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CAPITOLO 5

INTRODUZIONE ALLE TURBOMACCHINE

5.1. Introduzione In questo capitolo analizziamo nel dettaglio il funzionamento delle turbomacchine, ovvero come gi definito quelle macchine in cui il flusso continuo, partendo dalla descrizione delle trasformazioni che in esse hanno luogo. Si descriver come nella pratica tali trasformazioni vengono realizzate, introducendo quindi il concetto di lavoro Euleriano, di stadio, di triangoli delle velocit e di grado di reazione. Lanalisi sar condotta considerando turbomacchine a fluido comprimibile , quale aria o vapore e poi turbomacchine a fluido incomprimibile.

5.2. Trasformazioni nelle turbomacchine a fluido co mprimibile Nel capitolo precedente si sono ricavate le relazioni necessarie al calcolo del lavoro scambiato da un sistema aperto con lesterno. In particolare, si sono ricavate le seguenti relazioni, che esprimono il principio di conservazione dellenergia specifica alla massa per un sistema aperto al flusso di massa

)()(21

)( 1221

2212 zzgvvhhql ee ++=+ (1)

)()(2

112

21

22

2

1

zzgvvvdpll irre ++= (2)

In situazione di quiete (v 0), ovvero pensando di dimensionare i condotti di adduzione e scarico in modo tale che tale ipotesi risulti verificata, e trascurabile la variazione geodetica z 0 la (1) e la (2) valgono:

)( 12 hhql ee =+ (3)

+=2

1

vdpll irre (4)

Nel capitolo precedente, per convenzione, si era assunto positivo il lavoro se fatto sul sistema, e il calore positivo se entrante nel sistema. Tuttavia pi comodo operare sempre con lavori positivi, e quindi verranno cambiati i segni in maniera tale da ottenere sempre Le > 0. Quindi, lequazione (3) diventa:

( ) 012 >= ee qhhl per macchine operatrici (qe > 0) (5)

( ) 021 >+= ee qhhl per macchine motrici (qe < 0) (6)

Pagina 2 di 32

In analogia lequazione (4) diventa:

irre lvdpl += 2

1

per macchine operatrici (lirr > 0) (7)

irre lvdpl = 2

1

per macchine motrici (lirr > 0) (8)

Nel seguito si analizzer il caso si una turbomacchina operatrice (compressore) e poi di una macchina motrice (turbina).

5.2.1. Turbomacchina operatrice (Compressore) Consideriamo il caso di una macchina operatrice operante su fluido comprimibile ed ipotizziamo un comportamento del fluido da gas perfetto. Ci chiediamo che tipo di trasformazione subisca il fluido nellattraversamento della macchina. Prima ancora per vediamo quale la trasformazione che ci permetterebbe di compiere il minimo lavoro possibile. Tale trasformazione la trasformazione isoterma (Figura 1).

Figura 1: compressione ideale a temperatura costante. Consideriamo un gas perfetto e una trasformazione ideale (lirr = 0). Le due forme dellequazione dellenergia (5) e (7) forniscono:

ee ql = (9)

===2

1 1

21

2

1

lnp

pRTdp

p

RTvdple (10)

ove essendo in un gas perfetto h = f(T), se isoterma h2-h1 = 0. Tali lavori sono rappresentati dalle aree sottese dalle trasformazioni: larea (12NM) tratteggiata nel piano (p,v) e larea tratteggiata nel piano (T,s) in Figura 1.

1 2

P2

P1

s

T

v

P

P2

P1 M

v1

1

2 N T = cost

Pagina 3 di 32

Tale trasformazione risulta per irrealizzabile nella pratica. Le trasformazioni nelle macchine dinamiche (continue) sono infatti estremamente veloci. Non c tempo n superfici di scambio termico sufficienti perch il fluido, nellattraversamento della macchina, riesca a cedere (o ricevere) calore. allora possibile considerare sempre le trasformazioni nelle macchine dinamiche adiabatiche; la (5) diventa:

( )12 hhle =

Da tali considerazioni risulta quindi che la trasformazione ideale con cui confrontarsi non tanto quella isoterma reversibile, quanto quella adiabatica ideale, e cio la trasformazione isoentropica. Con riferimento alla Figura 2, e sempre nelle ipotesi di gas perfetto, si ricava:

( ) ( )1212 TTChhl spsse == che, nel piano (T,s), rappresentato dallarea A02sB. Ricordando che, per una trasformazione adiabatica isentropica di un gas perfetto vale pv = cost e che vale la relazione di Mayer vp CCR = , si ricava:

( )

=

11

1

1

RTl se

essendo 12 pp= il rapporto di compressione. Nel piano (p,v) il lavoro scambiato isentropicamente rappresentato dallarea M12sN. Una forma identica la si ottiene anche a partire dalla (7), imponendo Lirr = 0.

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Figura 2: compressione adiabatica ideale a) e reale b).

v

P

P2

P1 M

v1

1

2s N

s = cost

1

2s P2

P1

s

h

Ls

1

2s P2

P1

s

T

0

Ls

B A

v

P

P2

P1 M

v1

1

2s N LCR 2

1

2s

P2

P1

s

T

0

Ls

B A

2

C

LCR

Lw

1

2s

P2 P1

s

h

Ls

2

Lr

a)

b)

Pagina 5 di 32

Con riferimento alle trasformazioni tracciate nei piani (p,v), (T,s) ed (h,s) riportate in Figura 2a, si osserva come il lavoro compiuto sul fluido sia maggiore rispetto al caso isotermo. Inoltre, che le aree tratteggiate nel piano (p,v) e in quello (T,s) rappresentano il lavoro scambiato, essendo la trasformazione adiabatica reversibile. Nella realt, la trasformazione sar tale da far s che il fluido si trovi alluscita del compressore ancora allo stesso livello di pressione p2, ma con unentropia maggiore rispetto al caso isentropico, come mostrato dal punto 2 in Figura 2b. In questo caso, il lavoro scambiato con lesterno vale:

Area(A02C)12 == hhle che, nel piano (T,s), consiste nellarea A02C. Il percorso seguito dal fluido per passare dal punto 1 al punto 2 pu essere qualunque. possibile approssimare la trasformazione reale con una trasformazione politropica reversibile, in cui si suppone che il calore (che nella realt legato alle irreversibilit) venga scambiato reversibilmente:

( ) ( ) ( )yeye qhhl = 12

( )

=

11

1

1n

n

ye RTn

nl

Cerchiamo di individuare nei diversi piani larea che rappresenta la differenza tra il lavoro reale e quello ideale. Il lavoro reale nel piano (p,v) consiste nellarea M12N. Si fa notare come il volume specifico nel punto di fine compressione reale sia maggiore rispetto al caso ideale, a causa delle perdite. Sempre nel piano (p,v) si ha quindi:

( ) ( ) irrss

irrsere lvdpvdpvdplvdpll +

=+=

2

1

2

1

2

1

2

1

Nel piano (p,v) non si vede chiaramente tutto il lavoro scambiato; larea 212s rappresenta la differenza tra i due integrali, mentre non ben identificabile il lavoro perso per attrito; meglio considerare il piano (T,s): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )yeseyeseyeyesere qlllqlll +=+= Tale differenza rappresentata dallarea B2s2C nel piano (T,s). Si ricorda che (Qe)y > 0 in quanto entrante nel sistema. Questo calore nella realt legato alle perdite, essendo la trasformazione adiabatica. Esso dato dalla relazione

irre dldqTdsq +== che, per una trasformazione adiabatica diventa:

( ) ==2

1

Tdslq irrye

ed quindi rappresentato, nel piano (T,s), dallarea sottesa dalla trasformazione 1-2. Ne segue che il lavoro perso coincide con larea B12C, inferiore alla differenza tra lavoro reale e lavoro ideale

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( )shh 22 , mentre larea 212s rappresenta quello che viene chiamato lavoro di contro-recupero. Ne risulta quindi che, per comprimere il fluido dalle condizioni 1 alle condizioni 2, il lavoro speso maggiore rispetto alla somma tra lavoro ideale e lavoro perso. La quota parte di lavoro che necessario fornire al fluido il lavoro di contro-recupero, dovuto al fatto che, mentre si comprime, il fluido si riscalda di pi rispetto al caso ideale. Il fenomeno del contro-recupero allora un effetto termodinamico legato alla variazione di volume specifico durante la compressione. Se infatti si pensa di approssimare la compressione con una serie di compressioni infinitesime pj, cos come schematizzato in Figura 3, il lavoro complessivamente speso pu essere cos approssimato:

w

N

jjjirr lpvlvdpl ++=

=1

2

1

essendo vj il volume specifico medio sul singolo intervallo di compressione. evidente che, col procedere della compressione, il volume specifico aumenta rispetto al caso ideale, a causa della generazione di calore causata dalle perdite. Ogni incremento ulteriore di pressione richiede quindi un lavoro maggiore rispetto allo step precedente. Lentit del contro-recupero quindi funzione del rapporto di compressione. Quanto pi il rapporto di compressione elevato, tanto maggiore sar il lavoro di contro-recupero. Esso tuttavia non una perdita, nel senso che non dipende dalla bont con cui si realizza la macchina, ma insito nella trasformazione. Per valutare le prestazioni di un compressore, si definisce il rendimento del compressore come il rapporto tra lavoro ideale e lavoro reale. A seconda del tipo di trasformazione considerata come trasformazione ideale, si distingue tra rendimento adiabatico e rendimento politropico:

12

12, hh