cap.9 - escoamento externo 9.1 – o conceito de camada limite 9.2 – espessuras da camada limite...
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Cap.9 - Escoamento Externo
9.1 – O conceito de camada limite
9.2 – Espessuras da camada limite
9.3 – Camada limite laminar em placa plana
9.4 – Equação integral da quantidade de movimento
9.6 – Gradientes de pressão no escoamento
9.5 – Emprego da equação integral
9.7 – Arrasto
9.8 – Sustentação
9.1 – O conceito de camada limite
PARTE A CAMADAS LIMITE
UxUx
Rex
6Crx
5 10x3Re10x2
9.2 – Espessuras da camada limite
A camada limite é a região adjacente a uma superfície sólida na qual as forças viscosas são importantes.
A espessura da camada-limite, , é definida como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade situa-se dentro de 1 por cento da velocidade de corrente livre.
A espessura de deslocamento, , é a distância da qual a fronteira sólida teria que ser deslocada em um escoamento sem atrito para dar a mesma diferença de vazão em massa que existe na camada-limite.
0
* dyw)uU(wU
Para escoamento incompressível:
0
* dyU
u1
0
* dyU
u1
A espessura de quantidade de movimento, , é definida como a espessura da camada de fluido, de velocidade U, para a qual o fluxo de quantidade de movimento é igual ao déficit do fluxo de quantidade de movimento através da camada-limite.
0
2 dyw)uU(uwU
Para escoamento incompressível:
0dy
U
u1
U
u
0dy
U
u1
U
u
0
dy)uU(Área
0
dy)uU(uÁrea
2
2
2
2
x y
u
x
u
x
pg
y
uv
x
uu
t
u
2
2
2
2
y y
v
x
v
y
pg
y
vv
x
vu
t
v
Simplificações utilizadas no modelo de Blasius (camada limite laminar na placa plana). Navier-Stokes bidimensional :
yxeuv
- Gradiente de pressão são iguais a zero
- Forças de origem gravitacional desprezíveis
- Regime permanente
2
2
y
u
y
uv
x
uu
.)M.C(0y
v
x
u
9.3 – Camada limite laminar em placa plana
A solução analítica para a camada limite laminar em placa plana horizontal foi obtida por Blasius em 1908.
.)M.C(0y
v
x
u
Escoamento bidimensional, permanente e incompressível com gradiente de pressão igual a zero.
2
2
y
u
y
uv
x
uu
0dy
du,Uuypara
0u0ypara
Condições de contorno:
O modelo de Blasius considera que o perfil u/U é similar para toda a extensão de x ao longo da placa plana.
y)(função)(g
U
u
Blasius utilizou a correlação, e estabeleceu a variável adimensional :
U/x
x
Uy
Utilizando a definição de função corrente:x
vey
u
2
2
y
u
y
uv
x
uu
3
3
2
22
yyxyxy
Apesar da equação a ser resolvida apresentar uma única variável dependente, , a dificuldade em obter a solução ainda permanece.
Para contornar a dificuldade foi proposto o uso da função corrente adimensional abaixo, como função a ser obtida de , alterando a forma da equação da Q.D.M. :
xU)(f
xUx
Uyf)(f
yyu
xxv
)(fxU
x
UfxUu
)(f
d
df
x
U
2
1v
2
2
d
fd
x2
U
x
u
2
2
d
fdxUU
y
u
3
32
2
2
d
fd
x
U
y
u
2
2
y
u
y
uv
x
uu
0d
fdf
d
fd2
2
2
3
3
1d
dfpara
0d
dff0para
fU
ufUu
Perfis de velocidade similares ao longo de x
(camada limite laminar em placa
plana)
Solução de Blasius para camada limite laminar em placa plana
x
Uy
Uu)(f
y
Uvx
A solução de Blasius mostra que u/U=0,99 quando =5 :
x
Uy
U
xy
U
x5)x(
Ux
x5
2
Ux
x5
xRe
x5
A tensão de cisalhamento na parede pode ser expressa como:
0
2
2
0y
W d
fd
x
UU
y
u
x/UU332,0W x
22
1
WRe
U664,0
Assim, o coeficiente de tensão de cisalhamento na parede, ou coeficiente local de atrito, será:
x2
21
Wf
Re
664,0
UC
Exemplo : (a) Determine a espessura da camada limite em uma placa plana de 1 m submersa em um escoamento laminar na atmosfera sob velocidade do vento de 1 m/s e 10 m/s. (b) Calcule a tensão de cisalhamento na parede no centro da placa nos dois casos.
xRe
x5 ]s/m[10x5,1 25
510x5,11xU
15
Ux
x5
U
0193,0
]s/m[1Upara0193,0
]s/m[10Upara0061,0
5x 10x5,1
UUxRe
arminla]s/m[1Upara10x67,6Re 4
turbulenta]s/m[10Upara10x67,6Re 5
/5,0U
U664,0
Re
U664,0 22
1
x
22
1
W
1Upara]m/N[0022,0 2W
10Upara]m/N[0707,0 2W
9.4 – Equação integral da quantidade de movimento
SC
VCSC Ad.VV
t
dVVFFF
21xSxC Ad.VuAd.VuFF
(Gradiente de pressão nulo)
w
21xS Ad.VuAd.VuF
placa
w
placa
wD dxwdAF
2
2
1
2xS dAu)(dAU)(F
DF
2
2
1
2DxS dAu)(dAU)(FF
2
2
1
2D dAudAUF
0
22D bdyubhUF
)massa.C(bdyubhU0
0
2 dyUubbhU
0
2
0D dyubdyUubF
0D dy)uU(ubF
0dy
U
u1
U
u
0D dy)uU(ubF
0
2D dy
U
u1
U
ubUF bUF 2
D
A distribuição de tensão de cisalhamento é obtida diferenciando-se a equação anterior em relação a x:
dx
dbU
dx
dF 2D
dx
dbUb 2
w
dxbdF wD (Balanço de forças infinitesimal na placa)
dx
dU2
w
Observa-se que o arrasto será nulo se o escomento for ideal (u=U). A equação anterior indica que o escoamento na camada limite sobre uma placa plana é o resultado do equilíbrio de forças do arrasto e a diminuição da quantidade de movimento do fluido.
Ao longo do comprimento da placa, aumenta e o arrasto também. O aumento da espessura da camada limite é necessária para equilibrar o arrasto provocado pela tensão de cisalhamento viscosa na placa.
Esta característica não ocorre no escoamento interno porque a quantidade de movimento do escoamento interno é constante e a força de cisalhamento é equilibrada pelo gradiente de pressão negativo ao longo do conduto fechado.
Perfis de velocidade típicos utilizados na análise integral da camada limite.
9.5 – Emprego da equação integral
0y
W y
u
yU
u
U
W
Exemplo: Considere o escoamento laminar de um fluido incompressível sobre uma placa plana posicionada no plano com y=0. Admita que o perfil de velocidade é linear, u = Uy/ para y < e u = U para y > .
Determine a tensão de cisalhamento utilizando a equação integral.
Solução:dx
dU2
w
Perfil de velocidade linear
0dy
U
u1
U
u
Utilizando a definição da espessura de quantidade de movimento:
0dy
U
u1
U
u
0dy
y1
y
6
dx
dU2
W
dx
d
6
1
dx
d
d
d
dx
d
dx
d
6
1U
U 2
dx
U
6d
x
00dx
U
6d x
U
6
2
2
U
x122
/Ux
x12 22
xRe
x46,3
A tensão de cisalhamento na parede pode ser obtida combinando as eq. anteriores:
dx
d
6
1U2
W
/Ux
12
6
1U2
21
W
xU
12
x
1
U
12
2
1
dx
d
/Ux
U577,0
22
1
W
0
2
32
3
y
2
y
Considerando uma função geral para o perfil de velocidade adimensional u/U, tem-se:
10/py
g)(gU
u
dx
dU2
w
1/p1U
u
Condições de contorno:
1/p0d/dge1)1(g,0)0(g
0dy
U
u1
U
u bUF 2D
0y
W y
u
y d)x(dy
0dy
U
u1
U
u 1
0d)x(g1g
1
0dg1g 1C
12
D C)x(bUF
Perfil de velocidade como função de y/
A tensão de cisalhamento na parede pode ser escrita como:
0y
W y
u
y
Ug)(Ugu
1
d
dgU
dy
d
d
dg
dg
du
y
u
0
W d
dgU
2W C
U
dx
dU2
w
1C
dx
d
dx
d
1
22 C
dx
dUC
U
ddxC
C
U 1
2
1Cpagina anterior
0
x
01
2 ddxC
C
U 2x
C
C
U
2
1
2
1
22
2
C
C2
/Ux
x
x1
2
Re
x
C
C2)x(
x
22
1
21wRe
UCC2
x
212
DRe
xCC2bUF
x1
2
Re
x
C
C2)x(
x
22
1
21wRe
UCC2
21xDf
x22
1
D
CC22ReC
RebLU
F
1
2x
C
C2
x
Re
21xf
x22
1
w
CC2Rec
ReU
Exemplo: Um fluido escoa sobre uma placa plana de 0,5 por 0,5 [m2] com velocidade de aproximação igual a 1 m/s.
Determine a força de arrasto devido ao atrito, considerando os seguintes fluidos: (a) água a 20 oC , (b) Ar no estado padrão e (c) glicerina a 20 oC .
UxRex
3
5
6
10x19,1/5,0
10x56,1/5,0
10x16,1/5,0
Re
0648,0C
0074,0C
0020,0C
Re
328,1C
cDf
bDf
aDf
L
Df
2
4
5
10x2,4
10x2,3
10x3,4
Re
328,1ReC
RebLU
F
LDf
L22
1
D
bLUCF 22
1DfD
125,0262.10648,0F
125,0230,10074,0F
125,0000.10020,0F
125,0CF
cD
bD
aD
DfD
]N[22,10F
]N[0011,0F
]N[25,0F
cD
bD
aD
Transição de camada limite laminar para turbulenta.
Perfis típicos de velocidade para os
regimes laminar, de transição e turbulento do
escoamento
na camada limite sobre uma placa plana.
6Crx
5 10x3Re10x2
)adotadovalor(
10x5Re 5Crx
Exemplo: Um fluido escoa sobre uma placa plana com velocidade de aproximação igual a 3,1 m/s.
Determine a distância em relação ao bordo de ataque da placa em que ocorre a transição do regime laminar para o turbulento e estime a espessura da camada limite neste local.
Considere os seguintes fluidos: (a) água a 20 oC , (b) Ar no estado padrão e (c) glicerina a 20 oC .
UxRex
xRe
x5
3
c
5b
6a
5Crx
10x19,1/L1,3
10x56,1/L1,3
10x16,1/L1,3
10x5Re
]m[192L
]m[516,2L
]m[187,0L
c
b
a
]m[36,1
]mm[8,17
]mm[32,1
c
b
a
L10x1,710x5
L5 3
5
Considere o escoamento turbulento de um fluido incompressível sobre uma placa plana.
Admitindo que o perfil de velocidade na camada limite é dado por u/U = (y/)1/7 , determinaremos as espessuras da camada limite e , a tensão de cisalhamento na parede w e o coeficiente de atrito médio na parede, CDf .
Este perfil é próximo daqueles obtidos experimentalmente em placas planas exceto na região muito próxima a placa.
Camada limite turbulenta
Admitiremos que a tensão de cisalhamento na parede é dada por :
ao invés da expressão para fluidos newtonianos, anteriormente utilizada na modelagem da camada limite laminar sobre plana plana.
4
22
1
wU
U045,0
dx
dU2
w
a tensão de cisalhamento na parede, dada pela conservação da quantidade de movimento, pode ser utilizada para escoamento laminar ou turbulento:
0dy
U
u1
U
u 1
0d1 7
17
1 72
7
4
22
1
wU
U045,0
dx
d
72
7U2
w
dx
d
72
7
/U
0225,04
dx/U
241,0d
44
1
x
0 40dx
/U
241,0d4
1
x/U
241,0
5
44
45
54
x/U
383,05
x/Ux
383,05
xRe
383,05
x
dx
d
72
14U2
21
w
5
1
x5
4
/U
383,0
dx
d5
5
x2
21
w
Re
0596,0
U
bUF 2D 5
L
2D
Re
L383,0
72
7bUF
5L
22
1
D
Re
074,0
bLU
F
Coeficiente médio de atrito
para uma placa plana
posicionada paralelamente ao
escoamento.
Exemplo: Determine a força de arrasto devido ao atrito em dois casos de escoamento de fluidos sobre uma placa plana de 10 por 10 [m2]: na situação (a) com velocidade de aproximação igual a 4,2 m/s (aprox. 15,1 km/h) com fluido água e na situação (b) com velocidade de aproximação igual a 42 m/s (aprox. 151 km/h) com fluido ar.
ULReL
5
6
L10x56,1/420
10x16,1/0,42Re
00258,0C
00246,0C
aDf
aDf
7
7
10x69,2
10x62,3Re
58,2L
Df22
1
D
)Re(log
455,0C
bLU
F
bLUCF 22
1DfD
4
aD
2aD
10x82,8230,100258,0F
10x82,8000.100246,0F
]N[280F
]N[170.2F
aD
aD
9.6 – Gradientes de pressão no escoamento
PARTE B ESCOAMENTO SOBRE CORPOS SUBMERSOS
9.7 – Arrasto
FDV
AV
FC
22
1
DD
Coeficiente de Arrasto
Dois objetos com formas diferentes mas que apresentam o mesmo coeficiente de arrasto (cilindro e
aerofólio com CD=0,12.
Exemplo: Um grão de areia, com diâmetro K=0,1 mm e densidade igual a 2,3 decanta para o fundo de um lago. Determine a velocidade do movimento do grão de areia admitindo que a água do lago está estagnada.
m/s
Exemplo: Um vento forte pode remover a bola de golfe de seu apoio (observe que é possível o pivotamento em torno do ponto 1. Determine a velocidade do vento necessária para remover a bola do apoio.
AVCF 22
1DD
DF
P 0M0
0m.Pr.FD
01,5.P5,21.FD
]N[1046,0216,4
441,0
5,21
1,5.PFD
222
1D 0215,0V23,1C1046,0
AV23,1C1046,0 22
1D
13,117VC 2D
5,0CD Adotandoinicialmente ]s/m[3,15V26,234V2
510x5,1
043,03,15VDRe
410x4,4Re 45,0CD
]s/m[1,16V
Comportamento do coeficiente de atrito em função de Re para vários corpos (escoamento bidimensionais)
Tendência histórica da redução do coeficiente de arrasto dos automóveis
9.8 – Sustentação
relação (ou razão) de aspecto = ar = b2 / Ap
Ap=área
b
relação (ou razão) de aspecto = ar = b2 / Ap
Ap=área
b
