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CAPITOLO 7

TEORIA DELLA SIMILITUDINE 7.1 Introduzione

La similitudine è un concetto utilizzato in ambito ingegneristico, grazie al quale si descrive un sistema reale tramite un modello fisico in scala rispetto al sistema reale.

Le principali applicazioni del concetto di similitudine riguardano l'idraulica e l'ingegneria aerospaziale, in cui si effettuano delle prove inerenti alle condizioni di flusso dei fluidi utilizzando dei modelli in scala. Nel caso si voglia studiare l'aerodinamica di un modello, i collaudi vengono effettuati nella galleria del vento.

Grazie all'impiego di modelli in scala si possono studiare complessi problemi di fluidodinamica, anche quelli che non possono essere studiati tramite simulazioni numeriche al computer o tramite tecniche di calcolo. Spesso è conveniente oppure necessario usare modelli in scala ridotta rispetto all'originale, ma non sempre.

Mentre la geometria del modello può essere facilmente scalata, altre quantità, come la pressione, la temperatura, la velocità, e la natura del fluido, non sono immediatamente scalabili. La similitudine viene raggiunta quando le condizioni provate sono tali che il risultato dell'esperimento può essere applicato alla progettazione reale.

La Teoria della Similitudine ha principalmente i seguenti utilizzi:

• studiare complessi problemi di fluidodinamica; • estendere i risultati ottenuti testando una singola macchina ad altre condizioni operative o a

una famiglia intera di macchine che, in entrambi i casi, soddisfino ben precisi criteri; • individuare, per ogni applicazione, la geometria della macchina che permetta di ottenere il

massimo rendimento. Le relazioni della similitudine fluidodinamica consentono di mettere in relazione le caratteristiche di funzionamento di macchine geometricamente simili senza che si debbano compiere su ciascuna di esse prove sperimentali lunghe, costose e molto spesso, si pensi ad esempio alle grandi turbine idrauliche, impossibili da condurre in laboratorio. È quindi evidente il vantaggio per il costruttore di macchine che, rispettando opportuni parametri, potrà limitarsi a condurre le prove su di un modello in scala, deducendo poi per via analitica le prestazioni di tutte le macchine appartenenti alla stessa famiglia del modello. È anche evidente l'utilità di tali relazioni per il progettista d'impianti in quanto, sulla base di tali relazioni, potrà scegliere la macchina più adatta alle esigenze del proprio impianto facendo riferimento alle prestazioni di macchine esistenti, seppur di dimensioni diverse da quelle che gli necessitano.

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La teoria della Similitudine asserisce che macchine che soddisfano la similitudine

fluidodinamica hanno uguale rendimento. Affinché due macchine siano in similitudine devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

1. Similitudine geometrica: tutte le dimensioni devono essere in scala, in particolare diametri, altezze di pala, angoli, spessori. Ovvero tutte le dimensioni omologhe, o corrispondenti, stanno in rapporto di scala costante. Indicando, ad esempio, con (…) e (…*) le grandezze riferite a due macchine simili, dovrà essere:

α===*** S

S

r

r

l

l

dove l e r sono due generiche dimensioni lineari, S una qualunque area locale e α il rapporto caratteristico della similitudine geometrica.

2. Similitudine cinematica: stessi rapporti di velocità e quindi stessi triangoli di velocità. Ovvero i triangoli di velocità in sezioni omologhe sono simili. Indicando, ad esempio, con (…) e (…*) le grandezze riferite a due macchine simili, dovrà essere:

β===*** u

u

w

w

v

vdove β è il rapporto caratteristico della similitudine cinematica.

3. Similitudine dinamica: stessi rapporti tra le forze, e quindi stesso numero di Reynolds.

Quindi indicando, ad esempio, con Re e Re* i numeri di Reynolds riferiti a due macchine simili dinamicamente, dovrà valere:

*ReRe =

Il numero di Reynolds è definito come:

viscoseforze

inerziad'forzeRe ===

νµ

ρ vLvL

dove L è una lunghezza caratteristica, v è la velocità del fluido, µ e ν sono rispettivamente la viscosità dinamica e cinematica.

4. Similitudine termodinamica: ovvero tiene conto dell’effetto di comprimibilità, stesso numero di Mach. La similitudine termodinamica è di particolare importanza nelle macchine operanti con fluidi comprimibili. Per numeri di Mach periferico (Mu) ridotti, ove con “u” si esprime la velocità periferica in una sezione generica e con “c” la velocità del suono alle condizioni esistenti nella stessa sezione:

5<=c

uM u

l'effetto legato alla comprimibilità del fluido può essere trascurato. Si parlerà, in tal caso di similitudine idraulica.

Se le quattro condizioni sono contemporaneamente verificate, allora le macchine si dicono Simili e hanno uguale rendimento. In relazione alla similitudine geometrica è necessario che essa sia rispettata su ogni scala. In realtà, passando da macchine grandi a macchine piccole, non sempre è possibile riprodurre in perfetta

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scala gli spessori (per limiti imposti dalle lavorazioni e dalla resistenza meccanica), i giochi (per i limiti imposti dalle dilatazioni) e la rugosità superficiale (per limiti imposti dalle lavorazioni). Conseguentemente, macchine piccole avranno un rendimento peggiore. È da notare inoltre che, perché siano verificate contemporaneamente la similitudine cinematica e quella dinamica, i fluidi devono avere lo stesso comportamento termodinamico e volumetrico, e l’influenza del numero di Reynolds Re deve essere trascurabile. Il primo comportamento (termodinamico) risulta ininfluente se il fluido di lavoro è incomprimibile, mentre il secondo è verificato se il numero di Reynolds è maggiore di 5⋅105, cioè per moto turbolento completamente sviluppato.

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7.2 Teorema ΠΠΠΠ o teorema di Buckingham La Teoria della Similitudine si basa sul Teorema pi greco ΠΠΠΠ o di Buckingham, il cui nome deriva dal fisico statunitense Edgar Buckingham. Scelta una funzione obiettivo y1, descritta da n variabili (grandezze fondamentali e derivate):

( )nxxxxfy ......,,.........,, 32111 = (5.2)

il fenomeno così rappresentato può essere studiato tramite una funzione f1

* espressa in termini a-dimensionali:

( )mfy ππππ ......,,.........,, 321

*

11 =Π (5.3)

dove il numero di parametri a-dimensionali m è pari a qn − , essendo q il numero delle relative grandezze fondamentali (lunghezza [L], tempo [t], massa [M] e temperatura [T]). Il Teorema Π permette quindi di ridurre il numero di variabili da controllare. Questo indipendentemente dalla forma matematica assunta dalle funzioni f1 e f1*. Per conoscere tali funzioni sarà poi necessario ricorrere alla sperimentazione.

Ad esempio, se un problema in esame dipende da cinque grandezze derivate le quali, a loro volta, possono essere espresse attraverso una combinazione delle tre grandezze fondamentali dei sistemi scientifici (come ad esempio [M], [L], [T] ), allora questo può essere descritto da una funzione f di due gruppi adimensionali Π1, Π2:

( )21 Π=Π f

In questo modo è possibile studiare un fenomeno, come per esempio la sedimentazione di particelle di un soluto all'interno di un corpo recettore, con un solo grafico avente come ascissa ed ordinata due grandezze numeriche (rispettivamente i così detti numero di Reynolds e il coefficiente di drag). Senza questa accortezza si sarebbero dovuti realizzare praticamente infiniti grafici uno per ogni diametro delle particelle, per il peso delle stesse, per ogni viscosità del fluido ecc.

Conseguentemente nelle applicazioni sono nati numerosi gruppi adimensionali. Nella fluidodinamica è di notevole importanza il numero di Reynolds per stabilire il tipo di deflusso del fluido (laminare o turbolento) solamente comparandolo con i valori limite specifici del corpo investito dal flusso fluido o del condotto che trasporta il fluido. In termocinetica è possibile determinare il coefficiente di scambio termico laminare attraverso il numero di Nusselt che è funzione dei numeri di Prandtl e Reynolds per quanto riguarda la convezione forzata; è funzione dei numeri di Prandtl e Grashof per quanto riguarda la convezione naturale. Mediante il numero di

Biot è invece possibile determinare se è trascurabile l'errore di considerare un corpo come puntiforme (modello a parametri concentrati) nello studio della trasmissione di calore per un corpo immerso in un fluido.

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Gruppi ΠΠΠΠ significativi in idraulica

In un problema di idraulica, una generica variabile di stato H è genericamente funzione delle seguenti grandezze meccaniche:

),,,,,,,,,,,,,,( tzyxpavrLgsfH θεµρ= (1) ove:

:,,, sεµρ rispettivamente densità, viscosità dinamica, comprimibilità e tensione superficiale del fluido o dei fluidi che interessano il problema.

:g accelerazione di gravità. È rilevante quando siano presenti superfici di separazione tra

fluidi, come nel caso di azioni di galleggiamento (fluido acqua e aria).

:L lunghezza o area o volume, che caratterizzano le dimensioni del problema in esame.

:θ gli angoli o in generale i coefficienti che caratterizzano la forma.

:r scabrezze superficiali.

:,av velocità e accelerazioni sul sistema in analisi.

:p pressioni.

:,,, tzyx coordinate spaziali e temporali. La terna di grandezze utilizzate nel caso di fenomeni fluidodinamici turbolenti è:

vL,,ρ

La terna di grandezze utilizzate nel caso di fenomeni fluidodinamici laminari è:

vL,,µ Nel seguito si riportano alcuni gruppi adimensionali correlati alle variabili della (1).

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definizione nome significato

µ

ρ Dv ××

Numero di Reynolds

(Re) viscoseforze

inerziad' forze

Lg

v

×

Numero di Froude

(Fr) peso forze

inerziad' forze

ε

ρ 2v×

c

v

Numero di Cauchy

(Ca)

Numero di Mach

(Ma)

litàcomprimibi di forze

inerziad' forze

s

Lv ×× 2ρ

Numero di Weber

(We) lesuperficia tensionedi forze

inerziad' forze

t

vL

Numero di Strouhal

(St) a)(convettiv globale inerzia

locale inerzia

2v

p

×ρ

Numero di Eulero

(Eu) inerziad' forze

pressione di forze

Numero di Reynolds (Re)

Consente di determinare la transizione tra moto in regime laminare e turbolento. La dipendenza dal numero di Re si verifica quando nel fenomeno risultano significative sia le forze d’inerzia, che le forze viscose.

Numero di Froude (Fr)

Si riferisce a problemi che trattano superfici libere. Dato che hg × rappresenta la celerità delle

perturbazioni in una corrente di profondità h, il numero di Froude rappresenta il rapporto tra velocità di una corrente diviso la celerità delle piccole perturbazioni. Fr = 1 rappresenta la soglia tra natura lenta o veloce di una corrente a superficie libera.

Numero di Cauchy (Ca) e Numero di Mach (Ma)

Si riferiscono alla relazione tra comprimibilità e celerità delle perturbazioni elastiche . Per Ma < 0,3 gli effetti di comprimibilità possono in buona approssimazione essere trascurati e quindi il comportamento di un gas è assimilabile a quello di un liquido.

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Numero di Weber (We)

È di interesse ove esistano superfici di contatto tra fluidi diversi. Infatti in questo caso la tensione superficiale non è trascurabile.

Numero di Strouhal (St)

Rappresenta il rapporto tra le forze inerziali dovute alla non stazionarietà del campo di moto e quelle dovute alla variazione di velocità tra i punti del campo.

Numero di Eulero (Eu)

Rappresenta il rapporto tra le forze di pressione e le forze inerziali.

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Consideriamo un modello di un sottomarino con scala 1:40. Il sistema reale deve operare in acqua ad una temperatura di 0,5 °C e ad una velocità di 5 m/s. Il modello è invece testato in acqua alla temperatura di 20 °C. Si deve ricavare la potenza da fornire al sottomarino per raggiungere la velocità richiesta.

Tracciando il diagramma di corpo libero, ovvero la rappresentazione schematica delle forze agenti sul corpo libero, per stabilire l'entità delle forze in gioco, e dalla teoria della meccanica del continuo è possibile ricavare le relazioni tra forza e velocità.

Le variabili che descrivono il sistema sono elencate nel seguito:

Variabile

Sistema

reale

“r”

(a 0,5°C)

Modello in

scala

“m”

(a 20°C)

Unità di misura

L (diametro del

sottomarino) 1 1/40 m

v (velocità) 5 calcolare m/s

ρ (densità) dell’acqua 1000 998 kg/m3

µ (viscosità dinamica) 1.88 1.00 ms

kg

ms

smkgs

m

NsPa

×=

×

××=×=×

222

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F (forza) calcolare da misurare 2s

mkgN

×=

Questo problema presenta quindi 5 variabili indipendenti e 3 unità di misura fondamentali (metro, chilogrammo e secondo). Applicando il teorema di Buckingham si può trattare questo problema con 2 numeri adimensionali e una variabile indipendente. Utilizzando l'analisi dimensionale, possiamo individuare due gruppi adimensionali: il numero di Reynolds Re e il coefficiente di pressione

Cp. Questi gruppi adimensionali contengono tutte le variabili tranne la forza F, che è la variabili da misurare nelle prove con il modello.

Pertanto, ricordando la definizione di numero di Reynold:

µ

ρ Lv ××=Re

e individuando con i pedici “m” le grandezze relative al modello e “r” le grandezze relative al reale, per macchine simili, deve valere la similitudine dinamica e pertanto:

r

rrr

m

mmmrm

LvLv

µ

ρ

µ

ρ ××=

××== ReRe

×

×

×=

r

m

m

r

m

rrm

L

Lvv

µ

µ

ρ

ρ velocità del modello (1)

La scrittura per il coefficiente di pressione Cp vale:

×

∆×=

2

2

v

pC p

ρ

e che la forza derivante è data dalla differenza di pressione, si ha che:

××

×=

×

∆×=

×∆=

222

2

22

L

F

v

pC

LpF

pνρρ

pertanto applicando la similitudine si ottiene il legame tra la forza applicata al sottomarino reale e al modello:

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( ) ( )

22

2222

22

×

×

×=

××

×=

××

×==

m

r

m

r

m

rmr

mmm

m

rrr

r

mprp

L

L

v

vFF

Lv

F

Lv

FCC

ρ

ρ

ρρ (2)

Si ricava pertanto dalla (1) la velocità del modello vm :

69,2188,1

1

1

40

998

1000=×××=

×

×

×= r

r

m

m

r

m

r

rm vL

Lvv

µ

µ

ρ

ρ

Pertanto la forza agente sul sottomarino reale (Fr) vale la forza misurata sul modello (Fm) opportunamente scalata di un fattore 3,44:

34,31

40

9,21998

10002222

=

×

×××=

×

×

×=

r

rm

m

r

m

r

m

rmr

v

vF

L

L

v

vFF

ρ

ρ

Infine la potenza richiesta dal sottomarino per raggiungere la velocità desiderata è pertanto:

mmrrr FFvFP ×=××=×= 7,16534,3

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Ora, considerando un fluido incomprimibile (ρρρρ=costante), focalizziamo l’attenzione sull’applicazione del teorema Π alla pompa, così schematizzata:

Considerando la macchina come una “scatola chiusa”, si focalizza l’attenzione sulla sezione d’ingresso (sezione 1) e la sezione d’uscita (sezione 2). In queste sezioni si misurano la pressione, la velocità e la densità, in modo tale da poter calcolare la portata volumetrica Q, la prevalenza gH e il rendimento η. Si suppone, inoltre, di ripetere le misure a diverse velocità di rotazione n della macchina.

A questo punto si deve individuare le funzioni obiettivo.

Nel caso della pompa, si è visto come il suo funzionamento sia noto se si conoscono la prevalenza

gH, il rendimento ηηηη e la potenza assorbita P.

Bisogna quindi identificare le grandezze da cui queste tre variabili dipendono; si distingue tra:

• variabili geometriche: { }DLi , , dove la prima è composta da una serie di parametri

geometrici che permettono di eseguire la macchina in officina, mentre il secondo è il diametro esterno della girante.

• variabili del fluido: ρ, µ (viscosità); definiscono univocamente il fluido.

• variabili di controllo: n e Q; al loro variare definiscono univocamente tutti i parametri della macchina.

P M

2

1

Q gH

η

n

P

ρ = cost

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Figura 1: Curve caratteristiche di una pompa centrifuga.

Il funzionamento della macchina è quindi descritto dalle seguenti relazioni:

{ }( ){ }( ){ }( )DLQnfP

DLQnf

DLQnfgH

i

i

i

,,,,,

,,,,,

,,,,,

3

2

1

µρ

µρη

µρ

=

=

=

(1)

che, in forma compatta, possono essere scritte:

{ }( )DLQnf

P

gH

i ,,,,,3,2,1 µρη =

(2)

Si hanno quindi 7 variabili (di volta in volta 6 indipendenti e 1 obiettivo) e 3 grandezze fondamentali:[L],[t],[M] in quanto il fluido in esame è un fluido incomprimibile. Da un punto di vista grafico, il legame espresso dalle relazioni (1) e (2) non è altro che la famiglia di curve di funzionamento della pompa, argomento trattato nel capitolo dedicato e la cui rappresentazione è ripresa nella figura precedente.

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Il Teorema Π dice che è possibile ottenere tre nuove relazioni funzionali dipendenti da 4 parametri a-dimensionali, ovvero 7-3=4. Al posto di utilizzare [L], [t], [M] scelgo tre grandezze più pratiche:

• [D] (è omogenea alla grandezza lunghezza [L]) al posto di [L]; (3)

• [n] (è una grandezza [t]-1) al posto di [t]; (4)

• [ρρρρ] (è una grandezza che espressa in fondamentali è [M][L]-3) al posto di [M]. (5) Esprimendo le 7 variabili nelle grandezze fondamentali e rendendone adimensionale ciascuna con l’utilizzo delle 3 grandezze scelte ((3), (4), (5)), si ha:

a) [ ]22 Dn

HgHg

×

×=Ψ⇒⇒×

Infatti:

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]2

2

2t

LL

t

LHg =×=×

Pertanto, per rendere adimensionale g x H bisogna dividere per una [L]2 e moltiplicare per un [t]2, ma, in base alle dimensioni di n e D, questo significa dividere per n2 e D2 infatti:

[ ] [ ][ ][ ]2

2

2222

11

L

t

LtDn==

× −

e pertanto si introduce il seguente parametro adimensionale:

22Dn

gH=Ψ (I)

b) [ ]3

Dn

QQ

×=Φ⇒⇒

Infatti:

[ ] [ ][ ]tL

Q

3

=

Pertanto, per rendere adimensionale Q bisogna dividere per una [L]3 e moltiplicare per un [t], ma, in base alle dimensioni di n e D, questo significa dividere per n e D3, infatti:

[ ] [ ][ ]

[ ]3313

11

L

t

LtDn==

× −

e pertanto si introduce il seguente parametro adimensionale:

3nD

Q=Φ (II)

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c) [ ]53

ˆDn

PPP

××=⇒⇒

ρ

Infatti:

[ ] [ ] [ ][ ]3

2

t

LMP

×=

Pertanto, per rendere adimensionale P bisogna dividere per una [M] e per una [L]2 e moltiplicare per un [t]3, ma, in base alle dimensioni di ρ, n e D, questo significa dividere per ρ, n3 e D3, infatti:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ]2

3

53353

1111

LM

t

LtLMDn ×=××

×=

×× −−ρ

e pertanto si introduce il seguente parametro adimensionale:

53ˆ

Dn

PP

××=

ρ (III)

d) [ ]2Re

1

Dn ××=⇒⇒

ρ

µµ

Infatti:

[ ] [ ][ ] [ ]tL

M

×=µ

Pertanto, per rendere adimensionale µ bisogna dividere per una [M] e moltiplicare per una [L] e per un [t], ma, in base alle dimensioni di ρ, n e D, questo significa dividere per ρ, n e D2, infatti:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ]M

Lt

LtLMDn

×=××

×=

×× −− 2132

1111

ρ

e pertanto si introduce il seguente parametro adimensionale:

2Re

1

nDρ

µ= (IV)

e) [ ]D

LLL i

ii =⇒⇒ ˆ (V)

Infatti:

[ ] [ ]LLi =

Pertanto, per rendere adimensionale Li bisogna dividere per una [L], ma, in base alle dimensioni di D, questo significa dividere per D; e pertanto si introduce il seguente parametro adimensionale:

D

LL i

i =ˆ (5.10)

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Si precisa che n va espresso, a seconda della definizione prescelta, in cicli/secondo (rps) o in radianti/secondo (rad/s). Ricapitoliamo quanto fin qui sviluppato. Ricordando quanto espresso nel definire il Teorema Π, ovvero:

“Scelta una funzione obiettivo y1, descritta da n variabili (grandezze fondamentali e derivate):

( )nxxxxfy ......,,.........,, 32111 = (a)

il fenomeno così rappresentato può essere studiato tramite una funzione f1* espressa in

termini a-dimensionali:

( )mfy ππππ ......,,.........,, 321

*

11 =Π (b)

dove il numero di parametri a-dimensionali m è pari an - q, essendo q il numero delle relative

grandezze fondamentali (lunghezza [L], tempo [t], massa [M] e temperatura [T]”.

Nel caso in esame la (a) sono tre distinte equazioni (1):

{ }( ){ }( ){ }( )DLQnfP

DLQnf

DLQnfgH

i

i

i

,,,,,

,,,,,

,,,,,

3

2

1

µρ

µρη

µρ

=

=

=

(1)

Scritte in forma compatta (2):

{ }( )DLQnf

P

gH

i ,,,,,3,2,1 µρη =

(2)

Il caso in esame evidenzia 7 variabili e 3 grandezze fondamentali, pertanto è possibile, in accordo al teorema di Buckingham, scrivere le tre relazioni f1, f2, f3 come f*

1 f*2 f

*3 espressione di 4 numeri

adimensionali (b). I numeri adimensionali ricavati sono pertanto per le tre espressioni:

f*1: iL̂Re,,,ΦΨ

f*2: iL̂Re,,,Φη

f*3: iLP ˆRe,,,ˆ Φ

A questo punto, pertanto, l’analisi dimensionale porta a scrivere:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )i

i

i

LfP

Lf

Lf

ˆRe,,ˆ

ˆRe,,

ˆRe,,

*3

*2

*1

Φ=

Φ=

Φ=Ψ

η (6)

che in forma compatta si possono scrivere come:

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( )iLf

P

ˆRe,,ˆ

*3,2,1 Φ=

Ψ

η (7)

Per due macchine simili (cioè che soddisfano le quattro condizioni richieste dalla similitudine), oppure per due punti di funzionamento in similitudine tra loro di una stessa macchina, (due casi

questi che sono caratterizzati da macchine con lo stesso rendimento), le relazioni (6) e (7) si semplificano diventando:

- in scrittura esplicita: ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )Φ=

Φ=

Φ=Ψ

*3

*2

*1

ˆ fP

f

f

η (8)

- in scrittura compatta:

( )Φ=

Ψ*

3,2,1

ˆ

f

P

η (9) (5.12)

In quanto la similitudine geometrica determina la costanza delle iL̂ e quella dinamica l’uguaglianza

dei numeri Re. Applicando quanto appena ricavato alla singola macchina, si osserva che la famiglia di curve “portata – prevalenza” (Q, H) al variare del numero di giri, se trasformate in forma a-dimensionale tramite le relazioni (I) e (II), corrispondono ad un’unica curva in termini dei parametri ΦΦΦΦ e ΨΨΨΨ (equazioni (8) e (9)), così come esplicitato nella seguente figura.

Figura 2: Curva caratteristica a-dimensionale di una pompa.

Tali parametri si chiamano rispettivamente coefficiente di portata (ΦΦΦΦ) e coefficiente di prevalenza

(ΨΨΨΨ). Ogni punto appartenente a detta curva avrà un ben preciso rendimento, che quindi cambia lungo la curva. Sarà infine possibile individuare il punto di massimo rendimento. Nella realtà delle tre variabili (gH, η, P) sono solo due le variabili obiettivo (gH e η), essendo possibile ricavare la potenza (P) in funzione delle altre due. Per una pompa, la potenza reale assorbita all’albero della macchina vale:

H n

Q φ

Ψ

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η

ρ HgQP

×××= (10)

Riprendendo la (III):

53ˆ

Dn

PP

××=

ρ (III)

Sostituendo la (10) nella (III) si ricava:

Ψ×Φ×=

×

××

××

=

××

××=

ηηη

11ˆ22335

Dn

Hg

Dn

Q

nD

HgQP (11)

tenendo conto della scrittura esplicita (8), ovvero in particolare:

( ) ( )

( ) ( )Φ=

Φ=Ψ*

2

*1

f

f

η (12)

Infine sostituendo la (12) nella (11) si ricava:

( )( )Φ

Φ×Φ=

*2

*1ˆ

f

fP (13)

Si ricorda che due macchine simili devono realizzare gli stessi triangoli di velocità, cioè gli stessi scambi energetici con il fluido. Ciò inoltre vuol dire avere uguale rendimento e quindi stessi valori di Φ e Ψ. Si sottolinea inoltre che detta Teoria non dice nulla su come queste funzioni siano fatte. La loro forma potrà essere ricavata attraverso la sperimentazione o la simulazione numerica.

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Ora, considerando un fluido comprimibile, focalizziamo l’attenzione sull’applicazione del teorema Π al compressore, così schematizzato:

Si ripete quanto appena sviluppato per la pompa nel caso di una macchina operatrice operante su un fluido comprimibile, come un compressore assiale. Si considera ancora la macchina come una scatola e si misurano la pressione e la temperatura totali in ingresso ed uscita, la portata in massa, la potenza assorbita e il numero di giri. Si suppone, inoltre, come già fatto in precedenza, di ripetere le misure a diverse velocità di rotazione n della macchina. Nel caso di macchina operante su fluido comprimibile, il lavoro scambiato tra macchina e fluido è funzione della differenza di entalpia totale a cavallo della macchina che, per un gas perfetto, è a sua volta funzione della variazione di temperatura totale e del rapporto di compressione. Le variabili dipendenti saranno allora la pressione totale allo scarico pt2, il rendimento η e la differenza di temperatura totale a cavallo della macchina ∆Tt. Bisogna quindi identificare le grandezze da cui queste tre variabili dipendono:

• variabili geometriche: { }DLi , .

• variabili del fluido: pt1, Tt1, µ, R, γ; le ultime due nel caso di gas perfetto. • variabili di controllo: n e m& .

Si ricava quindi una funzione obiettivo, in scrittura compatta, della forma seguente:

{ }( )DLRTpmnf

T

p

itt

t

t

,,,,,,,, 113,2,1

2

γµη &=

∆

(14)

Applicando l’analisi dimensionale alla relazione precedente, introducendo opportuni gruppi a-dimensionali, si ricava:

C M

2 pt2, Tt2

1 pt1, Tt1, m&

n

P

ρ ≠ cost

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=

∆i

t

tt

t

t

t

t

LnD

RT

p

n

Dp

nmf

T

T

p

p

ˆ,,,,22

1

11

6,5,4

1

1

2

γµ

η&

(14)

Analizzando i diversi termini che compaiono tra parentesi nella relazione (14) si osserva come il terzo gruppo a-dimensionale sia proporzionale al numero di Mach e il secondo al numero di Reynolds. Il primo gruppo viene detto portata corretta, e trasformato nella forma seguente:

2

1

1

2

11 Dp

RTm

Dp

nDm

Dp

nm

t

t

tt

&&&== (15) (5.17)

essendo, per un gas perfetto, RTt ∝ D2n2 attraverso il numero di Mach. Nell’ipotesi che sia verificata la similitudine geometrica e di Reynolds la (14) si semplifica:

=

γ

η

β,,

1

2

1

1

6,5,4

tt

tt

RT

Dn

Dp

RTmf

&

(16)

essendo βt il rapporto tra le pressioni totali a cavallo della macchina. In Figura 3 sono rappresentate, a titolo di esempio, le curve caratteristiche di un compressore assiale, in cui sono rappresentate sia le curve portata corretta – rapporto di compressione totale al variare del regime di rotazione, sia le curve collinari del rendimento. Si nota come la comprimibilità del fluido faccia sì che si abbiano curve diverse, e non più una sola: tali curve testimoniano infatti l’influenza del numero di Mach. Le curve che si sono ricavate rappresentano il funzionamento di una generica macchina. Se però esse si riferiscono ad una singola macchina, e quindi ad una ben precisa geometria, e ad un ben preciso fluido, è possibile eliminare la dipendenza dal diametro e dal tipo di fluido.

Figura 3: curva caratteristica a-dimensionale di un compressore.

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Il caso della turbina operante su fluido comprimibile è del tutto analogo, così come i parametri a-dimensionali coinvolti nella descrizione del suo funzionamento. Per completezza, in Figura 4 è riportato un esempio di curve caratteristiche di una turbina.

Figura 4: curva caratteristica a-dimensionale di una turbina operante su fluido comprimibile.

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7.3 Numero di giri specifico e diametro specifico Riprendiamo il caso di fluido incomprimibile ed in particolare riconsideriamo la pompa. Si definisce Numero di Giri Specifico (ns)il seguente parametro non-dimensionale:

( )( ) y

yy

xx

x

y

x

sgH

Dn

Dn

Qn

)(

22

3=

Ψ

Φ= (5.19)

Gli esponenti x ed y vengono scelti in maniera tale da eliminare la dipendenza esplicita dalla geometria, cioè da D. Con alcuni passaggi si ricava:

43)(gH

Qnns = (5.20)

In maniera del tutto analoga si definisce anche il diametro specifico Ds:

Q

gHDDs

41)(= (5.21)

Nelle relazioni precedenti tutti i termini vanno espressi in unità di misura del sistema internazionale. Quindi n va espresso in (cicli/s), Q in [m3

/s], gH in [J/kg] e D in [m], essendo quest’ultimo il diametro esterno della girante, rappresentativo dell’ingombro della macchina.

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Figura 5: Diagramma di Balje Ds –ωs per pompe mono-stadio, con linee iso-rendimento idraulico.

In letteratura esistono diverse formulazioni del numero di giri specifico. Un’altra possibile definizione coinvolge, al posto del numero di giri, la velocità angolare ω:

43)(gH

Qs ωω = (5.22)

Si è visto come macchine simili, così come punti di funzionamento della singola macchina simili, presentino gli stessi valori dei coefficienti di portata e di prevalenza, oltre che lo stesso rendimento. Dalle definizioni di numero di giri e diametro specifici ne deriva che macchine simili presentano anche lo stesso valore di detti parametri. Quindi, il numero di giri specifico individua una famiglia di macchine simili. In Figura 5 è riportato, per il caso delle pompe, il Diagramma di Balje, di origine empirica, che riporta l’andamento dei parametri ωs – Ds e del rendimento idraulico per differenti possibili geometrie di pompe, da quelle radiali, a quelle a flusso misto, fino alle pompe assiali. Nel diagramma di Balje è inoltre tracciata la linea che unisce i punti aventi, fissato ωs, il massimo rendimento. Tale linea individua quella che è la geometria (e cioè il Ds) ottima per un ben preciso valore del numero di giri specifico. Il risultato di tale procedimento di estrazione della linea ottimizzata è riportato in Figura 6. Il processo di scelta della macchina ottima per una certa applicazione passa attraverso un procedimento di ottimizzazione in cui sono note da un lato le caratteristiche dell’impianto in cui la macchina va installata, e cioè portata e prevalenza, ed è necessario dall’altro scegliere il regime di rotazione, e cioè n, e i parametri geometrici a-dimensionali che definiscono la macchina (l/D, D1/D2, α, β essendo l l’altezza di pala, D1 e D2 i diametri all’ingresso e all’uscita della macchina, α e β gli angoli d’uscita delle palette dello statore e del rotore rispettivamente). Scegliere l’ωs lega

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impianto e macchina perché, associato ad ogni valore di ωs, si ha una famiglia di macchine a geometria ottimizzata, che cioè hanno un ben preciso valore di Ds (fissa i parametri geometrici in termini di rapporti a-dimensionali e gli angoli) che, per quella applicazione, fornisce il massimo rendimento. Grazie alla Teoria della Similitudine, tutte le macchine (di diversa geometria e potenza) che avranno lo stesso ωs avranno anche lo stesso rendimento, che sarà il massimo possibile per quell’applicazione. Saranno poi anche altri tipi di considerazioni (economiche, di ingombri ecc.) che incideranno sulla scelta definitiva.

Figura 6: rendimento in funzione di ωs per geometrie ottimizzate.

Operativamente parlando, il processo di scelta della macchina ottima può in pratica essere condotto in due modi distinti. Una prima possibilità consiste nell’utilizzare la Teoria della Similitudine inserita in un processo di ottimizzazione; note le caratteristiche dell’impianto, essa infatti fornisce un modello matematico che, attraverso algoritmi di ottimizzazione, permette di ottenere la geometria ottima, cioè quella combinazione dei parametri a-dimensionali (l/D, D1/D2, α, β) e del numero di giri per cui il rendimento è massimo. Una seconda strada si basa sull’impiego di informazioni derivanti da altre macchine già costruite e testate, che hanno permesso di tracciare diagrammi del tipo di quello di Balje riportato in Figura 5. Nel passato infatti sono stati raccolti dati di origine sperimentale sul funzionamento di numerose macchine. A partire da questi dati sono state costruite delle curve che forniscono i valori del rendimento ottimo in funzione del numero di giri specifico per le diverse tipologie di macchine. La Figura 6 riporta tali curve, relativamente al caso delle pompe. In questo grafico si distinguono tre zone: per bassi valori di ωs si hanno le macchine lente cioè che elaborano basse portate ma forniscono alte prevalenze (pompe centrifughe). Per valori crescenti di ωs si incontrano dapprima le macchine a flusso misto e quindi quelle assiali, che elaborano bassi salti ma grandi portate. Dalla figura si vede inoltre come, al variare del numero di giri specifico vari la geometria della macchina. Grafici analoghi esistono anche per le turbine idrauliche e per i compressori.

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Il numero di giri specifico, così come il diametro specifico, possono essere usati, oltre che per la scelta della geometria ottima per una ben precisa applicazione, anche per determinare un legame tra punti di funzionamento diversi della singola macchina, ma tra loro simili. E’ infatti possibile tracciare, ad esempio nel piano caratteristico della pompa, le curve a ωs costante, così come mostrato in Figura 7. Dette curve sono delle parabole passanti per l’origine. Tutti i punti di funzionamento di una macchina, per quanto caratterizzati da diversi regimi di rotazione, che intersecano la curva a ωs costante, sono tra loro simili, e quindi presentano uguale rendimento. È allora possibile, nota la curva caratteristica ad un definito regime di rotazione n1, determinare la curva caratteristica per un qualunque altro regime n. La curva di funzionamento della pompa, così come ricavata nel Capitolo dedicato, ha la forma seguente:

211 BQAgH −= (17)

essendo le costanti A e B funzione della geometria della macchina e del regime di rotazione. La relazione precedente può facilmente essere riscritta in termini dei parametri a-dimensionali di portata Φ e prevalenza Ψ, utilizzando i valori noti al regime di rotazione n1:

( )62

1

2

14

22

1

22

1

1

Dn

QBD

Dn

A

Dn

gH−=

che, esplicitando i coefficienti di portata e prevalenza diventa:

( ) 24

22

1

Φ−=Ψ BDDn

A

È allora possibile ricavare la curva di funzionamento della macchina per il generico regime di rotazione, semplicemente ricordando che, per punti tra loro simili, i parametri a-dimensionali restano costanti:

221

1

n

gH

n

gH=

2

2

21

21

n

Q

n

Q=

che, sostituite nella (17), forniscono:

221

2

211

2

2

21

21

221

1

BQn

nAgH

BQAgH

n

Q

n

Q

n

gH

n

gH

−=⇒

−=

=

=

Allo stesso risultato si poteva giungere considerando, al posto dei coefficienti di portata e prevalenza, il numero di giri specifico.

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Figura 7: curve a ωs costante nel piano H-Q di una pompa.

H

Q

n

ωs=cost

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7.4 Limiti di validità Si è detto come, nella realtà, la Teoria della Similitudine sia valida solo sotto ben determinate ipotesi, spesso difficilmente realizzabili. Per le macchine idrauliche, la similitudine cessa di essere valida alle alte velocità (Φ>0.06) perché l’insorgere della cavitazione fa si che la similitudine geometrica e dinamica non siano più verificate. Viceversa, a bassa velocità (Φ<0.02), l’influenza del numero di Reynolds può non essere trascurabile, e quindi la similitudine dinamica non è più verificata. Per quanto invece riguarda i limiti di validità riguardanti la similitudine geometrica e, per le macchine termiche, l’influenza del numero di Mach (comprimibilità) e del numero di Reynolds, è possibile estendere il campo di validità dei risultati ottenuti in precedenza a patto di introdurre dei fattori correttivi. Gli effetti di taglia vengono tenuti in considerazione introducendo il parametro di Taglia VHC (ha le dimensioni di una lunghezza) così definito:

( ) 41

2

gH

QVHC = (5.29)

Per tenere conto degli effetti della comprimibilità, che si traduce da un lato in una variazione della densità del fluido e dall’altro in una variazione delle perdite conseguente alla variazione del numero di Mach, si introduce un nuovo parametro dato dal rapporto tra le portate volumetriche in uscita e ingresso alla macchina. Gli effetti di Re vengono invece comunque trascurati. Ne risulta quindi una Teoria della Similitudine corretta, che tiene conto del fatto che la similitudine geometrica non sempre è verificata e che la comprimibilità del fluido può giocare un ruolo non trascurabile. Allora, perché due macchine possano essere considerate simili, dovranno avere lo stesso valore dei seguenti parametri:

VHCQ

Qns ;;

1

2 con Re > 5 105

Si ricorda che la prevalenza gH non è altro che il lavoro ideale scambiato tra fluido e macchina. Nel caso di macchina termica, cioè operante con fluido comprimibile, in tutte le espressioni precedenti al posto della prevalenza va sostituito il salto entalpico isentropico a cavallo della macchina:

43)( s

sh

Qnn

∆= (5.30)

( ) 41

2

sh

QVHC

∆=

(5.31) Nel calcolo del numero di giri caratteristico infine, la portata volumetrica Q va calcolata in ingresso alla macchina, se questa è operatrice (compressore), e in uscita se invece è una macchina motrice (turbina).

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7.5 ESERCIZIO Un impianto di sollevamento acqua tra due serbatoi, tra cui esiste un dislivello di 140m, impiega 2

pompe centrifughe identiche collegate in parallelo, ciascuna con la seguente curva caratteristica a

1.500 giri/minuto:

2003,0225 PP QH ×−= caratteristica pompa a n=1500 giri/1’

ove (HP) = m; (QP)=m3/h.

Per il rendimento idraulico della pompa vale il seguente diagramma:

Figura 8: rendimento idraulico pompa centrifuga 1.500 rpm nel piano (H,Q).

È inoltre nota la curva dell’impianto:

241047,3140 IMPIMP QH ××+= − caratteristica dell’impianto

ove (HIMP) = m; (QIMP)=m3/h.

Calcolare 1) Portata, prevalenza e potenza assorbita da ciascuna pompa in assenza di organi di regolazione. 2) Potenza assorbita da ciascuna pompa nel caso in cui, grazie alla presenza di una valvola di

regolazione collocata sul condotto di mandata, la portata totale (QIMP) sia 180 m3/h. 3) Potenza assorbita nel caso in cui una delle due pompe sia disinserita e la valvola di regolazione

sia tutta aperta. 4) Potenza assorbita da ciascuna pompa per portata totale (QIMP) di 180 m3/h, nel caso in cui la

regolazione di portata sia attuata variando la velocità di rotazione delle pompe stesse. Si assuma per semplicità che siano perfettamente verificate tutte le ipotesi della teoria della similitudine.

5) Velocità di rotazione delle pompe nella configurazione precedente di cui al quesito 4).

Risultati

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1) QP=139,18 m3/h, H=166,9 m, η=0,865, P=80,3 kW. 2) QP=90 m3/h, H=200,7 m, η=0,82, P=65,9 kW. 3) QP=159,36 m3/h, H=148,8 m, η=0,865, P=82 kW. 4) QP=90 m3/h, H=151,2 m, η=0,83, P=49 kW. 5) n=1325 giri/1’.

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Svolgimento

a) rappresentazione del problema

b) convenzioni adottate Si definisce che per le grandezze relativa alla pompa si utilizzi il pedice “P” (QP), invece relativamente all’impianto il pedice “IMP” (QIMP). c) configurazione: 2 pompe in parallelo Tale configurazione comporta che ogni pompa funzionante elabori metà della portata Q, ma sia in grado di fornire tutto il salto, ovvero:

IMPP

IMPP

HH

QQ

=

=2

d) soluzione del quesito 1) “Portata, prevalenza e potenza assorbita da ciascuna pompa in

assenza di organi di regolazione”.

Sapendo che, per la configurazione in parallelo, vale:

2IMP

P

QQ =

e conoscendo la caratteristica di ciascuna pompa, fornita dal problema:

2003,0225 PP QH ×−= si ha che:

4003,0225003,0225

22 IMP

PP

QQH ×−=×−=

Sempre per la configurazione in parallelo vale anche:

IMPP HH = ed essendo data dal problema la caratteristica dell’impianto si ha:

4003,0225003,02251047,3140

2224 IMP

PPIMPIMP

QQHQH ×−=×−==××+= −

Svolgendo i calcoli si ottiene:

hmQIMP

336,278=

da cui:

serbatoio B

serbatoio A 1 pompa (P)

Q

HImpianto (IMP)

2 pompe 140 m

.

Pagina 30 di 35

hmQ

Q IMPP

318,139

2==

mHH PIMP 89,166==

Si evidenzia che la prevalenza fornita dalla pompa supera di valore il salto geodetico dovendo la pompa fornire al fluido oltre ad un’energia pari al salto geodetico anche l’energia necessaria a vincere le perdite di carico lungo il circuito). Ora per definizione di potenza assorbita da una pompa si ha:

tot

PPP

HgQP

η

ρ ×××=

ove: ρ = densità del fluido; nel caso in esame acqua senza alcuna indicazione della sua temperatura, né variazione della stessa, quindi l’assumiamo pari a 1.000 kg/m3;

g = accelerazione di gravità terrestre, pari a 9,81 m/s2. ηtot = ηidraulico x ηorganico x ηtelettrico x ηvol,

• ηidraulico: si riferisce alla trasformazione dell’energia meccanica in idraulica ed è riscontrabile sulla curva fornita, valida solo per la pompa che funziona a 1.500 giri/1’

pu

uidraulico

LHg

Hg

+×

×=η = (lavoro effettivamente ricevuto dal fluido) / (lavoro fatto sul

fluido dalla girante) con Lp lavoro perso e gxHu lavoro di Eulero.

• ηorganico: tiene conto della potenza dissipata per attrito sui supporti, nei premistoppa (le tenute della pompa). Un valore medio da poter considerare è pari a ηorganico=0,95.

• ηvolumetrico: tiene conto del fatto che durante la trasformazione una parte del liquido nella macchina non arriva nel condotto di mandata per fughe attraverso interstizi tra parte fissi e mobili. Nel nostro caso lo consideriamo ηvolumetrico trascurabile.

• ηelettrico: tiene conto del rendimento del motore elettrico che aziona la pompa, quindi rendimento di conversione di energia elettrica all’albero della pompa, un valore medio tipico che può essere considerato è pari a ηelettrico=0,96.

A questo punto, considerando la curva del rendimento idraulico per la pompa a 1.500 giri/1’, per determinare il valore del rendimento idraulico della pompa con Qp=139,18 m3/h e HP=166,89 m si procede prendendo un valore intermedio tra i valori di rendimento per Hp pari a 160m ed Hp pari a 180m.

HP

(m) ηidraulico

(%) 160 87 180 86

166,89 86,5

Quindi:

ηtot = ηidraulico x ηorganico x ηelettrico =0,865 x 0,95 x 0,96 =0,789

=×××××

×××=

×××=

s

hm

s

m

h

m

m

kgHgQP

tot

PPP 2

3

3

3

789,0360089,16681,918,13910

η

ρ80,2 kW

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e) soluzione del quesito: 2) “Potenza assorbita da ciascuna pompa nel caso in cui, grazie alla presenza di una valvola di regolazione collocata sul condotto di mandata, la portata totale (QIMP) sia 180 m3/h.”.

In base alla configurazione (in parallelo) e data la presenza della valvola di regolazione sulla mandata che garantisce la costanza della portata si ha:

hm

h

mQQ IMP

P

33

902

180

2===

mQH PP 70,20090003,0225003,0225 22=×−=×−=

Dalla curva caratteristica della pompa a 1500 giri/1’ si determina il rendimento idraulico della singola pompa, che in approssimazione vale:

ηidraulico ≅ 0,82

In armonia con quanto già detto sui valori assumibili dagli altri rendimenti, si ha:

ηtot = ηidraulico x ηorganico x ηelettrico =0,82 x 0,95 x 0,96 =0,748 e pertanto la potenza assorbita da ciascuna pompa vale:

kWs

hm

s

m

h

m

m

kgHgQP

tot

PP

P 8,65748,03600

7,20081,990102

3

3

3

=×××××

×××=

×××=

η

ρ

serbatoio A

serbatoio B

Valvola di regolazione

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f) soluzione del quesito: 3) “Potenza assorbita nel caso in cui una delle due pompe sia disinserita e la valvola di regolazione sia tutta aperta”.

Con valvola completamente aperta ricadiamo in una situazione analoga al calo del quesito 1). In questo caso avendo però una sola pompa funzionante, essere dovrà elaborare tutta la portata, quindi:

IMPP HH =

IMPP QQ = e pertanto:

224 003,02251047,3140 IMPPIMPIMP QHQH ×−==××+= − da cui

PIMP Qh

mQ ==3

36,159

quindi:

mQH PP 81,148)36,159(003,0225003,0225 22=×−=×−=

Dalla QP e HP sulla curva caratteristica a 1.500 giri/1’ ricavo in approssimazione il rendimento idraulico:

ηidraulico ≅ 0,865 e pertanto:

ηtot = ηidraulico x ηorganico x ηelettrico =0,865 x 0,95 x 0,96 =0,789

kWs

hm

s

m

h

m

m

kgHgQP

tot

PP

P 9,81789,03600

81,14881,936,159102

3

3

3

=×××××

×××=

×××=

η

ρ

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g) soluzione del quesito: 4) “Potenza assorbita da ciascuna pompa per portata totale (QIMP) di 180 m3/h, nel caso in cui la regolazione di portata sia attuata variando la velocità di rotazione delle pompe stesse. Si assuma per semplicità che siano perfettamente verificate tutte le ipotesi della teoria della similitudine” e 5)”Velocità di rotazione delle pompe nella configurazione precedente di cui al quesito 4)”.

Riprendendo i dati forniti dal problema, si evidenzia che si conosce la curva caratteristica della singola pompa centrifuga nel piano (Q, H) a 1.500giri/1’; pertanto non si conosce il comportamento della stessa a diversi giri. Conoscendo la portata e la curva caratteristica dell’impianto si può determinare il relativo valore assunto da HIMP, quindi:

mQH IMPIMP 24,151)180(1047,31401047,3140 2424 =××+=××+= −− (HIMP,1)

Si è individuato il punto 1, che rappresentato sul piano (Q,H): Nel punto 1 passerà la combinazione delle due caratteristiche delle pompe, non note. A questo punto ragioniamo sulla singola pompa sapendo che alla fine il sistema è costituito dalla combinazione di due pompe identiche in parallelo. Pertanto analogamente alla figura precedente si ha per la singola pompa: Cioè la singola pompa, girando ad un numero di giri variabili, non costante e non uguale a 1.500 giri/1’, non potrà essere rappresentata con la figura fornita dal problema, ma per soddisfare l’impianto dovrà avere una caratteristica del tipo “curva A pompa a n giri”, non nota, che intersecherà la caratteristica dell’impianto nel punto I.

•

•

Q

HImpianto (curva C NOTA)

caratteristica pompa 1500rpm (curva B NOTA)

curva A pompa a n giri (NON NOTA)

I

II

curva D a giri specifici costante (nS)

1

140 m

. Q

HImpianto (IMP)

caratteristica combinazione delle 2 pompe (NON NOTA)

180 m3/h

151,24 m

Pagina 34 di 35

Applicando la similitudine si può pensare di individuare quella curva rappresentante gli stessi numeri di giri specifici della curva A e che passa dal punto I, ovvero la curva D. Tale curva intersecherà in un punto detto II la curva caratteristica nota della pompa quando gira a 1.500 giri/1’. Si è individuato cioè all’interno di una stessa pompa due punti I e II che sono tra loro simili, ovvero punti in cui la pompa pur avendo numero di giri differenti, ha numeri di giri specifichi uguali, cioè la pompa ha lo stesso rendimento idraulico nel punto I e nel punto II. In definitiva si utilizzerà il punto II per passare poi al punto I. Affinché i due punti I e II siano in similitudine devono avere lo stesso valore dei numeri adimensionali coefficiente di portata Φ e coefficiente di prevalenza Ψ.

22 Dn

Hg

×

×=Ψ

3Dn

Q

×=Φ

Ovvero, tenendo presente che la pompa è la stessa, ovvero stessa “D” e che “g“ può essere considerata costante nel caso in esame:

II

II

I

I

II

IIII

I

II

n

H

n

H

Dn

Hg

Dn

Hg222222 =⇒

×

×=Ψ=

×

×=Ψ

II

II

I

I

II

IIII

I

II

n

Q

n

Q

Dn

Q

Dn

Q=⇒

×=Φ=

×=Φ

33

Ma il punto II appartiene alla curva caratteristica nota a 1.500 giri/1’(in figura curva B):

2,, 003,0225 IIPIIP QH ×−=

Indicando con a il rapporto tra i numeri di giri, ovvero:

=

I

II

n

nα

si ha il seguente sistema di equazioni, avendo per rigore e omogeneità di scrittura inserito il pedice pompa (P) a tutte le scritture:

2,, 003,0225 IIPIIP QH ×−= (a)

IPIP

I

IIIIP HH

n

nH ,

2,2

2

, ×=×

= α (b)

IPIP

I

IIIIP QQ

n

nQ ,,, ×=×

= α (C)

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Inserendo la (b) e la (c) nella (a) si ottiene:

2,

2,

2 003,0225 IPIP QH ××−=× αα

A questo punto si deve tener presente che il punto I di funzionamento della pompa corrisponde al punto 1 di funzionamento dell’impianto e quindi alla combinazione delle 2 pompe identiche in parallelo; quindi si ha:

smQ

Q

mHH

IMP

IP

IMPIP

/902

180

2

24,151

31,,

1,,

===

==

Da cui si può ricavare a: =α 1,132

Pertanto dalla (b) e dalla (c):

mHH IPIIP 80,193,2

, =×= α

smQQ IPIIP

3

,, 88,101=×= α

Dato che il punto II si trova sulla curva caratteristica della pompa nota a 1500 giri/1’, curva nota e assegnata dal problema, con le portate e prevalenze trovate (QP,II e HP,II) si ricava il rendimento idraulico della pompa nel punto II, che essendo in similitudine al punto I corrisponde al rendimento idraulico del punto I:

ηidraulico, II ≅ 0,83= ηidraulico, I Con riferimento agli stessi valori degli altri rendimenti si ha che:

ηtot, I = ηidraulico, I x ηorganico, I x ηelettrico, I =0,83 x 0,95 x 0,96 =0,757 Infine la potenza della singola pompa risulta:

kWs

hm

s

m

h

m

m

kgHgQP

Itot

IPIP

P 49757,03600

24,15181,990102

3

3

3

;

,, =×××××

×××=

×××=

η

ρ

La velocità di rotazione della singola pompa nel punto I, in base alla definizione del rapporto α e dato che nel punto di funzionamento II la velocità della pompa è di 1500 giri/1’, vale:

utogirin

nI

III min1325

132,11500

==

=

α