capitulo 05 intersecciones

GEOMETRÍA

DESCRIPTIVA

Segunda Edición

Geometría

Descriptiva

Autor:

Víctor Vidal Barrena

Universidad

Nacional de Ingeniería

CAPÍTULO

© 2014 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

5 INTERSECCIONES

Rectas y Planos


GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 2

INTERSECIONES

../ResisTMater/Beer/Teoría/Capitulo 5/contents.ppt



Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 3

4.1 INTERSECCIÓN DE RECTA CON PLANO.

Una recta interseca a un plano en un punto, que denominaremos “ Punto de Intersección ”.

En la figura siguiente se muestra a la recta MN que interseca al plano ABC en un punto de intersección I.

Existen dos métodos para

determinar el Punto de

Intersección:

Método de la vista de

Canto.

Método del Plano

Cortante.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 4

4.1.1 MÉTODO DE LA VISTA DE CANTO.

El Punto de Intersección se localiza en la intersección

de la Recta con la vista de Canto del Plano dado.

Existen dos casos:

Cuando se conoce la vista de Canto

Cuando no se conoce la vista de Canto.

1. CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO

La Intersección de la vista de Canto del Plano dado

con la Recta dada determinan el punto de

Intersección.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 5

1. CUANDO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO.

En la figura se

muestra las proyecciones

horizontal y frontal de la

Recta oblicua MN y al

Plano vertical ABC. Hallar

el Punto de Intersección

entre la Recta MN y el

Plano ABC




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 6


En la figura mostrada

y en la proyección

horizontal, la Recta

oblicua MN se corta con

la vista de canto del

Plano vertical ABC;

siendo P el Punto de

Intersección entre la

Recta MN y el Plano

ABC .




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 7


Visibilidad: en la

proyección frontal, cruce

de las rectas AC y MP, en

la vista horizontal AC se

encuentra delante de MP;

por lo tanto en el plano

frontal la recta AC es

visible y MP es visible

hasta que encuentre a la

recta AC, pasa por debajo

del Plano ABC, y sale

visible a partir del Punto

de Intersección P.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 8

2. CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO

Para determinar el Punto de

Intersección entre una Recta y un

Plano, debemos proyectar al Plano

dado de Canto; en este plano de

proyección el plano de filo se corta

con la Recta dada; siendo el punto de

corte el Punto de Intersección.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 9


En la figura

mostrada se presenta

las proyecciones

horizontal y frontal de

la Recta oblicua MN y

del Plano vertical ABC;

Hallar el Punto de


Recta MN y el Plano

ABC




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 10


Trazar en el

plano ABC la

recta horizontal

AQ, tal como se

observa en la

figura

mostrada.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 11


Trazar el plano de

elevación H1 perpendicular

a la recta horizontal AQ del

Plano ABC; en este plano

de proyección el plano dado

se proyecta de canto.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 12


En el plano de

elevación H1 la recta MN

y el Plano de canto ABC,

se cortan en el punto P;

siendo este punto el

“punto de intersección

buscado, la que

proyectamos a sus planos

principales.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 13


Proyectar el punto de

intersección P al plano

horizontal hasta cortar a

la recta MN; desde este

punto trazar su línea de

referencia hacia el plano

frontal hasta encontrar el

punto P en la recta MN.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 14


Visibilidad: En H:

cruce de las rectas AB y

MP, en el plano frontal

observamos a MP arriba

de AB, luego MP es visible

en el plano horizontal. En

F: cruce de las rectas BC y

NP, en el plano horizontal

encontramos a NP delante

de BC, luego NP es visible

en el plano frontal.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 15

4.1.2 MÉTODO DEL PLANO CORTANTE.

El Punto de Intersección entre

una Recta y un Plano esta situado

sobre la recta de intersección del

Plano dado y un Plano Cortante que

contenga a dicha Recta.

El Plano Cortante se traza en el

plano Horizontal o Frontal.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 16


En la figura

mostrada se dan las

proyecciones horizontal

y frontal de la recta

oblicua MN y del Plano

ABC. Hallar el Punto de


Recta MN y el Plano

ABC .




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 17


En el plano

horizontal trazar

el plano cortante

PC de canto y que

contenga a la

Recta oblicua MN.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 18


El plano

cortante de canto

PC corta a las

aristas AB y AC del

Plano ABC, en los

puntos D y E

respectivamente.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 19


Los puntos D y

E la proyectamos al

plano frontal y en sus

aristas

correspondientes;

unimos estos puntos, y

esta recta se corta con

la recta MN en el

punto de intersección

P.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 20


Proyectar al

punto de

intersección P,

desde el plano

frontal hacia el

plano horizontal,

hasta encontrar a la

recta MN.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 21





Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 22





Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 23





Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 24

4.2 INTERSECCIÓN DE PLANOS.

La Intersección de dos Planos que no

son paralelos, es una Línea recta llamada “

Recta de Intersección ”, que contiene todos

los puntos comunes entre los dos Planos.

Se presentan dos tipos de intersecciones:




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 25

1. POR PENETRACIÓN




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 26

2. POR MORDEDURA




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 27

MÉTODOS

Existen tres métodos para

determinar la Recta de Intersección.

Método de la Vista de Canto.

Método de los Puntos de Penetración.

Método del Plano Cortante.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 28

4.2.1 MÉTODO DE LA VISTA DE CANTO.

Este método se usa para Planos

Limitados y se conoce como el método del

Plano Auxiliar.

Existen dos Casos.

Cuando se conoce la Vista de Canto

Cuando No se conoce la Vista de Canto.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 29


En la figura mostrada

se presenta las

proyecciones horizontal

y frontal del Plano

vertical ABCD y el

Plano oblicuo RST,

Hallar la Recta de

Intersección PQ entre el

Plano vertical ABCD y

el Plano oblicuo RST.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 30





Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 31





Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 32

F

F

F

F

H

H

H

H

H

Q

H

Q

Q

H

H

P

P

P

A

B

C

P

A

B

C

P

A

B

C

1

H

H

F

1

R

T

R

S

T

R

S

T

1

1

1

11

1

1

1

1

F

FF

F

4.2.2 CUANDO NO SE CONOCE LA VISTA DE CANTO.

Para determinar la recta

de intersección entre dos

planos oblicuos debemos

trazar un plano auxiliar que

muestre ambos planos, uno

de ellos de canto; luego

este plano de canto corta al

otro plano en dos puntos,

determinando así la recta

de intersección.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 33

Se determina el punto de perforación donde una recta de uno

de los planos atraviesa al otro plano. Usando el mismo método

hallamos un segundo punto de perforación. Al unir estos dos

puntos de penetración determinan la recta de intersección entre

los dos planos.

B

C

RS

T

Y

U

V

1

2

2

3

4

4 PC-I

PC-II

3

1

4.2.3 MÉTODO DE LOS PUNTOS DE PENETRACIÓN.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 34

Se determina el punto de

perforación donde una

recta de uno de los

planos atraviesa al otro

plano. Usando el mismo

método hallamos un

segundo punto de

perforación. Al unir estos

dos puntos de

penetración determinan la

recta de intersección

entre los dos planos.

B

C

RS

T

Y

U

V

1

2

2

3

4

4 PC-I

PC-II

3

1

4.2.3 MÉTODO DE LOS PUNTOS DE PENETRACIÓN.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 35

1A

B

C R

S

T1

23

P

1A

B

C R

S

T

1

23

A

B

C

R

S

T2

3

45

6

PC-I

PC-II

456

F

H

P

Q

P

Q

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

Plano cortante

Dos planos oblicuos son cortados por un plano cortante según una

línea recta, que se intersecan en un punto común a ambos planos.

Similarmente un segundo plano cortante localiza otro punto común a

ambos planos. Estos dos puntos comunes al unirse por una recta,

determina la recta de intersección de los dos planos.

4.2.3 MÉTODO DE LOS PLANOS ILIMITADOS.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 36

1A

B

C R

S

T1

23

P

1A

B

C R

S

T

1

23

A

B

C

R

S

T2

3

45

6

PC-I

PC-II

456

F

H

P

Q

P

Q

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

H

F

Plano cortante

Dos planos oblicuos son

cortados por un plano

cortante según una línea

recta, que se intersecan

en un punto común a

ambos planos.

Similarmente un

segundo plano cortante

localiza otro punto

común a ambos planos.

Estos dos puntos

comunes al unirse por

una recta, determina la

recta de intersección de

los dos planos.

4.2.3 MÉTODO DE LOS PLANOS ILIMITADOS.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 37

Hallar la intersección de la recta LM con el plano TBCE, sin

utilizar planos auxiliares. Mostrar la visibilidad.

L(6,3,16) , M(6,9,12) ,

T(2,8,15) , B(8,8,15) , C(8,4,11) , E(2,4,11)

PROBLEMA 4.1.

1) Graficar los puntos dados según sus coordenadas indicadas.

2) Completar la proyección horizontal del rectángulo horizontal

ABCD; trazando AD paralelo a BC, y DC paralelo a AB.

Procedimiento:




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 38

PROBLEMA 4.1: PROCEDIMIENTO

1) Trazar el plano cortante PC-I, y que pase por la recta MN

proyectada de punta en el plano horizontal; este plano cortante

corta al plano ABCD en los AD y BC, siendo los puntos de corte 1

y 2 respectivamente; las cuales la proyectamos al plano frontal,

unimos estos puntos y se cortan con la recta MN en el punto de

intersección I.

2) En el plano frontal y desde el punto B trazamos el plano cortante

PC-II, tal que pase por la recta PQ proyectada de punta; este

plano cortante corta al plano horizontal ABCD en B y 3, estos

puntos la proyectamos al plano horizontal y al unir B y 3, corta a

la recta PQ en el punto de intersección Y.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 39

PROCEDIMIENTO

5) Visibilidad en H; el cruce de

las rectas de las rectas PY y BC

en el plano frontal, BC está

arriba y PY está debajo; por lo

tanto es visible BC en el plano

horizontal.

6) Visibilidad en F: el cruce de

las rectas MI con BC, en el

plano horizontal MI esta

delante y BC está detrás; por lo

tanto es visible MI en el plano

frontal.

H

F

AH

BH

AF DF

NF

CF

MF

BF

CH

PH

MH

NH

DH

QH

QF

PF

PC-I

1

2

PC-II 3

3

1

2

IF

IH

YF

YH




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 40

EH

EF

LF

CF

TF

MF

BF

CH MH

BH TH

LH Procedimiento

6) Visibilidad en F: el cruce

de las rectas TB y EM; desde

punto de cruce trazamos una

perpendicular hacia el plano

horizontal y encontramos

primero a EM; por lo tanto es

visible EM en el plano

frontal; luego ML es visible

hasta el punto de intersección

I, como MI después sigue

invisible y sale visible cuando

pasa la recta EC.

PC I

1

2

3

4

H

F

1

2

3

4

PF

PH IH

IF

1°, 2°

2°

1°




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 41

Se dan las proyecciones principales de la recta MN y el

plano oblicuo ABC. Hallar el punto de intersección. M(4, 7.5, 15.), N(4, 2, 9)

A(2, 6, 9), B(4, 3, 14), C(8, 7.5, 13)

PROBLEMA 4.2.

H

NH

CH

BH

AH

CF

BF

AF

MF

NF

13

9

7.5

6

3

2

2 4 8

15

14




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 42

Problema.4.2: H

NH

CH

BH

AH

CF

BF

AF

MF

NF

13

9

7.5

6

3

2

2 4 8

15

14




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 43

SOLUCION.- CON VISTA AUXILIAR

MH

NH

CH

BH

AH

CF

BF

AF

MF

NF

13

9

7.5

6

3

2

2 4 8

15

14C1

1

C1

M

M

1

1

I1

IH

IF

H

F

H

1

SOLUCION




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 44

SOLUCION.- SIN VISTA AUXILIAR

MH

NH

CH

BH

AH

CF

BF

AF

MF

NF

13

9

7.5

6

3

2

2 4 8

15

14

IH

IF

H

F

SOLUCION

SIN VISTA

AUXILIAR

1

1

2

3

4

4

3

2

PC




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 45

Hallar la intersección de la recta MN con el

plano ABC. Mostrar la visibilidad. M(2.5, 5 , 12), N(6.5, 2.5, 8.5).

A(1, 3 , 8), B(7, 4, 10). C(5, 15, 11).

PROBLEMA 4.3:

HF

2.5

5

HA

5

A

FC

2.5

12

FM

MH

6.5

8.5

FN

NH

AH

AF

8

3

1

10

4

7

B H

BF

1.5

11 HC

FC

GRAFICO DE

LOS PUNTOS




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 46

PASO 1

HF

2.5

5

HA

5

A

FC

2.5

12

FM

MH

6.5

8.5

FN

NH

AH

AF

8

3

1

10

4

7

B H

BF

1.5

11 HC

FC

GRAFICO DE

LOS PUNTOS




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 47

PASO 2

FM

MH

FN

NH

AH

AF3

B H

BF

HC

FC

HX

HY

YF

XF

2.5

5

5

92.5

12

6.5

8.5

8

1

10

4

7

1.5

11

PASAMOS UN

PLANO

VERTICAL POR

LA RECTA MN

QUE CORTA AL

PLANO ABC EN

X e Y




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 48

PASO 3

FM

MH

FN

NH

AH

AF

B H

BF

HC

FC

HX

HY

YF

XF

I F

2.5

5

5

9

12

6.5

8.5

8

3

10

4

7

1.5

11

2.51

UNIMOS X e Y.

DONDE CORTA

A LA RECTA MN

ESTA EL PUNTO

DE

INTERSECCION.

I.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 49

PASO 4

FM

MH

FN

NH

AH

AF

B H

BF

HC

FC

HX

HY

YF

XF

I F

HI

2.5

5

5

92.5

12

6.5

8.5

8

3

1

10

4

7

1.5

11

SE LLEVA EL

PUNTO I DE

INTERSECCION

AL PLANO

HORIZONTAL Y

SOBRE LA

RECTA MN.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 50

PASO 5

FM

MH

FN

NH

AH

AF3

B H

BF

HC

FC

HX

HY

YF

XF

I F

HI

2.5

5

5

92.5

12

6.5

8.5

8

1

10

7

1.5

11

MN ARRIBA VIS EN H.

AC DEBAJO INV EN H.

VISIBILIDAD EN EL PLANO

HORIZONTAL

CRUCE DE LA RECTA AC Y MN

4




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 51

PASO 7-SOLUCION FINAL

FM

MH

FN

NH

AH

AF3

B H

BF

HC

FC

HX

HY

YF

XF

I F

HI

CF

NF

AF

HA

H

MF

FI

FB

NH

HM

C

I

H

HB

2.5

5

5

9

12

6.5

8.5

8

1

10

4

1.5

11

2.5

SOLUCION COMPLETA

SOLUCION

SOMBREADA

7




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PROBLEMA 4.4.

Hallar la intersección de la recta MN y el plano ABCD .




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


SOLUCION: PASO 1.-

DE LOS EXTREMOS DE LA

RECTA MN. SE FORMA UN

PLANO CON CUALQUIER

VERTICE DEL PLANO,

FORMAR EL PLANO MND, Y

,TRAZAR EL PLANO

CORTANTE . QUE CORTA AL

PLANO ABCD, EN 1 Y 4, Y AL

PLANO MND EN 2 Y 3.

PROYECTAR AL PLANO

FRONTAL,Y UNIR 1,4 Y 2,3 ,

POR EL PUNTO DE CORTE Y

DESDE EL VERTICE D, SE

PROYECTA LA RECTA HASTA

CORTAR A LA RECTA MN EN

EL PUNTO I, PEDIDO.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 2.-

DESDE EL

VERTICE D. SE

TRAZA UNA

RECTA QUE

PASE POR EL

CORTE DE LA

RECTAS 1,4 Y

2,3. HASTA LA

RECTA MN EN I

, LUEGO SE

PROYECTA AL

PLANO

HORIZONTAL

EN MN.

Se llevan los

puntos a la vista

frontal y se unen

1,4 con 2,3

cortándose en

un punto desde

donde se pasa

una recta desde

el vértice hasta

que corte ala

recta MN en I.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


VISIBILIDAD EN EL PLANO HORIZONTAL.

SE TOMA EL CRUCE

ENTRE LA RECTA 1,4

CON MI, SE OBSERVA

QUE MI ESTA DEBAJO ,

Y 1,4. ARRIBA

ENTONCES DE M

HASTA I ES INVISIBLE

EN EL PLANO

HORIZONTAL.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


VISIVILIDAD EN EL PLANO FRONTAL.

SE TOMA UN CRUCE

DE LA RECTA 1,4 Y MI

EN EL PLANO

FRONTAL.

DENOTANDO QUE 1,4

ESTA DELANTE Y MI

DETRAS. ENTONCES,

MI ES INVISIBLE EN EL

PLANO FRONTAL.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


Solución completa




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 58

Se dan las proyecciones principales de los planos

ABCD y PQR . Hallar la intersección y mostrar la

visibilidad.

A(9, 2.5, 16), B(9, 7 , 12), C(2, 9.5, 14.5), D(2, 5 , 18.5)

P(2, 2.5, 12), Q(4.5, 9.5, 18), R(11, 6, 15).

PROBLEMA 4.5:

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

RF

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

GRAFICO DE LOS

PUNTOS




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 59

PASO 1

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

RF

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

GRAFICO DE LOS

PUNTOS




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 60

PASO 2

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

RF

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

UNIR LOS

PUNTOS PARA

FORMAR LOS

PLANOS ABC. Y

PQR




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 61

PASO 3

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

RF

12

3

4

4

3

1

2

i

i

PC-1

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

SE TRAZA EL

PLANO

CORTANTE 1

PARA OBTENER

EL PRIMER

PUNTO DE PASO

DE LA RECTA DE

INTERSECCION




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 62

PASO 4

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

R F

12

3

4

4

3

1

2

PC-1

i

i

6

7

5

8

6

7

8

6

5

i

i

PC-2

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

SE TRAZA EL

PLANO

CORTANTE 2

PARA OBTENER

EL SEGUNDO

PUNTO DE PASO

DE LA RECTA DE

INTERSECCION




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 63

PASO 5

6

BF

FC

CH

AH

FA

7

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

R F

12

3

4

4

3

1

2

PC-1

i

i

6

7

5

8

6

7

8

6

5

i

i

PC-2

F

H

H

F

2.5

1194.5

12

8.5

16

2

9.5

14.5

18.518

15

5

SE UNEN LOS

PUNTOS DE PASO

Y SE OBTIENE LA

RECTA DE

INTERSECCION II'




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 64

PASO 6

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

R F

12

3

4

4

3

1

2

PC-1

i

i

6

7

5

8

6

7

8

6

5

i

i

PC-2

F

H

H

F

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

CRUCE DE PR y BC

BC ARRIBA VIS EN H

PR DEBAJO INV EN H

VISIBILIDAD EN

EL PLANO

HORIZONTAL




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 65

PASO 7

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

RF

12

3

4

4

3

1

2

PC-1

i

i

6

7

5

8

6

7

8

6

5

i

i

PC-2

F

H

H

F

CRUCE DE PR y AD

AD DETRAS INV EN F

PR DELANTE VIS EN F

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

VISIBILIDAD EN

EL PLANO

FRONTAL




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 66

PASO 8

BF

FC

CH

AH

FA

B H

DH

FD

FP

HP

HQ

Q F

RH

RF

12

3

4

4

3

1

2

PC-1

i

i

6

7

5

8

6

7

8

6

5

i

i

PC-2

F

H

H

F

2.5

1194.5

12

8.5

16

6

2

7

9.5

14.5

18.518

15

5

SOLUCION

COMPLETA




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


4 - 67

PASO 9.-SOLUCION FINAL

PF

F

DF

AF

F

RF

BF

P H

CF

HC

H

DH

HR

Q F

H

B H

QH

AH

D

C

C

P

D

FP

R

AF

F

F

F

FB

F

H

QF F

H

H

B H

H

H

HQ

A

H

RH

PF

AF

DF

F

F

BF

C

FC FQ

P H

H

B H

H

HDHQ

H

AH

FR

RH

SOLUCIONES SOMBREADAS




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


Determinar la intersección de los planos ABCD-

PQR. Mostrar la visibilidad del conjunto.

A(9, 2.5, 16), B(9, 7, 12), C(2, 9.5, 14), D(2, 5, 18)

P(4.5, 9.5, 19), Q(4.5, 2.5, 12), R(12, 6, 15).

PROBLEMA 4.6:

14

9

2.5

AF

BH

BF

12

7

9.5

CH

FC

2

FD

5

DH

HA

4.5

RH

FR

15

12

HS

HT

FT

SF

18

19

16

6

4 - 68




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


SOLUCION. GRAFICO DE LAS COORDENADAS

14

9

2.5

AF

BH

BF

12

7

9.5

CH

FC

2

FD

5

DH

HA

4.5

RH

FR

15

12

HS

HT

FT

SF

18

19

16

6

4 - 69




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


SOLUCION.

14

9

2.5

AF

BH

BF

12

7

9.5

CH

FC

2

FD

5

DH

HA

4.5

RH

FR

15

12

HS

HT

FT

SF

PC

-1

PC

-21

2

3

4

13

4

2

5

6

7

8

58

6

7

IFFI´

IH́

HI

18

19

16

6

4 - 70




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PROBLEMA 4.7:

Hallar la intersección entre los cuadriláteros TBCE

y PQRS, sin utilizar vistas auxiliares.

4 - 71




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


SOLUCION. Paso 1.- Se trazan planos cortantes

SE TRAZA DOS PLANOS CORTANTES,

CADA UNO DE ELLOS NOS DA UN

PUNTO DE PASO DE LA RECTA DE

INTERSECCION.

PLANO CORTANTE 1 .

CORTA AL PLANO TBCE.

EN EL PUNTO 1 Y 4 .

Y AL PLANO PQRS. EN LOS

PUNTOS , 2 Y 3.

EL PLANO CORTANTE 2, CORTA AL

PLANO TBCE. EN 5 Y 8, Y AL PLANO

PQRS EN 6 Y 7.

4 - 72




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO.-2

SE UNEN LOS PUNTOS 2 Y 3 DEL

PLANO PQRS. Y LOS PUNTOS 1 Y 4 DEL

PLANO TBCE. DEL MISMO MODO 5 Y 8

DEL PLANO TBCE. Y LOS PUNTOS 6 Y 7

DEL PLANO PQRS.

SE UNEN Y SE PROYECTAN LOS

CRUCES DE LAS RECTAS 1,4 Y 2,3

CON EL CRUCE DE 6,7 Y 5,8 EN

CONTRANDO LA RECTA DE

INTERSECCION DE LOS PLANOS

4 - 73




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 3.-Tenemos la recta de intersección

PARA HALLAR LA RECTA DE

INTERSECCION EN EL PLANO

HORIZONTAL SE LLEVA LOS

PUNTOS , i . DE CORTE A SU

PLANO CORTANTE,

PROYECTANDO LA RECTA DE

INTERSECCION EN EL PLANO

HORIZONTAL.

4 - 74




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 4. Visibilidad en el plano horizontal

TOMAMOS EN EL

PLANO HORIZONTAL

EL CRUCE ENTRE LA

RECTA 1,4. CON PQ. Y

PROYECTAMOS AL

PLANO FRONTAL

NOTAMOS QUE PQ

,ESTA DEBAJO Y 1,4

ESTA ARRIBA ,

ENTONCES PQ ES

INVISIBLE EN EL

PLANO HORIZONTAL.

TOMAMOS EN EL

PLANO FRONTAL EL

CRUCE ENTRE LAS

RECTAS SR, CON

5,8., SE PROYECTA

AL PLANO

HORIZONTAL I

NOTAMOS QUE SR.

ESTA DELANTE,

ENTOCES SR , ES

VISIBLE EN EL

PLANO FRONTAL.

4 - 75




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 5.-Visibilidad.

SOLUCION

COMPLETA. POR

PENETRACION.

4 - 76




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


SOLUCION FINAL SOMBREADA.

4 - 77




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PROBLEMA 4.8:

Determinar la intersección de los planos ABCD y

PQR. Mostrar la visibilidad de la intersección.

4 - 78




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PROBLEMA 4.8: SOLUCION

PASO 1.- Trazamos planos cortantes como el caso anterior

4 - 79




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 2.-Unimos los puntos y trazamos la recta de intersección

4 - 80




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 3.- Analizamos la visibilidad . En el plano horizontal

4 - 81




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 4.- Analizamos la visibilidad en el plano horizontal

RESULTADO

4 - 82




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO. 5.-Analisamos la visibilidad en el plano frontal.

PARA LA

VISIBILIDAD EN EL

PLANO FRONTAL

ESCOJEMOS UN

CRUCE DE UNA

RECTA DE CADA

PLANO. EN PLANO

FRONTAL

4 - 83




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO. 6.-

SOLUCION FINAL.

4 - 84




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 7.-

SOLUCION SOMBREADA.

4 - 85




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 8.-

SOLUCION SOMBREADA.

SOMBREADO FINAL

CASO POR MORDEDURA POR

ESTAR LOS PUNTOS DE

INTERSECCION UNO EN CADA

PLANO.

4 - 86




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PROBLEMA 4.9:

4 - 87

Hallar la intersección y visibilidad entre los planos ABC y PQR.




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


SOLUCION.- PASO1

METODO DEL PUNTO

DE PENETRACION. SE BUSCA UNA RECTA

DE UNO DE LOS PLANOS

QUE PENETRE AL OTRO

PLANO. DEL MISMO

MODO SE BUSCA EL

OTRO PUNTO,

ENCONTRANDO LA

RECTA DE

INTERSECION.

LA BUSQUEDA ES POR

INSPECCION. NOTAMOS

AB, CORTA AL PLANO

ESTAS EN EL PLANO

FRONTAL NO CORTA A LA

RECTA AB. PASAMOS A

BUSCAR OTRA RECTA.

4 - 88




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 2.-

POR INSPECCION

TOMAMOS LA

RECTA PQ , DEL

PLANO PQR. QUE

CORTA AL PLANO

ABC. EN XY,

LUEGO SE

PROYECTA AL

PLANO FRONTAL Y

SE UNEN,

NOTAMOS QUE LA

UNION XY, CORTA

A LA RECTA PQ EN

I ENCONTRANDO

EL PUNTO DE

INTERSECCION.

4 - 89




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 3.-

DEL MISMO MODO

TOMAMOS LA

RECTA BC. QUE

CORTA AL PLANO

PQR. EN WZ. SE

PROYECTA AL

PLANO FRONTAL, Y

LA UNION DE WZ,

CORTA A LA RECTA

BC, EN I ,

ENCONTRANDO EL

OTRO PUNTO DE

INTERSECCION. LA

UNION DE ESTOS

NOS DA LA RECTA

DE INTERSECCION.

4 - 90




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 4.-

TENEMOS LA

RECTA II DE

INTERSECCION.

HALLAMOS LA

VISIBILIDAD.

4 - 91




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO.5.-

SE TOMA UN

CRUCE ENTRE

LAS RECTAS

AC-QR. DE CADA

PLANO, SE

PROYECTA UNA

RECTA AL PLANO

HORIZONTAL

ENCONTRANDO

PRIMERO LA

RECTA QR. QUE

SERA VISIBLE EN

EL PLANO

HORIZONTAL.

4 - 92




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 6.-

EN PLANO

FRONTAL , SE

TOMA EL CRUCE

ENTRE QR-BC. SE

LLEVA UNA RECTA

AL PLANO

HORIZONTAL Y SE

NOTA QUE QR

ESTA DELANTE

ENTONCES SERA

VISIBLE QR, EN EL

PLANO FRONTAL Y

BC ES INVISIBLE.

4 - 93




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 7.- SOLUCION POR MORDEDURA

4 - 94




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PROBLEMA 4.10.-

4 - 95




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


SOLUCION.- PASO 1.- EL METODO DE LA VISTA AUXILIAR

COMO LOS PLANOS ESTAN

FORMADOS POR RECTAS

ORTOPERFIL , YA ESTAN EN

V.M. EN PLANO HORIZONTAL

Y FRONTAL , SE PUEDE

LLEVAR DE CANTO LOS DOS

PLANOS , TRAZANDO EL

PLANO H1 PERPENDICULAR

A ESTAS RECTAS.

LA RECTA DE

INTERSECCION

SE UBICA EN

EL CORTE DE

LOS PLANOS

DE FILO

4 - 96




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 2.-

SE PROYECTA LA RECTA DE

INTERSECCION AL PLANO

HORIZONTAL CAENDO LOS

PUNTOS DE INTERSECCION

SOBRE LAS RECTAS , PS. y BC.

QUE EN EL PLANO FRONTAL SE

SE UBICAN CON LAS COTAS.

4 - 97




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 3.-

NOTAMOS QUE LAS RECTAS AB, EN

VISTA 1. DEL PLANO ABCD, ESTA MAS

CERCA AL PLANO H1. ENTONCES

SERA VISIBLE EN EL PLANO

HORIZONTAL, DEL MISMO MODO

PODEMOS DECIR DE LA RECTA RS

DEL PLANO PQRS , TAMBIEN SERA

VISIBLE POR ESTAR MAS CERCA AL

PLANO H1.

4 - 98




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO.4.-

DELANTE

DELANTE

LAS RECTAS RS Y CD

ESTAN DELANTE ,

OBSERVADAS EN VISTA 1,

POR LO TANTO SERAN

VISIBLES EN EL PLANO

FRONTAL .

4 - 99




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 5.-

SOLUCION FINAL POR

MORDEDURA

SOLUCION SOMBREADA

4 - 100




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PROBLEMA 5.11.

4 - 101

Hallar la intersección del plano JKL con el plano ABCD y

mostrar su visibilidad ; sabiendo que le plano JKL tiene

una orientación N34ºE y pendiente del 85%NO, y el plano

ABCD tiene una orientación S70ºO y pendiente del

110%SE. Resolver con vistas auxiliares.

J(7,4,10), K(8.5,1,-), (12,6,-);

A(13,3,13.5), B(9.5,7,-), C(6.5,5.5,-), D(10,1.5,-)




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 1.-




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 2.-




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 3.-




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 4.-




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


PASO 5.-




Se

gu

nd

a

Ed

ició

n


Solución sombreada por mordedura.-


capitulo 05 intersecciones

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