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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    CAPTULO 8. POLIGONALES Y POLGONOS

    Introduccin.

    Aprovecho este tema para realimentar el proceso constructivo desarrollado hasta el momento.

    Especficamente las clasificaciones que se crean desde la nocin de poligonal, polgono, su

    clasificacin en simples y no simples, y luego la clasificacin de los simples en cncavos y

    convexos, para solamente sealar las taxonomas iniciales, permiten abrir el espacio de

    preguntas sobre estas figuras como ningn otro tema, contando con elementos aparentemente

    sencillos de la teora. As se logra presentar como polgonos, una gama muy amplia que

    normalmente el estudiante nunca ha considerado y que le permiten reflexionar sobre sus

    caractersticas y propiedades, muchas de las cuales rien posiblemente con su intuicin sobre

    este tipo de figuras, enriqueciendo su conocimiento.

    La introduccin posterior en los polgonos convexos de los cuadrilteros y las clasificaciones que

    all se establecen, potencializan la aplicacin de los ltimos resultados trabajados en las

    relaciones de paralelismo y perpendicularidad.

    Objetivos Especficos.

    1. Presentar un cuadro sinptico de todas las clasificaciones que se presentan en la

    teora desde la definicin de poligonal hasta terminar en el cuadrado, para

    facilitar una buena comprensin por parte del estudiante, de los conceptos y

    propiedades que se estudiarn durante todo el desarrollo de los temas.

    2. Hacer nfasis en las cadenas de inclusiones que se presentan y aprovecharlas

    para realimentar el trabajo del lenguaje de la lgica en las proposiciones

    correspondientes al condicional y sus recprocas

    3. Destacar en particular las propiedades del tringulo como el polgono convexo

    del menor nmero de lados y como se inscribe como caso particular en este tipo

    de figuras.

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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    4. Sealar el paralelogramo con sus propiedades por equivalencia como una figura

    importante en la Geometra Euclidiana y en particular en la geometra vectorial.

    5. Presentar el rectngulo, el rombo y el cuadrado como casos particulares del

    paralelogramo, aprovechando sus propiedades para desplegar en su mejor

    ejercicio, las herramientas consolidadas en la teora reciente, mostrndole como

    el dominio de los ltimos resultados estudiados lo proveen de herramientas ms

    refinadas que le permiten abordar los problemas propuestos con mayores

    facilidades para llegar a su solucin y con argumentos cada vez ms cortos.

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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.1 POLIGONAL

    Definicin 33.

    Sean en el plano los puntos ; , con la condicin de que tres puntos

    consecutivos cualesquiera no son colineales.

    La unin de los segmentos se llama POLIGONAL. (Figura 123 a).

    Los puntos se llaman VERTICES DE LA POLIGONAL.

    Los segmentos se llaman LADOS DE LA POLIGONAL.

    Notacin: Designemos por Poligonal ; la poligonal de vrtices en los puntos

    .

    Dada la poligonal .

    A la figura correspondiente a: Poligonal se le denomina una poligonal

    cerrada o POLGONO (Figura 123 b,....g).

    Los lados del polgono constituyen EL CONTORNO LA FRONTERA DEL POLGONO.

    Los ngulos se llaman ANGULOS DEL POLGONO.

    La suma de las medidas de los lados del polgono se llama PERMETRO DEL POLGONO.

    Notacin: Designaremos por polgono ; el polgono de vrtices en los puntos

    .

    Figura 123 a. Figura 123 b.

    nAAA ,....,, 21 3n

    nn AAAAAA 13221 ,....,,

    nAAA ,....,, 21

    nn AAAAAA 13221 ,....,,

    nAAA ....21

    nAAA ....,, 21

    nAAA ....21

    nAAA ....21 1AAn

    21321,...., AAAAAA n

    nAAA ....21

    nAAA ....,, 21Mater

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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    Figura 123 c. Figura 123 d.

    Figura 123 e. Figura 123 f.

    Figura 123 g.

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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.2 POLGONO SIMPLE

    Definicin 33

    Un polgono se llama SIMPLE si:

    i). Todos los vrtices son distintos. (La Figura 123 d no lo es).

    ii). Los lados se intersectan solamente en los vrtices. (La Figura 123 c no lo es).

    iii). Ningn vrtice est en el interior de un lado. (La Figura 123 b no lo es).

    Nota: A no ser que se especifique la contrario, en adelante usar la palabra polgono en

    lugar de polgono simple.

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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.3 DIAGONAL DE UN POLGONO

    Definicin 34

    i). Al segmento que une dos vrtices no consecutivos de un polgono se le llama

    DIAGONAL DEL POLGONO.

    ii). Los ngulos que forman un par lineal con los ngulos de un polgono se llaman

    NGULOS EXTERIORES DEL POLGONO. As, en la Figura 124, y son

    diagonales; , , , , son ngulos exteriores.

    Figura 124.

    AD EC

    KAE DCT FAB HDE

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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.4 INTERIOR Y EXTERIOR DE UN POLGONO

    Definicin 35

    i). Un punto P no perteneciente al polgono y coplanario con l se denomina PUNTO

    INTERIOR de un polgono de n vrtices si toda semirrecta con origen en P y contenida

    en el plano del polgono, intersecta al polgono. (Figura 125).

    Figura 125.

    ii). El conjunto de puntos interiores se llama EL INTERIOR DEL POLGONO.

    iii). Un punto Q se denomina PUNTO EXTERIOR DEL POLGONO si siendo coplanario

    con l no pertenece al polgono y si existe al menos una semirrecta de origen en Q

    contenida el plano del polgono y que no intersecta al polgono. (Figura 126).

    Figura 126.

    iv). El conjunto de puntos exteriores se llama EXTERIOR DEL POLGONO.

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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.5 POLGONO CONVEXO Y POLGONO CNCAVO

    Definicin 36

    i). Un polgono se llama CONVEXO si para cada dos puntos interiores cualesquiera P y

    Q, est contenido en el interior del polgono (Figura 127a).

    ii). Un polgono de n vrtices no convexo, se llama CNCAVO (Figura 127b).

    Polgono convexo Polgono cncavo

    Figura 127a. Figura 127b.

    PQ

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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.6 POLGONO REGULAR

    Definicin 37

    Un polgono que tiene sus ngulos y lados respectivamente congruentes se llama

    REGULAR. (Figura 128a).

    Si no cumple alguna de estas condiciones se llama IRREGULAR. (Figura 128 b y 128 c).

    128 a. Polgono Regular. 128 b. Polgono Irregular. 128 c. Polgono

    Irregular

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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.7 DESIGNACIN DE ALGUNOS POLGONOS SEGN EL NMERO DE

    LADOS

    NOMBRE DE ALGUNOS POLGONOS.

    Nombre. Nmero de lados.

    Tringulo 3

    Cuadriltero 4

    Pentgono 5

    Hexgono 6

    Heptgono 7

    Octogono 8

    Nongono 9

    Decgono 10

    Endodecgono 11

    Dodecgono 12

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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.8 NMERO DE DIAGONALES DE UN POLGONO CONVEXO

    Demostracin.

    Por cada vrtice P de un polgono de n vrtices se pueden trazar diagonales. Como

    hay n vrtices se obtienen en total diagonales. Adems cada diagonal se cuenta

    dos veces, por lo tanto se tiene .

    Ejemplos.

    Figura 129.

    3n

    3nn

    2

    3nn

    5

    2

    355

    5

    d

    n

    14

    2

    377

    7

    d

    n

    TEOREMA 49

    El nmero de diagonales de un polgono convexo de n lados es:

    2

    3

    nnd

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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    8.9 SUMA DE LOS NGULOS INTERIORES DE UN POLGONO CONVEXO

    DE n LADOS

    Demostracin.

    Nmero de tringulos de vrtice .

    Figura 130.

    Total: tringulos.

    Luego suma de los ngulos interiores del polgono: .

    0P

    120

    430

    320

    210

    nn PPP

    PPP

    PPP

    PPP

    2n

    2180...... 12210 nPPPPP nn

    TEOREMA 50

    La suma de las medidas de los ngulos interiores de un polgono convexo de n lados, es

    igual a tantas veces dos rectos como lados tiene el polgono menos dos. Es decir, si n es

    el nmero de lados del polgono, entonces:

    . 2180 nS

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  • ELEMENTOS DE GEOMETRA EUCLIDIANA

    COROLARIO 1.

    Si un polgono convexo de n lados, es equingulo, entonces el valor de un ngulo

    interior es: 180(2)

    COROLARIO 2.

    En un polgono convexo de n lados, la suma de los ngulos exteriores tomados en un

    mismo sentido es igual a cuatro rectos.

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