capitolo 6a elementi di valutazione dei prodotti derivati

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE

Finanza Computazionale

Introduzione alla Valutazione dei Prodotti Derivati


Introduzione al pricing

Il principio di Arbitraggio

Il modello Binomiale

Il modello di Black e Scholes

Metodi alle Differenze Finite

Metodo Monte Carlo


Definizioni

Da un punto di vista del tutto generale con il termine Monte Carlo si intende una tecnica numerica che faccia uso di numeri casuali per risolvere un problema.

il metodo Monte Carlo consiste nel rappresentare la soluzione di un problema come parametro di un’ipotetica popolazione ed usare una sequenza di numeri casuali per costruire un campione della popolazione dal quale possano essere estratte stime statistiche del parametro.


Problemi risolubili col Metodo Monte Carlo

A. Problemi di natura intrinsecamente probabilistica in cui sono coinvolti fenomeni legati alla fluttuazione stocastica di variabili aleatorie. Due problemi tipici che rientrano in questa categoria sono il pricing di un’opzione e la stima del VaR di un portafoglio.

B. Problemi di natura essenzialmente deterministica, del tutto

privi cioè di componenti aleatorie, ma la cui strategia di soluzione può essere riformulata in modo tale da risultare equivalente alla determinazione del valore di aspettazione di una funzione di variabili stocastiche.


Simulazione Monte Carlo e Integrazione

Un’estrazione da un campione di numeri casuali può essere utilizzata come stimatore di un integrale

1

0

)( dxxfI 1

0

)( dxxfI

Questa espressione può essere interpretata come il valore di aspettazione della funzione f di una variabile aleatoria a valori uniformemente distribuiti nell’intervallo [0, 1]



1

0

x

x

dxxfxfE

altrimenti1

1xo0xse0xg

x

dxxgxfxfE

xfE

xf

xgx

)()]([

)(

1 ed 0 fra adistribuit nteuniformeme aleatoria variabile

)()()(

?)(

)(

)( da data àprobabilit di densitacon aleatoria variabile

max

min



Diventa così possibile stimare il valore del nostro integrale tramite una media aritmetica di n valori di f(xi) dove ciascun xi rappresenta un campione estratto da una distribuzione uniforme in [0, 1]. In altre parole possiamo affermare che la quantità

n

i

in xfn

I1

)(1~

n

i

in xfn

I1

)(1~

rappresenta uno stimatore non distorto di I. La varianza di questa stima risulta pari a:

n

dxIxfn

xfn

xfn

In

ii

n

iin

21

0

2

12

1

)(1

)(var1

)(1

var)~

var(

n

dxIxfn

xfn

xfn

In

ii

n

iin

21

0

2

12

1

)(1

)(var1

)(1

var)~

var(



l’errore quadratico medio dello stimatore, che può essere interpretato come l’errore quadratico medio della simulazione Monte Carlo, decresce all’aumentare di n come

Questo risultato risulta del tutto indipendente dalla dimensione del problema.

E’ proprio quest’ultima caratteristica che rende attraente il metodo Monte Carlo per la risoluzione di problemi con un numero elevato di dimensioni. In questo caso tipicamente il metodo Monte Carlo risulta convergere verso il valore finale più velocemente dei metodi numerici tradizionali in cui il numero di iterazioni per raggiungere un’approssimazione prefissata cresce con l’aumentare del numero di dimensioni.

n/1 n/1


Pricing di strumenti derivati

Il pricing di un’opzione è affrontato usualmente nel contesto della cosiddetta valutazione neutrale rispetto al rischio. Indicando con fT il valore dell’opzione stessa alla scadenza T, il valore ad oggi, f, sarà dato da

(1)

essendo Ê il valore di aspettazione risk-neutral ed <r> il valore medio fra t = 0 e t = T del tasso privo di rischio. Qualora si assuma di conoscere con certezza il valore di <r> il problema può essere semplificato e la (1) diventa

(2)

TrT efEf ̂ Tr

T efEf ˆ

TTr fEef ˆ T

Tr fEef ˆ


Pricing di strumenti derivati

La formulazione del problema rende evidente la sua natura intrinsecamente probabilistica.

L’applicazione del metodo Monte Carlo nel caso in esame si riduce essenzialmente alla generazione di un numero sufficientemente elevato di stime di fT da cui estrarre il valore medio.

A tal fine è necessario innanzi tutto introdurre un’ipotesi sul modo in cui il prezzo del titolo sottostante si evolve nel tempo;

Un’assunzione abbastanza comune è che il prezzo dell’azione segua un moto geometrico browniano. Secondo questa ipotesi il tasso di variazione del prezzo in un intervallo di tempo infinitesimo è descritto da

(3)

dove m è il tasso di rendimento atteso e s è la volatilità del prezzo dell’azione.

SdzSdtdS SdzSdtdS


Pricing di strumenti derivati Ricordiamo che...

La simulazione viene condotta dividendo l’intervallo di vita del derivato in N intervalli ciascuno di ampiezza t.

Si può dimostrare che la versione discreta della precednte equazione è data da

dove S è la variazione di prezzo nell’intervallo t ed e è un numero casuale estratto da una distribuzione normale

tStSS tStSS


Pricing di strumenti derivati A questo punto siamo in grado di calcolare i valori assunti da S (e quindi da S)

agli istanti 0, t, 2 t, ….fino alla scadenza T. Si noti che il processo di simulazione richiede la generazione di N numeri casuali

indipendenti normalmente distribuiti.

Una volta simulato il valore del titolo sottostante al tempo T siamo in grado di ricavare il valore dell’opzione alla stessa data. Supponendo che l’opzione sia di tipo call avremo semplicemente

essendo K lo strike price. Ripetendo la procedura appena descritta un numero molto elevato di volte siamo in grado di ottenere una distribuzione di valori per fT

dalla quale è possibile estrarre il valore di aspettazione.

)0,max( KSf TT )0,max( KSf TT


Esempio ProgrammazioneVBA

Esempio ProgrammazioneVBA

“Crude” Monte Carlo“Crude” Monte Carlo


Un Problema di Efficienza Immaginiamo di voler calcolare un certo parametro P (ad esempio il

prezzo di un’opzione) e di poter scegliere fra due diverse stime ottenibili con il metodo Monte Carlo rappresentate dalle due serie di valori ottenuti con il processo di simulazione

Supponiamo poi che entrambi gli stimatori siano corretti, cioè valga

ma con

niP i ,...,1,1̂ niP i ,...,1,1̂ niP i ,...,1,2̂ niP i ,...,1,2̂

PPE 1̂ PPE 1̂ PPE 2̂

PPE 2̂

21 21


Un Problema di Efficienza Chiaramente sulla base di queste sole informazioni

saremmo portati a scegliere il primo stimatore in quanto, a parità di numero di simulazioni, l’errore di stima risulterà senz’altro minore.

Tuttavia, come accennavamo poco sopra, questa conclusione rischia in realtà di non essere corretta in quanto non tiene conto del fatto che i due stimatori possono richiedere risorse computazionali molto diverse fra loro;

in particolare generare n replicazioni di P1 potrebbe richiedere molto più tempo che generare n replicazioni di P2.


Un Problema di Efficienza Un primo approccio al problema potrebbe essere quello di

introdurre esplicitamente nelle nostre considerazioni il tempo di calcolo richiesto.

Supponiamo che il tempo richiesto per generare una singola replicazione di Pj possa essere espresso da una costante che indicheremo con bj, avendo a disposizione un tempo totale di calcolo pari a t il numero di replicazioni di Pj che possiamo generare sarà pari a t/bj.

I due stimatori possono pertanto essere riscritti introducendo esplicitamente il tempo di calcolo nelle formule

1/

1

11 ˆbt

iiP

t

b

1/

1

11 ˆbt

iiP

t

b

2/

1

22 ˆbt

iiP

t

b

2/

1

22 ˆbt

iiP

t

b


Un Problema di Efficienza Per valori sufficientemente alti di t queste due quantità sono normalmente

distribuite con media P e standard deviation

pertanto per grandi valori di t il primo stimatore sarà preferibile al secondo se

Il prodotto della varianza per il tempo necessario ad eseguire un singolo run viene indicato in letteratura col nome di efficienza (Hammersley e Handscomb, 1964).

Usando l’efficienza come base per il confronto fra diversi stimatori possiamo concludere che lo stimatore a bassa varianza è preferibile all’altro solo se il rapporto delle varianza è più piccolo del rapporto fra i tempi di singola

replicazione.

t

b

t

b 22

11 t

b

t

b 22

11

2221

21 bb 2

221

21 bb


Variabili Antitetiche Uno dei metodi più semplici e più utilizzati in campo finanziario per

la riduzione della varianza è senz’altro il metodo delle variabili antitetiche.

Consideriamo di nuovo la procedura classica di stima del prezzo di un’opzione, per semplicità espositiva ci limiteremo ancora al contesto del modello di Black e Scholes.

Se si adotta la tecnica della variabile antitetica, in ogni simulazione si devono determinare due valori.

Il primo valore è quello calcolato nel modo consueto...

...mentre il secondo valore viene calcolato cambiando segno a tutti i campioni estratti casualmente dalle distribuzioni normali standardizzate.


Variabili Antitetiche I due stimatori hanno chiaramente le stesse proprietà

statistiche essendo estratti dallo stesso campione (in particolare hanno la stessa varianza).

Il valore campionario del derivato calcolato in ogni simulazione è la media di questi due valori e la sua varianza è data da

iii

iiii

CCCovCVar2

1

CCVar4

1

2

CCVar

~,

~~

iii

iiii

CCCovCVar2

1

CCVar4

1

2

CCVar

~,

~~


Variabili Antitetiche

Pertanto se iii CVarCCCov ~, avremo imedio CVarCVar .

Comunque occorre tenere presente che questa procedura richiede un numero di

simulazioni doppio rispetto al caso standard per cui è necessario ragionare in termini di efficienza.

Se supponiamo che la generazione dei numeri casuali richieda un tempo trascurabile

rispetto al calcolo del prezzo allora possiamo affermare che il tempo impiegato utilizzando le variabili antitetiche sia all’incirca doppio di quello richiesto nel caso standard.

In questo caso il metodo delle variabili antitetiche è preferibile in termini di efficienza

rispetto al metodo standard se si verifica la condizione

imedio CVarCVar 2



Questa condizione è equivalente a richiedere che

0~

, ii CCCov

Verifichiamo se questa condizione è valida.

Indichiamo con la funzione definita dalla relazione )( ii ZC ; supponiamo che sia

la composizione di due funzioni monotone, la prima è quella che lega il valore del sottostante alla variabile aleatoria Z, la seconda è la funzione che calcola il payoff come valore massimo fra 0 e la differenza fra il prezzo del sottostante e lo strike price. In queste condizioni anche è monotona.



Utilizzando una disuguaglianza standard possiamo allora verificare che

)()()()( iiii ZEZEZZE

da cui segue immediatamente

0)()()()(~

, iiiiii ZEZEZZECCCov

Quindi il metodo delle variabili antitetiche è più efficiente del metodo standard a patto

che siano verificate le condizioni di monotonicità citate.

Nel caso di payoff non monotoni il metodo non necessariamente fornisce prestazioni migliori del Monte Carlo standard, anzi, in alcune condizioni i risultati sono sensibilmente peggiori.


Moment Matching Il metodo dei momenti (moment matching) comporta l’aggiustamento dei campioni estratti da una distribuzione normale standardizzata in modo da assicurare l’uguaglianza tra i momenti campionari (in genere il primo e il secondo) e i corrispondenti momenti della distribuzione probabilistica.

Indichiamo con Zi i campioni estratti da una distribuzione normale usati per calcolare la variazione di valore di una certa variabile in un certo periodo di tempo. Per assicurare l’uguaglianza dei primi due momenti calcoliamo la media campionaria m e la deviazione standard campionaria s. Quindi definiamo nel modo seguente i campioni aggiustati

s

mZZ i

i

'

s

mZZ i

i

'


Esempio Excel Esempio Excel

Confronto fra alcuni metodi di Riduzione della VarianzaConfronto fra alcuni metodi di Riduzione della Varianza


Greek Letters: Differenze Finite

Consideriamo il problema legato al calcolo del Delta di un’opzione europea

Un approccio diretto al problema può consistere nella generazione di due prezzi finali, il primo

a partire dal valore S0 , e il secondo a partire dal valore perturbato S0 +

0S

C

0S

C

ZTTrT eSS )2/(

02 ZTTr

T eSS )2/(0

2

')2/(0

2

)( ZTTrT eSS

')2/(0

2

)( ZTTrT eSS

Z e Z’ sono due estrazioni indipendenti da una normale standard


Greek Letters

Per ogni valore del prezzo finale possiamo poi calcolare il valore dell’opzione corrispondente

),0max(0 KSeSC TrT ),0max(0 KSeSC T

rT

))(,0max(0 KSeSC TrT ))(,0max(0 KSeSC T

rT

00~ SCSC

00~ SCSC


Greek Letters

Problema

Poiché i valori per ST e ST() sono generati indipendentemente l’uno dall’altro la varianza di delta diverge al diminuire del valore di .

Per ottenere uno stimatore che converga verso il valore effettivo del Delta occorre diminuire in maniera graduale (e lenta) il valore di all’aumentare di n. Complessivamente questo rallenta la velocità di convergenza fino a livelli del tutto inaccettabili.

)()()(~ 2

002 OSCVarSCVarVar )()()(

~ 200

2 OSCVarSCVarVar


Greek Letters Una stima migliore può essere ottenuta utilizzando il metodo dei Numeri

Casuali Comuni (Common Random Numbers) che nella fattispecie si traduce nell’utilizzare lo stesso numero casuale Z sia nel calcolo di S0 che di S0 + .

Se denotiamo con ^ la stima del Delta così calcolata; per un valore di fissato, la media di un campione di repliche indipendenti di ^ converge al valore effettivo di Delta ma il calcolo della varianza ora fornisce un valore diverso in quanto C(S0) e C(S0 + ) non sono più indipendenti

)1(00 O

SCSCVar

)1(00 OSCSC

Var

Cov > 0

)(),(2)()(ˆ0000

2 SCSCCovSCVarSCVarVar )(),(2)()(ˆ0000

2 SCSCCovSCVarSCVarVar



Common Random Numbers Stima del DeltaCommon Random Numbers Stima del Delta


Variabile di controllo Il metodo della variabile di controllo mantiene inalterata la funzione di

distribuzione campionata, il miglioramento dell’efficienza si ottiene in questo caso ricorrendo ad una funzione ausiliaria v(z) correlata a k(z) di cui è noto esattamente l’integrale

Il metodo della variabile di controllo funziona bene quando quest’ultima ha un elevato grado di correlazione con la variabile che intendiamo stimare. Una situazione di questo tipo si presenta quando vogliamo conoscere il prezzo di un’opzione asiatica se utilizziamo come variabile di controllo il prezzo dell’opzione asiatica a media geometrica corrispondente.

Z

C zdFzv )()(Z

C zdFzv )()(


Variabile di controllo Un esempio pratico: il pricing di un’opzione asiatica

Le opzioni asiatiche sono opzioni il cui valore finale dipende dal prezzo medio dell’attività sottostante osservato, almeno in parte, durante la vita dell’opzione.

Il valore finale di una call scritta sul prezzo medio (average price call) è max(0,Save-X) e quello di una put scritta sul prezzo medio

(average price put) è pari a max(0, X – Save) essendo il prezzo

medio calcolato in un periodo determinato (Hull, 2000). Le opzioni average price sono meno care delle opzioni ordinarie in

quanto il calcolo della media diminuisce di fatto la volatilità del sottostante.


Variabile di Controllo Se si assume che il prezzo dell’attività sottostante, S, sia distribuito

in modo log-normale e che Save sia una media geometrica degli S, possiamo utilizzare delle formule analitiche per valutare le opzioni asiatiche di tipo europeo.

Ciò dipende dal fatto che la media geometrica di un insieme di variabili distribuite in modo log-normale è anch’essa log-normale.

Si può dimostrare che in un mondo neutrale verso il rischio il prezzo di un’opzione asiatica scritta su una media geometrica calcolata su m periodi temporalmente equidistanziati...

mm

jt j

SG

/1

1

mm

jt j

SG

/1

1

)()(

2

1exp)exp( 21

2 dKNdNrTC GGG

)()(

2

1exp)exp( 21

2 dKNdNrTC GGG

è pari a ...


Variabile di Controllo dove

mThhT

qrSG / 22

1ln 2

0

m

mmhG 6

)1)(12(22

G

GG Kd

2

1

)ln(

Gdd 12


Variabile di Controllo Nella simulazione Monte Carlo standard il prezzo dell’opzione viene calcolato come

niKAEeC irTi ,,1 ,)0,max( )()( dove A(i) è la media aritmetica discreta campionata

m

j

tii

jSm

A1

)()( 1

calcolata su un insieme discreto di punti

mjtm

Thhtt jj ,,2,1 ,0 , , 01

ed n è il numero di simulazioni. Questo porta allo stimatore

n

i

iCn

C1

)(1ˆ

Nella simulazione Monte Carlo standard il prezzo dell’opzione viene calcolato come

niKAEeC irTi ,,1 ,)0,max( )()( dove A(i) è la media aritmetica discreta campionata

m

j

tii

jSm

A1

)()( 1

calcolata su un insieme discreto di punti

mjtm

Thhtt jj ,,2,1 ,0 , , 01

ed n è il numero di simulazioni. Questo porta allo stimatore

n

i

iCn

C1

)(1ˆ


Variabile di controllo

Utilizzando il metodo della variabile di controllo oltre alle variabili descritte sopra dobbiamo calcolare la media geometrica per ogni simulazione

mm

j

it

i

jSG

/1

1

)()(

e il valore campionato dell’opzione asiatica a media geometrica

)0,max()exp( )()( KGrTC iiG

Questa volta però utilizzeremo lo stimatore

n

iG

iG

i CCCn

C1

)()( )(1ˆ

Utilizzando il metodo della variabile di controllo oltre alle variabili descritte sopra dobbiamo calcolare la media geometrica per ogni simulazione

mm

j

it

i

jSG

/1

1

)()(

e il valore campionato dell’opzione asiatica a media geometrica

)0,max()exp( )()( KGrTC iiG

Questa volta però utilizzeremo lo stimatore

n

iG

iG

i CCCn

C1

)()( )(1ˆ



0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Volatilità Sottostante

Asiatica Aritmetica

Europea Black & Scholes

Asiatica Geometrica

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50


Asiatica Aritmetica


Asiatica Geometrica



0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tempo a Scadenza

Asiatica Aritmetica


Asiatica Geometrica

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tempo a Scadenza

Asiatica Aritmetica


Asiatica Geometrica



0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50


MC Standard MC Controllo MC Antithetic

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50


MC Standard MC Controllo MC Antithetic



0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tempo a Scadenza

MC Standard MC Controllo

MC Antithetic

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tempo a Scadenza

MC Standard MC Controllo

MC Antithetic



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