capitulo 2-distribucion de esfuerzos en la masa de suelo

8/12/2019 Capitulo 2-Distribucion de Esfuerzos en La Masa de Suelo

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Posgrado FIC, UMSNH. Maestra en Infraestructura del Transporte.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CAPTULO 3 DISTRIBUCIN DE PRESIONES EN LA MASA DE SUELO.

a) CONDICIN NATURAL (Suelo sin Carga).- En esta parte se obtendrlas distribuciones de las presiones verticales debido al peso del material.

v= m z z

(m - o )H

(t/m 2)+ (t/m 2)u (t/m 2)

m H- o H m Ho Hm H

=p (Presin total) N.A.F

H

=

En este captulo se trata de determinar los esfuerzos que existen en una masa de suelo,como resultado del peso propio y por efecto de las fuerzas aplicadas.

Ejemplo a1: Dibujar los diagramas de presiones totales, efectivas y del agua para elsiguiente caso:

c) arcilla

b) limo arenoso

a) arena

(m - o )H

(t/m 2) (t/m 2)u (t/m 2)

m H- o H m Ho Hm H

=p (Presin total)

H

+ =

a) m=1.7 t/m 3 b) m=1.5 t/m 3 c) m=1.4 t/m 3 Ejemplo a2: Un deposito de arena muy fina tiene 12 m de espesor. El N.A.F. est a 4 m

de profundidad, pero sobre l la arena est saturada por capilaridad. El peso especfico de laarena saturada es de 1, 800 kg/m 3. Cual es la presin efectiva vertical sobre un planohorizontal a la profundidad de 12 m?

Ejemplo a3: Se tiene la estratigrafa de un cierto lugar, como se muestra en la figurasiguiente, en la superficie del suelo se coloca un relleno que produce una sobrecarga de 7t/m 2. El N.A.F. est a 3.0m de profundidad, pero sobre el la arena fina limosa esta saturada

por capilaridad, hasta la superficie.Determine los diagramas u, v y v para:

a) Antes de colocar el relleno b) Inmediatamente despus de colocado el relleno.

M. en I. Felipe de Jess Jernimo Rodrguez Pagina 1


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b) DISTRIBUCIN DE PRESIONES O DE ESFUERZOS DEBIDOSA SOBRECARGAS.- En este tema se trata el problema de la distribucin deesfuerzos aplicados en la superficie de una masa de suelo a todos los puntos de esamasa.Las soluciones que actualmente se aplican, estn basadas en la teora de La

Elasticidad, las cuales adolecen de efectos prcticos acarreados por las fuerteshiptesis impuestas por las necesidades de la solucin matemtica.De estas soluciones la ms utilizada es la debida a Boussinesq.

Planteamiento del problema:

Sobrecarga (t/m 2)

(m - o )H

(t/m2)

H z z

+ (t/m 2)

m H- o H

m

=p (Presin total)

H

El cambio en los esfuerzos efectivos produce asentamientos en el suelo ( H).

b.1) El Problema de Boussinesq.-El problema trata de la distribucin de esfuerzos con la profundidad debidos a una

carga vertical concentrada actuante en la superficie horizontal de un medio, con lasiguientes hiptesis:

1. El medio es elstico, homogneo, istropo, semi-infinito y obedece a la Leyde Hooke.2. El medio no tiene peso propio.3. El medio no tiene historia previa de esfuerzos.4. La distribucin de esfuerzos es independiente del tipo de material del medio.5. En el medio es vlida una distribucin de esfuerzos lineal6. Existe continuidad de esfuerzos

7. La distribucin de esfuerzos es simtrica con respecto al eje z.

O mejor dicho:

El medio es semi-infinitoEl medio es homogneo, es decir; en todo punto E, son igualesEl medio es istropo, es decir E es el mismo en cualquier direccinEl material es linealmente elstico: Se cumple la Ley de Hooke:



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= E

El esfuerzo en A vale:

5

3

23

R Z P

z =

Como: 22 z r R +=

5

252222

522

5

22

522

3

)(

12

3

)(23

)(23

z

z r Z P

z r

Z Z P

z r

Z P Z

+=

+=

+=

25

222

5

2

22

252

25222

1

1123

1

123

)(

)(

123

+

=

+

=+

=

z r Z

P

z r z

P

z

z r z P

z

{ }O z P Z P

z r z

P 2

25

22

1

123 =

+

=

Po Donde Po = Factor de influenciaAs tambin Po = f (r/z) Para utilizar en tablas (Pg. 53 Tomo II Jurez Badillo)



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Ejemplo b1: Bajo la carga r = 0 z 0

223

z P

z = si : P = 1.0 Tn Tenemos que: 25.0 m

Tn z =

z =1.0 Mts

La principal aplicacin de las frmulas de Boussinesq es en el clculo de asentamientos desuelos sujetos a consolidacin.

b.1.1) Esfuerzos en un plano Vertical y Horizontal.-

Con la Frmula:2

5

22

1

123

+=

z

r z P

z

En un Plano Vertical:- T = Constante ; Z Variando

r=0 z= Variable r=0=cte z= Variable

En un plano horizontal: z=Constante; r: Variable

p p r

p

z



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b.1.2) Extensin de la frmula de Boussinesq a otras condiciones decarga comunes:

b.1.2.1) Carga Lineal de Longitud Infinita.-

P = Carga por unidad de longitudIntegrando la frmula de Boussinesq para una carga concentrada obtenemos:

++

+++++=

2222222222

3 211)(2 z x z y x z y x y x

yz P z

Usando los parmetros: m = x / z ; n = y / z ( Que No son intercambiables)

La expresin anterior resulta:

=

++

+++++ 12

1

1

1)1(21

222222 mnmnmm

n

z z P

Po

Por lo tanto:

0 P z P

z =

Donde : Po = Factor de InfluenciaPo = f (m,n)

Po se encuentra en grficas (Grficas de Fadum), de acuerdo a los valores de m y n (Seanexan grficas):



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Si se quiere calcular se considera una carga lineal de y + y y despus se resta elesfuerzo producido por una carga lineal de longitud y :

z

( ) )( y y y z z z +=

b.1.2.2). Carga Uniformemente Repartida en un rea Rectangular.- Este es el caso mas utilizado en la prctica

( )...2 XYZ A z

=

Haciendo: m =x/z ; n = y/z (Ahora intercambiables), se tiene:

0 = z (en la esquina)04 = z (en el centro)02 = z (en la parte lateral)

donde: 0 = Factor de influencia = f (m,n) 0 = Se encuentra en grficas.

NOTA: Esta solucin, presentada por Fadum nos permite conocer los esfuerzos para puntos que estn situados bajo la esquina de un rea cargada.

Si queremos determinar el esfuerzo en A, se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ','','','','' y x y x x y y x y y x x z z z z z +++++= )



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b.1.2.3) Esfuerzos en la superficie de un rea cargada uniformemente.-

w

3

A

B w

1 2

20/

== Z ZA

221

== Z (en la parte lateral) para z = 0

422

2

== z (en la esquina) para z = 0

==22

3 z (en el centro) para z = 0

As:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ++

+++++++

+++++=

++

+++++++

+++++=

2222

21

22

22

22

2222

21

22

222222

21

222

222

222

222222

21

222

112

.12

112

41

:,

2.

224

nmnmnmmn

tg ang nmnm

nmnmnmmn

mn por cambiando

y x z y x z z y x xyz

tg ang z y x z y x

y x z y x z z y x xyz

z

z

Existen otras condiciones de carga que se presentan con cierta frecuencia en lacimentacin de obras reales, por lo que se mencionarn algunas de ellas:



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b.1.2.4) rea Circular Uniformemente Cargada.-Esta condicin se puede asemejar a una zapata circular uniformemente

cargada. Esta expresin nos permite determinar el esfuerzo a lo largo de una normal alrea trazada por el centro del rea cargada.

+

=

23

2

1

11

z r

z

A

zz

w

r

w

0 = z

=

+

=

23

20

1

11

z r

Valor de Influencia ----- De tablas:

=

z r f 0

De acuerdo al valor de r/z (Ver anexo Pg. 55 JB. II)0



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b.1.2.5) Carga Rectangular de Longitud Infinita.-

[ ]

2cos sen p

z +==

Este caso se pude asemejar a un terrapln sostenido por muros de retencin.Para conocer la intensidad de la carga P , se multiplica el peso volumtrico del material

por la altura del terrapln.

b.1.2.6) Carga Triangular de Longitud Infinita. (Tringulo

issceles) (Propuesta por Carothers )



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( )++= 2121

b x p

z

Esta solucin se podra asemejar en la prctica al caso de una presa con taludes

iguales. Al igual que el caso anterior se tienen grficas ( lneas de igual esfuerzo bajo elrea cargada)

b.1.2.7) Carga Triangular de Longitud Finita (TringuloRectngulo)

Z z I p = 0

)(inf tablasdeluencia Factor I I L

n I L

Z Z Z ===m

Esta solucin se puede asemejar en la prctica a una rampa formada por suelo,mampostera o concreto.



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b.1.2.8) Carga Trapecial de Longitud Infinita.-

( )+= b xr z x p

z 22

Este caso es de especial importancia prctica, ya que nos permite calcular losesfuerzos inducidos por un terrapln al terreno de cimentacin.



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b.1.2.9) La Carta de Newmark(Carta de Influencia)

Es un mtodo grfico sencillo que permite obtener los esfuerzos verticales ( z)transmitidos a un medio semifinito, homogneo, istropo y elstico debido por cualquier

condicin de carga uniformemente repartida sobre la superficie del medio. Esta carta esespecialmente til cuando se tienen varias reas cargadas, aplicando cada una de ellasdiferentes presiones a la superficie del medio.

Este mtodo se basa en la frmula correspondiente al esfuerzo vertical bajo elcentro de un rea circular uniformemente cargada:

A

zz

r

w

z

4 4 4 34 4 4 21

0

23

2

1

11

+

=

z r

z

Donde 0 = Factor de influencia; tambin se puede escribir:

0

23

2

1

11

=

+

=

z r

z



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Dando valores a

z =0 y encontrando sus correspondientes valores de r/z:

z =0

z

r

0.0 0.00

0.1 0.27

0.2 0.41

0.3 0.52

0.4 0.64

0.5 0.72

0.6 0.92

0.7 1.11

0.8 1.39

0.9 1.92

1.0

Fijando un valor de Z, los radios de los crculos del rea cargada van a ir variando para que produzcan los valores de influencia de 0.1,0.2 ,0.3... etc y as construir la siguiente

Punto bajo el cual se quiere determinar el esfuerzoValor de influencia =0.1/20=0.005



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Por ejemplo si hacemos z=10 cmInfluencia = 0.005 (para cada segmento)

Si tenemos un crculo cargado de radio igual a 0.27z, donde z es la profundidadde un punto A, bajo el centro del crculo, el esfuerzo en dicho punto ser:

z = 0.1wSi dividimos en 20 partes (puede ser ms si se quiere ms aproximacin) igualen en

crculo cada parte o segmento contribuye al esfuerzo z en la misma proporcin y vale:

ww 005.0201.0 = Por lo tanto si se quiere determinar el esfuerzo z a la profundidad para la cual se

dibuja la carta de Newmark, se coloca el punto donde se quiere determinar el esfuerzo en elcentro de la carta (en el punto del rea cargada) y se cuenta el nmero de segmentos N quecubre dicha rea. Por tanto el esfuerzo z debido a esa rea cargada con una carga wvale:

z = 0.005 * w * N

Manera de usar la carta de Newmark:a) Usando una sola carta de Newmark para determinar z a diferentes profundidades.

Ejemplo: Si tenemos un edificio de 10m * 20m de rea con una carga w y construimos lacarta de Newmark con z = 5cm, se tienen que dibujar varias plantillas del rea cargada adiferentes escalas, tal que la z de la carta represente las profundidades a las cualesqueremos determinar z de acuerdo con la siguiente tabla:

Profundidad (m): 1 2 3 10 20Escala Plantilla: 1:10 1:20 1:30 1:100 1:200



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b) La segunda manera es usando varias cartas de Newmark y una sola plantilla.Ejemplo: Plantilla a una escala 1:100. z en metros para la carta de Newmark

z (m) Carta de Newmark: 1cm 2cm 3cm 5cm 10cm Z (m) Profundidad: 1m 2m 3m 5m 10m

Existen otras teoras que se pueden emplear dependiendo de las hiptesis que serealizaron en su obtencin, es decir, dependiendo del tipo de suelo que se tenga.

b.1.2.10)TEORA O SOLUCIN DE WESTERGAARD:La frmula de Westergaargd nos sirve para encontrar el esfuerzo vertical debido a la

accin de una sola carga vertical concentrada superficialmente, actuante sobre un mediosemi-infinito, lineal, pero que tenga totalmente restringida su deformacin horizontal y suexpresin es:

( )222222 z k y x z

k P

z ++

=

Donde:

( )

=12

21k

Donde: = Relacin de Poisson.

Para = 0

322

21

11

+

=

z r

z P

z

Iwd

Iw z P

z 2=

Donde:Iw = Valor de influencia de Westergaard.

32

21

11

+

=

z r

Iwd

Los suelos que cumplen con esta condicin son los suelos compresibles (blandos)que contienen finos estratos de arena o limos alternados con otros de arcilla, es decir, suelosestratificados.



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FIGURA

Arena Arcilla

Limo

Se pueden realizar extensiones de esta teora para diferentes condiciones de estacarga y trazar las cartas de influencia.

b.1.2.11)TEORA O SOLUCIN DE FRHLICH:

La solucin de Frhlich considera el mdulo de deformacin disminuyendo con la profundidad, lo cual ocurre en las arenas.

22 cos2= x x

z P

z

Ifh

Ifh z P

z 2=

El Dr. Leonardo Zeevaart agrupa todas las soluciones en una sola ecuacin:

+

=

22

2

1

12

x

z r

x I

Si = 1.5 Solucin de Westergaard.Si = 2 Suelo estratificado, caso Cd. Mxico.Si = 3 Solucin de Boussinesq.Si = 4 Solucin de Frhlich, caso arenas.Si = 5 Solucin, caso arenas muy compactas.



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3

2

1

122

+

=

z r

Ifh

b.1.2.12)TEORA DE MINDILIN: FIGURA

z

A

Pz

Mindilin determin la distribucin de esfuerzos en la masa de un suelo para cuandoel punto de aplicacin de la carga est dentro del medio a una profundidad z. De loanterior se desprende que las soluciones o teoras vistas anteriormente son un caso

particular de este problema.

Ejemplo 1: Determinar el esfuerzo que produce una carga concentrada de 15 Ton.Actuando en la superficie del medio a una profundidad de 6m.

a) Utilizando la frmula de Boussinesq. b) Usando la frmula de Westergaard.Solucin:a) Boussinesq:

25

22

1

123

+

=

z r z

P z

Como r es bajo la carga r = 0



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25

22

1

12315

+

=

z r z

z

z = 0.199 Ton/m 2

b) Westergaard:

322

21

12215

+

=

z r z

z

z = 0.133 Ton/m 2 Ejemplo 2: Una cimentacin de 10m * 20m soportar una carga uniforme de 10 Ton/m 2 (10 pisos) Calcular las presiones verticales en una esquina (A), en el centro (B) y en el

punto (C), a profundidades de 0, 10, 20, y 30m. Utilizar la solucin de Boussinesq.

FIGURAS

A

CB

10m

10m20m

PUNTOPROF.N.T.N. PROF. Z m n

W(t/m 2)

w o z(t/m 2)

(m) (m) (x/z) (y/z) w * w o A 0 0 10 0.250 2.50

x = 20m 10 10 2.00 1.00 10 0.200 2.00y = 10m 20 20 1.00 0.50 10 0.121 1.20

30 30 0.66 0.33 10 0.075 0.75 z = 4w * w o

B 0 0 10 0.250 10.0x = 10m 10 10 1.00 0.50 10 0.121 4.84y = 5m 20 20 0.50 0.25 10 0.047 1.88

30 30 0.33 0.17 10 0.023 0.92 z = 2w * w o

C 0 0 10 0.250 5.00x = 10m 10 10 1.00 1.00 10 0.175 3.50y = 10m 20 20 0.50 0.50 10 0.084 1.68

30 30 0.33 0.33 10 0.044 0.88



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PROBLEMAS PROPUESTOS:

1.- Calcular los esfuerzos a profundidades de 5, 10, 20 y 30 m bajo la carga deuna zapata cuadrada, suponiendo:

a).- Carga concentrada de 40 toneladas; b).- Carga uniforme de 10 t/m 2. Graficar los resultados obtenidos.

2 m 2 m

40 ton

2.- Un tanque circular de 10 m de radio y 9 m de altura se utiliza paraalmacenar petrleo y transmite al subsuelo una carga uniforme de 11 t/m 2.Calcular la distribucin de esfuerzos a profundidades de 5, 10, 15, 20, 25, 30,35 y 40 metros.

11 t/m 2

9 m

10 m



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