capitol extras

Econometrie Financiara

Capitol extras din cartea Introducere n economia aplicat, 2004

autor Constantin Dugulean

1.14. Valorile aberante n analiza de regresie (outliers)

Valorile extreme ale variabilelor observate pot influena esenial valoarea estimatorilor. Aceste valori aberante, numite n limba englez outliers sunt generate de factori neobinuii, deosebii, producnd modificri majore asupra variabilelor, care apar n cazurile respective, ca fiind rupte de contextul celorlalte observri.

Metoda grafic este calea cea mai simpl de a pune n eviden existena valorilor aberante. Dar aceast metod se poate aplica n cazul regresiei liniare simple. n cazul regresiei multiple, este dificil identificarea acestor valori extreme.

Analiza reziduurilor, care ar trebui s nsoeasc estimarea oricrei ecuaii de regresie, poate contribui la detectarea lor. Valorile mari pozitive sau negative ale reziduurilor arat c respectivele observri constituie valori extreme.

n exemplul de mai jos, este rezolvat un exerciiu, n care se cunosc despre economitii de la Universitatea din Michigan, date referitoare la salariul i experiena dobndit, n anul 1983-1984. Se cere s se stabileasc dac salariul este influenat semnificativ de anii de experien.

n Tabelul 1.14, variabila yi reprezint salariul, exprimat n mii $/an, iar variabila xi reprezint anii de experien, ca numr de ani trecui de la acordarea titlului de doctor.

yixi

63.043

54.332

51.032

39.030

52.026

55.025

41.223

47.722

44.522

43.021

46.820

42.420

56.519

55.019

53.019

55.018

54.018

50.717

37.517

61.016

48.116

30.016

51.515

40.613

51.312

50.312

62.410

39.310

43.29

40.47

37.76

27.73

Exerciiu propus spre rezolvare de G.S. Maddala, n Introduction to Econometrics, 2nd Edition, Ed. Macmillan, New York, 1992, p. 108, sursa: R.H. Frank, Are Workers Paid Their Marginal Products?, The American Economic Review, September 1984, p. 560Tabelul 1.14. Datele despre salariul i experiena economitilor, n 1983-1984

Graficul din Figura 1.15 are un punct aberant (ncercuit), care este deprtat de restul punctelor ce formeaz norul de puncte. Acest punct pare s atrag drepta de regresie spre el.

Figura 1.15. Corelaia dintre salariul i vechimea angajailor n 1983-1984

Tabela de regresie obinut cu Microsoft Excel este prezentat n Tabelul 1.15.

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics

Multiple R0.4198

R Square0.1762

Adjusted R Sq.0.1487

Standard Error8.0149

Observations32

ANOVAdfSSMSFSignific.F

Regression1412.20412.206.420.01677

Residual301927.1864.24

Total312339.38

Coeff.Std.Err.t StatP-valueLower 95%Upper 95%

Intercept39.6433.46711.4330.00032.56146.724

X Variable 10.4360.1722.5330.0170.0850.788

Tabelul 1.15. Tabela de regresie a salariului n funcie de anii de experien

Modelul liniar identificat este . Coeficient de determinaie mic, de 0.17, arat c modelul liniar explic variaia salariului n proporie de numai 17%.

Coeficientul de corelaie liniar ntre salariul i experiena exprimat n ani, de 0.42, arat o intensitate slab ntre cei doi indicatori. Cei doi coeficieni ai modelului sunt semnificativ diferii de 0 (P-value), testul Fisher arat c regresia este semnificativ ncepnd de la un prag de semnificaie de 1.67%. Valorile teoretice calculate conform modelului liniar de regresie se afl reprezentate pe graficul din Figura 1.15. Valoarea mic a coeficientului de determinaie, indic posibilitatea existenei unui outlier, care a fost deja identificat pe grafic.

Se calculeaz reziuduurile , ca abateri ntre valorile observate i cele ajustate.

Se ordoneaz, de exemplu, descresctor dup variabila y i se observ care sunt abaterile mari, n ambele sensuri: pozitive i negative. n Tabelul 1.16 sunt prezentate valorile ordonate.

n urma studierii erorilor se observ c exist 2 puncte care genereaz erori pozitive mari i 3 puncte care genereaz erori negative mici, dar mari n valoare absolut. Se elimin punctele marcate accentuat n Tabelul 1.16 i se repet analiza de regresie, pentru cele 27 de observri rmase.

yixiei

62.41018.4

61.01614.4

56.5198.6

55.0187.5

55.0197.1

54.0186.5

51.3126.4

50.3125.4

51.5155.3

53.0195.1

63.0434.6

55.0254.5

50.7173.6

48.1161.5

52.0261.0

54.3320.7

yixiei

43.29-0.4

47.722-1.5

46.820-1.6

40.47-2.3

51.032-2.6

37.76-4.6

39.310-4.7

40.613-4.7

44.522-4.7

43.021-5.8

42.420-6.0

41.223-8.5

37.517-9.6

27.73-13.3

39.030-13.7

30.016-16.6

Tabelul 1.16. Analiza reziduurilor pentru detectarea punctelor aberanteTabela de regresie din Tabelul 1.17, conduce la modelul liniar , care indic un coeficient de corelaie ntre variabile, mai mare, de 0.60, artnd o legtur de intensitate medie; un coeficient de determinaie de 0.36, mai bun dect n regresia precedent; estimatorii sunt semnificativi diferii de 0 cu o probabilitate de 100%. Testul Fisher arat acelai lucru; valoarea sa fiind mai mare, iar pragul de semnificaie mai mic, dect la regresia iniial, indicnd cu o probabilitate de 99.9% faptul c noua regresie este global semnificativ.

SUMMARY OUTPUT


Multiple R0.6016

R Square0.3619

Adjusted R Sq.0.3364


Observations27

ANOVAdfSSMSFSignif.F

Regression1414.966414.96614.1790.000903

Residual25731.67429.267

Total261146.64

Coeff.Std.Err.t StatP-valueLower 95%Upper 95%

Intercept38.9522.70014.4250.00033.39044.513

X Variable 10.4940.1313.7650.0010.2240.764

Tabelul 1.17. Tabela de regresie dup eliminarea valorilor extreme

Valorile teoretice yt1 obinute cu noul model sunt reprezentate pe graficul din Figura 1.16.

Pe grafic se pot vedea punctele ncercuite, care au fost eliminate i nu au fost considerate n noua analiz de regresie. Printre punctele eliminate nu se afl i punctul considerat aberant la nceput, folosind metoda grafic. Se poate ncerca i varianta prin care s se elimine numai punctul aberant identificat prin metoda grafic.

Tabela de regresie din Tabelul 1.18 indic un model mult mai slab dect varianta a 2-a, cu un coeficient de determinaie de numai 0.09 fa de 0.36 ct era dup eliminarea celor 5 puncte.

Figura 1.16. Dreapta de regresie dup eliminarea valorilor extreme ale reziduurilor

SUMMARY OUTPUT


Multiple R0.3088

R Square0.0954

Adjusted R Sq0.0642


Observations31


Regression1199.95863199.95863.05760.0909

Residual291896.492365.39629

Total302096.451

Coeff.Std. Err.t StatP-valueLower 95%Upper 95%

Intercept40.8293.90410.4590.00032.84548.812

X Variable 10.3600.2061.7490.091-0.0610.782

Tabelul 1.18. Tabela de regresie dup eliminarea punctului iniial aberantSe observ o intensitate slab a corelaiei dintre variabila explicat i cea explicativ, de numai 0.31, o regresie care ncepe s devin semnificativ numai de la un prag ( de 9%, dup cum arat i raia Student a estimatorului , la P-value. Pentru un prag de semnificaie (=5%, se observ c intervalul de ncredere al coeficientului variabilei x poate conine valoarea 0, pentru c se schimb semnul din al limitei inferioare n semnul + al limitei superioare. n Figura 1.17 sunt prezentate valorile teoretice yt2 aflate pe dreapta de regresie.

Se observ c norul de puncte i dreapta de regresie sunt aproape paralele cu axa Ox, ceea ce arat exitena unei corelaii slabe ntre salariu i numrul de ani trecui de la obinerea doctoratului. Nu se poate renuna la acest punct, care la prima vedere prea a fi aberant.

Figura 1.17. Ajustarea salariului n funcie de vechime, dup eliminarea punctului aberant, prin metoda graficVarianta, n care se elimin cele cinci puncte i punctul iniial aberant, ofer tabela de regresie din Tabelul 1.19.

SUMMARY OUTPUT


Multiple R0.4704

R Square0.2213

Adj. R Sq.0.1888

Std. Error5.4733

Observations26


Regression1204.279204.2796.8190.0153

Residual24718.97529.957

Total25923.255

Coeff.Standard Errort StatP-valueLower 95%Upper 95%

Intercept39.99283.165512.63380.000033.45946.526

X Variable 10.43020.16472.61130.01530.09020.7702

Tabelul 1.19. Tabela de regresie dup eliminarea celor 6 puncte aberante

Se observ c nici aceast variant nu este mai bun dect cea n care s-au eliminat cele 5 puncte detectate prin analiza reziduurilor, varianta a 2-a. Modelul obinut este mai bun dect cel din varianta anterioar, dar nu mai bun dect cel din varianta a 2-a. Acest model este global semnificativ, dup cum arat testul Fisher, ncepnd de la un prag ( de 1.53%. Coeficientul de determinaie de numai 0.22 poate determina renunarea la aceast variant i pstrarea variantei, n care se elimin numai cele 5 valori extreme, ncercuite n Figura 1.16.

Modelul reinut ca fiind cel mai bun este: . Nu se poate renuna la punctual izolat, pentru c acesta se afl pe direcia norului de puncte, iar abaterea sa fa de linia de regresie din modelul iniial este mic.

1.15. Metode rezistente de regresie

Calitatea ajustrii folosind metoda regresiei, se apreciaz n funcie de coeficientul de determinaie, R2. Informaia coninut n date, nu este toat condensat n estimatorii: i , R2 i SSE, ci se poate gsi i n reziduuri, care conin partea de variaie neexplicat a variabilei dependente. Dac analiznd reziduurile, se constat prezena unei structuri, nseamn c acestea sunt nc purttoare de informaie, care s-ar putea modela. Modelul ales trebuie modificat corespunztor.

Statisticianul Anscombe, n 1973, a gsit patru seturi de date care au particularitatea de a furniza aceleai rezultate statistice. Pentru cele patru grupuri de date, se gsete aceeai dreapt de regresie , aceeai abatere rezidual 1.236 i acelai coeficient de determinaie 0.667, ceea ce nseamn c variabila x explic dou treimi din variana variabilei y.

Grupul AGrupul BGrupul CGrupul D

xy

xy

xy

xy

108.048109.148107.46886.587

149.9610148.110148.841085.767

55.685.554.745.555.735.587.717

86.95788.14786.77788.847

98.817.598.777.597.117.588.477

1210.849129.139128.15987.047

44.26543.1545.39585.257

74.826.577.266.576.426.51912.512.5

118.338.5119.268.5117.818.585.567

137.589.5138.749.51312.749.587.917

67.24666.13666.08686.897

Tabelul 1.19. Grupurile de date ale lui Anscombe

Totui aceste patru seturi de date corespund unor situaii foarte diferite, prezentate n Tabelul 1.20, i n Figurile 1.18, 1.19, 1.20 i 1.21. Graficele prezint datele empirice i dreapta de regresie ntr-o diagram XY (Scatter).

Numai n cazul A, Figura 1.18, se justific utilizarea regresiei liniare. Pentru celelalte trei cazuri, aplicarea metodei regresiei nu are sens.

Figura 1.18. Grupul A de date i dreapta de regresie

Figura 1.19. Grupul B de date i dreapta de regresie

Pentru datele din grupul B, modelul nu este corect specificat. Graficul din Figura 1.19 indic utilizarea unui model neliniar.

Pentru ansamblul C, datele sunt aliniate dup o dreapt, dar neansa de a conine o valoare aberant pentru x=13, face ca dreapta de regresie s nu treac prin nici unul din puncte.

Figura 1.20. Grupul C de date i dreapta de regresie

Pentru grupul D, dreapta de regresie pare atras de punctul aberant, n x=19 sau nu sunt suficiente date pentru a determina panta dreptei

Figura 1.21. Grupul D de date i dreapta de regresie

Metodele rezistente pentru rezolvarea situaiilor n care se manifest existena valorilor aberante, recurg la proceduri iterative i respect acelai criteriu, cel al minimizrii sumei ptratelor abaterilor valorilor observate de la dreapta de regresie (variana reziduurilor s fie minim), ca i metoda regresiei,

.

Aceste metode sunt:

1. metoda celor trei puncte i

2. metoda lui Theil.

Utilizarea medianei, n locul mediei, confer rezisten acestor metode, pentru c n stabilirea medianei nu se ine seama de valorile extreme ale variabilei.

1.15.1. Metoda celor trei puncte

Metoda celor trei puncte const n:

determinarea cuantilelor de ordinul 1/3 i 2/3 ale variabilei x, notate cu x1/3 i x2/3;

divizarea datelor n trei subansamble, astfel:

I : xi < x1/3,

II : x1/3 < xi < x2/3,

III : xi > x2/3;

determinarea a dou puncte (xI, yI) i (xIII, yIII) ca puncte mediane ale subansamblelor I i III, lund ca abscis mediana absciselor acestor puncte i ordonata, mediana ordonatelor lor;

calculul pantei dreptei care trece prin cele dou puncte:

= (yIII yI) / (xIII xI);

i se determin ca median a cantitilor yi xi.

Dei metoda se numete a celor trei puncte, n acest caz, sunt numai dou puncte; al treilea apare n studiul curbelor de cretere.

Se utilizeaz pentru exemplificare, grupul C de date al lui Anscombe i se parcurg etapele descrise n continuare.

Se ordoneaz cresctor cele 11 valori ale variabilei x, pentru a determina cuantilele de ordinul 1/3 i 2/3. Se stabilesc probabilitile cumulate cresctor sub forma unei scri cu pasul 1/11. Prin interpolare se stabilesc ce valori ale lui x, corespund probabilitilor 0.33 i 0.67. Cuantila de ordinul 1/3 este 6.66, iar cea de ordinul 2/3 este 10.33. n Tabelul 1.21 sunt prezentate calculele pentru determinarea cuantilelor.

Se mpart cele 11 observri n trei grupe, n funcie de cele dou cuantile determinate. n Tabelul 1.22 se disting aceste grupe.

Pentru primul punct (xI, yI), mediana valorilor x este 5, iar a valorilor y, 5.73, ca fiind valorile centrale. Pentru punctul (xIII, yIII), avnd un numr par de elemente, mediana valorilor x este media aritmetic simpl a valorilor 12 i 13, adic 12.5, iar mediana valorilor y, se obine dup ordonarea cresctoare a seriei acestora, ca medie aritmetic ntre valorile centrale 8.15 i 8.84, adic 8.495.

Se calculeaz panta dreptei ce unete cele dou puncte de coordonate (5, 5.73), i (12.50, 8.495). Aceast valoare este =0.3687.

Termenul constant , mediana cantitilor yi a1xi, se obine dup ordonarea cresctoare a acestora, ca fiind termenul lor central, 3.821.

xiProbabiliti cumulateOrdin cuantileCuantilele

x1/3 i x2/3

40.09

50.181818

60.2727276.66

70.3636360.33333

80.454545

90.545455

100.63636410.33

110.7272730.66667

120.818182

130.909091

141

Tabelul 1.21. Calculul valorilor x1/3 i x2/3

xiyixiyiyi a1xi

45.393.91533.9153

55.73Punctul 1(55.73)3.88663.8866

66.083.8683.868

76.423.83933.8393

86.77a1 =0.36863.82063.8206

97.11a0 =3.82063.7923.792

107.463.77333.7733

117.813.75463.7546

128.15Punctul 2(12.508.495)3.7263.726

1312.747.94733.6786

148.843.67867.9473

Tabelul 1.22. Calculul parametrilor de regresie

Cu modelul astfel determinat , se obin valorile teoretice, situate pe o dreapt aflat n imediata apropiere a datelor observate. Aceast dreapt de regresie nu mai este atras de punctul aberant, fiind astfel mult mai bun, pentru c trece foarte aproape de majoritatea valorilor observate ale grupului C de date.

Figura 1.22. Grupul de date C i noua dreapt de regresie

Pe graficul din Figura 1.22 se observ c noua dreapt de regresie trece prin aproape toate punctele, care sunt aliniate i nu mai este atras de punctul aberant.

1.15.2. Metoda lui Theil

Metoda lui Theil const n parcurgerea urmtorilor pai, pentru determinarea unui model liniar :

se dispune de n puncte (xi, yi); se consider cupluri de puncte;

se unete fiecare cuplu de puncte printr-o dreapt; se calculeaz panta fiecrei drepte;

valoarea reinut pentru parametrul este mediana acestor pante ale dreptelor;

se determin ca median a cantitilor ale dreptelor.

Cu parametrii astfel determinai se obine o dreapt care va fi mai bun dect dreapta de regresie iniial, atras de punctul aberant.

Aplicarea metodei lui Theil pentru grupul de date C al lui Anscombe, conduce la urmtoarele rezultate, prezentate n Tabelele 1.23, 1.24 i 1.25.

14589124711136

104-5-2-12-6-313-4

140-9-6-5-2-10-7-3-1-8

50347-12681

8014-4-135-2

903-5-224-3

120-8-5-11-6

403792

7046-1

1102-5

130-7

60

Tabelul 1.23. Calculul diferenelor

8.845.736.777.118.155.396.427.8112.746.08

7.461.38-1.73-0.69-0.350.69-2.07-1.040.355.28-1.38

8.840-3.11-2.07-1.73-0.69-3.45-2.42-1.033.9-2.76

5.7301.041.382.42-0.340.692.087.010.35

6.7700.341.38-1.38-0.351.045.97-0.69

7.1101.04-1.72-0.690.75.63-1.03

8.150-2.76-1.73-0.344.59-2.07

5.3901.032.427.350.69

6.4201.396.32-0.34

7.8104.93-1.73

12.740-6.66

6.080

Tabelul 1.24. Calculul diferenelor

Calculele pantelor celor 55 de drepte i mediana lor, folosind funcia MEDIAN(...) din Excel, precum i cantitile ce reprezint termenii liberi i mediana lor, sunt prezentate n Tabelul 1.25.

Dreapta de regresie este , iar n Tabelul 1.26 sunt prezentate valorile teoretice obinute prin metoda lui Theil, i cele obinute prin metoda celor trei puncte. Graficul din Figura 1.23 prezint cele dou drepte de regresie obinute prin metoda celor 3 puncte i prin metoda lui Theil.

141.380.34504.0044

2-5-1.730.34604.0022

3-2-0.690.34504.0022

4-1-0.350.35004.0056

520.690.34504

6-6-2.070.34504.0033

7-3-1.040.34674.0078

810.350.35004.0011

935.281.76004.0089

10-4-1.380.34508.2478

11-9-3.110.34564.0067

12-6-2.070.3450Me=b0

13-5-1.730.34604.0044

14-2-0.690.3450

15-10-3.450.3450

16-7-2.420.3457

17-3-1.030.3433

18-13.9-3.900

19-8-2.760.3450

2031.040.3467

2141.380.3450

2272.420.3457

23-1-0.340.3400

2420.690.3450

2562.080.3467

2687.010.8763

2710.350.3500

2810.340.3400

2941.380.3450

30-4-1.380.3450

31-1-0.350.3500

3231.040.3467

3355.971.1940

34-2-0.690.3450

3531.040.3467

36-5-1.720.3440

37-2-0.690.3450

3820.70.3500

3945.631.4075

40-3-1.030.3433

41-8-2.760.3450

42-5-1.730.3460

43-1-0.340.3400

4414.594.5900

45-6-2.070.3450

4631.030.3433

4772.420.3457

4897.350.8167

4920.690.3450

5041.390.3475

5166.321.0533

52-1-0.340.3400

5324.932.4650

54-5-1.730.3460

55-7-6.660.9514

Me=b10.3456

Tabelul 1.25. Calculul parametrilor noii drepte de regresie

Grupul CRegresia liniarMet. 3 puncteMetoda Theil

xy

107.4687.517.46

148.84108.988.84

55.735.55.665.73

86.7776.776.77

97.117.57.147.11

128.1598.248.15

45.3955.305.39

76.426.56.406.42

117.818.57.887.81

1312.749.58.618.50

66.0866.036.08

Tabelul 1.26. Prezentarea comparativ a rezultatelor

Se observ n Tabelul 1.26, c valorile teoretice prin metoda lui Theil coincid cu valorile yi, cu excepia punctului aberat de coordonate (13, 12.74).

Dei toate celelalte erori sunt 0, totui este mai mare dect n cazul metodei celor 3 puncte.

Figura 1.23. Compararea metodelor rezistente

Ambele metode sunt bune. Cu toate acestea faptul c regresia lui Theil trece prin toate punctele, cu excepia celui aberant, face ca aceasta din urm s fie preferat fa de celelate variante. O alt soluie ar fi s se elimine punctul aberant conform metodei grafice, care indic faptul c punctul izolat influeneaz panta dreptei de regresie. Atunci punctele sunt aliniate dup o dreapt a crei ecuaie este: , foarte apropiat de cea obinut prin metoda Theil.

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

_1143567765.unknown

_1143640638.unknown

_1143641363.unknown

_1155030371.unknown

_1155032931.unknown

_1143642997.unknown

_1143708009.unknown

_1148453028.unknown

_1143645808.xlsChart4

7.468

8.8410

5.735.5

6.777

7.117.5

8.159

5.395

6.426.5

7.818.5

12.749.5

6.086

Datele observate

dreapta de regresie

x

y

Datele grupului C si dreapta de regresie

Sheet1

Grupul C

xyyt

107.468

148.8410

55.735.5

86.777

97.117.5

128.159

45.395

76.426.5

117.818.5

1312.749.5

66.086

Sheet1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

Datele observate

dreapta de regresie

x

y

Datele grupului C i dreapta de regresie

Sheet2

Sheet3

_1143641453.unknown

_1143640686.unknown

_1143641248.unknown

_1143641256.unknown

_1143640695.unknown

_1143640659.unknown

_1143638991.unknown

_1143639418.unknown

_1143635288.unknown

_1143563244.unknown

_1143567085.unknown

_1082295382.unknown

_1082295723.unknown

_1082296724.unknown

_1143562519.unknown

_1082296709.unknown

_1082295709.unknown

_1082291189.unknown

_1082291681.unknown

_1082232801.xlsChart2

8.048

9.9610

5.685.5

6.957

8.817.5

10.849

4.265

4.826.5

8.338.5

7.589.5

7.246

Datele observate

dreapta de regresie

x

y

Datele grupului A si dreapta de regresie

Sheet1

Grupul A

xyyt

108.048

149.9610

55.685.5

86.957

98.817.5

1210.849

44.265

74.826.5

118.338.5

137.589.5

67.246

Sheet1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

Datele observate

dreapta de regresie

x

y

Datele grupului A i dreapta de regresie

Sheet2

Sheet3

_1082269254.xlsChart1

7.467.5073333333

8.848.982

5.735.664

6.776.77

7.117.1386666667

8.158.2446666667

5.395.2953333333

6.426.4013333333

7.817.876

12.748.6133333333

6.086.0326666667

datele observate

dreapta de regresie corecta

x

y


Sheet1

Grupul C

xyytytt

107.4687.51

148.84108.98

55.735.55.66

86.7776.77

97.117.57.14

128.1598.24

45.3955.30

76.426.56.40

117.818.57.88

1312.749.58.61

66.0866.03

45.390.09

55.730.1818181818

66.080.27272727270.63

76.420.36363636366.63

86.770.4545454545

97.110.5454545455

107.460.636363636410.370.37

117.810.7272727273

128.150.8181818182

1312.740.9090909091

148.841

45.393.91533333333.91533333333.9153333333

55.73pct.155.733.88666666673.88666666673.8866666667

66.083.8683.8683.8683.6786666667

03.726

76.423.83933333333.83933333333.83933333333.7546666667

86.77panta dr. a1=0.36866666673.82066666673.82066666673.82066666673.7733333333

97.113.7923.7923.7923.792

107.463.77333333333.77333333333.77333333333.8206666667

03.8393333333

117.813.75466666673.75466666673.75466666673.868

128.15pct.212.508.4953.7263.7263.7263.8866666667

1312.747.94733333333.67866666673.67866666673.9153333333

148.843.67866666677.94733333337.94733333337.9473333333

Sheet1

datele observate

dreapta de regresie corecta

x

y


Sheet2

Sheet3

_1082271767.unknown

_1082233152.xlsChart5

6.587

5.767

7.717

8.847

8.477

7.047

5.257

12.512.5

5.567

7.917

6.897

Datele observate

dreapta de regresie

x

y

Datele grupului D si dreapta de regresie

Sheet1

Grupul C

xyyt

86.587

85.767

87.717

88.847

88.477

87.047

85.257

1912.512.5

85.567

87.917

86.897

Sheet1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

Datele observate

dreapta de regresie

x

y

Datele grupului D i dreapta de regresie

Sheet2

Sheet3

_948481645.unknown

_1082232639.xlsChart3

9.148

8.110

4.745.5

8.147

8.777.5

9.139

3.15

7.266.5

9.268.5

8.749.5

6.136

Datele observate

dreapta de regresie

x

y

Datele grupului B si dreapta de regresie

Sheet1

Grupul B

xyyt

109.148

148.110

54.745.5

88.147

98.777.5

129.139

43.15

77.266.5

119.268.5

138.749.5

66.136

Sheet1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

Datele observate

dreapta de regresie

x

y

Datele grupului B i dreapta de regresie

Sheet2

Sheet3

capitol extras

Documents