Capital Markets and Portfolio Theory, Roland Portait

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<ul><li><p>8/3/2019 Capital Markets and Portfolio Theory, Roland Portait</p><p> 1/102</p><p>Capital Markets and PortfolioTheory</p><p>Roland PortaitFrom the class notes taken by Peng Cheng</p><p>Novembre 2000</p></li><li><p>8/3/2019 Capital Markets and Portfolio Theory, Roland Portait</p><p> 2/102</p><p>2</p></li><li><p>8/3/2019 Capital Markets and Portfolio Theory, Roland Portait</p><p> 3/102</p><p>Table of Contents</p><p>Table of Contents</p><p>PART I Standard (One Period) Portfolio Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>1 Portfolio Choices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.A Framework and notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2</p><p>1.A.i No Risk-free Asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.A.ii With Risk-free Asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.B Efficient portfolio in absence of a risk-free asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.B.i Effi ciency criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.B.ii Effi cient portfolio and risk averse investors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.B.iii Effi cient set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.B.iv Two funds separation (Black) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0</p><p>1.C Efficient portfolio with a risk-free asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.D HARA preferences and Cass-Stiglitz 2 fund separation . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>1.D.i HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.D.ii Cass and Stiglitz separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5</p><p>2 Capital Market Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.A CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>2.A.i The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7</p><p>2.A.ii Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 92.A.iii CAPM as a Pricing and Equilibrium Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.A.iv Testing the CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1</p><p>2.B Factor Models and APT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.B.i K -factor models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 12.B.ii APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 22.B.iii Arbitrage and Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 42.B.iv References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5</p><p>PART II Multiperiod Capital Market Theory : theProbabilistic Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>3 Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.A Probability Space and Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 .B Asse t Pr ices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>3.B.i De nitions and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 83.C Portfolio Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>3.C.i Notation: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 93.C.ii Discrete Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 93.C.iii Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0</p><p>i</p></li><li><p>8/3/2019 Capital Markets and Portfolio Theory, Roland Portait</p><p> 4/102</p><p>Table of Contents</p><p>4 AoA, Attainability and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.A De n i t i ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.B Propositions on AoA and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35</p><p>4.B.i Correspondance between Q and : Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.B.ii Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8</p><p>5 Alternative Speci cations of Asset Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.A Ito Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.B Diff us ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.C Diff usion state variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41</p><p>5.D Theory in the Ito-Di ff usion Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.D.i Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 15.D.ii Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2</p><p>5.D.iii Redundancy and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 25.D.iv Criteria for Recognizing a Complete Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44</p><p>PART III State Variables Models: the PDE Approach . . . . . . . . . . . . . . . . 45</p><p>6 Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46</p><p>7 Discounting Under Uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48</p><p>7.A Itos lemma and the Dynkin Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.B The Feynman-Kac Theorem .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48</p><p>8 The PDE Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508.A Continuous Time APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50</p><p>8.A.i Alternative decompositions of a return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508.A.ii The APT Model (continuous time version) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51</p><p>8.B One Factor Interest Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.C Discounting Under Uncertainty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53</p><p>9 Links Between Probabilistic and PDE Approaches . . . . . . . . . . . . . . . 55</p><p>9.A Probability Changes and the Radon-Nikodym Derivative . . . . . . . . . . . 559.B Girsanov Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.C Risk Adjusted Drifts: Application of Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . . 56</p><p>PART IV The Numeraire Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59</p><p>10 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60</p><p>11 Numeraire and Probability Changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6111.AFramework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>11.A.i Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1</p><p>ii</p></li><li><p>8/3/2019 Capital Markets and Portfolio Theory, Roland Portait</p><p> 5/102</p><p>Table of Contents</p><p>11.A.ii Numeraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 111.B Correspondence Between Numeraires and Martingale Probabilities . 62</p><p>11.B.i Numeraire Martingale Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6211.B.ii Probability Numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3</p><p>11.CSummary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63</p><p>12 The Numeraire (Growth Optimal) Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.ADe nition and Characterization ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>12.A.i De nition of the Numeraire (h , H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 512.A.ii Characterization and Composition of (h , H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.A.iii The Numeraire Portfolio and Radon-Nikodym Derivatives . . . . . . . . . . . . 69</p><p>12.B First Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6912.B.i CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 012.B.ii Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0</p><p>PART V Continuous Time Portfolio Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72</p><p>13 Dynamic Consumption and Portfolio Choices (The MertonModel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.AFramework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>13.A.i The Capital Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 313.A.ii The Investors (Consumers) Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4</p><p>13.B The Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.B.i Sketch of the Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 413.B.ii Optimal portfolios and L + 2 funds separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7713.B.iii Intertemporal CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8</p><p>14 THE EQUIVALENT STATIC PROBLEM (Cox-Huang,Karatzas approach) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8014.ATransforming the dynamic into a static problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80</p><p>14.A.i The pure portfolio problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 014.A.ii The consumption-portfolio problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2</p><p>14.BThe solution in the case of complete markets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8314.B.i Solution of the pure portfolio problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8314.B.ii Examples of speci c utility functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 514.B.iii Solution of the consumption-portfolio problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8614.B.iv General method for obtaining the optimal strategy x . . . . . . . . . . . . . . . 87</p><p>14.CEquilibrium: the consumption based CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88</p><p>PART VI STRATEGIC ASSET ALLOCATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90</p><p>15 The problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91</p><p>16 The optimal terminal wealth in the CRRA, mean-variance</p><p>iii</p></li><li><p>8/3/2019 Capital Markets and Portfolio Theory, Roland Portait</p><p> 6/102</p><p>Table of Contents</p><p>and HARA cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9216.A Optimal wealth and strong 2 fund separation....................... 9216.B The minimum norm return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92</p><p>17 Optimal dynamic strategies for HARA utilities in two cases . . . . 9317.A The GBM case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9317.B Vasicek stochastic rates with stock trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93</p><p>18 Assessing the theoretical grounds of the popular advice . . . . . . . . . 9418.AThe bond/stock allocation puzzle . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9418.B The conventional wisdom. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94</p><p>REFERENCES 95</p><p>iv</p></li><li><p>8/3/2019 Capital Markets and Portfolio Theory, Roland Portait</p><p> 7/102</p><p>PART IStandard (One Period)</p><p>Portfolio Theory</p></li><li><p>8/3/2019 Capital Markets and Portfolio Theory, Roland Portait</p><p> 8/102</p><p>Chapter 1 Portfolio Choices</p><p>Chapter 1Portfolio Choices</p><p>1.A Framework and notations</p><p>In all the following we consider a single period or time interval (0 1), hence twoinstants t = 0 and t = 1</p><p>Consider an asset whose price is S (t) (no dividends or dividends reinvested).The return of this asset between two points in time (t = 0 , 1) is:</p><p>R =S (1) S (0)</p><p>S (0)</p><p>We now consider the case of a portfolio. and distinguish the case where ariskless asset does not exist from the case where a risk free asset is traded.</p><p>1.A.i No Risk-free Asset </p><p>There are N tradable risky assets noted i = 1 ,...,N :</p><p> The price of asset i is S i (t), t = 0 , 1.</p><p> The return of asset i is</p><p>R i =S i (1) S i (0)</p><p>S i (0)</p><p>2</p></li><li><p>8/3/2019 Capital Markets and Portfolio Theory, Roland Portait</p><p> 9/102</p><p>Chapter 1 Portfolio Choices</p><p> The number of units of asset i in the portfolio is n i . The portfolio is describedby the vector n (t); n i can be &gt; 0 (long position) or &lt; 0 (short position).</p><p> Then the value of the portfolio, denoted by X (t), is</p><p>X (t) = n 0 S (t )</p><p>with n (0) = n (1) = n (no revision between 0 and 1), the prime denotes atranspose. S (t ) stands for the column vector (S 1(t),...,S N (t))0</p><p> The return of the portfolio is:</p><p>RX =X (1) X (0)</p><p>X (0)</p><p> Portfolio X can also be de ned by weights, i.e.</p><p>xi (0) = xi =n i S...</p></li></ul>