capitulo 6b

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Curso de Hidrologa Caudales Mximos IIPor: Sergio Velsquez Mazariegos svelasqu@catie.ac.cr 2011

Mtodos estadsticos Se basan en considerar que el caudal mximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribucin. Datos necesarios: Registro de caudales mximos anuales: Cuanto mayor sea el tamao del registro, mayor ser tambin la aproximacin del clculo del caudal de diseo el cual se calcula para un determinado perodo de retorno.

Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseo, se

cuenta con pocos aos de registro, por lo que, la curva de distribucin de probabilidades de los caudales mximos, se tiene que prolongar en su extremo, si se quiere inferir un caudal con un perodo de retorno mayor al tamao del registro. El problema se origina, en que existen muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y que sin embargo, difieren en los extremos. Esto ha dado lugar a diversos mtodos estadsticos, dependiendo del tipo de distribucin que se considere. Mtodos: Gumbel (rigurosa) Nash (menos rigurosa que la Gumbel, permite ajuste por mnimos cuadrados) Levediev (Distribucin Pearson tipo III)

Mtodo de Gumbel Para calcular el caudal mximo paraun perodo de retorno determinado se usa la ecuacin:

Mtodo de GumbelPara calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar Qmx dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente: Si = 1-1/T vara entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la frmula:

Si > 0.90, el intervalo se calcula como:

Mtodo de GumbelPara calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar Qmx dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente: Si = 1-1/T vara entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la frmula:

Si > 0.90, el intervalo se calcula como:

Mtodo de Gumbel La zona de comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera detransicin, donde Q es proporcional al calculado con las ecuaciones 6.29 y 6.30, dependiendo del valor de . El caudal mximo de diseo para un cierto perodo de retorno ser igual al caudal mximo con la ecuacin (6.27), ms el intervalo de confianza, calculado con (6.29) (6.30).

Mtodo de Gumbel Ejemplo 7 Se tiene el registro de caudalesmximos de 30 aos para la estacin 9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.15. En este ro se desea construir una presa de almacenamiento. Calcular el caudal de diseo para el vertedor de demasas, para perodos de retorno 50 y 100 aos respectivamente. Utilizar el mtodo Gumbel.

Q = 28,748 Q2 = 40,595,065

Mtodo de Gumbel Ejemplo 7: Solucin Clculo del promedio de caudales Qm: De la tabla 6.15, si se suma la columna (2) y se divide entre el nmero de aos del registro, se obtiene:

Clculo de la desviacin estndar de los caudales Q:

Con Qm, sumando los cuadrados de los caudales de la tabla 6.15 y utilizando la ecuacin (6.28), se tiene:

Clculo de los coeficientes N, YN:

De la tabla 6.13, para N = 30 aos, se tiene:

Mtodo de Gumbel Ejemplo 7: Solucin Obtencin de la ecuacin del caudal mximo: Sustituyendo valores en la ecuacin (6.27), se tiene:

Clculo del caudal mximo para diferentes T: Clculo de :

Mtodo de Gumbel Ejemplo 7: Solucin Clculo del intervalo de confianza: Como en ambos casos es mayor que 0.90, se utiliza la ecuacin:

Clculo del caudal de diseo: De la ecuacin (6.31), se tiene:

Mtodo de Nash Nash considera que el valor del caudalpara un determinado perodo de retorno se puede calcular con la ecuacin:

Mtodo de Nash Los parmetros a y b se estiman utilizando el mtodo demnimos cuadrados, con la ecuacin lineal: Q = a + bX, utilizando las siguientes ecuaciones:

Mtodo de Nash Para calcular los valores de Xi correspondientes a los Qi, se ordenan estosen forma decreciente, asignndole a cada uno un nmero de orden mi; al Qi mximo le corresponder el valor 1, al inmediato siguiente 2, etc. Entonces, el valor del perodo de retorno para Qi se calcular utilizando la frmula de Weibull con la ecuacin:

Finalmente, el valor de cada Xi se obtiene sustituyendo el valor de (6.36)

en (6.35). El intervalo dentro del cual puede variar el Qmx calculado por la ecuacin (6.32), se obtiene como:

Mtodo de Nash De la ecuacin (6.37), se ve que Q slo varacon X, la cual se calcula de la ecuacin (6.35), sustituyendo el valor del perodo de retorno para el cual se calcul el Qmx. Todos los dems trminos que intervienen en la ecuacin (6.37) se obtienen de los datos. El caudal mximo de diseo correspondiente a un determinado perodo de retorno ser igual al caudal mximo obtenido de la ecuacin (6.32), ms el intervalo de confianza calculado segn la ecuacin (6.37), es decir:

Mtodo de Nash Ejemplo 8 Para los mismos datos de la tabla 6.14,del ejemplo 7, calcular el caudal de diseo utilizando el mtodo de Nash, para perodos de retorno de 50 y 100 aos.

Mtodo de Nash Ejemplo 8: Solucin Ordenando en formadescendente, los valores de los caudales de la columna 2, de tabla 6.15, se obtiene la columna 2 de la tabla 6.16. Clculos preliminares: Las columnas de la tabla 6.16, se obtienen de la siguiente forma:

Columna (1): nmero de Columna (2): caudales orden

mximos ordenados en forma descendente Columna (3): perodo de retorno, obtenido con la formula de Weibull :

Mtodo de Nash Ejemplo 8: Solucin Columna (4): cociente Columna (5): Columna (6): producto

De la tabla 6.16, se tiene:

Mtodo de Nash Ejemplo 8: Solucin Clculo de Qm y Xm: Clculo de los parmetros a y b: De la ecuacin (6.34), se tiene:

De la ecuacin (6.33), se tiene:

Mtodo de Nash Ejemplo 8: Solucin Clculo del caudal mximo: Sustituyendo los valores de los parmetros a y b, en la ecuacin (6.32), se tiene:

luego:

Clculo de las desviaciones estndar y covarianza:

Mtodo de Nash Ejemplo 8: Solucin Clculo del intervalo de confianza: Sustituyendo en la ecuacin (6.37), se tiene:

Clculo del caudal de diseo:

Mtodo de Lebediev Este mtodo est basado en suponer que los caudales mximosanuales son variables aleatorias Pearson tipo III. El caudal de diseo se obtiene a partir de la frmula:

Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuacin (6.41), se escoge el mayor.

Mtodo de Lebediev

Mtodo de Lebediev Ejemplo 9: Solucin Para los mismos datos de la tabla 6.15,del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseo utilizando el mtodo de Lebediev.

Mtodo de Lebediev Ejemplo 9: SolucinObtencin del caudal medio Qm Se logra aplicando le ecuacin (6.43), sumando los caudales y dividiendo entre el nmero de aos de registro, es decir:

Clculos previos

Con los datos de la tabla 6.15 y con el valor de Qm, se obtiene la tabla 6.18, siendo:

Clculo del coeficiente de variacin Cv De la ecuacin (6.42), se tiene:

Mtodo de Lebediev Ejemplo 9: Solucin Determinacin del coeficiente de asimetra Cs De la ecuacin (6.41), se tiene:

Considerando que la avenida es producida por una tormenta, se tiene:

De estos dos valores se escoge el mayor, por lo tanto setiene:

Mtodo de Lebediev Ejemplo 9: Solucin Obtencin del coeficiente K: Para el perodo de retorno de 50 aos, el valor de P es:

Con P = 2 % y Cs = 2.8654,

Para el perodo de retorno de 100 aos, el valor de P es:

de la tabla 6.17, se obtiene K = 3.12

Con P = 1 % y Cs = 2.8654, de la tabla 6.17, se obtiene K = 3.98

Mtodo de Lebediev Ejemplo 9: SolucinClculo de Er De la figura 6.3:

Clculo del caudal mximo:

Para T = 50 aos de la ecuacin (6.39), se tiene:

Para T = 100 aos, se tiene:

Clculo del intervalo de confianza

Para N = 30 aos se puede tomar A = 0.85

Mtodo de Lebediev Ejemplo 9: Solucin De la ecuacin (6.40), para T = 50 aos, se tiene:

Para T = 100 aos, se tiene:

Clculo del caudal de diseo Para T = 50 aos: Para T = 100 aos:

Cmo escoger la mejor solucin? Hacer pruebas de bondad de ajuste paracada una de las distribuciones Chi-cuadrado Kolmogorov-Smirnoff