Porcenta¡es perrnisibles para McNaughlon, lne'

Oiablo picanleBarón Hoio

Costo por cuario

PRECIO DE VENTAPOB CUARTO

$1 60 $2 59

2-1 . lln pr\blema de mezalas lr{cNaughton, lnc. produce dos salsas para bistec' Diablo picante

y Barón Ro¡c, suave. Ambas salsas se hacen mezclando riosingredientes' A y B' Sepermite

un cierro nivel de n;ü;;d";;; las l'órmutas <Je est6s productos' En la t-igr'rra 2'34 se pre-

senran los porcenr;j;;';.i*;i¡ur.t, junro con datos de ingresos y costos. se pueden

comprar hasta .1o d;;';; Á t ¡o.uuttot de B. NlcNaughton puede ve¡rder tocias las sal-

sas que produz.ca. güUor. un Ér. auyo objetivo sea maximizar el ingrcst' ttet, pro'enietrte

de la venta de las salsas.

FIGURA 2.34.

'No existe un porcentaie máximo o mín¡mo explicito'

2-E, (Jn problema de producción {véase et Eiemptof La compañia cori Ander's Spice tiene un

suánistro limitado de dos hierbas que se Útilizan en la Broduc§ión de aderezos' Cori usa

los dos ingredientes, FIBOI y HBO2, para producir ya sea curry o pimentÓn. El departamen-

to de meicadotecnia inforÁa que aunque la empresa puede vender todo el pimentón que

;;ü;;;.ir, sólo puede vender hastá un miximo de 1500 botellas de curry.^Las hierbas,

no urilizadas * p"*¿.rir.náer a $0.?5 la onza de HBol y a $0'15 la onza de HBO2' En Ia fi-

gura 2.35 se presenlan datos adicionales. Elabore un PL que maximice los ingresos'

FIGU RA 2.35.

Compañía Cori Ander's SPice

ADEREZO

Curry

Pimentón

5

2

1500 $3.50

Unlimited 2.50

Disponibilidad

(onzas)

2-9. otro probiema de mezclas Guy Wires, §uperintendente de edificaciones y jardines de la- -'

Univásidad de Ctricágá, está planeando poner fertilizante al pasto en el área de patios a la

entrada de la primavefa. El paito necesita nitrógeno, fósforo y potasio al mtnos en.!'¡an_-

tidades dadas en [a figura 2.36. Esrán disponibles tres clases de fertili¿antes comercrales; en

i" iierá z.¡¡ r" au ríááfuis y los preciós de ellos. Guy puede comprar todo el fertilizante

qr. "qri..u de cada precio y mezclárlos. anres de aplicar al pasto' Formule un modelo de

iiogi;u.¡On lineal'para dererminar cuánto debe comprar de cada fertili¿ante para satisfa-

cer los requerimientos a un costo rnlnlmo'

FIGURA 2.36.

Requerimientos totales del Pasto

MTNERAL PESO MINIMO (lb)

INGREDIENTES(onza/botella)

HBO1 HBO2

PRECIODE VENTA

DEMANDA (bOICIIAS} POR BOTELLA

10

7

5

3a

850010000

NitrógenoFÓ§,oro

Potasio

{r

Cap.Z/Programaciónlineal:Modelosformalesyhojadecálculoelectr6nica79

:it:is:lt'ljj:a:.3

, li1

FIGURA 2.37.

Caracteristicas de los lertilizantes (por 1000 libras¡

coñtrE¡üDoo€ N,TR@E|'¡O

F§BT|LIZANTE (tbl

CONTEN¡DOOE FO§FORO

(tb)

CONTENIDOOE FOTA§IO

{tb) PRECIO

I

llfil

10

5

10

5

10

5

10

5

$10B

7

2-lA. Pbneación de dietas {véase et Ejemplo 2) Pearce Dears, un antiguo entrenador de grupe+de choque , se ha converfido en avicultor. Desea ali¡¡entar a sus animales en lorma tal quese cubran sus necesidades de nutrició¡r á un costo minimo. Pearce está estudiando el uso demaí2, soya, avena y alfalfa. En la ligura 2.38 se mr¡esra la información dietética importan-te por libra de grano (por ejemplo, I libra de maiz proporciona l5 miligramos de proteinai"Elaboren un modelo PL para determinar la mezcla dietética que satisfará los requisita,:diarios a un costo minimo.

TTGURA 2.38.

Nutrientes por libra de grano

NUTRIEIT¡TE MAIZ §OYA AVENA ALFALFA "ttiiP,frottProteína (mg)

Calcio (mgl ,

Gras&§ (mg)

Calorias

7

4525

4000

15

40

20

850

3010

50

1 500

15

40B

1200

M¡n¡ñ'rcr de 50 mg

Mínirna de 150 mg

Máximo de 120 m§

Mínim.r de 25 ma

Miniñro de 5000 cal¡. rias

O¿sto por tibrá 70

2-11. Dos productos son manufacturados en tres máquinas. Una libra de cada producto requiereun número especifico de horas en cada máquina, como se presenta en la figura 2.39. El to-talde horasdisponibles de las máquinas 1,2 y 3.corresponde, respectivamente, a I0, 161,12. Las utilidades por libra de los productos I y 2 son 4 y 3, respeclivamente. Defina las va-riables de decisión y lormule el problema como prograrna lineal para la maximización delas utilidades.FTGURA 2.39.Datos de tiempode maguina {horas,

PRODUCTO

MAQUINA

9040

1

23

3

1

A

¿

4

3

2-12. Presupuestsción de capital (véase el Sjempla S) Una compañia de inversiones tiene queelegir entre cuatro proyectos que compiten por un presupuesto de inversión i¡u-¿.$l '500'000. En la figura 2.40 se mu€stran la inversión neia y tós rendimienros estimaáos áecada proyecto. A cada uno de estos proyectos se le pueden asignar lbn¿os en cualquier ni--vel fraccional =10090. La compañia requiere de un rendimiento minimo del 25olo v desea

cep, 2 / Prsgremación lineaL Mde.l¡os formales y hoja de eálculo electrónica

minimizar el riesgo. Supóngase que el riesgo es aditivo. Por ejemplo, el riesgo de asignarfondos para aceites al ?Oeo y paraedificio de oficinas al 5090 será (0.2X9) + (0.5X4) = 3.8.Elaboren un modelo PL donde las variable* de decisión sean las fracciones de cada prc,yec-t0 que se debe llevar a cabo.

FIGURA 2.40.

Proyectos de inversiÓn

PROYECTO INVERSION *HrlS'f§J§t RrE$co

Shopprng CentersAceileEd¡ficios de oficinasViviendas de ba¡os ingrescs

s5s0,000400,000450,000500.000

$700,000900,000550,000600,000

6

I4

2

2-L3. Anólisis del punlo de equilibrio (véase el Ejemplo 6) Reese Eichler, fabricante de equiposde filtración de aire superlluo, produce dos modelos, el Umidaire y el Depolinad<¡r. En latigura 2.4i se dan los datos relativos a precios de venta y costos. La firma de Reese ya tienecontratados 500 Umidaires y-desearla calcular el punto de equilibrio para ambos modelos.Formulen un PL que minimice los costos.

FIGURA 2.41

Precios de venla y cosios

PRECIO DE VENTA COSTO VARIABLEPRODUCTO POB UNIDAD POR t,NIDAD COSTO FIJO

UmidaireDepolinador

$450700

s240360

$150,000240,000

2-14. Un problemd de producción {vésse el Ejemplo 1) En la figura 2.42 se presentan los re-quisitos por unidad y los ingresos ne tos para equipo fbrestal 1.' equipo de excavación. Def i-nan las variables de decisión y elaboren un programa lineal que rna.rimice los ingresos.

FIGURA 2.42.

EQUIPOINGRESO

NETO

Forestal

Excavac ión

Disponibilidad

Planeación de corteru Una compañia de inversiones tiene actua¡mente $10 millones parainvertir. La meta co¡rsiste en maximizar k¡s réditos que se espera devengar en el próximoaño. Las cuatro posibilidades eie inversión se resumen en la l'igura 2.43. Además, lacompañia ha establecidt) que por lo ntenos et 100¿ de k¡s fondos deberá rer colocado en ac-ciones y en bonos de la tesoreria, y no más del 4OV¡ en el mercado de valores y bonos muni-cipales. Se deben colocar completanrente los Si0 rnilloner disponibles. !ormule un modelode programación lineal que diga cuánto dinero invertir e¡r cada instancia.

$450895

I

wlM,#

ffii&'l*rffiffi.rMfr

ffi,üSr&$,iurffiiffirW;i

Iñ,

ii

Datos del equipo forestal y de excavación

HIERRO TRABAJO REQUISITOS DE TRATAMIENToI(lb) (hrs) TRANSMISIONES * (hrs)

950 65 1 284000 120 1 16

Cap. 2 / Programación lineal; Modelos formales y hoja de cálculo electrónica 8l

FTGURA 2.43.Hesumen de posibilidades de inversión

POSIBILlDADES DEINVERSION

RÉDITO§ESPERADOS %

INVERSION MAXIMA PERMISIBLE(MILLONES)

I

i,:.

tB

612

I

(3'Slt,sratión de la prducción una empresa ha decidido lanzar rres nuevos productos.Dos planta§ sucursales tienen en estos momertos capacidad de producción excedinte. En lafrgura2.44 se muestran las capacidades de las planus y los cosios de producción. Identifi-que las variables de decisión y elabore un modelo PL que asigne la pioducción de los tresproducto§ a las dos plantas en forma tal que cubran la-demaida y minimicen los costos.

Bonos de ia TesoreríaAccionesMercado de dineroBonos municipales

$57

2

FIGURA 2.¿t4.

Costos unitarios de producción

'!)lt uoaru de transpctrle (véose el Eiemplo 4) Bob Frapples empaca fiutas exóricas envuel-tas para regalo. Sus paquetes son envueltos en dos tiendas diferentes que las envian a cincodil'erentes vendedores' El costo de empacar los productos .n rurii*¿ur I y z

", J. l:.iiy

$5.70 respectivamente. El pronóstico de Bob dela demand" inái.u éu. los envios deben sercomo se indica en la.fis-ur¡ 2.45. Lacapacidad de empaque de Ia tiónda r es de zo,ooo pa_quetes y la de la Úenda 2 de 12'000. Los costos de disiribución desde las dos tíendai seáanen la figura 2.46. Formule u¡ modelo de programación lineal para determin"r ."arto, pu-quetes debe enviar Bob desde cada tienda a cada vendedor.

FIGURA 2.45.Demanda de los mayoristas

2-lE' tJn probrema de programación En una maniobra financiera carcurada, pRorRAC haadquirido una nueva instaración a.áüi'ornos para producir híerro f undido. Ar grupo deadminísr radores ci en ri ficos ilü ;;;ñiu"r. r.,r,, ;i;;;,;, ; ;;JI o. o,.ooo..ionar aoo-

F{::',¿XJ.ffi l?';:Hil:l:irii*r i d'il il; ;, ;iffi1,: L a pi i mera i n,ri,.

ios rosoi ai .oo,l, ,..á. ;il;;;;; á?.,::f#i5}i,á;,:Í,TÍi,.?.**.n3,:u."o p"*i?.,::'J:x,"ffi':#x,:n:;,::Hxi,.#J,,;Í,'; .1il-,*'ilj'.','i::ffiT:',il,li,1T:

cap' 2 '/ prograrnación linear Moderos formares y hoja de cárcuro erectrónica

FIGUBA 2.46.

Costos de distribucton

AL V EN L}É'DOB MAYORISÍ A

FIGURA 2.47' aa eatario§I'elie'irn'¡enios oe traoaio v tasas oe satari

Fequerimlenlos de

lrabaio (horas)

Tesas de salar' mens

'',,'m*',+i{i-,,,$futtt*'+**t,}*f ffi!i,,.""*u,"',' n":':ll,:l'":j;,ff:,T'::i;Ji,;:'o?;;lmpreado enl',u

,,uuuju, en er ro-

baiador' Cada estuori

ktl*ilfl t.:f,l:#^-l=$,,,..:ffi f i:,ü,}iüili,iti,,ffi *l',n*ii,uuuiu' ha:ta I6.5

"::li;;'i,,;,*ihrrdc1o,emllr;,iff;:'ffii:f i:,:,Uii*;,;l'..X;Si et riernpo 'n,rl *T*,;,i,".tu,,

lr.g: 1.^:,;i;i;,;,-;..r., paga el .lln u, mc: c,, \ueldo\t()\ de un nre\. ra 'i.i

",..

-.n r,,i,,. l.r¡.1n¡1,'.,;;.:;;;i;",,,,.Iu..,o

ll,r.nuou,. tj.nnule¡rcrlrrcnadt's al inicr'r :;:i';,;. I r)a per\\)ra.L'1,,:;'.;;* ein]eafol;lnru*¿siir' rincar. ,rmc: ine Iu>o ri l"'' u"[]inI..,,, ü. .,i.,,,, r::":::;_;;,, m,,der.., d.

!:,)¡n, con que )c uucrra

i iit f *ütl* - i ;ri$* * * *['Iii i",i{'}:# l:nllri t:al inicio del nres / a

ocrronal para cnlrcllamict'tt''""11'11'i::l ::ernpleatlo' tn'"""1t"'it^ltcJitlt" al irlie irr ticl rtlet 1'

tit'i!#::E':í:ii:íi{::\=**ii=,Tü$f [;i'}d*':'i},::*ffci$r;-*t,'.,ibl.. puru ptunlurlrl

,1l"d.tl "r**r-...i?" está pensanoo elt 5srtr(

muestran en Ia ltgura t-*^".'lil't.i'ra l.-19'

li;il;: rcgútt 'e nrucltr a tn la 1t¡'ura :'+>

FIGURA 2.¡t8'

1"I". o" áreaY ttub11ry

"[?K:f,-?Jifirü?.GRANJA AREA UTiLIZABLT

1

?

3

A

500900300700

1 700

3000900

2204

; ación lineal: Modelos formales y hoia de cárculo erecrrórica 83

Por ora parte, el área total que puede ser desrinada a cualquier cultivo particular está lir*r'r

tada por los requerimienioi á. .éuipo de cultivo' Con elobjero de mantener' a.,T:i1t^1.t:

e*, á*e"t de irabajo uniformes entre hs e¡Aryar' ! ryL:':i9:-11"*':':T::";' :::::*ffiffi;;;.'ai* ;ñ;;á;da debe "' ál *L*o 'n :ud-u e,'-"ll:,.^.sl:^'-1ou'*o' se puee

culrivar cualquier "o*uinuoá" áe las plantacione§ eñ.ranro se satisfagan ro*:.1-T^f:T:,,,1

uulllv4r Luarqu¡Lr.¡rr.ii¡r.irvendo el requerimiento cle carga de trabajo uniforrne)' La administr.acron de- ii

sea saber cuánlos acres de'cada cuhivo deben sembrarse en las.respectivas granjat f.on $ I

;ü;;; *u"i*i-. ta, ,iiúáuoer. Formule esro como un modelo de programació. line*§.

FTGURA 2.49.

Batos de área, trabajo y utilidad por cultivo

CULTIVO ANEA UAXIiIAHRS. DE LABOH REfl'ER.

AL HE§ POR ACBEUTILIDAD ESPERADA

POfi ACRE

AB

700800300

243

ss00200

300

2-20. tln problema de meZclas Un viñedo desea mezclar cuatro cosechas diferentes para prG

ducir tres tipos de vino mezclado. se establecen restricciones al porcentaje de la composi-

ción de las mezclas (r¿aseiigura 2.50). Se puede vender cualquier cantidad de la mezcla B y'

de la mezcla C pero a l¿ mJzcla A se le considera una mezcla de alta calidad y por consi-

gri*i;;i. u"n¿.n más de 50 galones. Elabore un moclelo de PL que hará el mejor uso dr

las cosechas con clue se cuenta'

FIGURA 2.50.

Composición de lae rnezclas

MEZCLA

PHECIO DE VENTAPOR GALON

$704030

ABC

por lo menos 75% 1

por lo menos 35% 1

cuando más 57o

cuando más 40%

&2&2

Oferta(galones)

2-21. lln problema de programociÓn (véase el Eiempto 3) un cierto restaurante opera 7 dias a

la semana. A las camareras se les contrata para trabajar 6 horas diarias' El contrato del sin-

dicaro especifi.u qr¡.uáu .amarera tiene que rrabajar 5 dias consec.utivos y después tener 2

días consecutivos de descanso. cada camarera recibe el mismo sueldo semanal' En la ligura

2.5lsepresentanlasnecesidadesdecontrataciÓn'Supóngasequeesleciclodenecesidadesse repite en forma indefinida y no toma en cuenla cl hecho de que el nirmerc¡ de catnareras

contratadas tien" que ,a, un nú*aao enrero. El gerenre desea encontrar un programa de

.*pf.o que satisfaia esras necesida«jes a un coslo mínimo- Formule este pr.blema como un

programa lineal'

vEf{DlillA23

-Señala que no exi§te restricciÓn

Cap. 2l PrograrraciÓn lineal; Modelos formales y hoja de cálculo electrónica

FIGURA 2.51.

Necesidades de contratación de camareras

DIANUMERO MINIfvIO DE HORAS DE

CAMAREqAS NECESARIO

LunesManesMierca:les

JuevesVie rnesSábadc,

D(rnr¡ng.l

2-22. Un problema de producción En una planta se puedeo fabricar cuatro productos diferen-tes (A, B, C, D) en cualquier combinaciÓn. El tiempo que cada producro requiere en cadauna de la§ cuatro máquinas, se muestra en la figura 2.Si. CaOa Áuquiru está disponilrle 80horas a la semana. Los producros A, B, c y D se pueden vender a $9, $6, $5 y $4por libra,respectivamente. Los costos variables de trabajo son de $3 por lrora para las máquinas I y 2y de $l por hora para las máquinas 3 y 4. El costo del material para cada libra det productoA es de $3. El costo del material es de $l para cada libra de los productos B, C y D. Formu-len un modelo de PL que maximice la urilidad para este problema.

FIGURA 2.52.

Tiempo de máguina (minutos por libra de producto)

PRODUCTOMAOUINA234 I]EMANDA M,AXIMA

100

400

500150

2-23. Un fabricante tiene cuatro art iculos, A, B, C y D que de ben ser producidos este mes. Cadaarticulo puede ser manejado en cualquiera de los tres talleres. El tiempo requerido para ca-da artículo en cada taller, el costo por hora en cada uno de ellos y el número de horas dis-ponibles este mes se dan en la figura 2.53. También es permisible repartir cada arriculoentre los talleres en cualquier proporeión- Por ejemplo, se puede hacer un cuarto delarticulo A en 8 horas del taller I y un tercio del articulo C en l9 horas en el taller 3. El fabri-cante desea determinar cuántas horas de cada artículo deben manejarse en cada taller paraminimizar el costt'r de terminar los cuatroarticulos. Identifique la§ variables de decisión yiormule un modelo de programación lineal para este problema.

FIGURA 2.53.

Da{os de los tatleres de prcducción

150

200400

300700

800300

q,.

*

hltf

A

B

C

D

10536638454332421

CO§TO POR HOffA DE

T¡EMPO DEL TALLEB

32 151 72 118

39 147 61 12646 155 57 121

Cap. 2,/ Programación lineal: Mdelos formales y hoja de cáIculo electrónica

2'24. PlanesciÓn financiera Un inversionisla tiene dos actividades que producen dinero, deno-minadas Alia y Bcta, disponibles al inicio cle cada uno de los cuarro años siguientes. Cadadólar que se invierte en Allá al inicio de un año ¡la un rendirrriento clos años riespués (atiempo para su inversión inmediata). Cada dr.llar invcrticlo en Beta al inicio de un aRo pro-duce un re ndimiento lres años después. AI inicio <iel segundo año se dispondrá de una ter-cera posibilidad de inversión: proyectos de construcción. Cada dólar inverrido en la cons,trucción produce un rendimienro un año después. (También se clisponclrá cle la cgnsrruc_ción al inicio del tercero y cuarto año). El inversionista co¡nienza c<¡n S50,0ffi al inicio delprimer año y quiere nraximizar el impone total dl: dinero disponible al linal del cuarto año.§n la ligura 2.54 se presenran los rendimient.s sobrc las inversiones.(a) Iderrtifique las varialrles de clecisión r ibrnrule u¡r moclcio cle PL. sr (,r Rr \( r\: Supónga-

se que M, es el .linero disponíhle al irricio r,lel añ¡ i y nrarimice M. sujero a la, iestric-, ciones apropiadas.(b) ¿Puede determinar la solución mediante el análisis direcro?

FIGURA 2.54.

Rendi miento sobre la inversión

ACTIVIDAD RENDIMIENTO POHDOLAH INVERTIDO

ArfaBeraCr,i;.]S, rUCCian

$1 60200130

2'23' Un prablemo de proceso de mezcla Una pequeña empresa tiene dos procesos para elmezclado de cada ri: q:^r^T,g,"s producros, úqúl¿o Bara.nr.na.icarbOn-de l.na v fiqulaápara encendedores de cigarrillos. La empresa está intentando decidir cuántas noias'OeUecorrer cada proceso' En la figura 2.55 se presentan los insumos y ios resuttados de realizarlos procesos durante una hora. supóngase que. rl y x, son el número de horas que lacompañia decide usar los procesos I y 2, respictiud.nente. Debido á un programa de asig-naciÓn federal, las cantidades máximas dispánibles o. qu.-ono-yl"n..no son 300 y 450unidades, respectivamente. Los compromisos de venras'requ*; o; se produzcan por romenos 600 unidades del liquido para encender carbón y 22i unidades dei líquido puru .n-cendedor de cigarrillos. Las utilidades por hora que se obtienen de los procesos i v 2 son n.yp2 respectivamente. Formule esro como un modelo de programac., ii".á] *ri;;#fmización de las utilidades.

FIGURA 2.55.

Unidades de insumo y resultados por hora

PBOCESO

PRODUCCIONESLIQUIDO PARA ENCENDEH LIQUIDO PAFA ENCÉND

CARBON DE CIGARBILLOS

I

2156O ¡¡ra*

2-26. Un problema de programoción Mientras opera fuera de Estocolmo, el portav\ones Migh-fy está' en maniobras de lunes a viernes y en el puerto durante el fin de semana. para la piGxima semana, el capitán le gustaria conceder licencia de bajar a tierra a todos los marinirosque sea posible, de un total de 2000. Sin embargo, debe realizar las maniobras de la semanay cumplir con los reglamentos o normas de la Marina.Estos son:{a) Los marineros trabajarán ya sea el turno A.M. (de la medianoche al mediodia) o el tur-

no P.M. (de mediodía a medianoche) en cualquier día laborable, y durante una..*"rudeben permanecer en el mismo ¡urno durante los días laborales.(b) Cada marino debe estar en servicio durante exactamente 4 dias, aunque no haya sufi-ciente "trabajo real" durante algunos dias.

cap. 2 / Programacióu lineal: Modelos formales y hoja de cálculo electrónica

FIGURA 2.56

Marineros por turno

F:#fr:::,nffi[H:?,j:Tlljs^r:-::* rurno diario se muesrra en ra figura 2 56il:iT.;f.,§:Tffij,""::":::j:"* ri-;iil::,&:;:::1 ';#::'[: ff ,,ii:::..,_,.".1que §ea c¡bvio cómo implemenrar Ia ,trlu.lión ,i;;''""

I¡¡rsd¡. r-.,erlna las variahle: de modrru¿. rreiru L;;;;;:'á;" :i uno q,rnier".,,.-,: tt^t:" res.lrer clpr.grama rirrearqugUd. sugiera (ei decir, ámo ,i ,no ,rpi.iu.ra"i"""'"^tl u re§ol\er cl prtrgrama liEn la diet¡ hrrm¡n, .e li-^:r^-.:c__r ls manner(rs trabajan cacla dia).2,27. En la dieta humana se han identificado I6 r-*"."'"

r¡¡arrr¡c¡u\ tra'ajan cacfa dia).mentos. Una libra del alimenrn i,_nnrio-- ^

rurrtentes,esenc.iales. Suponga que hay II6 ali_il il l,"l; L',x Xll ltll;:: i:j,:u t:t-. I ;ü';,;;,;'ff :,: fi :Í i"'; : J :l ll : fjrffi :' Í:: H t1:;]: Lll1 t f i*::

=i:;:',,;; ;' il;:; ;' ;,: illTff

': X'. ffi: 1,1,,_?ii[.;,iiX:il:i.",!Tf,f

:*jl"**';.:,J,1#Í,;:iiJ.XT:,i[:,,,já:j,:,"[H:]:il'.[::::lu;:::':1"!;:'*::,':::", jl,&j:::Hir',""H;,*;::'::.:l.:T§?§::5T,:^Í., s abor, ¿ pu ed" ¡.u-n,;".- u;;;;;,:,il'¿rl:,T,}

A.M. 850 1000 40a 800 650P M. 750 500 _o00 300 ,m

a

2'28. un problenw de arbirraje un erpecurador i)nerá r¡n cir¡r,.,_,, ._^__,

I ::¡j Í: :m, *:r*r*..;§h : i xll ü:?#; .:; :H: *:1:: i i, Íffi fti,I:t :dc r e nra \ c(,mpra ffi ;:l;i;;;,:',i]:::i:':". \e nrc\cn rart k t5 s'1i¡¡¡Ll1¡. -i. i." i,..'i,,,, uarquicr mes ." i.,;* ,i.r'-¡i, ,i'',,i.::;'"jJ:ITll:?,il,i'i,i',lL'), Ll :i,,li":,i...:l:il,!i_*bushels disponibles¡ara la renra. gi *r; qr. \e üompra en cualqrier r¡ler sc ctiloc¿r cn cl si,l:x'ff:f'l':.-*il"ffil'iili::':1-'5''11i:1^11l É;;;i';"' 'l;';:"te supóngase que erun busher cru.anre u¡r mes. Er c.*i. u" o*".1.',1,1ii :,""I::;';i":l:::::i:3"1;*,:;*x;xllxiii,,]i,il:';i.:iil::1"::.:,X:i:*:!¡rdec,'n¡a,ri,ai;;,;;;,,;,,r.ro.:,,ri"so ri..*rnaiz o pagar .,,.,,,, á" almacenan,!e;'.j.;:,.-::,11:lll],3i',:l'11';,1'i,.ii:::iJilJ:;':li;:m:un me\' tiene quc r-endcr parie rre .u. L'1;-1¡t-r-,o- r,r., l.r=r, i,,.'"o'u,rr ra

"¡rrua.,¡arrrielrr.ai Iinal del rnes l pa_g1r cl ,raiz. .i .-. qu"...,-.nr-;ü;,1 ¿u,,,,,.";u::',,,, p,".i,,., tle rc¡r¡l

'c('tmpra 1'ci ctlslcl dc alnlaeenamieni,t. el er¡:c-tula,J,ridar", .',,,,,u,.r'aur,,,,,, ,,,r,,, a()rrprilf

'vender cada llre\ con e'l i'in cle,uur;n,;ro, t'ri ur¡¡¡¿r¡". ii¡iJlc\ f,()ür1 rlcr¡.1¡.,, tlel inicitr rlti;il;:::ff; ,HJJi:li:'IiT":;:Ii.';*'.',.T,:--ir'r 1c'"'1ü {uc ss i,¡¡.r ¡ rc,rriza¡

",, "'" ,,,*)bushcrs "n

.r iir,, inn,.ciiaramenrt J".;,r* ;.. ;;:*:j,::J,],,::l'.ii;,lur,ill, .1,,'.i,li;.:::ii liB. Lrs hrshcir c¡r cr rir. irrrecriararn.irri.--j.,.!-,,i. ¡. r...;¡;rl,,'.i;;,';;*,':,,,,,,.rir(r. ü,. cr r¡rr.r /l»,,) y' P,la si¡uaciirn rlr:l r-lccrirr, ul l.in¿rl j.i ,,,..,

FIGURA 2.57. ,

problema?

Datos de precios de compra y venta

lon que se omiiiir en r\re

MES

$42475/67

PRECIO DE @MPRAPOR IOOO BUSHELS

PRECIO DE VENTAPO8 1000 BUSHELS

1

23

4

:i/

ri2

2^29. Compra.s Jack Bienstaurk tieni a su careo r3¡o.mq1a de merr.anciar rnra,udas para er seni_cio cle alimenros (iACA en una gran uriilersiaad. ir *u"."Ji.?L o"*"n¿u duranre eliri.ur\r'lr\r) del lujt¡ e,colar -r.hu erlinlar,lo tanlhiúl 1,,. 1.r".i,,J.:.;r;,,,. [_ir ]¿r ].irur¡ l-§S\c rlrrerrra, c\r(l\ rl¡lr()\. I)ucdc ctr,lJrr.¡r u.tir:i¡racJ¿,,r",,,a , i;.,;,;:",;r,. i.,,r,, .",,,,r_r,,.ll,t¡tc'l(')\ e. ¡trcci... Pr.r() c\i\t(, .It (()\t. dc ,'trllcl)cr illrc,tlrri,, dc S{}.10 ¡.:.r.clr.ia, ¡.1.r

Cap. 2 / programación rineal: Moderos rormares y hoja de cálculo erectrónica g7

FIGUffA 2.56Marineros por turno

A-MP-M

/ cuesta c centavos.'

problema?

FIGURA 2.57.P"tor de precios de compra y venta

rlCuál es la cJi L.::y^tlr. d,aria y que unu ñorá ¿.iulir.nr,,dief a diaria de ctrslo mínil ._ ,. yuL u¡¡d ¡rur a oet allmenl(r

notación <,rñar^-;^ ^_ ,:? que satisface todos los reguer¡-

restncción que se omirió en clte

850 1000 400 800750 500 900 300650700

EI número de marineros requeridos para cada tutFormuleerte prnnt.maámo modet^n^ ^.^^-^*^1lo diario se muesfra en la figura 2.56.;;?:'xli'.'.?33tr;¿I:ffff t"*i:1*,:::'*:::1';#l','i;:ff '[:.iri,.1

que sea obr io comr imnlsrng¡¡¿¡ l, ..,olua;on"irdLI\4¡ ¡,treal. uetilra las variahles de ln.dtrUd. sugiera (er decir, ..r,mo ii uno \uniera ,.,,r-,,1]

t113_1 rcsoltcr ei pro.urama lineal qusud..sugiera (es decir, Ámo si uno supiera .uen,,3 t:lT," resolver el programa l:

En la dieta humana se hqn;¡--r;fl ^^Á^ ,¡ )s manneros trabajan cada dia)7.27. En la dieta humana se han identifi.u¿o l'ár"''"'r'¡

Ilrarneros trabaian cada dia).menros. una libra del alimento I conrien. ,,

tY,t:t^::::,.renc.iales. suponga que hay I l6 ali_mcntos.. Una libra del alimentoT con{iene u Ii;;;"""

s5trrcrares. 5uponsa que hay ll6 alimano debc,.r.i lr, Iitlu, decacla nurricnrc;^-. ,t^fl^":trienre i. suponga quc un ser hu-m-ano debe rener N libras de caia ;riri."i.l

f.l."T:: í u r ri ciona r é's i ü r" r r,

" ii.l#' lff j,::[ Hri

*lil:"Í., . uuo., -¿

pulj; il;ff '11":'ff;::lX f i,f:,T,:,:':?, o. "". p'*¡iJ*,

2-28, IJn problemo de arbitraje Un especulador oner;¡ rrn cit,, ,,^- .._.-_.(nreriida para granos, «¡uivalenre a35.2 Ii,J,:],p:l' un sih) c(rn capaciclacl rJe 6000 huslrcls

l.el rilt¡.'onricnej000burhcl, Fnt.r.t,,,,.-l\)paraaltrrat'enajcclcmaiz.Ali,,.;,; J::l ;;;,tlcrcnra) ct,mp.r;;i;;r;;;r;,,.:,j],tliilli scnrc\crrranl.resrinradr,.,r.i.,,pr...;,,., uarquir:r me, ,e rerira J.l ,ii. ,i'i,,;.;.;'JJ':lJ';l:::,,iil,l,lll,ll, I;l :i,,1í.:,i."1:l:ll,lir:ilhusherr dirporrihle:

¡111 rr_r-.rr, li

",.Jur'.,c c()nrJrra urr ruarq,icr rne\ sc cr)r(r(.il e, L,r \i:li,Ti.lf,H.liff'.,Hiilu:tr:iii;::q:' r,u,,u ., *., ,t;;i;," supóngase quc erun btrshel cl"an¡e un mes' b'l costo c¡ .¡*,..'l''11'l'l.ft''nrerjro

v qL¡e cuesla srj'ol Ili'iu':*tldel mes..focJaslas.,r*r.nr;;;;j;::,:,nr¿rce¡¡amteil{o del rncs se ticnc qur. t)¿rgar al l.inalpecuraclo*i.,," fi«i'I"?:1i:.i;:;i,:[n*,:,u" !l"""l,ioi *,,n,.,,u, ¡. ,* J,,i**rliji ..-r,ai, u pagoi.'nri*'.1. atmacenanricr,,,,. I,,.,r'll:l::ll]11,1:.':'no.

un pri'sÍanr. pari¡ c()nlpraru,l mes, riene quc ,.n,r",",porii o.-;;; ;;;,,.,;;:;',i:,:,;i[,"],X,i:,::: ;i::i]:1.-.t;illl f,::,,llllll'J .T:l,l,l:*.'l:,1 ':"'"' ' *;';'.."'i,n,.,'.,r,,:i1,,,,,.;.;,lll',,',,

n,..,,,.,rc rc¡¡,,r \

Hf*,I 1 ;lril:llji,lt thtiruiti:il1ür'J:tli ;;.:.; lr,:::l l; .. ::l};lll:i.l

Eraborc un ¡¡odero,rc * po,, ilñü,:.lll;i,it,]X:;:,1;lll;,fi:lií,:;i.:i;,llli:lbushcis en er sir. inn,ce,iarir¡ei,;;J;¿.;iI c,rregar rir ..,,,,i;i;'r;.;ilrra c, cr ,us ¡ (.r ) r-í;;'i:;'i:':li,:l,ii;'l':,' llli :nlili:,t.:ll,¡' ¡.;".i¡,,.ii':i;l;;:i':11,,,,¡,,,,i,,,,,,

ei r,c, ¿

MESPRECIO DE @MPRAPoR iooo eusHeli

PRECIO OE VENTAPOB 1OOO BUSHELS

1

23

4

$42475/6i

s3742536?

2-29' cotnprus Iack Bicns¡aulk tiené a su r'argo lacompra de rncrcanciar enrarat.rar ¡ara cr seni-cio tlc alimcntos (iA(iA .n ,n, gro,, ,u,,ilr,,Ar,l. i,r ,ü.:'.:,*l'r"rl'lo ,i"n,r,,.la cluranre clttail\eLlr\() rlcl lui. crctrlür' Ira cili¡lla,.l, tl,lllrie, i,,. lrra.ir,r.l".,,irr,,r, ,,. [:ll la ,.i-rrr¡.a ].-ili\c !rl'c\rrirr e\r()\ (r¡rr()\. I)uctlc ..rrr¡rr.ar u¡rrieiP.dri,;,;;;;rl;'r:;l;:11",,,,, rar¿r r.r.ira¡ r.rl*r,rc.r{)\ c¡l ,rrr'ci()s' rrrr() d\;\tf ,,,, a,r.,,,..r" ,,,",,,a,r",. i,,r",ir,,r,,,.r.,s().i0

¡.,r.¡.elr.ja, ¡.1.r

Cap. 2./ programación rineal: Moderos formares y hoja de cálculo.erecrrónica g7

-

ra. Wood puede vender todas las unidades que labrica. Es más, el modelo [i se puede ven-der sin pintar. Utilizando los datos en la figura 2.31, formulen un modelo PL que a¡,ucle awood a determi¡rar la mezcla de producros que maximizará sus utilidacles.

FIGURA 2.31.

Datos de Wood Walker

MODELOUTILIDAD

POR MESA

A

B

B s¡n pintar

C

$35

4A

a^

(ñ

Capac¡dad{horaslmes)

2-§. Planeación financieru Willie Irlarkit es el presidente de una lirma de inversiones personales,que maneja cartera de valores de cierto número de clien¡es. Un clienre nuevo ha solicitadorecienlemente que la lirma le nraneje una cañera de $100,000. Al cliente le gustaria limitarsu cartera a una combiltación de las f res acciones que se muestran en la figura 2.32. Formu-len un PL para determinar cuántas acciones de cada clase deberia comprar Willie para ma-ximizar el beneficio rotal anual estimado.

FTGURA 2.32.

Composición de cariera

ACCIONPRECIO POR

ACCTON

MAXIMAUTILIDAD ANUAL INVERSION

ESTIMADA POR ACCION POSIBLE

Gofer CrudeCan OilSloth Petroleum

$60,q

2A

$7a

3

$60,0002s,00030,000

2-6 Un problerna de nrelclas lvéase el Ejemplo 2/ Dong E. Starr, gerente cie la Heavenl¡, DogKennels, lnc.. propctrciona albergues para cachorros. El aliminto para perros Kennel si,hace mezclando dos productos de soya para obtener una "dieta pará pe.ros bien balancea-da'" En la tigura 2.33 se dan los datos para los dos productos. Si Dong quiere asegurarsede que sus perros reciban al menos 8 onzas de proteinas y I onz-a de grasa diariamente.¡',cual seria'la mezcla de costo mínimo de los dos alimentos para perro?

FIGURA 2.33.

Dieta bien balanceada para Peros

PRODUCTO COSTO POROE SOYA ONZA

PROTEINA GRASAS{%) (%)

,]

2

$0 60

01550

20

10

TIEMPO DE ENSAMBLADOCORTE POR MESA (horas) PINTUBA

1

2

2

3

4

4

7

4

4

0

5

300 150

78 C+p. 2 I Prograrnación lineal: Modelos forrnales y hoja de cálculo electrÓnica