Engenharia Ambiental

GEN123 –Termodinâmica Prof. Dr. Márcio Marques Martins

http://digichem.org

Capítulo 6

ENTROPIA - PARTE II

Durante um processo internamente

reversível, adiabático (isentrópico),

a entropia permanece constante.

►Um processo durante o qual a entropia

permanece constante é chamado de isentrópico

process.

O processo isentrópico aparece

como um segmento vertical a

vertical no diagrama T-s.

Processo Isentrópico

6-3

Como as propriedades

nos estados 1 e 2

relacionadas entre si?

►Se o estado 1 for fixado nós apenas necessitamos de uma

propriedade adicional (tal como p ou T) para localizar outros

estados que tenham a mesma entropia. Podemos usar tanto

tabelas como diagramas para localizar os estado (já sabemos

que s3=s2=s1 !)

The isentropic process appears as a vertical line

segment on both the T-s and h-s (Mollier) diagrams

Processo Isentrópico

R: Calculando Ds: Eqs.TdS ►Os dados fornecidos nas Tabelas A-2-A-18, assim como

compilações similares para outras substâncias, e

numerosas outras importantes relações entre tais

propriedades (Capítulo 11) são estabelecidas usando as

equações TdS (válidas para qualquer processo!).

►Quando expressado em unidades mássicas, as

equações TdS… (Eq. 6.10a)

(Eq. 6.10b)

EB: }

}

; (Eq. 6.8)

(Eq. 6.9)

►O modelo do gás ideal assume que presão, volume específico e

temperatura estão relacionados pela equação de estado: pv =

RT.

►Também, energia ínterna específica e entalpia específica

dependem apenas da temperatura: u = u(T), h = h(T),

resultando em du = cvdT e dh = cpdT, respectivamente.

►Usando essas relações e integrando-as (R=cte mas cv e cv são

funções de T), as equações TdS dão, respectivamente

(Eq. 6.17) (Eq. 6.18)

R: Calculando Ds de um Gás Ideal (usando as equações TdS)

R: Ds de um Gás Ideal Assumindo Calores Específicos Constantes

►Quando os calores específicos cv e cp são considerados

constantes (usando valores médios baseados na temperatura

média), Eqs. 6.17 e 6.18 se reduzem, respectivamente, a

(Eq. 6.17) (Eq. 6.18)

(Eq. 6.21) (Eq. 6.22)

► Essas expressões têm muitas aplicaçõe. Em

particular, elas podem ser aplicadas no desenvolvimento de relações entre T, p, e v em dois

estado que tenham a mesma entropia específica

(processo isentrópico) como discutido a seguir.

►Já que s2 = s1, Eqs.

6.21 e 6.22 tornam-se

►Com as relações do gás ideal:

(onde cp=cv+R e a razão

específica, k =cp/cv)

(Eq. 6.43) ►Resolvendo Eq. 6.22

►Substituindo Eqs. 6.44 na Eq. 6.43 (Eq. 6.45)

Processo Isentrópico Modelo do Gás Ideal

(Análise APROXIMADA: Calores Específicos Constantes)

►Resolvendo Eq. 6.21 tem-se {

(Eq. 6.44)

►Quando a premissa de calores específicos constantes não é

válida (por exemplo, devido a grandes variações de

temperatura) a aproximação discutida no slide anterior não é

apropriada.

►Nesse caso devemos desenvolver e usar relações

isentrópicas que levem em conta as variações de calor

específico com T.

►Começando com a Eq. 6.20 temos

►Se conhecemos p1, p2, e T1

podemos calcular e então encontrar T2

► Se conhecemos T1, T2 e p1

podemos calcular p2

► Tabelas A-22 e A-22E fornecem dados adicionais

para ar modelado como gás ideal próximo slide

Processo Isentrópico Modelo do Gás Ideal – (Análise EXATA)

►Começando com Eq. 6.40c (na qual s2 = s1), pode-se

obter a seguinte equação que relaciona T1, T2, p1, e p2

Processo Isentrópico

Modelo do Gás Ideal – (Análise EXATA)

Caso especial Ar )

(Eq. 6.41)

onde pressão relativa pr(T ) = exp [so(T) / R] é lida da Tabela A-22

ou A-22E, (pr não é pressão reduzida.)

)(

)(

1r

2r

1

2

Tp

Tp

p

p (s1 = s2, air only)

Ideal Gas Properties of Air

T(K), h and u(kJ/kg), so

(kJ/kg∙K)

when Ds = 0 when Ds = 0

T h u so pr vr T h u s

o pr vr

250 250.05 178.28 1.51917 0.7329 979. 1400 1515.42 1113.52 3.36200 450.5 8.919

260 260.09 185.45 1.55848 0.8405 887.8 1420 1539.44 1131.77 3.37901 478.0 8.526

270 270.11 192.60 1.59634 0.9590 808.0 1440 1563.51 1150.13 3.39586 506.9 8.153

280 280.13 199.75 1.63279 1.0889 738.0 1460 1587.63 1168.49 3.41247 537.1 7.801

285 285.14 203.33 1.65055 1.1584 706.1 1480 1611.79 1186.95 3.42892 568.8 7.468

290 290.16 206.91 1.66802 1.2311 676.1 1500 1635.97 1205.41 3.44516 601.9 7.152

295 295.17 210.49 1.68515 1.3068 647.9 1520 1660.23 1223.87 3.46120 636.5 6.854

300 300.19 214.07 1.70203 1.3860 621.2 1540 1684.51 1242.43 3.47712 672.8 6.569

305 305.22 217.67 1.71865 1.4686 596.0 1560 1708.82 1260.99 3.49276 710.5 6.301

310 310.24 221.25 1.73498 1.5546 572.3 1580 1733.17 1279.65 3.50829 750.0 6.046

Table A-22

►Alternativamente, a seguinte equação relaciona T1,

T2, v1, e v2 (Eq. 6.42)

onde o volume relativo vr(T )=RT/pr(T) é lido da

Tabela A-22 ou A-22E.

)(

)(

1r

2r

1

2

T

T

v

v

v

v (s1 = s2, air only)

Ideal Gas Properties of Air

T(K), h and u(kJ/kg), so

(kJ/kg∙K)

when Ds = 0 when Ds = 0

T h u so pr vr T h u s

o pr vr

250 250.05 178.28 1.51917 0.7329 979. 1400 1515.42 1113.52 3.36200 450.5 8.919

260 260.09 185.45 1.55848 0.8405 887.8 1420 1539.44 1131.77 3.37901 478.0 8.526

270 270.11 192.60 1.59634 0.9590 808.0 1440 1563.51 1150.13 3.39586 506.9 8.153

280 280.13 199.75 1.63279 1.0889 738.0 1460 1587.63 1168.49 3.41247 537.1 7.801

285 285.14 203.33 1.65055 1.1584 706.1 1480 1611.79 1186.95 3.42892 568.8 7.468

290 290.16 206.91 1.66802 1.2311 676.1 1500 1635.97 1205.41 3.44516 601.9 7.152

295 295.17 210.49 1.68515 1.3068 647.9 1520 1660.23 1223.87 3.46120 636.5 6.854

300 300.19 214.07 1.70203 1.3860 621.2 1540 1684.51 1242.43 3.47712 672.8 6.569

305 305.22 217.67 1.71865 1.4686 596.0 1560 1708.82 1260.99 3.49276 710.5 6.301

310 310.24 221.25 1.73498 1.5546 572.3 1580 1733.17 1279.65 3.50829 750.0 6.046

Table A-22

Processo Isentrópico

Modelo do Gás Ideal – (Análise EXATA)

Caso especial Ar )

Ideal Gas Properties of Air

T(K), h and u(kJ/kg), so

(kJ/kg∙K)

when Ds = 0 when Ds = 0

T h u so pr vr T h u s

o pr vr

315 315.27 224.85 1.75106 1.6442 549.8 600 607.02 434.78 2.40902 16.28 105.8

320 320.29 228.42 1.76690 1.7375 528.6 610 617.53 442.42 2.42644 17.30 101.2

325 325.31 232.02 1.78249 1.8345 508.4 620 628.07 450.09 2.44356 18.36 96.92

330 330.34 235.61 1.79783 1.9352 489.4 630 638.63 457.78 2.46048 19.84 92.84

340 340.42 242.82 1.82790 2.149 454.1 640 649.22 465.50 2.47716 20.64 88.99

350 350.49 250.02 1.85708 2.379 422.2 650 659.84 473.25 2.49364 21.86 85.34

Exemplo: Calculando Propriedades do Ar como Gás Ideal

142.2bar 12

bar 4.136.18

1

21r2r

p

pTpTp

Ar sofre um processo indo de T1 = 620 K, p1 = 12 bar a um estado final

onde s2 = s1, p2 = 1.4 bar. Empregando o modelo do gás ideal,

determine a temperatura final T2, em K. Resolva utilizando (a) dados

de pr das Tabelas A-22 e b) razão de calor específico constante k

avaliado a 620 K da Tabela A-20: k = 1.374. Comente.

(a) Com a Eq. 6.41 e pr(T1) = 18.36 da Tabela A-22

Table A-22

Interpolaando na Tabela A-22, T2 = 339.7 K

374.1/374.0/1

1

212

bar 12

bar 4.1K 620

kk

p

pTT

(b) Com Eq. 6.43

Comentário: A aproximação de (a) contabiliza a

variação de calores específicos com a temperatura

mas a aproximação de (b) não. Com um valor de k

mais representativo do intervalo de temperatura, o

valor obtido em (b) usando a Eq. 6.43 poderia estar

em melhor concordância com o valor obtido em (a)

com a Eq. 6.41.

T2 = 345.5 K

Exemplo: Calculando Propriedades do Ar como Gás Ideal

Relação entre Entropia e Transferência de Calor:

Sistemas Fechados Closed Systems (6.6)

6-15

►Por inspeção da Eq. 6.2a, a equação que define

variação de entropia, em uma base diferencial, é

(Eq. 6.2b)

►Equação 6.2b indica que quando um sistema fechado

sofrendo um processo internamente reversível recebe

energia por transferência de calor, o sistema

experiencia um aumento na entropia. Quando

energia é removida por transferência de calor, a

entropia no sistema diminui. Dessas considerações,

dizemos que transferência de entropia segue a

transferência de calor. A direção da transferência

de entropia é a mesma da transferência de calor..

Entropia e Transferência de Calor para Sistemas Fechados

►Em um processo internamente reversível e

adiabático (sem transf. de calor), entropia

permanece constante. Tal processo de entropia-

constante é chamado de process isentrópico.

Integrando do estado 1 ao 2,

(Eq. 6.23)

►Após rearranjar, Eq. 6.2b fornece

Entropia e Transferência de Calor para Sistemas Fechados

►Compare as expressões matemáticas do trabalho de

compressão e transferência de calor e tire conclusões a

respeito das suas interpretações gráficas usando

diagramas p-V e T-s, respectivamente!

►Trabalho = área no diagrama p-V

►Segue-se que uma transferência de

energia por calor a um sistema

fechado durante um processo

internamente reversível é

representado por uma área em um

diagrama T-s:

T deve estar em K ou R

Válido apenas para

processos reversíveis

Revisão da 2a Lei:

Definição Entrópica

“É impossível para qualquer sistema

operar de uma forma que entropia seja

criada ou destruída.”

Entropia é produzida dentro de sistemas

quando irreversibilidades estão presentes.

Idealização dos processos são usadas para

calcular as performances teóricas ótimas.

Balanço de Entropia para Sistemas Fechados ►Desenvolvido usando a desigualdade de Clausius, Eq. 5.13,

e a equação para variação de entropia

(Eq. 6.24)

►De acordo com a interpretação do scycle na desigualdade

de Clausius, Eq. 5.14, o valor de s na Eq. 6.24 adere à

seguinte interpretação = 0 (não há irreversibilidades presentes no sistema) > 0 (irreversibilidades presentes no sistema) < 0 (impossível)

s:

onde o subscrito b

indica que a integral é

avaliada na fronteira do

sistema.

Processo Internamente

Reversível

(Eq. 6.2a)

Processo

Irreversível

cycle

b

s

T

Q

►O resultado é

Produção de Entropia (s) pode ser positiva ou “0” enquanto

a variação de entropia (DS) pode ser “+”, “-” ou “0”

Balanço de Entropia para Sistemas Fechados

►Que s tem um valor zero quando não existem irreversibilidades

internas e é positivo quando as irreversibilidades estão presentes no

sistema leva à interpretação de que s fornece a entropia produzida

(ou gerada) dentro do sistema por ação das irreversibilidades.

Também, s não é uma propriedade!!!

►De acordo com a segunda lei da termodinâmica entropia pode ser

criada mas não pode ser destruída podemos introduzir um balanço

de entropia que expresso em palavras é

variação na quantidade

de entropia contida

dentro do sistema

durante algum

intervalo de tempo

quantidade líquida de

entropia transferida

através das fronteiras

seguida de transf de calor

durante um intervalo de tempo

quantidade de

entropia gerada

no sistema

durante um

intervalo de t

+

Balanço de entropia é uma forma mais prática de aplicar a

segunda lei da TD e analisar sistemas de engenharia!!!

Exemplo: Balanço de Entropia para Sistemas Fechados

►Desde que a expansão ocorre adiabaticamente, Eq. 6.24

reduz-se para dar

1,0 kg de vapor d’água contidos dentro de

um sistema pistão-cilindro, inicialmente a 5

bar, 400oC, sofre uma expansão adiabática

para um estado onde a pressão é 1 bar e a

temperatura é (a) 200oC, (b) 100oC.

Usando o balanço de entropia, determine a

natureza do processo em cada caso.

s

b12

T

QSS

1

2

0

→ m(s2 – s1) = s (1)

onde m = 1 kg e Tabela A-4 dá s1 = 7.7938 kJ/kg∙K.

Fronteira

SOLUÇÃO:

Exemplo: Balanço de Entropia para Sistemas Fechados

(a) Tabela A-4 fornece, s2 = 7.8343 kJ/kg∙K. Assim

Eq. (1) dá

s = (1 kg)(7.8343 – 7.7938) kJ/kg∙K = 0.0405 kJ/K

Como s é positivo, irreversibilidades estão

presentes no sistema durante a expansão (a).

(b) Tabela A-4 dá, s2 = 7.3614 kJ/kg∙K. Assim Eq. (1)

fornece

s = (1 kg)(7.3614 – 7.7938) kJ/kg∙K = –0.4324 kJ/K

Como s é negativo, expansão (b) é impossível: não

pode ocorrer adiabaticamente.

Exemplo: Balanço de Entropia para Sistemas Fechados

► Desde que s não pode ser negativo e

► Para a expansão (b) DS é negativo, então

► Por inspeção a integral deve ser negativa e assim

transferência de calor do sistema deve ocorrer na

expansão (b) (processo não pode ser adiabático).

Comentários sobre a expansão(b):

Considerando Eq. 6.24

= + < 0 ≥ 0 < 0

Taxa de Balanço de Entropia para

Sistemas Fechados ►Temporalmente, a taxa de balanço de entropia

em sistema fechado é

(Eq. 6.28) onde

a taxa temporal de variação de entropia em

sistema fechado

a taxa temporal de transferência de entropia

através da porção da fronteira cuja temperatura

é Tj

taxa temporal de produção de entropia devido à

irreversibilidades dentro do sistema. s

j

j

T

Q

dt

dS

Exemplo: Taxa de Balanço de Entropia para Sistemas Fechados

Um inventor afirma que o dispositivo exibido abaixo gera

eletricidade a uma taxa de 100 kJ/s enquanto recebe energia

por transferência de calor a uma taxa de 250 kJ/s a uma

temperatura de 500 K, receibendo uma segunda transferência

de calor a uma taxa de 350 kJ/s a 700 K, e discarregando

energia por transferêmncia de calor a uma taxa de 500 kJ/s a

1000 K. Cada transferência de calor é positiva na direção que

acompanha a seta. Para operação em estado estacionário,

avalie essa afirmação.

kJ/s 3502 Q

kJ/s 2501 Q

+

–

T1 = 500 K

T2 = 700 K

T3 = 1000 KkJ/s 5003 Q

kJ/s 3502 Q

kJ/s 2501 Q

+

–

T1 = 500 K

T2 = 700 K

T3 = 1000 KkJ/s 5003 Q

► Aplicando uma taxa de balanço de

entropia no estado estacionário

kJ/s 100 kJ/s 500kJ/s 350kJ/s 250eW

eWQQQdt

dE 3210

s

3

3

2

2

1

10T

Q

T

Q

T

Q

dt

dS

►Aplicando um balanço de energia

em estado estacionário

Resolvendo

A afirmação está de acordo com a 1a Lei da TD.

K

kJ/s0.5

K

kJ/s5.05.05.0

K 1000

kJ/s 500

K 700

kJ/s 350

K 500

kJ/s 250

s

s

Desde que σ é “-”, a afirmação não está de acordo com a

2a Lei da TD e portanto é descartada.

∙

0

0

Exemplo: Taxa de Balanço de Entropia para Sistemas Fechados

SOLUÇÃO:

Resolvendo