Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Transformada de Fourier de um sinal discreto no tempo ():

= ()

=

A DTFT uma funo complexa da varivel real e contnua .

A DTFT uma funo peridica com perodo 2:

(+2) = ()(+2)

=

= ()

=

=

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Por ser uma funo complexa da varivel real , pode ser expressa como:

= +

ou, na forma polar:

= ()

onde

= () = 2+ 2

e

= = atan ( /

)

so os espectros de mdulo e de fase, respectivamente, de .

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Exemplo: A DTFT de

= (0,6)()

= (0,6)

=0

=1

1 0,6

ou seja,

= () =1

1 0,6cos () 2 + (0,6 sen )2

e

= = atan (0,6 sen /(1 0,6 cos ))

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Relaes de simetria da DTFT:

Para uma sequncia () real:

= ()

=

= ()

=

=

Portanto:

= funo par

=

funo mpar

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Tambm tem-se, para uma sequncia () real:

() = () funo par

= funo mpar

Para uma sequncia () par:

= 0

Para uma sequncia () mpar:

= 0

DTFT Inversa

A sequncia () pode ser obtida a partir de atravs da

IDTFT:

=1

2

Existe uma relao de unicidade entre uma sequncia e sua DTFT:

A expresso da IDTFT exprime () como uma soma contnua de sequncias exponenciais complexas cujas amplitudes e fases so

determinadas por .

()

Convergncia da DTFT

A DTFT existir se a srie

= ()

=

convergir.

Se () for absolutamente somvel, ou seja:

() <

=

ento a srie acima convergir uniformemente para uma funo

contnua de , tal que

< ,

A srie ento denominada absolutamente convergente.

Convergncia da DTFT

Exemplo: a sequncia = (0,6)() absolutamente somvel pois

() =

=

(0,6)=1

1 0,6= 2,5

=0

indicando que a srie (0,6)=0 converge uniformemente

para 1

10,6.

Sequncia absolutamente somvel tem energia finita:

() 2

=

()

=

No entanto, uma sequncia com energia finita no necessariamente

ser absolutamente somvel.

Convergncia da DTFT

Exemplo: a sequncia

=1

( 1)

tem energia mas no absolutamente somvel. A srie que define a

sua DTFT converge no sentido mdio quadrtico para uma funo de

.

Convergncia da DTFT

Definido a soma parcial:

= ()

=

a sequncia de funes , = 1,2,3, convergir

uniformemente para a srie que define a DTFT X se

existir um inteiro tal que:

X < , , >

para um to pequeno quanto se queira. Ou seja:

lim = ()

A DTFT de uma funo absolutamente somvel contnua, pois o limite de

funes contnuas .

Convergncia da DTFT

Convergncia no sentido mdio quadrtico:

= ()

=

a sequncia de funes , = 1,2,3, convergir

no sentido para mdio quadrtico se existir um inteiro tal que:

X 2

< , >

para um to pequeno quanto se queira. Ou seja:

lim X

2

= 0

Convergncia da DTFT

Exemplo: Seja

=()

Esta sequncia no absolutamente somvel, mas tem energia finita

(/). A soma finita:

=

()

=

apresenta oscilaes que no diminuem de amplitude quando se

aumenta . Este comportamento conhecido como fenmeno de Gibbs.

Convergncia da DTFT

Convergncia da DTFT

Representao em Transformada de Fourier de sequncias que no so absolutamente somveis nem tem energia finita:

Exemplo: a srie da DTFT da sequncia senoidal complexa

= 0

no converge nem uniformemente nem quadraticamente.

possvel entretanto definir a DTFT desta sequncia pelo trem de

impulsos de Dirac:

= 2( 0 + 2)

=

Convergncia da DTFT

Uma outra sequncia importante que no absolutamente somvel nem tem energia finita o degrau unitrio u . Esta sequncia pode ser representada no domnio da frequncia por

.

=1

1 + ( + 2)

=

Propriedades da DTFT

Sejam () ()e () H(). Ento as seguintes propriedades so validas:

(i) Linearidade:

+ +

(ii) Deslocamento no tempo:

( 0) 0()

(iii) Deslocamento na frequncia:

0() ((0))

Propriedades da DTFT

(iv) Reverso no tempo:

() ()

(v) Diferenciao na frequncia:

() ()

(vi) Convoluo:

Propriedades da DTFT

(v) Modulao:

1

2 ()

Relao de Parseval:

2

=

=1

2

2

Propriedades da DTFT

DTFTs mais usadas:

1

1 < < 2 + 2

=

1

1 + + 2

=

0 2 0 + 2

=

, ( < 1) 1

1

( + 1) , ( < 1) 1

1 2

=()

, < <

= 1, 0 0, <