cap1: initial value problems (ivp) · cálculo numérico 2 - if392 cap1: initial value problems...

Cálculo Numérico 2 - IF392

Cap1: Initial Value Problems (IVP)Cap1: Initial Value Problems (IVP)

Prof: J. Solano2018-I

Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ciencias

Cálculo Numérico 2IF392


Solve y’=F(Solve y’=F(xx,y), y(,y), y(aa)=)=

2


IVPs – Problemas de Valor InicialIVPs – Problemas de Valor Inicial

3

Resolver la ecuación diferencial de 1er orden

y’ = F(x,y) ; y(a) = , donde a ≤ x ≤ b


Método de Serie de TaylorMétodo de Serie de Taylor

4

El error de truncado es

Usando la aproximación por diferencias finitas

Obtenemos esta forma, computable numéricamente



5

En el ejemplo:

Determinar y(0,2). La solución analítica es:

SOLUCIÓN: por serie de Taylor



6

Derivando de la ecuación diferencial:

Determinar y(0,2). La solución aproximada/numérica es:



7

El error de truncamiento seria:

Donde:

La solución analítica da:

Y el error sería: 0,4515-0,4539 = -0,0024



8

Ejemplo: Método de serie de Taylor de integración orden 4

donde i=1,2,3,….,n

Tenemos:

Resolver:

de x=1 a 2, usando h=0.25



9

SOLUCIÓNUsando y

1=y , y

2=y’ , las ecs de primer orden equivalentes y condiciones iniciales

son:

Diferenciación repetida de las ecuaciones diferenciales da:


PASO 4: Método de EulerPASO 4: Método de Euler

10

Eliminar error de truncamiento

yj+1

- yj = k f(t

j,y

j) para j = 0,1,2,…..,M-1 , además y

0 =


Métodos Runge-Kutta de 1Métodos Runge-Kutta de 1erer orden orden

11

El fin principal del método Runge-Kutta es eliminar la necesidad para derivadas repetidas de las ecuaciones diferenciales.

Como la fórmula de integración por serie de Taylor de 1er orden no envuelve diferenciación

entonces el método de Euler puede ser considerado un método Runge-Kutta de 1er orden.

Problema: excesivo error por truncamiento

Interpretación gráfica de la ecuación de Euler para y’ = f(x,y)

Cambio en la solución de y entre x y x+h


Métodos Runge-Kutta de 1Métodos Runge-Kutta de 1erer orden orden

12

El error de truncamiento es proporcional a la pendiente, o sea a y”(x)


Métodos Runge-Kutta de 2Métodos Runge-Kutta de 2dodo orden orden

13

Aquí asumimos una fórmula de integración de la forma

y tratamos de hallar los parámetros c0, c

1, p y q comparándola con la serie de

Taylor,

notar que

donde n es el número de ecuaciones diferenciales de 1er orden



14

Podemos reescribir la fórmula de la forma

y también, aplicando series de Taylor en varias variables,

lo que nos da la ecuación inicial

y comparando con ecuación anterior, término a término

tres ecuaciones y cuatro parámetros



15

Lo que nos da varias opciones:

Método modificado de Euler

Método de Heun

Método de Ralston

todas esas fórmulas son clasificadas como métodos de Runge-Kutta de 2do orden, y si escogemos el método modificado de Euler

La fórmula de integración puede ser evaluada con la siguiente secuencia de operaciones



16

Representación gráfica de la fórmula modificada de Euler para la ecuación diferencial simple y’ = f(x,y)

La primera de las ecuaciones anteriores da un estimado de y en el punto medio x+h/2: y(x+h/2) = y(x) + f(x,y)h/2 = y(x) + K

1/2.

La segunda ecuación aproxima el área bajo la curva de y’=f(x,y) por el área K2 del

rectángulo achurado.



17

Usar el método de Runge-Kutta de orden para integrar

y’ = sin y y(0) = 1

desde x=0 a 0.5, en pasos de h=0.1. Precisión computacional de 4 decimales.

SOLUCIÓN:

Tenemos f(x,y) = sin y

entonces las fórmulas de integración dan:



18

Recordar que y(0) = 1, entonces en la integración se procede así:



19

Resumen de todos los cálculos computacionales (máquina o hombre :)):

La solución exacta es

lo que da para x(1,4664)=0.5000. La solución numérica es precisa hasta 4 casas decimales, pero si el rango, los pasos, y las casas decimales, aumentan sería difícil mantener esta precisión (errores acumulados de truncamiento y rendondeo)

cap1: initial value problems (ivp) · cálculo numérico 2 - if392 cap1: initial value problems...

Documents