXTERIOR DEL POLGONO.

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.5 POLGONO CONVEXO Y POLGONO CNCAVO

    Definicin 36

    i). Un polgono se llama CONVEXO si para cada dos puntos interiores cualesquiera P y

    Q, est contenido en el interior del polgono (Figura 127a).

    ii). Un polgono de n vrtices no convexo, se llama CNCAVO (Figura 127b).

    Polgono convexo Polgono cncavo

    Figura 127a. Figura 127b.

    PQ

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.6 POLGONO REGULAR

    Definicin 37

    Un polgono que tiene sus ngulos y lados respectivamente congruentes se llama

    REGULAR. (Figura 128a).

    Si no cumple alguna de estas condiciones se llama IRREGULAR. (Figura 128 b y 128 c).

    128 a. Polgono Regular. 128 b. Polgono Irregular. 128 c. Polgono

    Irregular

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.7 DESIGNACIN DE ALGUNOS POLGONOS SEGN EL NMERO DE

    LADOS

    NOMBRE DE ALGUNOS POLGONOS.

    Nombre. Nmero de lados.

    Tringulo 3

    Cuadriltero 4

    Pentgono 5

    Hexgono 6

    Heptgono 7

    Octogono 8

    Nongono 9

    Decgono 10

    Endodecgono 11

    Dodecgono 12

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.8 NMERO DE DIAGONALES DE UN POLGONO CONVEXO

    Demostracin.

    Por cada vrtice P de un polgono de n vrtices se pueden trazar diagonales. Como

    hay n vrtices se obtienen en total diagonales. Adems cada diagonal se cuenta

    dos veces, por lo tanto se tiene .

    Ejemplos.

    Figura 129.

    3n

    3nn

    2

    3nn

    5

    2

    355

    5

    d

    n

    14

    2

    377

    7

    d

    n

    TEOREMA 49

    El nmero de diagonales de un polgono convexo de n lados es:

    2

    3

    nnd

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.9 SUMA DE LOS NGULOS INTERIORES DE UN POLGONO CONVEXO

    DE n LADOS

    Demostracin.

    Nmero de tringulos de vrtice .

    Figura 130.

    Total: tringulos.

    Luego suma de los ngulos interiores del polgono: .

    0P

    120

    430

    320

    210

    nn PPP

    PPP

    PPP

    PPP

    2n

    2180...... 12210 nPPPPP nn

    TEOREMA 50

    La suma de las medidas de los ngulos interiores de un polgono convexo de n lados, es

    igual a tantas veces dos rectos como lados tiene el polgono menos dos. Es decir, si n es

    el nmero de lados del polgono, entonces:

    . 2180 nS

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    COROLARIO 1.

    Si un polgono convexo de n lados, es equingulo, entonces el valor de un ngulo

    interior es: 180(2)

    COROLARIO 2.

    En un polgono convexo de n lados, la suma de los ngulos exteriores tomados en un

    mismo sentido es igual a cuatro rectos.

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.10 CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS.

    1. Segn sus lados:

    a. ISOSCELES: Tiene al menos dos lados congruentes.

    b. EQUILTERO: Tiene tres lados congruentes.

    c. ESCALENO: No tiene lados congruentes.

    2. Segn sus ngulos:

    a. EQUINGULO: Sus tres ngulos son congruentes.

    b. RECTNGULO: Tiene un ngulo recto.

    c. ACUTNGULO: Tiene sus tres ngulos agudos.

    d. OBTUSNGULO: Uno de sus ngulos es obtuso.

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.11 CUADRILTEROS CONVEXOS ESPECIALES

    Definicin 38.

    a. TRAPEZOIDE: Es un cuadriltero convexo que no presenta lados opuestos

    paralelos.(figura 131a).

    b. TRAPECIO: Es un cuadriltero convexo con un nico par de lados paralelos.

    (Figura 131b).

    c. PARALELOGRAMO: Es un cuadriltero convexo con dos pares de lados paralelos

    (Fgura 131 c).

    d. RECTNGULO: Cuadriltero convexo que tiene sus cuatro ngulos congruentes

    (Figura 131d).

    e. ROMBO: Cuadriltero convexo que tiene sus lados congruentes (Figura 131 e).

    f. CUADRADO: Cuadriltero convexo que es equingulo y equiltero a la vez (Figura

    131 f)

    Figura 131.

    El significado de la figura anterior es el siguiente: de acuerdo a las definiciones anteriores el

    trapecio y el paralelogramo solo tienen en comn ser cuadrilteros convexos, ahora las

    propiedades del paralelogramo las heredan el rectngulo, el rombo y as sucesivamente.

    a

    b

    c

    e

    d

    f

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    Figura 132.

    Demostraremos que todo rombo es paralelogramo. Se deja al lector la demostracin de que

    todo rectngulo es paralelogramo.

    Sea ABCD un rombo, luego: por definicin.

    Tracemos la diagonal , entonces: (L-L-L). De donde:

    (1).

    (2).

    Segn (1), y segn (2), , luego el rombo es un paralelogramo.

    Cuadrilateros

    TrapeciosParalelogramos

    Rectangulos Rombos

    Cuadrados

    DACDBCAB

    DB BDCBDA

    DBCBDA

    DBABDC

    BCAD // DCAB //

    TEOREMA 51.

    Todo rectngulo y todo rombo son paralelogramos.

    Cuadrilateros convexos

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    Figura 133.

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.12 PROPIEDADES POR EQUIVALENCIA DEL PARALELOGRAMO

    Figura 134.

    Nota: Identifique cada caso.

    La demostracin de este teorema consiste en probar la siguiente cadena de implicaciones,

    as:

    .

    Haremos aqu la prueba de la primera y la ltima implicacin.

    i).

    17.......321

    21

    1 2

    3

    4

    5

    1 1

    6

    1 1

    7

    1 1

    TEOREMA 52. Propiedades por equivalencia del paralelogramo.

    Los siguientes enunciados son equivalentes:

    1. Un cuadriltero convexo es un paralelogramo.

    2. Un par de lados del cuadriltero son paralelos y congruentes.

    3. Los lados opuestos del cuadriltero son congruentes.

    4. Las diagonales del cuadriltero se bisecan.

    5. Los ngulos opuestos del cuadriltero son congruentes.

    6. Un par de lados del cuadriltero son paralelos y un par de ngulos opuestos son

    congruentes.

    7. Dos ngulos, adyacentes a un lado cualquiera, son suplementarios.

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    Figura 135.

    Sea ABCD un paralelogramo con y .

    Se traza la diagonal y se obtienen dos tringulos congruentes y por tener:

    (Alternos internos entre paralelas).

    (Alternos internos entre paralelas).

    (Lado comn).

    Luego y (por hiptesis).

    En la misma figura se concluye tambin que:

    y (por hiptesis).

    ii). .

    Figura 136.

    BDAC // CDAB //

    AD DBA

    ACD

    BDADAC

    BADDAC

    AD

    BDAC BDAC //

    CDAB CDAB //

    17 Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    Supongamos que en el cuadriltero convexo ABCD los ngulos adyacentes y

    son suplementarios, es decir:

    (1).

    Sea X un punto en la prolongacin de y por tanto:

    (2).

    De (1) y (2) , de donde:

    y por ser alternos internos se concluye que .

    En la misma forma se toma Y en la prolongacin de y se llega a la conclusin de que

    y por la misma razn se concluye que , luego la figura es un

    paralelogramo.

    DAB CDA

    rectos. 2 CDAmDABm

    BA

    rectos. 2 DABmXADm

    DABmXADmCDAmDABm

    XADCDA CDAB //

    CB

    BADYBA BCAD //

    COROLARIO.

    i). El rectngulo es un paralelogramo equingulo.

    ii). El rombo es un paralelogramo equiltero.

    iii). El cuadrado es rectngulo y rombo a la vez.

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.13 PROPIEDADES POR EQUIVALENCIA DEL RECTNGULO

    Demostremos que y que .

    i). .

    Figura 137.

    Por hiptesis tenemos que .

    Como resulta entonces que:

    .

    ii). .

    Figura 138.

    Tenemos por hiptesis que:

    .

    21 13

    21

    360

    90

    13

    ODOCOBOA

    TEOREMA 53. Propiedades por equivalencia del rectngulo.

    Los siguientes enunciados son equivalentes:

    1. Un cuadriltero es un rectngulo.

    2. Todos sus ngulos son rectos.

    3. Las diagonales son congruentes y se bisecan.

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    Si (L-A-L) resulta que y .

    Si (L-A-L) resulta que y .

    Sumando: y

    Resulta entonces que y .

    Pero como y se concluye que

    Se deja al lector la prueba de que .

    DOCBOA

    22 CA 22

    DB

    BOCDOA

    11 BD 11

    CA

    1212 CmCmAmAm 2121 BmBmDmDm

    BCDBAD CBACDA

    1111 BCAD 2222

    DCBA

    CBACDABCDBAD

    32

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.14 PROPIEDADES POR EQUIVALENCIA DEL ROMBO

    Demostremos que y que .

    i). .

    Figura 139.

    Por hiptesis tenemos que ABCD es paralelogramo con

    Como por L-A-L y por L-A-L.

    Resulta: , , , , Por qu?.

    ii). .

    21 14

    21

    .DACDBCAB

    ABCBCD

    CBACDA

    ADOODC OBAOBC CADCAB ACBACD

    14

    TEOREMA 54. Propiedades por equivalencia del rombo.

    Los siguientes enunciados son equivalentes:

    1. Un paralelogramo es un rombo.

    2. Las diagonales del paralelogramo bisecan los ngulos opuestos.

    3. Las diagonales del paralelogramo son perpendiculares.

    4. Dos lados adyacentes del paralelogramo son congruentes.

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    Tenemos por hiptesis que es paralelogramo y que . Entonces, por ser

    paralelogramo se tiene: y , resulta as que:

    ABCD ABAD

    ABCD BCAD ABDC .DACDBCAB

    Mater

    ial ed

    ucati

    vo

    Uso n

    o com

    ercial

  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.15 PROPIEDADES DEL TRAPECIO

    Figura 140.

    Por hiptesis , y .

    Demostremos que:

    y .

    Si unimos D con E y prolongamos hasta encontrar la semirrecta tal que B est entre A

    y F, resulta que por A-L-A, entonces y .

    En se tiene y , por lo tanto , esto es, y

    .

    ABDC // KADK EBCE

    ABKE // ABDCKE 2

    1

    AB

    EBFECD

    EFDE BFDC

    DAF KAKD EFDE AFKE // ABKE //

    DCABAFKE 2

    1

    2

    1

    TEOREMA 55. Propiedades del...