Cap. 3. BAZELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE

§ 3.1. TOPOLOGIE si MARIMI

3.1.1. TOPOLOGIA CIRCUITELOR

• latura: i = const.; (l);• latura: i = const.; (l);

• nod: (n);

• ochi (bucla, ciclu): (o);

• numarul de ochiuri independente:

o = l – n + 1

Retea electrica (a) si schema sa topologica (b)

3.1.2. CLASIFICAREA CIRCUITELOR

a) natura elementelor de circuit:-- liniare;

- neliniare..

b) regimul de functionare:

-- stationar (c.c.);

- cuasistationar (c.a.);

- nestationar (variabil).

c) legatura cu exteriorul:-- izolatete;;

-- neizolate: neizolate:

-- dipol (latura);

- cuadripol;

frecventa f = 0

c) legatura cu exteriorul:-- neizolate: neizolate: - cuadripol;

- multipol..

circuite liniare in regim cuasistationar

regim permanent sinusoidal

latura-- activa: e activa: e ≠ ≠ oo

-- pasiva: e = 0pasiva: e = 0

latura-- receptoare: preceptoare: pbb=u=ubb.i .i > 0 (> 0 (primitaprimita););

-- generatoare: pgeneratoare: pbb=u=ubb.i < 0 (.i < 0 (cedatacedata););

latura activa receptoare: latura activa receptoare: ↑i↑i ≡≡ ↑u↑ub b si ↑i si ↑i ≡≡ ↑e; u↑e; ubb + e = i.R+ e = i.R

Clasificarea laturilor: active (a, b, c); pasive ©; generatoare (a); receptoare Clasificarea laturilor: active (a, b, c); pasive ©; generatoare (a); receptoare

(b, c, d).(b, c, d).

RR

3.1.3. MARIMI SINUSOIDATE

NNω = constant;

B = constant;

α (t) = ω·t+γ

a) producere

)tcos(BAABf γ+ω=⋅=Φ

)tsin(E)tsin(NBAdt

dNe m

f γ+ω=γ+ωω=Φ

−=

Producerea t.e.m. sinusoidate

Marimea periodica i(t)

frecventa: f = 1/T [s-1] = [Hz]

pulsatia: ω = 2π/T = 2πf

b) caracterizare

perioada: T T [s]

Zk,)t(i)kTt(i ∈=+

00

Marimea periodica i(t)

0sau0dt)t(iT

1I

Tt

t

med

1

1

<≥= ∫+

0dt)t(iT

1I

Tt

t

21

1

≥= ∫+

valoarea medie patratica = valoare efectiva (eficace):

valoare medie:

valoarea indicata de aparatele de masura

);sin(Ii m γω += t

)tsin(I2i γ+ω=01331 <γ−γ=ϕ

00

00

mm I0,7072

II ⋅==

2

Idtγ)t(ωsinI

T

1dt(t)i

T

1I m

T

0

22

m

T

0

2 =⋅+⋅⋅=⋅= ∫∫

],( ππ−∈γ

],( ππ−∈ϕ•defazaj: φ12 = -φ21 = ;

Faze initiale si defazaje

•faza: [rad]

•faza initiala:

φ = 0: marimi in faza;

φ = π: marimi in opozitie de faza.

01221 >γ−γ=ϕ

01331 <γ−γ=ϕ

γtω +⋅

γ-γ 21

Problema 3.1.

Caracterizati sinusoida tensiunii de la priza monofazata, daca valoarea instantanee

are expresia u(t) = √2·220 sin(100π·t) [V].

γ)tsin(ωU2u(t) +⋅⋅=

U = 220[V];

Um= √2·220 =311[V].

ω = 100π = 314 [rad/s];

f = ω/2π =50 [Hz];

T = 1/f = 0,02 [s]

Tema 3.1:

1. Calculati frecventa si pulsatia unei marimi sinusoidale daca T = 20[ms].

2. Scrieti ecuatia si reprezentati sinusoida tensiunii u(t), daca T = 2[ms] si valoarea

maxima (de virf) Um = 331[V] este atinsa la t = 0,2[ms].

3. Demonstrati ca valoarea medie a marimilor sinusoidale este nula.

4. Scrieti expresia sinusoidei curentului electric, daca ampermetrul indica 2[A] iar

frecventmetrul 100[Hz]. Alegeti faza initiala a curentului sinusoidal egala cu un

sfert de perioada.

1j −=

γ=↔γ+ω= jeII)tsin(I2i

IImIReI 22 +=

c) reprezentare in complex

valoarea efectiva valoarea efectiva → modul→ modul

faza initiata faza initiata → argument→ argument

fazor: segment orientat atasat numarului complex I

) jsinγI(cosγeII jγ +=⋅=

Ie2Imi tjω=

)exp(j II γ=

+1

I

) jsinγI(cosγeII jγ +=⋅=

IRe

IImarctgγ =

Planul complex (planul Gauss).

+j

0

I

Problema 3.2.

π/3)tsin(ω4,24u(t) +⋅⋅=

2U4,24 =

j2,61,5)2

3j

2

13()

3

πjsin

3

π3(cose

2

4,24U 3

πj

+=+=+=⋅=

j2,61,5U +=

32,61,5U 22 =+=

π/3[rad]1,05[rad]601,5

2,6arctg

IRe

IImarctgγ 0 =====

γ

d) operaţii cu mărimi sinusoidale reprezentate in complex

ADUNAREA

)tsin(I2)tsin(I2)tsin(I2 2211 γ+ω+γ+ω≡γ+ω

2211

2211

cosγIcosγI

sinγIsinγIarctgγ

⋅+⋅⋅+⋅

=

)γcos(γI2IIII 2121

2

2

2

1 −⋅⋅++=

i = i1 + i2::

2122112211

jγ II)sinγIsinγj(IcosγIcosγIjIsinγIcosγIeI +=+++=+==

γ=γ+γ

γ=γ+γ

sinIsinIsinI

cosIcosIcosI

2211

2211

Adunarea marimilor sinusoidale

reprezentate in complex

AMPLIFICAREA CU UN SCALAR

IλeλI γ)tsin(ωI2λiλ jγ ⋅=⋅⇔+⋅⋅⋅=⋅

DERIVAREA

IjωeωI )2

πγtsin(ωIω2 γ)tcos(ωωI2

dt

di π/2)j(γ ⋅=⋅⇔++⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅= +

ππ

INTEGRAREA

jω

Ie

ω

I )

2

πγtsin(ω

ω

I2 γ)tcos(ω

ω

1I2dti π/2)j(γ =⇔−+⋅=+⋅−=⋅ −∫

j1j0) 2

πsinj

2

π(cose /2j =⋅+=⋅+=π

jj

1

e

1e

/2j

/2j- −=== ππ

00

Operatii cu marimi sinusoidale Operatii cu marimi sinusoidale

reprezentate in complexreprezentate in complex

derivare = amplificare cu scalarul ω & rotire cu π/2 [rad] = 900

integrare = amplificare cu scalarul 1/ω & rotire cu -π/2[rad] = -900

Avantajul operatiilor cu fazori:

transforma ecuatiile integro - diferentiale (functie de timp) in ecuatii algebrice (cu

numere complexe). R L C

u(t)

i(t)

uR uL uC

(t);u(t)u(t)uu(t) CLR ++=

i(t);R(t)uR ⋅= ;dt

diL(t)u L = ;dti

C

1(t)uC ∫ ⋅=

dtiC

1

dt

diLi(t)Ru(t) ∫ ⋅++⋅=

)]1

Lj(ω[R II1

jILjωIRU −⋅+=−⋅⋅+⋅=

Circuit RLC serie

)1

Lj(ωRZU

−⋅+==)]Cω

1Lj(ω[R II

Cω

1jILjωIRU

⋅−⋅+=

⋅−⋅⋅+⋅= )

Cω

1Lj(ωRZ

I

U

⋅−⋅+==

+j

0 φ<0

-j/ωC

jωL

Z

R

Semiplanul impedantei Z

+1

+j

0

Iφ U

UL=jωCI

UR=RI

Diagrama fazoriala

Inmultire cu fazorul I = I·ejγi

(amplificare cu I si rotire cu γi)

Problema 3.3.

Ce valoare indica ampermetrul, daca i1(t) = 3√2 sin(314t+π/3)[A]

si i2(t) = 5,65 sin(100πt+π/6)[A]. Scrieti expresia sinusoidei

curentului ce parcurge ampermetrul.

Rezolvare

• indentificind sinusoidele: I1= 3[A]; 1 = π/3[rad] si I2= 5,65/√2 = 4[A]; 2 = π/6[rad];

• fazorii curentilor:

γ γ

j2,6[A];1,5)2

3j

2

13()

3

πjsin

3

π3(cose3I 3

πj

1 +=+=+=⋅=

j2[A];3,46)2

1j

2

34()

6

πjsin

6

π4(cose4I 6

πj

2 +=+=+=⋅=

A

i1

i2

i

•prima teorema a lui Kirchhoff: i1 +i2 – i = 0; →

• i(t) = 6,76·√2 sin(314t+0,74)[A].

j2[A];3,46)2

j2

4()6

jsin6

4(cose4I2 +=+=+=⋅=

;III 0;III 2121 =+⇒=−+

6,76[A]4,64,96I 22 =+=0430,74[rad]

4,96

4,6arctgγ ===

[A]e6,76e6,76j4,64,96III0j43j0,74

21 ⋅=⋅=+=+=

Tema 3.2.

1. Determinati, cu ajutorul fazorilor, valoarea efectiva, faza initiala a curentului i = i1– i2 si

scrieti expresia valorii instantanee i(t), daca i1(t)= √2I1sin(ωt+π/3),

i2(t)= √2I2sin(ωt+2π/3) si I1 = 2I2 = 3[A].

2. Deduceti forma canonica in sinus a t.e.m. autoinduse in bobina cu inductivitatea L=3[mH]

parcursa de curentul i1(t) = 3√2 sin(314t+π/3)[A].

dipol pasiv

ek=0u

i

p

3.1.4. CARACTERIZAREA DIPOLULUI PASIV

• Caracterizare = cunoasterea valorii parametrilor electrici echivalenti;

• Parametri electrici pot fi determinati experimental prin incercari electrice

(mers in gol si scurtcircuit de proba).

uju eUU)tsin(U2u

γ=↔γ+ω=

iji eII)tsin(I2i

γ=↔γ+ω=

u

Dipol electric pasiv (receptor)

excitatie:

raspuns:

parametri dipolului:

?

- grupe de cite 2 parametri reali;

- parametri complexi.

a) Impedanţa Z şi defazaj φ

ππ−∈γ−γ=ϕ

Ω≥=

]rad[,2

,2

][,0I

UZ

iu

)tsin(Z

U2i u ϕ−γ+ω=

φ>0 – dipol cu caracter inductiv; φ=0

– dipol cu caracter rezistiv; φ<0 –

dipol cu caracter capacitiv.

b) Rezistenta R şi reactanta X

Ω<≥ϕ=

Ω≥ϕ=

][,0sau0sinZX

][,0cosZR

=ϕ

+=

R

Xarctg

XRZ 22

)R

Xarctgtsin(

XR

U2i u

22−γ+ω

+=

X>0 – dipol cu caracter inductiv; X=0

– dipol cu caracter rezistiv; X<0 –

dipol cu caracter capacitiv.

b) Rezistenta R şi reactanta X

Z

UI =ϕj)γj(γ

jγ

jγ

eZeI

U

eI

eU

I

UZ iu

i

u

⋅=⋅=⋅⋅

== −

Z = Z·ejφ = Z(cosφ +j·sinφ) = R + j X

c) Impedanţa complexa Z Nu este fazor ci operator complex

I → i(t)

Planul complex al fazorilor tensiune si curent (a) si semiplanele parametrilor impedanta

(b) si admitanta (c).

c) Admitanta Y si defazaj φ

−∈−=

≥==

[rad],2

π,

2

πγγ

[S]0,Z

1

U

IY

iuϕ)tsin(UY2i u ϕ−γ+ω=

d) Conductanta G şi susceptanta Bd) Conductanta G şi susceptanta B

<≥ϕ=

≥ϕ=

]S[,0sau0sinYB

]S[,0cosYG

−γ+ω+=G

BarctgtsinBGU2i u

22

=ϕ

+=

G

Barctg

BGY 22

jBGsinjYcosYYeeZ

1

Z

1

U

IY j

j−=ϕ−ϕ===== ϕ−

ϕ

YUI =

c) Admitanta complexa Y Nu este fazor ci operator complex

I → i(t)

Planul complex al fazorilor tensiune si curent (a) si semiplanele parametrilor impedanta

(b) si admitanta (c).

Problema 3.4.

Ce caracter (inductiv, capacitiv sau rezistiv) are dipolul electric caracterizat de

impedanta complexa Z = 3 + j4[Ω].

Solutie: Z = R +jX = 3 +j4; → R = 3; X = +4 >0 → caracter inductiv.

Problema 3.5.

Curent sinusoidal, de pulsatie ω = 2πf, frecventa f = 50[Hz] si valoare efectiva I =

2[mA], parcurge rezistorul de rezistenta R = 1500[Ω]. Sa se calculeze:

• valoarea instantanee a curentului: i(t)=√2·I·sin(ωt+α) = 2,83·10-3sin(314t+ α)[A];

• valoarea instantanee a tensiunii, la bornele rezistorului:

u(t)=R·i =√2·I·R·sin(ωt+α) = 4,24·sin(314t+ α)[V];u(t)=R·i =√2·I·R·sin(ωt+α) = 4,24·sin(314t+ α)[V];

• valoarea efectiva a tensiunii: U = R·I =1500·2·10-3 = 3[V].

Problema 3.6

Sa se calculeze curentul prin bobina de inductivitate L = 5[μH], alimentata la

tensiunea sinusoidala cu valoare efectiva de 3[V] si frecventa f = 20[kHz].

• valoarea instantanee a tensiunii : u(t) = √2·U·sin(ωt+α) = √2·3·sin(125,7·103t+α)[V];

• admitanta bobinei: YL= 1/ ZL= 1/ ω·L =1/(2πf·L) = 1,59[S];

• valoarea instantanee a curentului:

i(t) =√2·U·YL·sin(ωt+α - π/2) = √2·4,77·sin(125,7·103t+ α - π/2)[A].

Tema 3.3

1. Calculati impedanta complexa, impedanta si admitanta condensatorului cu

capacitatea C = 33[nF], la frecventa f = 100[Hz]. Se da X = -1/ωC.

2. Ce caracter are dipolul electric caracterizat de admitanta Y = 3 + j4[S]. Justificati

raspunsul.

)tsin(U2u uγ+ω=)tsin(I2i iγ+ω=

3.1.5. PUTERI ELECTRICE IN REGIM SINUSOIDAL

a) Puterea instantanee p(t)

)γtIsin(ω2)γtUsin(ω2i(t)u(t)p(t) =+⋅⋅+⋅=⋅=

dipol pasiv

ek=0u

i

p

Se dau:

Se definesc:

b) Puterea aparenta S

)γγtsin(2ωUI)γcos(γUI

)γtIsin(ω2)γtUsin(ω2i(t)u(t)p(t)

iuiu

iu

++⋅⋅−−⋅=

=+⋅⋅+⋅=⋅=

]VA[,0UYIZIUS 22 ≥===

•amplitudinea puterii instantanee;

•putere disponibila.

φ

S=UI

0

S

Puterea instantanee p(t), activa P si aparenta S.

]W[,0GUcosYUIRcosIZ

cosIUpdtT

1P

2222

Tt

t

1

1

≥=ϕ==ϕ=

=ϕ== ∫+

•P≥0 → absorbita;

•putere utila.

c) Puterea activa P

];[,cosS

Pkp −== ϕfactor de putere:

- factor de utilizare a puterii disponibile;

- caracterizeaza eficacitatea sistemului de distributie a energiei electrice;

- distribuitorul de energie doreste kP cit mai mare, adica kP →1.

[0,1];kP ∈

d) Puterea reactiva Q

]VAR[,0sau0BUsinYUIXsinIZ

PSsinIUQ

2222

22

<≥=ϕ==ϕ=

=−=ϕ=

•dipol inductiv: Q > 0, absoarbe putere reactiva;

•dipol rezistiv: Q = 0;

•dipol capacitiv: Q < 0, debiteaza putere reactiva.•dipol capacitiv: Q < 0, debiteaza putere reactiva.

22*jj***

22jj**

U)jBG(UYeUeUYUYU

I)jXR(IZeIeIZIIZIUS

uu

ii

+====

=+=====γ−γ

γ−γ

d) Puterea complexa S

jQPjSsinScoseSeIUeIUeIUS j)γj(γjγjγ*iuiu +=+===== −− ϕϕϕ

Nu este fazor ci operator complex

Semiplanul puterii complexe S.

0

>0

Problema 3.7.

Un motor asincron monofazat este alimentat la tensiunea de 220[V], frecventa

50[Hz]. Motorul este receptor inductiv, care poate fi reprezentat prin impedanta

complexa Z = R+jX = 42+j26[Ω]. Calculati puterile electrice absorbite de motor.Rezolvare

]; [ 49,42642XRZ 2222 =+=+=

4,45[A];49,6

220

Z

UI ===

516[var];4,4526IXQ 833[W];4,4542IRP 2222 =⋅=⋅==⋅=⋅=833P

Ω

0,85.980

833

S

Pcosk 980[VA];4,45220IUS P =====⋅=⋅= ϕ

Tema 3.4.

1. Aceeasi problema dar rezolvata in complex. Calculati si inductivitatea motorului.

2. Rezistorul cu R = 3[Ω], parcurs de un curent sinusoidal, disipa P = 675[W]. Care

este valoarea maxima a curentului si valoarea efectiva a tensiunii la bornele

rezistorului?

3. Ce caracter (rezistiv, inductiv sau capacitiv) are dipolul care absoarbe atit putere

activa cit si putere reactiva. Justificati raspunsul.

Problema 3.8.

O bobina reala cu rezistenta R = 6[Ω] si inductivitatea L = 15[mH] este alimentata cu

tensiunea u(t) = √2·24·sin(314t)[V]. Calculati parametrii electrici ai bobinei si puterile

electrice absorbite de aceasta.

Rezolvare:

• Valoarea efectiva, pulsatia, frecventa si faza initiala a tensiunii sint:

U = 24[V]; ω = 100π = 314[rad/s]; f = ω/2π = 50[Hz]; γu = 0.

• Reactanta: X=ωL= 100π·15·10-3 = 4,71[Ω], permite calculul impedantei si defajazului:

Z = (R2+X2)1/2 = 7,63[Ω]; φ = arctgX/R = arctg4,71/6 = 0,66[rad] = 380.

• Valoarea efectiva, faza initiala si expresia curentului absorbit:

I = U/Z = 24/7,63 = 3,13[A]; γi= γu- φ = -0,66[rad]; i(t) = √2·3,14·sin(314t-0,66)[A];

• Puterile activa si reactiva consumate de bobina:

P = R·I2 = U·Icosφ = 59,3[W]; Q = X·I2 = U·Isinφ = 46,6[var].

• Utilizind simbolurile complexe ale marimilor si parametrilor:

U = U·ejγu = 24[V]; I = I·ejγi = 3,14·e-j0,66 = 2,47-j1,94[A];

Z = Zejφ = R+jX = 6+j4,71[Ω];

S = Z·I2 = U·I* = 24(2,47+j1,94) = 59,3 + j46,6[VA].

Tema 3.5

1. Calculati impedanta si admitanta unui condensator de capacitate C =47[nF] la

frecventa f=100[kHz]. Repetati calculele pentru bobina cu inductivitatea

L=3,3[μH]. Calculati valorile maxime ale tensiunii la bornele acestor elemente

ideale de circuit parcurse de curentul sinusoidal de frecventa f si valoare efectiva I

= 5[mA].

2. La ce tensiune se poate alimenta un rezistor cu caracteristicile: P = 1[W] si R

=10[kΩ].

§ 3.2. ECUATIILE CIRCUITELOR ELECTRICE

3.2.1. TEOREMA LUI JOUBERT - latura

3.2.2. TEOREMELE LUI KIRCHHOFF – nod; ochi

3.2.3. TEOREMA CONSERVARII PUTERILOR - circuit3.2.3. TEOREMA CONSERVARII PUTERILOR - circuit

3.2.1. FORMA COMPLEXA A LEGII LUI OHM

Teorema lui Joubert; legea conductiei electrice, in regim

cuasistatianar, pentru o latura de circuit electric.

Latura activa si receptoare.

k k+1

kkkk ZIUE ⋅=+

);dt

diL(edlE

Γ

kkk∫ −+=⋅

∫ ⋅++⋅=+t

0k

k

kkkkkk dti

C

1

dt

diLiRue

∫∫ −⋅+⋅=−+=⋅t

0kk

Γk

kkkCR udtiC

1iRuuudlE

kk

k

kkk

k

kkkkkk ZI)]

ωC

1Lj(ω[RI

Cjω

IILjωIRUE ⋅=−⋅+=

⋅+⋅⋅+⋅=+

3.2.2. TEOREMELE LUI KIRCHHOFF

;0i(n)k

k∑∈

= 0iiii nk21 =−+−+

;0I(n)k

k∑∈

= 0IIII nk21 =−+−+

+Ik ↔ ik iese din nod

a) prima teorema - nod

b) teorema a doua - ochi Nod de circuit electric

;VVu 1kkk +−= ∑∈

=(o)k

k 0u

∑∈

=(n)k

k 0U

+Uk ↔ ↑uk ≡

↑o; +Ek ↔ ↑ek

≡ ↑o; +Ik ↔

↑ik ≡ ↑o;

kkkk ZIUE ⋅=+∑ ∑∈ ∈

=(o)k (o)k

kkk IZE

Ochi de circuit electric

APLICATIE

∑∈

−=−=(n)k

kkkBAAB )EIZ(UU∑∈

=+(n)k

kBA 0UU

∑∈

=(n)k

k 0U

kkkk ZIUE ⋅=+

Tensiunea intre doua noduri

3.2.3. TEOREMA CONSERVARII PUTERILOR

;0Ikj

j∑∈

= ;0Ikj

*

j∑∈

= ;0IVkj

*

jk∑∈

= ;0IVkj

*

j

n

1k

k∑∑∈=

= 0.I)VV(*

k1k

n

1k

k =− +=∑

0;IU*

k

l

1k

k =⋅∑=

0;Sl

1k

k =∑=

kkk jQPS +=

;jXRZ kkk += ∑∑ =l

2

kk

l*

kk IZIE

0Ql

1k

k =∑=

0Pl

1k

k =∑=

- se conserva atit puterile

active cit si cele reactive.

;jXRZ kkk += ∑∑== 1k

kk

1k

kk

Vk Vk+1

Latura activa si receptoare

§ 3.3. ELEMENTE DE CIRCUIT DIPOLARE

3.3.1. ELEMENTE ACTIVE (SURSE, GENERATOARE)

element activ (e ≠ 0)

pasiv (e = 0)

rezistor

bobina

condensator

3.3.2. REZISTOARE ELECTRICE

3.3.3. BOBINE ELECTRICE

3.3.4. CONDENSATOARE ELECTRICE

3.3.1. ELEMENTE ACTIVE (SURSE, GENERATOARE)

u =const.= e

i =const.= isc

u = e - R .iu = e - Rg.i

i = isc– u.Gg

Generator ideal de tensiune (a), ideal de curent (b) si scheme echivalente

ale generatorului real (c).

3.3.2. REZISTOARE ELECTRICE

a) rezistor liniar: R = const. ≠ f(u,i)

IRURiu =↔=

0X =

0R

Xarctg ==ϕR

I

UZR ==

R;R =Zindependenta

de frecventa

i u +ju

u(t) i(t)

Rezistor liniar in c.a.

R

UUYIRIZjQPS

22*22 ====+= P = R·I2 = U2/R; Q

= 0.

p = u·i

u

i

R

u

i0

+1

+j

φ = 0 U

I

a b c

ωt0

i

φ = 0

b) rezistor neliniar: R ≠ const. = f(u,i)

Rezistoare neliniare; a) -filament metalic; b) -termistor; c) -varistor; d) -dioda

semiconductoare; e) -dioda Zener; f)- dioda tunel.

culoarea

banda 1

banda 2

banda 3

banda 4banda 5

Negru 0 0 0 x 1

Maro 1 1 1 x 10 1%

Rosu 2 2 2 x 100 2%

Portocaliu

3 3 3 x 1,000

Galbe x

Utilizare:

• producerea locala a unei caderi de tensiune;

• transformarea energiei electrice in caldura.

Tehnologie:

• rezistoare chimice;

• rezistoare bobinate;

• rezistoare cu pelicula.

Marimi caracteristice:Galben

4 4 4x

10,000

Verde 5 5 5x

100,0000.50%

Albastru

6 6 6 x 1060.25%

Violet 7 7 7 x 1070.10%

Gri 8 8 8 x 1080.05%

Alb 9 9 9 x 109

Auriu x 0.1 5%

Argintiu

x 0.01 10%

Codul de culori pentru marcarea rezistoarelor electronice

Categorii de rezistoare:

• fixe;

• variabile;

• neliniare

Marimi caracteristice:

• puterea disipata;

• rezistenta;

• toleranta.

3.3.3. BOBINE ELECTRICE

a) bobina ideala (fara pierderi): L = const. ≠ f(Φ,i); R = 0.

inductivitate = inductanta: L = Φ/i; [H = Wb/A]

Rieu =+0R =

dt

diLe −=

ILjUdt

diLu ω=↔=

R =0;

X = +ωL;

φ = +π/2;

ZL= ωLLjωI

UZL ⋅==

• impedanta bobinei variaza liniar cu frecventa f;

• la f = 0 (c.c.) impedanta este nula (scurt-circuit). u(t) i(t) γu= 0

L

UjUYILjIZjQPS

22*22

ω==ω==+=

P = 0;

Q = ωL·I2 > 0; absorbita

• la f = 0 (c.c.) impedanta este nula (scurt-circuit).

ωt

φ=+π/22π

0

u

i

p = u·i

u

i

L

Φ

i0

+1

+j

φ = +π/2

U

I

a b c

Bobina electrica ideala in c.a. sinusoidal

γu= 0

b) bobina cu pierderi (reala): L = const. ≠ f(Φ,i); R ≠ 0.

- in rezistenta proprie PR; -

prin histerezis magnetic PH; -

prin curenti turbionari PT

pierderi

U =UR+UL=R.I+jωL.I

φ = π/2- α;

P = UIcosφ = PR+PH+PT

Zs= Rs+ jωLs

Scheme echivalente serie (a) si paralel (b) ale bobinei

reale.

α = unghi de pierderi.

;I

PR

2S =

.If2π

P-IUL

2

222

S ⋅⋅=

- metoda 3 aparate:

P[W]; U[V]; I[A]

Bobine fara miez ( cu aer):

• inductivitate perfect liniara;

• frecventa mare, care ar cauza pierderi exagerate in miez feromagbetic.• frecventa mare, care ar cauza pierderi exagerate in miez feromagbetic.

Bobine cu miez feromagnetic (inchis, sau cu intrefier):

• tola silicioasa sau otel electrotehnic: εr= 103 ÷ 105;

• intrefierul liniarizeaza caracteristica de magnerizare;

• utilizate la frecvente industriale (sute Hz): p1,0/50=1[W/kg].

Bobine cu miez ferimagnetic:

• ferite = materiale semiconductoare sinterizate: MeO Fe2O3;

• utilizate la frecvente mari si foarte mari (kHz ÷GHz).

3.3.4. CONDENSATOARE ELECTRICEa) condensator liniar (fara pierderi): C = const. ≠ f(q,u).

capacitate: C = q/u; [F = C/V]

dt

dq i =

uC q ⋅=const. C =

UCjIdt

duC

dt

dqi ω=↔==

2;

C

1X;0R

π−=ϕ

ω−==

Cω

1j

Cjω

1

I

UZC ⋅

−=⋅

==Cω

1ZC ⋅

=

• impedanta condensatorului variaza invers proportional cu frecventa;

• la frecventa nula (c.c.) impedanta condensatorului este infinita (intrerupere de circuit).

22*2

2 CUjUYC

IjIZjQPS ω−==ω

−==+=P = 0;

Q = -ωC·U2 < 0;debitata

Condensator liniar (fara pierderi)

• la frecventa nula (c.c.) impedanta condensatorului este infinita (intrerupere de circuit).

p = u·i

u

i

C

q

u0

+1

+j

φ = -π/2

U

I

a b c

ωt

ui

u(t) i(t)

φ =-π/2

γu=0

a) condensator real (cu pierderi): P ≠ 0; φ ≠ -π/2

- imperfectiunii dielectricului; -

polarizarii ciclice a dielectriculuipierderi datorate

I = IR+IC = U/RP+jωCP.U

φ = -π/2 + δ;

δ = unghi de pierderi.

Yp = 1/Rp +jωC

- metoda 3 aparate:

P[W]; U[V]; I[A]

Scheme echivalente serie (a) si paralel (b) ale

condensatorului real

;P

UR

2

P = .Uf2π

P-IUC

2

222

P ⋅⋅=

aplicatii incalzire dielectricatgδCUf2πsinδ cosδ

IUcosUI P 2C ⋅⋅⋅==⋅= ϕ

Clasificare dupa:

• geometria armaturilor: rulate, plane, tubulare, plachete;

• tipul dielectricului: aer, hirtie, ceramica, mica, oxid metalic (Al2O3; Ta2O5);

• domeniu de utilizare: electronica, electrotehnica, inalta tensiune.

Familii:

• fixe neelectrolitice: hirtie,impregnata, mica, film termoplastic (poliester,

policarbonat, polipropilena, poliester), sticla, ceramica, ulei, gaz comprimat;

• fixe electrolitice: oxid metalic, polarizate / nepolarizate;• fixe electrolitice: oxid metalic, polarizate / nepolarizate;

• variabile / ajustabile (trimer): aer, ceramica, film plastic;

• neliniare: diode varicap, folosite in automatizari.

tgδCUf2π P 2 ⋅⋅⋅=

d

AεεC r0 ⋅⋅

= ][W/m tgδfεε2πEV

Pp 3

0r

2 ⋅⋅⋅⋅⋅==

dEU ⋅=

- uscare materiale izolatoare (lemn, piese abrazive, textile etc.);

- lipire mase plastice;

- cuptor cu microunde.

Utilizari:

Incalzire dielectrica

Pierderi in dielectricul unui condensator (a).

Schema unei instalatii de incalzire dielectrica (b).

- cuptor cu microunde.

Element de circuit Rezistor Bobina Condensator

Ecuatia tensiunii functie de timp u = R·i u = L·di/dt u =1/C·∫i·dt

Ecuatia tensiunii in complex UR= R·I UL= jωL·I UC= I / jωC

Impedanta complexa Z = R + jX ZR= R ZL= jωL ZC= -j / ωC

Admitanta complexa Y = G - jB YR= 1/ R YL= -j / ωL YC= jωC

Defazaj φ φR = 0 φL = +π/2 φR = – π/2

Caracterizarea elementelor ideale de circuit

Impedanta Z ZR= R ZL= ωL ZC= ωL

Admitanta Y YR= 1/ R YL= 1 / ωL YC= ωC

Rezistenta R RR= R RL= 0 RC= 0

Reactanta X XR= 0 XL= +ωL XC= -1/ωC

Conductanta G GR= 1/ R GL= 0 GC= 0

Susceptanta B BR= 0 BL= -1 / ωL BC= +ωC

Putere complexa S = P + jQ SR= R·I2 + j0 SL= 0 + jωLI2 SC= 0 –

jωCU2

Factor de putere kP = cosφ cosφ = 1 cosφ = 0 cosφ = 0

Teme 3.6.

Problema 3.9.

Calculul parametrilor unei bobine reale.

Problema 3.10.

Care din valorile impedantelor de mai jos, caracterizeaza un condensator real si care

un condensator ideal: Z = 1 + j2[Ω], Z =1 - j2[Ω], Z = 1[Ω], Z = +j2[Ω], Z= - j2[Ω].

Justificati raspunsul.

Teme 3.6.

1. Reprezentati variatia rezistentei electrice cu frecventa pentru rezistor, bobina si

condensator.

2. Explicati comportarea bobinei si condensatorului in c.a. daca frecventa f→∞.

3. Care din valorile impedantelor de mai jos, caracterizeaza o bobina reala si care o

bobina ideala: Z=1+j2[Ω], Z= 1-j2[Ω], Z= 1[Ω], Z= +j2[Ω], Z= -j2[Ω]. Justificati

alegerea facuta.

4. Un condensator plan are caracteristicile: A=1[m2], d=5[mm] εr=2,5 si tgδ=10-3.

Care este capacitatea condensatorului şi pierderile în dielectricul său, dacă este

alimentat în c.a. cu U=1[kV] şi f=1[kHz]?