cambio de variable en las integrales mÚltiples (nxpowerlite)

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UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 4. CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES MÚLTIPLES En esta sección se presenta una alternativa para resolver integrales múltiples cuando el proceso de determinar las antiderivadas parciales es muy complicado o riguroso. Para ello es necesario definir transformaciones geométricas de 2 2 y 3 3 ; posteriormente se enuncian los teoremas de cambios de variables para integrales dobles y triples, sugiriendo los sistemas de coordenadas más empleados: Sistema polar para integrales dobles y los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas para integrales triples. 4.1 INTRODUCCIÓN En el cálculo integral, para evaluar una integral definida de una función real de variable real en un intervalo cerrado [ ] a,b existe un teorema que permite cambiar la variable de integración con la finalidad de resolver dicha integral de una manera más sencilla. Para resolver la integral del segundo miembro de la ecuación IV.1 se realiza el cambio de variable, CV, y el cambio de los límites de integración, CLI, señalado en la parte inferior izquierda de esta página. TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Definida Sea [ ] : , f ab una función continua y [ ] : , g cd una función derivable con derivada ( ) g t continua (es decir, g es de clase C 1 ) tal que [ ] ( ) [ ] g c,d a,b , entonces ( ) () () b d a c f x dx f g t g t dt = (IV.1) La expresión: [ ] ( ) [ ] g c,d a,b Significa que las imágenes de la función g son un subconjunto de [ ] a,b . CV ( ) () x gt dx g t dt = = CLI ( ) ( ) t c x gc a t d x gd b = = = = = = Recuerde que emplear un cambio de variable de un integral definida implica que el cambio afecta: el intervalo de integración, el integrando y la diferencial. www.Matematica1.com

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Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

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4. CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES

MÚLTIPLES

En esta sección se presenta una alternativa para resolver integrales múltiples cuando el

proceso de determinar las antiderivadas parciales es muy complicado o riguroso. Para

ello es necesario definir transformaciones geométricas de 2 2→ y 3 3→ ;

posteriormente se enuncian los teoremas de cambios de variables para integrales

dobles y triples, sugiriendo los sistemas de coordenadas más empleados: Sistema polar

para integrales dobles y los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas para

integrales triples.

4.1 INTRODUCCIÓN

En el cálculo integral, para evaluar una integral definida de una

función real de variable real en un intervalo cerrado [ ]a,b existe un

teorema que permite cambiar la variable de integración con la

finalidad de resolver dicha integral de una manera más sencilla.

Para resolver la integral del segundo miembro de la ecuación IV.1

se realiza el cambio de variable, CV, y el cambio de los límites de

integración, CLI, señalado en la parte inferior izquierda de esta

página.

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Definida

Sea [ ]: ,f a b → una función continua y [ ]: ,g c d → una

función derivable con derivada ( )g t′ continua (es decir, g es

de clase C1) tal que [ ]( ) [ ]g c,d a,b⊂ , entonces

( ) ( ) ( )b d

a cf x dx f g t g t dt′= ∫ ∫ (IV.1)

La expresión: [ ]( ) [ ]g c,d a,b⊂

Significa que las imágenes de la función g son un subconjunto de [ ]a,b .

CV ( )( )

x g t

dx g t dt

=

′=

CLI

( )( )

t c x g c a

t d x g d b

= ⇒ = =

= ⇒ = =

Recuerde que emplear un cambio de variable de un integral definida implica que el cambio afecta: el intervalo de integración, el integrando y la diferencial.

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Cuando se desea resolver una integral doble empleando un

cambio de variable, el proceso resulta más complicado pues se

deben cambiar ambas variables x y y por las variables u y v, por

ejemplo. Este cambio se realiza mediante una transformación

geométrica del tipo 2 2→ .

4.2 TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA DE 2 2→

Una transformación geométrica del tipo 2 2→ se realiza

cuando una región bidimensional D del plano xy se transforma o

convierte en una nueva región bidimensional D′ del plano uv. Esta

transformación se realiza por medio de una función 2 2T : → .

Sea T una función definida como 2 2T : D D′ ⊂ → ⊂ , tal que:

( ) ( ) ( )( )1 2T u,v T u,v ,T u,v= (IV.2)

Donde:

( )1T u,v x= (IV.3)

( )2T u,v y= (IV.4)

Por lo tanto, la función de transformación es:

( ) ( )T u,v x, y= (IV.5)

La cual suele escribirse como:

( )( )

( )

1

2

T u,v xT u,v

T u,v y

= =

(IV.6)

En otras palabras, la función T transforma todo punto ( )u,v D′∈

en un punto ( )x, y D∈ .

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Por otra parte, como se busca resolver una integral doble

( )D

f x, y dA∫∫ empleando un cambio de variable, observe que al

componer las funciones f con T , se obtiene:

( )( ) ( )f T u,v f u,v= (IV.7)

En la figura 4.1 se observa la transformación geométrica de la

región D′ en la región D , la cual se realiza por medio de la

función T .

Figura 4.1

Transformación geométrica de la región D′ en la región D

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Doble

Sea 2:f → una función continua de las variables x y y

definida en la región 2D ⊂ . Sea T una función inyectiva que

transforma los puntos ( ) 2u,v D′∈ ⊂ en ( ) 2x, y D∈ ⊂ ,

mediante la expresión ( ) ( )T u,v x, y= . Suponga que T es de

clase C1 y que la derivada ( )T u,v′ es una matriz inversible

( )u,v D′∀ ∈ , entonces:

( ) ( )( ) ( )( )D D

x, yf x, y dA f T u,v dudv

u,v′

∂=

∂∫∫ ∫∫ (IV.8)

Una matriz ( )T u,v′ es

inversible cuando su determinante es no nulo en todos los puntos ( )u,v D′∈ .

Por otra parte: ( ) ( )1D T D D T D−′ ′= ⇒ =

por lo cual T debe ser inyectiva.

La expresión: ( )( )f T u,v también

suele escribirse: ( ) ( )( )1 2f T u,v ,T u,v

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El término ( )( )x, yu,v

∂∂

se conoce como determinante del jacobiano y

se obtiene como:

( )( )

x xx, y u v

detu,v y y

u v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(IV.9)

O también suele escribirse como:

( )( )

u v

u v

x xx, y

detu,v

y y

∂ = ∂

(IV.10)

Sin embargo, en algunas ocasiones, se desconoce la

transformación ( ) ( )T u,v x, y= más apropiada. En estos casos, se

propone una transformación inversa del tipo ( ) ( )1T x, y u,v− = , la

cual vendrá dada por las ecuaciones que limitan a la región D o

por la función integrando. Cuando se presenta esta situación, el

jacobiano ( )( )x, yu,v

∂∂

se obtiene mediante la propiedad:

( )( )

( )( )

1x, y u,vu,v x, y

∂ ∂=

∂ ∂ (IV.11)

En donde:

( )( )

x y

x y

u uu,v

detx, y

v v

∂ = ∂

(IV.12)

Por lo tanto, el teorema de cambio de variable para integrales

dobles puede escribirse como:

Al determinante del jacobiano:

( )( )x, yu,v

∂∂

también se le llama jacobiano.

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( ) ( )( )( )( )

1D D

f x, y dA f T u,v dudvu,vx, y

′=

∂∂

∫∫ ∫∫ (IV.13)

La demostración del teorema de cambio de variable en una

integral doble es muy rigurosa; sin embargo, seguidamente se

prueba dicho teorema en el caso particular que la función

integrando, f , es igual a la unidad, es decir:

( )( )D D

x, ydA dudv

u,v′

∂=

∂∫∫ ∫∫ (IV.14)

Demostración del Teorema de cambio de variable en una

integral doble, cuando la función integrando es igual a la

unidad:

Considere una región D′ definida como:

( ){ }0 0 0 0D u,v u u u u v v v v′ = ≤ ≤ + ∆ ∧ ≤ ≤ + ∆ (IV.15)

La cual se aprecia en la figura 4.2

Figura 4.2

Una región D′ en el plano uv

Por lo tanto la región D′ es un rectángulo cuyos vértices son los

puntos: ( )0 0A u ,v′ , ( )0 0B u u,v′ + ∆ , ( )0 0C u ,v v′ + ∆ y

( )0 0D u u,v v′ + ∆ + ∆ .

Recuerde que :

DdA∫∫

representa el área de la región D.

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Considere ahora, una función de transformación ( )T u,v , la cual

puede aproximarse como:

( ) ( )0 0

uT u,v T u ,v T

v∆ ′≈ + ⋅ ∆

(IV.16)

Donde T ′ es la derivada de T evaluada en ( )0 0u ,v .

La imagen del rectángulo D′ bajo el efecto de la transformación T

propuesto en la expresión IV.16 se muestra en la figura 4.3

Figura 4.3

Región D′ bajo el efecto de la expresión IV.16

Entonces, la aproximación de T , planteada en IV.16, transforma

al rectángulo D′ en un paralelogramo con vértice en ( )0 0T u ,v y

con lados adyacentes, correspondientes a u∆ y v∆ , definidos por

los vectores: ( )iT u′ ⋅ ∆ y ( )jT v′ ⋅ ∆ , los cuales pueden escribirse

como:

( )0i

x x xuu v uT u u

y y yu v u

∂ ∂ ∂ ∆ ∂ ∂ ∂′ ⋅ ∆ = = ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(IV.17)

( ) 0j

x x xu v vT v vy y v yu v v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂′ ⋅ ∆ = = ∆ ∂ ∂ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂

(IV.18)

Los vectores iu∆ y jv∆

son:

0i

uu

∆ ∆ =

0jv

v

∆ = ∆

Por otra parte,

xx yuu u , u

y u uu

∂ ∂ ∂ ∂∆ = ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ x

x yvv v , vy v vv

∂ ∂ ∂ ∂∆ = ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂

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Donde las derivadas parciales de las ecuaciones IV.17 y IV.18

están evaluadas en ( )0 0u ,v .

Luego, el área del paralelogramo de la figura 4.3 está dada por:

x x x x x xu vu v u v u v

det det u v det u vy y y y y yu vu v u v u v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∆ ∆ = ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(IV.19)

Empleando la ecuación IV.9, se tiene:

( )( )

( )( )

x xu vx, y x, yu v

det u v u vu,v u,vy yu v

u v

∂ ∂ ∆ ∆ ∂ ∂∂ ∂ = ∆ ∆ = ∆ ∆∂ ∂ ∂ ∂

∆ ∆ ∂ ∂

(IV.20)

Ahora, si la región D′ es dividida en pequeños rectángulos con

lados de longitud u∆ y v∆ , y se emplea la aproximación de T

planteada en IV.14, estos rectángulos son transformados en

pequeños paralelogramos cuyos lados están definidos por los

vectores x yu , uu u∂ ∂ ∆ ∆ ∂ ∂

y x yv , vv v∂ ∂ ∆ ∆ ∂ ∂

, donde el área de cada

paralelogramo se obtiene como ( )( )x, y

u vu,v

∂∆ ∆

∂, entonces el área de

( )T D′ , denotada ( )T DA ′ se puede aproximar como:

( )( )( )T D

x, yA u v

u,v′

∂≈ ∆ ∆

∂∑∑ (IV.21)

Luego tomando el límite cuando u∆ y v∆ tienden a cero, en la

expresión anterior, resulta:

( )( )( )T D D

x, yA dudv

u,v′ ′

∂=

∂∫∫ (IV.22)

El área de un paralelogramo cuyos lados están definidos por los vectores:

( )a,b y ( )c,d

Se obtiene como el valor absoluto del determinante:

a b a cc d b d

=

Recuerde que u∆ y v∆ son longitudes, por lo tanto:

u u∆ = ∆

v v∆ = ∆

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Entonces, queda demostrada la ecuación ( )( )D D

x, ydA dudv

u,v′

∂=

∂∫∫ ∫∫

En la figura 4.4 se aprecia la transformación de la región D′ pr

medio de T .

Figura 4.4

Transformación T en una región D′

Calcular la integral doble 11D

dAxy+∫∫ , empleando un cambio de

variable adecuado, donde D es la región del plano en el primer

cuadrante limitada por y x= , 2y x= , 1xy = y 2xy = .

Solución:

A continuación se muestra el recinto D .

Figura 4.5

Región D del ejemplo 4.1

EJEMPLO 4.1

En este ejemplo, la transformación ( ) ( ), ,T u v x y= no

está dada por lo cual a partir de la gráfica se propone una transformación

( ) ( )1 , ,T x y u v− =

y x=

2y x=

D

1yx

=

2yx

=

2 22

,

( )2 2,

( )1 1,

( )1 2,

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A partir de la gráfica anterior, se propone el siguiente cambio:

( ), ,y xy u vx

=

Es decir:

( ) ( )1 , ,T x y u v− =

Con este cambio de variable, la región de integración cambia

mediante la expresión ( )1D T D−′ = , por lo tanto:

( ){ }1 2 1 2D u,v u v′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

En la figura 4.6 se observa la transformación de la región D a la

región D′ .

Figura 4.6

Transformación de la región D en D′ del ejemplo 4.1

Para poder resolver la integral doble pedida empleando el cambio

de variable, se necesita determinar el jacobiano ( )( )x, yu,v

∂∂

, para lo

cual se emplea la propiedad IV.10, luego

( )( )

2

1

2 2

yu,v y y yx xdet ux, y x x x

y x

− ∂= = − − = − = − ∂

Con el cambio propuesto se obtiene la región D′

1 1yy x ux

= ⇒ = ⇒ =

2 2 2yy x ux

= ⇒ = ⇒ =

1 1xy v= ⇒ = 2 2xy v= ⇒ =

1v =

D

2v =

D′

1T −

Valor de u a la salida de D´

2u =

Valor de u a la entrada de D´

1u =

Por medio de la tranformación 1T − , la nueva región de integración D′ es una región rectangular.

Recuerde que:

y ux

vxy

=

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Empleando la ecuación IV.12 se tiene que:

( )2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 2 2 1D

I dA dudv dudvxy v u v u

= = =+ + − +∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1

2 1 3 2 22 1 2

lnI dv ln ln lnv

= = − +∫

( ) ( ) ( )21 1 3 2 21 2D

dA ln ln lnxy

= − +∫∫

Calcular la integral doble cosD

y x dAy x

− +

∫∫ , empleando un cambio

de variable adecuado, donde D es la región mostrada a

continuación.

Figura 4.7

Región D del ejemplo 4.2

EJEMPLO 4.2

1C

D

3C

4C

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Solución:

Determinando las ecuaciones de las curvas que limitan a la región

D se tiene:

1

2

3

4

: 0: 2 2: 0: 1 1

C xC y x y xC yC y x y x

== − ⇒ + === − ⇒ + =

A partir de la función integrando ( ), cos y xf x yy x

−= +

, se propone

una transformación del tipo ( ) ( )1 , ,T x y u v− = :

y x uy x v−

= +

Entonces:

( ){ }1 2D u,v v u v v′ = − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

La figura 4.8 muestra la transformación de la región D a la región

D′ por medio de 1T − .

Figura 4.8

Transformación de la región D en D′ del ejemplo 4.2

Con el cambio propuesto se obtiene la región D′

1 1y x v+ = ⇒ = 2 2y x v+ = ⇒ =

0

0

u xy

v xy u v

= −= ⇒ == ⇒ − =

0

0

u yx

v yx u v

== ⇒ == ⇒ =

1v =

D

2v =

D′

1T −

Valor de u a la salida de D´

u v= Valor de u a

la entrada de D´ u v= −

Por medio de la tranformación 1T − , la nueva región de integración D′ es una región tipo 2.

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Calculando el jacobiano ( )( )x, yu,v

∂∂

, se tiene que:

( )( )

1 11 1 2

1 1

u,vdet

x, y

− ∂ = = − − = − ∂

Empleando la ecuación IV.12 se tiene que:

( ) ( )2 2

1 1

1 31 12 2

v

D v

y x uI cos dA cos dudv sen vdv seny x v−

− = = = = + − ∫∫ ∫ ∫ ∫

( )3 12D

y xcos dA seny x

−= +

∫∫

4.2.1 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS POLARES

A continuación se describe un caso particular del cambio de

variable para integrales dobles: cambio a coordenadas polares.

Considere que se desea calcular una integral doble ( )D

f x, y dA∫∫ ,

donde D es una región como la mostrada en la figura 4.9.

Figura 4.9

Una región general D

Recuerde que:

( )1 ,y x u

T x yy x v

− − = = +

En el APÉNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas polares.

D

2 2 21x y r+ =

2 2 22x y r+ =

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La región D está definida como sigue:

( ) ( ) ( ){ }2 2 2 21 2 1 2D x, y r x y r tg x y tg xθ θ= ≤ + ≤ ∧ ≤ ≤ (IV.23)

Para expresar dicha región D en coordenadas polares, denotada

D′ , es necesario hacer la trasformación de coordenadas 2 2T : D D′ ⊂ → ⊂ , señalada en la expresión IV.24:

( ) ( ) ( )T r, r cos ,rsen x, yθ θ θ= = (IV.24)

Por lo tanto la región D′ es:

( ){ }1 2 1 2D r, r r rθ θ θ θ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (IV.25)

En la figura 4.10 se observa como la región D′ del plano rθ es

transformada a través de la función T en la región D del plano

xy .

Figura 4.10

Transformación de la región D′ en la región D a través de ( ) ( )T r, x, yθ =

Al emplear el teorema de cambio de variable en una integral

doble, se tiene:

( ) ( ) ( )( )D D

x, yf x, y dA f r cos ,rsen drd

r,θ θ θ

θ′

∂=

∂∫∫ ∫∫ (IV.26)

Para que la función: 2 2T : D D′ ⊂ → ⊂

sea inyectiva es necesario que:

0 2θ π≤ <

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141

En donde el jacobiano de la transformación es:

( )( )

2 2

x x cos rsenx, y r

det det r cos rsenr, y y sen r cos

r

θ θθ

θ θθ

θ θθ

∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ = = = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )( ) ( )2 2x, y

r cos sen rr,

θ θθ

∂= + =

∂ (IV.27)

Por lo cual se puede enunciar el siguiente teorema de cambio a

coordenadas polares de una integral doble.

En algunas ocasiones, la región D es más general que la

planteada anteriormente, tal como la región que se ilustra a

continuación:

Figura 4.11

Una región más general D

TEOREMA: Cambio a coordenadas polares en una integral doble

Sea 2:f → una función continua en un rectángulo D′ ,

definido por ( ){ }1 2 1 2D r, r r rθ θ θ θ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ , donde

2 10 2θ θ π≤ − < , entonces:

( ) ( )D D

f x, y dA f r cos ,rsen rdrdθ θ θ′

=∫∫ ∫∫ (IV.28)

Recuerde que:

( )r cos x

T r,rsen y

θθ

θ

= =

Y que la identidad fundamental es:

2 2 1cos senθ θ+ =

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Entonces, la región D de la figura 4.11 puede expresarse en

coordenadas polares como sigue:

( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2D r, r r rθ θ θ θ θ θ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (IV.29)

Al emplear la ecuación de cambio de variable IV.19 resulta:

( ) ( )( )

( )2 2

1 1

r

D rf x, y dA f r cos ,rsen rdrd

θ θ

θ θθ θ θ=∫∫ ∫ ∫ (IV.30)

Existen, también, regiones generales D , que en coordenadas

polares, quedan definidas como:

( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2D r, r r r r rθ θ θ θ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (IV.31)

En estos casos:

( ) ( )( )

( )2 2

1 1

r r

D r rf x, y dA f r cos ,rsen rd dr

θ

θθ θ θ=∫∫ ∫ ∫ (IV.32)

Calcular la integral doble 2

2

2 4

0 4

y

ydxdy

− −∫ ∫ , empleando un cambio de

variable a coordenadas polares.

Solución:

La región D está definida como

( ){ }2 2, 4 4 0 2D x y y x y y= − − ≤ ≤ − ∧ ≤ ≤

La función integrando es ( ) 1f x, y = y la función de transformación

a coordenadas polares es ( ) ( )T r, r cos ,rsenθ θ θ= , entonces, al

componer las funciones f con T , se obtiene:

( ) 1f T r,θ =

EJEMPLO 4.3

Este ejercicio se resolvió en el sistema de coordenadas cartesianas en el ejemplo 1.5 parte c del capítulo 1, y se obtuvo que:

2

2

2 4

0 42

y

ydxdy π

− −=∫ ∫

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143

Al emplear la transformación a coordenadas polares, se deben

definir lo nuevos límites de integración, por lo que, en la figura

4.12 se muestran, sobre la gráfica de la región D , los valores de

r y θ a la entrada y salida de dicha región.

Figura 4.12

Valores de r y θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.3

Por lo tanto la región D′ , que se observa en la figura 4.13, está

definida como:

( ){ }0 2 0D r, rθ θ π′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

Resolviendo la integral resulta:

2

2

2 4 2

0 4 0 0 02 2

y

ydxdy rdrd d

π πθ θ π

− −= = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

0 02rdrd

πθ π=∫ ∫

Valor de r a la salida de D

2r =

Valor de r a la entrada de D

0r =

D

Valor de θ a la entrada de D

0θ =

Valor de θ a la salida de D

θ π=

Figura 4.13

Región D′ ejemplo 4.3

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Calcule el área de la corona circular cuyos radios exterior e interior

son 4 y 2, respectivamente, empleando coordenadas polares.

Solución:

La región D , se define como:

( ){ }2 2, 4 16D x y x y= ≤ + ≤

En la siguiente figura se muestran los valores de r y θ a la

entrada y salida de la región D .

Figura 4.14

Valores de r y θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.4

Entonces, la región D′ , tal como se ilustra en la figura 4.15, es:

( ){ }2 4 0 2D r, rθ θ π′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

Luego el área se obtiene como:

2 4 2

0 2 06 12A rdrd d

π πθ θ π= = =∫ ∫ ∫

2 4

0 212rdrd

πθ π=∫ ∫

EJEMPLO 4.4

En el ejemplo 3.3 del capítulo 3, y se obtuvo que:

12D

A dydx π= =∫∫

Valor de r a la salida de D

4r =

Valor de r a la entrada de D

2r =

D

0θ =

2θ π=

Figura 4.15

Región D′ ejemplo 4.3

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145

Calcule el volumen del sólido S acotado por las superficies:

2 22z x y= + y 2 220z x y= − − , empleando integrales dobles y

coordenadas polares.

Solución:

En coordenadas cartesianas, el volumen del sólido S , que se

aprecia en la figura 4.16, viene dado por:

2 2 2 220 2D

V x y x y dA = − − − + ∫∫

donde ( ){ }2 2, 4D x y x y= + ≤

En la figura 4.17, donde se aprecia la región D , se señalan los

valores de r y θ a la entrada y salida de dicha región.

Figura 4.17

Valores de r y θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.5

Donde ( ){ }0 2 0 2D r, rθ θ π′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

Entonces, al emplear la ecuación IV.18, se tiene que:

2 22 2 2 2 2

0 020 2 20 2

DV x y x y dA r r rdrd

πθ = − − − + = − − ∫∫ ∫ ∫

EJEMPLO 4.5

En el ejemplo 3.4 del capítulo 3, y se obtuvo que:

19,77678464V =

Valor de r a la salida de D

2r =

Valor de r a la entrada de D

0r =

D

0θ =

2θ π=

Como:

( )r cos x

T r,rsen y

θθ

θ

= =

Entonces: ( ) ( )2 22 2

2 2 2

x y r cos rsen

x y r

θ θ+ = +

+ =

Figura 4.16

Sólido S del ejemplo 4.5

Figura 4.18

Región D′ ejemplo 4.5

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146

2

0

40 80 40 1605 5 19,776784643 3 3 3

V dπ

θ π π = − = − ≈ ∫

Finalmente:

2 2 2

0 0

40 16020 2 53 3

r r rdrdπ

θ π π − − = − ∫ ∫

4.3 TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA DE 3 3→

De manera similar a una transformación de 2 2→ , una

transformación geométrica del tipo 3 3→ se emplea cuando se

desea convertir o transformar una región tridimensional B del

espacio xyz en una nueva región B′ del espacio tridimensional

uvw.

Sea T una función definida como 3 3T : B B′ ⊂ → ⊂ , tal que:

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3T u,v,w T u,v,w ,T u,v,w ,T u,v,w= (IV.33)

Donde:

( )1T u,v,w x= (IV.34)

( )2T u,v,w y= (IV.35)

( )3T u,v,w z= (IV.36)

Entonces, la función de transformación T es:

( ) ( )T u,v,w x, y,z= (IV.37)

Por lo tanto, la función T transforma todo punto ( )u,v,w B′∈ en un

punto ( )x, y,z B∈ .

La función T también suele escribirse como:

( )

( )

( )

( )

1

2

3

T u,v,w x

T u,v,w T u,v,w y

T u,v,w z

= =

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147

El jacobiano ( )( )x, y,zu,v,w

∂∂

se obtiene como:

( )( )

x x xu v w

x, y,z y y ydetu,v,w u v w

z z zu v w

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(IV.39)

Existen dos casos particulares de cambios de variables para

integrales triple, los cuales consisten en cambiar el sistema de

coordenadas de rectangular a: coordenadas cilíndricas o

coordenadas esféricas.

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Triple

Sea 3:f → una función continua definida en la región 3B ⊂ . Sea T una función inyectiva que transforma los

puntos ( ) 3u,v,w B′∈ ⊂ en ( ) 3x, y,z B∈ ⊂ , mediante la

expresión ( ) ( )T u,v,w x, y,z= . Suponga que T es de clase C1

y que la derivada ( )T u,v,w′ es una matriz inversible

( )u,v,w B′∀ ∈ , entonces:

( ) ( )( ) ( )( )B B

x, y,zf x, y,z dV f T u,v,w dudvdw

u,v,w′

∂=

∂∫∫∫ ∫∫∫ (IV.38)

El jacobiano también se denota como:

( )( )

u v w

u v w

u v w

x x x

x,y,zdet y y y

u,v,w

z z z

∂ =

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148

4.3.1 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS CILÍNDRICAS

A continuación se describe como emplear un cambio de variable a

coordenadas cilíndricas para resolver una integral triple.

Considere que se desea calcular una integral triple

( )B

f x, y,z dV∫∫∫ , donde B es un recinto como el mostrado en la

siguiente figura.

Figura 4.19

Una región general B

La región B está definida como sigue:

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2B x, y,z x, y D z x, y z z x, y= ∈ ∧ ≤ ≤ (IV.40)

Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy . Si

dicha región D puede expresarse en coordenadas polares,

entonces la función de transformación a coordenadas cilíndricas,

definida 3 3T : B B′ ⊂ → ⊂ , viene dada por:

( ) ( ) ( )T r, ,z r cos ,rsen ,z x, y,zθ θ θ= = (IV.41)

Por lo tanto la región B′ es:

En el APÉNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas cilíndricas.

B

D

( )1z z x, y=

( )2z z x, y=

Figura 4.20

Proyección de la región D sobre el

plano xy

D

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149

( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2B r, ,z r r r z r , z z r,θ θ θ θ θ θ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (IV.42)

Para emplear el teorema de cambio de variable en una integral

triple, se debe determinar el jacobiano de la transformación:

( )( )

2 2

0

0

0 0 1

x x x cos rsenr z

x, y,z y y ydet det sen r cos r cos rsenr, ,z r z

z z zr z

θ θθ

θ θ θ θθ θ

θ

∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )( ) ( )2 2x, y,z

r cos sen rr, ,z

θ θθ

∂= + =

∂ (IV.43)

Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas

cilíndricas en una integral triple queda enunciado como sigue:

TEOREMA: Cambio a coordenadas cilíndricas en una integral triple

Sea 3:f → una función continua en una región

tridimensional B′ , definido como:

( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2B r, ,z r r r z r , z z r,θ θ θ θ θ θ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ,

donde 2 10 2θ θ π≤ − < , entonces:

( ) ( )B B

f x, y,z dV f r cos ,rsen ,z rdzdrdθ θ θ′

=∫∫∫ ∫∫∫ (IV.44)

La función T de transformación a coordenadas cilíndricas, también se escribe como:

( )

r cos x

T r, ,z rsen y

z z

θ

θ θ

= =

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150

Evalúe la integral triple B

xyzdV∫∫∫ , empleando coordenadas

cilíndricas, donde B está definida como:

( ){ }2 2 2 2 24 1 0 0 0B x, y,z x y z , x y , x , y , z= + + ≤ + ≥ ≥ ≥ ≥

Solución:

El sólido B , junto con su proyección en el plano , xy se muestran

a continuación, en la figura 4.21

Figura 4.21

Región B del ejemplo 4.6

Entonces, en coordenadas cartesianas:

2 2 4

0

x y

B DI xyzdV xyzdzdA

− −= =∫∫∫ ∫∫ ∫

donde D es la proyección de la región B en el plano xy . Lo que

interesa a continuación es definir dicha región D , mostrada en la

figura 4.22, en coordenadas polares, la cual se denota como D′ .

EJEMPLO 4.6

En el ejemplo 2.5 delcapítulo 2, y se obtuvo que:

98B

xyzdV =∫∫∫

Cambiando la ecuación de la esfera

2 2 2 4x y z+ + = a coordenadas cilíndricas se tiene:

2 2 24 4z x y r= − − = −B

Valor de z a la salida de B

24z r= −

Valor de z a la entrada de B

0z = www.M

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151

Figura 4.22

Región D del ejemplo 4.6

Así, la región D en coordenadas polares es:

( ) 1 2 02

D r, r πθ θ ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

Por otra parte, al componer la función integrando, ( ), ,f x y z xyz= ,

con la función de transformación, ( ) ( )T r, ,z r cos ,rsen ,zθ θ θ= , se

obtiene:

( ) ( )( ) 2f T r, ,z r cos rsen z r cos sen zθ θ θ θ θ= =

Por lo tanto la integral triple es:

( ) ( )22 4 22

0 1 0

r

Bxyz dV r cos sen z r dzdrd

π

θ θ θ−

=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )3 22

20 1

42B

r rxyz dV cos sen drd

π

θ θ θ−

=∫∫∫ ∫ ∫

( ) 20

9 94 8B

xyz dV cos sen dπ

θ θ θ= =∫∫∫ ∫

22 4 320 1 0

98

rr cos sen z dzdrd

π

θ θ θ−

=∫ ∫ ∫

Valor de r a la salida de D

2r =

D

0θ =

2πθ =

Valor de r a la entrada de D

1r =

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152

Evalúe la integral triple ( )B

xyz dV∫∫∫ , donde B es la región del

primer octante comprendida entre los conos, ( )2 22z x y= + y

2 2z x y= + y el plano 4z = , empleando coordenadas cilíndricas.

Solución:

El sólido B , junto con su proyección en el plano , xy se muestran

a continuación, en la figura 4.23

Figura 4.23

Sólido B del ejemplo 4.7

Como el valor de z cambia a la salida del sólido B, entonces, en

coordenadas cartesianas:

( ) ( ) ( )( )2 2

2 2 2 21 2

4 2

x y

B D x y D x yxyz dV xyz dzdA xyz dzdA

+

+ += +∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫

donde 1D y 2D son las proyecciones del sólido B en el plano xy .

Dichas regiones 1D y 2D se pueden expresar en coordenadas

polares fácilmente, lo cual se aprecia en las siguientes figuras.

EJEMPLO 4.7

En el ejemplo 2.6 delcapítulo 2, y se obtuvo que:

( ) 64B

xyz dV =∫∫∫

Recuerde que las funciones del tipo

( ),z f x y= deben

expresarse en función de r y θ , por lo tanto:

( )2 22 2z x y r= + = y

2 2z x y r= + =

B

Valor de z a la salida de B

4z =

Valor de z a la entrada de B

z r=

Valor de z a la salida de B

2z r=

Valor de z a la entrada de B

z r=

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153

Figura 4.24

Región 1D del ejemplo 4.7

Figura 4.25

Región 2D del ejemplo 4.7

De las figuras 4.24 y 4.25 se tiene que:

( )

( )

1

2

8 4 02

0 8 02

D r, r

D r, r

πθ θ

πθ θ

′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

Como la función integrando es ( ), ,f x y z xyz= , entonces:

( ) ( )( ) 2f T r, ,z r cos rsen z r cos sen zθ θ θ θ θ= =

Ecuación de transformación a

coordenadas cilíndricas

( )

r cos x

T r, ,z rsen y

z z

θ

θ θ

= =

Recuerde que al definir una región D en coordenadas polares, dicha región se denota D′

Valor de r a la salida de D

4r = D1

0θ =

2πθ =

Valor de r a la entrada de D

8r =

Valor de r a la salida de D

8r = D2

0θ =

2πθ =

Valor de r a la entrada de D

0r =

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154

Entonces la integral, en coordenadas cilíndricas, queda como

sigue:

( ) ( )

( )

4 4 220 8

8 2 220 0

B r

r

r

I xyz dV r cos sen z r dzdrd

r cos sen z r dzdrd

π

π

θ θ θ

θ θ θ

= = +

+

∫∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )3 2 54 82 20 8 0 0

162 2

r r rI cos sen drd cos sen drdπ π

θ θ θ θ θ θ−

= +∫ ∫ ∫ ∫

2 20 0

256 1283 3

I cos sen d cos sen dπ π

θ θ θ θ θ θ= +∫ ∫

128 64 643 3

I = + =

Entonces:

4 4 8 23 32 20 8 0 0

64r

r rr cos sen z dzdrd r cos sen z dzdrd

π π

θ θ θ θ θ θ+ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4.3.2 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS ESFÉRICAS

Otro cambio de variable ampliamente empleado en las integrales

triples consiste en cambiar las coordenadas del sistema

rectangular al sistema esférico.

Considere una integral triple ( )B

f x, y,z dV∫∫∫ , donde B es una

región tridimensional como la mostrada en la siguiente figura.

En el APÉNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas esféricas.

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155

Figura 4.26

Una región general B

Donde la región B puede escribirse de una manera sencilla si se

emplea una transformación T a coordenadas esféricas, definida 3 3T : B B′ ⊂ → ⊂ , viene dada por:

( ) ( ) ( )T , , cos sen , sen sen , cos x, y,zρ θ φ ρ θ φ ρ θ φ ρ φ= = (IV.45)

Entonces, la región B′ es:

( ){ }1 2 1 2 1 2B , ,ρ θ φ ρ ρ ρ θ θ θ φ φ φ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (IV.46)

Para emplear un cambio de variable en una integral triple, se debe

determinar el jacobiano de la transformación, entonces:

( )( )

0

x x x cos sen cos cos sen sen

x, y,z y y ydet det sen sen sen cos cos sen, ,

z z z cos sen

θ φ ρ θ φ ρ θ φρ φ θ

θ φ ρ θ φ ρ θ φρ φ θ ρ φ θ

φ ρ φρ φ θ

∂ ∂ ∂− ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 3 2 2 2

2 2 2 2 2 3

x, y,zsen sen cos cos sen

, ,

sen cos sen cos sen

ρ θ φ ρ θ φ φρ φ θ

ρ θ φ φ ρ θ φ

∂ = + + ∂

− − −

La función T de transformación a coordenadas esféricas, también se escribe como:

( )

cos sen x

T , , sen sen y

cos z

ρ θ φ

ρ θ φ ρ θ φ

ρ φ

= =

B( )1z z x, y=

( )2z z x, y=

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156

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 2 2

2 3 2 2 2 2

x, y,zsen cos sen cos sen cos sen

, ,

x, y,zsen cos sen sen sen cos

, ,

ρ φ θ θ φ φ θ θρ φ θ

ρ φ φ φ ρ φ φ φρ φ θ

∂ = + + + ∂

∂= + = +

( )( )

2x, y,zsen

, ,ρ φ

ρ φ θ∂

=∂

(IV.47)

Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas

esféricas en una integral triple queda enunciado como sigue:

Existen también otras regiones más generales que se pueden

definir en coordenadas esféricas de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2B , , , ,ρ θ φ ρ θ φ ρ ρ θ φ θ θ θ φ φ φ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

(IV.49)

En ese caso, la integral triple queda como:

( ) ( )( )

( )2 2 2

1 1 1

2,

B ,f x, y,z dV cos sen , sen sen , cos sen d d d

θ φ ρ θ φ

θ φ ρ θ φρ θ φ ρ θ φ ρ φ ρ φ ρ φ θ=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

(IV.50)

TEOREMA: Cambio a coordenadas esféricas en una integral triple

Sea 3:f → una función continua en una región

tridimensional B′ , definida como:

( ){ }1 2 1 2 1 2B , ,ρ θ φ ρ ρ ρ θ θ θ φ φ φ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ , donde

2 10 2θ θ π≤ − < y 2 10 φ φ π≤ − < , entonces:

( ) ( ) 2

B Bf x, y,z dV cos sen , sen sen , cos sen d d dρ θ φ ρ θ φ ρ φ ρ φ ρ φ θ

′=∫∫∫ ∫∫∫

(IV.48) www.M

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157

Calcular mediante integrales triples en coordenadas esféricas, el

volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1

y 4.

Solución:

El sólido B , en coordenadas cartesianas está definido como:

( ){ }2 2 21 16B x, y,z x y z= ≤ + + ≤

Y su volumen es B

V dV= ∫∫∫

En la figura 4.24 se muestra el sólido B , pero para poder

identificar los valores de ρ , en la figura 4.28 se retira la porción

del sólido que se encuentra en el primer y en el quinto en el

octante.

Figura 4.28

Porción de la región tridimensional B del ejemplo 4.8

Para identificar los valores que toma θ a la entrada y salida de la

región B , generalmente se proyecta dicha región sobre el plano

xy ; sin embargo como en este ejemplo la región es sencilla, ya

que se obtienen dos círculos concéntricos, entonces, en

coordenadas esféricas la región tridimensional B es:

El volumen pedido en este ejercicio se planteó en el ejemplo 3.17 del capítulo 3; sin embargo, nótese lo fácil que resulta calcular dicho volumen en coordenadas esféricas.

EJEMPLO 4.8

Figura 4.27 Región tridimensional

B del ejemplo 4.8

Valor de ρ a la salida de B

4ρ =

BValor de ρ a la entrada de B

1ρ =

0φ =

φ π=

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158

( ){ }1 4 0 2 0B , ,ρ θ φ ρ θ π φ π′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

( )2 4 2

0 0 1BI xyz dV sen d d d

π πρ φ ρ θ φ= =∫∫∫ ∫ ∫ ∫

2

0 0 021 42 84I sen d d sen d d

π π πφ θ φ π φ θ φ π= = =∫ ∫ ∫

2 4 2

0 0 184sen d d d

π πρ φ ρ θ φ π=∫ ∫ ∫

Resolver la integral triple B

xyzdV∫∫∫ planteada en el ejemplo 4.6,

pero empleando coordenadas esféricas:

Solución:

El sólido B , en coordenadas cartesianas está definido como:

( ){ }2 2 2 2 24 1 0 0 0B x, y,z x y z , x y , x , y , z= + + ≤ + ≥ ≥ ≥ ≥

Transformando a coordenadas esféricas se tiene:

2 2 2 4 2x y z ρ+ + = ⇒ =

( ) ( )2 22 2 1 1x y sen cos sen senρ φ θ ρ φ θ+ = ⇒ + =

( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 1x y sen cos sen senρ φ θ θ ρ φ+ = ⇒ + = ⇒ =

2 2 22

11x y cscsen

ρ ρ φφ

+ = ⇒ = ⇒ =

Buscando la intersección entre 4ρ = y cscρ φ=

21 12 2

2csc sen

sencsc

ρφ φ

φρ φ

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

En el ejemplo 2.5 se resolvió la integral empleando coordenadas rectangulares, mientras que en el ejemplo 4.6 se empleó coordenadas cilíndricas.

EJEMPLO 4.8

La función T de transformación a coordenadas esféricas es:

( )

cos sen x

T , , sen sen y

cos z

ρ θ φ

ρ θ φ ρ θ φ

ρ φ

= =

Por otra parte, por definición, 0ρ ≥

Recuerde que el volumen entre dos esferas concéntricas se puede calcular como:

( )3 343

V R rπ= −

donde r: radio interno R: radio externo

Entonces:

( )4 64 1 843

V π π= − =

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159

Luego: 12 6

arcsen πφ = =

En la figura 4.29 se muestra la región B y se señalan los límites

de integración empleados en coordenadas esféricas.

Figura 4.29

Región B del ejemplo 4.8

Entonces la región B′ es:

( ) 4 0 02 2

B , , csc π πρ θ φ φ ρ θ φ ′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

Luego, la función integrando es ( )f x, y,z xyz= . Al componer dicha

función con la transformación:

( ) ( )T , , cos sen , sen sen , cosρ θ φ ρ θ φ ρ θ φ ρ φ=

Se tiene:

( ) ( ) ( )( ) 3 2f T , , cos sen sen sen cos cos sen sen cosρ θ φ ρ θ φ ρ θ φ ρ φ ρ θ θ φ φ= =

Por lo tanto la integral triple es:

Recuerde que:

0 φ π≤ <

Valor de ρ a la salida de B

2ρ =

BValor de ρ a la entrada de B

cscρ φ=

6πφ =

2πφ =

Figura 4.30 Proyección del sólido B

sobre el plano xy

0θ =

2πθ =

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160

( ) ( )2 3 2 22 20

6B csc

I xyz dV cos sen sen cos sen d d dπ π

π φρ θ θ φ φ ρ φ ρ φ θ= =∫∫∫ ∫ ∫ ∫

( )2 5 32 20

6csc

I cos sen sen cos d d dπ π

π φρ θ θ φ φ ρ φ θ= ∫ ∫ ∫

( )3 62 20

6

1 646

I sen cos sen cos csc d dπ π

π φ θ θ φ φ φ θ= −∫ ∫

20

9 94 8

I cos sen dπ

θ θ θ= =∫

Finalmente:

( )2 5 32 20

6

98csc

cos sen sen cos d d dπ π

π φρ θ θ φ φ ρ φ θ =∫ ∫ ∫

Calcular el volumen del sólido B definido por las superficies: 2 2 2x y x+ = , 0z = y 2 2z x y= + , empleando:

a) Coordenadas cartesianas.

b) Un cambio de variable adecuado.

Solución:

El volumen de un sólido B se obtiene mediante la integral B

dV∫∫∫ .

La superficie de ecuación 2 2 2x y x+ = puede escribirse como:

( )2 21 1x y− + = , por lo cual dicha ecuación es una superficie

circular cilíndrica. La superficie 0z = es un plano horizontal y la

superficie 2 2z x y= + es un paraboloide. A continuación se

muestra la gráfica del sólido B .

EJEMPLO 4.9www.M

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161

Figura 4.30

Sólido B del ejemplo 4.9

Luego para calcular el volumen de este sólido se debe seleccionar

el sistema de coordenadas a emplear:

a) En el sistema de coordenadas cartesianas:

La integral de volumen puede resolverse utilizando la integral

iterada B

dzdydx∫∫∫ , por lo que se debe identificar los valores que

toma la variable z a la entrada y salida de dicho sólido. En la figura

4.31 se muestra el primer orden de integración.

Figura 4.31

Primer orden de integración en coordenadas cartesianas para el sólido B del ejemplo 4.9

B

Valor de z a la entrada de B

0z =

Valor de z a la salida de B

2 2z x y= +

B

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Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

162

Por lo tanto, el volumen se calcula como: 2 2

0

x y

DV dzdA

+= ∫∫ ∫

Donde D es la proyección del sólido B en el plano xy . Dicha

proyección se ilustra en la siguiente figura.

Figura 4.32

Región D del ejemplo 4.9

Por lo tanto la región bidimensional D está definida como:

( ){ }2 20 2 2 2D x, y x x x y x x= ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ −

Por lo cual:

( )2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

0 2 0 0 2

x x x y x x

x x x xV dzdydx x y dydx

− + −

− − − −= = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )32 2 2 22

0

2 32 2 23 2

V x x x x x dx π = − + − = ∫

2 2 2

2

2 2

0 2 0

32

x x x y

x xdzdydx π

− +

− −=∫ ∫ ∫

b) El cambio de variable más adecuado para este ejercicio es

emplear el sistema de coordenadas cilíndricas, ya que una de las

superficies es un cilindro, luego las superficies en este sistema

son:

Valor de y a la salida de D

22y x x= −

Valor de y a la entrada de D

22y x x= − −

D

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163

( )2 2 22 2 2 0x y x r r cos r r cosθ θ+ = ⇒ = ⇒ − = , entonces:

2 2 2 2x y x r cosθ+ = ⇒ =

Para el paraboloide se tiene: 2 2 2z x y z r= + ⇒ =

En coordenadas cilíndricas la primera integración se realiza

respecto a la variable z, cuyo valor a la entrada del sólido es 0z =

y a la salida del sólido es 2z r= , tal como se mostró en la figura

4.31.

Cuando se proyecta el sólido en el plano xy se obtiene el disco

mostrado en la figura 4.32; sin embargo dicha región debe

definirse en coordenadas polares.

Figura 4.33

Región D del ejemplo 4.9

Así, la región D en coordenadas polares es:

( ){ }0 2 0D r, r cosθ θ θ π′ = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

Luego el volumen en coordenadas polares es:

22 2 3 4

0 0 0 0 0 0

342

cos r cosV rdzdrd r drd cos d

π θ π θ πθ θ θ θ π= = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

22

0 0 0

32

cos rrdzdrd

π θθ π=∫ ∫ ∫

La transformación es:

( )

r cos x

T r, ,z rsen y

z z

θ

θ θ

= =

donde: 2 2 2r x y= +

Valor de r a la salida de D

2r cosθ=

D

Valor de r a la entrada de D

0r = θ π=

0θ =

La gráfica de 2r cosθ= se obtiene

para [ ]0,θ π∈ .

Cuando 02

,πθ ∈ se

obtiene la semicircunferencia superior, mientras que

para 2

,πθ π ∈ , el radio

vector es negativo y por lo tanto se genera la semicircunferencia inferior.

Observe que calcular el volumen del sólido B en el sistema de coordenadas cilíndricas es mucho proceso más corto y sencillo que en coordenadas cartesianas.

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