cap_10_cinematica de rotacion-ejercicios resueltos-resnick halliday

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  • -283-

    CINEMA Tl CA DE

    RO T ACION

    C AP I TULO 1 1 .

    P R O BL e MAS

    l. Un di sco de ton6rato e n una .ese iratoria s e mueve a ra ~6n d. 33 r ey/.in. Decir cu Al ' s la yeloci d.d line.l d e un punto del di sco en el sitio dond e .stA la a guja (a) .1 co enzar l. gr.bac i6n y (b) .1 ter_n.r l. mi,... L.s d1sta~ ci. s d. l guja al eje de l es. gir~ori. son de 0.149 Y 0.013 ., re'p.ctiy.~ente. en es.s do, ~osicio nes . So luc i6 n :

    v ~ 33 RP" = 33 ., rad/_in 2 66 rad/_in.

    a) r 1 = 0.149.

    Si >1 Or 1

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  • ~ ,, 1 r __ ,

    , , ,

    , ,

    _ 0 .073.

    " ,

    r l'e lllpl ,l:r.aud o valoras

    "

    w.' ,

    -28~-

    "'66IxO.073 ; 1 S.13 (; 2 .. / /llio_ ,

    .'.1 , l,a val oc idad anlu lr d el lIotor da un ol..:tom6vit se a umenta dt. 1200 a 3000 rp. en 1 2 seg (a) tC uAl es su ac elaraci6 n an guIar , supuniindol a unifor.e? (b) tCu l ntas revo l uciones e -fe c ta eJ ~otor d uran t e est a tieMPo?

    .!l.!.!.2.!. : "1 : 1200 rp. , " 2 '" 3000 rp., t~12. eg .

    Soluc i6n: (a) CO IIO la aceler a ei60 angul ar es u nif o r .e serA igua l a la aceleraci6n a n gul ar . adi a .

    oc

    ------- (l)

    Las velocidades angulares serA n :

    " 1,200 r~v x ""

    3000 X 211 " 2" 60

    1 lIi n 60 seg

    rad/seg

    2_ red 1 rey

    ~ 1 , 200 60 . "

    Reempla:r.a nd o valores en ( 1 ) obteneMos:

    " (3,000 - 1 , 200)2 , 12 x 60

    , " S' _ IS.7 rad/seg

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  • se intervalo de ~ seg es ;

    pero "

    o

    o

    O

    -286-

    (1)

    la velocidad a ng.jar '011

    serT: --

    i ~ "'l t t ~ o:: t:2 --- (2) de donde:

    ,

    "

    ,. :2 11 1 20 _ ](

  • - 28 7-

    B.- El ~ngulo que gir~ el vol~nte d e un gene r ado r durante Uf' in tervalo de ti empo t

    g ; a t

    est,s dado por

    , " b t e t

    1 .. ecuaci6n:

    si en do a , b , y c co nstantes. cel e raci6n ang ular ? So lucin:

    LCu' l es la expre si6n ~ ~ R" a

    La a c ele r aci6n angu l ar es:

    d'. d. oc

    -;-;r " ,

    " ., b'

    " .. :; l' t

    ,

    " - "

    "" ,

    o,

    '>l

    ,

    Rpta: loe = 6 b t - 12 ct' J 9.- Un cuerpo se mueve en el plano x - y de t al manera q~e x=R

    cos wt e y : R sen wt . En estas expresiones . x e I so n

    tantes. (a) Elimine ~ t de esta~ ecu~cionec par ~ enr~n tr~r la ecuaci6 n de la curva en la c ual se mu e ve el c u r r ~~. Qu c urv a es? Qui signifJcH la constante w 1 (b) Deriva el' las ecua cio nes de ~ y de 1 con respecto al tiempo p~l a ~1CO n trar las com ponente~ 3 e Z Je la veloc idad de l c u~rrJ . V

    x y v. Co mbin e v y v para encontrar la magn i tu d y ji r ec-

    , " c i 6n de v. Describa e l movimien t o del cue rpo. ( e ) ~eri vp v y v co n respecto al tiempo para ob t e n e r la lIl .. gni!ud y , ,

    direcci n de la a c elera c in resultante. Solu c in: ,. ) Elim i namos

    .!. d. , .. dos ec ua ciones:

    , ,

    y ,

    , , :0\ ~ Y

    , 00' ., ,

    " 0o,

    ,

    " "O ., l ' , 00

    '1 2 2 '1 R ( eos wt t s en wt ) = R

    ,

    "' , .,

    es ta e s la ec uac i 6n d e un a c i rc unferenci ~ .

    \1 ,

    ( : 1

    la v e l o c ida d a ng u l a r ~ or q u e el e lol erpo s e; . u e v e el! 'J:," e i r

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  • - 288-

    c uufe l'encia.

    (b) La ~agoitu d de la velocidad v se r,

    (3)

    La di r cccin de ves : tag (ji : ...:t. ____ (14) v

    [o c ootremos l as co .. po oentes de la veloci dad

    Il ws eowt v '" R"cos"t ,

    J v' , k , v v Rw se n wt) (R " coswt) ,

    v Rw cos "t

  • , )

    dw dt

    d w CI = dt

    ,

    , lb'

    -2!1

  • -290-

    t ~ 365 x 86~OO se&11 dla )

    ,,,,;'!',,,,,,,, 3foS 86400 " 10- 8 rad/s e g . La ve locidad medIa en su 6rbi ta es su velocida d tangencial.

    v"' v R (2) Jonde R ~ 14g 109 m

    bl

    -8 v : ( ... 3" )( 10 )

    Como lupo nemos .,. lo Sol .. caai ,. circulo se r -' :

    v 2/ R

    o

    Rp t a: ( . ) 6.3'+.

    3 10 !II / seg

    6rbita ,. lo Ti erra '"

    torno ,.1 luego lo ace l e rac J 6n eentr1peta

    -8 , "

    r ad /sea

    9. Sn , lO' 111/.1&

    (b) o ,

    . "

    !? Id ) Cull as la velocidad angu l ar d i un pun t o di la super f! c e de la Tie r ra a una latitud de 45 N e n torno del eje de l os polo,? C u!l es la velocidad line a l? (b) Cblllo son e

    s~s valores ca. parados c on 101 valo res li _ l1ares par a u n punto colocado en e l ecuador? 501uc i6n:

    ~a) COIIIO l. Tie rr a 15 un cu erpo rt1do y supo n i endo que ee

    lIIueve alreded o r del eje y v ~ dad anl\,llar es:

    , , .

    16,400

    La ve l ocida d line.l d, un pu~ to P en su luperficie a la la-titud Ioso N .erl:

    v ~ vd = rWT COI 45

    donde Rt : 6.37 x 10" .(radio

    d e la Tierra).

    p '0 l ueg o la veloci-

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  • - 29 1-

    .,. x 6.31& x 1 0 " J2

    86)100 x )C ~ 321.6L ",/seg (b) ra ~a u n pu n to ~n e l ecuador.

    I .ld/sce -, ,

    ., \1 2 \lRr

    ~ 1.29 x 1 0 . )( 6.316 x 10 11611.2 m/s~g

    1~. ,Cual es la a ce leracion centr!pet~ d ~ un punto d. la pe r i f~ rle de un di s c o de 30 cm qu e gira I 3) ! ) re.,/~in? S91ue16n:

    lOO '"

    ~ "

    J "

    r ,. J

    2 20 0s ,

    "

    ' . r ( ) . , ( 0.3)

    18'

    3 . 66 ./s eg 2 '. , donde : eee leraei 6n eentrIpeta , '.

    acele raei 6n r adial

    de di.lllletro. (~ ) Cull es la velocida d enu l ar d. l as rue-das alr.dedor del e je ? (b) Si l iS rueda s . e detienen un -tor nt. en 30 v uel ta . , Cull .s la a cel. r aci6n angular? (e) L Ouf distancia recorre el autom6v,i l d urante t ll pe -r Lodo de frena do?

    v = 60 .i /h e 88 pies/ s e 2R t 30 pl : ,.S pie.

    Salud6n : ( a ) La velocidad angular es:

    .. . - "

    (b) L, sacel.r le j,!,n

    2 2 2~ ", " o

    ~"70 . ..

    anaull r es:

    ------(1)

    rad/se,

    pero: ", O JO , ,. rad / sea

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  • oc

    (o) "

    es pacio

    mi.ento es: , ,

    " , , )O

    Rpta:

    " o r

    - 292 -

    ,". rec o rre dur.soto: ."

    -.-.----(2 )

    '" 1 . 2~ 23' pi " s

    w ~ 70.~ rad/seg (. ) (b) oc (e-) s

    2 ~ -l J.l ra d /seg

    = 236 pies

    1 3. 1 2

    r ad /seg

    pe r odo de fI"I!Il "' -

    l b . ( a) Si l a hli c e de un avin tiene un r adio de ~ pies y gira a 2 , 000 rp. y el avi6n lleva una veloc i dad con respe c t o al su el o de 100 !IIi/h, Cul es la v e locida d de un pun to de la

    punta de la hlice? ( b ) Qu clase de trayectoria desc ribe ese puntol Snluc i6n: (a) Sea R un punto .. lo .>"ut .. d. R V lo hil ice. lo veloe id.sd , A

    ." R ser: ---

    VR

    'R " --. -- ( 1) VT ,

    L. !lIiIgnit ud d. "

    es: -L----------______ -+T

    , j (v

    T)2

    R

    "

    , .R , 1000

    " I Ol 1.33

    (v A) 2

    'p. ,. p ies /s!! s

    r lld11 t.in rey )( 60 seg

    VA ~ 100 .i/h = 1116.7 p ie s/ .eg.

    . "

    Luego: ,-______ _.---------------. v R = )(1116.7)2 -+- (1 . OI7.J3)f: 1 ,0 57.4 ni/ses

    (b) La tra yectoria que de sc ribe es una hli ce.

    Rpta: VR = 1,OS7.~ m/seg.1 17. Cu:1l es 1" velocidad ,"lguli'lr J c un a.utmn6vil fl ue en una. c a

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  • -293-

    r r eter ~ da una vuelta de 110 m de r a dio ,o1' una ? e l ocid~d d .. "9.3 klll/hr?

    So luci6n. v = "8.3 km/h ~ ~8. 3 km/h x 1 h/ 3&00 seg x 1000 n/l km

    = "B .3 mIs T.T

    r 11 0 1J1 .

    Sa bem os que: " .

    Ree~plazand~ va lo r es:

    .!!..!d w z -tTt- z 0 .12 rad/ seg w = 0. 12 rad/segl

    l B. Un cuerpo rigido, a pa rtir del punt o de re p ~s o , gira e n tO~ no de un eje fijo con a celeraci6n angular constante. (a) txpre sar la aceleracin radia l y la acel e r aci6n tangen c ial de una part1 cula del cue rpo en fun c i n de la aceleracin a~ gula l' del (b) Si lJ

    mism o . Sea r la dist a nci a de la particula al eje. aceleracin Iesultante d e 1 ... p'lIr i c ula en un e i e.!:

    la i nstante f o rma un ~n8ul o de &0 con re s~~ = t o a la a~c le ~ raci n tangen c ial , c uAl e s el Angula t ota l 1ue ha girado el cuerpo hasta ese instante?

    co ns tante

    u: ~ co ns tant e

    " " o

    Soluci6n: (a) tI punt~ P del

    cuerpo rSg,id o , s e mueve una distan c ia ..lL a l o la rgo del arco cuando el c uerpo gi ra un 'ngulo Q, de tal mynera q ue:

    S : RiiI I'er iv ando ( 1 ) re specto a t:

    ds .d g R~ wR d r d t pe r o

    (n d , d"t =

    ."

    v(v e l o cida d l ine al de

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  • -294-

    P en ~ S~ i nst5nte) y su direcci6n es tangen te a la ci r cun f ere ncia. S,l b$mo~ que:

    d,

    "

    d{ wR) ~ :

    -d-'- , ~r : - W R (po rQue es de se n

    t jdu cont r ~rio al vector po-"ici6n 11)

    y

    (b) Por o tro lad o sa beaos que co.o a; z constante W : v tcr::t s a;t------(l)

    De h ti g

    , ,

    "'

    , ,

    per u ~ ,

    ,

    , , t ag

    , " R. ,

    1, .fJ7"2

    , " Rw

    R~

    o

    , , " Ra; t

    1 ve.o~ que t58 60 ~ e

    "

    "

    , , ~ p~ , ---- ----,

    toR 60"

    ,"0 .j'"3"2 r a d

    " ~R

    rad .1

    (2)

    (J)

    ( " )

    19. () del texto). Un aitod o pera .edir la ve locida d de l a l u ~ e.plee una rueda dentada li r atorla. una ranura en el bo rd e exterior de la ru eda co.o ae il ustra en la ril. 11 - 12 , va ha eia un e apejo d i stante, y regr e s~ ~ la rue da e xa ctamente e n el tiempo necesario para pas a r po r

    s iuiente ranure d e l e r ued a . Una rueda par a e s te f i n tiene un radio de ~. O ca y 500 d ien t e . en su bo r de . dici o ne s t o.ad a . c uaQd o e l es pe jo es t eb a a SOO d . l a rue-

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  • - 295-

    d" indic"ron una 5 v~l oc idad de la luz de 3.0 Jo; 10 km/seg . ( .) LCu ~1 era la veloc idad angular (constante) d. la rueda ~ (b) LCu ~ ) era la ve l oc idad li n al ~. un punt o de ; u perife-

    L s

    "1 ~ espejo semip l "tea do (~u ca pa ref le ctora e s tan delgad a que s olo la .itad d e la luz que llega e s refl~jada

    s iendo t ran s mitida la otra mitad). r ~0.05 m

    nCllllet 'O de d ien te s ~ 500 L = 500 m. v ~ J, O 5 x 10 klll/ seg.

    SOlud6n : (a) ti tiemp o de ida y vuelta qu e t"rde el r"yo de luz en

    re co rrer la distancia de r a " 2 es : : 2 I./c (t,

    y deb e ser igual a l tiempo que requiere la r ued a para gir a r 161 .1ngulo O, (donde Q es l a dist a ncilll a ngu l lllr del cen tro d e un h ueco al ce ntro de un diente) .,.1;e tiemp o es '.

    Para que se cu mpla lo deseado:

    2L :; ~ de donde o

    o, . . -

    2L

    _-,("3CCO,-.,--,1"OC'-im:/i-"'~"'C(-,lC/Cl",o~o"oC-'r-,c:.!...) " 300 r e y /s e g v :; 2 JI Soo

    ro. :; 300--' ,.,

    2 rad 8 I 1 rey :; 1, S~ rad seg

    (b) La velocidad lineal de un pun t o de su borde ~e r :

    v :; wr E l, 88~ x 0 .0 5 :; 9~. 20 mlse g

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  • Rpt,:

    - 296-

    ( a ) " '" 1, 8 811 rad /aeg ( b) v '" 9 11 .2 ./s eg.

    'o . Uc ins~cto d e masa 8.0 x 10- 2 g c a~ina hacia afuera con una velocid ad co nst a nte de 1.6 c./seg s i gu i en do una linea r adial mdrcada en el p la to ro tat o r i o de un f ongra f o qua gi r a con velocid a d angular constante de 33 ~ rev /min . (a) Obte ner la

    v~locid d d y la acelerac i n del in s ecto tal como l o ve de sde nfuera un ubs ervador, c uand o el insecto est a 1 2 c m del eje de ,otacin. (b) Cul seria el ml01mo coeficiente de ro ~~ mlO,n t o para pe rmitir q u e el i nsecto s a liera hasta l a perit! ra de la rresa g i rator ia ( r a dio " 16 cm) si n deslizar? (e) Cmo .: ambiari an los r e sult a dos de (a) y de (b) s.i se apli-ca ra a la mesa giratoria una ac eleraci n angular que aumen _

    tar~ Su ve l ocid ad angu l a r ? Soluci6 n :

    100 r .. "

    o -,-

    .. i n 100 ,. rod 1 alin

    " 0--,--

    -1 rn 60 o.,

    iI)vT:wT

    reem plaza ndo datos:

    hl "

    "

    "

    ' T

    200"" 12 '" " 1 . 8 9 c. /s 180

    - 1 . 6 Cal /s ha c i a af ue ra

    , " 111 6.23 cm/s . ha c ia aden t ro

    ~ r '" 11 cmfs 2

    " 0 .2

    200n o "TliOrad /seg

    " peralanece ... .'i , .... Il:..t . n::e,

    el va l Or de " a ume n t a; ar

    ( b ) a ume nta r

    V T , a R, ~T aumentarn po r qu e

    au ment ar ma t por . 1 te r mi no

    " .n por el a umen to d e a R y a T

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