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ESTRUCTURA Y COMPORTAMIENTO MECÁNICO
Cap. 2. ELASTICIDAD
• Los comienzos: Robert Hooke• La “ley de Hooke” generalizada• La elasticidad, mecanismo de deformación reversible; implicaciones: dos tipos de elasticidad• Un inciso sobre viscosidad; distinción viscosdiad-elasticidad• Elasticidad de los elastómeros (elasticidad entrópica)• Elasticidad de los materiales cristalinos o vítreos (energética o entálpica)• Anisotropía elástica de los materiales cristalinos• Modificación de las constantes elásticas por aleación (solución sólida)• Influencia de la temperatura en la rigidez elástica de los materiales cristalinos o vítreos• Constantes elásticas de segundo orden• Heterogeneidad local de los módulos elásticos de policristales o composites
V. 2007
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3
Robert Hooke 1635-1703Hooke’s main scientific contributions were in writing the first book on microscopy and in original work on springs and clocks. His linear law of the spring is the basis of the simplest constitutive law of linear elasticity.
Solid materials which behave in a linear elastic manner are oftendescribed as hookean.
[Biography: Lisa Jardine, “The curious life of Robert Hooke”, London 2003]
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4
∑=ij
ijijklkl C εσ
LEY de HOOKE
ceiiinsssttuv*
UT TENSIO SIC VIS
F ∼ Δλ
Generalizando la “ley de Hooke”:
* Robert Hooke (1635-1703) - por miedo de que Newton se lo apropiara - publicó su descubrimiento inicialmente en forma de ese anagrama.
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5
Descripción más completa del fenómeno:
La elasticidad es comportamiento mecánico reversible sin creación de discontinuidades en el material (pura deformación reversible)
Procesos reversibles, condiciones termodinámicas*:
• Procesos cuasiestáticos (todos los estados intermedios son de equilibrio)• Sin efectos disipativos (sin procesos cuyo sentido –signo- no puede invertirse)
Un proceso es reversible si, una vez producido, es posible volver al mismo estado inicial pasando por todos los estados intermedios e invirtiendo todas las interacciones que se hubieran producido con el entorno, de forma que, en el ciclo cerrado (ida y vuelta) no quede ningún efecto del proceso. Los estados inicial y final no dependen del camino recorrido.
* No se olvide que la termodinámica hace referencia a estados y propiedades macroscópicas.
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6
VVV TSU −=ΨLa energía libre:
En un cambio reversible isotermo, el trabajo mecánico realizado sobre el sistema se emplea en un cambio de la energía libre.
Para un cambio reversible diferencial isotermo por deformación elástica (deformación cuasi-estática sin efectos disipativos):
VVijij
ij TdSdUd −=∑ εσ
El trabajo elástico se puede invertir en cambiar la energía interna y en
cambiar la entropía
ELASTICIDAD ≡ DEFORMACIÓN REVERSIBLE
ijij
ijeV ddwd εσ∑==Ψ
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7
ijij ε
σ∂
Ψ∂=
∑∑∑ =∂∂Ψ∂
=∂∂
=ij
ijijklijij klij
ijij ij
klkl dCddd εε
εεε
εσσ
2
ELASTICIDAD LINEAL
∑=ij
ijijklkl C εσ...==== jilkjiklklijijkl CCCC
21 módulos elásticos de rigidez*
Si existe simetría en la muestra, el número de módulos independientes se reduce
ijij
ijeijij ij
VV ddwdd εσε
ε ∑∑ ==∂Ψ∂
=Ψ
* Por la independencia del camino en la derivada segunda de la energía libre (función de estado) y por la simetría de las tensiones o deformaciones, el nº de
módulos se reduce de 81 aparentes a 21
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8
Una observación desconcertante de Gough (1805), estudiada unos 50 años después por William Thompson (Lord Kelvin)*: hay dos tipos de comportamiento elástico
* Estudios publicados más tarde en “Elasticity and Heat”, 1880
F
ΔL
T1T2 T2
T2 > T1
Cristal o vidrioElastómero
L+ΔL
F
F
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9
Vv TdSdU >>
Vv TdSdU <<
Existen 2 casos extremos de comportamiento elástico
En cristales, o en vidrios a T < TG
En elastómeros (TM > T > TG)
El trabajo elástico se emplea en cambiar la energía interna
El trabajo elástico se emplea en cambiar la entropía
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10
Crystalline & lattice glasses
COMPARACIÓN DE VALORES ABSOLUTOS DEL MÓDULO DE YOUNG Y DE LA DENSIDAD
El módulo de Youngde los elastómeros es varios órdenes de magnitud inferior al de los materiales inorgánicos cristalinos o vítreos
Ashby map
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Siguen algunas consideraciones sobre vidrios, transiciónvítrea y TG
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SOLIDIFICACIÓN CRISTALINA EN EQUILIBRIO a TM
vs TRANSICIÓN VÍTREA MUY LEJOS DEL EQUILIBRIO
Partiallycrystallized*
*Holding the liquidjust below the melting(crystallization) temperature andrapidly coolingthereafter
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Velocidad de enfriamiento diferente
Los vidrios obtenidos a mayor velocidad de enfriamiento tienen mayor TG y mayor “volumen libre”
TG
El vidrio puede tener un intervalo de densidades según la velocidad de enfriamiento
dT/dtcreciente
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Viscosidad de varios líquidos que vitrifican fácilmente
The increasing viscosity of the liquid as a function of undercooling reflects the decreasing mobility of atoms thatoccurs during supercooling. This is observed in all supercooled liquids, whether they are metallic or nonmetallic. Silicate liquids, called strong liquids, usually show high equilibrium melt viscosities and Ahrrenius behavior in theslowing mobility in the supercooled melt. The other limits are fragile liquids with low melt viscosities and a more abrupt change in the kinetics close to the glass transition. The fragility concept is used to classify the different temperature dependencies of the viscosity. To compare theviscosities measured in different glass-forming systems, data are plotted in an Ahrrenius plot in which the inversetemperature axis is multiplied by the temperature, Tg, at which the viscosity of the respective alloy is 1012 Pa · s.
Busch, 2000, JOM
La viscosidad varía muy fuertemente con la temperatura en los líquidos formadores de vidrios
1012 Pa⋅s = Tg
10-5 Pa s
El comportamiento es muy distinto en los líquidos que cristalizan fácilmente
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15
Al
Bowman, 2004
Viscosidad de varios metales que cristalizan al solidificar y de otros materiales que vitrifican fácilmente
TG
El comportamiento viscoso de las fases sólidas cristalinas es propiamente plasticidad y depende del tamaño de grano (“viscoplasticidad”)
?¿Comportamiento vítreo como límite del comportamiento nanocristalino?
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RUBBER ELASTICITYThe chains are crosslinked to provide a network*
The amorphous phase is above its Tg but is constrained by the cross links and so cannot be said to be liquid-like (but chains between cross-links can move viscously)
The crosslinks provide a 'memory'.
When the network is stretched, entropic forcescome into play which favour retraction, returningthe network to its original dymamicunstretched/equilibrium state.
Mx: masa molecular promedio de las cadenas entre enlaces cruzados
All chains are crosslinked, i.e., no free (liquid) chains as in gels
Módulo elástico a cortadura para pequeñas deformaciones:Snap-shots(Los segmentos entre uniones cruzadas duras están moviéndose continuamente como en estado líquido, pero con sus extremos fijos) XM
RTG ρ=
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Aspecto de la estructura de un polímero con cadenas moleculares configuradas aleatoriamente
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Cálculo de la elasticidad entrópica de una cadena
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Ejemplo de cálculo de la elasticidad entrópica de una cadena
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20
Hay varios modelos
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21
For moderate strains, the equation of state of an isotropic rubber band of length L at temperatureT under stress τ is:
at constant volume, where k is a constant that depends on the composition and geometry of thesample considered and L0 is the length in the absence of applied stress (Gaussian models)
Pellicer et al., 2001
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22
Curva experimental tensión-alargamiento (λ = ΔL/L) del caucho, analizada en los términos entrópico (b) y entálpico (c).
Anthony, 1948
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23
ELASTICIDAD “ENERGÉTICA” O “ENTÁLPICA”
La red de enlaces interatómicos o intermoleculares se deforma sin rotura de ningún enlace, i.e., no hay cambios topológicos y apenas hay cambios de entropía
• Los módulos elásticos se derivan de la distorsión de los enlaces; la rigidez depende de la fortaleza de los enlaces
• En los materiales cristalinos la elasticidad es anisótropa
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24Gilman et al., 2006
Módulo de deformación volumétrica B y Tabla Periódica
?
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25
Por cierto, a propósito de esa gráfica…
¿Qué sentido tiene hablar de elasticidad de los gases?
¿Cuánto vale el módulo elástico de deformación volumétrica de un gas ideal?
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26
Los valores de los módulos de los sólidos guardan relación con propiedades relacionadas con la fortaleza de los enlaces, vg.,
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27Ghosh y Olson, AM 2002
Correlación entre el módulo de rigidez volumétrica y la temperatura de fusión de metales FCC
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28Gilman et al., 2006
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29
ANISOTROPÍA ELÁSTICA DE LOS MATERIALES CRISTALINOS
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30
La simetría reduce el número de módulos independientes Cijkl
21
13
2
3
6
9
5
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33
Calculated Anisotropic Behavior of Young's Modulus E (Left) and Poisson's Ratio (Right) for Single Crystal 3C-SiC
and Silicon in the (100)-Planes.
Wieczorek, TU Berlin. Application of high band gap SiC to high T sensors
LA ANISOTROPÍA ELÁSTICA PUEDE SER IMPORTANTE
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34(Crystal reference axis system)
La anisotropía elástica de los materiales cristalinos puede ser muy importante: V. g.,
Cu
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35
Cálculos de elasticidad cristalina y de anisotropía
1' −= klijklijijkl ACAC
CONSTANTES ELÁSTICAS DE UN CRISTAL EN FUNCIÓN DE LAS CONSTANTES REFERIDAS AL TRIEDRO INTRÍNSECO DE
REFERENCIA DEL CRISTAL
Para un cristal cuya matriz de transformación de ejes de coordenadas de la base cristalina a los de una base extrínseca sea :ijA
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36
mnoplpkojnimijkl
mnoplpkojnimijkl
saaaas
caaaac
=′
=′
a33a32a31x’3
a23a22a21x’2
a13a12a11x’1
x3x2x1Ejes(vectoresunitarios) del sistemade referenciaextrínseco
Ejes (vectores unitarios) del sistema intrínseco al cristalMatriz Aij
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37
5
31,13
64321
12,2123,32332211
Convención
Como sólo hay 6 componentes independientes de tensión o de deformación, las constantes elásticas se suelen denotar con dos subíndices. La convención para la contracción de índices es:
612
531
423
333
222
111
σσσσσσσσσσσσ
======
612
531
423
333
222
111
222
εεεεεε
εεεεεε
===
===
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38
Coeficientes para la representación elástica matricial (pseudovectores de tensión y deformación, con contracción de índices)
jiji c εσ =
kljlikij cc αα=′
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39
Transformation matrix α for the elastic coefficients (pseudovector form of stresses and strains):
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40Kelly and Groves, 2000 K = (C11+2C12)/3
G(001)[100] = C44
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41
Kelly and Groves, 2000
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42
De los valores de las dos Tablas anteriores:
Compárense las constantes elásticas del C Diamante y del C Grafito:
C11 y C44 del diamante frente a C11, C33 y C44 del grafito
Obsérvese la extraordinaria anisotropía elástica de este último.
Ej. 1
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43
Single crystalline Ni Young's modulifor directions in the {001}, {011} and {111} planes
Reuss and Voigt averages ofthe moduli on the {001}
plane give a random in-planemodulus of 171–177 GPa
Hemker & Last, MSE A, 2001
Ej.2
Max
Min
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44
Índice de anisotropía elástica paramateriales cristalinos cúbicos
Para un cristal cúbico, el módulo de Young en una dirección [hkl], siendo [hkl] un vector unitario:
Por consiguiente, se toma como “índice de anisotropía”:
Si A<1, el cristal es más rígido en la dirección de los ejes <001>Si A>1, es más rígido en la dirección de los ejes <111>
[ ] ( )[ ] ( )( )2222224412111111 22 hllkkhCCCCCE hklhkl ++−−−==
1211
442CC
CA−
=
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45
Para un policristal de ODF conocida, f = f(g),
( ) ( ) ( )dggfgCCg
ijklVoigtijkl ∫=
( ) ( ) ( ) ( ) 1
Re
−≠= ∫ Voigtijkl
gijklussijkl CdggfgSS
( ) ( ) 1
ReRe
−=
ussijklussijkl SC
UB
LB
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46
Utilizando las tablas de constantes elásticasmostradas anteriormente,
• Compárese la anisotropía elástica del Cu y del Nb
• Id, del Fe, Al y W
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47
Effects of solid solution: Al-Li alloysLi is the lightest metallic element and each 1% of Li reduces alloydensity by about 3% and increases modulus by about 6%
Commercial Al-Li alloys:• 7-10% Lower density. • 10-15% Higher Modulus. • Excellent fatigue and cryogenic toughness properties. • Higher stiffness. • Superior fatigue crack growth resistance. but
• Reduced ductility • Lower fracture toughness at RT• Highly anisotropic
2024 alloy + Li
Chemical composition of 2024 aluminum alloy (wt%)Fe Si Cu Mn Mg Zn Ti Cr Al
0.50 0.50 4.45 0.71 1.36 0.20 0.15 0.10 balance
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48
The decrease in the elasticmoduli with increasing Alcontent is mainly caused by theslightly reduced lattice energyof the Fe-Al solid solution andthe larger distance between thecoexisting Al and Fe atoms inthe lattice.
Fe
Frommeyer et al., 2000
Effects of solid solution: Fe-Al steels
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49
Effects of solid solution: β Ti alloys, Toyota “gum metal”
Kuramoto et al., Toyota, 2005
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50
Constantes elásticas de la ytria (Y2O3, cúbico)
Palko, Univ. Michigan, JAP, 2001
Ejemplo de dependencia térmica de los módulos elásticos de los sólidos
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51
Koster, ZM, 1948
Ejemplo de dependencia térmica de los módulos elásticos de los sólidos. Módulo de Young isótropo de varios metales
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52
The variation of modulus is non-linear and the slope begins to fall rapidly at highertemperatures, approaching the solidus.
The modulus of a material is a function of the elastic behaviour of the constituent phases, and the distinct changes in slope which have been observed at specific temperatures in some materials can be linked clearly to changes in microstructure.Lord and Orkney, NPL, 2000
TM0 K
Dependencia térmica de los módulos elásticos de los sólidos
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53Ghosh y Olson, AM 2002
Fe bulk modulus vs. T
Curie temperature
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54Antonangeli et al., EPSL, 2004
Constantes elásticas de segundo orden, vg.:
Dependencia del módulo elástico C11 del HCP Fe con la presión
Medidas de la velocidad del sonido a RT en una DAC
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55
En un policristal mono- o polifásico o en un composite:
• Las propiedades elásticas son heterogéneas a escala local.
• El comportamiento macroscópico promedia el de los granos o fases constituyentes del agregado policristalino o polifásico
• Los módulos macroscópicos se pueden calcular mediante promedios (v. g., como el promedio de los valores de Voigt y Reuss, ya mencionados)
La heterogeneidad espacial elástica se puede visualizar
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56
FOR INSTANCE:
For crystalline materials OIM provides the capability to calculate, mapand plot the distribution of elastic stiffness modulus for a givenstress condition and single crystal elastic stiffness tensor.
The maps shown here are from a stainless steel (left) and a titanium alloy (right).
From EDAX
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57
Variation in elastic stiffnessdue to differences in crystalorientation. The points in redare stiffer than points in blue.
The material is titanium (Ti-6Al-4V) cored from the faceof a cast golf club driver. From TSL
Pero hoy también se puede medir directamente la rigidez local
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58
Two-dimensional map of the elastic modulus of a carbon fiber-epoxycomposite material. Brighter regions of the image correspond to highermodulus. (b) Cross-section line scan through the center of the image (marked by arrows in (a)) shows the storage modulus in the epoxy and the modulus gradientat the center of the fiber.
When the probe radius R, applied load P, andmeasured contact stiffness K are known, thereduced elastic modulus E* can be directlycalculated, pixel by pixel, from the contactstiffness image data obtained during scanning
ELASTIC MODULUS MAPPING BY NANOINDENTATION
Wahl et al., NRL
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59
Si se conoce la ODF de un policristal o la proporción de fases de un composite se
puede calcular un valor medio del agregado (no es un problema sencillo, porque también influye la forma y la distribución de los granos o fases)
Dos aproximaciones sencillas para los módulos de rigidez :
• Un límite superior : isodeformación del agregado
• Un límite inferior: isotensión
Los valores de E, G, ν de los manuales suelen corresponder - salvo indicación contraria – a los de un agregado isótropo
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60
Ej. 2.1. Calcúlese el módulo elástico de deformación volumétrica de- cristales cúbicos- cristales hexagonales
Ej. 2.2. ¿Puede haber contracciones anisótropas al someter algún cristal a compresión hidrostática?
Ej. 2.3. Calcúlese el módulo de Young de monocristales de - Fe, Al y W para las direcciones contenidas en el plano(001) - Ti en el plano (0001)
Ej. 2.4. ¿Cuáles son los límites del módulo de Poisson, ν?[Materials which have a negative Poisson ratio are known as auxetic materials. These are unusual and not numerous but are attracting attention from materialsscientists and engineers. E.g., see Baughman, Nature 2003, vol 426, p667]